文档内容
第一章 有理数
单元教学内容
1．本单元结合学生的生活经验，列举了学生熟悉的用正、负数表示
的实例，从扩充运算的角度引入负数，然后再指出可以用正、负数表示
现实生活中具有相反意义的量，使学生感受到负数的引入是来自实际
生活的需要，体会数学知识与现实世界的联系．
引入正、负数概念之后，接着给出正整数、负整数、正分数、负分数
集合及整数、分数和有理数的概念．
2．通过怎样用数简明地表示一条东西走向的马路旁的树、电线杆
与汽车站的相对位置关系引入数轴．数轴是非常重要的数学工具，它可
以把所有的有理数用数轴上的点形象地表示出来，使数与形结合为一
体，揭示了数形之间的内在联系，从而体现出以下4个方面的作用：
（1）数轴能反映出数形之间的对应关系．
（2）数轴能反映数的性质.
（3）数轴能解释数的某些概念，如相反数、绝对值、近似数．
（4）数轴可使有理数大小的比较形象化．
3．对于相反数的概念，从“数轴上表示互为相反数的两点分别在
原点的两旁，且离开原点的距离相等”来说明相反数的几何意义，同时
补充“零的相反数是零”作为相反数意义的一部分．
4．正确理解绝对值的概念是难点．
根据有理数的绝对值的两种意义，可以归纳出有理数的绝对值有
如下性质：
（1）任何有理数都有唯一的绝对值．
（2）有理数的绝对值是一个非负数，即最小的绝对值是零．
（3）两个互为相反数的绝对值相等，即│a│=│-a│．
（4）任何有理数都不大于它的绝对值，即│a│≥a，│a│≥-a．
（5）若│a│=│b│，则a=b，或a=-b或a=b=0．
三维目标
11．知识与技能
（1）了解正数、负数的实际意义，会判断一个数是正数还是负数．
（2）掌握数轴的画法，能将已知数在数轴上表示出来，能说出数轴
上已知点所表示的解．
（3）理解相反数、绝对值的几何意义和代数意义，会求一个数的相
反数和绝对值．
（4）会利用数轴和绝对值比较有理数的大小．
2．过程与方法
经过探索有理数运算法则和运算律的过程，体会“类比”、“转
化”、“数形结合”等数学方法．
3．情感态度与价值观
使学生感受数学知识与现实世界的联系，鼓励学生探索规律，并在
合作交流中完善规范语言．
重、难点与关键
1．重点：正确理解有理数、相反数、绝对值等概念；会用正、负数表
示具有相反意义的量，会求一个数的相反数和绝对值．
2．难点：准确理解负数、绝对值等概念．
3．关键：正确理解负数的意义和绝对值的意义．
课时划分
1．1 正数和负数 2课时
1．2 有理数 5课时
1．3 有理数的加减法 4课时
1．4 有理数的乘除法 5课时
1．5 有理数的乘方 4课时
第一章有理数（复习） 2课时
21．1正数和负数
第一课时
三维目标
一．知识与技能
能判断一个数是正数还是负数，能用正数或负数表示生活中具有
相反意义的量．
二．过程与方法
借助生活中的实例理解有理数的意义，体会负数引入的必要性和
有理数应用的广泛性．
三．情感态度与价值观
培养学生积极思考，合作交流的意识和能力．
教学重、难点与关键
1．重点：正确理解负数的意义，掌握判断一个数是正数还是负数的
方法．
2．难点：正确理解负数的概念．
3．关键：创设情境，充分利用学生身边熟悉的事物，加深对负数意
义的理解．
教具准备
投影仪．
教学过程
四、课堂引入
我们知道，数是人们在实际生活和生活需要中产生，并不断扩充的．
人们由记数、排序、产生数1，2，3，…；为了表示“没有物体”、“空
3位”引进了数“0”，测量和分配有时不能得到整数的结果，为此产生
了分数和小数．
在生活、生产、科研中经常遇到数的表示与数的运算的问题，例如
课本第2页至第3页中提到的四个问题，这里出现的新数：-3，-2，-
2.7%在前面的实际问题中它们分别表示：零下3摄氏度，净输2球，减
少2.7%．
五、讲授新课
（1）、像-3，-2，-2.7%这样的数（即在以前学过的0以外的数前面加上
负号“－”的数）叫做负数．而3，2，+2.7%在问题中分别表示零上3摄
氏度，净胜2球，增长2.7%，它们与负数具有相反的意义，我们把这样
的数（即以前学过的 0以外的数）叫做正数，有时在正数前面也加上
1 1
“＋”（正）号，例如，+3，+2，+0.5，+ ，…就是3，2，0.5， ，…一个数
3 3
前面的“＋”、“－”号叫做它的符号，这种符号叫做性质符号．
(2)、中国古代用算筹（表示数的工具）进行计算，红色算筹表示正数，
黑色算筹表示负数．
(3)、数0既不是正数，也不是负数，但0是正数与负数的分界数．
(4) 、0可以表示没有，还可以表示一个确定的量，如今天气温是0℃，
是指一个确定的温度；海拔0表示海平面的平均高度．
用正负数表示具有相反意义的量
（5）、 把0以外的数分为正数和负数，起源于表示两种相反意义的量．
正数和负数在许多方面被广泛地应用．在地形图上表示某地高度时，需
要以海平面为基准，通常用正数表示高于海平面的某地的海拔高度，负
数表示低于海平面的某地的海拔高度．例如：珠穆朗玛峰的海拔高度为
8844m，吐鲁番盆地的海拔高度为-155m．记录账目时，通常用正数表示
收入款额，负数表示支出款额．
（6）、 请学生解释课本中图1．1-2，图1．1-3中的正数和负数的含义．
4（7）、 你能再举一些用正负数表示数量的实际例子吗？
（8）、例如，通常用正数表示汽车向东行驶的路程，用负数表示汽车向
西行驶的路程；用正数表示水位升高的高度，用负数表示水位下降的高
度；用正数表示买进东西的数量，用负数表示卖出东西的数量．
六、巩固练习
课本第3页，练习1、2、3、4题．
七、课堂小结
为了表示现实生活中的具有相反意义的量，我们引进了负数．正数
就是我们过去学过的数（除0外），在正数前放上“－”号，就是负数，
但不能说：“带正号的数是正数，带负号的数是负数”，在一个数前面
添上负号，它表示的是原数意义相反的数．如果原数是一个负数，那么
前面放上“－”号后所表示的数反而是正数了，另外应注意“0”既不
是正数，也不是负数．
八、作业布置
1．课本第5页习题1．1复习巩固第1、2、3题．
九、板书设计
1．1正数和负数
第一课时
1、像-3，-2，-2.7%这样的数（即在以前学过的0以外的数前面加上负号
“－”的数）叫做负数．而3，2，+2.7%在问题中分别表示零上3摄氏度，
净胜2球，增长2.7%，它们与负数具有相反的意义，我们把这样的数
（即以前学过的 0以外的数）叫做正数，有时在正数前面也加上“＋”
1 1
（正）号，例如，+3，+2，+0.5，+ ，…就是3，2， 0.5， ，…一个数前面的
3 3
“＋”、“－”号叫做它的符号，这种符号叫做性质符号．
52、随堂练习。
3、小结。
4、课后作业。
十、课后反思
1.1正数和负数
第二课时
三维目标
一．知识与技能
进一步巩固正数、负数的概念；理解在同一个问题中，用正数与负
数表示的量具有相同的意义．
二．过程与方法
经历举一反三用正、负数表示身边具有相反意义的量，进而发现它
们的共同特征．
三．情感态度与价值观
鼓励学生积极思考，激发学生学习的兴趣．
教学重、难点与关键
1．重点：正确理解正、负数的概念，能应用正数、负数表示生活中
具有相反意义的量．
2．难点：正数、负数概念的综合运用．
3．关键：通过对实例的进一步分析，使学生认识到正负数可以用来
表示现实生活中具有相反意义的量．
教具准备
投影仪．
教学过程
四、复习提问课堂引入
1．什么叫正数？什么叫负数？举例说明，有没有既不是正数也不
是负数的数？
2．如果用正数表示盈利5万元，那么-8千元表示什么？
6五、新授
例1．一个月内，小明体重增加2kg，小华体重减少1kg，小强体重
无变化，写出他们这个月的体重增长值．
2．2001年下列国家的商品进出口总额比上年的变化情况是：
美国减少6.4%，德国增长1.3%，法国减少2.4%，英国减少3.5%，意
大利增长0.2%，中国增长7.5%．
写出这些国家2001年商品进出口总额的增长率．
分析：在一个数前面添上负号，它表示的是与原数具有意义相反的
数．“负”与“正”是相对的，增长-1，就是减少1；增长-6.4%就是减
少6.4%，那么什么情况下增长率是0？当与上年持平，既不增又不减时
增长率是0．
解：1．这个月小明体重增长2kg，小华体重增长-1kg，小强体重增
长0kg．
2．六个国家2001年商品进出口总额的增长率分别为：
美国-6.4%，德国1.3%，法国-2.4%，英国-3.5%，意大利0.2%，中国
7.5%．
归纳：在同一个问题中，分别用正数与负数表示的量具有相反的意
义，如盈利-2 千元，就是亏本 2千元；前进-3米，就是后退 3米；浪
费-14元，就是节约14元；向南走-7 米，就是向北走7米，因此盈利2
千元与盈利-2千元具有相反的意义．
六、巩固练习
1．课本第5页的第8题．
点拨：增长-3.4%，就是减少3.4%，所以这一年里这六国中中国、意
大利的服务出口额增长了，美国、德国、英国、日本的服务出口额都减少
了，意大利增长最多，日本减少最多．
2．补充练习．
若向西走 10 米，记作-10 米，如果一个人从 A 地先走 12 米，再
走-15米，你能判断此人这时在何处吗？
解：向西走10米，记作-10米，那么这人走12米，则表示向东走12
7米，再走-15米，表示向西走了15米，即这个人从A地先向东走12米，
接着再向西走15米，此人这时应该在A地的西方3米处．
七、课堂小结
通过本节课的学习，你对正数、负数的概念是否有了进一步理解？
请你用正负数表示身边具有相反数的量．
八、作业布置
1．课本第5页习题1．1第4、5、6、7题．
九、板书设计
九、板书设计
1．1正数和负数
第二课时
1、复习巩固，例题讲解。
2、随堂练习。
3、小结。
4、课后作业。
十、课后反思
81．2 有理数
第一课时
三维目标
一、 知识与能力
理解有理数的概念，懂得有理数的两种分类方法：会判别一个有理
数是整数还是分数，是正数、负数还是零．
二、过程与方法
经历对有理数进行分类的探索过程，初步感受分类讨论的思想．
三、情感态度与价值观
通过对有理数的学习，体会到数学与现实世界的紧密联系．
教学重难点及突破
在引入了负数后，本课对所学过的数按照一定的标准进行分类，提
出了有理数的概念．分类是数学中解决问题的常用手段，通过本节课的
学习，使学生了解分类的思想并进行简单的分类是数学能力的体现，教
师在教学中应引起足够的重视．关于分类标准与分类结果的关系，分类
标准的确定可向学生作适当的渗透，集合的概念比较抽象，学生真正接
受需要很长的过程，本课不宜过多展开．
教学准备
用电脑制作动画体现有理数的分类过程．
教学过程
四、课堂引入
1、我们把小学里学过的数归纳为整数与分数，引进了负数以后，我
们学过的数有哪些？将如何归类？
2．举例说明现实中具有相反意义的量．
3．如果由A地向南走3千米用3千米表示，那么-5千米表示什么
意义？
4．举两个例子说明+5与-5的区别．
95．数0表示的意义是什么？
二、自主探究
在学生讨论的基础上，引导学生自己进行有理数的分类，我们学过
的数就可以分为以下几类：
正整数，如1，2，3，…；
零：0；
负整数，如-1，-2，-3，…；
1 22 1
正分数，如 ， ，4.5（即4 ）；
3 7 2
1 2 3 3
负分数，如- ，-2 ，-0.3（即- ），- ……
2 7 10 5
正整数、零和负整数统称整数，正分数、负分数统称分数，整数和分
数统称有理数．
回答下列各题：
（1）0是不是整数？0是不是有理数？
（2）-5是不是整数？-5是不是有理数？
（3）-0.3是不是负分数？-0.3是不是有理数？
2．你能对以上各种数作出一张分类表吗（要求不重复不遗漏）？
让学生把自己作出的分类表进行分类，可以根据不同需要，用不同
的分类标准，但必须对讨论对象不重不漏地分类．把一些数放在一起，
就组成一个数的集合，简称数集．所有的有理数组成的数集叫做有理数
集．类似的，所有整数组成的数集叫做整数集，所有正数组成的数集叫
做正数集，所有负数组成的数集叫做负数集，如此等等．
五、题例精解
22
例 把下列各数填入表示它所在的数集的圈子里：-18， ，
7
3
3.1416，0，2 001，- ，0 .142857，95%
5
10六、随堂练习
一、判断
1．自然数是整数． （ ） 2．有理数包括正数和负数．（
）
3．有理数只有正数和负数．（ ） 4．零是自然数． （
）
5．正整数包括零和自然数．（ ） 6．正整数是自然数． （
）
7．任何分数都是有理数． （ ） 8．没有最大的有理数． （
）
9．有最小的有理数． （ ）
七、课堂小结：（提问式）
1．有理数按正、负数，应怎样分类？
2．有理数按整数、分数，应怎样分类？
3．分类的原则是什么？
八、课后作业：
1．课本第14页习题1．2第1题．
九、板书设计：
1．2 有理数
11第一课时
1、复习巩固，例题讲解。
2、随堂练习。
3、小结。
4、课后作业
十、课后反思
1.2.2 数轴
第二课时
三维目标
一．知识与技能
（1）掌握数轴三要素，能正确地画出数轴．
（2）能准备地将已知数在数轴上表示出来，能说出数轴上已知点所
表示的数．
二、过程与方法
经历从实际问题中抽象出数学问题的过程，初步学会数学的类比
方法和数形结合的思想方法．
三、情感态度与价值观
体会知识源于生活，并应用于生活．
教学重、难点与关键
1．重点：理解数形结合的数学方法，掌握数轴画法和用数轴上的点
表示有理数．
2．难点：正确理解有理数和数轴上的点的对应关系．
3．关键：掌握数形结合的数学方法．
教具准备
投影仪．
教学过程
四、复习提问、新课引入
1．有理数包括哪些数？有理数是怎样分类的？
2．回顾小学数学是如何利用数轴表示正数和零的？
12五、新授
引入负数后，又如何利用数轴表示有理数呢？让我们先看一个问
题．
在一条东西走向的马路上，有一个汽车站，汽车站东3m和7.5m处
分别有一棵柳树和一棵杨树，汽车站西 3m 和 4.8m 处分别有一棵槐树
和一根电线杆，试画图表示这一情境．
1．画一条直线表示马路，从左到右表示从西到东的方向．
2．因为柳树、杨树都在汽车站的东面，即在汽车站的右边．槐树、电
线杆在汽车站的西面，即在汽车站的左边，它们都相对汽车站而言，所
以在直线上任取一个点O表示汽车站的位置，规定1个单位规定．（线
段OA的长代表1m长）（如下图）
3．分别标出柳树、杨树、槐树、电线杆的位置．
在点O右边，与O距离3个单位长度的点 B表示柳树的位置：点 O
右边，与O点距离7.5个单位长度的点C表示杨树的位置；点O左边，与
点O距离3个单位长度的点 D表示槐树位置；点 O的左边，与点O距离
4.8个单位长度的点E表示电线杆的位置．
问：怎样用数简明地表示这些树、电线杆与汽车站的相对位置关系？
（方向、距离）
为了使表达更清楚、更简洁，我们把点O左右两边的数分别用正数
和正数表示．符号表示方向，点O的左边表示负数，点O的右边表示正
数．
这样就可以简明地表示这些树、电线杆与汽车站的相对位置关系
了．
这里，-4.8中的负号“－”表示汽车站（点O）的左边，4.8表示与
点O的距离为4.8个单位长度．
说明：以上分析，教师应边讲边画，分步进行．
13观察后回答：（课本第11页）温度计可以看作表示正数、0和负数
的直线吗？它和课本图1．2-1有什么共同点，有什么不同点？
答：可以，课本图1．2-2也是把正数、o和负数用一条直线上的点
表示出来，它是向上方向为正（即0的上方表示正数，0的下方表示负
数），只要把温度计水平放下就与课本图1．2-1相同了．
一般地，在数学中人们用画图的方式把数“直观化”，通常用一条
直线上的点表示数，这条直线叫做数轴，它满足以下要求：
（1）在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点，记为0；
（2）通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或
下）为负方向；
（3）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单
位长度取一个点，依次表示1，2，3，…；从原点向左，用类似方法依次表
示-1，-2，-3，…．
像这样规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．
原点、正方向和单位长度称为数轴的三要素，缺一不可．
单位长度的大小可以根据不同的需要选择．
任何一个有理数都可以用数轴上的点表示，例如3.5，数轴上从原点
1 1
向右3.5个单位长度的点表示3.5，又如要表示-2 ，从原点向左2 个
