文档内容
1.2.4 绝对值
学习目标：1.理解绝对值的概念及性质.
2.会求一个有理数的绝对值.
重点：理解绝对值的概念及性质.
难点：会求一个有理数的绝对值.
知识点一 绝对值的定义
一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|，读作“a的绝对
值”.
注意：a可以是正数、负数和0，由于数的绝对值是两点之间的距离，所以绝对值不可能是
负数。
即学即练1 （2023秋·黑龙江绥化·七年级统考期末）绝对值最小的有理数是（ ）
A．1 B．-1 C．0 D．没有
即学即练2 如果|x|=2023，那么x= ．
知识点二 绝对值的性质
（1）一个正数的绝对值是它本身;
（2）一个负数的绝对值是它的相反数;（3）0的绝对值是0.
(1)任意一个数的绝对值都是非负数，绝对值最小的数是 0.
(2)绝对值是它本身的数是非负数,即当|a|=a时,a是正数或0(即非负数);绝对值是它的相
反数的数是非正数，即当|a|=-a时,a是负数或0(即非正数).
（3）对于任意有理数都有|a|≥0，即：
3
5
（4）互为相反数的两个数的绝对值相等，即若a，b互为相反数，则|a|＝|b|;绝对值相等
的两个数相等或互为相反数，即若|a|＝|b|，则a＝b或a＝-b（a+b＝0）.
（5）在数轴上，一个数对应的点离原点越近，它的绝对值越小;离原点越远，它的绝对值
越大.
（6）任何有理数的绝对值都不小于它本身，即|a|≥a.
即学即练 （2023秋·陕西咸阳·七年级统考期末）已知数轴上表示4x+2的点到原点的距
离为10，表示1-x的点在原点的左侧，求x的值．
知识点三 绝对值非负性的应用
若几个数的绝对值的和为0，则这几个数同时为0.
拓展：若几个非负数的和为 0,则每个非负数都为 0.
解题技巧：若|a|+|b|+|c|+…=0，则有|a|=0，|b|=0，|c|=0，…，所以a=0，b=0，c
=0，….即学即练1 （2023秋·广东梅州·七年级校考阶段练习）若| 1| ，则
a- +|b-5|=0 a=
2
，b= ．
即学即练2 若 ，则 ．
(x-1) 2+|y+3|=0 x- y=
知识点四 有理数的大小比较
方 法 内 容
利用数轴 在数轴上表示的两个数或几个数，右边的数总比左边的数大
（1）正数大于0，0大于负数，正数大于负数;
利用法则 （2）两个负数，绝对值大的反而小;
（3）两个正数，绝对值大的数大
即学即练1 比较下列各组数的大小：
(1)-100与1
2
(2)-(- )与-|+2|
3
5 4
(3)- 与-
6 5
| 2| | 3|
(4) - 与 -
3 4
即学即练2 （1）在数轴上分别表示出下列三个数：-(-1)，|-4|，+(-2.5)，（2）有理数m、n在数轴上的对应点如图所示：
①在数轴上分别表示出数-n，|m| ，
②把m，n，-n，|m|这四个数从小到大用“<”号连接．
题型一 绝对值的意义
例1 （2023春·吉林长春·七年级长春外国语学校校考开学考试）若数轴上的点A，B，
C，D表示的数分别是-2.7,-1.9,0.1,2，则距离原点最近的点是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
举一反三1 （2023秋·河北邢台·七年级统考期末）已知零件的标准直径是100mm，超过
标准直径长度的数量（单位：mm）记作正数，不足标准直径长度的数量（单位：mm）记作
负数，检验员颖颖某次测量了五件样品的直径，结果如下：
样品序号 1 2 3 4 5
测量结果(mm) +0.1 -0.15 +0.2 +0.25
若样品4最符合要求，则小手盖住的数据可能是（ ）
A．-0.3mm B．-0.05mm C．0.15mm D．0.35mm
举一反三2 （2023秋·山东菏泽·七年级统考期末）我们知道，|x|表示x在数轴上对应的
点到原点的距离，|x|我们可以把看作|x-0|．所以，|x-a|就表示x与a在数轴上对应的两
点之间的距离．若|x+3|=5，则x= ．题型二 求一个数的绝对值
a
例2 （2023春·广东潮州·七年级统考期末）已知|a|=4，b2=9，且 >0，求a-b的值
b
（ ）
A．1或-1 B．5或-5 C．5 D．1
举一反三1 （2023秋·山西晋城·七年级统考期末）若|a|=8，|b|=5，且a+b＞0，那
么a-b= .
