文档内容
备注：红色字体部分重点识记
人教版必修一
第一章 集合与函数概念
1.1 集合
知识点梳理
（一）集合
1.集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
2.集合中的元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。
说明：
（1）对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这
个给定的集合的元素。
（2）任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集
合时，仅算一个元素。
（3）集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较
它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。
（4）集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
3.集合的表示：
（1）{…}如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
（2）用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
（3）集合的表示方法：列举法与描述法。
列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。
描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定
的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
（1）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
（2）数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x R|x-3>2}或{x|x-3>2}
（4）常用数集及其记法：
非负整数集(即自然数集)N, 正整数集N*或N+ , 整数集Z , 有理数集Q , 实数集R
（5）元素与集合的关系：
集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集合 A
记作 ，相反，a不属于集合A记作 。
4.集合的分类：
（1）有限集含有有限个元素的集合
（2）无限集含有无限个元素的集合
（3）空集不含任何元素的集合例：
1
（二）集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
有两种可能有两种可能(1)A 是 B 的一部分;(2)A 与 B 是同一集合。反之,集合 A
不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作 或
2.“相等”关系
对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的
任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：
（1）任何一个集合是它本身的子集。即
（2）如果 ，且 那就说集合A是集合B的真子集，记作 或
（3）如果 ， ，那么
（4）如果 同时 那么
注意：若一个集合中有 n 个元素则它的所有子集个数 ，它的所有真子集个数 ，
它的所有非空真子集个数 。
3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
（三）集合的运算
1.交集的定义：一般地，由所有属于 A且属于B 的元素所组成的集合，叫做A,B的交
集。记作A∩B(读作＂A交B＂)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}。
2.并集的定义：一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做
A,B的并集。记作：A∪B(读作＂A并B＂)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}。
3.交集与并集的性质：A∩A = A， A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A，
A∪φ= A ，A∪B = B∪A。
4.全集与补集：
（1）全集：如果集合U含有我们所要研究的各个集合的全部元素，
这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。
S
（2）补集：设 U 是一个集合，A 是 U 的一个子集（即 ）， A
由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做U中子集A的补集（或
余集）记作：
即
（3）性质：①
②
2③
1.2 函数及其表示
1.2.1 函数的概念
知识点梳理
（一）函数的概念
1.设 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则 ，对于集合 中任何一个数 ，
在集合 中都有唯一确定的数 和它对应，那么这样的对应（包括集合 ， 以及 到
的对应法则 ）叫做集合 到 的一个函数，记作 。
2.函数的三要素：定义域、值域和对应法则。
3.只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数。
（二）区间的概念及表示法
1.设 是两个实数，且 ，满足 的实数 的集合叫做闭区间，记做 ；
满足 的实数 的集合叫做开区间，记做 ；满足 ，或 的实数
的集合叫做半开半闭区间，分别记做 ， ；满足 的实数
的集合分别记做 。
注意：对于集合 与区间 ，前者 可以大于或等于 ，而后者必须
，（前者可以不成立，为空集；而后者必须成立）。
1.2.2 函数的表示法
知识点梳理
（一）函数的表示方法
表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种。
解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。
列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系。
图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系。
（二）映射的概念
31.设 是两个集合，如果按照某种对应法则 ，对于集合 中任何一个元素，在集
合 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合 以及 到 的对应法则
）叫做集合 到 的映射，记作 。
2.给定一个集合 到集合 的映射，且 。如果元素 和元素 对应，那么我
们把元素 叫做元素 的象，元素 叫做元素 的原象。
1.3 函数的基本性质
1.3.1 单调性与最大（小）值
知识点梳理
（一）函数的单调性
1.定义及判定方法
函数的
定义 图象 判定方法
性 质
如果对于属于定义域I内 （1）利用定义
某个区间上的任意两个 （2）利用已知函数
的单调性
自变量的值 ，当
y y=f(X) （3）利用函数图象
f(x ) （在某个区间图
2
函数的 时，都有
象上升为增）
单调性 f(x )
1 （4）利用复合函数
，那么就
o
x x x
1 2
说 在这个区间上是
增函数。
4如果对于属于定义域I内 （1）利用定义
某个区间上的任意两个 （2）利用已知函数
的单调性
自变量的值 ，当
（3）利用函数图象
（在某个区间图
时，都有
象下降为减）
（4）利用复合函数
，那么就
说 在这个区间上是
减函数。
2.在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去
一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数。
（二）对“√”函数 的图象与性质
分别在 上为增函数，分别在 上为减函数。
（三）最大（小）值定义
1.一般地，设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足：
（1）对于任意的 ，都有 ；
（2）存在 ，使得 。那么，我们称 是函数 的最大值，记作
。
2.一般地，设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足：
5
y
o
f( x )1
x
y
1
= f ( X
f( x
)
)2
x
2
x（1）对于任意的 ，都有 ；
（2）存在 ，使得 。那么，我们称 是函数 的最小值，记作
。
1.3.2 奇偶性
知识点梳理
（一）函数的奇偶性
1.定义及判定方法
函数的
定义 图象 判定方法
性 质
（1）利用定义（要
如果对于函数 定义
先判断定义域是否
域内任意一个x，都有 关于原点对称）
（2）利用图象（图
那么函
象关于原点对称）
数 叫做奇函数。
函数的
奇偶性 （1）利用定义（要
如果对于函数 定义
先判断定义域是否
域内任意一个x，都有 关于原点对称）
（2）利用图象（图
那么函数
象关于y轴对称）
叫做偶函数。
2.若函数 为奇函数，且在 处有定义，则 。
3.奇函数在 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在 轴两侧相对称的区间增减性
相反。
4.在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），
两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）
是奇函数。
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
2.1 指数函数
2.1.1 指数与指数幂的运算
6知识点梳理
（一）根式的概念
1.如果 ，那么 叫做 的 次方根。当 是奇数时， 的
次方根用符号 表示；当 是偶数时，正数 的正的 次方根用符号 表示，负的 次
方根用符号 表示；0的 次方根是0；负数 没有 次方根。
2.式子 叫做根式，这里 叫做根指数， 叫做被开方数。当 为奇数时， 为任意实
数；当 为偶数时， 。
3.根式的性质：
当 为奇数时， ；
当 为偶数时， 。
（二）分数指数幂的概念
1.正数的正分数指数幂的意义是： 。0的正分数
指数幂等于0。
2.正数的负分数指数幂的意义是： 。
0的负分数指数幂没有意义。 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数。
（三）分数指数幂的运算性质
1.
