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26.1 二次函数的概念（导学案）
(1)理解二次函数的定义，熟记二次函数一般形式及自变量取值要求；能准确判断一个函数是否为二次函
数，精准区分各项系数；能根据实际问题列出简单的二次函数解析式.
(2)经历从实际问题中提炼函数关系式、归纳二次函数特征的全过程，提升抽象概括、数学建模和类比推
理能力，掌握研究新函数的基本方法.
(3)感受二次函数与生活的紧密联系，体会数学的实用性和逻辑性，培养主动探究、合作交流的学习习惯，
增强用函数思想解决实际问题的意识.
重点：理解二次函数的定义及一般形式y=ax ²+bx+c（a≠0），准确识别二次函数的各项系数，根据实际情
境列出二次函数解析式.
难点为：理解二次函数定义中“a≠0”的核心意义，辨析易混淆函数形式;结合实际问题的限制条件，确
定二次函数的自变量取值范围.
第一环节 自主学习
温故知新：
创设情景，引入新课
展示生活化实际问题，引导学生独立思考、列出变量之间的函数关系式：
1. 一个矩形的长为10cm，宽为xcm，矩形面积y（cm ²）与宽x 的关系式；
2. 正方形的边长为x，面积y 与边长x 的关系式；
3. 某商品进价为20 元，售价为x 元，每日销量为(100-x)件，每日利润y 与售价x 的关系式.
学生独立列式，教师板书三个关系式：
① y=10x ② y=x ² ③ y=-x ²+120x-2000
【学法指导】
新知自研：自研课本第30-31 页的内容
【学法指导】自研课本P30-31 页内容
（一）对比观察，归纳特征
活动1.观察归纳二次函数特征
追问1.式子①是我们学过的什么函数？（一次函数）
追问2. 式子②③与一次函数有什么不同？最高次数是多少？（自变量的最高次数不同，是2）
追问3.三个式子均为整式关系式，变量之间都是函数关系，②③的共同特征是什么？
师生共同总结：两个变量的关系式是整式，自变量的最高次数是2.由此抽象出新函数类型——二次函数.
（二）生成定义，细化要点
活动2：师生共同归纳二次函数完整定义
问题1.n 支球队参加比赛，每两队之间进行1 场比赛，比赛的场次数m 与球队数n 之间有什么关系?
学生小组交流：每支球队都要与其他（n-1）支球队各比赛1 场，由于甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比
赛是同一场比赛，所以比赛的场次数
，即
………①
①式表示比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系，其中m 和n 都是变量，而且对于n 的每一个确定的值，m
都有唯一确定的值与其对应，即m 是n 的函数.
追问1.m 是n 的函数有什么特征？（两个变量的关系式是整式，自变量的最高次数是2）
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问题2.某种产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x 倍，那
么两年后这种产品的产量y（单位：t）将由x 的值确定，与x 之间的关系应怎样表示?
学生独立思考：这种产品的原产量是20t，一年后的产量是20（1+x）t，再经过一年后的产量是20(1+x)
(1+x）t，即两年后的产量y=20(1+x)²，即y=20x ²+40x+20.………②
②式表示了两年后的产量y 与每年的计划增产倍数x 之间的关系，其中x 和y 都是变量，而且对于x 的每
一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，即y 是x 的函数.
追问2.y 是x 的函数有什么特征？（两个变量的关系式是整式，自变量的最高次数是2）
师生共同归纳二次函数完整定义：一般地，形如y=ax ²+bx+c（a、b、c 是常数，a≠0）的函数，叫做二次
函数.其中x 是自变量，y 是x 的函数.
细化核心概念：
二次项：ax ²，二次项系数：a；一次项：bx，一次项系数：b；常数项：c.
关键限定：a≠0（若a=0，式子变为y=bx+c，即为一次函数，不再是二次函数）；b、c 可以为0.
活动3.拓展特殊形式
当b=0、c=0 时，y=ax ²（最简二次函数）；
当b=0 时，y=ax ²+c；
当c=0 时，y=ax ²+bx.
典型例题
【自研自探】
自研课本P30-31 页内容
典型例题
例1.判断下列函数中，哪些是二次函数？若是，分别说出二次项系数、一次项系数和常数项.
① y=3x^2 ② y=2x+1 ③ y=-x ²+4x-1 ④
⑤ y=x ²-x(2+x)
【分析】本题核心考查二次函数的定义辨析，解题关键是紧扣三个判定条件：1. 关系式为整式；2. 自变
量最高次数为2；3. 二次项系数a≠0；对于复杂式子需先化简，再逐一判定.
【详解】解：1.y=3x ²：是二次函数；二次项系数：3，一次项系数：0，常数项：0.
2.y=2x+1：自变量最高次数为1，是一次函数，不是二次函数.
3. y=-x ²+4x-1：是二次函数； 二次项系数：-1，一次项系数：4，常数项：-1.
4.
是分式函数，不是整式函数，不是二次函数.
5. y=x ²-x(2+x)，化简：y=x ²-2x-x ²=-2x，化简后自变量最高次数为1，是一次函数，不是二次函数.
