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1.2.4 绝对值
学习目标：1.理解绝对值的概念及性质.
2.会求一个有理数的绝对值.
重点：理解绝对值的概念及性质.
难点：会求一个有理数的绝对值.
知识点一 绝对值的定义
一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|，读作“a的绝对
值”.
注意：a可以是正数、负数和0，由于数的绝对值是两点之间的距离，所以绝对值不可能是
负数。
即学即练1 （2023秋·黑龙江绥化·七年级统考期末）绝对值最小的有理数是（ ）
A．1 B．-1 C．0 D．没有
【答案】C
【分析】熟悉绝对值的性质：正数的绝对值大于0，负数的绝对值也是大于0，0的绝对值
是0；根据绝对值的性质进行解答，即可求得答案．
【详解】正数的绝对值大于0，负数的绝对值也是大于0，0的绝对值是0，所以绝对值最
小的数是0．
故选C．
【点睛】本题考查了绝对值，掌握绝对值的性质是解题的关键．
即学即练2 如果|x|=2023，那么x= ．【答案】±2023
【分析】根据绝对值的定义解答即可．
【详解】解：∵|x|=2023，
∴x=±2023，
故答案为：±2023．
【点睛】本题考查绝对值，解题的关键是掌握正数的绝对值等于本身，负数的绝对值等于
它的相反数．
知识点二 绝对值的性质
（1）一个正数的绝对值是它本身;
（2）一个负数的绝对值是它的相反数;
（3）0的绝对值是0.
(1)任意一个数的绝对值都是非负数，绝对值最小的数是 0.
(2)绝对值是它本身的数是非负数,即当|a|=a时,a是正数或0(即非负数);绝对值是它的相
反数的数是非正数，即当|a|=-a时,a是负数或0(即非正数).
（3）对于任意有理数都有|a|≥0，即：
3
5
（4）互为相反数的两个数的绝对值相等，即若a，b互为相反数，则|a|＝|b|;绝对值相等
的两个数相等或互为相反数，即若|a|＝|b|，则a＝b或a＝-b（a+b＝0）.
（5）在数轴上，一个数对应的点离原点越近，它的绝对值越小;离原点越远，它的绝对值
越大.
（6）任何有理数的绝对值都不小于它本身，即|a|≥a.即学即练 （2023秋·陕西咸阳·七年级统考期末）已知数轴上表示4x+2的点到原点的距
离为10，表示1-x的点在原点的左侧，求x的值．
【答案】2
【分析】根据绝对值的意义以及数轴上点的特性即可求出答案．
【详解】解：∵数轴上表示4x+2的点到原点的距离为10，
∴|4x+2|=10，
∴4x+2=10或4x+2=-10，
∴x=2或x=-3．
当x=2时，1-x=-1在原点左侧；
当x=-3时，1-x=4在原点右侧．
∵表示1-x的点在原点的左侧，
∴x=2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了绝对值的意义和数轴上的点，解题的关键在于熟练掌握绝对值的意义．
知识点三 绝对值非负性的应用
若几个数的绝对值的和为0，则这几个数同时为0.
拓展：若几个非负数的和为 0,则每个非负数都为 0.
解题技巧：若|a|+|b|+|c|+…=0，则有|a|=0，|b|=0，|c|=0，…，所以a=0，b=0，c
=0，….
