1.2.1&1.2.2 有理数的概念、数轴
课标要点
1. 理解有理数定义：整数和分数统称有理数，明确有限小数、无限循环小数属于有理数，
无限不循环小数不是有理数；
2. 掌握有理数两种分类方式，能对数进行不重不漏归类，分清非负数、非正数、非负整数、
非正整数等特殊数集；
3. 掌握数轴三要素，规范绘制数轴，能在数轴上标注有理数、读出数轴点对应的数，建立
数形结合认知；
4. 理解所有有理数均可在数轴上表示，数轴上的点不全部是有理数。
学习重难点
重点：
1. 有理数概念与两种分类方法；
2. 数轴三要素，有理数在数轴上的表示。
难点：
1. 区分循环小数与无限不循环小数，判断有理数；
2. 准确区分各类特殊数集；
3. 规范在数轴标注负分数、小数。
第一章
有理数
知识点
有理数的概念
◆1、整数：正整数、负整数、零统称为整数．
◆2、分数：正分数、负分数统称为分数．
◆3、有理数：整数和分数统称为有理数.
有限小数和无限循环小数都是分数，所以也是有理数；
无限不循环小数（如 π）不是分数，就不是有理数.
拓展：任何一个有理数都可以写成
（m、n 是整数，n≠0）的数叫做有理数．
◆4、部分常用的数：
（1）正整数：例如： 1，2，3，… ；
负整数：例如：－1，－2，－3，…；
（2）正分数：例如：2
3，21
2，3.14，0.3
…，
负分数：例如：
6
0
300
65
0
2
1
.
%,
,
.
,
….
（3）非负数：正数和0； 非正数：负数和0；
（4）非负整数：正整数和0；非正整数：负整数和0；
【注意】
引入负数之后，小学学过的奇数和偶数的范围相应地扩大了，奇数和偶数也可以是负数.
随学随练
1.（24-25 七年级上·福建龙岩·阶段检测）在数−
22
7 ,3.010010001⋯⋯,
π
3,0.
˙
2
˙
3中，有理数有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
知识点
有理数的分类
①按整数、分数的关系分类：有理数
整数
正整数
0
负整数
分数正分数
负分数
；
②按正数、负数与0 的关系分类：有理数
正有理数正整数
正分数
0
负有理数负整数
负分数
．
m
n
【注意】
① 分类的标准不同，结果也不同；
② 分类的结果应无遗漏、无重复；
③ 0 是整数，但0 既不是正数，也不是负数.
随学随练
1.（25-26 七年级上·广东广州·阶段检测）关于−4，
22
7 ，0.41，−1
1
6，0，3.14 这六个数，下列说法错误的是（ ）
A．−4，0 不是正数
B．
22
7 ，0.41，0，3.14 是正数
C．−4，
22
7 ，0.41，−1
1
6，0，3.14 是有理数
D．−4，−1
1
6是负数
知识点
数轴
◆1、数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴.
◆2、画数轴的步骤：
（1）画直线，取原点：在直线上任取一点表示数 0，这个点叫做原点；
（2）标正方向：通常规定直线上从原点向右 (或上) 为正方向，从原点向左 (或下) 为负方向；
（3）选取单位长度，标数：选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取
一个点，依次表示 1，2，3，···；从原点向左，用类似方法依次表示 -1，-2，-3，···.
◆3、画数轴的注意事项：
(1) 原点、单位长度和正方向三要素缺一不可；
(2) 直线一般是水平的；
(3) 正方向用箭头表示，一般取从左到右；
(4) 取单位长度应结合实际需要，但要做到刻度均匀.
◆4、数轴上的点与有理数的关系
（1）任意一个有理数都可以用数轴上的点来表示；但数轴上的点都不表示有理数.
（2）数轴上原点右边的数是正数，原点左边的数是负数，0 是正、负数的分界线.