2.
3.
2.1.2 指数函数及其性质
知识点梳理
（一）指数函数
函数名称 指数函数
定义 函数 叫做指数函数
7图像
8
a 1 0 a 1
定义域
值域 ( 0 , + )
过定点 图象过定点 ，即当 时， 。
奇偶性 非奇非偶
单调性 在 上是增函数 在 上是减函数
函数值的
变化情况
变化对 图象的
在第一象限内， 越大图象越高；在第二象限内， 越大图象越低。
影响
2.2 对数函数
2.2.1 对数与对数运算
知识点梳理
（一）对数的定义
1.若 ，则 叫做以 为底 的对数，记作 ，其中 叫做
底数， 叫做真数。
2.负数和零没有对数。
3.对数式与指数式的互化： 。
4.几个重要的对数恒等式
y = a x
x
y = 1
O
(0
y
,1 )
y=ax
x
y
(0,1)
y = 1
O
资
源
公
众
号
：
b
ig
u
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25， ， 。
5.常用对数与自然对数
常用对数： ，即 ；自然对数： ，即 （其中 …）。
（二）对数的运算性质
如果 ，那么
（1）加法：
（2）减法：
（3）数乘：
（4）
（5）
（6）换底公式：
2.2.2 对数函数及其性质
知识点梳理
（一）对数函数及其性质
函数
对数函数
名称
定义 函数 叫做对数函数
y
图象
x
9
O
x
( 1
=
,
1
0 )
y
y=log x
a
x O
x
(
=
1 ,
1
0 )
资
源
公
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号
：
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ig
u
o
25
y=log x
a定义域
值域
过定点 图象过定点 ，即当 时， 。
奇偶性 非奇非偶
单调性 在 上是增函数 在 上是减函数
函数值的
变化情况
10
a 变化对 图象的影响 在第一象限内， a 越大图象越靠低；在第四象限内， a 越大图象越靠高。
（二）反函数
1.反函数的概念
设函数 的定义域为 ，值域为 ，从式子 中解出 ，得式子 。
如果对于 在 中的任何一个值，通过式子 ， 在 中都有唯一确定的值和它对应，
那么式子 表示 是 的函数，函数 叫做函数 的反函数，记作
，习惯上改写成 。
2.反函数的求法
（1）确定反函数的定义域，即原函数的值域；（2）从原函数式 中反解出
；（3）将 改写成 ，并注明反函数的定义域。
3.反函数的性质
（1）原函数 与反函数 的图象关于直线 对称。
（2）函数 的定义域.值域分别是其反函数 的值域.定义域。
（3）若 在原函数 的图象上，则 在反函数 的图象上。
（4）一般地，函数 要有反函数则它必须为单调函数。
2.3 幂函数
知识点梳理
y = x
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：
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25资
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（一）幂函数的定义
一般地，函数 叫做幂函数，其中 为自变量， 是常数。
（二）幂函数的图象
（三）幂函数的性质
1.图象分布：幂函数图象分布在第一.二.三象限，第四象限无图象。幂函数是偶函数时，
图象分布在第一.二象限(图象关于 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象
关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限。
2.过定点：所有的幂函数在 都有定义，并且图象都通过点 。
3.单调性：如果 ，则幂函数的图象过原点，并且在 上为增函数。如果 ，
则幂函数的图象在(0,+)上为减函数，在第一象限内，图象无限接近 轴与 轴。
4.奇偶性：当 为奇数时，幂函数为奇函数，当 为偶数时，幂函数为偶函数。当
（其中 互质， ），若 为奇数 为奇数时，则 是奇函数，若 为奇数 为
偶数时，则 是偶函数，若 为偶数 为奇数时，则 是非奇非偶函数。
5.图象特征：幂函数 ，当 时，若 ，其图象在直线
11下方，若 ，其图象在直线 上方，当 时，若 ，其图象在直线 上
方，若 ，其图象在直线 下方。
第三章 函数的应用
3.1 方程的根与函数的零点
知识点梳理
（一）函数零点的概念
对于函数 ，把使 成立的实数 叫做函数 的零
点。
（二）函数零点的意义
函数 的零点就是方程 实数根，亦即函数 的图象与
12
x 轴交点
的横坐标。即：
方程 有实数根函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点。
（三）函数零点的求法
求函数 的零点：
1.（代数法）求方程 的实数根；
2.（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 的图象联系起来，
并利用函数的性质找出零点。
（四）二次函数的零点
二次函数 。
1. ，方程 有两不等实根，二次函数的图象与 x
资
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轴有两个交点，二
次函数有两个零点。
2. ，方程 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一
个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点。
3. ，方程 无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零
点。资
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人教版必修二
第一章 空间几何体
知识点梳理
1.1 空间几何体的结构
（一）柱、锥、台、球的结构特征
1.棱柱（参见必修二第3页图1.1-4）
（1）定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边
都互相平行，由这些面所围成的几何体。
（2）分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱.四棱柱.五棱柱等。
（3）表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱
ABCDE-A’B’C’D’E’。
（4）几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面.对角面都是平行四边形；侧
棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
2.棱锥（参见必修二第4页图1.1-5）
（1）定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所
围成的几何体。
（2）分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等。
（3）表示：用各顶点字母，用各顶点字母，如五棱锥， P-ABCDE。
（4）几何特征：侧面.对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相 似，其相似比
等于顶点到截面距离与高的比的平方。
3.棱台（参见必修二第3页图1.1-6）