3 3
1
单位长度的点就表示-2 ，如下图．
3
归纳：先由学生填空，然后教师加以讲评．
六、巩固练习
1．请同学们在练习本上画一条数轴．
2．下面的各图是不是数轴？为什么？
143．在数轴上画出表示下列各数的点．
1 1
（1）4，-2，-4，1 ，0，-2
3 3
（2）-100，100，-250，-400，0，2.5
4．指出数轴上A、B、C、D、E各点分别表示什么数？
5．在数轴上与表示-1的点的距离为2个单位长度的点有几个？请
你在数轴上把它们画出来，它们分别表示什么数？
学生独立完成后，老师讲解，给出正确的答案．
七、课堂小结
数轴是非常重点的数学工具，它的出现对数学的发展起了重要作
用，它揭示了数和形之间的内在联系，很多数学问题都可以以它为基础，
借助图直观地表示，为研究问题提供了新方法．
八、作业布置
1．课本第10页练习1、2题，第14页习题1．2的第2题．
九、板书设计：
1.2.2 数轴
第二课时
1、像这样规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．
原点、正方向和单位长度称为数轴的三要素，缺一不可．
单位长度的大小可以根据不同的需要选择．
任何一个有理数都可以用数轴上的点表示，例如3.5，数轴上从原点
1 1
向右3.5个单位长度的点表示3.5，又如要表示-2 ，从原点向左2 个
3 3
151
单位长度的点就表示-2 ，如下图．
3
2、随堂练习。
3、小结。
4、课后作业。
十、课后反思
1.2.3 相反数
第三课时
三维目标
16一．知识与技能
（1）借助数轴了解相反数的概念，知道两个互为相反数的位置关系．
（2）给出一个数，能求出它的相反数．
二、过程与方法
借助数轴，通过观察特例，总结出相反数的概念．从数和形两个侧
面理解相反数．
三、情感态度与价值观
鼓励学生积极进行归纳、比较交流等活动．
教学 重、难点与关键
1．重点：理解相反数的意义，会求一个数的相反数．
2．难点：理解和掌握双重符合的简化．
3．关键：通过观察特例，以及互为相反数的两个数在数轴上的位置
理解相反数．
教学过程
四、复习提问课堂引入
1 1 1 1
在数轴上，画出表示6，-6，2 ，-2 ，4 ，-4 各数的点．
2 2 3 3
五、新授
请同学们观察后回答：
1 1 1 1
1．上述中6和-6；2 和-2 ，4 和-4 每对数有什么特点？
2 2 3 3
2．每对数在数轴上所表示的点有什么特点？
3．再观察课本第8页的图1．2-1中点D和点B，它们的位置关系如
何？它们各表示的数有什么特点？
概括：
（1）每一对数，只有符号不同．
（2）在数轴上表示每一对数的两个点分别在原点的两边，并且离开
原点的距离相等．
（3）点D和点B分别位于原点的两边，且与原点的距离相等，它们
分别表示-3和3．
17思考：数轴上与原点的距离是 2的点有几个？这些点表示的数是
什么？与原点的距离是5的点呢？
归纳：
一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有两个，它
们分别在原点左右，表示-a和a，那么称这两个点关于原点对称，如下
图：
-a -2 0 2 a
1
像这样只有符号不同的两个数叫做互为相反数，例如 6和-6，2
2
1 1
和-2 ，都是互为相反数，也就是说6的相反数是-6，-2 的相反数是2
2 2
1
．
2
一般地，a和-a互为相反数，特别地，0的相反数仍是0．
问：数轴上表示相反数的两个点和原点有什么关系？
答：数轴上表示相反数的两个点是关于原点对称，是在原点的两旁
（除0外），并且与原点的距离相等．
注意相反数与倒数的区别，若两个数只有符号不同，那么这两个数
叫做互为相反数；若两个数的乘积等于1，则这两个数叫互为倒数．任
何有理数都有相反数，零的相反数是零，而零没有倒数．
例1：分别写出下列各数的相反数．
1
5，-7，-3 ，+11.2，0．
2
解：5的相反数是-5；-7的相反数是7；-3的相反数是3；+11.2的
相反数是-11.2；0的相反数是0．
强调书写格式，防止出现如“5=-5”的错误．
容易看出，在正数前面添上“－”号，就得到这个正数的相反数．
在任意一个数的前面添上“－”号，新的数就表示原数的相反数．
181 1
例如：-（+5）=-5，-（-7）=7，-（-3 ）=3 ，-（+11.2）=-11.2，-0=0．
2 2
我们知道一个正数，前面的“＋”号可以写也可以不写，所以在一
个数的前面添上“＋”号，表示这个数没有变化，还是它本身．
例如：+（-4）=-4，+（+12）=12，+0=0
六、课堂练习
1．写出下列各数的相反数．
1 4
+2 ，-2.5，0，
3 3
2．化简下列各数．
2
-（-30），-（+3），-（-38.2），+（-5），+（+ ）．
7
3．指出下列各对数，哪些是相等的数？哪些是互为相反数？
1 1
+（-3）与-3，-（+3）与3，-（-7 ）与-7 ．
2 2
4．如果a=-a，那么表示a的点在数轴上的什么位置？
5．你会化简下列各数吗？试试看．（本题可根据学生实际情况选
用）
-[+（-2）]，-[-（-6）]．
提示：
因为任意数 a是-a的相反数，所以表示 a的点在数轴上与表示-a
的点关系原点对称，这两个点分别在原点左、右两边且与原点距离相等．
七、课堂小结
本节课我们学习了相反数的概念、相反数的求法和双重符号的简
化．理解相反数的意义，相反数总是一正一反成对出现（零除外），从数
轴上看，表示互为相反数的两个点，分别在原点的两边，且到原点距离
相等．要表示一个数的相反数，只要在这个数前面添“－”号，-a表示
a的相反数，当a是正数时，-a表示一个负数；当a是负数时，则-a表示
正数．此外我们还应该注意相反数和倒数的区别．
19八、作业布置
1．课本第11页练习1、2、3题，第15页习题1．2第3题．
九、板书设计：
1.2.3 相反数
第三课时
1、一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有两个，
它们分别在原点左右，表示-a和a，那么称这两个点关于原点对称，如
下图：
-a -2 0 2 a
1
像这样只有符号不同的两个数叫做互为相反数，例如 6和-6，2
2
1 1
和-2 ，都是互为相反数，也就是说6的相反数是-6，-2 的相反数是2
2 2
1
．
2
2、随堂练习。
3、小结。
4、课后作业。
十、课后反思
1.2.4 绝对值
第四课时
三维目标
一、知识与技能
（1）借助数轴初步理解绝对值的概念，能求一个数的绝对值．
（2）通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用．
20二、过程与方法
通过观察实例及绝对值的几何意义，探索一个数的绝对值与这个
数之间的关系，培养学生语言描述能力．
三、情感态度与价值观
培养学生积极参与探索活动，体会数形结合的方法．
教学重、难点与关键
1．重点：正确理解绝对值的概念，能求一个数的绝对值．
2．难点：正确理解绝对值的几何意义和代数意义．
3．关键：借助数轴理解绝对值的几何意义，根据绝对值定义和相反
数的概念，理解绝对值的代数意义．
四、教学过程
一、复习提问，新课引入
1．什么叫互为相反数？
2．在数轴上表示互为相反数的两个点和原点的位置关系怎样？
五、新授
在一些量的计算中，有时并不注意其方向，例如，为了计算汽车行
驶所耗的油量，起作用的是汽车行驶的路程而不是行驶的方向．
1．观察课本第11页图1．2-5，回答：
（1）两辆汽车行驶的路线相同吗？
（2）它们行驶路程的远近相同吗？
这两辆车行驶的路线不同（方向相反），但行驶的路程的远近相同，
都是10km．
课本图 1．2-5中表示-10的点B和表示10的点A离开原点的距离
都是10，我们就把这个距离10叫做数-10、10的绝对值．
一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记
作│a│．
这里的数a可以是正数、负数和0．
例如上述的10和-10的绝对值记作│10│=10，│-10│=10，同样
在数轴上表示+6和-6的两个点，离开原点的距离都是6，即6和-6的绝
21对值都是6，记作│6│=6，│-6│=6．数轴上表示数0的点与原点的距
离是0，所以│0│=0．
2．试一试：
1
（1）│+2│=______，│ │=_____，│+10.6│=________．
5
（2）│0│=_______．
1
（3）│-12│=_______，│-20.8│=_______，│-32 │=_______．
7
3．你能从上面解答中发现什么规律吗？
学生若有困难，教师可提示：所得的结果与绝对值符号内的数有什
么关系？
从而得出绝对值的代数意义：
（1）一个正数的绝对值是它本身；
（2）零的绝对值是零；
（3）一个负数的绝对值是它的相反数．
我们用a表示任意一个有理数，上述式子可以表示为：
①当a是正数时，│a│=_______；
②当a是负数时，│a│=_______；
③当a=0时，│a│=_______．
以上先让学生填空，然后让学生给a取一些具体数值检验所填写的
结果是否正确．
教师问：
（1）任何一个有理数都有绝对值吗？一个数的绝对值有几个？
（2）有没有一个数的绝对值等于-2？任何一个数的绝对值一定是
怎样的数？
（3）绝对值等于2的数有几个？它们是什么？
归纳：
①任何有理数都有唯一的绝对值，任意一个数的绝对值总是正数
或0，不可能是负数，即对任意有理数a，总有│a│≥0．
②两个互为相反数的绝对值相等，即│a│=│-a│．
22③因为0的绝对值是0，而0的相反数是它本身0，因此可知绝对值
等于它本身的数是正数或者零，绝对值等于它的相反数的数是负数或
零．
六、巩固练习
1．课本第12页练习1、2题．
第1题强调书写格式，防止出现“-8=8”的错误．
第2题（1）错，如3与-2的符号相反，但它们不是互为相反数，应
改为“只有大小相等符号相反的数是互为相反数”．（2）正确．（3）错，
因为这个点也可能越靠左，应改为：“一个数的绝对值越大，表示它的
点离原点越远．”（4）正确．
七、课堂小结
理解绝对值的几何意义和代数意义．从几何意义可知，一个数的绝
对值是表示该数的点与原点的距离，因为距离总是正数和零，所以有理
数的绝对值不可能是负数，从绝对值的代数定义也可进一步理解这一
点．
引入绝对值概念后，有理数可以理解为由性质符号和绝对值两部
分组成的，如-5就是由“－”号和它的绝对值5两部分组成．
八、作业布置
1．课本第15页习题1．2第4、7、10题．
九、板书设计：
1.2.4 绝对值
第四课时
①任何有理数都有唯一的绝对值，任意一个数的绝对值总是正数或0，
不可能是负数，即对任意有理数a，总有│a│≥0．
②两个互为相反数的绝对值相等，即│a│=│-a│．
③因为0的绝对值是0，而0的相反数是它本身0，因此可知绝对值
等于它本身的数是正数或者零，绝对值等于它的相反数的数是负数或
零．
232、随堂练习。
3、小结。
4、课后作业。
十、课后反思
1.2.4 绝对值
第五课时
三维目标
一、知识与技能
掌握有理数的大小比较的两种方法──利用数轴和绝对值．
二、过程与方法
经历利用绝对值以及利用数轴比较有理数的大小，进一步体会
“数形结合”的数学方法，培养学生分析、归纳的能力．
三、情感态度与价值观
会把所学知识运用于解决实际问题，体会数学知识的应用价值．
教学 重、难点与关键
1．重点：会利用绝对值比较有理数的大小．
2．难点：两个负数的大小比较．
3．关键：正确理解绝对值的概念．
四、教学过程
一、复习提问，引入新课
24用“>”、“<”号填空．
2 3
1．5.7______6.3； 2． _____ ； 3．0.03_______0；
7 8
2 3
4．│-3│_______│2│； 5．│- │_______│- │．
3 2
五、新授
引入负数后，如何比较两个有理数的大小呢？让我们从熟悉的温
度来比较，大家观察课本第12页中“未来一周天气预报”．
1．课本图1．2-6中共有14个温度，其中最低的是多少？最高的是
多少？
2．请你将这14个温度按从低到高的顺序排列．
课本图1．2-6中的14个温度按从低到高排列为：
-4℃，-3℃，-2℃，-1℃，0℃，1℃，2℃，3℃，4℃，5℃，6℃，7℃，
8℃，9℃．
按照这个顺序排列的温度，在温度计上所对应的点是从下到上的，
按照这个顺序把这些数表示在数轴上，表示它们的各点的顺序是从左
到右的，如课本图1．2-7 ，这就是说在数轴上表示有理数，它们从左到
右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数，因此，我们
可以利用数轴比较有理数的大小．
例如在数轴上表示-6的点在表示-5的点的左边，所以-6<-5．
1
同样-5<-4，-3 <-3，-2<0，-1<1，…
2
从数轴上可知：
表示正数的点都在原点的右边；表示负数的点都在原点左边．
因此有正数大小0，0大于负数，正数大于负数．
两个正数的大小比较小学已学过，不画数轴你会比较两个负数的
大小吗？
探索：
我们知道，在数轴上越靠左边的点所表示的数越小，而这个点与原
点的距离越大，即这个点所表示的数的绝对值越大，因此，我们还可以
25利用绝对值比较两个负数的大小．
即两个负数，绝对值大的反而小．
例如：│-2│=2，│-5│=5，即│-2│<│-5│，因此-2>-5．
同样│-1│<│-3│，所以-1>-3．
例1：比较下列各对数的大小：
8 3 1
（1）-（-1）和-（+2）； （2）- 和- ； （3）-（-0.3）和│- │．
21 7 3
解：（1）先化简，-（-1）=1，-（+2）=-2，
正数大于负数，1>-2．
即 -（-1）>-（+2）．
（2）这是两个负数比较大小，要比较它们的绝对值，绝对值大的反
而小．
8 8 3 3 9
│- │= ，│- │= = ．
21 21 7 7 21
8 9 8 3
因为 < ，即│- │<│- │，
21 21 21 7
8 3
所以- >- ．
21 7
1 1
（3）先化简，-（-0.3）=0.3，│- │= = . ，
0.3
3 3
1
0.3<0.3，即-（-0.3）<│- │．
3
初学时，要求学生按以上步骤进行，能化简的要先化简，然后按照
有理数的大小比较法则：异号两数比较大小，要考虑它们的正负，根据
“正数大于负数”，同号两数比较大小，要考虑它们的绝对值，特别是
两个负数大小比较，先各自求出它们的绝对值，然后依法则：两个负数，
绝对值大的反而小，比较绝对值大小后，即可得出结论．
例2：已知a>0，b<0且│b│>│a│，比较a，-a，b，-b的大小．
解：方法一，可通过数轴来比较大小，先在数轴上找出a，-a，b，-b
的大致位置，再比较．
由a>0，b<0可知表示a的点在原点的右边，表示b的点在原点的左
26边；由│b│>│a│，可知表示b的点离开原点的距离更远，即它应在表
示a的点的左边，然后再根据两个互为相反数在数轴上所表示的点在
原点两边，且与原点距离相等即可得到下图．
b -a 0 a -b
根据数轴上，较左边的点所表示的数较小，可得：
b<-a”或“<”号填空．
b a
-1 0 1
1 1
①a_____b； ②│a│_____│b│； ③-a_____-b； ④ _____ ．
a b
七、全课小结（提问式）
比较有理数的大小有哪几种方法？
有两种方法，方法一：利用数轴，把这些数用数轴上的点表示出来，
然后根据“数轴上较左边的点所表示的数比较右边的点所表示的数
小”来比较．
方法二：利用比较法则：“正数大于零，负数小于零，两个负数比较
绝对值大的反而小”来进行．
在比较有理数的大小前，要先化简，从而知道哪些是正数，哪些是
负数．
八、作业布置
271．课本第15页习题1．2第5、6、8题．
九、板书设计：
1.2.4 绝对值
第五课时
1、表示正数的点都在原点的右边；表示负数的点都在原点左边．
因此有正数大小0，0大于负数，正数大于负数．
2、随堂练习。
3、小结。
4、课后作业。
十、课后反思
1.3.1 有理数的加法（1）
第一课时
三维目标
一、知识与技能
理解有理数加法的意义，掌握有理数加法法则，并能准确地进行有
理数的加法运算．
二、过程与方法
引导学生观察符号及绝对值与两个加数的符号及其他绝对值的关
系，培养学生的分类、归纳、概括能力．
三、情感态度与价值观
培养学生主动探索的良好学习习惯．
