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备注：（1）利用电子课本看知识点，知识点归纳有困难请看
另一个文件《初中教材知识点梳理》；（2）内容有红色括号
标注的部分要详细看教材（教材的实际问题，推导证明过程
以及例题）（3）其他内容有时间再看教材。加油！加油哦！！
你们是最棒的！！！
人教版七年级上
第一章 有理数
1.1 正数和负数（重点看教材例子,能举例子）
（一）正数：大于0的数叫正数，为了明确表达意义，正数前面加上符号“+”，这里
的“+”通常省略；
负数：小于0的数叫负数，在正数的前面加上符号“-”。
（二）0既不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数。
1.2.1 有理数（注意引出有理数的方法）
（一）有理数：整数和分数统称有理数。
（二）有理数的分类：
① ②
正整数 正整数
正有理数
有理数
零
正分数
有理数
整数
负整
零
数
负整数
负有理数 负分数
分数
负
正
分
分
数
数
1.2.2 数轴（了解）
（一）数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线。
（二）画数轴的步骤：（1）画直线；（2）在直线上取一点作为原点；（3）确定正方
向，并用箭头表示（4）根据需要选取适当单位长度。
（三）一般的，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离
是a个单位长度；表示数-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。
11.2.3 相反数（注意探究和归纳的过程）
（一）相反数：只有符号不同的两个数。一般地a和-a互为相反数，0的相反数还是0。
（二） 相反数的和为0 a+b=0 a、b互为相反数。
1.2.4 绝对值（了解）
（一）绝对值：一般地，数轴上表示数 a 的点与远点的距离叫做数 a 的绝对值，记做
。
（二）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
即
1.如果 ，那么 ；
2.如果 ，那么 ；
3.如果 ，那么 。
4.有理数大小比较
（1）正数大于0，0大于负数，正数大于负数；
（2）两个负数，绝对值大的反而小。
（3）异号两数比较大小，要考虑它们的正负；同号两数比较大小，要考虑它们的绝对
值。
1.3 有理数的加减法（注意思考和探究中的问题和引导）
（一）有理数的加法法则：
1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
2.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去
较小的绝对值。互为相反数的两个数相加和为0；
3.一个数同0相加，仍得这个数。
（二）有理数加法的运算律
1.加法的交换律：𝑎+𝑏 =𝑏+𝑎；
2.加法的结合律：(𝑎+𝑏)+𝑐 =𝑎+(𝑏+𝑐)。
（三）有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即𝑎−𝑏 =𝑎+(−𝑏)。
（四）引入相反数后，加减混合运算可以统一为加法运算：𝑎+𝑏−𝑐 =𝑎+𝑏+(−𝑐)。
1.4 有理数的乘除法（注意探究法则的过程）
（一）有理数的乘法法则：
1.两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；
2.任何数与0相乘都得0。
（二） 几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇
数时，积是负数。
（三）几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。
（四）乘积是1的两个数互为倒数。
（五）有理数乘法的运算律：
1.乘法的交换律：𝑎𝑏 =𝑏𝑎；
22.乘法的结合律：(𝑎𝑏)𝑐 =𝑎(𝑏𝑐)；
3.乘法的分配律：𝑎(𝑏+𝑐)=𝑎𝑏+𝑎𝑐。
（六）有理数的除法法则
1
1.除以一个不等于0 的数，等于乘这个数的倒数。即𝑎÷𝑏 =𝑎∙ (𝑏≠0)。
𝑏
2.两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0 的数，
都得0。
（七）有理数加减乘除混合运算法则：先乘除，后加减。
1.5.1 乘方（注意探究概念中的例子）
（一）乘方：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。乘方的结果叫做幂，在 中，
叫做底数，n叫做指数。
（二）有理数乘方的法则：
1.负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
2.正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。
（三）有理数的混合运算顺序：（重点看教材例子）
1.先乘方，再乘除，最后加减；
2.同级运算，从左到右进行；
3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。
1.5.2 科学计数法（了解）
科学记数法：把一个大于10的数记成 的形式（其中 大于或等于1且小于10，
n是正整数），这种记数法叫科学记数法。
1.5.3 近似数（了解）
近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数的精确到哪一位。
第二章 整式的加减
2.1 整式（注意实例）
（一）单项式
1.单项式：式子中只含数或字母的积，叫做单项式，单独一个数或一个字母也是单项式。
2.单项式的系数与次数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，一个单项式中，
所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
（二）多项式
1.多项式：几个单项式的和叫做多项式。，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项
叫常数项。
2.多项式的次数：多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。
（三）整式
3单项式与多项式统称为整式。
2.2 整式的加减（注意探究的过程）
（一）同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
（二）合并同类项：把多项式中的同类项合并成同一项，叫做合并同类项。
（三）合并同类项法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项系数的和，且
字母连同它的指数不变。
（四）去括号法则：
1.如果括号外面的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
2.如果括号外面的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。
（五）整式加减的运算法则：一般的，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后
在合并同类项。
第三章 一元一次方程
3.1 从算式到方程
3.1.1 一元一次方程（注意例子即可）
（一）方程：含有未知数的等式叫方程。
（二）一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数是1，等号两边都是整
式，这样的方程叫做一元一次方程。
（三）解方程和方程的解：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，
这个值就是方程的解。
3.1.2 等式的性质（了解探究过程）
（一）等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果任相等。即如果 ，那么
。
（二）等式的性质2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
即：如果 ，那么 ；如果 ，那么 。
3.2 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项（归纳步
骤）
移项：把等式一遍的某项变号后移到另一边，叫做移项。
43.3 解一元一次方程（二）——去括号与去分母（归纳步
骤）
（一）一元一次方程的标准形式：ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）。
（二）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1
等，通过这些步骤可以使以x为未知数的方程逐步向着x=a的形式转化，这个过程主要依据
等式的基本性质和运算律等。
3.4 实际问题与一元一次方程（了解）
（一）基本过程
用一元一次方程解决实际问题的基本过程如本章开头所示。
（二）常用公式
1.行程问题： ， ， ；
2.工程问题： ， ， ；
3.比率问题： ， ， ；
4.顺逆流问题：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度；
5.商品价格问题： ,利润=售价-成本，
;
6.周长、面积、体积问题：, , ,
， , , , , , ,
, 。
第四章 几何图形初步
4.1 几何图形
4.1.1 立体图形与平面图形（了解）
（一）立体图形：几何体的各部分不都在同一平面内的图形叫做几何图形。
（二）平面图形：有些几何图形的各部分都在同一平面内叫做平面图形。
（三）展开图：有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以
展开成平面图形。这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。
54.1.2 点、线、面、体（了解）
（一）体：几何体也简称为体。
（二）面：包围体的是面。
（三）线：面和面相交的地方形成线。
（四）点：线和线相交的地方形成点。
4.2 直线、射线、线段（注意思考的过程）
（一）事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。简单说成：两点确定一条直线。
（二）相交：当两条不同的直线有一个公共点时，称这两条直线相交，这个公共点叫做
交点。
（三）中点：点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB，点M叫做线段AB的中点。
（四）基本事实：两点的所有连线中，线段最短。简单说成：两点之间，线段最短。
（五）距离：连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。
4.3 角
4.3.1 角（注意过程）
（一）角的单位：度( )、分( )、秒( )。
（二）单位换算： ， 。
4.3.2 角的比较与运算（注意角平分线的探究过程）
角的平分线：一般的，从一个顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个
角的平分线。