| 1|
即学即练1 （2023秋·广东梅州·七年级校考阶段练习）若 a- +|b-5|=0，则a=
2
，b= ．
1
【答案】 /0.5 5
2
【分析】根据绝对值的非负性进行求解即可．
| 1| | 1|
【详解】解：∵ a- +|b-5|=0， a- ≥0，|b-5|≥0，
2 2
| 1|
∴ a- =|b-5|=0，
21
∴a- =0，b-5=0，
2
1
∴a= ，b=5，
2
1
故答案为： ，5．
2
【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性，熟知几个非负数相加的结果为0，那么这几个
非负数的值都为0是解题的关键．
即学即练2 若(x-1) 2+|y+3|=0，则x- y= ．
【答案】4
【分析】根据非负数的性质列出方程求出x，y的值，代入代数式计算即可．
【详解】根据题意得：¿
解得：¿
则x- y=1-(-3)=4
故答案为：4．
【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0，这几个非负数都为0．
知识点四 有理数的大小比较
方 法 内 容
利用数轴 在数轴上表示的两个数或几个数，右边的数总比左边的数大
（1）正数大于0，0大于负数，正数大于负数;
利用法则 （2）两个负数，绝对值大的反而小;
（3）两个正数，绝对值大的数大
即学即练1 比较下列各组数的大小：
(1)-100与1
2
(2)-(- )
与-|+2|
3
5 4
(3)
- 与-
6 5| 2| | 3|
(4) - 与 -
3 4
【答案】(1)-100<1
2
(2)-(- )>-|+2|
3
5 4
(3)- <-
6 5
| 2| | 3|
(4) - < -
3 4
【分析】（1）根据正数与负数的特点即可得出结论；
（2）先去括号与绝对值符号，再比较大小即可；
（3）根据负数比较大小的法则进行比较即可；
（4）先去绝对值符号，再比较大小即可．
【详解】（1）解：∵-100<0，1>0，
∴-100<1；
2 2
（2）解：∵-(- )= >0，-|+2|=-2<0，
3 3
2
∴-(- )>-|+2|；
3
| 5| 5 25 | 4| 4 24 25 24
（3）解： - = = ， - = = ，且 > ，
6 6 30 5 5 30 30 30
5 4
∴- <- ；
6 5
| 2| 2 8 | 3| 3 9 8 9
（4）解： - = = ， - = = ，且 < ，
3 3 12 4 4 12 12 12
| 2| | 3|
∴ - < - ．
3 4
【点睛】本题考查的是有理数的大小比较，熟知负数比较大小的法则是解答此题的关键．
即学即练2 （1）在数轴上分别表示出下列三个数：-(-1)，|-4|，+(-2.5)，
（2）有理数m、n在数轴上的对应点如图所示：①在数轴上分别表示出数-n，|m| ，
②把m，n，-n，|m|这四个数从小到大用“<”号连接．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②-n0，求a-b的值
b
（ ）
A．1或-1 B．5或-5 C．5 D．1
【答案】A
a
【分析】根据|a|=4，b2=9， >0算出a，b的值即可解答；
b
【详解】由|a|=4，b2=9可得：
a=4,a=-4，
b=3,b=-3，
a
又 >0
b
∴a=4,b=3或a=-4,b=-3
∴a-b=1或-1
故选A
【点睛】该题主要考查了绝对值、平方运算，掌握绝对值、平方运算是解答该题的关键．
举一反三1 （2023秋·山西晋城·七年级统考期末）若|a|=8，|b|=5，且a+b＞0，那
么a-b= .
【答案】3或13
【分析】根据绝对值的定义求出a,b，然后即可求解a-b的值.
【详解】解：∵|a|=8，|b|=5，且a+b＞0
∴a=8，b=±5
∴a-b=13或3
故答案为13或3.
【点睛】本题主要考查了绝对值的定义，学会求解一个数的绝对值是解题的关键.
举一反三2 计算：| 1|
(1)
- -4
5
(2)|-4|+|3|+|0|
(3)-|+(-8)|
1
【答案】(1)-4
5
(2)7
(3)-8
【分析】（1）运用绝对值的意义进行求解即可；
（2）运用绝对值意义先求出各个绝对值再计算结果；
（3）运用绝对值的意义进行求解即可．
| 1| [ ( 1)] 1
【详解】（1）解：- -4 =- - -4 =-4 ，
5 5 5
（2）|-4|+|3|+|0|=4+3+0=7
（3）-|+(-8)|=-|-8|=-8
【点睛】题目主要考查绝对值的化简及有理数的加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
题型三 化简绝对值
例3 （2023秋·陕西西安·七年级西安市第八十三中学校考期末）计算：已知|x|=5，