（1）定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分。
（2）分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱台、四棱台、五棱台等。
（3）表示：用各顶点字母，如四棱台ABCD-A’B’C’D’。
（4）几何特征：上下底面是相似的平行多边形；侧面是梯形；侧棱平行且相等；侧棱
交于原棱锥的顶点。
4.圆柱（参见必修二第5页图1.1-7）
（1）定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何
体。
（2）几何特征：底面是全等的圆；母线与轴平行；轴与底面圆的半径垂直；侧面展开
图是一个矩形。
5.圆锥（参见必修二第5页图1.1-8）
（1）定义：以直角三角形的一条直角边为轴旋转,旋转所成的曲面所围成的几何体。
（2）几何特征：底面是一个圆；母线交于圆锥的顶点；侧面展开图是一个扇形。
6.圆台（参见必修二第5页图1.1-9）
（1）定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分。
（2）几何特征：上下底面是两个圆；侧面母线交于原圆锥的顶点；侧面展开图是一个
弓形。
7.球（参见必修二第6页图1.1-10）
（1）定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体。
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（2）几何特征：球的截面是圆；球面上任意一点到球心的距离等于半径。
1.2 空间几何体的三视图和直观图
（一）中心投影与平行投影
1.中心投影：把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影。（参见必修二第12页图
1.2-3）
2.平行投影：在一束平行光照射下形成的投影叫做平行投影。
（二）空间几何体的三视图
1.三视图（参见必修二第12页图1.2-4）
（1）正视图：从前往后
（2）侧视图：从左往右
（3）俯视图：从上往下
2.画三视图的原则：长对齐.高对齐.宽相等
（三）空间几何体的直观图
1.斜二测画法的步骤（参见必修二第16页图1.2-10）
（1）平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；
（2）平行于y轴的线长度变半，平行于x.z轴的线长度不变；
（3）画法要写好；
（4）成图。
1.3 空间几何体的表面积与体积
（一）柱体.锥体.台体的表面积与体积
1.表面积
圆柱的表面积： （参见必修二第24页图1.3-3）
圆锥的表面积： （参见必修二第24页图1.3-4）
圆台的表面积： （参见必修二第24页图1.3-5）
2.体积
一般柱体的体积：
一般锥体的体积：
一般台体的体积：
（二）球的体积和表面积
1.球的体积：
2.球的表面积：
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
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知识点梳理
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
（一）平面
1.平面（参见必修二第41页图2.1-2）
（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
（3）公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的
公共直线。
（二）空间中直线与直线之间的位置关系
1.空间两条直线的位置关系（参见必修二第44页图2.1-13）
2.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。（空间平行线的传递性）
符号表示为：设a.b.c是三条直线
强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面.空间这个性质都适用。
公理4的作用是判断空间两条直线平行的依据。
3.定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
（三）空间中直线与平面之间的位置关系
1.空间直线与平面的位置关系（参见必修二第44页图2.1-22）
（1）直线在平面内：有无数个公共点；
（2）直线与平面相交：有且只有一个公共点；
（3）直线与平面平行：没有公共点。
直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外。
（四）平面与平面之间的位置关系
1.两个平面之间的位置关系（参见必修二第50页图2.1-25）
（1）两个平面平行：没有公共点；
（2）两个平面相交：有一条公共直线。
2.2 直线、平面平行的判定及其性质
（一）直线与平面平行的判定
1.直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线
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与此平面平行，符号表示：
作用：直线与平面平行的判定定理
（二）平面与平面平行的判定
1.平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两
个平面平行，符号表示：
作用：平面与平面平行的判定定理
（三）直线与平面平行的性质
1.直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与
此平面的交线与该直线平行。
（四）平面与平面平行的性质
1.平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的
交线平行。
2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
（一）直线与平面垂直的判定
1.直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条直线都垂直，则该直线与
此平面垂直。（参见必修二第65页图2.3-5）
2.线面角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角。
（二）平面与平面垂直的判定
1.平面与平面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。（参
见必修二第68页图2.3-13）
2.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面
角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
3.二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两
条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。
4.直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。 两相交平面如果所组成的二面角是
直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面
角。
5.求二面角的方法：
（1）定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平
面角；