（3）一般地，设 a 是一个正数，则数轴上表示数 a 的点在原点的右边，与原点的距离是 a 个单位长
度；表示数- a 的点在原点的左边，与原点的距离是a 个单位长度．
随学随练
1．（2026·河南驻马店·三模）如图，数轴上点𝑃表示的数可能是（ ）
A．−1.6
B．−3
C．1.5
D．1.6
2．（25-26 七年级·全国·暑假作业）下列选项中所画的数轴正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型一 有理数的定义辨析
▌例1（25-26 七年级下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）在−4，
22
7 ，0，
π
2，3.14159，6%，0.1010010001…（每
相邻两个1 之间依次多一个0）中，有理数共有（ ）个
A．2
B．3
C．4
D．5
▌对点练1-1 （25-26 七年级上·湖南长沙·期末）下列不是有理数的是（ ）
A．0
B．
1
3
C．π
D．1.779
▌对点练1-2 （25-26 七年级上·云南昆明·阶段检测）下列关于有理数的说法正确的是（ ）
A．有理数分为正有理数和负有理数
B．整数分为正整数和负整数
C．有理数是可以写成两个整数之比（比的后项不为0）的数
D．0 不是有理数
▌对点练1-3（25-26 七年级上·山东德州·期末）下列7 个数，−
11
5 ，1.010010001，−20%，0，π，−2，0.1
2．其中有理数有（ ）
A．3 个
B．4 个
C．5 个
D．6 个
解题贴士
整数和分数统称为有理数；有限小数和无限循环小数都是分数，所以也是有理数；
题型二 带“非”类有理数区分
▌例2 （25-26 七年级上·河南南阳·阶段检测）在−18，9，0，12%，−7.2，7中，非负数有（ ）
A．6 个
B．5 个
C．4 个
D．3 个
▌对点练2-1 （24-25 七年级上·河南开封·阶段检测）在−
1
2，12，−20，0，5，−3中，非负数的个数有
（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
▌对点练2-2 （25-26 七年级上·安徽铜陵·期末）在−12，8
1
3，0，0.5%，−6.8，−
3
5，π，5 中，非负整数有
（ ）
A．3 个
B．2 个
C．1 个
D．0 个
▌对点练2-3（25-26 七年级上·山东滨州·阶段检测）在数−8,0,12,−25.5,30%,75,
15
4 ,−3
1
5,0.6,−10中，非负有理
数有___________个．
题型三 有理数的分类
▌例3（25-26 七年级上·广东惠州·期中）下列各数中，既是负数又是分数的是（ ）
A．−3
B．0
C．−
1
2
D．2.5
解题贴士
1. 非负就是大于等于0，非正就是小于等于0
2. 非负整数就是自然数，从零开始往后数
3. 看见“非”字先排除对应数，千万不要漏掉0
4. 只要出现非零，直接剔除数字0
▌对点练3-1 （23-24 七年级上·山东济南·期中）在数−2，−3.14156，−
1
3，−5%，−6.3，2023，200%，
0，−0.01001中，负分数有（ ）
A．4个
B．6个
C．5个
D．7个
▌对点练3-2 （25-26 七年级下·四川绵阳·开学考试）下列各数中，是负整数的是（ ）
A．2.02
B．−
1
5
C．−2026
D．10
▌对点练3-3 （25-26 七年级上·重庆·期末）把下列各有理数填入相应的集合内：
−2，−2
1
3，0.6，−| +3.5|，0，−(−3)，−0.3．
负有理数集合：{ …}；
整数集合：{ …}；
负分数集合：{ …}；
非负有理数集合：{ …}．
题型四 数轴的三要素
▌例4 四位同学所画的数轴如图所示，其中正确的是 （ ）
A．
B．
C．
D．
▌对点练4-1 （26-27 七年级·全国·暑假作业）下列图形中是数轴的是（ ）
解题贴士
有理数有两种分类方法，一是按定义来分，分为整数和分数；一是按性质符号来分，分为正有理数、0
和负有理数.
注意：如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限
循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属
于有理数．
解题贴士
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴，原点、单位长度和正方向三要素缺一不可.
A．
B．
C．
D．
▌对点练4-2 （25-26 七年级上·四川宜宾·期中）下列数轴画法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
▌对点练4-3 （23-24 七年级上·四川眉山·阶段检测）如图所示，所画数轴完全正确的个数是（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
题型五 用数轴上的点表示有理数
▌例5 （2026·湖南怀化·二模）如图，数轴上表示3 的点是（ ）
A．M
B．N
C．P
D．Q
▌对点练5-1 如图，数轴上𝐴，𝐵，𝐶，𝐷四个点中，表示−1的点是（ ）
A．点𝐴
B．点𝐵
C．点𝐶
D．点𝐷
▌对点练5-2 如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（ ）
解题贴士
1、任意一个有理数
都可以用数轴上的点来表示；但数轴上的点都不表示有理数.