4.3.4 余角和补角（注意探究过程）
（一）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，其中每一个
角是另一个角的余角。
（二）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，其中一个
角是另一个角的补角
（三）性质：同角（等角）的补角相等。同角（等角）的余角相等。
第五章 相交线与平行线
5.1 相交线
（一）相交线（探究过程）
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1.邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻
补角。也可以表述为两个角有一条公共边，另一条边互为反向延长线。
2.对顶角：一个角的两边分别是另一个叫的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对
顶角。
3.性质：对顶角相等。
（二）垂线（画法和性质的探究过程）
1.垂直：直线 与 的夹角为90°时，我们说 与 互相垂直，记作 。
2.垂线：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其
中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
3.几何语言：∵𝐴𝐵 ⊥𝐶𝐷,∴∠𝐴𝑂𝐶 =90°
或者∵∠𝐴𝑂𝐶 =90°∴𝐴𝐵 ⊥𝐶𝐷
4.垂线的画法：一靠、二过、三画
一靠：把三角板的一条直角边靠在已知直线上；
二过：让三角板的另一条直角边经过已知的点；
三画：沿着直角边经过已知点画直线。
5.性质：
（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（点在线外和点在线
上两种情况）
（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最
短。
6.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离。
（三）同位角、内错角、同旁内角（两条直线被第三条直线
所截，三线八角）（了解）
（1）同位角：∠1 与∠5 像这样具有相同位置关系的一对角
叫做同位角。（F型）
（2）内错角：∠2与∠6像这样的一对角叫做内错角。（Z型）
（3）同旁内角：∠2 与∠5 像这样的一对角叫做同旁内角。
（U型）
5.2 平行线及其判定
（一）平行线（引入和思考过程）
1.平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 与 互相平行，记作 。
2.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
3.推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。即如果 ，
，那么 。
（二）平行线的判定（方法探究的过程）
1.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。简单说成：同
位角相等，两直线平行；
2.两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。简单说成：内
错角相等，两直线平行；
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3.两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。简单说成：
同旁内角互补，两直线平行。
5.3 平行线的性质
（一）平行线的性质（性质探究的过程）
1.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简单说成：两直线平行，同位角相等。
2.两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。简单说成：两直线平行，内错角相等。
3.两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。简单说成：两直线平行，同旁内角互
补。
（二）命题、定理、证明（了解）
1.命题：判断一件事情的语句叫命题。命题是由题设和结论两部分组成，命题常可以写
成如果…那么…的形式。即如果+题设，那么+结论。
2.真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题。性质和定理都
是真命题。
3.假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题。
4.定理：经过推理证实得到的命题叫做定理。
5.证明：一个命题的正确性需要经过推理才能做出正确判断，这个推理过程叫做证明。
5.4 平移（了解）
（一）平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做
平移平移变换，简称平移。
（二）对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，
这样的两个点叫做对应点。
（三）平移特点：
1.平移不改变图形的形状和大小；
2.对应点连线平行且相等。
人教版七年级下
第六章 实数
6.1 平方根（注意概念引入的过程）
（一）算术平方根：如果一个正数 的平方等于 ，即 ，那么这个正数 叫做a的算术
平方根。 的算术平方根记为 ， 叫做被开方数，a≥0.
（二）规定：0的算术平方根是0。
（三）平方根：如果一个数的平方等于 ，那么这个数叫做 的平方根或二次方根。如果
叫做a的平方根。注意-3是9的平方根；9的平方根是3和-3。
（四）开平方：求一个数 的平方根的运算，叫做开平方。
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（五）被开方数越大，对应的算术平方根也越大。
（六）正数有两个平方根，他们互为相反数；0的平方根是0，负数没有平方根。
（七）算数平方根是他本身的数是0，1。平方根是他本身的数是0。
6.2 立方根（了解）
（一）立方根：如果一个数的立方等于 ，那么这个数叫做 的立方根或三次方根。
（二）开立方：求一个数 的立方根的运算，叫做开立方。
（三）表示方法：一个数 的立方根，用符号“ ”表示，读作“三次根号 ”，其中 是
被开方数，3是根指数。
（四）立方根是他本身的数是-1，0，1。
6.3 实数（注意探究过程）
（一）无理数：无限不循环小数又叫无理数。
无理数分为三类：（1）开方开不尽的数，如√3，√7。
（2）含有π的数
（3）具有一定规律的无限不循环小数，0.1001001…
（二）实数：有理数和无理数统称实数，实数和数轴上的点一一对应。
（三）分类：
或
（四）性质：
1.数a的相反数是-a。
2.一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
即设 表示一个实数，则有：
第七章 平面直角坐标系
7.1 平面直角坐标系
（一）有序数对（了解）
有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记做（a,b）。
（二）平面直角坐标系（了解）
1.平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。
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2.横轴、纵轴、原点：水平的数轴称为x轴或横轴；竖直的数轴称为y轴或纵轴；两坐
标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
3.坐标：对于平面内任一点 P，过P分别向x 轴，y轴作垂线，垂足分别在x轴，y 轴
上，对应的数a,b分别叫点P的横坐标和纵坐标。
4.象限：两条坐标轴把平面分成四个部分，右上部分叫第一象限，按逆时针方向一次叫
第二象限、第三象限、第四象限。坐标轴上的点不在任何一个象限内。
5.已知点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，到y轴的距离为横坐标的绝对值。
6.AB与x轴平行，那么A,B两点的纵坐标相同，AB与y轴平行，那么A,B两点的横坐
标相同。
7.2 坐标方法的简单应用（了解）
（一）用坐标表示地理位置
利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程如下：
1.建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；
2.根据具体问题确定单位长度；
3.在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称。
（二）用坐标表示平移
一般地，在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个
正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点
的纵坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a
个单位长度。
第八章 二元一次方程组
8.1 二元一次方程组（注意探究过程）
（一）二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做
二元一次。二元一次方程的一般形式是 。
（二）二元一次方程组：把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
（三）二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的未知数的值叫做二
元一次方程组的解。一般地，二元一次方程的解有无数个。
（四）二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一
次方程组的解。
8.2 消元——解二元一次方程组（注意探究的过程，概
括步骤）
（一）消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。
（二）代入消元：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方
程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。
（步骤）
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（三）加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边
分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。（步骤）
消元
二元一次方程组→ 一元一次方程
8.3 实际问题与二元一次方程组（了解）
解应用题过程：审、设、列、解、验、答
8.4 三元一次方程组的解法（了解）
（一）三元一次方程组：方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是