（2）垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面两个面的交线所
成的角为二面角的平面角。
（三）直线与平面垂直的性质
1.直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
四、平面与平面垂直的性质
1.平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一
个平面垂直。
第三章 直线与方程
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知识点梳理
3.1 直线的倾斜角与斜率
（一）平面
1.直线的倾斜角（参见必修二第82页图3.1-2）
定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴
平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是 。
2.直线的斜率
（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的
斜率常用 表示。即 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。
（2）过两点的直线的斜率公式：
（二）两条直线平行与垂直的判定
1.对于两条直线 ， ，其斜率分别为 ， ，有
注意：若直线 ， 可能重合时，我们得到
2.对于两条直线 ， ，且它们互相垂直。即
3.2 直线的方程
（一）直线的点斜式方程
1.点斜式：
2.注意：当直线的斜率为0°时， 。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在。
（二）直线的两点式方程
1.两点式：
（三）直线的一般式方程
1.斜截式：𝑦=𝑘𝑥+𝑏
𝑥 𝑦
2.截距式： + =1
𝑎 𝑏
3.一般式：𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶 =0（𝐴，𝐵不全为0）
4.直线系方程：即具有某一共同性质的直线
（1）平行直线系
平行于已知直线𝐴 𝑥+𝐵 𝑦+𝐶 =0（𝐴 ，𝐵 不全为0）的直线系𝐴 𝑥+𝐵 𝑦+𝐶 =0（𝐶
0 0 0 0 0 0 0
为常数）
（2）过定点的直线系
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斜率为k的直线系：𝑦−𝑦 =𝑘(𝑥−𝑥 )，直线过定点(𝑥 ,𝑦 )
0 0 0 0
过两条直线
的交点的直线方程系为
其中，直线 不在直线系中。
5.两直线平行与垂直
（1）
（2）
注：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。
3.3 直线的交点坐标与距离公式
（一）两条直线的交点坐标
1. 相交
交点坐标即方程组 的一组解。
方程组无解 ；方程组有无数解
（二）两点间的距离
1.两点间的距离公式：设 是平面直角坐标系中的两个点，则
（三）点到直线的距离
1.点 到直线 的距离
（四）两条平行直线间的距离
1.两条平行直线 间的距离
第四章 圆与方程
知识点梳理
4.1 圆的方程
（一）圆的标准方程
18资
源
公
众
号
：
b
ig
u
o
25
1.定义：平面内与定点间的距离等于定长的点的集合（轨迹）圆（定点为圆心，定长为
半径）。
2.标准方程：圆心为C（a，b），半径为r的圆的标准方程是
圆心在坐标原点，半径为r的圆的标准方程是
（二）圆的一般方程
1.圆的一般方程：
形如 的二元二次方程，
（1）当 时，叫做圆的一般方程。
配方，得 ，
所以圆心为 ，半径为 ；
（2）当 时，方程表示一个点 ；
（3）当 时，它不表示任何图形（没有轨迹）。
4.2 直线、圆的位置关系
（一）直线与圆的位置关系
1.点与圆的位置关系：
设点 到圆 的圆心C的距离为d，则
若 点 在圆心C外；
若 点 在圆心C上；
若 点 在圆心C内；
2. 直线与圆的位置关系：
直线与圆相交 有两个公共点
直线与圆相切 有一个公共点
直线与圆相交 没有公共点
（二）圆与圆的位置关系
1.利用圆心距和两圆半径比较大小（几何法）：
设两圆 与 的圆心距为d，显然
，则位置关系表示如下：
外离；
外切；
19资
源
公
众
号
：
b
ig
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25
相交；
内切；
内含
2.利用两圆的交点进行判断（代数法）：
设由两圆的方程组成的方程组为
由此方程组得：有两组不同的实数解 两圆相交；
有两组相同的实数解 两圆相切；
无实数解 两圆相离。
4.3 空间直角坐标系
（一）空间直角坐标系
1.定义：参见必修二第 134 页图 4.3-1，OABC-D’A’B’C’是单位正方体。以 O 为原点，
分别以射线OA，OC，OD’的方向为正方向，以OA，OC，OD’的长为单位长，建立三条数
轴：x轴.y轴.z轴。这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz。其中点O叫做坐标原点，x轴.y
轴.z 轴叫做坐标轴。通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为 xOy 平面.yOz 平
面.zOx平面。
2.右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y
轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。
3.任意点坐标表示：空间一点M的坐标可以用有序实数组（x,y,z）来表示。
（二）空间两点间的距离公式
1.设空间两点 ， ，则A.B两点的距离公式为
人教版必修 3
第一章 算法初步
20资
源
公
众
号
：
b
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25
算法
算法与程序框图 基本算法语句 算法案例
辗转相除法与
算法概念 算法步骤 程序框图 输入与输出语句 赋值语句
更相减损术
顺序结构 条件结构 条件语句 循环语句 秦九韶算法
程序框图
循环结构
的画法 进位制
第二章 统计
整理、分析数据
收集数据
估计、推断
用样本估计总体 变量间的相关关系
简 线
用样本的频 用样本数字
单 分 系 性
率分布估计 特征估计总
随 层 统 回
总体分布 体数字特征
机 抽 抽 归
抽 样 样 分
样 析
知识点梳理
（一）简单随机抽样
1.总体和样本：
总体：在统计学中，把研究对象的全体叫做总体。
个体：把每个研究对象叫做个体。
总体容量：把总体中个体的总数叫做总体容量。
21资
源
公
众
号
：
b
ig
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o
25
2.简单随机抽样：
（1）定义：设一个总体含有 N 个个体，从中逐个不放回地抽取 n 个个体作为样本（n
≤N）。如果每次抽取时总体内的各个个体抽到的机会都相等，称这种抽样方法为简单随机
抽样。
（2）特点：
被抽取样本的总体中个体数有限。便于通过随机抽取的样本对总体进行分析；
从总体中逐个不放回地进行抽取；
每次抽取时，总体中各个个体被抽到的可能性相同。
（3）分类：
最常用的简单随机抽样方法有：抽签法和随机数法。
抽签法：把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个不透明容器中，
搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容器为n的样本。