2、数轴上原点右边的数是正数，原点左边的数是负数，0 是正、负数的分界线.
A．0.5
B．−0.5
C．−1.5
D．−2.5
▌对点练5-3 在图中将数轴补充完整，并将下列各数在数轴上表示出来：
+3，−4，−2.5，0，1，
5
2，−4
1
2
题型六 利用数轴求两点之间的距离
▌例6 已知数轴上𝐴、𝐵两点分别表示的数为−3和5，则𝐴、𝐵两点间的距离为（ ）
A．−3
B．−8
C．2
D．8
▌对点练6-1 在数轴上表示数﹣1 和2021 的两点分别为点A 和点B，则A、B 两点之间的距离为（ ）
A．2019
B．2020
C．2021
D．2022
▌对点练6-2 已知𝑎与2 互为相反数，且它们在数轴上分别对应𝐴，𝐵两点，则𝐴，𝐵两点的距离为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
▌对点练6-3 已知数轴上的点A、B、C、D 分别表示−3,−1.5,0,4，
(1)请在数轴上标出A、B、C、D 四个点；
(2)B、C 两点之间的距离是
；
(3)如果把数轴的原点取在点B 处，其余条件都不变，那么点D 表示的数是
．
题型七 利用数轴上两点之间的距离求点表示的数
解题贴士
求数轴上任意两点之间的距离就是求两点之间有多少个单位长度，可借助画数轴加深理解.
▌例7 （25-26 七年级上·湖南长沙·阶段检测）已知点𝐴和点𝐵在同一数轴上，点𝐴表示数2，又已知点𝐵和点
𝐴相距5 个单位长度．则点𝐵表示的数是（ ）
A．3
B．−7
C．3 或−7
D．−3或7
▌对点练7-1 （25-26 七年级上·安徽蚌埠·期中）如图，数轴上到原点距离最大的点是（ ）
A．点𝐴
B．点B
C．点C
D．点D
▌对点练7-2（25-26 七年级上·广东揭阳·阶段检测）在数轴上，数轴的单位长度为1，如果点A 表示的数是
−3，那么点B 表示的数是（ ）
A．﹣1
B．2
C．0
D．1
▌对点练7-3 已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．
(1)若1 表示的点与−1表示的点重合，则−2表示的点与数______表示的点重合；
(2)若−1表示的点与3 表示的点重合，回答以下问题：
①6 表示的点与数______表示的点重合；
②若数轴上A、B 两点之间的距离为8（A 在B 的左侧），且A、B 两点经折叠后重合，写出A、B 两点表
示的数是多少？
题型八 数轴上点的平移问题
解题贴士
1、由于点的位置不确定，要借助数轴进行分类讨论，分在已知点的左侧和右侧两种情况.
2、确定符号和距离，确定距离时要表示所对应的点距原点几个单位长度.
