文档文本内容
1.2.4 绝对值
课标要点
1. 理解绝对值的代数定义与几何意义；
2. 会求任意有理数的绝对值；
3. 借助绝对值认识数轴上点到原点的距离。
学习重难点
重点：
绝对值概念，求有理数的绝对值。
难点：
理解绝对值非负性；已知绝对值反求原数。
第一章
有理数
知识点
绝对值
◆1、绝对值的定义：一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值，记作 | a |，读作
“a 的绝对值”.
【注意】任何数都有绝对值，并且只有一个，数 a 的绝对值是数轴上表示它的点到原点的距离，因为距
离不可能是负数，所以数 a 的绝对值 | a |为非负数，即 | a |≥0.
◆2、绝对值的性质：
（1）一个正数的绝对值是正数；一个负数的绝对值是正数； 0 的绝对值是 0.
（2）字母 a 表示一个有理数，则
)
0
(
0
)
0
(
)
0
(
|
|
a
a
a
a
a
a
（3）在数轴上，表示一个数的点离原点越近，这个数的绝对值越小；离原点越远，这个数的绝对值越大.
（4）互为相反数的两个数的绝对值相等；绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数.
（5）几个非负式的和为 0，则这几个式子都为 0.
随学随练
1．（24-25 七年级上·新疆和田·阶段检测）−
2
3的相反数是________，−
2
3的绝对值是________，绝对值是5的
数是________．
【答案】
2
3
2
3
5或−5
【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的性质，只有符号不同的两个数互为相反数，负数的绝对值等
于它的相反数，据此进行逐个分析，即可作答．
【详解】解：−
2
3的相反数是
2
3，−
2
3的绝对值是
2
3，绝对值是5的数是5或−5，
故答案为：
2
3，
2
3，5或−5
2．已知数轴上A、B 两点间的距离为5，若点A 表示的数为−2，则点B 表示的数为（ ）
A．3
B．−7
C．3 或−7
D．± 5
【答案】C
【分析】根据在数轴上的点表示有理数以及绝对值的意义，即可求得点B 表示的数．
【详解】设点B 表示的数为𝑥，根据题意得，
|𝑥−(−2)| = 5
则𝑥+ 2 = 5或𝑥+ 2 = −5
解得𝑥= 3或𝑥= −7
故选C
【点睛】本题考查了数轴上两点的距离，绝对值方程，数形结合是解题的关键．
题型一 求一个数的绝对值
▌例1 （2026·浙江杭州·三模）−3的绝对值是（ ）
A．3
B．± 3
C．
1
3
D．−
1
3
【答案】A
【详解】解：|−3| = 3
▌对点练1-1 |−
1
2027|等于（ ）
A．2027
B．−2027
C．
1
2027
D．−
1
2027
【答案】C
【详解】解：|−
1
2027| = −−
1
2027 =
1
2027．
▌对点练1-2
22
7 的绝对值是（ ）
A．−
22
7
B．−
7
22
C．
7
22
D．
22
7
【答案】D
【详解】解：∵
22
7 是正数，即
22
7 > 0，根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，
解题贴士
利用绝对值的性质求一个数的绝对值，一个正数的绝对值是正数；一个负数的绝对值是正数； 0 的绝
对值是 0.
∴|
22
7 | =
22
7 ．
▌对点练1-3（25-26 七年级上·湖南长沙·阶段检测）化简： |−−
7
3 | = ___________________
【答案】
7
3
【分析】本题主要考查了化简多重符号和计算绝对值，先化简多重符号，再计算绝对值即可得到答案．
【详解】解：|−−
7
3 | = |
7
3| =
7
3，
故答案为：
7
3．
▌对点练1-4 化简−−−
1
4
= _______．
【答案】−
1
4
【分析】本题考查了化简多重符号，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据相反数的定义化简多重符
号即可解答．
【详解】解：−−−
1
4
= −
1
4．
故答案为：−
1
4．
题型二 已知绝对值求数
▌例2（2026·山东青岛·三模）绝对值等于2026 的数是（ ）
A．2026
B．−2026
C．± 2026
D．±
1
2026
【答案】C
【分析】根据绝对值的定义，求解绝对值等于给定正数的数即可．
【详解】因为绝对值为正数的数有两个，且这两个数互为相反数，
所以绝对值等于2026 的数是± 2026．
▌对点练2-1 （25-26 七年级上·湖南常德·期中）若|𝑎| = 5，则−𝑎的相反数是（ ）
A．5
B．−5
C．5 或−5
D．
1
5
解题贴士
若绝对值等于正数，解为正负两数；
若绝对值等于 0，解只有 0；
【答案】C
【分析】本题考查了绝对值的概念，求相反数．
根据绝对值的概念求出𝑎= 5或𝑎= −5，求出−𝑎的相反数，进而作答即可．
【详解】解：∵|𝑎| = 5，
∴𝑎= 5或𝑎= −5．
∵−𝑎的相反数是−(−𝑎) = 𝑎，
∴−𝑎的相反数是5 或−5．
故选：C．
▌对点练2-2 一个数的绝对值是4，则这个数是______．
【答案】4 和﹣4．
【详解】解：一个数的绝对值是4，根据绝对值的意义，这个数是：4 和﹣4.
故答案为4 和﹣4．
▌对点练2-3 一个数的绝对值是4
2
3，则这个数是_____．
【答案】±4
2
3.
