文档文本内容
分层作业
2.3.1 乘方
说明：ABC 三组为必做内容，拓展部分为选做。
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目 录
A 组 巩固过关.....................................................................................................................1
题型一、有理数幂的概念理解.................................................................1
题型二、有理数的乘方运算...................................................................3
题型三、有理数乘方逆运算...................................................................5
题型四、乘方运算的符号规律.................................................................7
题型五、乘方的应用.........................................................................9
题型六、程序流程图与有理数计算............................................................13
题型七、算“24”点........................................................................15
题型八、含乘方的有理数混合运算............................................................18
题型九、计算器——有理数..................................................................20
B 组 能力进阶...................................................................................................................21
C 组 思维拔高...................................................................................................................25
拓展 衔接中考...................................................................................................................28
A 组 巩固过关
题型一、有理数幂的概念理解
1．（25-26 七年级上·甘肃天水·期中）在
6
7
-
中，底数是______．
【答案】7
【分析】此题考查了乘方的定义，根据乘方运算的定义，负号不属于底数部分，因此底数为7．
【详解】
6
7
-
中，底数是7．
故答案为：7．
巩固过关
2．（25-26 七年级上·河南郑州·期末）计算2
2
2
5 5
5
个
个
+
+
+
+ ´ ´
´
m
n
L
L
14243
14243 （ ）
A．
5
2m
n
+
B．
2
5n
m +
C．2
5
m
n
+
D．2
5n
m +
【答案】D
【详解】解：2
2
2
5 5
5
2
5n
m
n
m
+
+
+
+ ´ ´
´
=
+
个
个
L
L
14243
14243
3．（25-26 七年级上·河北邯郸·期末）在学习了乘方运算后，对于2k 聪聪和明明有如下讨论：
聪聪：2k 表示有2 个k 相乘
明明：2k 表示有2 个k 相加
你认为他们的说法（ ）
A．只有聪聪是对的
B．只有明明是对的
C．他们两人都不对
D．他们都有道
理
【答案】C
【分析】本题考查乘方的定义，
n
a 表示n 个a 相乘（n 为正整数），据此可得答案．
【详解】解：根据乘方的定义可知2k 表示k 个2 相乘，
∴两个人的说法都不正确，
故选：C．
4．（25-26 七年级上·山西临汾·期末）计算
10
2
10
3
2
2
2
3 3
3
+
+
+
´ ´
´
+
144244
3
14243
个
个
…
…
的算式是（ ）
A．
10
20
3
+
B．
10
10
2
3
+
C．20
30
+
D．
10
2
30
+
【答案】A
【分析】本题考查有理数的乘方和乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
根据乘方和乘法的意义列式即可．
【详解】解：原式表示10 个2 相加，10 个3 相乘，再将结果相加，
10 个2 相加即为2 10
20
´
=
，10 个3 相乘即为
10
3 ，
那么原式
10
20
3
=
+
，
故选：A．
5．（25-26 七年级上·河北保定·期末）为了简便，可以将5 5 5
5
n
´ ´
´
个
644744
8
L
记为_____．
【答案】
5n
【分析】n 个相同因数相乘可以写成该数的n 次方形式，据此进行解答．
【详解】解：根据乘方的定义，
n 个相同的因数5 相乘，记为5 的n 次方，即5n ．
题型二、有理数的乘方运算
1．（25-26 七年级上·河北石家庄·期末）下列各组数中，数值相等的是（ ）
A．
3
3
2
2
-
-
和
B．
2
+ +
和
2
+ -
C．
2
- -
和
2
- +
D．
2
2
- -
和
2
2
-
【答案】A
【分析】注意乘方运算中括号对底数的影响，准确计算各选项数值．
【详解】解：A 选项：
3
( 2)
8
-
= - ，
3
2
8
-
= - ，数值相等，符合题意；
B 选项：
2
2
+ +
=
，
2
2
+ -
= - ，数值不等，不符合题意；
C 选项：
2
2
- -
=
，
2
2
- +
= - ，数值不等，不符合题意；
D 选项：
2
( 2)
4
- -
= - ，
2
( 2)
4
-
=
，数值不相等，不符合题意．
2．（25-26 七年级上·江西上饶·期末）计算：
3
2
- - -
=
é
ù
ë
û
_______．
【答案】8
-
【分析】本题考查有理数的乘方运算与多重符号的化简，关键是遵循“从内到外”的运算顺序，先化简内层括
号的符号，再计算乘方，最后处理外层的符号．
【详解】解：
3
3
2
2
8
é
ù
- - -
= -
= -
ë
û
；
故答案为：8
- ．
3．（25-26 七年级上·河南周口·期末）若
2
1
2
0
x
y
-
+
+
=
，则x
y
+
的值为____．
【答案】1
-
【分析】根据绝对值与偶次方的非负性，当两个非负数的和为0 时，这两个非负数均为0，据此求出x、y
的值，再代入计算x
y
+
即可．
【详解】解：∵
2
1
2
0
x
y
-
+
+
=
，
∴