▌例8（2026·山东聊城·一模）如图，在数轴上将点𝐴向右移动4 个单位长度得到点𝐵，则点𝐵表示的数是
（ ）
A．−5
B．1
C．2
D．3
▌对点练8-1 如图，数轴上的点P 向右移动3 个单位长度，移动后的点对应的数为（ ）
A．−1
B．0
C．1
D．2
▌对点练8-2 𝐴为数轴上表示−2的点，将点𝐴沿数轴移动5 个单位长度到点𝐵，点𝐵所表示的数为
______________．
▌对点练8-3 （25-26 七年级上·广东广州·阶段检测）画出数轴，并解答下列问题：
(1)画出数轴，在数轴上表示下列各数：−(−5),3.5,−2
1
2,−1；
(2)在数轴上标出表示−1的点𝐴，直接写出将点𝐴沿数轴向右平移4 个单位长度后得到的点所表示的数．
题型九 数轴上找原点
▌例9 如图，在一条不完整的数轴上，标出A、B、C、D 四点，若B 点表示的数为正数，则可以是原点的
为（ ）
A．点A
B．点C
C．点D
D．点A 或点C
解题贴士
数轴上向右移动数字变大，向左移动数字变小；设移动步数 / 时间，写出移动后点对应的数，再对照
题意列式计算。
▌对点练9-1 （2025·河北邯郸·二模）如图，数轴上有三个点𝐴,𝐵,𝐶，其中𝐶是线段𝐴𝐵的中点，则原点𝑂的位
置（
）
A．位于线段𝐴𝐶上，且靠近𝐴点
B．位于线段𝐴𝐶上，且靠近𝐶点
C．位于线段𝐵𝐶上，且靠近𝐵点
D．位于线段𝐵𝐶上，且靠近𝐶点
▌对点练9-2 （25-26 九年级下·河北廊坊·阶段检测）数轴上点A，C 表示的数分别为−5，4．将刻度尺按
如图所示的方式放置，使刻度尺上的数字0 对齐数轴上的点A，与点C 对齐的刻度为8.1cm，则与原点对齐
的刻度为（ ）
A．4.5cm
B．3.5cm
C．4cm
D．3cm
▌对点练9-3 （25-26 七年级上·安徽·期中）根据所给数轴（如图，原点未标出），完成下列各题：
(1)已知点C 在表示数1，2 的两个点的正中间，那么点C 表示的数是：
.
(2)已知点A 表示
5
3，点B 表示
9
4，在图中标出原点O，点A，点 B 的位置．
题型十 数轴上整点覆盖问题
▌例10 （25-26 七年级上·辽宁铁岭·期中）小明在写作业时不慎将两滴墨水滴在数轴上，根据如图的数值，
判断墨迹盖住的整数个数为（ ）
A．12
B．11
C．10
D．9
解题贴士
先看已知两个点之间有多少格、相差多少数，从已知点往回数格子，数到对应数字 0 的位置就是原点。
▌对点练10-1 （25-26 七年级上·湖南长沙·阶段检测）已知数轴上的部分点被墨迹遮盖了，则被遮盖住的点
中表示整数的点有_______ 个．
▌对点练10-2 （24-25 七年级上·山西太原·阶段检测）如图，在数轴上点𝐴表示的数是3，点𝐵被墨水遮住
了，已知𝐴𝐵= 5，则点𝐵表示的数为__________．
▌对点练10-3（25-26 七年级上·福建福州·期中）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1 厘
米，若在这个数轴上随意画出一条长为2017 厘米的线段𝐴𝐵，则线段𝐴𝐵盖住的整点的个数是（ ）
A．2017
B．2018
C．2017 或2018
D．2017 或2016
题型十一 数轴上的规律探究问题
▌例11 （25-26 七年级上·湖北省直辖县级单位·期中）边长为1 个单位长度的正方形从如图所示的位置开始
在数轴上顺时针滚动，当正方形某个顶点落在数字10 时停止运动，此时与数字10 重合的是点___________
▌对点练11-1 （25-26 七年级上·湖南·期末）正方形𝐴𝐵𝐶𝐷在数轴上的位置如图所示，点A，D 表示的数分
别为−2 和−3，若正方形𝐴𝐵𝐶𝐷绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则在数轴上与数2026 对
解题贴士
在数轴上画出线段，一格一格数线上落在刻度整数上的点；线段两头刚好对准整数，整点数量 = 总格
数 + 1，没对准就直接数总格数。
解题贴士
在数轴上依次标出前几个点对应的数字，观察数字增减、重复循环的特点，按规律往后数得到目标点的
数。
应的是（ ）
A．点D
B．点C
C．点B
D．点A
▌对点练11-2 （24-25 七年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，圆的周长为4 个单位长度，在圆的四等分点
处依次标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0 所对应的点与数轴-2 所对应的点重合，再让圆沿着数轴按
