文档文本内容
1.2.4 绝对值
课标要点
1. 理解绝对值的代数定义与几何意义；
2. 会求任意有理数的绝对值；
3. 借助绝对值认识数轴上点到原点的距离。
学习重难点
重点：
绝对值概念，求有理数的绝对值。
难点：
理解绝对值非负性；已知绝对值反求原数。
第一章
有理数
知识点
绝对值
◆1、绝对值的定义：一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值，记作 | a |，读作
“a 的绝对值”.
【注意】任何数都有绝对值，并且只有一个，数 a 的绝对值是数轴上表示它的点到原点的距离，因为距
离不可能是负数，所以数 a 的绝对值 | a |为非负数，即 | a |≥0.
◆2、绝对值的性质：
（1）一个正数的绝对值是正数；一个负数的绝对值是正数； 0 的绝对值是 0.
（2）字母 a 表示一个有理数，则
)
0
(
0
)
0
(
)
0
(
|
|
a
a
a
a
a
a
（3）在数轴上，表示一个数的点离原点越近，这个数的绝对值越小；离原点越远，这个数的绝对值越大.
（4）互为相反数的两个数的绝对值相等；绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数.
（5）几个非负式的和为 0，则这几个式子都为 0.
随学随练
1．（24-25 七年级上·新疆和田·阶段检测）−
2
3的相反数是________，−
2
3的绝对值是________，绝对值是5的
数是________．
2．已知数轴上A、B 两点间的距离为5，若点A 表示的数为−2，则点B 表示的数为（ ）
A．3
B．−7
C．3 或−7
D．± 5
题型一 求一个数的绝对值
▌例1 （2026·浙江杭州·三模）−3的绝对值是（ ）
A．3
B．± 3
C．
1
3
D．−
1
3
▌对点练1-1 |−
1
2027|等于（ ）
A．2027
B．−2027
C．
1
2027
D．−
1
2027
▌对点练1-2
22
7 的绝对值是（ ）
A．−
22
7
B．−
7
22
C．
7
22
D．
22
7
▌对点练1-3（25-26 七年级上·湖南长沙·阶段检测）化简： |−−
7
3 | = ___________________
▌对点练1-4 化简−−−
1
4
= _______．
题型二 已知绝对值求数
▌例2（2026·山东青岛·三模）绝对值等于2026 的数是（ ）
A．2026
B．−2026
C．± 2026
D．±
1
2026
▌对点练2-1 （25-26 七年级上·湖南常德·期中）若|𝑎| = 5，则−𝑎的相反数是（ ）
A．5
B．−5
C．5 或−5
D．
1
5
▌对点练2-2 一个数的绝对值是4，则这个数是______．
▌对点练2-3 一个数的绝对值是4
2
3，则这个数是_____．
▌对点练2-4 （26-27 七年级·全国·暑假作业）如果|𝑥| = 2025，则𝑥= ______，如果|𝑥| = |−2025|，则
𝑥= ______．化简：|3−𝜋| = ______．
解题贴士
利用绝对值的性质求一个数的绝对值，一个正数的绝对值是正数；一个负数的绝对值是正数； 0 的绝
对值是 0.
解题贴士
若绝对值等于正数，解为正负两数；
若绝对值等于 0，解只有 0；
题型三 绝对值非负性的应用
▌例3 已知|x﹣2|+|y﹣6|＝0，则xy＝ ．
▌对点练3-1 （24-25 七年级上·湖南长沙·期末）|𝑎−1| + |𝑏−3| = 0，则a 和b 各为（ ）
A．−1，−3
B．1，3
C．1，−3
D．−1，3
▌对点练3-2 若|a﹣1|+|b﹣3|＝0，则b﹣a−1
2的值是（ ）
A．﹣41
2
B．﹣21
2
C．﹣11
2
D．11
2
▌对点练3-3（26-27 七年级·浙江·暑假作业）（1）若|𝑥| + |𝑦| = 0，则𝑥= ______，𝑦= _______．
（2）若|𝑎−6| + |𝑏| = 0，则𝑎= _____，𝑏= _____．
▌对点练3-4 若有理数a，b 满足|a﹣20|+|b+19|＝0，则|a|﹣|b|＝ ．
题型四 利用绝对值求最值
▌例4 （26-27 七年级·浙江·暑假作业）代数式|𝑎−3|的最小值是_____，|𝑎| +3的最小值是_____．
▌对点练4-1 （26-27 七年级·全国·小升初衔接）代数式|𝑎−1|−1的最小值是（ ）
A．0
B．−1
C．1
D．2
解题贴士
1、数a 的绝对值 | a |为非负数，即 | a |≥0.
2、几个非负式的和为 0，则这几个式子都为 0.
解题贴士
主要是利用绝对值的非负性，求最值.