1
0
x -
=
且
2
y
2
0
+
=
，
解得：
1
x = ，
2
y = - ，
则
1
2
1
x
y
+
= + -
= - ．
4．（25-26 七年级上·河南信阳·期末）若a 与b 互为相反数，则
2
1
2
1
n
n
a
b
-
-
+
= _____．( n 为正整数)
【答案】0
【分析】本题考查了相反数的定义，有理数的乘方运算．根据互为相反数的定义，得到
0
a
b
+
=
，即
b
a
= - ，代入代数式，利用奇数次幂的性质化简．
【详解】解：因为a 与b 互为相反数，所以
0
a
b
+
=
，即b
a
= - ，
∴
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
0
n
n
n
n
n
n
a
b
a
a
a
a
-
-
-
-
-
-
+
=
+ -
=
-
=
故答案为：0 ．
5．（25-26 七年级上·广东梅州·期末）已知,a b 互为相反数，,c d 互为倒数，且
0
c ¹
，则
2
2026
a
b
cd
+
- -
= _____．
【答案】1
-
【分析】本题主要考查了相反数和倒数的定义，有理数的乘方，解题的关键是掌握以上定义和运算法则．
利用相反数和倒数的性质，求出a
b
+
和cd 的值，代入原式计算．
【详解】解：∵,a b 互为相反数，
∴
0
a
b
+
=
；
∵,c d 互为倒数，
0
c ¹
．
∴
1
cd = ；
∴
2
2026
0 1
1
a
b
cd
+
- -
=
- = - ，
故答案为：1
- ．
6．计算
(1)
2
7 ；
(2)
3
6
-
；
(3)
3
2
3
æ
ö
ç
÷
è
ø
；
(4)
23
-
；
(5)
32
5
-
；
(6)
3
3
4
æ
ö
- -
ç
÷
è
ø
．
【答案】(1)49
(2)－216
(3) 8
27
(4)－9
(5)
8
5
-
(6) 27
64
【分析】本题考查了有理数的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据有理数的乘方运算法则求解即可；
（2）根据有理数的乘方运算法则求解即可；
（3）根据有理数的乘方运算法则求解即可；
（4）根据有理数的乘方运算法则求解即可；
（5）根据有理数的乘方运算法则求解即可；
（6）根据有理数的乘方运算法则求解即可．
【详解】（1）解：
2
7
7 7
49
=
´
=
；
（2）
3
( 6)
( 6) ( 6) ( 6)
216
-
= -
´ -
´ -
= -
；
（3）
3
2
2
2
2
8
3
3
3
3
27
æ
ö
æ
ö æ
ö æ
ö
=
´
´
=
ç
÷
ç
÷ ç
÷ ç
÷
è
ø
è
ø è
ø è
ø
；
（4）
23
3 3
9
-
-
-
=
´
=
；
（5）
32
2 2 2
8
5
5
5
´ ´
-
= -
= -
；
（6）
3
3
3
3
3
27
4
4
4
4
64
-
æ
ö
æ
ö æ
ö æ
ö
- -
=
-
´ -
´ -
=
ç
÷
ç
÷ ç
÷ ç
÷
è
ø
è
ø è
ø è
ø
；
题型三、有理数乘方逆运算
1．
一个数的平方是9，则这个数是______．
【答案】3
± /3 或-3/-3 或3
【分析】根据
2
3
=9
±
求出这个数即可．
分类讨论
【详解】解：∵
2
3
=9
±
，
∴这个数是3
± ，
故答案为：3
± ．
【点睛】本题考查了有理数的乘方运算的逆运算，理解乘方运算与逆运算的含义是解本题的关键．
2．
（25-26 七年级上·福建宁德·期末）已知某个有理数乘方的结果是16，则该乘方运算是
_____．（写出一个即可，用
n
a 的形式表示）
【答案】
4
2 （或
4
2
-
或
2
4 或
2
4
-
）
【分析】本题考查了有理数的乘方运算，解题的关键是找出满足乘方结果为16 的有理数底数与指数组合．
根据乘方的定义，寻找有理数a 和整数n ，使得
16
n
a =
，写出其中一组即可．
【详解】解：因为
4
2
16
=
，
所以该乘方运算可以是
4
2 （或
2
( 4)
-
、
2
4 等，任选其一即可）．
故答案为：
4
2 （或
4
2
-
或
2
4 或
2
4
-
）．
3．若
2
9
x =
，
2
y =
，且x
y
<
，则x
y
-
的值为______．
【答案】5
- 或1
-
【分析】本题考查了乘方，绝对值，有理数的大小比较，有理数的减法运算，解题的关键是熟练掌握以上
知识点．根据乘方，绝对值和有理数的大小比较分别求出x，y，再根据有理数的减法运算求解即可．
【详解】解：∵
2
9
x =
，
∴
3
x =
或
3
x
-
=
，
∵
2
y =
，
∴
2
y =
或
2
y = - ，
又∵ x
y
<
，
\
3
x
-
=
，
2
y = - 或
3
x
-
=
，
2
y =
，
当
3
x
-
=
，
2
y = - 时，
3
2
1
x
y
-
= - - -
= - ，
当
3
x
-
=
，
2
y =
时，
3
2
5
x
y
-
= - -
= - ，
故答案为：5
- 或1
- ．
4．（25-26 七年级上·江苏宿迁·期末）定义,a b 之间一种运算，记作
,a b ：如果
c
a
b
=
，那么
,a b
c
=
．则
2,8 = __________．
新考法
结论开放题
【答案】3
【分析】本题考查了新定义运算．
根据题目给出的新定义计算即可．
【详解】解：根据新定义，若
2,8
c
=
，则2
8
c =
．
∵
3
2
8
=
，
∴
3
c = ，
即
2,8
3
=
．
故答案为：3．
题型四、乘方运算的符号规律
1．（25-26 七年级上·安徽宣城·期中）计算
2026
2025
( 2)
( 2)
-
+ -
的结果为（ ）
A．
2026
2
-
B．
2025
2
-
C．
2025
2
D．
2026
2
【答案】C
【分析】本题考查的是乘方的含义，乘法分配律的应用，通过提取
2025
2
-
简化表达式，利用负数的奇数次
幂为负的性质进一步求解即可．
【详解】解：∵
2026
2025
2025
2025
2
2
2
2
1
2
1
é
ù
-
+ -
= -
´
-
+
= -
´ -
ë
û
，
又∵
2025
2025
2
2
=
-
-
（指数2025 为奇数），
∴ 原式
2025
2025
2
1
2
= -
´ -
=
．
故选：C
2．（25-26 七年级上·广东江门·期中）下列各对数值相等的是（ ）
A．
5
2
-
和
5
2
- -
B．
23
- -
和
2
3
-
C．
3
3 2
- ´
和
23
2
-
´
D．
2
3
- -
和
3
2
- -
【答案】B
【分析】本题需依据乘方运算的符号规则与运算顺序，分别计算每个选项中两个式子的结果，再对比是否
相等．
【详解】解：∵
5
2
32
-
= -
，
5
2
32
32
- -
= - -
=
，32
32
-
¹
，
∴A 选项数值不相等，不符合题意；
∵
23
9
9
- -
= - -
=
，
2
3
9
-
=
，9
9
=
，
∴B 选项数值相等，符合题意；
∵
3
3 2
3 8
24
- ´
= - ´ = -
，
23