【分析】根据绝对值的性质得，|4
2
3|=4
2
3，|-4
2
3|=4
2
3，故求得绝对值等于4
2
3的数．
【详解】|4
2
3|=4
2
3，
|−4
2
3|=4
2
3，
所以一个数的绝对值是4
2
3,则这个数是±4
2
3.
故答案为±4
2
3.
【点睛】此题考查负数的意义及其应用，解题关键在于掌握绝对值的性质.
▌对点练2-4 （26-27 七年级·全国·暑假作业）如果|𝑥| = 2025，则𝑥= ______，如果|𝑥| = |−2025|，则
𝑥= ______．化简：|3−𝜋| = ______．
【答案】
± 2025
± 2025
𝜋−3
【分析】本题考查绝对值的定义与化简，根据绝对值的性质求解即可. 绝对值等于一个正数的数有两个，且
互为相反数，化简绝对值需先判断绝对值内代数式的正负，再根据绝对值的性质去绝对值符号．
【详解】解：根据绝对值的定义，若|𝑥| = 𝑎(𝑎> 0)，则𝑥=± 𝑎.
当|𝑥| = 2025时，
解得𝑥=± 2025．
当|𝑥| = |−2025|时，
由|−2025| = 2025，
故|𝑥| = 2025，
因此𝑥=± 2025．
因为𝜋≈3.14 > 3，所以3−𝜋< 0，
根据“负数的绝对值是它的相反数”，可得：
|3−𝜋| = −(3−𝜋) = 𝜋−3．
题型三 绝对值非负性的应用
▌例3 已知|x﹣2|+|y﹣6|＝0，则xy＝ ．
【答案】12．
【分析】根据绝对值的非负性求出x、y 的值，再代入计算即可．
【详解】解：∵|x﹣2|+|y﹣6|＝0，而|x﹣2|≥0，|y﹣6|≥0，
∴x﹣2＝0，y﹣6＝0，
∴x＝2，y＝6，
∴xy＝12，
故答案为：12．
【点睛】本题考查绝对值，理解绝对值的非负性，是解决问题的关键．
▌对点练3-1 （24-25 七年级上·湖南长沙·期末）|𝑎−1| + |𝑏−3| = 0，则a 和b 各为（ ）
A．−1，−3
B．1，3
C．1，−3
D．−1，3
【答案】B
【分析】本题考查了绝对值的非负性，先根据|𝑎−1| + |𝑏−3| = 0，得|𝑎−1| = 0,|𝑏−3| = 0，则𝑎= 1,𝑏= 3，
即可作答．
【详解】解：∵|𝑎−1| + |𝑏−3| = 0，
∴|𝑎−1| = 0,|𝑏−3| = 0，
∴𝑎−1 = 0,𝑏−3 = 0，
∴𝑎= 1,𝑏= 3，
故选：B．
解题贴士
1、数a 的绝对值 | a |为非负数，即 | a |≥0.
2、几个非负式的和为 0，则这几个式子都为 0.
▌对点练3-2 若|a﹣1|+|b﹣3|＝0，则b﹣a−1
2的值是（ ）
A．﹣41
2
B．﹣21
2
C．﹣11
2
D．11
2
【答案】D．
【分析】利用非负数的性质得出a，b 的值，代入计算即可得到答案．
【详解】解：根据题意，得
a﹣1＝0，b﹣3＝0，
解得：a＝1，b＝3，
∴b﹣a−1
2 = 3﹣1−1
2 = 11
2，
∴b﹣a−1
2的值是11
2．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了非负数的性质，正确把握相关定义是解题的关键．
▌对点练3-3（26-27 七年级·浙江·暑假作业）（1）若|𝑥| + |𝑦| = 0，则𝑥= ______，𝑦= _______．
（2）若|𝑎−6| + |𝑏| = 0，则𝑎= _____，𝑏= _____．
【答案】
0
0
6
0
【详解】解：（1）∵|𝑥| ≥0，|𝑦| ≥0，|𝑥| + |𝑦| = 0，
∴|𝑥| = 0,|𝑦| = 0，
∴𝑥= 𝑦= 0；
（2）∵|𝑎−6| ≥0，|𝑏| ≥0，|𝑎−6| + |𝑏| = 0，
∴|𝑎−6| = 0,|𝑏| = 0，
∴𝑎−6 = 0,𝑏= 0
∴𝑎= 6,𝑏= 0．
▌对点练3-4 若有理数a，b 满足|a﹣20|+|b+19|＝0，则|a|﹣|b|＝ ．
【答案】1．
【分析】由绝对值的非负性，求出a＝20，b＝﹣19，然后代入计算，即可得到答案．
【详解】解：∵|a﹣20|+|b+19|＝0，
∴a﹣20＝0，b+19＝0，
∴a＝20，b＝﹣19，
∴|a|﹣|b|
＝|20|﹣|﹣19|
＝20﹣19
＝1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了绝对值的非负性，掌握绝对值的非负性是关键．
题型四 利用绝对值求最值
▌例4 （26-27 七年级·浙江·暑假作业）代数式|𝑎−3|的最小值是_____，|𝑎| +3的最小值是_____．
【答案】
0
3
【分析】根据绝对值的非负性求解即可．
【详解】解：∵|𝑎−3| ≥0，
∴|𝑎−3|的最小值为0；
∵|𝑎| ≥0，
∴|𝑎| +3 ≥3，
∴|𝑎| +3的最小值是3．
▌对点练4-1 （26-27 七年级·全国·小升初衔接）代数式|𝑎−1|−1的最小值是（ ）
A．0
B．−1
C．1
D．2
【答案】B
【分析】本题考查了绝对值的非负性，利用绝对值的非负性，求表达式的最小值即可．
【详解】解：∵|𝑎−1| ≥0，
∴|𝑎−1|−1 ≥−1，当𝑎= 1时，等号成立，
∴最小值为−1，
故选：B．
▌对点练4-2 （2025 七年级上·全国·专题练习）如果𝑥为有理数，代数式2024−|𝑥−2|存在最大值，这个最
大值是（ ）
A．2022
B．2023
C．2024
D．2025
解题贴士
主要是利用绝对值的非负性，求最值.