1，并且一共有三个方程，像这样的方程叫做三元一次方程组。
（二）解方程组思路： 。
第九章 不等式与不等式组
9.1 不等式
（一）不等式及其解集（注意引入实例）
1.不等式：用符号“＜”“＞”“≤ ”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式。
2.不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
3.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。求不等
式的解集的过程叫做解不等式。
（二）不等式的性质（注意探究的过程）
1.不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变。即如果 ，
那么 ；
2.不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。即如果 ， ，
那么 ；
3.不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。即如果 ， ，
那么 。
9.2 一元一次不等式（注意探究过程）
一元一次不等式：不等式的左、右两边都是整式，只有一个未知数，并且未知数的最高
次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。
9.3 一元一次不等式组（注意过程）
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（一）一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，
就组成了一个一元一次不等式组。
（二）解集：一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫做由他们所组成的不等式组
（三）解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，在求出这些解集的公
共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集。
（四）解不等式组口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，小小大大无解可找。
第十章 数据的收集、整理与描述
10.1 统计调查（了解）
（一）全面调查：考察全体对象的调查方式叫做全面调查。
（二）抽样调查：调查部分数据，根据部分来估计总体的调查方式称为抽样调查。
（三）个体：组成总体的每一个考察对象称为个体。
（四）样本：被抽取的所有个体组成一个样本。
（五）样本容量：样本中个体的数目称为样本容量。
（六）简单随机抽样：总体中的每一个个体都有相等的机会被抽到，像这样的抽样方法
是一种简单随机抽样。
（七）归纳：全面调查和抽样调查是收集数据的两种方法。全面调查收集到的数据全面、
准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查，抽样调查具有花费少、省时
的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度。
10.2 直方图（注意过程）
（一）基本概念
1.频数：一般地，我们称落在各个小组内的数据个数为该组的频数。
2.频率：频数与数据总数的比为频率。
3.组数和组距：在统计数据时，把数据按照一定的范围分成若干各组，分成组的个数称
为组数，每个小组的两个端点之间的距离（组内数据的取值范围）称为组距。
（二）直方图与条形图
相同之处：条形图与直方图都是在坐标系中用矩形的高来表示频数的图形。
不同之处：直方图组距是相等的，而条形图不一定。
直方图各矩形间无空隙，而条形图则有空隙。
直方图可以显示各组频数分布的情况，而条形图不能明确反映这点。
扇形统计图：圆心角的度数=百分比×360°
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第十一章 三角形
11.1 三角形
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知识梳理
（一）三角形的边（注意结论的探究和证明）
1.三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2.分类：
3.三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.
即两边之差<第三边<两边之和。
4.判断三条线段能否组成三角形，将两条较短的线段之和与最长的线段进行比较。
（二）三角形的高、中线与角平分线（注意角平分线的学习过程）
1.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角
形的高。
直角三角形的三条高，一条高在三角形内部，其余两条与两条直角边重合，且三条高的
交点为直角的顶点。
锐角三角形的三条高内在三角形的内部，且有一个交点。
钝角三角形的三条高，一条高在三角形内部，其余两条在三角形外部，它们没有交点，
但所在的直线有一个交点。
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
高在三角形内部的数量 3 1 1
高是否相交 相交 相交 不想交
高所在的直线是否相交 相交 相交 相交
三条高所在直线的交点 三角形内部 直角顶点 三角形外部
的位置
2.中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。
3.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之
间的线段叫做三角形的角平分线。
4.三角形的重心：三角形的三条中线相交于一点，三角形中线的交点叫做三角形的重心。
5.三角形的一边的中线可以把这个三角形分成面积形等的两部分。
（三）三角形的稳定性（了解）
三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。
11.2 与三角形有关的角
（一）三角形的内角（注意探究和证明过程）
1.三角形内角和定理：三角形三个内角的和为180°。
2.直角三角形的两个锐角互余，反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形。
3.直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC。
4.做题中常用的性质：等角的余角相等。
（二）三角形的外角（注意探究过程）
1.三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
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2.推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
11.3 多边形及其内角和
（一）多边形（了解）
1.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。
2.n边形：如果一个多边形由 n条线段组成，那么这个多边形叫做n边形。 一个n 边
形的内角个数、边数以及顶点个数都相等，都是n。
3.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。
4.多边形的外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
5.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
6.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。
7.凸多边形：画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一
侧，那么这个多边形叫做凸多边形。
（二）多边形的内角和（注意探究过程）
1.多边形内角和公式：n边形的内角和等于(𝑛−2)⋅180°。
2.多边形的外角和等于360°。
3.多边形对角线的条数：从n边形的一个顶点出发，可以做（n-3）条对角线,多边形的
𝑛(𝑛−3)
对角线有 条。
2
第十二章 全等三角形
12.1 全等三角形（注意概念的探究过程）
（一）全等形：能够完全重合的两个图形，叫做全等形。
（二）全等形的性质：形状和大小完全相同。
（三）全等三角形：能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。把两个全等的三角形
重合到一起，对应元素有：重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边。重合的角叫做
对应角。
（四）全等的表示方法：△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF.注意：在记两个三角
形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上。
（五）全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、全等三角形的对应边相等。对应
的角平分线，中线，高线分别相等。对应的周长，面积也相等。
12.2 三角形全等的判定（注意探究过程）
（一）三角形全等的判定公理及推论有：（重点看判定定理推导证明过程）
1.“边边边”简称“SSS”：三边分别相等的两个三角形全等；
2.“边角边”简称“SAS”：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；
3．“角边角”简称“ASA”：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等；
4.“角角边”简称“AAS”：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等；
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5.斜边和直角边相等的两直角三角形（HL）：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三
角形全等。
（二）寻找边相等的方法：
1．图形中的隐含条件，如公共边；
2.利用线段中点找相等的边；
3.多条线段共线时，利用线段的和或差证明边相等。
（三）在证明两个三角形全等时，要注意隐含的条件：公共边、公共角、对顶角等。
12.3 角平分线的性质（注意探究和证明的过程）
（一）角的平分线性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
（二）角的平分线推论：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
（三）三角形角平分线的性质：三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，并且到三
边的距离相等。