2
9 2
18
-
´
= - ´
= -
，24
18
-
¹ -
∴C 选项数值不相等，不符合题意；
∵
2
3
9
-
- -
=
，
3
2
8
8
- -
= - -
=
，9
8
- ¹
∴D 选项数值不相等，不符合题意，
故选：B
3．（25-26 七年级上·江苏南京·阶段检测）已知k 是一个正整数，那么
2
1
1
k-
-
= __________．
【答案】1
-
【分析】本题考查了乘方运算，先结合k 是一个正整数，得出2
1
k - 是一个奇数，根据负数的奇数次幂是负
数，则
2
1
1
1
k-
-
= - ，即可作答．
【详解】解：∵k 是一个正整数，
∴2k 是一个偶数，2
1
k - 是一个奇数，
∵负数的奇数次幂是负数，
即
2
1
1
1
k-
-
= - ，
故答案为：1
-
4．如果n 是正整数，则
2
1
2
1
1
n
n
+
-
+ -
= _____ ．
【答案】0
【分析】本题考查了有理数的乘方，乘方运算的符号规律，解题关键是掌握有理数的乘方法则．
直接利用有理数的乘方法则计算．
【详解】解：
2
1
2
1
1
n
n
+
-
+ -
=
1 1
- +
0
=
．
5．（24-25 七年级上·四川南充·期中）已知
4
(
6)
2024
y
x
= -
-
+
的最大值为______．
【答案】2024
【分析】本题考查乘方的非负性．熟练乘方的非负性是解题的关键．
根据乘方的非负性，确定最大值即可．
【详解】解：∵
4
(
6)
0
x -
³
，
∴
4
(
6)
0
x
-
-
£
∴
4
(
6)
2024
2024
x
-
-
+
£
，
∴
4
(
6)
2024
y
x
= -
-
+
的最大值为：2024 ；
故答案为：2024 ．
6．（25-26 七年级上·云南文山·期末）比较大小：
49
2
-
_____98（填“＞”“＝”或“＜”）．
【答案】＜
【分析】本题考查了有理数的乘方，有理数大小比较．注意：正数大于0，负数小于0；负数的绝对值越大，
这个数越小．根据正数大于负数进行大小比较．
【详解】解：∵
49
2
0
-
<
，98
0
>
，
∴
49
2
98
-
<
，
故答案为：＜．
题型五、乘方的应用
1．（25-26 七年级上·江苏无锡·阶段检测）把足够大的一张厚度为0.1mm 的纸连续对折，要使对折后的整叠
纸总厚度超过20 mm ，至少要对折（ ）
A．6 次
B．7 次
C．8 次
D．9次
【答案】C
【分析】根据题意明确第n 次对折后的厚度为0.1 2 mm
n
´
，根据0.1 2
20
n
´
>
，求出n 的最小整数值即可．
【详解】解：设对折n 次后整叠纸总厚度为0.1 2 mm
n
´
．
由题意得0.1 2
20
n
´
>
，
2
200
n
\
>
．
7
2
128
=
Q
，
82
256
=
，128
200
256
<
<
，
7
n
\
>
，
\至少要对折8 次．
2．（25-26 七年级上·河北衡水·期末）人教版生物教材提到，细菌是靠分裂进行生殖的，分裂完的细菌长大
以后又能进行分裂．某种细菌在培养过程中每半小时分裂一次（由1 个分裂为2 个），经过4 小时，1 个这
种细菌可分裂成的细菌个数为（ ）
A．
4
2
B．
62
C．
7
2
D．
82
【答案】D
【分析】本题考查有理数的乘方，根据题意得到细菌每分裂一次后所得细菌，列出关系式，是解答此题的
关键．
由题意可知细菌分裂一次时有
12 个细菌，分裂2 次时变为
2
2 2
2
´
=
个细菌，分裂3 次时变为
3
2 2 2
2
´ ´
=
个
细菌L，故当分裂n 次时变为2n 个细菌，据此即可解答．
【详解】解：Q细菌分裂一次时有
12 个细菌，
分裂2 次时变为
2
2 2
2
´
=
个细菌，
分裂3 次时变为
3
2 2 2
2
´ ´
=
个细菌¼，
\当分裂n 次时变为2n 个细菌，
Q细菌每半小时分裂一次，
\经过4 小时，细菌分裂8 次．
故1 个这种细菌可分裂成的细菌个数为
82 个．
故选：D．
3．（25-26 七年级上·河北衡水·期中）在一次综合实践活动课上，同学们将一个边长为1 的正方形纸片进行
分割，如图所示，第①部分是边长为1 的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③
部分是第②部分面积的一半，依次类推，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．
8
1
2
æ
ö
ç
÷
è
ø
B．
7
1
2
æ
ö
ç
÷
è
ø
C．
6
1
2
æ
ö
ç
÷
è
ø
D．
5
1
2
æ
ö
ç
÷
è
ø
【答案】B
【分析】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，利用乘方的意义解答．
根据图形的规律和乘方的意义，可以得到阴影部分的面积．
【详解】解：部分①的面积是原正方形纸片面积的一半，即为
1
1
1
2
2
æ
ö
= ç
÷
è
ø
；
部分②的面积是部分①面积的一半，即为
2
1
1
1
1
2
2
4
2
æ
ö
´
=
= ç
÷
è
ø
；
部分③的面积是部分②面积的一半，即为
3
1
1
1
1
1
2
2
2
8
2
æ
ö
´
´
=
= ç
÷
è
ø
；
……
依次类推，阴影部分的面积为
7
1
2
æ
ö
ç
÷
è
ø
．
故选：B．
4．
（25-26 七年级上·黑龙江大庆·期末）我们常用的十进制数，如
3
2
1243
1 10
2 10
4 10
3
= ´
+ ´
+ ´
+ ，我国古代易经一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，
如图，一位母亲在如下排列的绳子上打结，并采用七进制（如
3
2
1243
1 7
2 7
4 7
3
= ´
+ ´
+ ´ + ），用来记录孩子
自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（ ）天．
A．512
B．511
C．510
D．509
【答案】C
【分析】先数出每根绳子上的结数，然后将从左向右的每一位数字分别乘
3
7 ，
2
7 ，
17 ，
0
7 ，再将计算结果
相加．
【详解】解：据图可知，从左向右，四根绳子的结数分别是1、3、2 、6 ，
则孩子出生的天数为
3
2
1
0
1 7
3 7
2 7
6 7
343 147
14
6
510
´
+ ´
+ ´
+ ´
=
+
+
+
=
．
5．（25-26 七年级上·河南濮阳·期末）如图是第十四届国际数学教育大会（
14
ICME -
）会徽，在其右下方的
“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数
8
3745
．该八进制数转换成十进制数的计算方式为：
传统文化
3
2
1
0
8
3745
3 8
7 8
4 8
5 8
= ´
+ ´
+ ´
+ ´
2021
=
，请将十进制数20 转换成八进制数是（ ）
A．
8
24
B．
8
23
C．
8
22
D．
8
20
【答案】A
【分析】根据十进制换算成八进制的方法计算即可．
【详解】解：∵