举一反三2 计算：
(1) | 1|
- -4
5
(2)|-4|+|3|+|0|
(3)-|+(-8)|
题型三 化简绝对值
例3 （2023秋·陕西西安·七年级西安市第八十三中学校考期末）计算：已知|x|=5，
|y|=3．若xy<0，求|x- y|的值．
举一反三1 （2023春·福建福州·七年级统考期末）如果|x-3|=x-3，那么x的取值范
围是 ．
举一反三2 （2023春·广东韶关·七年级校考期中）|3-π|+|4-π|= ．题型四 绝对值非负性的应用
例4 （2023秋·贵州毕节·七年级校联考期末）若 ，则
|m-1|+(n+2) 2=0 m+2n=
（ ）
A．-5 B．-3 C．5 D．3
举一反三1 已知|x-3|+|2x-3y-3|=0，则x= ，y= ．
举一反三2 （2023秋·辽宁抚顺·七年级统考期末）已知点A在数轴上的对应的数为a，
点B对应的数为b，且满足 ．
|a+3|+(b-5) 2=0
(1)点A到点B的距离为_________；
(2)如图，点P是数轴上一点，点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍（即PA=3PB
），求点P在数轴上对应的数．
题型五 绝对值方程
例5 （2023春·湖南衡阳·七年级校联考阶段练习）阅读与探究：我们把绝对值符号内含
有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”．如：|x|=3，|-2x+1|=2，．．．都是含有绝对值的方程，怎样求含有绝对值的方程的解呢?基本思路是：把“含有绝对值的方程”转
化为“不含有绝对值的方程”．例如：
解方程x+3|x|=4．
解：当x≥0时，原方程可化为：x+3x=4，解得x=1，符合题意；
当x<0时，原方程可化为：x+3x=4，解得x=-2，符合题意．
所以，原方程的解为：x=1或x=-2．
根据以上材料解决下列问题：
(1)若|x-2|=2-x，则x的取值范围是________；
(2)解方程：x+2|x-1|=4．
举一反三1 探究数轴上两点之间的距离与这两点的对应关系：
(1)观察数轴，填空：
点A与点B的距离是 ；点C与点B的距离是 ；
点E与点F的距离是 ；点D与点G的距离是 ．
我们发现：在数轴上，如果点M对应的数为m，点N对应的数为n，那么点M与点N之间
的距离MN可表示为 （用m、n表示）．
(2)利用你发现的规律，解决下列问题：数轴上表示x和2的两点之间的距离是3，则x＝
．
(3)利用你发现的规律，逆向思维解决下列问题：
①|x-2|=5，则x＝ ．
②|x+3|=2，则x＝ ．举一反三2 （2023春·广东河源·七年级校考开学考试）满足
||x-1|-|x||-|x-1|+|x|=1
的x的值是（ ）．
1 3 3
A．0 B．± C． D．±
4 4 4
题型六 绝对值的最值问题
例6 式子|x-1|+5的最小值是 ．
举一反三1 （2023秋·广东梅州·七年级校考阶段练习）已知 x 是正实数，则
∣x-1∣+∣2x-1∣+∣3x-1∣+∣4x-1∣+∣5x-1∣ 的最小值是（ ）
7 5
A．2 B． C． D．0
4 3
举一反三2 数学实验室：
点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B
两点之间的距离AB=|a-b|．
利用数形结合思想回答下列问题：
(1)数轴上表示2和6两点之间的距离是 ，数轴上表示1和-4的两点之间的距离是
．(2)数轴上表示x和-3的两点之间的距离表示为 ．数轴上表示x和6的两点之间的距
离表示为 ．
(3)若x表示一个有理数，则|x-1|+|x+4|的最小值＝ ．
(4)若x表示一个有理数，且|x+1|+|x-3|=4，则满足条件的所有整数x的是 ．
(5)若x表示一个有理数，当x为 ，式子|x+2|+|x-3|+|x-4|有最小值为 ．
题型七 绝对值的其他应用
例7 （2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）同学们都
知道，|5-1|表示5与1差的绝对值，也可以表示数轴上5和1这两点间的距离；