（四） 要证明一个几何命题的一般步骤：
1.明确题中的已知和求证；
2.根据提议，画出图形，并用符号表示已知和求证；
3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程。
（五）证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤：：①确定已知
条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等
所隐含的边角关系）；②回顾三角形判定，搞清我们还需要什么；③正确地书写证明格式。
第十三章 轴对称
13.1 轴对称
（一）轴对称（注意过程）
1.轴对称图形：如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么
这个图形叫做轴对称图形；这条直线叫做对称轴。
2.轴对称：把一个图形沿着某一条直线直线折叠，如果它能够与另个一个图形重合，那
么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠重合的点是对应点，叫做
对称点。注意：成轴对称的两个图形一定全等。
2.垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
3.图形轴对称的性质：
（1）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直
平分线；
（2）轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
（二）线段的垂直平分线的性质（注意探究和证明的过程）
1.线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；
2.与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
13.2 画轴对称图形（了解）
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（一）归纳：
1.由一个平面图形可以得到与它关于一条直线 对称的图形，这个图形与原图形的形状、
大小完全相同；新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线 的对称点；连接任意一
对对应点的线段被对称轴垂直平分。
2.几何图形都可以看作由点组成。对于某些图形，只要画出图形中的一些特殊点（如线
段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形。
（二）点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,-y）；点（x,y）关于y轴对称的点的
坐标为（-x,y）。
（三）作关于坐标轴对称的图形：找出已知图形中的一些特殊点的坐标（如多边形顶点
的坐标）；求出对应点的坐标；根据所求的坐标，描出对应点；顺次连接这些点。
13.3 等腰三角形
（一）等腰三角形（注意探究和证明的过程）
1.等腰三角形的性质：
性质1：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）；
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称为“三
线合一”。
性质3：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边中线所在的直线（轴对称图形）。
2.等腰三角形的判定：
判定 1：定义法，有两边相等的三角形是等腰三角形。利用全等三角形的对应边相等；
利用垂直平分线的性质。
判定2：等角对等边，如果一个三角形有两个角相等，那么这两个三角形所对的边也相
等。
（二）等边三角形（注意探究和证明的过程）
1.等边三角形角的特点：等边三角形的三个内角相等，并且每一个角都等于60°。
2.等边三角形的判定：
（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
3.性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的
一半。
13.4 课题学习 最短路径问题（注意过程）
问题 作法 图形 原理
在直线 l 上求一 连接 AB， 两点之间线段
点 P，使 PA+PB 值 与 l 交点即为 最短． PA+PB最
P． 小值为 AB
最小．
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作 B 关于 l 角的垂直平分
的对称点 B＇ 线性质；两点之
连 A B＇，与 l 间线段最
交点即为 P 短． PA+PB 最小
将军饮马：在直
值 为 A B＇
线 l 上求一点 P，使
PA+PB 值最小．
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.1 整式的乘法
（一）同底数幂的乘法（注意引入和探究过程）
同底数幂的乘法法则: (m,n都是正整数),即同底数幂相乘，底数不变，
指数相加。
（二）幂的乘方（注意探究过程）
幂的乘方法则： (m,n都是正整数) ，即幂的乘方，底数不变，指数相乘。
一般地， 。即负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数。
（三）积的乘方（注意探究过程）
积的乘方法则： (n为正整数)，即积的乘方，等于把积的每一个因式分别
乘方，再把所得的幂相乘。
（四）整式的乘法（注意探究过程）
1.单项式乘法法则：单项式与单项式相乘,把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只
在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
2.单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再
把所得的积相加。
3.多项式与多项式相乘：多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个
多项式的每一项，再把所得的积相加。
4.同底数幂的除法法则：同底数幂相除,底数不变,指数相减,即 (a≠
0,m,n都是正整数,且 )。
规定：任何不等于0的数的0次幂都等于1. 即
在应用时需要注意以下几点：①法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做
除数,所以法则中a≠0。②任何不等于0 的数的-p次幂(p是正整数),等于这个数的 p的次
幂的倒数,即 , 而0-1,0-3都是无意义的；当a>0时，a-p的值一
定是正的; 当a<0时,a-p的值可能是正也可能是负的。④运算要注意运算顺序。
5.单项式除法单项式：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于
只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
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6.多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把
所得的商相加。
14.2 乘法公式
（一）平方差公式（重点看几何推导证明）
两个数的和与这两个数的差的积，等与这两个数的平方差，这个公式叫做（乘法的）平
方差公式，即(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)=𝑎2−𝑏2。
（二）完全平方公式（重点看几何推导证明）
1.两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
下面这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式。
(𝑎+𝑏)2 =𝑎2+2𝑎𝑏+𝑏2
(𝑎−𝑏)2 =𝑎2−2𝑎𝑏+𝑏2
2.添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是
负号，括到括号里的各项都改变符号。
14.3 因式分解（注意过程）
分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因
式，也叫做把这个多项式分解因式。
因式分解与整式乘法的关系：因式分解与整式乘法是方向相反的变形。
（一）提公因式法
1.公因式：在多项式中各项都有一个共同的因式，把这个因式叫做多项式的公因式。
2.找多项式的公因式时要先找系数的最大公约数，再找出相同字母的最低次幂，它们的
积就是多项式的公因式。
3.提公因式法：将多项式写成公因式与另一个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫
做提公因式法。
（二）公式法
1.平方差公式： 。即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两
个数的差的积。
2.完全平方公式： 。.两个数的平方和，加上（或减去）它们的
积的2倍等于.两个数的和（或差）的平方。
3.（补充）分解因式的一般方法： 提公共因式法、运用公式法、十字相乘法。
4.（补充）分解因式的步骤：(1)先看各项有没有公因式，若有，则先提取公因式；（2)
再看能否使用公式法；(3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达
到分解的目的；(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解；(5)因
式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止。
第十五章 分式
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15.1 分式
（一）从分数到分式（注意探究的过程）
1.分式：一般地，如果A,B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式。
其中A叫做分子，B叫做分母。
2.分式有意义的条件：分母不等于0。
（二）分式的基本性质（注意探究的过程）
1.分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值
不变。用式子表示为：
𝐴 𝐴∙𝐶 𝐴 𝐴÷𝐶
= , = (𝐶 ≠0)
𝐵 𝐵∙𝐶 𝐵 𝐵÷𝐶
2.约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分。
3.最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。
4.通分：把几个异分母的公式分别化成与原来的分是相等的同分母的分式，叫做分式的
通分。
5.最简公分母：为通分，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次
幂的积作为公分母，他叫做最简公分母。
15.2 分式的运算