1
0
2 8
4 8
20
´
+ ´
=
，
∴十进制数20 换算成八进制数是24．
6．（25-26 七年级上·山东青岛·期末）若
2021
1
2
a
æ
ö
= -
ç
÷
è
ø
，
2022
1
2
b
æ
ö
= -
ç
÷
è
ø
，
2023
1
2
c
æ
ö
= -
ç
÷
è
ø
，
2024
1
2
d
æ
ö
= -
ç
÷
è
ø
，则a，b，
c，d 的大小关系正确的是（ ）
A．a
c
b
d
>
>
>
B．a
b
c
d
>
>
>
C．d
c
b
a
>
>
>
D．b
d
c
a
>
>
>
【答案】D
【分析】本题考查了乘方的应用，有理数的大小比较，解题的关键是熟练掌握有理数的大小比较方法．
先根据有理数的乘方运算法则化简各数，再根据有理数的大小比较方法判断即可．
【详解】解：
20
2021
21
1
0
2
1
2
a
æ
ö
= -
ç
÷
è
ø
= -
<
，
2022
1
0
2
b =
>
，
2023
2023
1
1
0
2
2
c
æ
ö
= -
<
çè
ø
= -
÷
，
2024
1
0
2
d =
>
，
因为
2024
2022
2
2
>
，
所以
2022
2024
1
1
2
2
>
，即b
d
>
；
因为
2023
2021
2
2
>
，
所以
2023
2021
1
1
2
2
<
，
所以
2023
2021
1
1
2
2
-
> -
，即c
a
>
，
所以b
d
c
a
>
>
>
，
故选：D．
题型六、程序流程图与有理数计算
1．（24-25 七年级上·四川达州·阶段检测）如图是一个计算程序，若输入a 的值为1
- ，则输出的结果b 应为
（ ）
A．7
B．5
-
C．1
D．5
【答案】B
【分析】根据流程图，列式计算即可．
【详解】解：
2
1
2
3
4
3
3
4
9
4
5
b
é
ù
=
-
- -
´ -
+
= ´ -
+
= - +
= -
ë
û
．
2．（25-26 七年级上·湖南娄底·期末）如图，是一个数值运算程序框图，若开始输入
10
x =
，则最后输出的
结果是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．5
【答案】A
【分析】本题考查了有理数的混合运算，关键是根据输入值的类型(整数或分数)选择对应的运算，再判断运
算结果是否为奇数，若不是则循环执行，直到结果为奇数时输出．
【详解】解：输入
10
x =
，10是整数，执行运算
2
10
2
2.5
¸ -
=
，
2.5 是分数，不满足“结果为奇数”的条件，继续执行运算；
2.5 是分数，执行运算
33
2.5
16
2
+
=
，
16是整数，不满足“结果为奇数”的条件，继续执行运算；
∵16是整数，执行运算
2
16
2 | 4
¸ -
=
，
4 是整数，不满足“结果为奇数”的条件，继续执行运算；
4 是整数，执行运算
2
4
2
1
¸ -
= ，
1是奇数，满足“结果为奇数”的条件，输出结果1；
故选：A．
3．（25-26 七年级上·四川达州·期末）在如图所示的运算程序中，若开始输入x 的值是8，第1 次输出的结
果是5，依次继续下去，……，第2028 次输出的结果是________．
【答案】4
【分析】本题主要考查了有理数的运算、数字规律的探究以及周期问题的求解，熟练掌握运算程序的规则
并能找出循环周期是解题的关键．
先根据运算程序依次计算前几次的输出结果，找出循环规律，再用总次数除以循环周期，根据余数确定第
2028 次输出的结果．
【详解】解：第1 次输出：8
3
5
-
=
；
第2 次输出：5
3
2
-
=
；
第3 次输出：2
3
1
-
= - ；
第4 次输出：
2
( 1)
1
-
= ；
第5 次输出：1 3
2
-
= - ；
第6 次输出：
2
( 2)
4
-
=
；
第7 次输出：4
3
1
-
= ；
第8 次输出：1 3
2
-
= - ；
第9 次输出：
2
( 2)
4
-
=
；
．．．
从第4 次开始，输出结果按1，2
- ，4 循环，周期为3；
2028
3
3
675
-
¸
=
，余数为0，对应循环中的第3 个数；
故答案为：4．
4．（25-26 七年级上·广西崇左·期末）如图，是一个有理数混合运算程序的流程图，请根据这个程序回答问
题：当输入的x 为16
-
时，最后输出的结果y 是多少？（写出计算过程）
【答案】10
-
【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，先根据流程图求出运算结果，再把
16
x = -
代入计算即可求
解，看懂流程图是解题的关键．
【详解】解：由流程图得，
2
1
2
1
2
4
3
0.5
4
9
2
13
3
3
3
3
x
x
x
æ
ö
æ
ö
é
ù
é
ù
+
- -
´
-
¸
=
+
- -
´ -
´
= -
+
ç
÷
ç
÷
ë
û
ë
û è
ø
è
ø
，
当输入
16
x = -
时，
2
2
13
16 13
2
3
3
x
-
+
= -
´ -
+
=
，
∵2
9
> - ，
∴第二次输入，
当
2
x =
时，
2
2
13
2 13
10
9
3
3
x
-
+
= -
´
+
= -
< - ，输出，
∴输出的结果y 是10
-
．
题型七、算“24”点
1．（25-26 七年级上·云南保山·期中）有一种算“24 点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每
个数必须且只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，6
- ，10．运用上
述规则，下列算式中不正确的是（ ）
A．
4 3
6
10
´ - -
+
B．
4
6
3 10
- -
¸ ´
C．
10
6
3
4
- -
´ -
D．
4
6
10
3
+ -
+
´
é
ù
ë
û
【答案】A
【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，通过计算每个算式的值，判断是否等于24 即可得到答案．
【详解】解：A、
4 3
6
10
12
6 10
28
´ - -
+
=
+
+
=
，原式不正确，符合题意；
B、
4
6
3 10
4
2
10
4
20
24
- -
¸ ´
=
- -
´
=
+
=
，原式正确，不符合题意；
C、
10
6
3
4
10
18
4
10 18
4
24
- -
´ -
=
- -
-
=
+
-
=
，原式正确，不符合题意；
D、
4
6
10
3
4
6 10
3
8 3
24
é
ù
+ -
+
´
=
-
+
´
= ´
=
ë
û
，原式正确，不符合题意；
故选：A．
2．（25-26 七年级上·浙江丽水·期末）有一种“24 点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，将各张牌上的
数用加、减、乘、除、乘方中的几种运算（可用括号，且各数只能用一次）列一个算式，先计算结果为
“24”者获胜．现已抽出如图所示的四张牌（A 表示1），则可算“24”点的算式是________（写出一个即可）
．