含+|A|：代数式有最小值，令A=0 求得；
含-|A|：代数式有最大值，令(A=0)求得。
【答案】C
【分析】本题考查绝对值的非负性及代数式最值的求法． 由于绝对值非负，代数式在绝对值最小时取得最
大值，据此求解即可．
【详解】解：∵|𝑥−2| ≥0，
∴−|𝑥−2| ≤0，
∴2024−|𝑥−2| ≤2024，
当|𝑥−2| = 0时，即𝑥= 2，代数式取得最大值2024．
故选：C．
▌对点练4-3（23-24 七年级上·四川绵阳·阶段检测）若a 是有理数，则|𝑎−1| + 2的最小值是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【分析】根据绝对值的非负性即可求解．
【详解】解：∵a 是有理数
∴𝑎−1可为正数、负数、零
由绝对值的非负性可知：|𝑎−1| ≥0
∴|𝑎−1| + 2 ≥2
即：|𝑎−1| + 2的最小值是2
故选：C
【点睛】本题考查绝对值的非负性．熟记相关结论即可．
▌对点练4-4（26-27 七年级·浙江·暑假作业）回答下列问题
(1)代数式|𝑎−2|的最小值是_____
(2)6−|𝑎|有最__值是_____
【答案】(1)0
(2)大，6
【详解】（1）解：|𝑎−2| ≥0，故代数式|𝑎−2|的最小值是0；
（2）解：因为|𝑎|是个非负数，有最小值为0，
所以代数式6−|𝑎|有最大值是6．
题型五 利用绝对值解决实际问题
▌例5 （2026·辽宁鞍山·一模）超市对销售的10kg装大米进行抽检，如表记录了其中4 种不同品牌被抽检大
米的重量，则最符合标准重量的品牌编号是（ ）
品牌编号
①
②
③
④
超出标准的重量（千克）
+0.06
−0.01
+0.12
−0.2
A．①
B．②
C．③
D．④
【答案】B
【分析】最符合标准重量的大米，是与标准重量偏差最小的大米，偏差的大小可通过偏差的绝对值比较，
计算各偏差的绝对值，比较大小即可得到结果．
【详解】解：∵最符合标准重量，即与标准重量的偏差最小，对应偏差的绝对值最小，
| + 0.06| = 0.06，|−0.01| = 0.01，| + 0.12| = 0.12，|−0.2| = 0.2，
∴ 0.01 < 0.06 < 0.12 < 0.2，
∴品牌②的偏差绝对值最小，最符合标准重量．
▌对点练5-1 （2026·吉林长春·一模）中考所用排球的重量有严格标准，现有四个排球，超过标准质量的克
数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据最接近标准质量即偏差的绝对值最小确定即可．
【详解】解： |−0.9| = 0.9，| +1| = 1，|−1.1| = 1.1，|−0.5| = 0.5，
∵0.5 < 0.9 < 1 < 1.1
∴−0.5g最接近标准质量．
▌对点练5-2 （25-26 七年级上·河南南阳·阶段检测）在11 月16 日第十五届全运会女子铅球决赛中，36
岁的老将巩立姣以绝对优势成功夺冠，书写了全运会女子铅球五连冠的传奇！女子铅球的标准质量是4kg，
以4kg为标准，超过的质量记为正，不足的记为负，下列质量的铅球中最接近标准的是（ ）
A．+ 0.002kg
B．−0.010kg
C．−3.999kg
D．−0.250kg
【答案】A
解题贴士
本题中用绝对值的大小表示产品直径与标准直径的接近程度，由绝对值的几何意义，可知一个数的绝对
值越小，其在数轴上对应的点距离原点越近，在这个实际问题中，绝对值越小表示产品直径的尺寸与标
准直径的尺寸偏差越小.