（一）分式的乘除（注意探究的过程和运算方法）
1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
𝑎 𝑐 𝑎∙𝑐
字母表示为： ∙ = 。
𝑏 𝑑 𝑏∙𝑑
2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
𝑎 𝑐 𝑎 𝑑 𝑎∙𝑑
用字母表示为： ÷ = ∙ = 。
𝑏 𝑑 𝑏 𝑐 𝑏∙𝑐
3.分式的乘方：分式乘方要把分子、分母分别乘方。用字母表示为： （n为
正整数）。
4.分式的乘除混合运算，先统一成乘法运算，能约分的要随时约分，以减少运算量。
5.分式的乘方运算要把分式加上括号，同时不要忽略分子、分母系数的乘方，同时要注
意符号问题。
（二）分式的加减（注意探究过程）
1.同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。用字母表示
𝑎 𝑏 𝑎±𝑏
为： ± = 。
𝑐 𝑐 𝑐
2.异分母分式加减法则：异分母的分式相加减,先通分，变为同分母的分式，再加减。
𝑎 𝑐 𝑎𝑑 𝑏𝑐 𝑎𝑑±𝑏𝑐
用字母表示为： ± = ± = 。
𝑏 𝑑 𝑏𝑑 𝑏𝑑 𝑏𝑑
（三）整数指数幂（注意过程）
191.整数指数幂有以下运算性质：
（1） (m,n都是整数),
（2） (m,n都是整数)
（3） (n为整数)
2.整数指数幂运算：
（1）运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的。
（2）特别注意负整数指数幂的性质，不要出现
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x − 2 = − x 2
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的错误。
15.3 分式方程（注意过程与方法，防止出改错题）
（一）分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
（二）分式方程的解法：
1.去分母(方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程)；
2.按解整式方程的步骤求出未知数的值；
3.验根(求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，
扩大了未知数的取值范围，可能产生增根)。
（三）检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母是值不为 0，则
整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。
（四）列分式方程解实际问题的一般步骤：
1.审清题意，找出数量关系和相等关系；
2.设未知数，根据题意列出方程；
3.解方程，并检验，既要检验解是否为方程的解，又要检验是否符合题意。
4.写出答案。
人教版八年级下
第十六章 二次根式
16.1 二次根式（注意探究过程）
（一）二次根式：一般地，形如 （ ≥0）的代数式叫做二次根式。当 ＞0时，
表示 的算数平方根,其中 =0。
（二）一般地， ， ，
（三）代数式：用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子，称为代数式。
16.2 二次根式的乘除（注意探究过程）
（一）二次根式的乘法法则：√𝑎∙√𝑏 =√𝑎𝑏(𝑎≥0,𝑏 ≥0)。资
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（二）二次根式的除法法则：√𝑎
=√
𝑎
(𝑎≥0,𝑏 >0)。
√𝑏 𝑏
（三）最简二次根式：满足（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽放
的因数或因式，这两个条件的二次根式叫做最简二次根式。
16.3 二次根式的加减（注意过程）
二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被
开方数相同的二次根式进行合并。
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理（注意探究和证明过程）
勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2。
17.2 勾股定理的逆定理
（一）勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足a2＋b2=c2。，那么这个三角形是
直角三角形。 （重点看推导证明）
（二）命题与逆命题：把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一
个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理）
第十八章 平行四边形
18.1 平行四边形
平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形用“ ”表
示，例如平行四边形ABCD记为“ ABCD”
（一）平行四边形的性质（注意探究过程和证明过程）
1.平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的
对角线互相平分。 （重点看推导证明）
2.两平行线之间的距离：两平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做
这两平行线之间的距离。
（二）平行四边形的判定（注意探究过程和证明过程）
1.平行四边形的判定：
（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（2）对角线互相平分的四边形是平行四边形；
（3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
2.中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
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3.三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。
（重点看推导证明）
18.2 特殊的平行四边形
（一）矩形（注意过程）
1、矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2、矩形的性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等。AC=BD。
3、直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
4、矩形判定定理：
（1）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；
（2）对角线相等的平行四边形是矩形；
（3）有三个角是直角的四边形是矩形。
（二）菱形（注意过程）
1.菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2.菱形的性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线
平分一组对角。
3.菱形的判定定理：
（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
（3）四条边相等的四边形是菱形。
4. 。
（三）正方形（注意过程）
1.正方形：一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。
2.正方形的性质：四条边都相等，四个角都是直角。
3.特殊性：正方形既是矩形，又是菱形。
4.正方形判定定理：
（1）邻边相等的矩形是正方形；
（2）有一个角是直角的菱形是正方形。
第十九章 一次函数
19.1 函数
（一）变量与函数（看教材的例子）
1.变量：数值发生变化的量叫做变量。
2.常量：数值始终不变的量为常量。
3.函数：在一个变化的过程中如果由两个量 x 和 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y
都有唯一确定的值与其对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。如果当x=a时y=b，那
么b叫做当自变量的值为a时的函数值。
224.解析式：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，这种式子叫做函数
的解析式。
（二）函数的图像（了解过程）
1.函数的图象：对于一个函数，如果把自变量与函数的没对对应值分别作为点的横、纵
坐标，那么在坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。
2.描点发画函数图像的一般步骤如下：
第一步，列表——表中给出一些自变量的值与其对应的函数值；
第二部，描点——在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，
描出表格中数值对应的个点；
第三步，连线——按照横坐标由小到大的顺序，把所描绘出的各点用平滑曲线连接起来。
19.2 一次函数
（一）正比例函数（重点看教材概念通过例子的形成过程）
1.正比例函数：一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0），叫做正比例函数，其中k叫做
比例系数。
2.正比例函数性质：正比例函数y=kx（k≠0）的图象是一条经过原点的直线，当k>0时，
直线y=kx经过第一、三象限，y随x的增大而增大，当k<0时，直线y=kx经过第二、四象
限，y随x的增大而减小。
（二）一次函数（重点看教材概念通过例子的形成过程）
1.一次函数：形如y=kx+b(k、b是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数(x为自变量,y为
因变量)。特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数。
2.一次函数的性质：当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。
(1) (1)
(2) (2)
(3)
(3)
3.已知两点坐标求函数解析式：待定系数法
（三）一次函数与方程、不等式（注意过程）
方程（组）与函数之间互相联系，从函数的角度可以把它们统一起来。解决问题是，应
根据具体情况灵活地把它们结合起来考虑。
19.3 课题学习 选择方案
解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量之间的关系，从中选取一个取值能够影
响其他变量的值的变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数，以
此作为解决问题的数学模型。
第二十章 数据的分析
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k 0
b
b
b
.