【答案】
5 1 2
8
¸ -
´
【分析】根据题意和题目中的数字，可以写出一个结果为24 的算式，注意本题答案不唯一．
【详解】解：
5 1 2
8
¸ -
´
5
2
8
=
-
´
3 8
= ´
24
=
3．（25-26 六年级上·山东烟台·期中）利用下面4 张图上的点数，凑成24 的算式是_______．
【答案】
8 9
10
7
´ ¸
-
(答案不唯一)
【分析】本题考查有理数的混合运算；根据题目中的数据和题意，可以写出一个结果为24 的算式即可．
【详解】解：
8 9
10
7
´ ¸
-
8 9
3
= ´ ¸
72
3
=
¸
24
=
，
故答案为：
8 9
10
7
´ ¸
-
(答案不唯一)．
4．（25-26 七年级上·河南安阳·期中）有一种游戏叫“24 点游戏”，规则是：随机抽取4 个整数，使用学过的
运算符号把它们组成一个算式，使结果为24（每个数字只能用一次）．有一次小明在做“24 点游戏”时抽到的
4 个数分别是1
- ，4，5，11，请你写出一个算式使其结果为24：______．
【答案】
5 11
1
4
-
´ -
´
【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是灵活组合数字与运算符号，构造出结果为24 的算式．
通过对数字1
- 、4 、5 、11 进行减法、乘法运算的组合，得到结果为24 的算式．
【详解】解：计算过程：先5 11
-
，得到6
- ，
再将6
- 与1
- 相乘，得到6，
最后将6 与4 相乘，得到24，
则(5
11)
( 1)
4
24
-
´ -
´
=
．
故答案为：
5 11
1
4
-
´ -
´
5．（25-26 七年级上·河北邢台·期末）小明有5 张写着不同的数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列
各问题：
(1)从中取出2 张卡片，使这2 张卡片上数字乘积最大，最大值是________；
(2)从中取出2 张卡片，使这2 张卡片上数字相除的商最小，最小值是________；
(3)从中取出4 张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子：________．
【答案】(1)15
(2)
5
3
-
(3)
3
3
5
4
24
-
-
¸ + -
´
=
é
ù
ë
û
【分析】本题考查有理数的运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键．
（1）根据有理数乘法的法则和乘积最大，计算即可求解；
（2）根据有理数除法的法则和商最小，计算即可求解；
（3）根据有理数的混合运算法则，计算即可求解．
【详解】（1）解：Q这2 张卡片上数字乘积最大，
\取出的2 张卡片上的数字分别为3
- ，5
- 时，乘积最大，
即
3
5
15
-
´ -
=
，
故答案为：15；
（2）Q这2 张卡片上数字相除的商最小，
\取出的2 张卡片上的数字分别为5
- ，3时，商最小，
即
5
5
3
3
-
¸
= -
，
故答案为：
5
3
-
；
（3）Q结果为24，
\取出的4 张卡片上的数字分别为3
- ，5
- ，3
+ ，4
+ ，不可能为0，
则
3
3
5
4
24
é
ù
-
-
¸ + -
´
=
ë
û
．
故答案为：
3
3
5
4
24
é
ù
-
-
¸ + -
´
=
ë
û
．
题型八、含乘方的有理数混合运算
1．（25-26 七年级上·江苏无锡·阶段检测）计算：
2025
2
1
( 3)
3
1 5
-
+ -
¸ - - -
．
【答案】4
-
【分析】先算乘方、绝对值，再算除法，最后从左到右依次进行加减运算即可．
【详解】解：
2025
2
1
( 3)
3
1 5
-
+ -
¸ - - -
1 9
3
6
= - + ¸ -
1 3
6
= - + -
4
= - ．
2．（25-26 六年级上·上海·阶段检测）计算：
2
3
4
2
2
9
3
æ
ö æ
ö
-
¸ -
´ -
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
．
【答案】8
【分析】利用有理数的乘方运算进行运算，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数．
【详解】解：
2
3
4
2
2
9
3
æ
ö æ
ö
-
¸ -
´ -
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
9
4
8
4
9
-
æ
ö
=
´ -
´
ç
÷
è
ø
8
=
3．（25-26 七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）计算：
2
3
2
1
5
3
6
5
æ
ö
-
´ -
- -
¸ -
ç
÷
è
ø
．
【答案】
11
2
-
【分析】先计算乘方，再计算乘除法，最后计算减法即可．
【详解】解：
2
3
2
1
5
3
6
5
æ
ö
-
´ -
- -
¸ -
ç
÷
è
ø
1
25
27
6
25
= -
´
- -
¸ -
9
1
2
= - -
11
2
= -
．
4．（25-26 七年级上·宁夏吴忠·期末）计算：
(1)
100
4
1
5
2
4
-
´ + -
¸ ；
(2)
2
(3
5)
3
(1 3)
-
-
+
´
-
．
【答案】(1)9
(2) 16
-
【详解】（1）解：
100
4
1
5
2
4
-
´ + -
¸
1 5 16
4
= ´ +
¸
5
4
=
+
9
=
（2）解：
2
(3
5)
3
(1 3)
-
-
+
´
-
2
9
2
=
+ ´ -
2 18
=
-
16
= -
5．（25-26 七年级上·福建莆田·阶段检测）规定一种新运算：
2
1
a
b
ab
a
b
=
-
-
+
☆
，
2
3
4
3
4
3
4
1
-
= ´ -
- - -
+
☆
，请计算下列各式的值：
(1) 2
5
☆；
(2)
2
5
-
-
☆
．
【答案】(1) 16
-
(2) 12
-
【分析】根据定义列式计算即可．
【详解】（1）解：
2
2
5
2 5
2
5
1
10
2
25 1
16
=
´ -
-
+ =
-
-
+ = -
☆
；
（2）解：
2
2
5
2
5
2
5
1
10
2
25 1
12
-
-
= -
´ -
- -
- -
+ =
+
-
+ = -
☆
．
题型九、计算器——有理数
1．（24-25 六年级上·山东烟台·期中）如图，利用课本上的计算器计算时，按键顺序为
，则计算器显示的结果为（ ）
A．12
B．6
C．4
D．2
【答案】A
【分析】本题考查利用计数器进行计算，根据计算器的按键顺序，列出算式进行计算即可．
【详解】解：由按键顺序可得：
2
6
36
12
3
3
=
=
；
故选A．
2．用计算器计算
4
2
5
- ´ -
时，按键的顺序为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了利用计算器进行数的乘方运算，解决本题的关键是掌握计算器求幂时指数和底数