变式小结：判定二次函数必须先化简、再判定，杜绝仅凭原式表面形式判断.
例2.（1）一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S 关于半径r 的函数解析式.
（2）一种产品某年的销售量为8 万件，由于其他新产品的出现，后两年的年销售量有所下降，年平均下降
率是x，写出两年后产品的年销售量y（单位万件）关于x 的函数解析式.
【分析】（1）圆柱表面积是其底面积与侧面积的和，分别求出圆柱的底面积与侧面积；（2）一年后产品
的年销售量为8（1-x）万件，两年后的年销售量为8(1-x)(1-x)万件.
【详解】解：(1）圆柱表面积是其底面积与侧面积的和，所以S=2πr ²+2πr·r，即S=4πr ².
(2）一年后产品的年销售量为8（1-x）万件，两年后的年销售量为8(1-x)(1-x)万件，所以y=8(1-x)²，
即
y=8x ²-16x+8.
例3.用一根长为40cm 的铁丝围成一个矩形，设矩形的一边长为xcm，矩形的面积为y cm ²，求y 与x 之间
的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.
【分析】本题考查二次函数建模及自变量取值范围确定.首先根据矩形周长公式表示出另一边长，再结合
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面积公式列关系式；自变量取值范围需结合矩形边长为正数的实际意义确定.
【详解】解：1. 列关系式：铁丝总长40cm，矩形一边长为xcm，则另一边长为\frac{40-2x}{2}=(20-x)cm
由矩形面积公式得：y=x(20-x)=-x ²+20x
2.确定自变量取值范围：根据实际意义，边长必须为正数，因此
，解得0<x<20.
3. 最终结论：函数关系式为y=-x ²+20x（0<x<20）
第二环节 合作探究
1.讨论二次函数的特征、定义.
2.讨论二次函数的核心概念和特殊形式.
拓展提升：1.如图是甲、乙两人进行羽毛球比赛时的一个瞬间，羽毛球飞行的高度y（m）与水平距离x
（m）的路线为抛物线的一部分．甲在点O 正上方1m 的P 处发出一球，已知点O 与球网的水平距离为5m，
球网的高度为
．当羽毛球在水平方向上运动4m 时，达到最大高度2m．
(1)求羽毛球经过的路线对应的函数表达式．
(2)通过计算判断此球能否过网．
(3)若甲发球过网后，羽毛球飞行到离地面的高度为
m 的Q 处时，乙击球成功，求此时乙与球网的水平
距离．
【详解】（1）解：根据题意，抛物线顶点坐标为
，与
轴交点坐标为
，
设羽毛球经过的路线对应的函数表达式为
，
把
代入得：
，
解得
，
；
∴羽毛球经过的路线对应的函数表达式为
（2）解：在
中，
令
得
，
∴此球能过网；
（3）解：在
中，
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令
得：
解得
（舍去）或
，
（米），
∴乙与球网的水平距离为2 米．
课堂练习：课本P31 随堂练习
1.（2026·泰安校考）如图，矩形
中，
，
，点M 以
的速度从点B 向点C
运动，点N 以
的速度从点C 向点D 运动．两点同时出发，设运动开始第t 秒钟时，五边形
的面积为
．
写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围；
【详解】解：第t 秒钟时，
，故
，
，
故
．
∵
．
∴
.
2．（2025·乌鲁木齐校考）某山西特产专卖店销售某种核桃，原来平均每天可销售200 千克，每千克可盈
利8 元，为减少库存，经市场调查，如果这种核桃每千克降价1 元，则每天可多售出20 千克．
(1)设每千克核桃降价x 元，平均每天盈利y 元，试写出y 关于x 的函数解析式；
(2)若要销售这种核桃平均每天盈利1440 元，则每千克应降价多少元？
【详解】（1）解：根据题意，可得
化简，得
（2）当
时
即
，
解得
，
(舍去)．
要销售这种核桃平均每天盈利1440 元，则每千克应降价2 元．
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知识技能：（1）掌握二次函数的定义及一般形式：y=ax
² +bx+c
（
a 、
b 、
c 为常数，
a ≠
0 ）
；（2）能准确
辨析二次函数，区分二次项、一次项、常数项及对应系数；（3）能根据实际问题列二次函数解析式，并
结合实际意义确定自变量取值范围.
思想方法：（1）类比思想：类比一次函数的探究方法，学习二次函数的定义与特征，实现知识迁移；
（2）数学建模思想：将生活中的面积、利润、几何图形问题转化为二次函数数学模型；（3）化简转化思
想：复杂函数关系式需先化简，再判定函数类型.
易错提醒：（1）判定二次函数必须先化简，不能直接根据原式表面形式判断；（2）二次函数的核心条件
是a ≠
0 ，
b 、
c 可以为
0 ，切勿混淆；（3）实际问题中的二次函数，自变量取值范围必须符合实际意义，
不能默认全体实数；（4）分式形式、根式形式的关系式一定不是二次函数.