=
0
0
0
(1
(
2
(
3
)))
k 0
b
b
b
.
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0
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20.1 数据的集中趋势
（一）平均数（看教材例子）
加权平均数：一般地，若𝑛个数𝑥 ，𝑥 ，⋯，𝑥 的权分别是𝜔 ，𝜔 ，⋯，𝜔 ，则
1 2 𝑛 1 2 𝑛
𝑥1𝜔1+𝑥2𝜔2+⋯+𝑥𝑛𝜔𝑛叫做这𝑛个数的加权平均数。
𝜔1+𝜔2+⋯+𝜔𝑛
（二）中位数和众数（看教材中的例子）
1.中位数：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇
数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据
的平均数就是这组数据的中位数。
2.众数：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数。
20.2 数据的波动程度（了解）
（一）方差：𝑆2 = 1 [(𝑥 −𝑥̅)2+(𝑥 −𝑥̅)2+⋯+(𝑥 −𝑥̅)2]。
1 2 𝑛
𝑛
（二）方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，就越稳定。
20.3 体质健康测试中的数据分析
基本步骤：
（一）收集数据：1.确定样本；2.确定抽取样本的方法。
（二）整理数据。
（三）描述数据。
（四）分析数据。
（五）撰写调查报告。
（六）交流。
人教版九年级上
第二十一章 一元二次方程
21.1 一元二次方程（探究过程）
（一）一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的
最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
（二）一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，
都能化成如下形式 。这种形式叫做一元二次方程的一般形式。其中
是二次项， 是二次项系数； 是一次项， 是一次项系数； 是常数项。
24（三）一元二次方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的
解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。
（四）判断方程是否为一元二次方程，需要化简后判断。
21.2 解一元二次方程（掌握解法）
（一）配方法
1.通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。
2.一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成
(
x+n
)2
= p的形式，那么就有：
（1）当 时，方程有两个不等的实数根： ；
（2）当 时，方程有两个相等的实数根： ；
（3）当 时，因为对任意实数 ，都有 ，所以方程无实数根。
用配方法解一元二次方程的一般步骤：
一移：移项，将常数项移到右边，含有未知数的项移到左边；
二化：二次项系数化为1，左右两边同时除以二次项系数；
三配：配方，左右两边同时加上一次项系数一半的平方；
四开：开平方求根。
（二）公式法
1.判别式：一般地，式子 叫做一元二次方程 根的判别式，通常
用希腊字母“ ”表示它，即 。
2.当 时，方程 有两个不等的实数根；当 时，方程
有两个相等的实数根；当 时，方程 无实
数根。
3.当 时,方程 的实数根可写为 的形式，
这个式子叫做一元二次方程 的求根公式。解一个具体的一元二次方程时，八
个系数直接带入求根公式的方法叫做公式法。
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
(1)把方程化成一般形式。并写出a，b，c的值。
(2)求出
25
b 2 − 4 a c
资
源
公
众
号
：
b
ig
u
o
25
的值
(3)代入求根公式。
(4)写出方程的解x ,x
1 2
（三）因式分解法
先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于
0，从而实现降次。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
（1）将方程右边化为0；
（2）将方程左边化为两个一次式的乘积；
（3）令每个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，他们的解就是一元二次方程的解。
（四）一元二次方程的根与系数的关系
根与系数的关系：一元二次方程 中， ， 。
21.3 实际问题与一元二次方程
（一）常见题型
1.平均增长率问题：
2.几何图形面积问题
3.传播问题
4.销售利润问题：
26
利 润 率 =
利
进
润
价
1 0 0 % =
售 价
进
进 -
价
价
1 0 0 %
资
源
公
众
号
：
b
ig
u
o
25
5.握手问题
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图像和性质
（一）二次函数（重点看例子）
二次函数：一般地，形如 的函数，叫做二次函数。
其中， 是自变量， 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。
（二）二次函数𝒚 = 𝒂𝒙𝟐的图像和性质（看探究过程）
二次函数 的性质：抛物线 的对称轴是y轴，顶点是原点。当 时，抛
物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当 时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线
的最高点。对于抛物线 ， 越大，抛物线的开口越小。资
源
公
众
号
：
b
ig
u
o
25
（三）二次函数𝒚 = 𝒂(𝒙−𝒉)𝟐 +𝒌的图像和性质（看探究过程）
二次函数 的性质：抛物线 与 形状相同，位置
不同，把抛物线 向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线 。平
移的方向、距离要根据 的值来决定。特点如下：（1）当 时，开口向上；当
时，开口向下。（2）对称轴是 。（3）顶点是 。
（四）二次函数𝒚 = 𝒂𝒙𝟐 +𝒃𝒙+𝒄的图像和性质（看探究过程）
1.二次函数的解析式三种形式：
（1）一般式 ；
（2）顶点式 ， ；
（3）交点式 。
2、二次函数图像与性质：
（1）对称轴： ；
（2）顶点坐标： ；
（3）与y轴交点坐标（0，c）；
（4）增减性：当 时，对称轴左边，y随 增大而减小；对称轴右边， 随 增大而
增大；当 时，对称轴左边， 随 增大而增大；对称轴右边， 随 增大而减小。
3、二次函数图象画法：（1）开口方向 （2）对称轴 （3）顶点 （4）与𝑥轴交点 （5）
与y轴交点
4、图象平移步骤：（1）配方： ，确定顶点 ；（2）对 轴 左加右
减；对 轴上加下减。
27资
源
公
众
号
：
b
ig
u
o
5、二次函数的对称性：二次函数是轴对称图形，有这样一个结论：当横坐标为 其
25
对应的纵坐标相等那么对称轴 。
6、根据图像判断 的符号：（1） 决定开口方向 ；（2）a,b可以用左同右异判断（对
称轴在y轴左边，a，b符号相同，对称轴在y轴右边，a，b符号相反）；（3）c是由抛物线
与y轴的交点决定的。
22.2 二次函数与一元二次方程
二次函数与一元二次方程的关系：抛物线 与 轴交点的横坐标 是一
元二次方程 的根；抛物线 ，当 时，抛物线便转化
为一元二次方程 。
时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与 轴有两个交点；
时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与 轴有一个交点；
时，一元二次方程有不等的实根，二次函数图像与 轴没有交点。
22.3 实际问题与二次函数
常见题型：
1.利用二次函数求图形面积的最值问题
2.利用二次函数求最大利润问题
3.利用二次函数解决抛物线形的建筑问题
第二十三章 旋转
23.1 图形的旋转（了解）
旋转：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转。点0叫做
旋转中心，转动的角度叫做旋转角。
旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋
转角；旋转前、后的图形全等。
23.2 中心对称
（一）中心对称（注意探究过程）
中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180°后能与另一个图形重合，那么我们就
说，这两个图形成中心对称。这个点叫做对称中心，这两个图形在旋转后能够重合的对应点
叫做关于对称中心的对称点。
中心对称的性质：
1.中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分。
2.中心对称的两个图形是全等图形。
（二）中心对称图形
28资
源
公
众
号
：
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ig
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25
1.中心对称图形：如果把一个图形绕着某一点旋转180°后能与自身重合，那么我们就
说，这个图形成中心对称图形。
2.中心对称图形的性质：
（1）中心对称图形上的对称点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分。
（2）过对称中心的直线把中心对称图形分成的两部分是全等图形。
（三）关于原点对称的点的坐标
性质：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x，y)关于原点的对称点
为P’（-x，-y）。
23.3 课题学习 图案设计
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
（知识点简单读一遍，有个印象）
（一）圆
1.圆：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成