随机数法：利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样。
（二）系统抽样
1.定义：
把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。
第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。
2.特点：
系统抽样也是等概率抽样，即每个个体被抽到的概率是相等的，从而保证了抽样的公平
性。系统抽样适合于总体的个体数较多的情形，操作上分四个步骤进行，除了剔除余数个体
和确定起始号由事先定下的规则自动生成，从而使得系统抽样操作简单、方便。
3.步骤：
（1）将总体的N个个体编号。
𝑁 𝑁
（2）确定分段间隔k，对编号进行分段。当 （n是样本容量）是整数时，取𝑘 = 。
𝑛 𝑛
（3）在第1段内用简单随机抽样确定起始个体编号𝑙(𝑙 ≤𝑘)。
（4）按照一定的规则抽取样本。
（三）分层抽样
1.定义：
当总体由有明显差别的几部分组成时，按照某种特征将总体中的个体分成互不交叉的层，
然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层抽出的个体合在一起作为
样本，这种抽样方法叫做分层抽样。
2.特点：
使用分层抽样的前提是总体可以分层，层与层之间有明显的区别。明确分层的界限和数
目，只要分层得当，一般来说抽样结果就比简单随机抽样更能反映总体情况。
3.步骤：
（1）分层。
（2）按比例确定每层抽取个体的个数。
（3）各层抽样，方法可以不同。
（4）汇合成样本。
（四）用样本的频率分布估计总体分布
1.频率分布表：当总体容量很大或不便获得时，可以用样本的频率分布估计总体的频率
分布。我们把反映总体频率分布的表格成为频率分布表。
22资
源
公
众
号
：
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o
25
2.频率分布直方图：利用直方图反映样本的频率分布规律，这样的直方图成为频率分布
直方图，简称频率直方图。具体画法参见必修3第66页。
（五）用样本的数字特征估计总体的数字特征
1.众数：出现次数最多的数。在样本数据的频率分布直方图中，众数就是最高矩形的底
边中点的横坐标。
2.中位数：如果将一组数据按从小到大的顺序排列，当数据有奇数个时，处在最中间的
一个数是这组数据的中位数；当数据有偶数个时，处在最中间的两个数的平均数是这组数据
的中位数。频率分布直方图中，中位数左右的直方图面积相等。
3.平均数：一组数据的总和除以数据的个数所得的商就是这组数据的平均数。
𝑛
1 1
𝑥̅ = (𝑥 +𝑥 +⋯+𝑥 )= ∑𝑥
𝑛 1 2 𝑛 𝑛 𝑖
𝑖=1
平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐
标之和。
4.样本标准差：反映样本数据的分散程度的大小，一般用s表示。
(𝑥 −𝑥̅)2+(𝑥 −𝑥̅)2+⋯+(𝑥 −𝑥̅)2
s=√ 1 2 𝑛 ,s≥0
𝑛
标准差越大，离散程度越大，数据较分散；
标准差越小，离散程度越小，数据较集中。
5.样本方差：
𝑛
(𝑥 −𝑥̅)2+(𝑥 −𝑥̅)2+⋯+(𝑥 −𝑥̅)2 1
s= 1 2 𝑛 = ∑(𝑥 −𝑥̅)2
𝑛 𝑛 𝑖
𝑖=1
（六）变量间的相关关系
参见必修3第84-87页。
1.如果散点图中点的分布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，
我们将它成为正相关。同理，若从左上角到右下角的分布，则是负相关。
2.回归直线：如果散点图重点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个
变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线。
3.最小二乘法：
∑𝑛 (𝑥 −𝑥̅)(𝑦 −𝑦̅) ∑𝑛 𝑥 𝑦 −𝑛𝑥̅𝑦̅
𝑖=1 𝑖 𝑖 𝑖=1 𝑖 𝑖
𝑏 = =
{ ∑𝑛 (𝑥 −𝑥̅)2 ∑𝑛 𝑥2−𝑛𝑥̅2
𝑖=1 𝑖 𝑖=1 𝑖
𝑎 =𝑦̅−𝑏𝑥̅
第三章 概率
23资
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号
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25
概率、概率的意义 应
随机事件 频率
与性质 用
概
率
解
决
实
际
古典概型 几何概型 问
题
随机数与随机模拟
知识点梳理
（一）随机事件的概率
1.基本概念：
（1）必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件；
（2）不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件；
（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件；
（4）随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事
件；
（5）频数与频率：在相同的条件 S下重复 n次试验，观察某一事件 A是否出现，称n
次试验中事件 A出现的次数𝑛 为事件A出现的频数；称事件A出现的比例𝑓 (𝐴)=
𝑛𝐴为事件
𝐴 𝑛
𝑛
A出现的概率。对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率𝑓 (𝐴)
𝑛
稳定在某个常数上，把这个常数记作P（A），称为事件A的概率。
（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数 与试验总次
数 n 的比值𝑓 (𝐴)=
𝑛𝐴
它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的
𝑛
𝑛
不断增多，这种摆动幅度越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反
映了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件
的概率。
（二）概率的意义
参见必修3第113-118页。
（三）概率的基本性质
1.基本概念：
24资
源
公
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：
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25
（1）事件的关系：包含事件、并事件、交事件和相等事件；（参见必修3第119页图
3.3-1、图3.3-2）。
（2）互斥事件：若A⋂B为不可能事件，即A⋂B=ϕ，那么称事件A与事件B互斥。
（3）对立事件：若A⋂B为不可能事件，即A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互
为对立事件。
2.基本性质：
（1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1。
（2）当事件A与事件B互斥时，满足加法公式：
P(A⋃B)=P(A)+P(B)
（3）当事件A与事件B对立时，则A⋃B为必然事件，所以
P(A⋃B)=P(A)+P(B)=1
（4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中
不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：