【分析】本题考查了正负数的应用，绝对值的意义．计算每个选项与标准质量4kg的偏差的绝对值，绝对值
最小的最接近标准，即可作答．
【详解】解：∵标准质量为4kg，
则|+0.002| = 0.002,|−0.010| = 0.010,|−3.999| = 3.999,|−0.250| = 0.250，
∵0.002 < 0.010 < 0.250 < 3.999
∴+ 0.002最接近标准，
故选：A
▌对点练5-3 （25-26 七年级上·全国·期末）检查5 个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足
标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表：
篮球编号
1
2
3
4
5
与标准质量的差/g
+4
+7
−3
−8
−9
(1)几号篮球最接近标准质量？
(2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为+3g和−5g，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球
的质量好一些？
【答案】(1)3 号篮球最接近标准质量
(2) +3g的篮球的质量好一些
【分析】本题主要考查正负数，绝对值的运用，理解题意是关键．
（1） 利用绝对值比较大小，值越小，越接近；
（2）利用绝对值比较大小，即可求解．
【详解】（1）解：∵|−3| < | +4| < | +7| < |−8| < |−9|，
∴3 号篮球最接近标准质量．
（2）解：∵| +3| < |−5|，
∴结果为+3g的篮球的质量好一些．
▌对点练5-4 已知某零件的标准直径是10mm，超过规定直径长度的数量记作正数，不足规定直径长度的数
量记作负数，检验员某次抽查了五件样品，检查的结果如下：
序号
1
2
3
4
5
直径长度/mm
+0.1
−0.15
−0.2
−0.05
+0.25
(1)试指出哪件样品的大小最符合要求?
(2)如果规定误差的绝对值在0.18mm之内是正品，误差的绝对值在0.18mm~0.22mm之间的是次品，误差的
绝对值超过0.22mm的是废品，那么上述五件样品分别属于哪类产品?
【答案】(1)第4 件样品最符合标准
(2)第1 件、第2 件和第4 件属于正品，第3 件是次品，第5 件是废品
【分析】（1）表中的数据是零件的误差数，所以这些数据中绝对值小的零件较好，因为绝对值越小，与规
定直径的偏差越小．比较各个数据的绝对值即可得解；
（2）每件样品所对应的结果的绝对值，即为该零件的误差的绝对值，看绝对值的结果在哪个范围内，即可
确定该零件是正品、次品还是废品．
本题考查了有理数的实际应用，以及绝对值的意义．熟练掌握以上知识是解题的关键．
【详解】（1）解：∵∣+0.25∣>∣−0.2∣>∣−0.15∣>∣+0.1∣>∣−0.05∣ ，
∴第4 件样品的大小最符合要求；
（2）解：∵|+0.1|=0.1<0.18，∣−0.15∣=0.15<0.18，|−0.05|=0.05<0.18
∴第1，2，4 件样品是正品；
∵∣−0.2∣=0.2，0.18<0.2<0.22，
∴第3 件样品为次品；
∵∣+0.25∣=0.25>0.22，
∴第5 件样品为废品．
题型六 数轴、相反数、绝对值的综合应用
▌例6 我们知道，|𝑎|可以理解为|𝑎−0|，它表示：数轴上表示数a 的点到原点的距离，这是绝对值的几何意
义，进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b 表示，那么A，B 两点之间的距离为𝐴𝐵= |𝑎−𝑏|，反
过来，式子|𝑎−𝑏|的几何意义是：数轴上表示数a 的点和表示数b 的点之间的距离，利用此结论，回答以下
问题：
(1)数轴上表示数−5的点和表示数3 的点之间的距离可用绝对值表示为 ，结果是 ；
(2)数轴上点A 用数a 表示，则|𝑎−3|表示
；若|𝑎−3| = 2，则𝑎=
；
(3)数轴上点A 用数a 表示，则|𝑎−(−3)|表示
；若|𝑎−(−3)| = 2，则𝑎=
；
【答案】(1)|−5−3|，8
(2)在数轴上表示数a 的点和表示数3 的点之间的距离，5 或1
(3)在数轴上表示数a 的点和表示数−3的点之间的距离，−5或−1
【分析】根据数轴上两点之间的距离公式直接计算或者列方程，结合绝对值的几何意义解方程即可．
【详解】（1）解：数轴上表示数−5的点和表示数3 的点之间的距离可用绝对值表示为|−5−3|或|3−(−5)|，
|−5−3| = |−8| = 8或|3−(−5)| = |3 + 5| = 8，故结果是8；
（2）解：|𝑎−3|表示：在数轴上表示数a 的点和表示数3 的点之间的距离，
若|𝑎−3| = 2，则𝑎= 3 + 2 = 5或𝑎= 3−2 = 1；
（3）解：|𝑎−(−3)|表示：在数轴上表示数a 的点和表示数−3的点之间的距离，若|𝑎−(−3)| = 2，则
𝑎= −3−2 = −5或𝑎= −3 + 2 = −1．
▌对点练6-1 （25-26 七年级上·全国·单元测试）如图，在数轴上有𝐴，𝐵，𝐶三个点．