教学重、难点与关键
1．重点：掌握有理数加法法则，会进行有理数的加法运算．
2．难点：异号两数相加的法则．
3．关键：培养学生主动探索的良好学习习惯．
四、教学过程
一、复习提问，引入新课
1．有理数的绝对值是怎样定义的？如何计算一个数的绝对值？
2．比较下列每对数的大小．
28（1）-3和-2； （2）│-5│和│5│； （3）-2与│-1│；（4）-（-7）
和-│-7│．
五、新授
在小学里，我们已学习了加、减、乘、除四则运算，当时学习的运算
是在正有理数和零的范围内．然而实际问题中做加法运算的数有可能
超出正数范围，例如，足球循环赛中，可以把进球数记为正数，失球数记
为负数，它们的和叫做净胜球数．本章前言中，红队进4个球，失2个球；
蓝队进1个球，失1个球，那么哪个队的净胜球多呢？
要解决这个问题，先要分别求出它们的净胜球数．
红队的净胜球数为：4+（-2）；
蓝队的净胜球数为：1+（-1）．
这里用到正数与负数的加法．
怎样计算4+（-2）呢？
下面借助数轴来讨论有理数的加法．
看下面的问题：
一个物体作左右方向的运动，我们规定向左为负、向右为正．
（1）如果物体先向右运动5m，再向右运动3m，那么两次运动后总的
结果是什么？
我们知道，求两次运动的总结果，可以用加法来解答．
这里两次都是向右运动，显然两次运动后物体从起点向右运动了
8m，写成算式就是：
5+3=8 ①
这一运算在数轴上可表示，其中假设原点为运动的起点．（如下图）
（2）如果物体先向左运动5m，再向左运动3m，那么两次运动后总的
结果是什么？
显然，两次运动后物体从起点向左运动了8m，写成算式就是：
（-5）+（-3）=-8 ②
29这个运算在数轴上可表示为（如下图）：
（3）如果物体先向右运动5m，再向左运动3m，那么两次运动后物体
与起点的位置关系如何？
在数轴上我们可知物体两次运动后位于原点的右边，即从起点向右
运动了2m．（如下图）
写成算式就是：5+（-3）=2 ③
探究：
还有哪些可能情形？请同学们利用数轴，求以下情况时物体两次
运动的结果：
（4）先向右运动3m，再向左运动5m，物体从起点向______运动了
______m．
要求学生画出数轴，仿照（3）画出示意图．
写出算式是：3+（-5）=-2 ④
（5）先向右运动5m，再向左运动5m，物体从起点向_____运动了
_____m．
先向右运动5m，再向左运动5m，物体回到原来位置，即物体从起点
向左（或向右）运动了0m，因为+0=-0，所以写成算式是：
5+（-5）=0 ⑤
（6）先向左运动5m，再向左运动5m，物体从起点向________运动了
_______m．
同样，先向左边运动5m，再向右运动5m，可写成算式是：
（-5）+5=0 ⑥
30如果物体第1秒向右（或左）运动5m，第2秒原地不动，两秒后物体
从起点向右（或左）运动了多少呢？请你用算式表示它．
可写成算式是：5+0=5或（-5）+0=-5 ⑦
从以上写出的①～⑦个式子中，你能总结出有理数加法的运算法
则吗？
引导学生观察和的符号和绝对值，思考如何确定和的符号？如何
计算和的绝对值？
算式是小学已学过的两个正数相加．观察算式②，两个加数的符号
相同，都是“－”号，和的符号也是“－”号与加数符号相同；和的绝
对值8等于两个加数绝对值的和，即│-5│+│-3│=│-8│．
由①②可归结为：
同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．
例如（-4）+（-5）=-（4+5）=-9．
观察算式③、④是两个互为相反数相加，和为0．
由算式③～⑥可归结为：
绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用
较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数相加得0．
由算式⑦知，一个数同0相加，仍得这个数．
综合上述，我们发现有理数的加法法则，让学生朗读课本第18页
中“有理数的加法法则”．
一个有理数由符号与绝对值两部分组成，进行加法运算时，必先确
定和的符号，再确定和的绝对值．
例1：计算．
1
（1）（-3）+（-5）； （2）（-4.7）+2.9； （3） +（-0.125）．
8
分析：本题是有理数加法，所以应遵循加法法则，按判断类型，确定
符号、计算绝对值的步骤进行计算．（1）是同号两数相加，按法则1，取
原加数的符号“－”，并把绝对值相加．（2）是绝对值不相等的异号两
数相加．（3）是绝对值相等的两数相加，根据法则2进行计算．
31解：（1）（-3）+（-5）=-（3+5）=-8；
（2）（-4.7）+2.9=-（4.7-2.9）=-1.8；
1 1 1
（3） +（-0.125）= +（- ）=0．
8 8 8
例2：足球循环赛中，红队胜黄队4：1，黄队胜蓝队1：0，蓝队胜红
队1：0，计算各队的净胜球数．
分析：净胜球数是进球数与失球数的和，我们可以分别用正数、负
数表示进球数和失球数．红队胜黄队4：1表示红队进4球，失1球，黄
队进1球失4球．
解：每个队的进球总数记为正数，失球总数记为负数．
三场比赛中，红队共进4球，失2球，净胜球数为：
（+4）+（-2）=+（4-2）=2；
黄队共进2球，失4球，净胜球数为：
（+2）+（-4）=-（4-2）=-2；
蓝队共进1球，失1球，净胜球数为：
（+1）+（-1）=0．
以上讲解有理数加法时，严格按照：先判断类型，然后确定和的符
号，最后计算和的绝对值，这三步骤进行．
六、巩固练习
课本第18页练习1、2题．
七、课堂小结
有理数的加法法则指出进行有理数加法运算，首先应该先判断类
型，然后确定和的符号，最后计算和的绝对值．类型为异号两数相加，和
的符号依法则取绝对值较大的加数的符号，并把绝对值相减，因为正负
互相抵消了一部分．有理数加法还打破了算术数加法中和一定大于加
数的常规．
八、作业布置
1．课本第24页习题1．3第1题．
九、板书设计：
321.3.1 有理数的加法（1）
第一课时
1、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．
绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用
较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数相加得0．
2、随堂练习。
3、小结。
4、课后作业。
十、课后反思
1.3.1 有理数的加法（2）
第二课时
三维目标
一、知识与技能
（1）能运用加法运算律简化加法运算．
（2）理解加法运算律在加法运算中的作用，培养学生的观察能力和
思维能力．
二、过程与方法
经历探索有理数的加法运算律的过程，培养学生的观察能力和思
维能力．
三、情感态度与价值观
体会有理数加法运算律的应用价值．
教学重、难点与关键
1．重点：有理数加法运算律．
332．难点：灵活运用加法运算律．
3．关键：正确理解加法运算律在加法运算中的作用．
教具准备
投影仪．
四、教学过程
一、复习提问，引入新课
1．叙述有理数的加法法则．
2．在小学里，数的加法有哪些运算律？
五、新授
在小学里，数的加法满足交换律、结合律．
如：5+3.5=3.5+5，（5+3.5）+2.5=5+（3.5+2.5）．
引进负数后，这些运算律还适用吗？
探索：
例1．计算：30+（-20），（-20）+30．
两次所得的和相同吗？
换几个加数试一试，让学生自己得出：有理数的加法中，两个数相
加，交换加数的位置和不变，即
加法交换律：a+b=b+a．
例2．计算：[8+（-5）]+（-4），8+[（-5）+（-4）]．
两次所得的和相同吗？换几个加数再试一试．
从而得到：有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者
先把后两个数相加，和不变，即
加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）．
上述a、b、c表示任意有理数，可以是正数，也可以是负数．
这样，多个有理数相加可以任意交换加数位置，也可以先把其中的
几个数相加，使计算简化．
例3．计算：16+（-25）+24+（-35）．
分析：先观察题目中数据特点，根据运算律，选择合理途径．
本题采用正、负数分开相加的方法．
34解：原式＝（16+24）+[（-25）+（-35）]
=40+（-60）
=-20
例4．每袋小麦的标准重量为 90千克，10袋小麦称重记录如课本
图1．3-3所示（课本第19页），与标准重量比较，10袋小麦总计超过多
少千克或不足多少千克？10袋小麦的总重量是多少？
分析：怎样求这10袋小麦的总重量呢？这是有理数加法在实际中
的应用，本题有两种解法，教学时可先让学生相互交流，提出自己的想
法，对不同的解法进行比较．
解法1：先计算10袋小麦的总重量．
91+91+91.5+89+91.2+91.3+88.7+88.8+91.8+91.1=905.4，
再计算标准重量：90×10=900．
所以这10袋小麦总计超过905.4-900=5.4（千克）
解法2：先计算总误差，然后再求10袋小麦的总重量．
将每袋小麦超过标准重量的千克数记作正数，不足的千克数记作负
数，10袋小麦的对应的数为+1，+1，+1.5，-1，+1.2，+1.3，-1.3，-
1.2，+1.8，+1.1.
???+1+1+1.5+（-1）+1.2+1.3+（1.3）+（-1.2）+1.8+1.1
=[1+（-1）]+[1.2+（-1.2）]+[1.3+（-1.3）]+（1+1.5+1.8+1.1）
=5.4
90×10+5.4=905.4
所以10袋小麦总计超过标准5.4千克，总重量为905.4千克．
五、巩固练习
1．课本第20页，练习1、2．
六、课堂小结
本节课我们探索了有理数加法的运算律，灵活运用加法的运算律
使运算简便．一般情况下，将互为相反数的数结合相加；同分母的分数
能凑整的数结合；正数、负数分别相加，以使计算简便．
七、作业布置
351．课本第25页习题1．3第2题，第26页第9、10、12题．
九、板书设计：
1.3.1 有理数的加法（2）
第二课时
1、有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个
数相加，和不变。
加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）．
上述a、b、c表示任意有理数，可以是正数，也可以是负数．
2、随堂练习。
3、小结。
4、课后作业。
十、课后反思
1.3.2 有理数的减法（1）
第三课时
三维目标
一、知识与技能
（1）理解并掌握有理数的减法法则，能进行有理数的减法运算．
（2）通过把减法运算转化为加法运算，让学生了解转化思想．
二、过程与方法
经历探索有理数的加法运算律的过程，培养学生的观察能力和思
维能力．
三、情感态度与价值观
体会有理数加法运算律的应用价值．
教学重、难点与关键
1．重点：掌握有理数减法法则，能进行有理数的减法运算．
2．难点：探索有理数减法法则，能正确完成减法到加法的转化．
3．关键：正确完成减法到加法的转化．
四、教学过程
一、复习提问，新课引入
361．计算．
3 2
（1）（-5.2）+（-4.8）； （2）（-4 ）+5 ；
5 5
5 5 3
（3）（-13 ）+13 ； （4）（+4 ）+（-7.5）．
7 7 4
2．填空．
（1）_______+3=10； （2）30+_______=27；
（3）______+（-3）=10； （4）（-13）+____=6．
五、新授
实际问题中有时还要涉及有理数的减法，例如，某地一天的气温
是-3℃～4℃，这天的温差（最高气温减最低气温，单位：℃）就是4-
（-3），这里用到正数与负数的减法，你会计算它吗？（鼓励学生探索）
可以先从温度计看出4℃比-3℃高7℃．
另外，我们知道减法和加法是互为逆运算．计算4-（-3），就是要求
出一个数x，使x与-3的和等于4，因为7+（-3）=4，所以
4-（-3）=7 ①
另外4+（+3）=7， ②
比较①、②两式，你发现了什么？
发现：4-（-3）=4+（+3）．
这就是说减法可以转化为加法，如何转化呢？
减-3相当于加3，即加上“-3”的相反数．
换几个数再试一试，把4换成0，-1，-5，用上面的方法考虑．
0-（-3），（-1）-（-3），（-5）-（-3）．
因为（+3）+（-3）=0，所以0-（-3）=+3，
又0+（+3）=+3，所以0-（-3）=0+（+3），
同样，可得（-1）-（-3）=（-1）+（+3），（-5）-（-3）=（-5）+（+3）
这些数减-3的结果与它们加+3的结果仍然相同．
计算：
（1）9-8，9+（-8）；（2）15-7，15+（-7），从中又发现了什么？
通过计算发现：
379-8=9+（-8），15-7=15+（-7）．
归纳：通过上述讨论，得出：
有理数的减法可以转化为加法来进行．“相反数”是转化的桥梁．
有理数减法法则：
减去一个数，等于加上这个数的相反数．
用式子表示为：a-b=a+（-b）．
例5：计算：
（1）（-3）-（-5）； （2）0-7；
1 1
（3）7.2-（-4.8）； （4）（-3 ）-5 ．
2 4
分析：以上是有理数的减法，按减法法则，把减法转化为加法．
1 1 1 1 3
（4）（-3 ）-5 =（-3 ）+（-5 ）=-8
2 4 2 4 4
强调：减号变加号、减数变相反数，必须同时改变，（4）题中减数的
符号为“＋”号，省略没有定．
六、课堂练习
1．课本第23页练习1、2题，第26页第7、8题．
2．差数一定比被减数小吗？
提示：不一定，例如（-7）-（-5）=（-7）+（+5）=-2，-2>-7．
七、课堂小结
引进负数后，任意两个有理数都可以求出它们的差，结果可能为正
数（大数减去小数），也可能为负数（小数减去大数），还可能为0（相等
38的两数相减），学习有理数减法，关键在于处理好两个“变”字；（1）改
变运算符号──即把减法转化为加法．（2）改变减数的符号──即减数
变为它的相反数，这两个“变”要同时进行，而被减数不变．
八、作业布置
1．课本第25页至第26页，习题1．3第3、4、11、12题．
九、板书设计：
1.3.2 有理数的减法（1）
第三课时
1、有理数的减法可以转化为加法来进行．“相反数”是转化的桥梁．
有理数减法法则：
减去一个数，等于加上这个数的相反数．
用式子表示为：a-b=a+（-b）．
2、随堂练习。
3、小结。
4、课后作业。
十、课后反思
391.3.2 有理数的减法（2）
第四课时
三维目标
一、知识与技能
理解有理数加减法可以互相转化，能把有理数加减混合运算统
一为加法运算，灵活应用运算律进行计算．
二、过程与方法
经历综合运用有理数加减法解决实际问题的过程，培养学生分析问
题解决问题的能力．
三、情感态度与价值观
体会数学与现实生活的联系，提高学生学习数学的兴趣．
教学重点、难点与关键
1．重点：有理数加减法统一为加法运算，掌握有理数加减混合运算
2．难点：省略括号和加号的加法算式的运算方法．
3．关键：理解加减混合运算可以统一成加法，以及正确理解省略加
号的有理数加法形式．
教具准备
投影仪．
四、教学过程
一、复习提问，引入新课
1．叙述有理数的加法、减法法则．
2．计算．
（1）（-8）+（-6）； （2）（-8）-（-6）； （3）8-（-6）；
（4）（-8）-6； （5）5-14．
五、新授
我们已学习了有理数加、减法的运算，今天我们来研究怎样进行有
理数的加减混合运算．
40例6：计算：（-20）+（+3）-（-5）-（+7）．
分析：这个式子中有加法，也有减法，可以按照运算顺序，从左到右
逐一加以计算．也可以用有理数的减法法则，则它改写为（-20）+（+3）+
（+5）+（-7）使问题转化为几个有理数的加法．
解：（-20）+（+3）-（-5）-（+7）
=（-20）+（+3）+（+5）+（-7）
=[（-20）+（-7）]+[（+3）+（+5）]
=-27+（+8）
=-19
把有理数加减混合运算转化为加法后，常用加法交换律和结合律
使计算简便．
归纳：加减混合运算可以统一为加法运算．
用式子表示为a+b-c=a+b+（-c）．
式子（-20）+（+3）+（+5）+（-7）是-20，+3，+5，-7这四个数的和，为
了书写简单，可以省略式子中的括号和加号，把它写为：-20+3+5-7．