事件A发生且事件B不发生；
事件A不发生且事件B发生；
事件A与事件B 同时不发生，而对立事件是指事件A 与事件B有且仅有一个发生，其
包括两种情形；事件A发生B不发生；事件B发生事件A不发生。
（四）古典概型
1.概念：
（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
（2）每个基本事件出现的可能性相等。
我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型。
2.古典概型的概率公式：
A包含的基本事件的个数
P(A)=
基本事件的总数
（五）几何概型
1.概念：
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样
的概率模型为几何概率模型。
2.几何概型的概率公式：
构成事件A的区域长度（面积或体积）
P(A)=
试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
人教版必修四
第一章 三角函数
25知识点梳理
（一）任意角
1.任意角的概念
正角：按逆时针方向旋转形成的角
负角：按顺时针方向旋转形成的角
零角：不作任何旋转形成的角
2.象限角：角α的顶点与原点重合，角的始边与
26
x
资
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ig
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25
任意角与弧度制， 任意角的三角函数 三角函数的图像和 三角函数模型的简
单位圆 定义三角函数线 性质 单应用
同角三角函数的基
诱导公式
本关系式
轴的非负半轴重合，终边落在第几象
限，则称α为第几象限角。
第一象限角的集合为{α|𝑘∙360°<α 𝟎,𝝎 > 𝟎)的性质
1.振幅：A；
2𝜋
2.周期：T= ；
𝜔
1 𝜔
3.频率：𝑓 = = ；
𝑇 2𝑇
4.相位：ωx+φ；
5.初相：φ。
注意：函数𝑦=𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥+𝜑)+𝐵，若当 x=x 时，取得最小值为 y ；当 x=x 时，取
1 min 2
1 1 𝑇
得最大值为y ，则A= (𝑦 −𝑦 )，B= (𝑦 +𝑦 )， =𝑥 −𝑥 (x <𝑥 )。
max 𝑚𝑎𝑥 𝑚𝑖𝑛 𝑚𝑎𝑥 𝑚𝑖𝑛 2 1 1 2
2 2 2
第二章 平面向量资
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公
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25
向量
实际背景
向量及其 向量的数
线性运算
基本概念 量积
基本定理
坐标表示
向量的应
用
知识点梳理
（一）向量的物理背景与概念
1. 了解四种常见向量
力、位移、速度、加速度。
2. 既有大小又有方向的量叫做向量
（二）向量的几何表示
1. 带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度。
2. 向量𝐴⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ 的大小，也就是向量𝐴⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ 的长度（或称模），记作|𝐴⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ |；长度为零的向量
叫做零向量；长度等于1个单位的向量叫做单位向量。
3. 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）。规定：零向量与任意向
量平行。
（三）相等向量与共线向量
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
（四）向量加法运算及其几何意义
1. 三角形法则的特点
（1）首尾相连
（2）平行四边形法则的特点：共起点。
（3）三角形不等式：||𝑎 |−|𝑏⃗ ||≤|𝑎 +𝑏⃗ |≤|𝑎 |+|𝑏⃗ |。
（4）运算性质：
交换律：𝑎 +𝑏⃗ =𝑏⃗ +𝑎 ；
结合律：(𝑎 +𝑏⃗ )+𝑐 =𝑎 +(𝑏⃗ +𝑐 )；𝑎 +0⃗ =0⃗ +𝑎 =𝑎 。
（五）向量减法运算及其几何意义
长度相等方向相反的向量叫做互为相反向量。
29资
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公
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25
三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量。
（六）向量数乘运算及其几何意义
1. 规定
实数λ与向量𝑎 的积是一个向量，这种运算叫做向量的
数乘。记作：λ𝑎 ，它的长度和方向规定如下：
（1）|λ𝑎 |=|λ||𝑎 |；
（2）当λ>0时, λ𝑎 的方向与𝑎 的方向相同；当λ<0时, λ𝑎 的方向与𝑎 的方向相反。
2. 运算律
（1）λ(μ𝑎 )=(λμ)𝑎 ；
（2）(𝜆+𝜇)𝑎 =𝜆𝑎 +𝜇𝑎 ；
（3）𝜆(𝑎 +𝑏⃗ )=𝜆𝑎 +𝜆𝑎 。
3. 平面向量共线定理
向量𝑎 (𝑎 ≠0⃗ )与𝑏⃗ 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使𝑏⃗ =𝜆𝑎 。
（七）平面向量基本定理
如果𝑒⃗⃗⃗ ,𝑒⃗⃗⃗ 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量𝑎 ，有且只
1 2
有一对实数λ ,𝜆 ，使𝑎 =λ 𝑒⃗⃗⃗ +𝜆 𝑒⃗⃗⃗ 。
1 2 1 1 2 2
（八）平面向量的正交分解及坐标表示𝒂⃗⃗ = 𝒙𝒊 +𝒚𝒋 = (𝒙,𝒚)。
（九）平面向量的坐标运算
1. 设𝑎 =(𝑥 ,𝑦 )， 𝑏⃗ =(𝑥 ,𝑦 )，则：
1 1 2 2
（1）𝑎 +𝑏⃗ =(𝑥 +𝑥 ,𝑦 +𝑦 ,)，
1 2 1 2
（2）𝑎 −𝑏⃗ =(𝑥 −𝑥 ,𝑦 −𝑦 ,)，
1 2 1 2
（3）λ𝑎 =(𝜆𝑥 ,𝜆𝑦 )，
1 1
（4）𝑎 ∥𝑏⃗ ⟺𝑥 𝑦 =𝑥 𝑦 。
1 2 2 1
2. 设A(x,y)，B(x,y)，则：𝐴⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ =(𝑥 −𝑥 ,𝑦 −𝑦 )。
1 1 2 2 2 1 2 1
（十）平面向量共线的坐标表示
1.设A(x y)，B(x,y)，C(x,y)，则
1， 1 2 2 3 3
（1）线段AB中点坐标为(
𝑥1+𝑥2, 𝑦1+𝑦2)，
2 2
（2）△ABC的重心坐标为(
𝑥1+𝑥2+𝑥3, 𝑦1+𝑦2+𝑦3)。
3 3
（十一）平面向量数量积的物理背景及其含义
1.数量积的定义：𝑏⃗ =|𝑎 ||𝑏⃗ |𝑐𝑜𝑠 𝜃。
2.数量级的几何意义：
（1）𝑎 在𝑏⃗ 方向上的投影为：|𝑎 |𝑐𝑜𝑠 𝜃
（2）几何意义：数量积𝑎 ⋅𝑏⃗ 等于𝑎 的长度与𝑏⃗ 在𝑎 的方向上的投影 |𝑏⃗ |𝑐𝑜𝑠 𝜃的乘积。
3.性质：设𝑎 和𝑏⃗ 都是非零向量，则：
（1）𝑎 ⊥ 𝑏⃗ ⟺𝑎 ⋅𝑏⃗ =0。
（2）当𝑎 与𝑏⃗ 同向时，𝑎 ⋅𝑏⃗ =|𝑎 ||𝑏⃗ |；当𝑎 与𝑏⃗ 反向时，𝑎 ⋅𝑏⃗ =−|𝑎 ||𝑏⃗ |；𝑎 ⋅𝑎 =𝑎 2 =|𝑎 |2
或|𝑎 |=√𝑎 ∙𝑎 。