(1)𝐴，𝐵，𝐶这三个点表示的数分别是多少？
(2)𝐴，𝐵两点间的距离是多少？𝐴，𝐶两点间的距离是多少？
(3)若将点𝐴向右移动5个单位长度后，则𝐴，𝐵，𝐶这三个点所表示的数谁最大？表示的数最大的点与表示的
数最小的点的距离是多少？
【答案】(1)𝐴，𝐵，𝐶这三个点表示的数分别是−6，1，4
(2)7；10
(3)点𝐶表示的数最大，表示的数最大的点与表示的数最小的点的距离是5
【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，数轴上两点距离计算，有理数比较大小，数轴上点的平移，
解题的关键是理解数轴上两点之间的距离的计算方法，以及数轴上点的平移规律．
（1）根据数轴直接解答即可．
（2）根据数轴上两点距离公式直接解答即可．
（3）根据点移动的规律求出点𝐴移动后表示的数，利用有理数的大小比较法则比较大小，然后计算两点之
间的距离即可．
【详解】（1）解：观察数轴可知，𝐴，𝐵，𝐶这三个点表示的数分别是−6，1，4．
（2）解：根据数轴可知𝐴𝐵= |−6−1| = 7；𝐴𝐶= |−6−4| = 10．
（3）解：将点𝐴向右移动5个单位长度后，点𝐴表示的数是−1（如图所示的点𝐴′），此时点𝐵表示的数是1，
点𝐶表示的数是4，
解题贴士
1、相反数所对应的点在原点的两侧，到原点的距离的相等，绝对值表示数轴上点到原点距离；
2、|a-b | 代表数轴 a、b 两点间距；
3、求最值：定点分区间分段判断；
∵−1 < 1 < 4，
∴点𝐶表示的数最大，点𝐴′表示的数最小，
∴𝐴′𝐶= |4| + |−1| = 5，即表示的数最大的点与表示的数最小的点的距离是5．
▌对点练6-2 已知下列有理数：－4，－2
1
2，4
1
2，－1，2.5，3
(1)在给定的数轴上表示这些数：
(2)这些数中是否存在互为相反数的两个数？若存在，请指出来，并写出这两个数之间所有的整数；
(3)这些数在数轴上表示的点中是否存在两点之间的距离等于7 的两个数？若存在，请指出来．
【答案】(1)见解析
(2)存在，−2
1
2和2.5互为相反数，这两个数之间所有的整数有：－2，－1，0，1，2
(3)存在；－4 和3；−2
1
2和4
1
2
【分析】（1）将已知数表示在数轴上即可；
（2）根据相反数的定义，找出互为相反数的两个数，并写出这两个数之间的所有整数即可；
（3）根据数轴上两点的距离等于7，即可求得．
【详解】（1）解：将－4，−2
1
2，4
1
2，－1，2.5，3 表示在数轴上，如图所示：
（2）存在，−2
1
2和2.5互为相反数，这两个数之间所有的整数有：－2，－1，0，1，2．
（3）存在；
∵|−4−3| = 7，|−2
1
2 −4
1
2| = 7，
∴两点之间的距离等于7 的有：－4 和3，−2
1
2和4
1
2．
【点睛】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数，相反数的定义，数轴上两点间的距离，进行数形结合
是解题的关键．
▌对点练6-3（24-25 七年级上·湖南湘潭·阶段检测）阅读下列材料，回答问题．
经过有理数运算的学习，我们知道|5−3|可以表示5 与3 之差的绝对值，同时也可以理解为5 与3 两个数在
数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理，|5−(−2)|可以表示5 与−2
之差的绝对值，也可以表示5 与−2两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探究：
(1)|4−1| 表示数轴上 与 所对应的两点之间的距离．
(2)|𝑥−3|表示数轴上有理数x 所对应的点与 所对应的两点之间的距离；|𝑥+ 2|表示数轴上有理数x 所对应的
点与 所对应的两点之间的距离．
(3)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数x，使得|𝑥+ 2| + |𝑥−2| = 4．
【答案】(1)4，1
(2)3，−2
(3)这样的整数x 有−2，−1，0，1，2
【分析】本题考查数轴上两点间的距离，绝对值的意义等知识，掌握两点间的距离公式，是解题的关键．
（1）根据两点间的距离公式，进行作答即可；
（2）根据两点间的距离公式，进行作答即可；
（3）根据两点间的距离，由|𝑥+ 2| + |𝑥−2| = 4可得到x 在−2到2 之间，即可得出结论．
【详解】（1）解：|4−1|表示数轴上4与1所对应的两点之间的距离；
故答案为：4，1；
（2）解：|𝑥−3|表示数轴上有理数x 所对应的点到3 所对应的点之间的距离；
|𝑥+ 2|表示数轴上有理数x 所对应的点到−2所对应的点之间的距离；
故答案为：3，−2．
（3）解：|𝑥+ 2| + |𝑥−2| = 4表示x 到−2之间的距离与x 到2 之间的距离的和为4，
∵−2到2 之间的距离为4，
∴x 在−2到2 之间，
∴这样的整数x 有−2，−1，0，1，2．
▌对点练6-4 观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离，3与5，6与−2，−4与3，−2与−6，并回答下列