|3-(-2)|表示3与-2之差的绝对值，实际上也可理解为3与-2在数轴上所对的两点之间
的距离；自然地，对|3-(-2)|进行变式得|3+2|，同样可以表示3与-2两数在数轴上
所对的两点之间的距离．试探索：
(1)|3-(-2)|=__________；
(2)|x-2|表示x与__________之间的距离；|x+3|表示x与__________之间的距离；
(3)当|x-2|+|x+3|=5时，x可取整数__________．（写出一个符合条件的整数x即可）
(4)由以上探索，结合数轴猜想：对于任何有理数x，|x+4|+|x-6|的最小值为
__________．
举一反三1 点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，
则在数轴上A、B两点之间的距离AB=|b-a|．所以式子|x-2|的几何意义是数轴上表示x
的点与表示2的点之间的距离．借助于数轴回答下列问题：(1)数轴上表示2和5两点之间的距离是 ，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是
．
(2)如果|x+1|=3，那么x= ．
(3)若|a-3|=2,|b+2|=1，且数a，b在数轴上表示的数分别是点A，点B，则A，B两点间
的最大距离是 ，最小距离是 ．
(4)①若数轴上表示x的点位于-3与1之间，则|x-1|+|x+3|= ；
②若|x-3|+|x+1|=8，则x= ．
举一反三2 （2023秋·河北唐山·七年级统考期末）已知数轴上点A，C所表示的数分别
是-3，x，若AC=5，则x的值为 ．
题型八 有理数大小比较
例8 已知有理数a,b在数轴上的位置如图所示，则下列四个结论中不正确的是（ ）
A．a|b| C．-a-a> B．-a>a> C．a> >-a D． >a>-a
a a a a
举一反三2 若规定[x)表示大于x的最小整数，[5)=6，[-1.8)=-1，则下列结论错误的
是（ ）
A． B． C． D．[3)
[-3.1)=-4 [2.2)=3 [0)=1 =2
2
题型九 有理数大小比较的实际应用
例9 （2023秋·河南濮阳·七年级统考期末）下表是11月份某一天㜃阳市五县一区的平均
气温：
清丰
区县 华龙区 台前县 濮阳县 范县 南乐县
县
气温（℃
+1 -3 -2 0 -1 -2
）
濮阳市县区中该天平均气温最低的是（ ）
A．华龙区 B．泌阳县 C．台前县 D．范县
举一反三1 大于-3但又不大于1的整数是 ．
举一反三2 2022年卡塔尔世界杯比赛用球由中国制造，如图，检测4个足球，其中超
过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标
准的是（ ）
A． B． C． D．一、单选题
1．（2023·浙江·七年级假期作业）已知a=b-1，则下列结论中成立的是（ ）
A．|a-b|=a-b B．|a-b|=b-a C．|a-b|=0 D．|a-b|=a+b
2．若|a-1|与|b-2|互为相反数，则a+b的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．0 D．3或﹣3
3．某日，四个城市的日平均气温如下表所示：
城市 石家庄 邢台 保定 张家口
日平均气
-1 1 0 -6
温/℃
则日平均气温最低的是（ ）
A．石家庄 B．邢台 C．保定 D．张家口
4．人口自然增长率是指在一定时期内（通常为一年）人口增加数与该时期内平均人数之比．
人口自然增长率是反映人口发展速度和制定人口计划的重要指标，用来表明人口自然增长
的程度和趋势．2015年，一些国家的人口自然增长率（%）如下表所示，人口自然增长趋
势最慢的国家是（ ）
美
日本 中国 印度 德国 卡塔尔
国
0.9 －0.0772 0.48 1.312 －0.2 4.93
A．卡塔尔 B．中国 C．日本 D．德国
3 5
5．已知a=-1，b=-1 ，c=-1 ，下列关于a、b、c三数的大小关系，何者正确
4 8
（ ）
A．a>c>b B．a>b>c C．b>c>a D．c>b>a