|y|=3．若xy<0，求|x- y|的值．
【答案】8
【分析】根据绝对值的定义，化简得x＝±5，y＝±3，再根据xy<0，得x，y异号，即当
x＝5，y＝﹣3时，|x﹣y|＝8；当x＝﹣5，y＝3时，|x﹣y|＝8，故|x﹣y|的值为8．
【详解】解：∵|x|＝5，|y|＝3，
∴x＝±5，y＝±3，
∵xy＜0，
∴x，y异号，
∴当x＝5，y＝﹣3时，|x﹣y|＝8；
当x＝﹣5，y＝3时，|x﹣y|＝8；综上所述，|x﹣y|的值为8．
【点睛】本题考查了绝对值的定义与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
举一反三1 （2023春·福建福州·七年级统考期末）如果|x-3|=x-3，那么x的取值范
围是 ．
【答案】x≥3
【分析】根据绝对值的意义，绝对值表示距离，所以x-3≥0，即可求解；
【详解】解：根据绝对值的意义得，x-3≥0，
∴x≥3；
故答案为：x≥3；
【点睛】本题考查绝对值的意义；理解绝对值的意义是解题的关键．
举一反三2 （2023春·广东韶关·七年级校考期中）|3-π|+|4-π|= ．
【答案】1
【分析】首先分别判断3-π和4-π的正负情况，然后根据绝对值的性质进行解答即可．
【详解】解：∵3-π<0，4-π>0，
∴|3-π|+|4-π|
=-(3-π)+(4-π)
=-3+π+4-π
=1．
【点睛】本题考查的是绝对值的性质，即一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值
是它的相反数，0的绝对值是0．
题型四 绝对值非负性的应用
例4 （2023秋·贵州毕节·七年级校联考期末）若|m-1|+(n+2) 2=0，则m+2n=
（ ）
A．-5 B．-3 C．5 D．3
【答案】B
【分析】根据|m-1|+(n+2) 2=0可知¿，可得m=1,n=-2，从而可得答案．【详解】解：由|m-1|+(n+2) 2=0得：
¿
得：m=1,n=-2
∴m+2n=1-4=-3
故选：B
【点睛】此题考查绝对值的性质和偶次方非负数的性质，两个非负数的和为零，则这两非
负数均等于零是解题关键．
举一反三1 已知|x-3|+|2x-3y-3|=0，则x= ，y= ．
【答案】 3 1
【分析】直接根据绝对值的非负性求出x和y的值即可．
【详解】解：∵|x-3|+|2x-3y-3|=0，
∴|x-3|=0，|2x-3y-3|=0，
∴x-3=0，
∴x=3，
∴2×3-3y-3=0
∴y=1，
故答案为3；1．
【点睛】本题考查了非负数的性质，①非负数有最小值是零；②有限个非负数之和仍然是
非负数；③有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．初中范围内的非负数有：
绝对值，算术平方根和偶次方．
举一反三2 （2023秋·辽宁抚顺·七年级统考期末）已知点A在数轴上的对应的数为a，
点B对应的数为b，且满足|a+3|+(b-5) 2=0．
(1)点A到点B的距离为_________；
(2)如图，点P是数轴上一点，点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍（即PA=3PB
），求点P在数轴上对应的数．
【答案】(1)8
(2)3或9【分析】（1）根据|a+3|+(b-5) 2=0，可以求得a、b的值，从而可以求得点A、B表示的
数；
（2）分两种情况：①当点P在线段AB上时；②当点P在线段AB延长线上时；分别 求解
即可．
【详解】（1）解：∵|a+3|+(b-5) 2=0，
∴a+3=0，b-5=0，
∴a=-3，b=5，
即点A表示的数是-3，点B表示的数是5，
∴AB=5-(-3)=8
（2）解：分两种情况：①点P在线段AB之间时，如图，
由 (1)知: AB=8，
∵AP+PB=AB，PA=3PB,
1
∴PB= AB=2，
4
∴OP=OB-BP=3，
∴点P在数轴上对应的数是3；
②点P在点B右侧时，如图，
由 (1)知: AB=8，
∵AB+PB=AP，PA=3PB,
1
∴PB= AB=4，
2
∴OP=OB+BP=5+4=9，
∴点P在数轴上对应的数是9．
综上所述：点P对应的数为3或9．
【点睛】本题考查数轴、非负数性质，线段和差倍分计算，解题的关键是明确题意，找出
所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题，注意分类讨论思想的应用．题型五 绝对值方程
例5 （2023春·湖南衡阳·七年级校联考阶段练习）阅读与探究：我们把绝对值符号内含
有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”．如：|x|=3，|-2x+1|=2，．．．都是含有
绝对值的方程，怎样求含有绝对值的方程的解呢?基本思路是：把“含有绝对值的方程”转