这个式子读作“负20、正3、正5、负7的和”或读作“负20加3
加5减7”．
例6的运算过程也可简写为：
（-20）+（+3）-（-5）-（+7）
=（-20）+（+3）+（+5）+（-7） （加减法统一为加法）
=-20+3+5-7 （省略式子中的括号和括号前面的加号）
=-20-7+3+5 （加法交换律交换时，要连同符号一起交换）
=-19 （异号两数相减）
六、巩固练习
1．课本第24页练习．
（1）题是已写成省略加号的代数和，可运用加法交换律、结合律．
原式=1+3-4-0.5=0-0.5=-0.5
（2）题运用加减混合运算律，同号结合．
原式=-2.4-4.6+3.5+3.5=-7+7=0
41（3）题先把加减混合运算统一为加法运算．
原式=（-7）+（-5）+（-4）+（+10）
=-7-5-4+10 （省略括号和加号）
=-16+10
=-6
七、课堂小结
有理数加减混合运算通常统一成加法运算，运算时常用交换律和
结合律使计算简便，一般情况采用：（1）凡相加是整数的，可以先加；
（2）分母相同或易于通分的分数相结合；（3）有互为相反数可以互相抵
消的，先相加；（4）正、负数分别相加．总之要认真观察，灵活运用运算
律．
八、作业布置
1．课本第25页第26页习题1．3第5、6、13题．
九、板书设计：
1.3.2 有理数的减法（2）
第四课时
1、把有理数加减混合运算转化为加法后，常用加法交换律和结合律使
计算简便．
归纳：加减混合运算可以统一为加法运算．
用式子表示为a+b-c=a+b+（-c）．
2、随堂练习。
3、小结。
4、课后作业。
十、课后反思
1.4.1 有理数的乘法（1）
第一课时
三维目标
42一、知识与技能
经历探索有理数乘法法则过程，掌握有理数的乘法法则，能用法则
进行有理数的乘法．
二、过程与方法
经历探索有理数乘法法则的过程，发展学生归纳、猜想、验证等能
力．
三、情感态度与价值观
培养学生积极探索精神，感受数学与实际生活的联系．
教学重、难点与关键
1．重点：应用法则正确地进行有理数乘法运算．
2．难点：两负数相乘，积的符号为正与两负数相加和的符号为负号
容易混淆．
3．关键：积的符号的确定．
教具准备
投影仪．
四、教学过程
一、引入新课
在小学，我们学习了正有理数有零的乘法运算，引入负数后，怎样
进行有理数的乘法运算呢？
五、新授
课本第28页图1．4-1，一只蜗牛沿直线L爬行，它现在的位置恰在
L上的点O．
l
0
（1）如果蜗牛一直以每分2cm的速度向右爬行，3分后它在什么位
置？
（2）如果蜗牛一直以每分2cm的速度向左爬行，3分后它在什么位
置？
43（3）如果蜗牛一直以每分2cm的速度向右爬行，3分前它在什么位
置？
（4）如果蜗牛一直以每分2cm的速度向左爬行，3分前它在什么位
置？
分析：以上4个问题涉及2组相反意义的量：向右和向左爬行，3分
钟后与3分钟前，为了区分方向，我们规定：向左为负，向右为正；为区
分时间，我们规定：现在前为负，现在后为正，那么（1）中“2cm”记作
“+2cm”，“3分后”记作“+3分”．
（1）3分后蜗牛应在L上点O右边6cm处．（如课本图1．4-2）
这可以表示为
（+2）×（+3）=+6 ①
（2）3分后蜗牛应在L上点O左边6cm处．（如课本图1．4-3）
这可以表示为
（-2）×（+3）=-6 ②
（3）3分前蜗牛应在L上点O左边6cm处．（如课本图1．4-4）
[讲问题（3）时可采用提问式：已知现在蜗牛在点O处，而蜗牛是一
直向右爬行的，那么3分前蜗牛应在什么位置？]
这可以表示为（+2）×（-3）=-6 ③
（4）蜗牛是向左爬行的，现在在O点，所以3分前蜗牛应在L上点O
44右边6cm处（如课本图1．4-5）．
这可以表示为（-2）×（-3）=+6 ④
观察①～④，根据你对有理数乘法的思考，完成课本第39页填空．
归纳： 两个有理数相乘，积仍然由符号和绝对值两部分组成，①、
④式都是同号两数相乘，积为正，②、③式是异号两数相乘，积为负，
①～④式中的积的绝对值都是这两个因数绝对值的积．
也就是两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
此外，我们知道2×0=0，那么（-2）×0=？
显然（-2）×0=0．
这就是说：任何数同0相乘，都得0．
综上所述，得有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并
把绝对值相乘，任何数同0相乘，都得0．
进行有理数的乘法运算，关键是积的符号的确定，计算时分为两步
进行：第一步是确定积的符号，在确定积的符号时要准确运用法则；第
二步是求绝对值的积．
如：（-5）×（-3），……（同号两数相乘）
（-5）×（-3）=+（ ），……得正
5×3=15，……把绝对值相乘
所以 （-5）×（-3）=15
又如：（-7）×4……________
（-7）×4=-（ ），……_________
7×4=28，……__________
所以 （-7）×4=-28
例1：计算：
1
（1）（-3）×9； （2）（- ）×（-2）；
2
451 2 1
（3）0×（-53 ）×（+25．3）； （4）1 ×（-1 ）．
7 3 5
例1可以由学生自己完成，计算时，按判定类型、确定积的符号，求
积的绝对值．（3）题直接得0．（4）题化带分数为假分数，以便约分．
小学里，两数乘积为1，这两个数叫互为倒数．
在有理数中仍然有：乘积是1的两数互为倒数．
1 3 5
例如：- 与-2是互为倒数，- 与- 是互为倒数．
2 5 3
注意倒数与相反数的区别：两数互为倒数，积为1，它们一定同号；
两数互为相反数，和为零，它们是异号（0除外），另外0没有倒数，而0
的相反数为0．
数a（a≠0）的倒数是什么？
1
1除以一个数（0除外）得这个数的倒数，所以a（a≠0）的倒数为 ．
a
例2：用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负，登山队攀
登一座山峰，每登高1km气温的变化量为-6℃，攀登3km后，气温有什
么变化？
解：本题是关于有理数的乘法问题，根据题意，
（-6）×3=-18
由于规定下降为负，所以气温下降18℃．
六、巩固练习
课本第30页练习．
1．第2题：降5元记为-5元，那么-5×60=-300（元）
与按原价销售的60件商品相比，销售额减少了300元．
1 1
2．第3题：1和-1的倒数分别是它们的本身； ，- 的倒数分别为
3 3
1 1 2 2 3 3
3，-3；5，-5的倒数分别为 ，- ； ，- 的倒数分别是 ，- ；此外，1
5 5 3 3 2 2
1 1 2 2
与-1， 与- ，5与-5， 与- 是互为相反数．
3 3 3 3
46七、课堂小结
1．强调运用法则进行有理数乘法的步骤．
2．比较有理数乘法的符号法则与有理数加法的符号法则的区别，
以达到进一步巩固有理数乘法法则的目的．
八、作业布置
1．课本第38页习题1．4第1、2、3题．
九、板书设计：
1.4.1 有理数的乘法（1）
第一课时
1、两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任何数同0相乘，
都得0．
2、随堂练习。
3、小结。
4、课后作业。
十、课后反思
1.4.1 有理数的乘法（2）
第二课时
三维目标
一、知识与技能
（1）能确定多个因数相乘时，积的符号，并能用法则进行多个因数
的乘积运算．
（2）能利用计算器进行有理数的乘法运算．
二、过程与方法
经历探索几个不为0的数相乘，积的符号问题的过程，发展观察、
归纳验证等能力．
三、情感态度与价值观
培养学生主动探索，积极思考的学习兴趣．
47教学重、难点与关键
1．重点：能用法则进行多个因数的乘积运算．
2．难点：积的符号的确定．
3．关键：让学生观察实例，发现规律．
教具准备
投影仪．
四、 教学过程
1．请叙述有理数的乘法法则．
1
2．计算：（1）│-5│（-2）； （2）（- ）×（-9）； （3）0×（-99．9）．
7
五、新授
1．多个有理数相乘，可以把它们按顺序依次相乘．
2 1 5 6
例如：计算：1 ×（-1 ）×（-7）= ×- ×（-7）=-2×（-7）=14；
3 5 3 5
1
又如：（+2）×[（-78）× ]=（+2）×（-26）=-52．
3
我们知道计算有理数的乘法，关键是确定积的符号．
观察：下列各式的积是正的还是负的？
（1）2×3×4×（-5）； （2）2×3×4×（-4）×（-5）；
（3）2×（-3）×（-4）×（-5）；（4）（-2）×（-3）×（-4）×（-5）．
易得出：（1）、（3）式积为负，（2）、（4）式积为正，积的符号与负因
数的个数有关．
教师问：几个不是0的数相乘，积的符号与负因数的个数之间有什
么关系？
学生完成思考后，教师指出：几个不是0的数相乘，积的符号由负
因数的个数决定，与正因数的个数无关，当负因数的个数为负数时，积
为负数；当负因数的个数为偶数时，积为正数．
2．多个不是0的有理数相乘，先由负因数的个数确定积的符号再
求各个绝对值的积．
例3：计算：
485 9 1
（1）（-3）× ×（- ）×（- ）；
6 5 4
4 1
（2）（-5）×6×（- ）× ．
5 4
解：（1）（负因数的个数为奇数3，因此积为负）
5 9 1
原式=-3× × ×
6 5 4
9
=-
8
（2）（负因数的个数是偶数2，所以积为正）
4 1
原式=5×6× × =6
5 4
观察下式，你能看出它的结果吗？如果能，说明理由？
7.8×（-5.1）×0×（-19.6）
归纳：几个数相乘，如果其中有因数为0，积等于0，这是因为任何
数同0相乘，都得0．
六、课堂练习
课本第32页练习．
思路点拨：先观察题目是什么类型，然后按有理数的乘法法则进行，
（1）、（2）题都是多个不是0的数相乘，要先确定积的符号，再求积的绝
对值，（3）题是几个数相乘，且其中有一个因数为0，所以直接得结果
0．
七、课堂小结
本节课我们通过观察实例，归纳出几个不等于零的数相乘，积的符
号由负因数的个数确定，当负因数的个数为奇数时，积为负；当负因数
的个数为偶数时，积为正；几个不等于零的数相乘，先确定积的符号，再
把各个数的绝对值相乘；几个数相乘，有一个因数是0，积就为零．
八、作业布置
1．课本第38页习题1．4第7题第（1）、（2）、（3）题．
九、板书设计：
491.4.1 有理数的乘法（2）
第二课时
1、几个不是0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，与正因数的个
数无关，当负因数的个数为负数时，积为负数；当负因数的个数为偶数
时，积为正数．
2、随堂练习。
3、小结。
4、课后作业。
十、课后反思
1.4.1 有理数的乘法（3）
第三课时
三维目标
一、知识与技能
（1）能用乘法的三个运算律来进行乘法的简化运算．
（2）能进行乘法及加减法的混合运算．
二、过程与方法
经历探索有理数乘法运算律的过程，发展学生观察、归纳、验证等
能力．
三、情感态度与价值观
鼓励学生积极思考，并与同伴进行交流的思想，体会运算律对简化
运算的作用．
50教学重、难点与关键
1．重点：能运用乘法运算律进行乘法运算．
2．难点：灵活运用运算律进行乘法运算．
3．关键：掌握乘法运算律以及运算法则．
四、教学过程
1．有理数的乘法法则是什么？
2．在小学里学过正有理数乘法有哪些运算律？
五、新授
在小学里，数的乘法满足交换律，例如8×3=3×8．
还满足结合律，例如（4×6）×3=4×（6×3）．
引入负数后，乘法交换律、结合律是否还成立？
规定有理数乘法法则后，显然乘法交换律、结合律仍然成立．
例如：5×（-6）=-30，（-6）×5=-30
即 5×（-6）=（-6）×5
[3×（-4）]×（-5）=（-12）×（-5）=60
3×[（-4）×（-5）]=3×（+20）=60
即 [3×（-4）]×（-5）=3×[（-4）×（-5）]
大家可以再任意取一些数，试一试．
一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等．
乘法交换律：ab=ba．
说明：a×b可以写成a·b或ab．当用字母表示乘法时“×”号可
写成“·”或省略．
三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．
乘法结合律：（ab）c=a（bc）．
1 1 1 1
在小学里，乘法还满足分配律，例如6×（ + ）=6× +6× ．
2 3 2 3
任意选取三个有理数（至少有一个负数）分别填入下列□、○和△内
并比较两个运算结果，你能发现什么？
511 1
所以：-5×[ +（-2）]=-5× +（-5）×（-2）
5 5
这就是说，有理数的乘法仍满足分配律．
一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数
相乘，再把积相加．
分配律：a（b+c）=ab+ac．
以上表示乘法运算律的式子中，a、b、c表示任意有理数．
乘法的运算律与加法运算律类似，也可以推广到多个数的情况．
在代数学的研究中，运算律是很重要的内容．在计算时运用运算律，
往往能使计算简便．
1 1 1
例4：用两种方法计算（ ＋ － ）×12．
4 6 2
解法1：按运算顺序，先计算小括号内的数．
1 1 1
（ ＋ － ）×12
4 6 2
3 2 6
=（ ）×12
12 12 12
1
=- ×12=-1
12
解法2：运用分配律．
1 1 1
（ ＋ － ）×12
4 6 2
1 1 1
= ×12+ ×12- ×12
4 6 2
=3+2-6=-1
思考：比较以上两种方法，哪种解法运算量小？
显然解法2运算量小，它不需要通分．
52六、课堂练习
1．课本第33页练习．
（1）-8500，运用结合律，先算（-25）×（-4）．
（2）15，运用乘法交换律和结合律．
（3）25，运用分配律．
七、课堂小结
运算律的运用十分灵活，在有理数的混合运算中，各种运算律常常
是混合运用的，这就要求我们要有较好的掌握运算律进行计算的能力，
在平时的练习中，要观察题目特点，寻找最佳解题方法，这样往往可以
减少计算量．
八、作业布置
1．课本第39页，习题1．4第7题第（1）、（2）、（3）小题．
九、板书设计：
1.4.1 有理数的乘法（3）
第三课时
1、一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等．
2、一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相
乘，再把积相加．
3、随堂练习。
4、小结。
5、课后作业。
十、课后反思
531.4.2 有理数的除法（1）
第四课时
三维目标
一、知识与技能
掌握有理数除法法则，会进行有理数的除法运算以及分数的化简．
二、过程与方法
通过学习有理数除法法则，体会转化思想，会将乘除混合运算统一
为乘法运算．
三、情感态度与价值观
培养学生勇于探索积极思考的良好学习习惯．
教学重、难点与关键
1．重点：正确应用法则进行有理数的除法运算．
2．难点：灵活运用有理数除法的两种法则．
3．关键：会将有理数的除法转化为乘法．
四、教学过程，课堂引入
1．小学里，除法的意义是什么？它与乘法有什么关系？
已知两数的积与一个因数，求另一个因数。用除法，乘法与除法互
为逆运算除以一个数等于乘以这个数的倒数．
542．求下列各数的倒数：
2 3
（1）- ； （2）-0.125； （3）-1 ．
5 7
五、新授
引入负数后，如何计算有理数的除法呢？
例如8÷（-4）．
根据除法意义，这就是要求一个数，使它与-4相乘得8．
因为 （-2）×（-4）=8
所以 8÷（-4）=-2 ①
1
另外，我们知道，8×（- ）=-2 ②
4
1
由①、②得 8÷（-4）=8×（- ） ③
4
1
③式表明，一个数除以-4可以转化为乘以- 来进行，即一个数除
4
1
以-4，等于乘以-4的倒数- ．
4
探索：换其他数的除法进行类似讨论，是否仍有除以a（a≠0）可以
1
转化为乘以 呢？[例如（-10）÷（-4）]
a
从而得出有理数除法法则：
除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数．
这个法则也可以表示成：
1
a÷b=a· （b≠0），
b