含+|A|：代数式有最小值，令A=0 求得；
含-|A|：代数式有最大值，令(A=0)求得。
▌对点练4-2 （2025 七年级上·全国·专题练习）如果𝑥为有理数，代数式2024−|𝑥−2|存在最大值，这个最
大值是（ ）
A．2022
B．2023
C．2024
D．2025
▌对点练4-3（23-24 七年级上·四川绵阳·阶段检测）若a 是有理数，则|𝑎−1| + 2的最小值是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
▌对点练4-4（26-27 七年级·浙江·暑假作业）回答下列问题
(1)代数式|𝑎−2|的最小值是_____
(2)6−|𝑎|有最__值是_____
题型五 利用绝对值解决实际问题
▌例5 （2026·辽宁鞍山·一模）超市对销售的10kg装大米进行抽检，如表记录了其中4 种不同品牌被抽检大
米的重量，则最符合标准重量的品牌编号是（ ）
品牌编号
①
②
③
④
超出标准的重量（千克）
+0.06
−0.01
+0.12
−0.2
A．①
B．②
C．③
D．④
▌对点练5-1 （2026·吉林长春·一模）中考所用排球的重量有严格标准，现有四个排球，超过标准质量的克
数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的是（ ）
A．
B．
C．
D．
▌对点练5-2 （25-26 七年级上·河南南阳·阶段检测）在11 月16 日第十五届全运会女子铅球决赛中，36
岁的老将巩立姣以绝对优势成功夺冠，书写了全运会女子铅球五连冠的传奇！女子铅球的标准质量是4kg，
以4kg为标准，超过的质量记为正，不足的记为负，下列质量的铅球中最接近标准的是（ ）
解题贴士
本题中用绝对值的大小表示产品直径与标准直径的接近程度，由绝对值的几何意义，可知一个数的绝对
值越小，其在数轴上对应的点距离原点越近，在这个实际问题中，绝对值越小表示产品直径的尺寸与标
准直径的尺寸偏差越小.
A．+ 0.002kg
B．−0.010kg
C．−3.999kg
D．−0.250kg
▌对点练5-3 （25-26 七年级上·全国·期末）检查5 个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足
标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表：
篮球编号
1
2
3
4
5
与标准质量的差/g
+4
+7
−3
−8
−9
(1)几号篮球最接近标准质量？
(2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为+3g和−5g，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球
的质量好一些？
▌对点练5-4 已知某零件的标准直径是10mm，超过规定直径长度的数量记作正数，不足规定直径长度的数
量记作负数，检验员某次抽查了五件样品，检查的结果如下：
序号
1
2
3
4
5
直径长度/mm
+0.1
−0.15
−0.2
−0.05
+0.25
(1)试指出哪件样品的大小最符合要求?
(2)如果规定误差的绝对值在0.18mm之内是正品，误差的绝对值在0.18mm~0.22mm之间的是次品，误差的
绝对值超过0.22mm的是废品，那么上述五件样品分别属于哪类产品?
题型六 数轴、相反数、绝对值的综合应用
▌例6 我们知道，|𝑎|可以理解为|𝑎−0|，它表示：数轴上表示数a 的点到原点的距离，这是绝对值的几何意
义，进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b 表示，那么A，B 两点之间的距离为𝐴𝐵= |𝑎−𝑏|，反
过来，式子|𝑎−𝑏|的几何意义是：数轴上表示数a 的点和表示数b 的点之间的距离，利用此结论，回答以下
问题：
(1)数轴上表示数−5的点和表示数3 的点之间的距离可用绝对值表示为 ，结果是 ；
(2)数轴上点A 用数a 表示，则|𝑎−3|表示
；若|𝑎−3| = 2，则𝑎=
；
(3)数轴上点A 用数a 表示，则|𝑎−(−3)|表示
；若|𝑎−(−3)| = 2，则𝑎=
；
▌对点练6-1 （25-26 七年级上·全国·单元测试）如图，在数轴上有𝐴，𝐵，𝐶三个点．
(1)𝐴，𝐵，𝐶这三个点表示的数分别是多少？
(2)𝐴，𝐵两点间的距离是多少？𝐴，𝐶两点间的距离是多少？
(3)若将点𝐴向右移动5个单位长度后，则𝐴，𝐵，𝐶这三个点所表示的数谁最大？表示的数最大的点与表示的
数最小的点的距离是多少？
解题贴士
1、相反数所对应的点在原点的两侧，到原点的距离的相等，绝对值表示数轴上点到原点距离；
2、|a-b | 代表数轴 a、b 两点间距；
3、求最值：定点分区间分段判断；
▌对点练6-2 已知下列有理数：－4，－2
1
2，4
1
2，－1，2.5，3
(1)在给定的数轴上表示这些数：
(2)这些数中是否存在互为相反数的两个数？若存在，请指出来，并写出这两个数之间所有的整数；
(3)这些数在数轴上表示的点中是否存在两点之间的距离等于7 的两个数？若存在，请指出来．
▌对点练6-3（24-25 七年级上·湖南湘潭·阶段检测）阅读下列材料，回答问题．
经过有理数运算的学习，我们知道|5−3|可以表示5 与3 之差的绝对值，同时也可以理解为5 与3 两个数在