化为“不含有绝对值的方程”．例如：
解方程x+3|x|=4．
解：当x≥0时，原方程可化为：x+3x=4，解得x=1，符合题意；
当x<0时，原方程可化为：x+3x=4，解得x=-2，符合题意．
所以，原方程的解为：x=1或x=-2．
根据以上材料解决下列问题：
(1)若|x-2|=2-x，则x的取值范围是________；
(2)解方程：x+2|x-1|=4．
【答案】(1)x≤2
(2)x=2或x=-2
【分析】（1）根据绝对值的非负性列不等式求解即可；
（2）分x≥1和x<1两种情况解答即可．
【详解】（1）解：∵2-x=|x-2|≥0，
∴2-x≥0，
∴x≤2．
（2）解：当x≥1时，x-1≥0，则原方程可化为：x+2(x-1)=4，解得：x=2，符合题
意；
当x<1时，x-1<0，原方程可化为：x+2(1-x)=4，解得x=-2，符合题意．
所以，原方程的解为：x=2或x=-2．
【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性、解绝对值方程等知识点，掌握分类讨论思想是
解答本题的关键．
举一反三1 探究数轴上两点之间的距离与这两点的对应关系：(1)观察数轴，填空：
点A与点B的距离是 ；点C与点B的距离是 ；
点E与点F的距离是 ；点D与点G的距离是 ．
我们发现：在数轴上，如果点M对应的数为m，点N对应的数为n，那么点M与点N之间
的距离MN可表示为 （用m、n表示）．
(2)利用你发现的规律，解决下列问题：数轴上表示x和2的两点之间的距离是3，则x＝
．
(3)利用你发现的规律，逆向思维解决下列问题：
①|x-2|=5，则x＝ ．
②|x+3|=2，则x＝ ．
【答案】(1)2；5；1；5；|m-n|
(2)5或﹣1
(3)①7或-3；②-5或-1
【分析】（1）直接根据数轴上两点间距离的定义解答即可；
（2）根据数轴上两点间的距离公式求出x的值即可．
（3）根据数轴上两点间的距离公式求出x的值即可．
【详解】（1）解：由数轴可得：点A与点B的距离是2，点C与点B的距离是5，点E与点
F的距离是1，点D与点G的距离是5．
点M与点N之间的距离MN可表示为|m-n|．
故答案为：2，5，1，5，|m-n|．
（2）若数轴上表示x和2的两点之间的距离是3，则|x-2|=3，
即x-2=3或x-2=-3，
解得x=5或-1．
故答案为：5或-1．
（3）①|x-2|=5，即x-2=5或x-2=-5，
解得x=7或-3，
故答案为：7或-3．
②|x+3|=2，即x+3=2或x+3=-2，
解得x=-1或-5，
故答案为：-5或-1．
【点睛】本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．举一反三2 （2023春·广东河源·七年级校考开学考试）满足||x-1|-|x||-|x-1|+|x|=1
的x的值是（ ）．
1 3 3
A．0 B．± C． D．±
4 4 4
【答案】C
【分析】先将x范围分类，再去绝对值进行运算，最后核对选项即可．
【详解】x≥1时，||x-1|-|x||-|x-1|+|x|=|x-1-x|-(x-1)+x=1-x+1+x=2，2≠1，
x≥1舍去；
0|b| C．-a|b|，，ab<0，-a＞b
∴A正确；B正确；D正确；不符合题意
C错误；符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了数轴的意义，有理数大小比较，有理数的乘法法则，熟练掌握相关运
算法则是解题的关键．
1
举一反三1 已知a在数轴上的位置如图所示，则a，-a， 大小关系正确的是（ ）
a1 1 1 1
A．a>-a> B．-a>a> C．a> >-a D． >a>-a
a a a a
【答案】B
1
【分析】首先根据a在数轴上的位置，可得-10， <-1，然后根据有理
a
1
数大小比较的方法，判断出a，-a， 大小关系即可．
a
【详解】解：∵-10， <-1，
a
1
∴-a>a> ．
a
故选：B．
【点睛】（1）此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要
明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的
其值反而小．
（2）此题还考查了在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右
时，右边的数总比左边的数大，要熟练掌握．
举一反三2 若规定[x)表示大于x的最小整数，[5)=6，[-1.8)=-1，则下列结论错误的
是（ ）
[3)
A．[-3.1)=-4 B．[2.2)=3 C．[0)=1 D． =2
2
【答案】A