各题：
(1)若数轴上的点𝐴表示的数为6，点𝐵表示的数为−2，则𝐴与𝐵两点间的距离是________；
(2)若数轴上的点𝐴表示的数为𝑥，点𝐵表示的数为3，则𝐴与𝐵两点间的距离可以表示为_____（用含𝑥的代数式
表示）；
(3)若数轴上的点𝐴表示的数为𝑥，结合数轴可求得|𝑥+ 4| + |𝑥−2|的最小值为______．
【答案】(1)8
(2)|𝑥−3|
(3)6
【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离公式𝐴𝐵= |𝑥𝐴−𝑥𝐵|即可解答；
（2）根据数轴上两点之间的距离公式𝐴𝐵= |𝑥𝐴−𝑥𝐵|即可解答；
（3）根据数轴上两点之间的距离公式𝐴𝐵= |𝑥𝐴−𝑥𝐵|即可解答．
【详解】（1）解：∵数轴上的点𝐴表示的数为6，点𝐵表示的数为−2，
∴𝐴与𝐵两点间的距离是：𝐴𝐵= |6−(−2)| = 8，
故答案为8；
（2）解：∵数轴上的点𝐴表示的数为𝑥，点𝐵表示的数为3，
∴𝐴与𝐵两点间的距离：𝐴𝐵= |𝑥−3|，
故答案为|𝑥−3|；
（3）解：∵数轴上的点𝐴表示的数为𝑥，
∴|𝑥+ 4|是𝑥与−4之间的距离，|𝑥−2|是𝑥与2之间的距离，
如图，若|𝑥+ 4| + |𝑥−2|的值最小，则必须𝑥在−4与2之间，
∴|𝑥+ 4| + |𝑥−2|的最小值为6，
故答案为6．
【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离公式𝐴𝐵= |𝑥𝐴−𝑥𝐵|，熟记数轴上两点之间的距离公式是解题的
关键．
基础通关
1．（25-26 七年级上·湖南长沙·阶段检测）下列计算结果为4 的是（ ）
A．−(−4)
B．−( +4)
C．+ (−4)
D．−|−4|
【答案】A
【分析】本题主要考查了化简多重符号和求一个数的绝对值，去括号时，若括号前后的符号相同，则去括
号的结果为正，若括号前后的符号不同，则去括号的结果为负，据此可判断A、B、C，根据负数的绝对值
是它的相反数可判断D．
【详解】解：A、−(−4) = 4，故此选项符合题意；
B、−( +4) = −4，故此选项不符合题意；
C、+ (−4) = −4，故此选项不符合题意；
D、−|−4| = −4，故此选项不符合题意；
故选：A．
2．（26-27 七年级·江苏·小升初衔接）如图所示的数轴，字母a 表示的数的绝对值可能是（ ）
A．2.3
B．1.7
C．1
D．0.8
【答案】B
【分析】根据字母a 在数轴上的位置，得出−2 < 𝑎< −1，从而得出1 < |𝑎| < 2，从而得出答案．
【详解】解：根据数轴可得：−2 < 𝑎< −1，
∴1 < |𝑎| < 2，
∴可能是1.7．
3．（23-24 七年级上·湖南邵阳·期中）如图，数轴的单位长度为1，如果点A，B 表示的数的绝对值相等，
那么点A 表示的数是（ ）
A．−4
B．−3
C．0
D．3
【答案】B
【分析】点A、B 表示的数的绝对值相等，就是点A、点B 到原点的距离相等，即原点为中点，从而可确定
点A 所表示的数．
【详解】解：由点A、B 在数轴上的位置可知，𝐴𝐵= 6，
又∵点A、B 表示的数的绝对值相等，且点A 在点B 的左边，
∴点A 所表示的数为−3，点B 所表示的数为3，
故选：B．
4．（22-23 七年级上·广东汕头·期中）下列各对数中，互为相反数的是（ ）
A．2 与
1
2
B．−(−3)和+ |−3|
C．−(−2)与−|−2|
D．+ (−5)与−( +5)
【答案】C
【分析】本题考查相反数的判定，解题思路为先化简各选项中的数，再根据相反数的定义判断即可．
【详解】解：相反数定义：只有符号不同的两个数互为相反数，
A 、两个数为2与
1
2，符号相同，互为倒数，不是相反数；
B 、∵−(−3) = 3，+ |−3| = 3，两数相等、符号相同，
∴不是相反数；
C、 ∵−(−2) = 2，−|−2| = −2，2和−2只有符号不同，符合相反数定义，
∴二者互为相反数；
D、 ∵+ (−5) = −5，−( +5) = −5，两数相等、符号相同，
∴不是相反数；
故选：C．
5．（25-26 七年级上·全国·阶段检测）数轴上点𝐴 表示的数是 −1，点𝐵 表示的数是𝑥，若𝐴、𝐵 两点间的
距离为 4，则𝑥 的值为（ ）
A．3
B．−5
C．3 或 −5
D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，根据𝐴、𝐵 两点间的距离为 4，可得方程|𝑥+ 1| = 4，解方程
求出𝑥的值即可．
【详解】解：∵ 𝐴、𝐵 两点间的距离为 4，
∴|𝑥−(−1)| = 4，
整理得：|𝑥+ 1| = 4，
∴𝑥+ 1 =± 4，
当𝑥+ 1 = 4时，𝑥= 3，
当𝑥+ 1 = −4时，𝑥= −5，
∴𝑥的值为3或−5．
故选：C．
6．（新疆维吾尔自治区阿克苏地区温宿县第二中学2024-2025 学年第一学期七年级数学学情自测试卷）已
知|𝑥| = 5，|𝑦| = 4，则x 的值为______，y 的值为______．
【答案】
± 5
± 4