数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理，|5−(−2)|可以表示5 与−2
之差的绝对值，也可以表示5 与−2两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探究：
(1)|4−1| 表示数轴上 与 所对应的两点之间的距离．
(2)|𝑥−3|表示数轴上有理数x 所对应的点与 所对应的两点之间的距离；|𝑥+ 2|表示数轴上有理数x 所对应的
点与 所对应的两点之间的距离．
(3)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数x，使得|𝑥+ 2| + |𝑥−2| = 4．
▌对点练6-4 观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离，3与5，6与−2，−4与3，−2与−6，并回答下列
各题：
(1)若数轴上的点𝐴表示的数为6，点𝐵表示的数为−2，则𝐴与𝐵两点间的距离是________；
(2)若数轴上的点𝐴表示的数为𝑥，点𝐵表示的数为3，则𝐴与𝐵两点间的距离可以表示为_____（用含𝑥的代数式
表示）；
(3)若数轴上的点𝐴表示的数为𝑥，结合数轴可求得|𝑥+ 4| + |𝑥−2|的最小值为______．
基础通关
1．（25-26 七年级上·湖南长沙·阶段检测）下列计算结果为4 的是（ ）
A．−(−4)
B．−( +4)
C．+ (−4)
D．−|−4|
2．（26-27 七年级·江苏·小升初衔接）如图所示的数轴，字母a 表示的数的绝对值可能是（ ）
A．2.3
B．1.7
C．1
D．0.8
3．（23-24 七年级上·湖南邵阳·期中）如图，数轴的单位长度为1，如果点A，B 表示的数的绝对值相等，
那么点A 表示的数是（ ）
A．−4
B．−3
C．0
D．3
4．（22-23 七年级上·广东汕头·期中）下列各对数中，互为相反数的是（ ）
A．2 与
1
2
B．−(−3)和+ |−3|
C．−(−2)与−|−2|
D．+ (−5)与−( +5)
5．（25-26 七年级上·全国·阶段检测）数轴上点𝐴 表示的数是 −1，点𝐵 表示的数是𝑥，若𝐴、𝐵 两点间的
距离为 4，则𝑥 的值为（ ）
A．3
B．−5
C．3 或 −5
D．无法确定
6．（新疆维吾尔自治区阿克苏地区温宿县第二中学2024-2025 学年第一学期七年级数学学情自测试卷）已
知|𝑥| = 5，|𝑦| = 4，则x 的值为______，y 的值为______．
7．（24-25 七年级上·四川巴中·阶段检测）小红做作业的时候不小心在作业本上滴上了墨水（如图），现在
知道A 点表示的数是
1
2，若B 点表示的数为b，则|𝑏| = ____________．
素养提升
8．（2026·内蒙古通辽·二模）如果|𝑥| = −𝑥，那么𝑥的值可以是（ ）
A．3
B．2
C．−1
D．1
9．（2025 七年级上·四川南充·专题练习）下列说法中不正确的有（ ）
①1 是绝对值最小的数；②0 既不是正数，也不是负数； ③0 的相反数是0；④绝对值等于本身的数是正数．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
10．（26-27 七年级·全国·暑假作业）若x 为任意有理数，|𝑥|表示在数轴上𝑥表示的点到原点的距离，|𝑥−𝑎|
表示在数轴上𝑥表示的点到𝑎表示的点的距离，则|𝑥+ 3| + |𝑥−2|的最小值为______．
11．（25-26 七年级上·辽宁营口·阶段检测）已知𝑎、𝑏是有理数，|𝑎| = −𝑎，|𝑏| = 𝑏，且|𝑎|＞|𝑏|＞0，用数
轴上的点来表示𝑎，𝑏，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．写出下列各数的相反数及绝对值，然后在数轴上标出下列各数：
−3，+1，2
1
2，−1.5，6，−
1
3，4.5
迁移创新
13．（25-26 七年级上·广东惠州·期中）已知数轴上的点A、B、C、D 分别表示−3,−1.5,0,4，
(1)请在数轴上标出A、B、C、D 四个点；
(2)B、C 两点之间的距离是
；
(3)如果把数轴的原点取在点B 处，其余条件都不变，那么点D 表示的数是
．
14．（25-26 七年级上·河南郑州·阶段检测）数学课上，老师讲解了绝对值的几何意义，|4−(−2)|表示4与−2
的差的绝对值，实际上也可理解为4与−2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|𝑎+ 𝑏|可变形为
|𝑎−(−𝑏)|，也可理解为𝑎与−𝑏两数在数轴上所对应的两点之间的距离．根据这一原理，请解答如下问题．
(1)求|5−(−3)|的值；
(2)若|𝑥+ 4| = 7，求𝑥的值；
(3)请你找出所有符合条件的整数𝑥，使得|𝑥−2| + |𝑥+ 3| = 5．
15．（25-26 七年级上·黑龙江七台河·期中）（1）数轴上点A，B 对应的数分别是a，b，则𝐴𝐵= |𝑎−𝑏|，
若点A 在数轴上表示3，点B 在数轴上表示1，那么𝐴𝐵=
；
（2）在数轴上表示x 的点与−1的距离是3，那么𝑥=
；
（3）在数轴上表示a 的点位于−4和3 之间（包含两端），求|𝑎+ 4| + |𝑎−3|的值；
（4）对于任意有理数x，则|𝑥−3| + |𝑥−6|的最小值是
．