顺时针方向滚动，那么数轴上的数−2024将与圆周上的哪个数字重合（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
▌对点练11-3（25-26 七年级上·河南濮阳·期中）如图，数轴上点𝐴0表示的数为−2，点𝐴1（不与𝐴0重合）、
𝐴0到1 的距离相等，点𝐴2（不与𝐴1重合）、𝐴1到2 的距离相等，点𝐴3（不与𝐴2重合）、𝐴2到3 的距离相
等，．．．按此规律，点𝐴2026表示的数为___________．
基础通关
1．（25-26 七年级上·辽宁大连·阶段检测）关于规范的数轴，下列说法正确的是（ ）
A．无原点
B．无正方向
C．有原点、正方向、单位长度一致
D．正负标反
2．（24-25 七年级上·云南德宏·期末）已知下列各数−7, 2.4 ,
1
6 , 3 , 0 ,−2.8 ,−12 ,−2 中，负有理数的个数有（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
3．（25-26 七年级上·重庆北碚·阶段检测）下列各图表示的数轴，其中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（25-26 七年级上·浙江丽水·期末）如图，数轴上表示数1 的点是（ ）
A．M
B．N
C．P
D．Q
5． 如图，数轴的单位长度为1，如果点A 表示的数是−2，那么点B 表示的数是（ ）
A．−1
B．0
C．1
D．2
6．（25-26 七年级上·山东临沂·期中）如图，是王老师在黑板上画的一个数轴，若王老师用直尺将数轴的一
部分遮挡，则直尺遮挡的整数个数为（ ）
A．26
B．25
C．24
D．23
素养提升
7．（25-26 七年级上·河北唐山·期末）如图，在数轴上用序号标注了四段范围，若某段范围内有两个整数，
则这段范围是（ ）
A．①
B．②
C．③
D．④
8．（22-23 七年级上·江苏扬州·周测）①正有理数包括正整数和正分数；②整数是正整数和负整数的统称；
③有理数是正整数、负整数、正分数、负分数的统称；④0 是偶数，但不是自然数；⑤偶数包括正偶数、负
偶数和0．以上说法中，正确的序号为_________．
9．（24-25 七年级上·河南开封·阶段检测）在
16
7 ,0,2021,−
8
5,10%,0.67,
𝜋
2,0.101001000...... ,−85，−0.3这些数中，
有理数有__________个．
10．（25-26 七年级上·安徽马鞍山·期中）在“−3，
22
7 ， 3.14， 0.1010010001... （每两个 1 之间多一个
0 ）， 50%”中，分数有_____个．
迁移创新
11．一电子跳蚤在数轴上从原点开始，第1 次向右跳1 个单位，紧接着第2 次向左跳2 个单位，第3
次向右跳3 个单位，第4 次向左跳4 个单位，…，依此规律跳下去，当它跳第2022 次落下时，落点处表示
的数为（ ）
A. -2022
B．2022
C．-1011
D．1011
12．（25-26 六年级上·山东淄博·期中）如图，数轴上点A 表示的数是−4，点B 表示的数是3．
(1)在图中所示的数轴上标出原点O；
(2)在图中所示的数轴上用圆点表示出下列4 个数：−6，−2，1，4．
13．（25-26 七年级上·新疆哈密·期中）如图，数轴上每两个刻度之间的距离为1 个单位长度，点𝐴表示的
数是−3．
(1)在数轴上标出原点．
(2)并指出点𝐵所表示的数是______．
(3)在数轴上找一点𝐶，使它与点𝐵的距离为3 个单位长度，那么点𝐶表示的数为_____．
14．（25-26 七年级上·陕西安康·期中）现有一组数：−27，−40%，−0.26，10，−
1
2，6，−5，3.9．
(1)请将各数分别填入相应的集合内．
分数集合：{ …}．
正整数集合：{ …}．
负整数集合：{ …}．
(2)将（1）中三类数的集合合并在一起________全体有理数集合．（填“是”或“不是”）
15．如图，数轴的单位长度为1，点A 表示的数是−4．
(1)在数轴上用0 标出原点；
(2)写出点𝐵表示的数；
(3)在数轴上找一点𝐶，使它与点𝐵的距离为2 个单位长度，那么点𝐶表示什么数？
16．（23-24 七年级上·浙江金华·期末）在白纸上画一数轴，折叠数轴，使数轴上数−2对应的点与数4 对应
的点重合．则
（1）数轴上数8 对应的点与数_______对应的点重合；
（2）若数轴上两点A，B（点A 在B 的左侧），折叠前A、B 两点间的距离为50，折叠后A，B 两点间的
距离为5，则点A 表示的数为_______．