【分析】根据题意，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、[-3.1)=-3，选项错误，符合题意；
B、[2.2)=3，选项正确，不符合题意；
C、[0)=1，选项正确，不符合题意；
[3)
D、 =2，选项正确，不符合题意；
2
故选A．【点睛】本题考查有理数比较大小．理解并掌握题干中的规定，是解题的关键．
题型九 有理数大小比较的实际应用
例9 （2023秋·河南濮阳·七年级统考期末）下表是11月份某一天㜃阳市五县一区的平均
气温：
清丰
区县 华龙区 台前县 濮阳县 范县 南乐县
县
气温（℃
+1 -3 -2 0 -1 -2
）
濮阳市县区中该天平均气温最低的是（ ）
A．华龙区 B．泌阳县 C．台前县 D．范县
【答案】C
【分析】由表格可知：-3<-2<-1<0<1即可求解．
【详解】解：∵-3<-2<-1<0<1，
∴最低的是台前县，
故选：C．
【点睛】本题考查有理数的大小比较；熟练掌握正数与负数大小的比较是解题的关键．
举一反三1 大于-3但又不大于1的整数是 ．
【答案】-2，-1，0，1
【分析】直接根据有理数的大小比较即可得出答案．
【详解】解：大于-3但又不大于1的整数是-2，-1，0，1，
故答案为：-2，-1，0，1．
【点睛】本题考查了有理数大小比较的应用，熟知有理数的大小比较方法：正数大于0，
负数小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小，是解本题的
关键．
举一反三2 2022年卡塔尔世界杯比赛用球由中国制造，如图，检测4个足球，其中超
过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标
准的是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先比较各个数的绝对值，绝对值最小的数，表示它离标准最近．
【详解】解：∵|-3.6|=3.6，|-2.5|=2.5，|-0.8|=0.8，|-0.9|=0.9且
0.8<0.9<2.5<3.6．
∴ -0.8离标准最近．
故选：C．
【点睛】本题考查了正、负数和绝对值，理解绝对值表示的意义是解决本题的关键．要注
意从轻重的角度看，最接近标准的是绝对值最小的数．
一、单选题
1．（2023·浙江·七年级假期作业）已知a=b-1，则下列结论中成立的是（ ）
A．|a-b|=a-b B．|a-b|=b-a C．|a-b|=0 D．|a-b|=a+b
【答案】B
【分析】根据a=b-1得到a-b=-1，再根据绝对值性质求解即可得到答案；
【详解】解：∵a=b-1，
∴a-b=-1<0，
∴|a-b|=|-1|=1=b-a，
故选B；
【点睛】本题考查去绝对值符号及等式的性质，解题的关键是根据等式得到a-b=-1<0．
2．若|a-1|与|b-2|互为相反数，则a+b的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．0 D．3或﹣3
【答案】A
【分析】先根据相反数的定义可得|a-1|+|b-2|=0，再根据绝对值的非负性可得a-1=0，
b-2=0，从而可得a=1,b=2，然后代入计算即可得．
【详解】解：∵|a-1|与|b-2|互为相反数，∴|a-1|+|b-2|=0，
又∵|a-1|≥0,|b-2|≥0，
∴a-1=0，b-2=0，
解得a=1,b=2，
则a+b=1+2=3，
故选：A．
【点睛】本题考查了相反数、绝对值的非负性、一元一次方程的应用，利用非负数互为相
反数得出这两个数均为零0是解题关键．
3．某日，四个城市的日平均气温如下表所示：
城市 石家庄 邢台 保定 张家口
日平均气
-1 1 0 -6
温/℃
则日平均气温最低的是（ ）
A．石家庄 B．邢台 C．保定 D．张家口
【答案】D
【分析】根据正负数的意义和有理数比较大小的方法进行即可．
【详解】解：∵-6<-1<0<1，
∴日平均气温最低的城市是张家口，
故选D．
【点睛】本题主要考查了正负数的意义和有理数比较大小，正确得到-6<-1<0<1是解题
的关键．
4．人口自然增长率是指在一定时期内（通常为一年）人口增加数与该时期内平均人数之比．
人口自然增长率是反映人口发展速度和制定人口计划的重要指标，用来表明人口自然增长
的程度和趋势．2015年，一些国家的人口自然增长率（%）如下表所示，人口自然增长趋
势最慢的国家是（ ）
美
日本 中国 印度 德国 卡塔尔
国
0.9 －0.0772 0.48 1.312 －0.2 4.93
A．卡塔尔 B．中国 C．日本 D．德国
【答案】D
【分析】找出人口自然增长率最小的国家即可得出答案．【详解】解：∵-0.2<-0.0772<0.48<0.9<1.312<4.93，
∴人口自然增长趋势最慢的国家是德国，
故选：D．
【点睛】本题考查有理数的大小比较，需要正确理解题意方可选得正确答案．
3 5