【分析】若一个数的绝对值为正数𝑏，则这个数为± 𝑏．
【详解】解：已知|𝑥| = 5，可得𝑥=± 5．
已知|𝑦| = 4，可得𝑦=± 4．
7．（24-25 七年级上·四川巴中·阶段检测）小红做作业的时候不小心在作业本上滴上了墨水（如图），现在
知道A 点表示的数是
1
2，若B 点表示的数为b，则|𝑏| = ____________．
【答案】
1
3
【分析】A 点表示的数是
1
2，从A 点到1 平均分了3 份，据此可推出从A 到0 也是3 份，可知从0 到1 一共
平均分了6 份，B 点到原点是2 份，即：
2
6，由此得到点B 表示的数，再求出绝对值即可．
【详解】解：原点位置如图，
点B 表示的数为：𝑏= −
2
6 = −
1
3，
|𝑏| =
1
3，
故答案为：
1
3．
【点睛】本题主要考查数轴和绝对值，关键是熟悉数轴的单位长度的意义．
素养提升
8．（2026·内蒙古通辽·二模）如果|𝑥| = −𝑥，那么𝑥的值可以是（ ）
A．3
B．2
C．−1
D．1
【答案】C
【分析】本题考查绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数和0的绝对值是它的相反数，根据绝对值性
质确定𝑥的取值范围，再结合选项即可得到答案．
【详解】解：∵|𝑥| = −𝑥
∴𝑥≤0，即𝑥为非正数，
A、3 > 0，正数，不符合题意；
B、2 > 0，正数，不符合题意；
C、−1 < 0，负数，符合题意；
D、1 > 0，正数，不符合题意．
9．（2025 七年级上·四川南充·专题练习）下列说法中不正确的有（ ）
①1 是绝对值最小的数；②0 既不是正数，也不是负数； ③0 的相反数是0；④绝对值等于本身的数是正数．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【分析】本题主要考查绝对值、相反数、正负数的定义，熟练掌握绝对值、相反数、正负数的定义是解题
的关键．
根据绝对值、相反数、正负数的定义判断各说法的正误即可．
【详解】对于①：绝对值最小的数是0，不是1，∴①不正确；
对于②：0 既不是正数也不是负数，∴②正确；
对于③：0 的相反数是0，∴③正确；
对于④：绝对值等于本身的数是非负数（包括0 和正数），不一定是正数，∴④不正确；
∴不正确的有①和④，共2 个，
故选：B．
10．（26-27 七年级·全国·暑假作业）若x 为任意有理数，|𝑥|表示在数轴上𝑥表示的点到原点的距离，|𝑥−𝑎|
表示在数轴上𝑥表示的点到𝑎表示的点的距离，则|𝑥+ 3| + |𝑥−2|的最小值为______．
【答案】5
【分析】根据绝对值的几何意义，|𝑥−𝑎|表示数轴上𝑥与𝑎对应点之间的距离，由|𝑥+ 3| + |𝑥−2|可知在数轴
上𝑥表示的点到−3表示的点与2表示的点的距离之和，当𝑥位于−3和2之间时，距离之和取得最小值，最小值
为两点之间的距离．
【详解】解：∵|𝑥−𝑎|表示数轴上𝑥与𝑎两数对应的点之间的距离，
∴|𝑥+ 3| + |𝑥−2| = |𝑥−(−3)| + |𝑥−2|，即在数轴上𝑥表示的点到−3表示的点与2表示的点的距离之和，
当−3 ≤𝑥≤2时，|𝑥+ 3| + |𝑥−2|有最小值，为(𝑥+ 3) + (2−𝑥) = 5．
11．（25-26 七年级上·辽宁营口·阶段检测）已知𝑎、𝑏是有理数，|𝑎| = −𝑎，|𝑏| = 𝑏，且|𝑎|＞|𝑏|＞0，用数
轴上的点来表示𝑎，𝑏，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查绝对值的性质及数轴上点的表示，关键是根据绝对值的性质确定𝑎、𝑏的符号以及它们到
原点的距离关系．首先，根据|𝑎| = −𝑎且|𝑎| > 0，可判断出𝑎是负数，即𝑎在原点左侧；根据|𝑏| = 𝑏且
|𝑏| > 0，可判断出𝑏是正数，即𝑏在原点右侧；再由|𝑎| > |𝑏|可知，𝑎到原点的距离大于𝑏到原点的距离，据此
对各选项进行判断即可．
【详解】解：∵|𝑎| = −𝑎，且|𝑎| > 0，
∴𝑎< 0，即表示𝑎的点在原点左侧；
∵|𝑏| = 𝑏，且|𝑏| > 0，
∴𝑏> 0，即表示𝑏的点在原点右侧；
又∵|𝑎| > |𝑏|，
∴表示𝑎的点到原点的距离大于表示𝑏的点到原点的距离．
A、B 选项中𝑏在原点左侧，与𝑏> 0矛盾，错误；
C 选项中𝑎在原点左侧，𝑏在原点右侧，且𝑎到原点的距离大于𝑏到原点的距离，符合所有条件，正确；
D 选项中𝑎到原点的距离小于𝑏到原点的距离，与|𝑎| > |𝑏|矛盾，错误．
故选：C．
12．写出下列各数的相反数及绝对值，然后在数轴上标出下列各数：
−3，+1，2
1
2，−1.5，6，−
1
3，4.5
【答案】答案见解析，画图见解析
【分析】根据相反数与绝对值的含义先分别写出各数的相反数与绝对值，再根据数轴上点对应的数的分别
特点在数轴上表示原数即可．
【详解】解：−3，+1，2
1
2，−1.5，6，−
1
3，4.5的相反数分别是：
3，−1，−2
1
2，1.5，−6，
1
3，−4.5，
−3，+1，2
1
2，−1.5，6，−
1
3，4.5的绝对值分别是：
3，1，2
1
2，1.5，6，
1
3，4.5，
−3，+1，2
1