其中a、b表示任意有理数（b≠0）
例如：
55两数相除的商仍有符号和绝对值两部分组成，由于除法可转化为
乘法，因此商的符号确定与有理数乘法类似，你能否得到与有理数乘法
法则类似的除法法则吗？
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．
零除以任何一个不等于零的数，都得零．
这是有理数除法法则的另一种说法，具体采用哪一种方法，灵活选
用．
12 3
例5：计算：（1）（-36）÷9；（2）（- ）÷（- ）．
25 5
分析：（1）题，36能被9整除，可以用方法二，直接除；（2）题是分数
除法，可转化为乘法．
解：（1）（-36）÷9=-（36÷9）=-4（先确定符号，再求绝对值）；
12 3 12 5 4
（2）（- ）÷（- ）=（- ）×（- ）= ．
25 5 25 3 5
例6：化简下列分数：
12 45
（1） ； （2） ．
3 12
分析：分数可以理解为除法，所以要按除法法则进行，可以直接除，
也可以转化为乘法，利用乘法的运算性质简化分数．
12
解：（1） =（-12）÷3=-4；
3
45 1 15
（2） =（-45）÷（-12）=（-45）×（- ）= ．
12 12 4
例7：计算：
5 5 1
（1）（-125 ）÷（-5）；（2）-2.5÷ ×（- ）．
7 8 4
5
分析：（1）题是分数除法，应转化为乘法，由于125 化为假分数，
7
5 5
计算量大，可以把125 写成125+ 后用分配律．（2）题是乘除混合运
7 7
算，应将它统一为乘法以便约分．
565
解：（1）（-125 ）÷（-5）
7
5
=125 ÷5 （先确定符号）
7
5 1 5 5
=（125+ ）× （除转化为乘，同时将125 写成125+ ）
7 5 7 7
1 5 1
=125× + × （运用分配律）
5 7 5
1 1
=25+ =25
7 7
5 1 5 8 1
（2）-2.5÷ ×（- ）= × × =1
8 4 2 5 4
遇到乘除混合运算时，可先确定结果的符号，再将它统一为乘法，
另外，既有小数，也有分数时，通常把小数化为分数，以便约分．
六、随堂练习
课本第36页练习
七、课堂小结
本节课学习了有理数的除法法则，有理数的除法有两种方法．一是
根据“除以一个数，等于乘以这个数的倒数”，转化为乘法，按乘法法
则进行．二是根据“两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．
一般能整除时用第二种方法．乘除混合运算，先统一为乘法，再按几个
不等于0的数相乘的法则计算．
八、作业布置
1．课本第38页习题1．4第4、6、7（4）～（8）．
九、板书设计：
1.4.2 有理数的除法（1）
第四课时
1、除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数．
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．
零除以任何一个不等于零的数，都得零．
2、随堂练习。
573、小结。
4、课后作业。
十、课后反思
1.4.2 有理数的除法（2）
第五课时
三维目标
一、知识与技能
（1）会用计算器计算有理数的除法运算．
（2）掌握有理数的加减乘除混合运算．
二、过程与方法
通过本节课的数学活动，培养学生分析问题，综合应用知识解决实
际问题的能力．
三、情感态度与价值观
培养学生动手操作能力，体会数学知识的应用价值．
教学重、难点与关键
581．重点：掌握有理数的加减乘除混合运算．
2．难点：符号的确定．
3．关键：掌握运算顺序以及运算法则．
四、教学过程、课堂引入
1、在小学里，加减乘除四则运算的顺序是怎样的？
先乘除后加减，同级运算从左往右依次进行，有括号的，先算括号内
的，另外还要注意灵活应用运算律． 有理数加减、乘除混合运算顺
序与数的运算顺序一样．
五、新授
例8．计算：（1）-8+4÷（-2）；
（2）（-7）×（-5）-90÷（-15）．
分析：（1）按运算顺序，先做除法，再做加法．（2）先算乘、除法，然
后做减法．
解：（1）-8+4÷（-2）
=-8+（-2） =-10
（2）（-7）×（-5）-90÷（-15）
=35-（-6）=35+6=41
例9：某公司去年1～3月平均每月亏损1.5万元，4～6月平均每月
盈利2万元，7～10月平均每月盈利1.7万元，11～12月平均每月亏损
2.3万元，这个公司去年总的盈利情况如何？
分析：盈利与亏损是具有相反意义的量，我们把盈利额记为正数，
亏损额记为负数，那么公司去年全年亏盈额就是去年 1～12月的所亏
损额和盈利额的和．
解：（-1.5）×3+2×3+1.7×4+（-2.3）×2
=-4.5+6+6.8-4.6=3.7（万元）．
答：这个公司去年全年盈利3.7万元．
1 1 1 1 1
例10：计算36÷3× -[（+ ）-（- ）-（+ ）]÷（- ）．
3 7 3 5 105
591 1 1 1 1
解：原式=36× × -（ + - ）×（-105）
3 3 7 3 5
1 1 1
=4+（ + - ）×105
7 3 5
1 1 1
=4+ ×105+ ×105- ×105
7 3 5
=4+15+35-21=33
计算器是一种方便实用的计算工具，用计算器进行比较复杂的数
的计算，比笔算要快捷得多．
例如：用计算器计算例9中的：
（-1.5）×3+2×3+1.7×4+（-2.3）×2
学生阅读课本第37页有关内容，按课本介绍的方法操作．教师巡
视，关注学习有困难的学生，给予指导．
六、随堂练习
1
1．计算． （1）11+（-22）-3×（-11）； （2）（-0.1）÷ ×
2
（-100）；
3 2 1 3 7 7
（3）0÷（- ）×（- - ）； （4）（ - ）÷（- ）；
4 3 3 4 8 8
七、课堂小结
对于有理数的加减乘除四则运算，首先确定运算顺序，先乘除，后
加减，同级运算谁在前先算谁，一般情况将除法转化为乘法，减法转化
为加法，灵活应用运算律，有括号的应先算括号，计算时特别注意符号
的确定，注意检查，使结果正确无误．
八、作业布置
1．课本第39页至第40页习题1．4第8、11、12、13、14、15题．
九、板书设计：
1.4.2 有理数的除法（2）
第五课时
1、先乘除后加减，同级运算从左往右依次进行，有括号的，先算括号
60内的，另外还要注意灵活应用运算律． 有理数加减、乘除混合运算
顺序与数的运算顺序一样．
2、随堂练习。
3、小结。
4、课后作业。
十、课后反思
1.5.1 有理数的乘方 （ 1 ）
第一课时
三维目标
一、知识与技能
（1）正确理解乘方、幂、指数、底数等概念．
（2）会进行有理数乘方的运算．
二、过程与方法
通过对乘方意义的理解，培养学生观察比较、分析、归纳概括的能
力，渗透转化思想．
三、情感态度与价值观
培养探索精神，体验小组交流、合作学习的重要性．
61教学重、难点与关键
1 ．重点：正确理解乘方的意义，掌握乘方运算法则．
2．难点：正确理解乘方、底数、指数的概念，并合理运算．
3．关键：弄清底数、指数、幂等概念，注意区别－an与（－a）n的意
义．
四、课堂引入
1 ．几个不等于零的有理数相乘，积的符号是怎样确定的？
几个不等于零的有理数相乘，积的符号由负因数的个数确定，
当负因数的个数为奇数时，积为负；当负因数的个数为偶数时，积
为正．
2．正方形的边长为2，则面积是多少？棱长为2的正方体，则体积
为多少？
五、新授
边长为 a 的正方形的面积是 a·a，棱长为 a 的正方体的体积是
a·a·a．
a·a简记作a2，读作a的平方（或二次方）．
a·a·a简记作a3，读作a的立方（或三次方）．
一般地，几个相同的因数a相乘，记作an．即a·a……a． 这种求
n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．
在an中，a叫底数，n叫做指数，当an看作a的n次方的结果时，也可
以读作a的n次幂．
例如，在94中，底数是9，指数是4，94读作9的4次方，或9的4次
幂，它表示4个9相乘，即9×9×9×；又如（－2）4的底数是－2，指数
是4，读作－2的4次方（或－2的4次幂），它表示（－2）×（－2）×（－
2）×（－2）．
思考：32与23有什么不同？（－2）3与－23的意义是否相同？其中
623 32
结果是否一样？（－2）4与－24呢？（ ）2与 呢？
5 5
（－2）3的底数是－2，指数是3，读作－2的3次幂，表示（－2）×
（－2）×（－2），结果是－8；－23的底数是2，指数是3，读作2的3次幂
的相反数，表示为－（2×2×2），结果是－8．
（－2）3与－23的意义不相同，其结果一样．
（－2）4的底数是－2，指数是4，读作－2的四次幂，表示
（－2）×（－2）×（－2）×（－2），
结果是16；－24的底数是2，指数是4，读作2的4次幂的相反数，表
示为
－（2×2×2×2），其结果为－16．
（－2）4与－24的意义不同，其结果也不同．
3 3 3 3 3
（ ）2的底数是 ，指数是2，读作 的二次幂，表示 × ，结果是
5 5 5 5 5
9 32 33 9
； 表示32与5的商，即 ，结果是 ．
25 5 5 5
因此，当底数是负数或分数时，一定要用括号把底数括起来．
一个数可以看作这个数本身的一次方，例如5就是51，指数1通常
省略不写．
因为 an就是n个a相乘，所以可以利用有理数的乘方运算来进行
有理数的乘方运算．
例1：计算：
1
（1）（－4）3； （2）（－2）4； （3）（－ ）5；
2
1
（4）33； （5）24； （6）（－ ）2．
3
解：（1）（－4）3=（－4）×（－4）×（－4）=－64
（2）（－2）4=（－2）×（－2）×（－2）×（－2）=16
631 1 1 1 1 1 1
（3）（－ ）5=（－ ）×（－ ）×（－ ）×（－ ）×（－ ）=－
2 2 2 2 2 2 32
（4）33=3×3×3=27
（5）24=2×2×2×2=16
1 1 1 1
（6）（－ ）2=（－ ）×（－ ）=
3 3 3 9
例2：用计算器计算（－8）5和（－3）6．
解：用带符号键（－）的计算器．
开启计算器后按照下列步骤进行：
（ （－） 8 ） ∧ 5 =
显示：（－8）^ 5
－32768 即（－8）5=－32768
（ （－） 3 ） ∧ 6 =
显示：（－3）^ 6
729 即（－3）6=729
用带符号转换键 +/－ 的计算器：
8 +/－ ∧ 5 =
显示：－32768
3 +/－ ∧ 6 =
显示：729
所以（－8）5=－32768 （－3）6=729
因此，可以得出：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数
的任何非零次幂都是正数；0的任何非零次幂都是0．
六、巩固练习
1．课本第52页练习1、2．
七、课堂小结
正确理解乘方的意义，a n表示n个a相乘的积．注意（－a）n与－a n
两者的区别及相互关系：（－a）n的底数是－a，表示n个－a相乘的积；
－a n底数是a，表示n个a相乘的积的相反数．当n为偶数时，（－a）n
64与－a n互为相反数，当n为奇数时，（－a）n与－a n相等．
八、作业布置
1．课本第47页习题1．5第1题，第48页第11、12题．
九、板书设计：
1.5.1 有理数的乘方 （ 1 ）
第一课时
1、负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何非零次
幂都是正数；0的任何非零次幂都是0．
2、随堂练习。
3、小结。
4、课后作业。
十、课后反思
1.5.1 有理数的乘方 （ 2 ）
第二课时
三维目标
一、知识与技能
掌握有理数混合运算的顺序，能正确地进行有理数的加、减、乘、除、乘
方的混合运算．
二、过程与方法
通过例题学习，发展学生观察、归纳、猜想、推理等能力．
三、情感态度与价值观
体验获得成功的感受、增加学习自信心．
教学重、难点与关键
1．重点：能正确地进行有理数的加、减、乘、除、乘方的混合运算．
2．难点：灵活应用运算律，使计算简单、准确．
3．关键：明确题目中各个符号的意义，正确运用运算法则．
四、课堂引入
1．我们已经学习了哪几种有理数的运算？
2．有理数的乘方法则是什么？
65五、新授
下面的算式里有哪几种运算？
1
3+50÷22×（－ ）－1 ①
5
这个算式里，含有有理数的加、减、乘、除、乘方五种运算，按怎样
的顺序进行运算？
有理数的混合运算，应按以下运算顺序进行：
1．先乘方，再乘除，最后加减；
2．同级运算，从左往右进行；
3．如果有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依
次进行．
例如上面①式
1
3+50÷22×（－ ）－1
5
1
=3+50÷4×（－ ）－1
5
1 1
=3+50× ×（－ ）－1
4 5
5
=3－ －1
2
1
=－
2
例3：计算：（1）2×（－3）3－4×（－3）+15；
（2）（－2）3+（－3）×[（－4）2+2]－（－3）2÷（－2）．
分析：分清运算顺序，先乘方，再做中括号内的运算，接着做乘除，
最后做加减．计算时，特别注意符号问题．
解：（1）原式=2×（－27）－（－12）+15
=－54+12+15
=－27
（2）原式=－8+（－3）×（16+2）－9÷（－2）
=－8+（－3）×18－（－4.5）
66=－8－54+4.5=－57.5
例4：观察下面三行数：
－2，4，－8，16，－32，64，…①
0，6，－6，18，－30，66，… ②
－1，2，－4，8，－16，32，… ③
（1）第①行数按什么规律排列？
（2）第②、③行数与第①行数分别有什么关系？
（3）取每行数的第10个数，计算这三个数的和．
分析：（1）第行数，从符号看负、正相隔，奇数项为负数，偶数项为
正数，从绝对值看，它们都是2的乘方．
解：（1）第①行数是
－2，（－2）2，（－2）3，（－2）4，（－2）5，（－2）6，…
（2）对比①②两行中位置对应的数，你有什么发现？
220,426,826,16218,..
第②行数是第①行相应的数加2．
即 －2+2，（－2）2+2，（－2）3+2，（－2）4+2，…
对比①③两行中位置对应的数，你有什么发现？
第③行数是第①行相应的数的一半，即
－2×0.5，（－2）2×0.5，（－2）3×0.5，（－2）4×0.5，…
（3）根据第①行数的规律，得第10个数为（－2）10，那么第②行的
第10个数为（－2）10+2，第③行中的第10个数是（－2）10×0.5．
所以每行数中的第10个数的和是：
（－2）10+[（－2）10+2]+[（－2）10×0.5]
=1024+（1024+2）+1024×0.5
=1024+1026+512=2562
六、巩固练习
课本第44页练习．
七、课堂小结
67在进行有理数混合运算时，一般按运算顺序进行，但有时根据运算
律会使运算更简便，因此要在遵守运算顺序外，还要注意灵活运用运算
律，使运算快捷、准确．
八、作业布置
1．课本第47页至第48页习题1．5第3、8题．
九、板书设计：
1.5.1 有理数的乘方 （ 2 ）
第二课时
1．先乘方，再乘除，最后加减；
2．同级运算，从左往右进行；
3．如果有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进
行．
4、随堂练习。
5、小结。
6、课后作业。
十、课后反思
681.5. 2 科学记数法
第三课时
教学目标
一、知识与技能
借助身边熟悉的事物体会大数和小数，并会用科学记数法表示大
数和小数．
二、过程与方法
通过学生回顾10的n次幂的意义和规律，以帮助理解科学记数法．
三、情感态度与价值观
培养学生自主探索交流、尝试出表示大数和较小的数的简单方法．
教学重、难点与关键
1．重点：会用科学记数法表示较大的数．
2．难点：用科学记数法表示较小的数．
3．关键：理解乘方意义和负指数的概率．
四、课堂引入
1．乘方的意义，a表示什么意义？底数是什么？指数是什么？
五、新授．
例如第五次人口普查时，中国人口约为1300000000人，太阳半径约为
696000000，光的速度约为300000000米/秒．读、写这样大的数有一定
困难，那么有简单的表示方法吗？
让我们先观察10的乘方有什么特点？
102=100，103=1000，104=10000，…