的按键顺序，用计算器进行数的乘方运算时，应该先按底数，再按键“
y
x ”，最后按指数，即可求得结果，
据此求解即可．
【详解】解：用计算器计算
4
2
5
- ´ -
时，
按键的顺序为
．
故选：C．
3．用计算器计算
63
2 ，按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了用计算器计算有理数的乘方，熟知计算器的按键步骤是解题的关键．
【详解】解：根据计算器计算乘方的步骤得出，只有D 选项符合题意．
故选D．
4．（24-25 六年级上·山东烟台·期中）如图，利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序如下：
则显示器显示的结果为______．
【答案】20
【分析】本题考查的是计算器的使用，有理数的混合运算，根据计算器的按键代表的运算可得答案．
【详解】解：
3
2
5
2
8
20
5
2
æ
ö
æ
ö
-
¸ -
= - ´ -
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
故答案为：20 ．
B 组 能力进阶
1．（25-26 七年级上·山东滨州·期末）在古代，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，有位
父亲为了准确记录孩子的出生天数，把绳子从右到左由细变粗且满8 进1进行记录，那么从中可以判定孩子
已经出生了（ ）
A．100天
B．90天
C．132天
D．42 天
【答案】B
【分析】本题主要考查了八进制与十进制的转换，解题的关键是理解“满8 进1”的计数规则．先确定八进制
位权，从右到左分别为
08 、
18 、
28 ，提取各数位的结数，最后按八进制转十进制公式计算即可解答．
【详解】解：孩子的出生天数是
2
1
0
1 8
3 8
2 8
90
´
+ ´
+ ´
=
（天），
能力进阶
B 组
故选：B ．
2．（25-26 七年级上·辽宁沈阳·期末）定义一种对正整数n 的“F”运算：①当n 为奇数时，结果为3
5
n + ；②
当n 为偶数时，结果为2k
n ，其中k 取使2k
n 为奇数的正整数，并且运算一直重复进行，例如，取
26
n =
时，
则有：
，将
49
n =
进行2025 次“F 运算”
的结果是（ ）
A．19
B．31
C．62
D．98
【答案】C
【分析】根据题意，依次求出每次“F 运算”的结果，发现规律即可解决问题．
【详解】解：由题知，
因为
49
n =
，
所以第1 次“F 运算”的结果是3
5
3 49
5
152
n +
= ´
+
=
，
第2 次“F 运算”的结果
152
19
2
8
k
n =
=
，
第3 次“F 运算”的结果3
5
3 19
5
62
n +
= ´
+
=
，
第4 次“F 运算”的结果
62
31
2
2
k
n =
=
，
第5 次“F 运算”的结果3
5
3 31 5
98
n +
= ´
+
=
，
第6 次“F 运算”的结果
98
49
2
2
k
n =
=
，
第7 次“F 运算”的结果3
5
3 49
5
152
n +
= ´
+
=
，
…，
由此可见，从第1 次“F 运算”的结果开始按152，19，62，31，98，49 循环．
因为2025
6
337
3
¸
=
L ，
所以第2025 次“F 运算”的结果62．
3．（25-26 七年级上·全国·阶段检测）观察下列各式：
2
2
2
1
1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
+ -
æ
ö
= -
= -
-
ç
÷
+
+
è
ø
；
2
2
2
2
2 1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
3
+
-
æ
ö
= -
= -
-
ç
÷
+
+
è
ø
；
2
2
2
3
3 1
1
1
1
1
1
3
3
3
3
3
4
+ -
æ
ö
= -
= -
-
ç
÷
+
+
è
ø
¼¼
计算：
2
2
2
2
1
5
11
2025
2025 1
2
2
2
3
3
2025
2025
+
-
+
+
+¼+
=
+
+
+
________．
【答案】
1
2024 2026
【分析】本题主要考查了数字的变化规律以及裂项相消法的应用，熟练掌握通过观察式子找到规律并运用
裂项相消法计算是解题的关键．
先根据所给式子的规律，将每一项进行变形，然后通过裂项相消的方法进行计算．
【详解】解：由题意得，原式
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
3
3
4
2025
2026
é
ù
é
ù
é
ù
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
-
-
+
-
-
+
-
-
+¼+
-
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
ê
ú
ê
ú
ê
ú
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
ë
û
ë
û
ë
û
1
1
1
1
1
1
1
2025 1
1
2
2
3
3
4
2025
2026
æ
ö
=
´ -
-
+
-
+
-
+¼+
-
ç
÷
è
ø
1
2025 1
2026
=
- +
1
2024 2026
=
．
4．（25-26 七年级上·河南南阳·期末）阅读以下内容：
2
1
1
1
x
x
x
-
+
=
-
2
3
1
1
1
x
x
x
x
-
+
+
=
-
3
2
4
1
1
1
x
x
x
x
x
-
+
+
+
=
-
）
¼¼
根据这一规律，计算：
2
3
4
2026
1
2
2
2
2
2
+
+
+
+
+
+
=
L
________．
【答案】
2027
2
1
-
【分析】本题主要考查有理数的乘方，对于任意正整数n ，有
1
2
1
1
1
n
n
n
x
x
x
x
x
-
- +
-
+
+
+
=
-
L
，令
2
x =
，
2027
n =
，即可求得答案．
【详解】根据题意可知，对于任意正整数n ，有
1
2
1
1
1
n
n
n
x
x
x
x
x
-
- +
-
+
+
+
=
-
L
．
令
2
x =
，
2027
n =
，可得
2026
2025
2027
2
1
2
2
2
1
2
1
-
´
+
+
+
+
=
-
L
．
即
2
3
4
2026
2027
1
2
2
2
2
2
2
1
+
+
+
+
+
+
=
-
L
．
故答案为：
2027
2
1
-
5．（25-26 七年级上·湖南常德·期末）定义一种新运算“Ä”，规则为：
b
a
b
a
ab
b
Ä
=
-
+
，例如：
2
1
2
1
1 2
2
1
Ä
=
- ´ +
= ，解答下列问题：
(1)
3
2
-
Ä
；
(2)
1
1
2
é
ù
-
Ä
-
Ä
ë
û ．
【答案】(1)17
(2)9
【分析】本题结合新定义运算考查了有理数的混合运算，关键是准确把握新运算
b
a
b
a
ab
b
Ä
=
-
+
的运算规