（3）|𝑎 ⋅𝑏⃗ |≤|𝑎 ||𝑏⃗ |。
30资
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o
4．运算律：（1）𝑎 ⋅𝑏⃗ =𝑏⃗ ⋅𝑎 ；（2） (λ𝑎 )⋅𝑏⃗ =λ(𝑎 ⋅𝑏⃗ )=𝑎 ⋅(λ𝑏⃗ )；（3）(𝑎 +𝑏⃗ )⋅𝑐 =
25
𝑎 ⋅𝑐 +𝑏⃗ ⋅𝑐 。
（十二）平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
1.坐标运算：设两个非零向量𝑎 =(𝑥 ,𝑦 )， 𝑏⃗ =(𝑥 ,𝑦 )，则𝑎 ∙ 𝑏⃗ =𝑥 𝑥 +𝑦 𝑦 。
1 1 2 2 1 2 1 2
性质：若𝑎 =(𝑥,𝑦)，则|𝑎 |2 =𝑥2+𝑦2，或|𝑎 |=√𝑥2+𝑦2。
设𝑎 =(𝑥 ,𝑦 )，𝑏⃗ =(𝑥 ,𝑦 )，则𝑎 ⊥ 𝑏⃗ =𝑥 𝑥 +𝑦 𝑦 =0。
1 1 2 2 1 2 1 2
2.设𝑎 、𝑏⃗ 都是非零向量，𝑎 =(𝑥 ,𝑦 )， 𝑏⃗ =(𝑥 ,𝑦 )，θ是𝑎 与𝑏⃗ 的夹角，则
1 1 2 2
𝑎 ⋅𝑏⃗ 𝑥 𝑥 +𝑦 𝑦
cos θ= =
1 2 1 2
|𝑎 ||𝑏⃗ |
√𝑥 2+𝑦 2√𝑥 2+𝑦 2
1 1 2 2
第三章 三角恒等变换
差
角 和 倍
余 差 角
弦 公 公
公 式 式
式
简单三角恒等变换
知识点梳理
（一）两角差的余弦公式
1.cos(α−β)=cos𝛼cos𝛽+sin𝛼sin𝛽
2.记住15°的三角函数值：
α sin𝛼 cos𝛼 tan𝛼
𝜋 √6−√2 √6+√2
2−√3
12 4 4
（二）两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1. cos(α+β)=cos𝛼cos𝛽−sin𝛼sin𝛽
2. sin(α−β)=sin𝛼cos𝛽−cos𝛼sin𝛽
3. sin(α+β)=sin𝛼cos𝛽+cos𝛼sin𝛽
31资
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公
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25
tan𝛼+tan𝛽
4.tan(𝛼+𝛽)=
1−tan𝛼tan𝛽
tan𝛼−tan𝛽
5. tan(𝛼−𝛽)=
1+tan𝛼tan𝛽
（三）二倍角的正弦、余弦、正切公式
1.sin2𝛼 =2sin𝛼cos𝛼，
2.cos2𝛼 =cos2𝛼−sin2𝛼 =2cos2𝛼−1=1−2sin2𝛼，
变形1：cos2𝛼 = 1+cos2𝛼
2
变形2：sin2𝛼 = 1−cos2𝛼
2
2tan𝛼
3.tan2𝛼 =
1−tan2𝛼
（四）简单的三角恒等变换
三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，
灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：
1.角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角
与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，
使问题获解，对角的变形如：
α α α
（1）2α是α的二倍；4α是2α的二倍；α是 的二倍； 是 的二倍；
2 2 4
30°
（2）15°=45°−30°=60°−45°= ；
2
（3）α=(α+β)−𝛽；
𝜋 𝜋 𝜋
（4） +α= −( −𝛼)；
4 2 4
𝜋 𝜋
（5）2α=(α+β)+(α−β)=( +𝛼)−( −𝛼)；等等
4 4
2.函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余
弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。
3.常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例
如常数“1”的代换变形有：
1=sin2𝛼+cos2𝛼 =tan𝛼cot𝛼 =sin90°=tan45°
4.幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处
理的方法。
（1）常用降幂公式
1+cos2𝛼 1−cos2𝛼
①cos2𝛼 = ,②sin2𝛼 = ;
2 2
（2）常用升幂公式有cos2𝛼 =cos2𝛼−sin2𝛼 =2cos2𝛼−1=1−2sin2𝛼，
5.公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。
如：
1+tan𝛼 1−tan𝛼
=__________________; =____________________;
1−tan𝛼 1+tan𝛼
32资
源
公
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25
tan𝛼+tan𝛽 =____________________;1−tan𝛼tan𝛽 =____________________;
tan𝛼−tan𝛽 =____________________;1+tan𝛼tan𝛽 =____________________;
2tan𝛼 =______________________ ;1−tan2𝛼 =____________________;
tan20°+tan40°+√3𝑡𝑎𝑛20°𝑡𝑎𝑛40°=____________________;
sin𝛼+cos𝛼 =______________________=_________________________;
asin𝛼+bcos𝛼 =______________________=_________________________;(其中tan φ= )
1+cos𝛼 = ;1−cos𝛼 = ;
6.三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；
基本规则是：见切化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化
有理，特殊值与特殊角的三角函数互化。
33人教版必修五
第一章 解三角形
1.1 正弦定理和余弦定理
知识点梳理
（一）正弦定理
在 中，
34
a 、 b 、 c 分别为角 、 、 C 的对边，则有
(R为 的外接圆的半径)。
（二）正弦定理的变形公式
1. ， ， ；
2. ， ， ；
3. 。
（三）三角形面积公式
．
四、余弦定理
在 中，有 ，推论：
，推论：
，推论：
1.2 应用举例
知识点梳理
（一）坡角和坡度
坡面与水平面的锐二面角叫做坡角，坡面的垂直高度h和水平宽度l 的比叫做坡度，用 i
资
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表示，根据定义可知：坡度是坡角的正切，即i =tan。
（二）俯角和仰角资
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25
如图所示，在同一铅垂面内，在目标视线与水平线所成的夹角中，目标视线在水平视线
的上方时叫做仰角，目标视线在水平视线的下方时叫做俯角。
（三）方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为 。
注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言
的，而方位角是相对于正北方向而言的。
（四）方向角
相对于某一正方向的水平角.