即10的n次幂等于10…0（在1的后面有n个0），所以可以利用
10的乘方表示一些大数，例如567000000=5.67×100000000=5.67×108
69读作：“5.67乘10的8次方（幂）”．
这样不仅可以使书写简短，同时还便于读数．
像上面这样，把一个大于10的数表示成a×10n的形式，其中a是整
数数位只有一位的数（1≤a<10），n是正整数，这种记数方法叫科学记数
法．
例如用科学记数法表示中国人口约为 1.3×109人，太阳半径约为
6.96×108米，光的速度约为3×108米/秒．
例5：用科学记数法表示下列各数．
1000000，57000000，123000000000．
解：1000000=106（这里a=1省略不写）
57000000=5.7×10000000=5.7×107
123000000000=1.23×100000000000=1.23×1011
观察上面的式子，等号左边整数的位数与右边10的指数有什么关
系？
1000000是7位整数，而10的指数是6，57000000是8位整数，而
10的指数为7．
即等号右边10的指数比左边整数的位数小1．
问：如果一个数是6位整数，用科学记数法表示时，10的指数是多
少？如果一个数有8位整数呢？
用科学记数法表示一个n位整数，其中10的指数是n－1．
注意：“n位整数”是指这个数的整数部分的位数．
例如：831.5的整数部分是3位，用科学记数法表示为8.315×102．
另外，用科学记数法表示一个数时，规定a必须是大于或等于1且
小于10．
在生活中，我们还常常遇到一些较小的数据．例如存在于生物体内
在某种细胞的直径约为百万分之一米，即1微米，本次中特等奖的概率
只有百万分之一，即0．000001，它们也能用科学记数法表示吗？
本章引言中有1纳米=10米，这是什么意思呢？
1纳米是非常小的长度单位，1米是1纳米的10亿倍，也就是说1
70纳米是1米的十亿分之一，两者之间的单位换算关系可以表示为：
1
1米=109纳米，或1纳米= 米
109
在科学记数法中，后一式子表示为 1纳米=10－9米
1
一般地，当a≠0，n是正整数时，a－n=
an
1
例如 1米=102厘米，或1厘米= 米=10－2米．
102
即0.01=10－2
六、巩固练习
1．课本第47页习题1．5第1、2题．
七、课堂小结
用科学记数法表示较大的数时，注意a×10n中a的范围是1≤a<10，
n是正整数，n与原数的整数部分的位数m的关系是m－1=n，反过来由
用科学记数法表示的数写出原数时，原数的整数部分的数位 m比10的
指数大1．（即m=n+1）
另外，对于绝对值较大的负数，如－729000，它可表示为－
7.29×105，它的意义是7.29×105的相反数，这里的a仍然是1≤a<10．
对 于 较 小 的 数 ， 如 0.00012 ， 因 为
1
0.00012=1.2÷10000=1.2÷104=1.2× =1.2×10－4．
104
八、作业布置
1．课本第47页习题1．5第4、5、9、10题．
九、板书设计：
1.5. 2 科学记数法
第三课时
1． 像上面这样，把一个大于10的数表示成a×10n的形式，其中a是
整数数位只有一位的数（1≤a<10），n是正整数，这种记数方法叫科学记
数法．
2、随堂练习。
713、小结。
4、课后作业。
十、课后反思
1.5. 3 近似数
第四课时
三维目标
一、知识与技能
（1）给了一个近似数，你能说出它精确到哪一位，有几个有效数字．
（2）给了一个数，会按照精确到哪一位或保留几个有效数字的要求，
四舍五入取近似数．
二、过程与方法
从测量引入近似数，使学生体会近似数的意义和生活中的应用．
三、情感态度与价值观
培养学生认真细致的学习态度，合作交流的意识．
教学重、难点与关键
1．重点：近似数，精确度，有效数字概念．
2．难点：由给出的近似数求其精确度及有效数字．
3．关键：理解有效数字的概念和小数点末尾的零的意义．
四、教学过程，课堂引入
1．准确数和近似数．
在日常生活和生产实际中，我们接触到很多这样的数．例如：对于
参加同一个会议的人数，有两种报道，一种报道说：“会议秘书处宣布，
参加今天会议的有513人”．这里数字513确切地反映了实际人数，它
是一个准确数，另一种报道说：“约有500人参加了今天的会议”，500
这个数只能接近实际人数，但与实际人数还有差别，它是一个近似数．
例如，统计班上喜欢看球赛同学的人数是35，这个数是与实际完全
符合的准确数，一个也不多，一个也不少，又如，初一（1）班有55个学
生，某工厂有126台机床，我有8本练习本，这些数都是与实际完全符
72合的准确数．
如果量得语文课本的宽为 13.5cm，由于所用尺的刻度有精确度限
制，而且用眼观察时不可能非常细致，因此与实际宽度有一点偏差，这
里的13.5cm只是一个与实际宽度非常接近的数，又如，宇宙现在的年
龄约为200亿年，长江长约6300千米，圆周率约为3.14，这些数都是
近似数．
五、新授
在许多情况下，很难取得准确数，或者不必使用准确数，而可以使
用近似数．
你还能举出一些日常遇到的近似数吗？
2．关于精确度问题
近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示，例如，前面的
500是精确到百位的近似数，它与准确数513的误差为13．
我们都知道圆周率=3.141592…
计算时我们需按照要求取近似数．
如果要求按四舍五入精确到个位，那么≈3；
如果要求按四舍五入精确到0.1（或精确到十分位），那么≈3.1；
如果要求按四舍五入精确到 0.01（或精确到百分位），那么
≈3.14；
如果要求按四舍五入精确到 0.001（或精确到千分位），那么
≈_______；
反过来，若≈3.1416，那么精确到________，或叫精确到_______．
一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到
哪一位．
3．近似数的有效数字．
一个近似数，从左边第一个不是零的数字起，到末位数字止，所有
数字都是这个数的有效数字，一共包含的有效数字的个数，叫这个近似
数的有效数字的个数．
例如近似数0.025有两个有效数字：2，5；1500有4个有效数字：
731，5，0，0；0.103有有3个有效数字：1，0，3．
对于用科学记数法表示的数 a×10n，规定它的有效数字就是 a中
的有效数字，例如近似数5.104×106有4个有效数字：5，1，0，4．
规定有效数字的个数，也是对近似数精确程度的一种要求．
一般说，对于同一个数取近似数时，有效数字个数越多，精确程度
越高．如果四舍五入法对取近似数时，若要求保留1个有效数字，则
≈3；若要求保留3个有效数字，则≈3.14．
例6：按括号内的要求，用四舍五入法对下列数取近似数．
（1）0.0158（保留2个有效数字）；
（2）30435（保留2个有效数字）；
（3）1.804（保留2个有效数字）；
（4）1.804（保留3个有效数字）；
（5）3.5046（精确到百分位）；
（6）2.971×104（保留2个有效数字）．
解：（1）0.0158≈0.016；
（2）30435=3.0435≈104≈3.04≈104（或3.04万）；
（3）1.804≈1.8；
（4）1.804≈1.80；
（5）3.5049≈3.50；
（6）2.971×104≈3.0×104．
思路点拨：（2）题，不能写成30435≈30400，如果这样写，那就看不
出哪些是保留的有效数字，而近似数30400是有5个有效数字，所以做
这类题，先将它用科学记数法表示，再按照规定保留有效数字，或者写
成3.04万．（4）题中，1.80，这里的0不能去掉，由四舍五入得到的1.8
与1.80的精确度是不同的，前者是精确到0.1，是保留2个有效数字，
而后者是精确到0.01，保留3个有效数字，同理（6）题中3.0×104的0
也不能丢了．（5）题，不能先约等于3.505，再约等于3.51，四舍五入精
确到百分位，是将千分位四舍五入，与千分位后面的数字无关．
例7：下列是由四舍五入法得到的近似数，各精确到哪一位？保留
74几个有效数字？
（1）132.4； （2）0.0572； （3）2.40万； （4）3000．
解：（1）132.4是精确到0.1，保留4个有效数字．
（2）0.0572是精确到0.0001，保留3个有效数字．
（3）2.40万是精确到百位，保留3个有效数字．
（4）3000是精确到个位，保留4个有效数字．
六、巩固练习
1．课本第46页练习．
七、课堂小结
正确理解和掌握近似数、准确数和有效数字的概念，给出一个近似
数，能准确地确定它精确到哪一位，有哪几个有效数字，并能按要求求
一个数的近似数．
八、作业布置
1．课本第47页至第48页习题1．5第6、7、11题．
九、板书设计：
1.5. 3 近似数
第四课时
1． 一个近似数，从左边第一个不是零的数字起，到末位数字止，所
有数字都是这个数的有效数字，一共包含的有效数字的个数，叫这个近
似数的有效数字的个数．
2、随堂练习。
3、小结。
4、课后作业。
十、课后反思
75第一章有理数 复习（1）
第一课时
三维目标
一、知识与技能
1． 复习有理数的意义及其有关概念。其内容包括正负数、有理数、
数轴、有理数大小的比较、相反数与绝对值等。通过复习使学生系统
掌握有理数这一章的有关基本概念；
2． 使学生提高辨别概念能力；
二、过程与方法
利用数轴来认识、理解有理数的有关概念.
三、情感态度与价值观
1、鼓励学生自己回顾本单元的学习内容。并与同伴交流在本单元
学习中的收获和不足，培养他们的反思意识。
教学重难点
理解掌握有理数的有关概念
四、复习提问：
1、 什么叫数轴？画出一个数轴来。
2、 什么是有理数？有理数集包括哪些数？有理数和数轴上的
点有什么关系？
答：整数和分数统称为有理数。有理数的分类：整数、分数统称有理数；
整数又包括正整数、零、负整数，分数又包括正分数与负分数。
每一个有理数都可以用数轴上唯一确定的点来表示。但反过来以后
可以看到，数轴上任一点并不一定表示有理数。表示正有理数的点在原
点的右边，表示零的点是原点，表示负有理数的点在原点的左边。
3、 观察数轴分别说出A,B,C,D,E,F各点表示的数是什么？
764、 点A与F,点B与E所表示的数分别存在什么关系？（互为
相反数）互为相反数的几何意义？（互为相反数就是在原点两
侧且到原点等距的两点所表示的数。）相反数的性质？（只有符
号不同的两个数是互为相反数，a的相反数为－a；）
各点所表示的数的绝对值是多少？绝对值的几何意义？（在数轴上，
表示数a的点到原点的距离叫做数 a的绝对值）绝对值的代数意义？
( a =a（a＞0），a =0（a=0），a =－a（a＜0）一个正数的绝对值是它本
身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。
5、 说出各数的倒数？（一个数除以1所得的商是这个数的倒
数，零没有倒数）
6、 比较各点表示的数的大小？
方法一：零大于一切正数，而小于一切负数；
两个负数，绝对值大的反而小。
方法二：在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数
大。
其余相关概念：
（1）代数和：
把有理数的加、减运算统一写成加法形式，成为几个有理数的和，通
常称为代数和；省略加号的和的形式。
（2）去括号与添括号：
去括号法则：括号前是“+”号时，将括号连同它前边的“+”号去
掉，括号内各项都不变；括号前是“－”号时，将括号连同它前边的
“－”去掉，括号内各项都要变号。
添括号法则：在“+”号后边添括号，括到括号内的各项都不变；在
“－”号后边添括号，括到括号内的各项都要变号。
五、例题讲解：
例1 下列说法是否正确，请将错误的改正过来。
⑴所有的有理数都能用数轴上的点表示； （ ）
⑵符号不同的两个数是互为相反数； （ ）
⑶两个有理数的和一定大于每一个加数； （ ）
⑷有理数分为正数和负数； （ ）
例2 用数轴上的点表示下列有理数，并求其相反数、倒数和绝对值。
－0.5，－3.5，7，－4.5，－4
例3 写出符合下列条件的数。
77⑴最小的正整数； ⑵最大的负整数；⑶大于－3且小于2的所
有整数；
⑷绝对值最小的有理数； ⑸绝对值大于2且小于5的所有负整数；
例4 一只蜗牛从数轴上的原点出发，先向右移动2个单位，再向左移动
5个单位，这时蜗牛与数轴上的田螺相距1.5个单位，求田螺表示
的数
例5 观察下面的每列数，按某种规律在横线上填上适当的数，并说明你
的理由。
⑴－23，－18，－13， ， ；
2 3 4 5
⑵ , , , ， ， ；
8 16 32 64
⑶－2，－4，0，－2，2， ， 。
例6 某数学俱乐部有一种“秘密”的记帐方式。当他们收入300元时，
记为－240；当他们用去300元时，记为360。猜一猜，当他们用去
100元时，可能记为多少？当他们收入100元时，可能记为多少？
说明你的理由。
例7 若 a a2,求式子1982a2006 3a2005 27的值.
全章知识点：
78第一章有理数 复习（2）
第二课时
三维目标
一、知识与技能
1.会运用有理数的运算法则、运算律,熟练进行有理数的运算；
2.用四舍五入法,按要求(有效数字或精确度)确定运算结果；
3.会利用计算器进行有理数的简单计算和探索数的规律.
4. 会根据定义的一种新运算进行计算，能看懂程序，并设计运算
程序.
二、过程与方法
1.在学生自主归纳的过程中，感受数学的整体性.
三、情感态度与价值观
1.鼓励学生在相互合作交流的过程中主动观察、归纳，提出猜想，从而
使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略.
教学重点、难点
有理数的运算，看懂程序，并设计运算程序，探索数与式的变化规律，探
索能力的培养。
四、创设情境复习
79根据知识结构复习相关的知识要点，并回答以下问题。
1．有理数的加、减、乘、除、乘方的法则各是什么？
2．在有理数运算中，有哪些运算律？混合运算的顺序是什么？
3．什么是近似数与有效数字？
五、实践应用
例1 计算：
1
（3）（－3）2＋4×（－ ）－23
2
1 1
（4）（－2）3＋ （2004－）0－－ .
2 2
例2填空：(1)504.03是由四舍五入所得的近似数，这个近似数精确到
，有效数字是 ，用科学记数法可表示为 .
(2)如果a为有理数,那么在|a|, -|-a|， ， , - , - 这几个
数
中,一定是非负数的是 .
(3)圆的半径 r=2.5,圆的面积 S= ( 取 3.14 结果保留两个
有效数字).
例3 当x=7，y=4，z=0时，求代数式x(2x-y+3z)的值．
解：当x=7，y=4，z=0时，
80x(2x-y+3z)=7×(2×7-4+3×0)
=7×(14-4)
=70．
例4 规定一种新的运算：a△b=ab-a-b+1,如3△4＝3×4－3－4＋1，
请比较（－3）△4与 4△（－3）的大小.
例5 小红家春天粉刷房间，雇佣了5个工人，干了10天完成；用了某种
涂料150L，费用为4800元；粉刷的面积是150m2，最后结算工钱时，有
以下几种方案：
方案一：按工算，每个工为30元（一个工人1天是一个工）
方案二：按涂料费算，涂料费用的30％作为工钱；
方案三：按粉刷面积算，每平方米付工钱12元。
请你帮助小红家出主意，选择方案 付钱最合算。
六、交流反思小结
通过本节课的复习，你有那些收获？
本节课主要复习了有理数的运算,运算时要注意以下两点:
(1)在有理数的运算中，要特别注意符号问题，提高运算的正确性，
还要善于灵活运算律简化运算；
(2)在实际运算中经常会遇到近似数，要注意按要求的精确度进
行计算和保留结果．对较大的数用科学记数法表示，既方便，又容易体
现对有效数字的要求．
七、练习
1.计算：
2.用四舍五入法对下列各数按括号的要求取近似值：
(1)2.768(精确到百分位)；(2)0.009 403(保留3个有效数字)；
(3)8.965(精确到0.1)； (4)17 289(精确到千位).
3.用计算器进行下列运算(保留3个有效数字)：
(1)56.2+7.41×(-2.12)； (2) -1.68；
(3) ÷(-5.62)+49.34.
4．（1）当x=2时，求式子x2-1的值；
815．已知 |a＋2|＋|b－3|=0，求a和b的值.