6．计算|x-1|+|x+2|的最小值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．对于任意有理数a，下列结论正确的是（ ）
A．|a|是正数 B．-a是负数 C．-|a|是负数 D．-|a|不是正数1
8．（2023春·辽宁铁岭·七年级统考期中） 的绝对值是（ ）
4
1 1 1 1
A．- B． C．± D．±
4 4 2 4
二、填空题
9. 若|x+5|+|y-8|=0，则x+ y= ．
10．（2023秋·河南焦作·七年级统考期末）比较大小：-|-2.7| -(-3.3)（填“＞”、
“＝”或“＜”）．
11．（2023·浙江·七年级假期作业）比较大小：| 97 | | 97 | | 97 |
1-2 + 2-2 + 5-2
197 197 197
| 98 | | 98 | | 98 |
1-2 + 2-2 + 5-2
197 197 197
12．（2023秋·湖北武汉·七年级校考期末）点A、B在数轴上对应的数分别为a,b，满足
，点P在数轴上对应的数为 ，当 = 时， ．
|a+2|+(b-5) 2=0 x x PA+PB=10
1
13．（2023春·吉林长春·七年级长春外国语学校校考开学考试）比较大小：-2 -
3
（填“>”或“<”）．
三、解答题
14．求下列各数的绝对值：
(1)-38；
(2)0.15；
(3)a(a<0)；
(4)3b(b>0)；
15．（2023秋·河南信阳·七年级统考期末）如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，
点C表示数c，且a、c满足 ．若点A与点B之间的距离表示为
|a+2|+(c-10) 2=0
AB=|a-b|，点B与点C之间的距离表示为BC=|b-c|，点B在点A、C之间，且满足BC=2AB．
(1)a=___________，b= ___________，c=___________．
(2)动点M从B点位置出发，沿数轴以每秒1个单位的速度向终点C运动，同时动点N从A
点出发，沿数轴以每秒2个单位的速度向C点运动，设运动时间为t秒．问：当t为何值时，
M、N两点之间的距离为3个单位？
16．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
(1)数轴上表示3和2的两点之间的距离是_____；表示-2和1两点之间的距离是_____；一
般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m-n|．
(2)如果|x+1|=2，那么x=______；
(3)若|a-3|=4，|b+2|=3，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点
间的最大距离是______，最小距离是_____．
(4)若数轴上表示数a的点位于-3与5之间，则|a+3|+|a-5|=_____．
(5)当a=_____时，|a-1|+|a+5|+|a-4|的值最小，最小值是_____．
17．（2023秋·江苏镇江·七年级统考期末）人们通过长期观察发现如果早晨天空中棉絮的高积云，那么午后常有雷雨降临，于是有了“朝有破絮云，午后雷雨临”的谚语．在数学
的学习过程中，通过对简单情形的观察、分析，从特殊到一般地探索这类现象的规律、提
出猜想的思想方法称为归纳．
【数学问题】数轴上分别表示数a和数b的两个点A、B之间的距离该如何表示？
【问题探究】
（1）观察分析（特殊）：
①当a=2，b=5时，A，B之间的距离AB=3；
②当a=-2，b=5时，A，B之间的距离AB= ；
③当a=-2，b=-5时，A，B之间的距离AB= ；
（2）一般结论：
数轴上分别表示有理数a，b的两点A，B之间的距离表示为AB= ；
【问题解决】
（3）应用：
数轴上，表示x和3的两点A和B之间的距离是5，试求x的值；
【问题拓展】
（4）拓展：
①若|x-2|=|x-6|，则x = ．
②若|x-1|+|x-7|=8，则x= ．
③若 ， 满足 ，则代数式 的最大值是 ，最小值是 ．
x y (|x-1|+|x-5|)(|y-1|+|y+1|)=8 x+ y