的的图形叫做圆。其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。也可以说成到定点的距离
等于定长的点的集合。
圆的表示方法：以O为圆心的圆，记作⊙O,读作圆O。
2.圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于
半圆的弧称为劣弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。
3.等圆和等弧：能够重合的两个圆叫做等圆。在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做
等弧。
（二）垂直于弦的直径（注意探究过程）
1.对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴。
2.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
3.垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
4.对于一个圆和一条直线，如果具备下列五个条件中任意两个，那么可以推出其他是三
个：过圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的劣弧；平分弦所对的优弧。（知二推三）
（三）弧、弦、圆心角
1.圆心角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。
2.圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
3.圆心角推论：
（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；
（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。
（四）圆周角
29资
源
公
众
号
：
b
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25
1.圆周角：顶点在圆上，且它的两边都与圆相交，这样的角叫做圆周角。
2.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对
的圆心角的一半。
3.圆周角推论：
（1）同弧或等弧所对的圆周角相等；
（2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
4.圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接
多边形。这个圆叫做这个多边形的外接圆。
5.圆内接四边形性质：圆内接四边形的对角互补。
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
（知识点简单读一遍，有个印象）
（一）点和圆的位置关系（注意探究过程）
1.圆和点的位置关系：以点 P 与圆 O 的为例（设⊙O 的半径为 r，点 P 到圆心的距离
OP=d），则有：
（1）点P在圆外 d＞r；
（2）点P在圆上 d＝r；
（3）点P在圆内 d＜r。
2.不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
3.外接圆：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条
边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。
三角形外心的位置：锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心是斜边的中点；
钝角三角形的外心在三角形的外部。
反证法：假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，有矛盾断定所作假设不正确，
从而得到原命题成立。
用反证法证明命题的步骤：
（1）假设命题的结论不成立；
（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
（3）有矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题结论正确。
（二）直线和圆的位置关系（注意探究过程）
1.直线与圆有3种位置关系：以直线l与圆O的为例（设⊙O 的半径为r，圆心到直线
的距离为d），则有：
（1）直线l与⊙O相交d r，直线和圆有两个公共点；
（2）直线l与⊙O相切d =r，直线和圆只有一个公共点，就说这条直线和圆相切，
这个点叫做切点。
（3）直线l与⊙O相离d r，直线和圆没有公共点。
30资
源
公
众
号
：
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25
2.切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
3.切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径。
4.切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切
线长。
5.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的
连线平分两条切线的夹角。
6.内切圆：和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形
三条角平分线的交点，称为三角形的内心。
7.两圆之间有5种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含；
有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；有两个公共点的叫相交。两圆
圆心之间的距离叫做圆心距。两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P：外离P＞R+r；
外切P=R+r；相交R-r＜P＜R+r；内切P=R-r；内含P＜R-r。
24.3 正多边形和圆
正多边形的中心、半径、中心角、边心距：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这
个正多边形的中心。外接圆的半径叫做正多边形的半径。正多边形每一对边所对的圆
心角叫做正多边形的中心角。中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。
24.4 弧长和扇形面积（注意过程）
（一）扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。
（二）扇形弧长： 。
nR2 1
（三）扇形面积：s= = lR。
360 2
（四）圆锥:是由一个底面和一个侧面围成的几何体。
圆锥的母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。
圆锥的高：连接圆锥顶点和底面圆心的线段叫做圆锥的高。
1
（五） 圆锥侧面积：𝑠 = ⋅2𝜋𝑟⋅𝑙 =𝜋𝑟𝑙
侧 2
（六）圆锥的全面积：s =s +s =rl+r2
全 侧 底
第二十五章 概率初步
25.1 随机事件与概率
31资
源
公
众
号
：
b
ig
u
o
（一）随机事件
25
1.必然事件：在一定条件下，必然会发生的事件，称为必然事件；
2.不可能事件：在一定条件下，必然不会发生的事件，称为不可能事件；
3.必然事件和不可能事件统称为确定事件。
4.随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件。
（二）概率（注意例子的引导）
1.概率：把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A)。
2.一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事
𝑚
件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率𝑃(𝐴)= 。
𝑛
3.0≤𝑃(𝐴)=≤1，特别地，当 A 为必然事件时，𝑃(𝐴)=1；当 A 为不可能事件时，
𝑃(𝐴)=0。
25.2 用列举法求概率（注意过程）
（一）在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小
相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率。
（二）列举法常用的表现形式有：（重点看教材的例子）
1.直接列举法：适用于涉及的对象比较单一且出现的等可能结果较少的情况。
2.列表法：当一次设计两个因素时，且可能出现的结果较多时，为不重复不遗漏地列出
所有可能的结果，通常用列表法。
3.画树状图法：当一次试验涉及3个因素或3个以上的因素时，列表法就不方便了，为
不重不遗漏地列出所有可能的结果，通常用画树状图法。
25.3 用频率估计概率
（一）适用条件：当试验的所有结果不是有限个，或者各种可能结果发生的可能性不相
等时常用频率估计概率。
（二）归纳：利用多次重复试验，通过统计试验结果估计概率的方法叫做用频率估计概
率。当试验的次数n足够大，频率 越接近真实值。
（三）注意：概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验反应的规律并非在每一次
试验中都发生。
人教版九年级下
32资
源
公
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号
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25
第二十六章 反比例函数
（一）反比例函数（探究过程）
𝑘
形如𝑦 = （k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。其他
𝑥
形式𝑥𝑦=𝑘，𝑦 =𝑘𝑥−1，𝑦 =𝑘 1 。
𝑥
（二）反比例函数的图象和性质（注意例子和探
究）
1.作函数图象的一般步骤，列表、描点、连线。
（1）自变量不能取0，应多取一些互为相反数的数，这样计算比较简单。
（2）列表描点时要多取部分数值，多描部分点，以便于连线和表达图象的趋势.