5．已知a=-1，b=-1 ，c=-1 ，下列关于a、b、c三数的大小关系，何者正确
4 8
（ ）
A．a>c>b B．a>b>c C．b>c>a D．c>b>a
【答案】A
【分析】根据有理数的大小比较解答即可．
| 3| 3 | 5| 5 5 3
【详解】解：∵|a|=|-1|=1，|b|= -1 =1 ， |c|= -1 =1 ，且1<1 <1
4 4 8 8 8 4
5 3
∴-1>-1 >-1 ，
8 4
∴a>c>b．
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数大小比较，熟练掌握两个负数比较大小，绝对值大的反而小是
解本题的关键．
6．计算|x-1|+|x+2|的最小值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】由|x-1|+|x+2| =|x-1|+|x-(-2)|，可得|x-1|+|x-(-2)|表示在数轴上点x与
1和-2之间的距离的和，即可求解．
【详解】解：∵ |x-1|+|x+2|
=|x-1|+|x-(-2)|，
∴ |x-1|+|x-(-2)|表示在数轴上点x与1和-2之间的距离的和，
∴当-2≤x≤1时，
|x-1|+|x+2|有最小值3．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了绝对值的应用，数轴上两点之间的距离，理解绝对值的意义，掌握距离的求法是解题的关键．
7．对于任意有理数a，下列结论正确的是（ ）
A．|a|是正数 B．-a是负数 C．-|a|是负数 D．-|a|不是正数
【答案】D
【分析】根据绝对值非负数对各选项举反例分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、a=0时|a|=0，既不是正数也不是负数，故本选项错误；
B、a是负数时，-a是正数，故本选项错误；
C、a=0时，-|a|=0，既不是正数也不是负数，故本选项错误；
D、-|a|不是正数，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了绝对值非负数的性质，举反例排除更简便．
1
8．（2023春·辽宁铁岭·七年级统考期中） 的绝对值是（ ）
4
1 1 1 1
A．- B． C．± D．±
4 4 2 4
【答案】B
【分析】根据绝对值的意义即可得出答案．
1 1
【详解】解：根据绝对值的意义可知： 的绝对值是 ，
4 4
故选：B．
【点睛】本题考查的是绝对值的意义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反
数，0的绝对值还是0．
二、填空题
9. 若|x+5|+|y-8|=0，则x+ y= ．
【答案】3
【分析】根据绝对值的非负性得到x与y的值，代入代数式求解即可得到结论．
【详解】解∶∵|x+5|≥0,|y-8|≥0，
∴当|x+5|+|y-8|=0成立时，必须¿，
解得¿，
∴x+ y=-5+8=3,
故答案为∶3
【点睛】本题考查代数式求值，掌握绝对值非负性是解决问题的关键．10．（2023秋·河南焦作·七年级统考期末）比较大小：-|-2.7| -(-3.3)（填“＞”、
“＝”或“＜”）．
【答案】＜
【分析】先化简两个数，再根据负数小于0，正数大于0，据此判断即可．
【详解】解：∵-|-2.7|=-2.7<0，-(-3.3)=3.3>0，
∴-|-2.7|<-(-3.3)，
故答案为：<．
【点睛】本题考查了有理数大小的比较，掌握负数小于0，正数大于0是解题的关键．
| 97 | | 97 | | 97 |
11．（2023·浙江·七年级假期作业）比较大小： 1-2 + 2-2 + 5-2
197 197 197
| 98 | | 98 | | 98 |
1-2 + 2-2 + 5-2
197 197 197
【答案】<
【分析】根据绝对值的定义进行求解即可．
| 97 | | 97 | | 97 |
【详解】解： 1-2 + 2-2 + 5-2
197 197 197
97 97 97
=2 -1+2 -2+5-2
197 197 197
97
=2 +2；
197
| 98 | | 98 | | 98 |
1-2 + 2-2 + 5-2
197 197 197
98 98 98
=2 -1+2 -2+5-2
197 197 197
98
=2 +2；
197
97 98
∵2 +2<2 +2，
197 197
| 97 | | 97 | | 97 | | 98 | | 98 | | 98 |
∴ 1-2 + 2-2 + 5-2 < 1-2 + 2-2 + 5-2 ，
197 197 197 197 197 197故答案为：<．
【点睛】本题主要考查了绝对值，熟练掌握绝对值的定义是解决本题的关键．