第二章 整式的加减
单元要点分析
教学内容
本单元主要内容：单项式、多项式、整式等有关概念，合并同类项、
去括号、整式的加减运算．
课本首先通过实例列式表示数量关系，介绍了单项式、多项式以及
整式等有关概念，然后通过对具体问题的解决，类比有理数的运算律，
明确了同类项可以合并的道理，明确整式加减的法则以及去括号和添
活号法则．这些内容也是对前一章内容的进一步认识．
本章在呈现形式上突出了整式及整式加减产生的实际背景，使学
生经历实际问题“符号化”的过程，发展符号感，为探索有关运算法则
设置了归纳、类比等活动，力求学生对算理的理解和法则的掌握．
三维目标
1．知识与目标
（1）了解单项式、多项式整式等概念，弄清它们之间的联系和区别．
（2）掌握单项式系数、次数和多项式的次数、项与项数的概念，明
确它们之间的关系．
82（3）理解同类项的概念，能熟练地合并同类项．
（4）掌握去括号、添括号法则，能准确地去括号和添括号．
（5）熟练地进行整式的加减运算．
2．过程与方法
通过丰富的实例、经历观察、分析、交流、概括出单项式、多项式、
整式等有关概念；经历类比有理数的运算律，探索整式的加减运算法则．
发展有条理的思考及语言表达能力和用数学知识解决实际问题的能力．
3．情感态度与价值观
培养学生主动探究，合作交流的意识．通过将数的运算推广到整式
的运算，在整式的运算中又不断地运用数的运算，使学生感受到认识事
物是一个由特殊到一般，由一般到特殊的辩证过程．
重、难点与关键
1．重点：理解整式的概念，会进行整式的加减运算．
2．难点：正确区别单项式的次数与多项式的次数，括号前是负号时
去括号或添活号易搞错符号．
3．关键：正确理解整式有关概念及明确运算步骤的依据．
课时划分
2．1 整式 2课时
2．2 整式的加减 3课时
第二章整式的加减（复习） 1课时
2.1整式（1）
第一课时
三维目标
一、知识与技能
（1）能用代数式表示实际问题中的数量关系．
（2）理解单项式、单项式的次数，系数等概念，会指出单项式的次
数和系数．
二、过程与方法
经历列式表示实际问题中的数量关系，发展符号感，通过观察代数
式的特点，发现、归纳单项式的概念，培养学生观察、分析、归纳的能力．
三、情感态度与价值观
通过列单项式表示实际问题中的数量关系，体会整式比具体数字
表达的式子更具有一般性，这给实际问题的解决带来很大方便．
重、难点与关键
1．重点：单项式的有关概念．
2．难点：负系数的确定以及准确确定一个单项式的次数．
3．关键：正确理解单项式、单项式系数和次数的概念．
教具准备
教师：多媒体课件、投影仪．
四、教学过程，引入新课
83教师操作课件，展示章前图案以及字幕，学生观看并思考下列问题：
1．青藏铁路线上，在格尔木到拉萨之间有一段很长的冻土地段，列
车在冻土地段的行驶速度是100千米/时，在非冻土地段的行驶速度可
以达到120千米/时，请根据这些数据回答下列问题：
（1）列车在冻土地段行驶时，2小时能行驶多少千米？3小时呢？t
小时呢？
（2）在西宁到拉萨路段，列车通过非冻土地段所需要时间是通过冻
土地段所需要时间的2.1倍，如果通过冻土地段所需要t小时，能用含
t的式子表示这段铁路的全长吗？
（3）在格里木到拉萨路段，列车通过冻土地段比通过非冻土地段多
用0.5小时，如果通过冻土地段需要u小时，则这段铁路的全长可以怎
样表示？冻土地段与非冻土地段相差多少千米？
分析：（1）根据速度、时间和路程之间的关系：路程=速度×时间．
列车在冻土地段2小时行驶的路程是100×2=200（千米），3小时行驶
的路程为100×3=300（千米），t 小时行驶的路程为100×t=100t（千
米）．
（2）列车通过非冻土地段所需时间为 2.1t小时，行驶的路程为
120×2.1t（千米）；列车通过冻土地段的路程为100t，因此这段铁路的
全长为120×2.1t+100t（千米）．
（3）在格里木到拉萨路段，列车通过冻土地段要u小时，那么通过
非冻土地段要（u-0.5）小时，冻土地段的路程为100u千米，非冻土地段
的路程为120（u-0.5）千米，这段铁路的全长为[100u+120（u-0.5）]千
米，冻土地段与非冻土地段相差为[100u-120（u-0.5）]千米．
思路点拨：上述问题（1）可由学生自己完成，问题（2）、（3）先由学
生思考、交流的基础上教师引导学生分析怎样列式．
上述的 3个问题中的数量关系我们分别用含有字母的式子表示，
通过本章学习，我们还可以将上述问题（2）、（3）进行加减运算，化简．
五、新授
2．下面，我们再来看几个用含字母的式子表示数量关系的问题．
用含有字母的式子填空，看看列出的式子有什么特点．
（1）边长为a的正方体的表面积为______，体积为_______．
（2）铅笔的单价是x元，圆珠笔的单价是铅笔的单价的2.5倍圆珠笔的
单价是_______元．
（3）一辆汽车的速度是v千米/时，它t小时行驶的路程为_______千米．
（4）数n的相反数是_______．
教师课堂巡视，关注中下程度的学生，及时引导，学生探究交流．
上面各问题的代数式分别是：6a2，a3，2.5x，vt，-n．
观察上面各式中运算有什么共同特点？
上面各式中，数字与字母之间，字母与字母之间都是乘法运算，它
们都是数字与字母的积，例如：6a2表示6×a2，a3表示1×a3，2.5x表示
2.5×x，vt表示1×v×t，-n表示-1×n．
像上面这样，只含有数与字母的积的式子叫做单项式．单独的一个
841 1
数或一个字母也是单项式．如：-2，a， ，都是单项式，而 ，1+x都不是
3 a
单项．
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，例如：6a2的系数是
ab 1
6，a3的系数是1，-n的系数是-1，- 的系数是- ．
5 5
单项式表示数字与字母相乘时，通常把数字写成前面，当一个单项
式的系数是1或-1时通常省略不写．
一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．例如，
2.5x中字母x的指数是1，2.5x是一次单项式；vt中字母v与t的指数
和是2，vt是二次单项式，-ab2c中字母a、b、c的指数和是4，-ab2c是4
次单项式．
例1．用单项式填空，并指出它们的系数和次数．
（1）每包书有12册，n包书有_______册．
（2）底边长为a，高为h的三角形的面积是______．
（3）一个长方体的长和宽都是a，高是h，它的体积是_______．
（4）一台电视机原价a元，现按原价的9折出售，这台电视机现在
售价为_____元．
（5）一个长方形的长为 0.9，宽是 a，这个长方形的面积是
_________．
教师操作投影仪，展示例1，学生思考、交流．师生互动．
强调：单项式的次数是单项式中所有字母的指数和，字母的指数不
写的，表示这个字母的指数是1，不是“没有”．
用字母表示数后，同一个式子在不同的问题中可以表示不同的含
义．例如，在问题（4）、（5）中，所填的结果都是0.9a，一个是表示电视
机的售价，一个是表示长方形的面积，你还能赋予0. 9a一个含义吗？
让学生交流各自想法，加深对字母表示数的理解．
六、巩固练习
1．下列各式是不是单项式？为什么？
x 4 ab
（1）x-2y； （2）- ; (3) ; (4) ； （5）-1．
5 m 5
2．判断下列各说法是否正确，错误的改正过来．
（1）单项式-xy2的系数是0，次数是2．
（2）单项式27a2的系数是2，次数是9．
3．请你写出系数为-，含有x、y，次数为4的所有单项式．
4．课本第56页练习1、2题．
七、课堂小结
师生互动，共同学习小结本节课内容．
1．什么叫单项式？举例说明．
x
2．单独的一个数或一个字母是单项式吗？ 是单项式吗？为什么？
a
3．什么叫单项式的系数？什么叫单项式的次数？举例说明．
85八、作业布置
1．课本第59页至第60页，习题2．1第1、2、8题．
九、板书设计：
2.1整式（1）
第一课时
1． 像上面这样，只含有数与字母的积的式子叫做单项式．单独的一
1 1
个数或一个字母也是单项式．如：-2，a， ，都是单项式，而 ，1+x都不
3 a
是单项．
2、随堂练习。
3、小结。
4、课后作业。
十、课后反思
2.1整式（2）
第二课时
三维目标
一、知识与技能
使学生理解多项式、整式的概念，会准确确定一个多项式的项数和
次数．
二、过程与方法
通过实例列整式，培养学生分析问题、解决问题的能力．
三、情感态度与价值观
培养学生积极思考的学习态度，合作交流意识，了解整式的实际背
景，进一步感受字母表示数的意义．
教学重、难点与关键
1．重点：多项式以及有关概念．
2．难点：准确确定多项式的次数和项．
863．关键：掌握单项式和多项式次数之间的区别和联系．
教具准备 投影仪．
四、课堂引入
一、复习提问 1．什么叫单项式？举例说明．
3ab2c
2．怎样确定一个单项式的系数和次数？- 的系数、次数分别
7
是多少？
3．列式表示下列问题：
（1）一个数比数x的2倍小3，则这个数为________．
（2）买一个篮球需要x（元），买一个排球需要y（元），买一个足球
需要z（元），买3个篮球，5个排球，2个足球共需________元．
（3）如图1，三角尺的面积为________．
（4）如图 2 是一所住宅的建筑平面图，这所住宅的建筑面积是
________平方米．
(1) (2)
五、新授
请同学们阅读课本第57页有关内容，并回答下列问题．
1．几个单项式的和叫做_________；
2．在多项式中，每个单项式叫做_________；
3．在多项式中，不含字母的项叫做_________；
4．在多项式中，_____________________，叫做这个多项式的次数．
（2）多项式的次数与单项式的次数概念不同，但又有联系，首先求
出此多项式各项（单项式）的次数，次数最高的就是这个多项式的次数．
87（3）一个多项式的最高次项可以不唯一，次高项也可以不唯一，如，
1 1
多项式3x2y- xy2+x2-xy-5中，最高次项为3x2y和- xy2，二次项也有2
2 2
项，x2和-xy，这个多项式为二次五项式．
单项式和多项式统称为整式，例如：100t，6a3，vt，-n，2x-3，
3x+5y+2z等都是整式．
例1．用多项式填空，并指出它们的项和次数．
（1）温度由t℃下降5℃后是_______℃．
1 1
（2）甲数x的 与乙数y的 的差可以表示为_________．
3 2
（3）如课本图2．1-3，圆环的面积为________．
（4）如课本图2．1-4，钢管的体积是________．
例2．一条河流的水流速度为2.5千米/时，如果已知船在静水中
的速度，那么船在这条河流中顺水行驶和逆水行驶的速度分别怎样表
示？如果甲、乙两条船在静水中的速度分别是 20 千米/时和 35 千
米/时，则它们在这条河流中的顺水行驶和逆水行驶的速度各是多少？
顺水行驶时船的速度=船在静水中的速度+水流速度
逆水行驶时船的速度=船在静水中的速度-水流速度
这里水流速度为2.5千米/时，如果，我们设船在静水中的速度为v
千米/时，那么船在顺水行驶时的速度表示为（v+2.5）千米/时船在逆水
行驶时的速度为（v-2.5）千米/时．
当v=20时，则v+2.5=20+2.5=22.5，v-2.4=20-2.5=17.5；当v=35
时，则v+2.5=35+2.5=37.5，v-2.5=35-2.5=32.5．因此，甲船顺水行驶
的速度是22.5千米/时，逆水行驶的速度为17.5千米/时；乙船顺水行
驶的速度是37.5千米/时，逆水行驶的速度为32.5千米/时．
六、巩固练习
1．课本第59页练习，课本第61页第10题．
七、课堂小结
1．什么叫做多项式？多项式是整式吗？整式是多项式吗？
882．什么叫多项式的基？什么叫做常数项？什么叫做多项式的次数？
八、作业布置
1．课本第60页，习题2．1第2、3、4、5、6、7题．
九、板书设计：
2.1整式（2）
第二课时
1．单项式和多项式统称为整式，例如：100t，6a3，vt，-n，2x-3，
3x+5y+2z等都是整式．
2、随堂练习。
3、小结。
4、课后作业。
十、课后反思
2.2 整式的加减(1)
第一课时
三维目标
一、知识与技能
（1）了解同类项、合并同类项的概念，掌握合并同类项法则，能正
确合并同类项．
（2）能先合并同类项化简后求值．
二、过程与方法
经历类比有理数的运算律，探究合并同类项法则，培养学生观察、
探索、分类、归纳等能力．
三、情感态度与价值观
掌握规范的解题步骤，养成良好的学习习惯，通过比较两种求代数
式值的方法，体会合并同类项的作用．
教学重、难点与关键
1．重点：掌握合并同类项法则，熟练地合并同类项．
2．难点：多字母同类项的合并．
3．关键：正确理解同类项概念和合并同类项法则．
教具准备
89投影仪．
四、 教学过程，新课引入
有理数可以进行加减计算，那么整式能否可以加减运算呢？怎样
化简呢？
我们来看本章引言中的问题（2）．
在西宁到拉萨路段，如果列车通过冻土地段的时间是t小时，那么
它通过非冻土地段所需的时间就是 2.1t 小时，则这段铁路的全长是
100t+120×2.1t，
即100t+252t
1．类比数的运算，我们应如何化简式子100t+252t呢？
五、新授
（1）运用有理数的运算律计算：
100×2+252×2=______；
100×（-2）+252×（-2）=________．
100×2+252×2=（100+252）×2=352×2
100×（-2）+252×（-2）=（100+252）×（-2）=352×（-2）
我们知道字母可以表示数，如果用t表示上述算术中的数2（或-2 ）
就有，1 00t+252t=（100+252）×t=352t．
事实上，100t+252t与100×2+252×2和100×（-2）+252×（-2）有
相同的结构，都是两个数分别与同一个数乘积的和，这里t表示同一个
因数，因此根据分配律也应该有：100t+252t=（100+252）t=352t
2．填空:
（1）100t-252t=（ ）t； （2）3x2+2x2=（ ）
x2；
（3）3ab24ab2=（ ）ab2．
观察（1）中多项式的项100t和-252t，它们都含有相同字母t，并
且t的指数都是1；（2）中的多项式的项3x2+2x2都含有相同字母x，并
且字母x的指数都是2；（3）中的多项式的项3ab2和-4ab2都含有字母
a，b，并且字母a的指数都是1，b的指数都是2．
90像这样，所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做
同类项，几个常数项也是同类项．
把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．
合并同类项后，所得项的系数、字母以及字母的指数与合并前各同
类项的系数、字母及字母的指数有什么联系？
合并同类项法则：在合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字
母的指数保持不变．
若两个同类项的系数互为相反数，则两项的和等于零，即这两项相
抵消，如-3ab2+3ab2=（-3+3）ab2=0·ab2=0．
多项式中只有同类项才能合并，不是同类项不能合并．
通常我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小（降
幂）或者从小到大（升幂）的顺序排列，如-4x2+5x+5或写成5+5x-4x2．
例1．合并下列各式的同类项：
1
（1）xy2- xy2； （2）-3x2y+2x2y+3xy2-2xy2； （3）
5
4a2+3b2+2ab-4a2-4b2．
1
例2．（1）求多项式2x2-5x+x24x-3x22的值，其中x= ．
2
1 1 1
（2）求多项式3a+abc- c2-3a+ c2的值，其中a=- ，b=2，c=-3．
3 3 6
解：（1） 2 x 2-5x + x 2+4x -3 x 2-2 （仔细观察，标出同类项）
=（2+1-3）x2+（-5+4）x-2 （系数相加，字母部分不变）
=-x-2 （系数是“1”或“-1”时省略
不写）
1 1 5
当x= 时，原式=- -2=-
2 2 2
1 1
（2）3a+abc c2-3a c2
3 3
1 1
=（3-3）a+abc+（- + ）c2
3 3
=abc
911 1
当a=- ，b=2，c=-3时，原式=（- ）×2×（-3）=1
6 6
例3．（1）水库中水位第一天连续下降了a小时，每小时平均下降
2cm，第二天连续上升了a小时，每小时平均上升0.5cm，这两天水位总
的变化情况如何？
（2）某商店原有5袋大米，每袋大米为x千克，上午卖出3袋，下午
又购进同样包装的大米4袋，进货后这个商店有大米多少千克？
六、巩固练习
课本第66页，练习第1、2、3题．
七、课堂小结
1．什么叫同类项？字母相同，次数也相同的项是同类项吗？举例说
明．
2．什么叫合并同类项？怎样合并同类项？合并同类项的依据是什
么？
八、作业布置
1．课本第71页习题2．2第1、7、10题．
九、板书设计：
2.2 整式的加减(1)
第一课时
1．像这样，所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同
类项，几个常数项也是同类项． 把多项式中的同类项合并成一项，叫做
合并同类项．
2、随堂练习。
3、小结。
4、课后作业。
十、课后反思
922.2 整式的加减(2)
第二课时
三维目标
一、知识与技能
能运用运算律探究去括号法则，并且利用去括号法则将整式化简．
二、过程与方法
经历类比带有括号的有理数的运算，发现去括号时的符号变化的
规律，归纳出去括号法则，培养学生观察、分析、归纳能力．
三、情感态度与价值观
培养学生主动探究、合作交流的意识，严谨治学的学习态度．
教学重、难点与关键
1．重点：去括号法则，准确应用法则将整式化简．
2．难点：括号前面是“－”号去括号时，括号内各项变号容易产生
错误．
3．关键：准确理解去括号法则．
教具准备
投影仪．
四、 教学过程，课堂引入
利用合并同类项可以把一个多项式化简，在实际问题中，往往列出
的式子含有括号，那么该怎样化简呢？
五、新授
现在我们来看本章引言中的问题（3）：
在格尔木到拉萨路段，如果列车通过冻土地段要t小时，那么它通
过非冻土地段的时间为（t-0.5）小时，于是，冻土地段的路程为100t千
米，非冻土地段的路程为120（t-0.5）千米，因此，这段铁路全长为
100t+120（t-0.5）千米 ①
冻土地段与非冻土地段相差
93100t-120（t-0.5）千米 ②
上面的式子①、②都带有括号，它们应如何化简？
利用分配律，可以去括号，合并同类项，得：
100t+120（t-0.5）=100t+120t+120×（-0.5）=220t-60
100t-120（t-0.5）=100t-120t-120×（-0.5）=-20t+60
我们知道，化简带有括号的整式，首先应先去括号．
上面两式去括号部分变形分别为：
+120（t-0.5）=+120t-60 ③
-120（t-0.5）=-120+60 ④
比较③、④两式，你能发现去括号时符号变化的规律吗？
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来
的符号相同；
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来
的符号相反．
特别地，+（x-3）与-（x-3）可以分别看作1与-1分别乘（x-3）．
利用分配律，可以将式子中的括号去掉，得：
+（x-3）=x-3 （括号没了，括号内的每一项都没有变号）
-（x-3）=-x+3 （括号没了，括号内的每一项都改变了符号）
去括号规律要准确理解，去括号应对括号的每一项的符号都予考
虑，做到要变都变；要不变，则谁也不变；另外，括号内原有几项去掉括
号后仍有几项．
例1．化简下列各式：
（1）8a+2b+（5a-b）； （2）（5a-3b）-3（a2-2b）．
例2．两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两
船在静水中的速度都是50千米/时，水流速度是a千米/时．
（1）2小时后两船相距多远？
（2）2小时后甲船比乙船多航行多少千米？
六、巩固练习
1．课本第68页练习1、2题．
942．计算：5xy2-[3xy2-（4xy2-2x2y）]+2x2y-xy2． [5xy2]
七、课堂小结
去括号是代数式变形中的一种常用方法，去括号时，特别是括号前
面是“－”号时，括号连同括号前面的“－”号去掉，括号里的各项都
改变符号．去括号规律可以简单记为“－”变“＋”不变，要变全都变．
当括号前带有数字因数时，这个数字要乘以括号内的每一项，切勿漏乘
某些项．
八、作业布置
1．课本第71页习题2．2第2、3、5、8题．
九、板书设计：
2.2 整式的加减(2)
第二课时
1． 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来
的符号相同；
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来
的符号相反．
2、随堂练习。
3、小结。
4、课后作业。
十、课后反思
2.2 整式的加减(3)
第三课时
三维目标
95一、知识与技能
能根据题意列出式子：会进行整式加减运算，并能说明其中的算理．
二、过程与方法
经历用字母表示实际问题中的数量关系的过程，发展符号感，提高
运算能力及综合运用知识进行分析、解决问题的能力．
三、情感态度与价值观
培养学生积极探索的学习态度，发展学生有条理地思考及代数表
达能力，体会整式的应用价值．
教学重、难点与关键
1．重点：列式表示实际问题中的数量关系，会进行整式加减运算．
2．难点：列式表示问题中的数量关系，去掉括号前是负因数的括号
3．关键：明确问题中的数量关系，熟练掌握去括号规律．
教具准备：投影仪．
四、教学过程 引入新课
1．多项式中具有什么特点的项可以合并，怎样合并？
2．如何去括号，它的依据是什么？
五、新授
例1．（1）求多项式2x-3y与5x+4y的和．
（2）求多项式8a-7b与4a-5b的差．
例2．一种笔记本的单价是x（元），圆珠笔的单价是y（元），小红买
这种笔记本3本，买圆珠笔2枝；小明买这种笔记本4个，买圆珠笔3枝，
买这些笔记本和圆珠笔，小红和小明共花费多少钱？
例3．做大小两个长方体纸盒，尺寸如下（单位：厘米）．
长 宽 高
小纸盒 a b c
大纸盒 1.5a 2b 2c
（1）做这两个纸盒共用料多少平方厘米？
（2）做大纸盒比小纸盒多用料多少平方厘米？
解：（1）（2ab+2ac+2bc）+（6ab+6ac+8bc）
96=2ab+2ac+2bc+6ab+6ac+8bc）
=8ab+8ac+10bc
（2）（6ab+6ac+8bc）-（2ab+2ac+2bc）
=6ab+6ac+8bc-2ab-2ac-2bc
=4ab+4ac+6bc
一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并
同类项．
1 1 3 1 2
例4．求 x-2（x- y2）+（- x+ y2）的值，其中x=-2，y= ．
2 3 2 3 3
1 1 3 1
解： x-2（x- y2）+（- x+ y2）
2 3 2 3
1 2 3 1
= x-2x+ y2- x+ y2
2 3 2 3
1 3 2 1
=（ -2- ）x+（ + ）y2
2 2 3 3
=-3x+y2
2
当x=-2，y= 时
3
2 4 4
原式=-3×（-2）+（ ）2=6+ =6
3 9 9
六、巩固练习
1．课本第70页练习1、2、3题．
四、课堂小结
整式加减是代数式的基本运算，去括号与合并同类项是整式加减
的基础，在进行整式加减时，如果遇到括号应先去括号，再合并同类项，
整式运算是建立在数的运算的基础上，因此数的运算性质在整式运算
中仍适用．
五、作业布置
1．课本第71页至第72页第4，6，9题．
九、板书设计：
2.2 整式的加减(3)
97第三课时
1．一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类
项．
2、随堂练习。
3、小结。
4、课后作业。
十、课后反思
第二章整式的加减（复习）
三维目标
一、知识目标：理解整式的加减实质就是去括号，合并同类项，其结果仍
然是整式；掌握学生在掌握合并同类项、去括号与添括号的基础上，掌
98握整式加减的一般步骤；能够正确地进行整式的加减运算．
二、能力目标：经历用字母表示数量关系的过程，发展符号感；培养用代
数的方法解决实际生活中的问题的能力和口头表达能力．
三、情感目标：渗透教学知识来源于生活，又要为生活而服务的辩证观
点；整式的加减实质上就是去括号，合并同类项，结果总是比原来简洁，
体现了数学的简洁美．
教学重难点：利用去括号、合并同类项进行整式的加减运算；根据实际
问题中的数量关系列出算式，并求出结果；
教材处理与数学方法
1．调动学生自觉性与积极性，由浅入深地传授知识，提高学生学习兴趣
2．运用启发式教学，让学生自行归纳出整式的加减的步骤。
3．利用不同记号标出各同类项，有助学生合并同类项。
4．让学生在实际解题过程中，体会到整式的加减实际上就是已经学过
的去括号法则与合并同类项这两个知识的综合，这样更有利于学生学
会将新知转化为旧知，不断更新知识结构。
5．充分利用教学时间，在课堂上进行针对性辅导，把共性问题与典型题
目展示，引导学生发现问题与纠错能力。
四、（一）复习旧知识
1、合并同类项定义、法则；
2、去括号法则。
3、 基础训练
计算
（1）（2ｘ－3ｙ）－（5ｘ＋4ｙ）
（2） －3ab-4a2+3 a2 -(-2ab)
(3) (3 a2 –ab+7)-(-4 a2+2ab+7)
(4) (-x+2x2+5)+(4x2-3-6x)
4、列式计算
（1） 2x2-3x+1与-3x2+5x-7 的和；
（2）-x2+3xy-2y2 与-2x2+4xy-y2 的差；
99（3）一个多项式加上5x2+4x-1 得-8x2+6x+2 ，求这个多项式；
5、求值：2a2-b2+(2b2-a2)-(a2+2b2), 其中a=1/3,b=3.