（3）连线时不能连成折线。
（4）曲线它不能与x轴y 轴相交。
（5）所连曲线没有端点。
4 4
2. 比较函数𝑦 = 和𝑦 =− 图象，它们有什么相同点和不同点？
𝑥 𝑥
相同点:
形状：图像分别都是由两支曲线组成。
与坐标轴的关系：都不与坐标轴相交.
对称：两个函数图像自身都是轴对称图形,它们各有两条对称轴；两个函数图像自身都
是中心对称图形,对称中心是坐标原点.
不同点:
4 4
位置：𝑦= 两支曲线分别位于第一、三象限内，𝑦 =− 两支曲线分别位于第二、四
𝑥 𝑥
象限内。
4 4
图象变化趋势：𝑦= 每一支曲线y都随x 的增大而增大，𝑦=− 每一支曲线y都随x
𝑥 𝑥
的增大而减小。
3.反比例函数的图象：反比例函数的图象属于双曲线。反比例函数的图象既是轴对称图
形又是中心对称图形。有两条对称轴：直线y=x和 y=-x。对称中心是：原点。
4.反比例函数的性质：
（1）当k＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内
y值随x值的增大而减小；
（2） 当k＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限
内y值随x值的增大而增大。
5.与坐标轴的关系：当x的绝对值无限增大或接近于零时，反比例函数图像的两个分支
都无限接近两坐标轴，但永远不能与两轴相交
6.|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围
成的矩形的面积。
（三）实际问题与反比例函数（了解）
1.体积与边长问题
332.杠杆问题
古希腊科学家阿基米德发现的“杠杆定理”，其本质体现的是力与力臂两个量的反比例
关系。
第二十七章 相似
（一） 图形的相似（注意概念的引入）
1.相似图形：形状相同的图形叫做相似图形。
2.相似多边形：两个变数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两
个多边形叫做相似多边形。
3.相似多边形的性质：相似多边形对应角相等,对应边的比相等。
3.相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比。
（二）相似三角形的判定（注意探究过程）
1. 用相似符号“∽”表示两个三角形相似，书写时应把对应顶点写在对应位置上。
2.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。互为相似形
的三角形叫做相似三角形 。
3.相似比：如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的
比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比(或相似系数)，这里，必须注意的是顺序问题
和对应问题。例如：△ABC∽△DEF，那么是△ABC与△DEF的相似比，而是指△DEF与△ABC
的相似比，而这两相似比互为倒数。由此可说明全等三角形是相似三角形当相似比等于l时
约特殊情况。
4.平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比
例。结论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例。
5.判定相似三角形的定理：（所有判定定理重点看推导证明过程）
（1）平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与
原三角形相似
（2）三边成比例的两个三角形相似；
（3）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
（4）两角分别相等的两个三角形相似。
（三）相似三角形的性质（注意探究过程）
1.相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；
2.相似三角形对应线段的比等于相似比；
3.相似三角形面积的比等于相似比的平方。
（四）相似三角形应用举例
利用三角形的相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度的问题。
“相似三角形对应边的比相等”
34
资
源
公
众
号
：
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o
25
四条对应边中若已知三条则可求第四条。
（五） 位似
位似图形：对应顶点的连线相交于一点的两个相似图形叫做位似图形。这点叫做位似中
心。
位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为
位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k。资
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公
众
号
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第二十八章 锐角三角函数
（一）锐角三角函数（注意过程探究）
1.Rt△ABC中，
∠A的对边
(1)∠A的对边与斜边的比值是∠A的正弦，记作sinA＝
斜边
∠A的邻边
(2)∠A的邻边与斜边的比值是∠A的余弦，记作cosA＝
斜边
∠A的对边
(3)∠A的对边与邻边的比值是∠A的正切，记作tanA＝
∠A的邻边
2.特殊值的三角函数：
a sina cosa tana
1 3 3
30°
2 2 3
2 2
45° 1
2 2
3 1
60° 3
2 2
（二）解直角三角形及其应用
解直角三角形：由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三
角形。
应用举例归纳：利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
1.将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）。
2.根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形。
3.得到数学问题的答案。
4.得到实际问题的答案。
第二十九章 投影与视图
（一）投影
1.投影：用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影。
2.平行投影：由平行光线形成的投影叫做平行投影。
3.中心投影：由同一点发出的光线形成的投影叫做中心投影。
4.正投影：垂直于投影面产生的投影叫做正投影。
5.归纳：当物体的某个面平行于投影面时，这个免得正投影与这个面的形状、大小完
全相同。
（二）三视图
35资
源
公
众
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25
1.视图：从某一方向观察一个物体时，所看到的平面图形叫做物体的一个视图。
2.三视图：对一个物体在三个投影面内进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体
的视图叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图叫做俯视图；在侧面内得到
的由左向右观察物体的视图叫做左视图。
3.三视图特点：主视图与俯视图的长对正；主视图与左视图的高平齐；左视图与俯视图
的宽相等。
36