12．（2023秋·湖北武汉·七年级校考期末）点A、B在数轴上对应的数分别为a,b，满足
|a+2|+(b-5) 2=0，点P在数轴上对应的数为x，当x= 时，PA+PB=10．
7 13
【答案】- 或
2 2
【分析】由绝对值和完全平方的非负性可得¿ ，则可计算出A、B对应的数，然后分三种情
况进行讨论求解即可．
【详解】解：∵|a+2|+(b-5) 2=0，|a+2|≥0 ，(b-5) 2≥0 ，
则可得：¿，
解得：¿ ，
∴AB=5-(-2)=7 ，
①当P在A点左侧时，
PA+PB=2PA+AB=10 ，
3
∴PA= ，
2
3
则可得：-2-x= ，
2
7
解得：x=-
2
②当P在B点右侧时，
PA+PB=2PB+AB=10 ，
3
∴PB= ，
2
3
则可得：x-5= ，
2
13
解得：x= ，
2
③当P在A、B中间时，
则有PA+PB=AB=7≠10 ，
∴P点不存在．13 7
综上所述：x= 或x=- ．
2 2
7 13
故答案为：- 或 ．
2 2
【点睛】本题考查了绝对值和完全平方的非负性，数轴上两点间的距离：a，b是数轴上任
意不同的两点，则这两点间的距离=右边的数-左边的数，掌握数轴上两点距离和分情况讨
论是本题的关键．
1
13．（2023春·吉林长春·七年级长春外国语学校校考开学考试）比较大小：-2 -
3
（填“>”或“<”）．
【答案】<
【分析】两个负数比较大小，其绝对值大的反而小，据此判断即可．
| 1|
【详解】解：∵ |-2|> - ，
3
1
∴ -2<- ，
3
故答案为：<．
【点睛】本题考查了有理数大小比较，解题的关键是掌握有理数大小比较法则：正数都大
于0；负数都小于0；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小．
三、解答题
14．求下列各数的绝对值：
(1)-38；
(2)0.15；
(3)a(a<0)；
(4)3b(b>0)；
【答案】(1)38
(2)0.15
(3)-a
(4)3b
【分析】根据正数与0的绝对值是其本身，负数的绝对值是其相反数即可求解．【详解】（1）|-38|=38；
（2）|0.15|=0.15；
（3）∵a<0，
∴|a|=-a；
（4）∵b>0，
∴3b>0，
∴|3b|=3b
【点睛】本题考查了绝对值的性质，准确把握“正数与0的绝对值是其本身，负数的绝对
值是其相反数”是解题的关键．
15．（2023秋·河南信阳·七年级统考期末）如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，
点C表示数c，且a、c满足|a+2|+(c-10) 2=0．若点A与点B之间的距离表示为
AB=|a-b|，点B与点C之间的距离表示为BC=|b-c|，点B在点A、C之间，且满足
BC=2AB．
(1)a=___________，b= ___________，c=___________．
(2)动点M从B点位置出发，沿数轴以每秒1个单位的速度向终点C运动，同时动点N从A
点出发，沿数轴以每秒2个单位的速度向C点运动，设运动时间为t秒．问：当t为何值时，
M、N两点之间的距离为3个单位？
【答案】(1)-2，2，10；
(2)1或7
【分析】（1）根据非负性，得到a+2=0，c-10=0，将线段长转化为绝对值即|b-c|=2||a-
b，化简绝对值；
（2）先用t分别表示M，N代表的数，根据MN=3，转化为绝对值问题求解．
【详解】（1）∵|a+2|+(c-10) 2=0，
∴a= -2，c=10，
∵点B在点A、C之间，且满足BC=2AB，
∴10-b=2（b+2），解得b=2，
故答案为：-2，2，10；
（2）设运动时间为t秒，则点N表示的数为2t-2；点M表示的数为t+2，
根据题意，得|t+2-(2t-2)|=3，
∴-t+4=3或-t+4= -3，
解得t=1或t=7，
故t为1或7时，M、N两点之间的距离为3个单位．
【点睛】本题考查了实数的非负性，数轴上两点间的距离，绝对值的化简，熟练把线段长
转化为绝对值表示是解题的关键．
16．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
(1)数轴上表示3和2的两点之间的距离是_____；表示-2和1两点之间的距离是_____；一
般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m-n|．
(2)如果|x+1|=2，那么x=______；
(3)若|a-3|=4，|b+2|=3，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点
间的最大距离是______，最小距离是_____．
(4)若数轴上表示数a的点位于-3与5之间，则|a+3|+|a-5|=_____．