则，严格按照有理数的运算顺序和运算法则进行计算．
（1）直接将
3
a
-
=
、
2
b =
代入新运算的表达式
b
a
ab
b
-
+
中，按照“先乘方，再乘法，最后加减”的有理数
运算顺序依次计算，即可求出结果；
（2）需遵循“先算括号内，后算括号外”的运算顺序，先将
1
a
-
=
、
2
b =
代入新运算表达式求出
1
2
-
Ä 的
结果，再将此结果作为新的b 值，保持
1
a
-
=
不变，再次代入新运算表达式进行计算，即可得到最终结果．
【详解】（1）解：根据新运算规则
b
a
b
a
ab
b
Ä
=
-
+
，
将
3
a
-
=
，
2
b =
代入得：
2
3
2
( 3)
3
2
2
9
6
2
17
-
Ä
= -
- -
´ +
=
+
+
=
；
（2）解：先计算括号内的
1
2
-
Ä ，
将
1
a
-
=
，
2
b =
代入得：
2
1
2
( 1)
1
2
2
1
2
2
5
-
Ä
= -
- -
´ +
= +
+
=
，
再计算
1
5
-
Ä ，将
1
a
-
=
，
5
b =
代入得：
5
1
5
( 1)
1
5
5
1 5
5
9
-
Ä
= -
- -
´ +
= - + +
=
．
6．（25-26 七年级上·全国·寒假作业）记
1
2
M
=-
，
2
2
2
M
= -
´ -
，
3
2
2
2
M
= -
´ -
´ -
，…，
2
2
2
n
n
M
= -
´ -
´
´ -
L
144424443
个
(1)填空：
5
M
= ______，
1000
M
是一个______（填“正数”或“负数”）．
(2)计算
6
7
M
M
+
的值．
(3)当
0
n
M
<
时，求
1
2014
1007
n
n
M
M
+
+
的值．
【答案】(1) 32
-
；正数
(2) 64
-
(3)0
【分析】此题考查数字的变化规律，掌握乘方的意义，判定负数乘方的计算结果是解决问题的关键．
（1）根据有理数的乘法法则得出答案即可；
（2）先根据乘法法则计算，再根据有理数的加法计算，可得答案；
（3）由题意可得
2n
n
M
= -
，
1
1
2n
n
M
+
+ =
，然后代入计算即可求解．
【详解】（1）解：
5
2
2
2
2
2
32
M
= -
´ -
´ -
´ -
´ -
= -
，
1000
M
由1000 个2
- 相乘，则
1000
M
是一个正数，
故答案为：32
-
；正数；
（2）解：
6
2
2
2
2
2
2
64
M
= -
´ -
´ -
´ -
´ -
´ -
=
，
7
2
2
2
2
2
2
2
128
M
= -
´ -
´ -
´ -
´ -
´ -
´ -
= -
，
所以
6
7
64 128
64
M
M
+
=
-
= -
；
（3）解：
0
n
M
<
Q
，则n 为奇数，
2
2
2
2n
n
n
M
\
= -
´ -
´
´ -
= -
n
L
个
，
1
1
2n
n
M
+
+ =
，
1
1
1
1
2014
1007
2014
2
1007
2
1007
2
1007
2
0
n
n
n
n
n
n
M
M
+
+
+
+
\
+
=
´ -
+
´
= -
´
+
´
=
．
C 组 思维拔高
1．
定义：如果10b
n
=
，那么称b 为n 的劳格数，记为
b
d n
=
．
(1)根据劳格数的定义，可知：
10
1
d
= ，
2
10
2
d
=
，那么
3
10
d
= ．
(2)劳格数有如下运算性质：若m，n 为正数，则
d mn
d m
d n
=
+
；
m
d
d m
d n
n
æ
ö =
-
ç
÷
è
ø
，如
25
5 5
5
5
2
5
d
d
d
d
d
=
´
=
+
=
．根据运算性质，填空：
5
(2 )
(2)
d
d
= ．
(3)在（1）（2）的条件下，若
3
0.477
d
=
，求
9
d
和
3
10
d æ
ö
ç
÷
è
ø 的值．
【答案】(1)3
(2)5
思维拔高
C 组
核心素养
(3)
9
0.954
d
=
，
3
0.523
10
d æ
ö = -
ç
÷
è
ø
【分析】（1）根据劳格数的定义求解即可；
（2）根据劳格数的性质得到
52
5
2
d
d
=
，据此求解即可；
（3）根据劳格数的性质可得，
9
3
3
d
d
d
=
+
、
3
3
10
10
d
d
d
æ
ö =
-
ç
÷
è
ø
，据此求解即可．
【详解】（1）解：根据劳格数的定义可得，
3
10
3
d
=
；
（2）解：由劳格数的性质可得，
52
2
2
2
2
2
5
2
d
d
d
d
d
d
d
=
+
+
+
+
=
，
所以
52
5
2
5
2
2
d
d
d
d
=
=
；
（3）解：由劳格数的性质可得，
9
3
3
0.477
0.477
0.954
d
d
d
=
+
=
+
=
，
则
3
3
10
0.477 1
0.523
10
d
d
d
æ
ö =
-
=
- = -
ç
÷
è
ø
．
2．
（25-26 七年级上·四川自贡·阶段检测）【概念学习】规定：求n 个相同的有理数（均不
等于0）的商的运算叫做除方，比如2
2
2
¸
¸ ，
3
3
3
3
-
¸ -
¸ -
¸ -
等，类比有理数的乘方，我们把2
2
2
¸
¸
写作2③，读作“2 的3 次商”；
3
3
3
3
-
¸ -
¸ -
¸ -
写作
3
-
④，读作“ 3
- 的4 次商”，一般地，把
0
a
a
a
a a
¸
¸
¸
¸
¹
L
这样n 个a 相除，写作
n
ad ，读作“a 的n 次商”．
【初步探究】
（1）请直接写出计算结果：5
=
②
______，
4
3
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
③
______；
（2）下列关于除方说法中，错误的是（ ）（单选）．
A．当
0
m ¹
时，
1
m
=
②
B．当
0
m ¹
时，
1
m
m
æ
ö
-
= -
ç
÷
è
ø
③
C．正数的n 次商结果是正数，负数的n 次商结果是负数
D．n 次商等于它本身的数是1
【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有
理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
新趋势
新定义问题
除方→
3
1
1
1
1
1
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
æ
ö
=
¸ ¸ ¸ ¸
= ´
´
´
´
= ç
÷
è
ø
⑤
→乘方（幂）的形式；
（3）归纳：请把有理数a 的n 次商（
0
a ¹
，
3
n ³
），写成乘方（幂）的形式为：a
=
ⓝ
______；
（4）计算：
1
1
2
48
2
4
æ
ö
æ
ö
´ -
- -
¸
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
⑥
④
⑤
．
【答案】（1）1，
3
4
-
（2）C
（3）
2
1
n
a
-
æ
ö
ç
÷
è
ø
（4）5
【分析】本题主要考查了有理数的除法运算，有理数的乘方运算，含乘方的有理数混合运算等知识点，读