（五）视角
由物体两端射出的两条光线，在眼球内交叉而成的角叫做视角。
第二章 数列
2.1 数列的概念与简单表示法
知识点梳理
（一）数列的概念
一般地，按一定次序排列成一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，数
列的一般形式可以写成 ，简记为数列 ，其中第一项 也成为首项；
是数列的第 项，也叫做数列的通项。
数列可看作是定义域为正整数集 （或它的子集）的函数，当自变量从小到大取值时，
该函数对应的一列函数值就是这个数列。
（二）数列的分类
按数列中项的多数分为：
1.有穷数列：数列中的项为有限个，即项数有限；
2.无穷数列：数列中的项为无限个，即项数无限。
（三）通项公式
如果数列{𝑎 }的第𝑛项𝑎 与项数𝑛之间的函数关系可以用一个式子表示成𝑎 =𝑓(𝑛)，那
𝑛 𝑛 𝑛
么这个式子就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式。
（四）数列的函数特征
一般地，一个数列 ，如果从第二项起，每一项都大于它前面的一项，即 ，
那么这个数列叫做递增数列；如果从第二项起，每一项都小于它前面的一项，即 ，
那么这个数列叫做递减数列；如果数列 的各项都相等，那么这个数列叫做常数列。
（五）递推公式
35资
源
公
众
号
：
b
ig
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某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式。
2.2 等差数列
知识点梳理
（一）等差数列的概念
如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么这个数列久叫做等
差数列，这个常数叫做等差数列的公差。
即 （常数），这也是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据。
（二）等差数列的通项公式
设等差数列 的首项为 ，公差为 ，则通项公式为：
， 。
（三）等差中项
1.若 成等差数列，则 叫做 与 的等差中项，且 ；
2.若数列 为等差数列，则 成等差数列，即 是 与 的等差中项，
且 ；反之若数列 满足 ，则数列 是等差数列。
（四）等差数列的性质
1.等差数列 中，若 ，则 ，若
，则 ；
2.若数列 和 均为等差数列，则数列 也为等差数列；
3.等差数列 的公差为 ，则
为递增数列， 为递减数列， 为常数列。
2.3 等差数列的前 n 项和
知识点梳理
（一）定义
数列 的前n项和 ；
（二）数列 的通项 与前 项和 的关系
（三）等差数列的前 项和 公式
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公
众
号
：
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设等差数列 的首项为 公差为 ，则前 项和 。
（四）等差数列前 和的性质
1.等差数列 中，连续m项的和仍组成等差数列：
即 ， ， ，仍为等差数列（即
成等差数列）；
2.等差数列 的前n项和 ，当 时，
可看作关于n的二次函数，且不含常数项；
3.若等差数列 共有2n+1（奇数）项，则 且 ；若等差数
列 共有2n（偶数）项，则 且 。
2.4 等比数列
知识点梳理
（一）等比数列的概念
如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比是同一个不为零的常数，那么这个数列
就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 表示（ ）。
即 （ 为非零常数），这也是证明或判断一个数列是否为等比数列的依据。
（二）等比数列的通项公式
设等比数列 的首项为 ，公比为 ，则通项公式为： ，
（ ）。
（三）等比中项
1.若 成等比数列，则 叫做 与 的等比中项，且 ；
2.若数列 为等比数列，则 成等比数列，即 是 与 的等比中项，
且 ；反之若数列 满足 ，则数列 是等比数列。
（四）等比数列的性质
1.等比数列 中，若 ，则 ，若
，则 ；
2.若数列 和 均为等比数列，则数列 也为等比数列；
3.等比数列 的首项为 ，公比为 ，则
或 为递增数列，或 为递减数列，
为常数列。
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源
公
众
号
：
b
ig
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2.5 等比数列的前 n 项和
知识点梳理
（一）定义
数列 的前n项和 ；
（二）数列 的通项 与前n项和 的关系
（三）等比数列前n项和
设等比数列 的首项为 ，公比为 ，则
由等比数列的通项公式及前n项和公式可知，已知 中任意三个，便可建立
方程组求出另外两个。
（四）等比数列的前n项和性质
设等比数列 中，首项为 ，公比为 ，则
1. 连续m项的和仍组成等比数列，
即 ， ， ，仍为等比数列（即
成等比数列）；
2. 当 时， ，设 ，
则 。
第三章 不等式
3.1 不等关系与不等式
知识点梳理
（一）关于实数a,b的大小比较
； ； 。
（二）不等式的性质
1. ；
2. ；
3. ；
4. ， ；
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公
众
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5. ；
6. ；
7. ；
8. 。
3.2 一元二次不等式及其解法
知识点梳理
一元二次不等式的解集的端点值是对应二次方程的根，是对应二次函数的图像与x轴交
点的横坐标。
二次函数
的图象
有两相等实根
有两相异实根
无实根
的根
的解集
的解集
3.3 简单的线性规划问题
知识点梳理
（一）二元一次不等式表示平面区域
在平面直角坐标系中，已知直线 ，坐标平面内的点 。
时，1. ，则点 在直线的上方；
392. ，则点 在直线的下方。
对于任意的二元一次不等式 ，无论 B 为正值还是负值，我们
都可以把y项的系数变形为正数；
当 时，1. 表示直线 上方的区域；
2. 表示直线 下方的区域。
（二）线性规划
求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。
满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域（类
似函数的定义域）；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解生产实际中有许
多问题都可以归结为线性规划问题。
（三）线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：
1.根据题意，设出变量x、y；
2.找出线性约束条件；
3.确定线性目标函数 ；
4.画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；
5.利用线性目标函数作平行直线系 ；
6.观察图形，找到直线 在可行域上使t取得欲求最值的位置，以确定最优解，
给出答案。
3.4 基本不等式
知识点梳理
（一）基本不等式
若 ，则 ，当且仅当 时，等号成立。
称为正数 的算术平均数， 称为正数 的几何平均数。
变形应用： ，当且仅当 时，等号成立。
（二）基本不等式推广形式
如果 ，则 ，当且仅当 时，等号成立。
（三）基本不等式的应用
设 都为正数，则有：
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1.若 （和为定值），则当 时，积 取得最大值 。
2.若 （积为定值），则当 时，和 取得最小值 。
注意：在应用的时候，必须注意“一正二定三相等”三个条件同时成立。
（四）常用不等式
若 ， ； 。
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