2，−1.5，6，−
1
3，4.5在数轴上表示如下：
【点睛】本题考查的是相反数的含义，绝对值的含义，在数轴上表示有理数，掌握以上基础知识是解本题
的关键．
迁移创新
13．（25-26 七年级上·广东惠州·期中）已知数轴上的点A、B、C、D 分别表示−3,−1.5,0,4，
(1)请在数轴上标出A、B、C、D 四个点；
(2)B、C 两点之间的距离是
；
(3)如果把数轴的原点取在点B 处，其余条件都不变，那么点D 表示的数是
．
【答案】(1)见解析
(2)1.5
(3)5.5
【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴上两点的距离，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）在数轴上描出四个点的位置即可；
（2）根据两点之间的距离公式可求B、C 两点的距离；
（3）原点取在B 处，相当于将原数加上1.5，从而计算即可．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：∵B、C 分别表示−1.5,0
∴0−(−1.5) = 1.5
故答案为：1.5．
（3）解：∵原点取在B 处，
∴相当于将原数加上1.5，
点D：4 + 1.5 = 5.5．
14．（25-26 七年级上·河南郑州·阶段检测）数学课上，老师讲解了绝对值的几何意义，|4−(−2)|表示4与−2
的差的绝对值，实际上也可理解为4与−2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|𝑎+ 𝑏|可变形为
|𝑎−(−𝑏)|，也可理解为𝑎与−𝑏两数在数轴上所对应的两点之间的距离．根据这一原理，请解答如下问题．
(1)求|5−(−3)|的值；
(2)若|𝑥+ 4| = 7，求𝑥的值；
(3)请你找出所有符合条件的整数𝑥，使得|𝑥−2| + |𝑥+ 3| = 5．
【答案】(1)8
(2)3或−11
(3)−3、−2、−1、0、1、2
【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义，熟练掌握“绝对值表示数轴上两点之间的距离”是解题的关键．
（1）根据绝对值的几何意义，计算5与−3在数轴上的距离；
（2）将|𝑥+ 4|变形为|𝑥−(−4)|，结合距离的意义列方程求解；
（3）根据|𝑥−2| + |𝑥+ 3|的几何意义（𝑥到2和−3的距离和），分析𝑥的取值范围后确定整数解．
【详解】（1）解：|5−(−3)| = |5 + 3| = |8| = 8；
（2）解：∵|𝑥+ 4| = |𝑥−(−4)| = 7，
∴𝑥−(−4) = 7或𝑥−(−4) = −7，
即𝑥+ 4 = 7或𝑥+ 4 = −7，
∴𝑥= 3或𝑥= −11；
（3）解：∵|𝑥−2| + |𝑥+ 3|表示𝑥到2和−3的距离和，且2与−3在数轴上的距离为|2−(−3)| = 5，
∴𝑥在−3到2之间（含−3和2）．
∴符合条件的整数𝑥为：−3，−2，−1，0，1，2．
15．（25-26 七年级上·黑龙江七台河·期中）（1）数轴上点A，B 对应的数分别是a，b，则𝐴𝐵= |𝑎−𝑏|，
若点A 在数轴上表示3，点B 在数轴上表示1，那么𝐴𝐵=
；
（2）在数轴上表示x 的点与−1的距离是3，那么𝑥=
；
（3）在数轴上表示a 的点位于−4和3 之间（包含两端），求|𝑎+ 4| + |𝑎−3|的值；
（4）对于任意有理数x，则|𝑥−3| + |𝑥−6|的最小值是
．
【答案】（1）2（2）−4或2；（3）7；（4）3
【分析】本题考查了数轴上两点间距离公式，绝对值的几何意义，理解绝对值的几何意义是解题的关键．
（1）根据数轴上两点间距离公式计算即可；
（2）根据数轴上两点间距离公式解答即可；
（3）由绝对值的几何意义可知式子|𝑎+ 4| + |𝑎−3|表示a 对应的点分别到−4、3 对应的点的距离之和，进
而利用数轴上两点间距离公式解答即可求解；
（4）由绝对值的几何意义可知式子|𝑥−3| + |𝑥−6|表示x 对应的点分别到3、6 对应的点的距离之和，当表
示x 的点位于3 和6 之间（包含两端），距离之和最小，据此解答即可求解．
【详解】解：（1）数轴上点A，B 对应的数分别是a，b，则𝐴𝐵= |𝑎−𝑏|，
由题意得，𝐴𝐵= |3−1| = 2，
故答案为：2；
（2）由题意得，|𝑥−(−1)| = 3，
即|𝑥+ 1| = 3，
解得𝑥= −4或𝑥= 2，
故答案为：−4或2；
（3）在数轴上表示a 的点位于−4和3 之间（包含两端），
∵|𝑎+ 4| + |𝑎−3| = |𝑎−(−4)| + |𝑎−3|，
∴式子|𝑎+ 4| + |𝑎−3|表示a 对应的点分别到−4、3 对应的点的距离之和，
当表示a 的点位于−4和3 之间（包含两端）时，距离之和为|−4−3| = 7，
即|𝑎+ 4| + |𝑎−3|的值为7；
（4）式子|𝑥−3| + |𝑥−6|表示x 对应的点分别到3、6 对应的点的距离之和，
当表示x 的点位于3 和6 之间（包含两端）时，距离之和最小，
此时最小值为|6−3| = 3，
故答案为：3．