懂题意，深刻理解题中所给除方的定义是解题的关键．
（1）根据除方的定义进行计算即可；
（2）根据除方的定义逐项分析判断即可；
（3）根据题中所给示例进行计算即可得出答案；
（4）先根据（3）的结论把除方转化为乘方，再按有理数运算法则计算．
【详解】解：（1）由题知：5
5
5
1
=
¸
=
②
，
4
4
4
4
3
3
3
3
3
4
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
= -
¸ -
¸ -
= -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
③
，
故答案为：1，
3
4
-
；
（2）由题知：
A．当
0
m ¹
时，
1
m
m
m
=
¸
=
②
，
该说法正确，故选项A 不符合题意；
B．当
0
m ¹
时，
1
1
1
1
m
m
m
m
m
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
-
¸ -
¸ -
= -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
=
③
，
该说法正确，故选项B 不符合题意；
C．当x 为正数时，x 的n 次商表示n 个x 相除，结果是正数，
当x 为负数时，奇数个负数相除结果为负，偶数个负数相除结果为正，
该说法错误，故选项C 符合题意；
D．由除方的定义可知，n 次商等于它本身的数是1，
该说法正确，故选项D 不符合题意；
故选：C ；
（3）由题知：
n
a
a
a
a
a
=
¸
¸
¸
¸
L
1442443
个
ⓝ
2
1
1
1
1
n
a
a
a
a
a
-
=
´
´
´
´
´
L
144244
3
个
2
1
n
a
-
æ
ö
= ç
÷
è
ø
，
故答案为：
2
1
n
a
-
æ
ö
ç
÷
è
ø
；
（4）
1
1
2
48
2
4
æ
ö
æ
ö
´ -
- -
¸
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
⑥
④
⑤
3
4
2
1
2
48
4
2
æ
ö
=
´ -
- -
¸
ç
÷
è
ø
1
1
16
48
8
16
=
´
- -
´
2
3
=
- -
2
3
=
+
5
=
．
拓展 衔接中考
1．（2026·四川攀枝花·中考真题）“快乐数”是指将正整数的每一位数字平方后相加，得到的新数再重复这一
过程，最后结果为1 的数．以“快乐数”70 为例：
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
7
0
49
4
9
97
9
7
130
1
3
0
10
1
0
1
+
=
Þ
+
=
Þ
+
=
Þ
+
+
=
Þ
+
= ，则下列数中不是“快乐数”的是
（ ）
A．3
B．7
C．13
D．31
【答案】A
衔接中考
拓展
【分析】根据“快乐数”的定义，对各选项依次重复计算每一位数字的平方和，最终结果为1 就是快乐数，否
则不是．
【详解】解：A、∵
23
9
=
，
2
9
81
=
，
2
2
8
1
65
+
=
，
2
2
6
5
61
+
=
，
2
2
6
1
37
+
=
，
2
2
3
7
58
+
=
，
2
2
5
8
89
+
=
，
2
2
8
9
145
+
=
，
2
2
2
1
4
5
42
+
+
=
，
2
2
4
2
20
+
=
，
2
2
2
0
4
+
=
，
2
4
16
=
，
2
2
1
6
37
+
=
，
∴计算进入循环，无法得到1，故3 不是快乐数；
B、∵
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
7
49
4
9
97
9
7
130
1
3
0
10
1
0
1
=
Þ
+
=
Þ
+
=
Þ
+
+
=
Þ
+
= ，
∴最终结果为1，故7 是快乐数；
C、∵
2
2
1
3
10
+
=
，
2
2
1
0
1
+
= ，
∴最终结果为1，故13 是快乐数；
D、∵
2
2
3
1
10
+
=
，
2
2
1
0
1
+
= ，
∴最终结果为1，故31 是快乐数．
2．（2025·江苏镇江·中考真题）2024 年全市共接待国内游客约55510800 人次，其中数据55510800 可表示
为（ ）
A．55510.8 万
B．5551.08 万
C．555.108 万
D．55.5108 万
【答案】B
【分析】本题主要考查了有理数的乘方，根据
4
55510800
5551.0800 10
=
´
，1 万
4
10
=
解答即可得．
【详解】解：
4
55510800
5551.0800 10
5551.08
=
´
=
万，
故选：B．
3．（2025·四川巴中·中考真题）所有放射性物质都有自己的半衰期．半衰期是放射性物质的质量缩减为原来
的一半所用的时间，是一个不变的量．质量为m 的放射性物质，经历了3个半衰期后的质量为（ ）m ．
A．1
3
B．1
4
C．1
6
D．1
8
【答案】D
【分析】本题考查有理数乘方的应用．
根据题意可知每经历一个半衰期，质量变为原来的1
2 ，由此可得经历3个半衰期后的质量．
【详解】解：
3
1
1
2
8
m
m
æ
ö
=
ç
÷
è
ø
，
∴经历了3个半衰期后的质量为1
8 m．
故选：D．
4．（2025·山东威海·中考真题）2025 年5 月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相
比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率．
二进制数的组成数字为0，1．十进制数22 化为二进制数：
4
3
2
1
0
2
22
1 2
0 2
1 2
1 2
0 2
10110
= ´
+ ´
+ ´
+ ´
+ ´
=
．
传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22 化为三进制数：
2
1
0
3
22
2 3
1 3
1 3
211
=
´
+ ´
+ ´
=
．
将二进制数
2
1011 化为三进制数为（ ）
A．
3
102
B．
3
101
C．
3
110
D．
3
12
【答案】A
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，理解例题的计算方法，按照例题代入计算即可．
将二进制数转换为三进制数，需先将二进制数转换为十进制数，再将十进制数转换为三进制数．
【详解】∵二进制数
2
1011 的各位权值从右到左依次为
0
1
2
3
2 ,2 ,2 ,2 ，
对应数值为：
3
2
1
0
10
1 2
0 2
1 2
1 2
8
0
2 1
11
´
+ ´
+ ´
+ ´
=
+
+
+ =
∴二进制数
2
1011 对应的十进制数为 11．
将十进制数 11 转换为三进制数，采用“除3 取余法”：
11 3
3
¸
=
，余数为2；
3 3
1
¸
= ，余数为0；
1 3
0
¸
=
，余数为1．
将余数倒序排列，得到三进制数为
3
102 ．
故选：A．