(5)当a=_____时，|a-1|+|a+5|+|a-4|的值最小，最小值是_____．
【答案】(1)1；3
(2)1或-3
(3)12；2
(4)8
(5)1，9
【分析】（1）根据数轴，观察两点之间的距离即可解决；
（2）根据数轴上两点间的距离，分两种情况即可解答；
（3）根据数轴上两点间的距离分别求出a，b的值，再分别讨论，即可解答；
（4）根据|a+3|+|a-5|表示数a的点到-3与5两点的距离的和即可求解；
（5）分类讨论，即可解答．
【详解】（1）解：由数轴得
数轴上表示3和2的两点之间的距离是：3-2=1；表示-2和1两点之间的距离是：1-(-2)=3；
故答案：1；3．
（2）解：由|x+1|=2得，
|x-(-1)|=2，
所以表示x与-1距离为2，
因为与-1距离为2的是1或-3，
所以x=1或x=-3．
故答案：1或-3．
（3）解：由|a-3|=4，|b+2|=3得，
|a-3|=4，|b-(-2)|=3，
所以表示a与3的距离为4，b与-2的距离为3，，
所以a=7或-1，b=1或-5，
当a=7，b=-5时，则A、B两点间的最大距离是12，
当a=1，b=-1时，则A、B两点间的最小距离是2，
故答案：12，2．
（4）解：|a+3|+|a-5|
=|a-(-3)|+|a-5|
所以表示a与-3的距离加上a与5的距离的和，
因为表示数a的点位于-3与5之间，
所以|a+3|+|a-5|=8，
故答案：8．
（5）解：|a-1|+|a+5|+|a-4|
=|a-1|+|a-(-5)|+|a-4|，
所以表示a与1、-5、4的距离之和，
①如图，当表示a的点在4的右侧时，即a>4，
由数轴得：
|a-1|+|a+5|+|a-4|=9+3+3(a-4)
=3a，
所以3a>12，
所以|a-1|+|a+5|+|a-4|>12；
②如图，当表示a的点在1和4的之间时，即10，
所以9+(a-1)>9，
所以|a-1|+|a+5|+|a-4|>9；
③如图，当表示a的点在-5和1的之间时，即-50，
所以9+(1-a)>9，
所以|a-1|+|a+5|+|a-4|>9；
④当表示a的点在-5或1或4的点上时，
即a=-5或a=1或a=4，
如图，当a=1时，
|a-1|+|a+5|+|a-4|=3+6=9；
如图，当a=4时，|a-1|+|a+5|+|a-4|=3+9=12；
如图，当a=-5时，
|a-1|+|a+5|+|a-4|=6+9=15；
因为9<12<15，
所以当表示a的点在-5或1或4的点上时，仅当a=1时，|a-1|+|a+5|+|a-4|的最小值为9；
综上所述：当a=1，|a-1|+|a+5|+|a-4|的最小值为9．
故答案： 1，9．
【点睛】本题主要考查了绝对值的应用，数轴上用绝对值表示两点之间的距离，理解绝对
值表示距离的意义，掌握距离的求法是解题的关键．
17．（2023秋·江苏镇江·七年级统考期末）人们通过长期观察发现如果早晨天空中棉絮的
高积云，那么午后常有雷雨降临，于是有了“朝有破絮云，午后雷雨临”的谚语．在数学
的学习过程中，通过对简单情形的观察、分析，从特殊到一般地探索这类现象的规律、提
出猜想的思想方法称为归纳．
【数学问题】数轴上分别表示数a和数b的两个点A、B之间的距离该如何表示？
【问题探究】
（1）观察分析（特殊）：
①当a=2，b=5时，A，B之间的距离AB=3；
②当a=-2，b=5时，A，B之间的距离AB= ；
③当a=-2，b=-5时，A，B之间的距离AB= ；
（2）一般结论：
数轴上分别表示有理数a，b的两点A，B之间的距离表示为AB= ；
【问题解决】
（3）应用：
数轴上，表示x和3的两点A和B之间的距离是5，试求x的值；
【问题拓展】
（4）拓展：
①若|x-2|=|x-6|，则x = ．
②若|x-1|+|x-7|=8，则x= ．③若x，y满足(|x-1|+|x-5|)(|y-1|+|y+1|)=8，则代数式x+ y的最大值是 ，最小值是 ．
【答案】（1）7，3；（2）|a-b|；（3）-2或8；（4）①4②0或8③6，0
【分析】（1）利用数轴直接得到A，B之间的距离AB即可；
（2）归纳总结得到：数轴上分别表示有理数a，b的两点A，B之间的距离表示为
AB=|a-b|；
（3）解绝对值方程即可；
（4）①解绝对值方程即可；②分三种情况分类讨论解方程；先求出x，y的取值范围，然
后计算解题．
【详解】（1）②AB=|-2-5|=7；
③AB=|-2-(-5)|=3；
故答案为：7，3．
（2）一般结论：
数轴上分别表示有理数a，b的两点A，B之间的距离表示为AB=|a-b|，
故答案为：|a-b|．
（3）∵|x-3|=5
∴x-3=±5，
解得： x=-2或x=8；
（4）①|x-2|=|x-6|，
即x-2=±(x-6)，
解得：x=4；
故答案为：4．
②若|x-1|+|x-7|=8，
当x≥7时，(x-1)+(x-7)=8，解得x=8；
当1