五、归纳小结
1．整式的加减实际上就是______________________．
2．整式的加减的步骤，一般分为_____________________．
3．整式加减的结果是__________或__________（单项式或多项式）．
结果更简单，体现我们数学中的简洁美．
整式的加减是承有理数的加减、乘、除、乘方的运算，续整式方程的一系
列运算，是学生从小进入初中含有字母运算的变化，认知上有新的突破，
在教法引入过渡中，有其奥妙学法教法值得反思。
六、随堂练习：课本70页练习
七、布置作业：课本71页5，6题。
第三章 一元一次方程
1003.1.1 从算式到方程
教学目标
1．知识与技能
（1）通过观察，归纳一元一次方程的概念．
（2）根据方程解的概念，会估算出简单的一元一次方程的解．
2．过程与方法．
通过对多种实际问题的分析，感受方程作为刻画现实世界有效模
型的意义．
3．情感态度与价值观
鼓励学生进行观察思考，发展合作交流的意识和能力．
重、难点与关键
1．重点：了解一元一次方程的有关概念，会根据已知条件，设未知
数，列出简单的一元一次方程，并会估计方程的解．
2．难点：找出问题中的相等关系，列出一元一次方程以及估计方程
的解．
3．关键：找出能表示实际问题的相等关系．
教具准备：投影仪．
教学过程
一、复习提问
在小学里，我们已学习了像2x=50，3x+1=4等简单方程，那么什么
叫方程呢？什么叫方程的解和解方程呢？
答：含有未知数的等式叫方程；能使方程等号两边相等的未知数的
值叫方程的解，求方程解的过程叫解方程．
方程是应用广泛的数学工具，把问题中未知数与已知数的联系用
等式形式表示出来．在研究问题时，要分析数量关系，用字母表示未知
数，列出方程，然后求出未知数．
怎样根据问题中的数量关系列出方程？怎样解方程？这是本章研
究的问题．
通过本章中丰富多彩的问题，你将进一步感受到方程的作用，并学
习利用一地一次方程解决问题的方法．
二、新授
1．怎样列方程？
让学生观察章前图表，根据图表中给出的信息，回答以下问题．
（1）根据图中的汽车匀速行驶途经王家庄、青山、秀水三地的时间
表，你知道，汽车从王家庄行驶到青山用了多少时间？青山到秀水呢？
（2）青山与翠湖、秀水到翠湖的距离分别是多少？
（3）本问题要求什么？
（4）你会用算术方法解决这个实际问题呢？不妨试试列算式．
（5）如果设王家庄到翠湖的路程为x（千米），你能列出方程吗？
解：（1）汽车从王家庄行驶到青山用了3小时，青山到秀水用了2
小时．
（2）青山与翠湖的距离为50千米，秀水与翠湖的距离为70千米．
101（3）王家庄到翠湖的距离是多少千米？
（4）分析：要求王家庄到翠湖的距离，只要求出王家庄到青山的距
离，而王家庄到青山的时间为3小时，所以必需求汽车的速度．
如何求汽车的速度呢？
这里青山到秀水的时间为2小时，路程为（50+70）千米，因此可求
的汽车的平均速度为（50+70）÷2=60（千米／时）
王家庄到青山的路程为：60×3=180（千米）
所以王家庄到翠湖的路程为：180+50=230（千米）
5070
列综合算式为： ×3+50
2
（5）分析：先画出示意图，示意图往往有助于分析问题．
从上图中可以用含x的式子表示关于路程的数量：
王家庄距青山（x-50）千米，王家庄距秀水（x+70）千米．
从章前图表中可以得出关于时间的数量：
从王家庄到青山行车3小时，从王家庄到秀水行车5小时．
由路程数量和行车时间的数量，可以得到行车速度的表达式．
x50
汽车从王家庄开往青山时的速度为 千米／时，汽车从王家庄
3
x70
开往秀水的速度为 千米／时．
5
要列出方程，必需找出“相等关系”，题目中还有哪些相等关系吗？
根据汽车是匀速行驶的，可知各段路程的车速相等．
于是列出方程：
x50 x70
=
3 5
以后我们将学习如何解这个方程，求出未知数x的值，从而得出王
家庄到翠湖的路程．
思考：对于以上的问题，你还能列出其他方程吗？如果能，你依据
的是哪个相等关系？
根据汽车匀速行驶，可知各段路程的车速相等．
所以还可以列方程：
x50 5070 x70 5070
= 或 =
3 2 5 2
（前者是汽车从王家庄到青山与从青山到秀水，这两段路程的车速
相等，后者是汽车从王家庄到翠湖与从青山到秀水，这两段路程的车速
相等）
比较用算术方法和列方程方法解应用题，用算术方法解题时，列出
的算式表示用算术方法解题的计算过程，其中只能用已知数，对于较复
102杂的问题，列算式比较困难；而方程是根据问题中的等量关系列出的等
式，其中既含有已知数，又含有用字母表示的未知数，有了这个未知数，
问题中的已知量与未知量之间的关系就很容易用含有这个未知数的式
子表示，再根据“相等关系”列出方程．
有了方程后人们解决许多问题就更方便了，通过今后的学习，你会
逐步认识：从算式到方程是数学的进步．
列方程时，要先设字母表示未知数，通常用x、y、z等字母表示未知
数，然后根据问题中的相等关系，写出含有未知数的等式即方程．
例1：根据下列问题，设未知数并列出方程．
（1）用一根长24cm的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少？
分析：设正方形的边长为x（cm），那么周长为4x（cm），依题意，得
4x=24．
（2）一台计算机已使用1700小时，预计每月再使用150小时，经过
多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450小时？
分析：设再经过x月这台计算机的使用时间达到规定的检测时间，
根据每月再使用150小时，那么x月共使用150x小时．
能表示这个问题的相等关系是什么？
相等关系是：已使用的时间 1700 小时＋还可以使用的时间 150x
小时＝规定的检测时间2450小时．
从而列出方程：1700+150x=2450．
找出表达问题意义的相等关系是列出方程的关键．
（3）某校女生占全体学生的52%，比男生多80人，这个学校有多少
学生？
问：女生占全体学生数的52%，那么男生占全体学生数的（1-52%），
如果设这个学校有x个学生，那么用含x的式子表示女、男学生数．
女生有52%x人，男生有（1-52%）x人；
问题中的相等关系是什么？
（女生比男生多80人）即女生人数-男生人数=80或女生人数=男生
人数+80．
列方程：0.52x-（1-0.52）x=80或0.52x=（1-0.52）x+80．
2．一元一次方程的概念．
观察以上所列出的各方程，有什么特点？每个方程有几个未知数，
未知数的指数是多少？
只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫做一元
一次方程．
y
例如方程 2x-3=3x+1， -3=2y等都是一元一次方程，而 x+y=5，
2
x2+3x=2都不是一元一次方程．
以上分析过程可归纳为：
分析问题中的数量关系──设未知数 x──用含 x 的式子表示实
际问题中的数量关系──找出相等关系，利用相等关系列出方程（一元
103一次方程）．
列方程是解决实际问题的一种重要方法，利用方程可以解出未知
数．
观察方程4x=24，不难发现，当x=6时，4x的值是24，这时方程等号
左右两边相等，x=6叫做方程4x=24的解，这就是说，方程4x=24中未知
数x的值应是6．
从方程1700+150x=2450，你能估算出x的值吗？
这里x是正整数，如果x=1，那么方程左边=1700+150×1=1850≠右
边
所以x≠1．
如果x=2，则方程左边=1700+150×2=2000≠右边，
所以x≠2．
类似地，我们可以列出下面的表．
x的值 1 2 3 4 5 6 …
1700+150x 1850 2000 2150 2300 2450 2600 …
从表中可以发现，当x=5时，1700+150x的值是2450．
这时方程 1700+150x=2450 等号左右两边相等，x=5 叫做方程
1700+150x=2450的解，这就是说，方程1700+150x=2450中未知数x的
值应是5．
解方程就是求出使方程中等号两边相等的未知数的值的过程，这
个值就是方程的解．
你能从表中发现方程1700+150x=2600的解吗？
当x=6时，1700+150x的值为2600，即x=6时方程等号两边的值相
等，所以这个方程的解是x=6．
思考：你能估算出方程2（x+1.5x）=24和方程0.52x-（1-0.52）
x=80的解吗？
以上估算难度较大，第一个方程，当x=4时，方程左边=20<24；当
x=5时方程左边=25>24，所以取x=4.7或x=4.8．试一试，结果当x=4.8
时，方程左边=24=右边，所以方程的解为 x=4.8．第二个方程的解为
x=2000，困难更大了，可以告诉学生，当我们学习了方程的解法后，就很
容易求出x的值了．
思考：x=1000和x=2000中哪一个是方程0.52x-（1-0.52）x=80的
解？
三、巩固练习
课本第82页练习．
1．设沿跑道跑 x 周，可以跑 3000m，根据相等关系──x 周共长
3000m．
所以列方程：400x=3000，如果x=7，则400x=2800<3000，如果x=8，
则400x=3 200>3000，如果x=7.5，则400x=4007.5=3000，所以沿跑道跑
7周半，可以跑3000m．
2．如果设买甲种铅笔x枝，那么买乙种铅笔（20-x）枝，买甲种铅笔
用去0.3x元，乙种铅笔用去0.6（20-x）元，相等关系是：
104两种铅笔共用了9元钱，由此可列方程．
0.3x+0.6（20-x）=9
3．设上底长为xcm，那么下底长为（x+2）cm，
根据梯形面积公式，可列方程：
5[x(x2)]
=40
2
四、课堂小结
方程在小学里已初步学过，对于方程中的一些概念，如：方程的解
和解方程等，要进一步弄清楚，今天还学习了一元一次方程的定义，
“一元”是指方程中只有一个未知数，“一次”是指方程中未知数的
指数是一，这样的方程才是一元一次方程．
用估算求方程的解，实际上是检验一个数是否为方程的解，方法是：
把这个数分别代入方程的左、右两边，看是否相等，若方程只有一边含
有未知数，而另一边只有一个数，则只需代入只有未知数的一边，计算
出结果，看其是否和另一边相等．
列方程是本节课重点，掌握列方程解决实际问题方法步骤：
设未知数──用含未知数的式子表示问题中的数量关系．
找出相等关系──列出一元一次方程．
其中找相等关系是关键也是一个难点，这个相等关系要能够表示
应用题全部含义的相等关系，也就是题目中给出的条件应予充分利用，
不能把同一条件重复利用．
五、作业布置
1．课本第84页至第85页习题3．1第1、2、5、6、9题．
2．选用课时作业设计．
课 后 反 思 ：
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3.2.1一元一次方程的的讨论（一）
一、背景与意义分析
本节前一节 1.1已介绍了一元一次方程的意义及等式性质，本节主要
解决如何一元一次方程解法的问题。
一元一次方程是最简单的方程，它的解法是解其它代数方程的基础。本
章从引出方程、一元一次方程的的概念，到讲解一元一次方程的解法，
都是从实际问题导入。在解决实际问题的过程中探讨概念、数量关系、
列方程的方法、解方程的步骤。使本章的学习始终贯彻数学建模的思想。
本课主要学习“合并”，根据“问题1”所得的方程，观察其特征，利
用分配律，分析得到“合并”法则，从而得到这类一元一次方程的解法。
105二、学习与导学目标
1．知识积累与疏导：通过“问题1”，分析等量关系，得到一元一次方
程。认知率达100%。
2．技能掌握与指导：通过分析一元一次方程特征，掌握“合并”法则，
从而学会该类一元一次方程。利用率100%。
3．智能提高与训导：在与同学与老师的交流探究过程中，学会合作，学
会向别人清晰表过自己的思维过程。
4．情感修练与开导：积极创设问题情景，初步理解解一元一次方程的基
本思想。投入率95%。
5．观念确认与引导：通过“解方程”这一数学方法的发现与实际过程，
感受到“问题情境----分析讨论----发现方法----解释应用”模式，
从而更好理解解方法的基本思想。认同率95%。
三、障碍与生成关注
通过分析较复杂方程，找到化归为简单方程的过程难度较大，为此要鼓
励学生积极思考。
四、学程与导程活动
（一） 创设情景，引入新课
介绍数学阿尔·花拉子米及关于方程的著作《对消与还原》。引入问题：
“对消与还原”是什么意思？
（二） 分析例题，揭示课题
问题1 某校三年共购买计算机140台，去年购买数学是前年的
2倍，今年购买数学又是去年的2倍，前年这个学校购买了多少台计算
机？
基本思想：列方程------解方程
（1）列方程
设未知数：设前年购买计算机x台。
分析：
第一步：问题中还有哪些量？如何表示？
去年购买计算机__________台；
今年购买计算机__________台。
第二步：问题中有什么样的等量关系？
前年购买量+去年购买量+今年购买量=140台
第三步：根据上面分析，列出方程
x+2x+4x=140……………….(1)
上面得到的方程如何解呢？
（三） 观察分析，化简方程
分析：
106第一步：观察这个方程与前面所解的一元一次方程有什么不同？
这个方程比上节所学的方程相比，式子比较复杂。所以不能简单求解。
如果上面的方程能转化为比较简单的一元一次方程，那么方程（1）就是
可解的。
如何转化呢？
第二步：观察x+2x+4x特征，由分配律可化简
x+2x+4x=(1+2+4)x=7x
这个过程称为“合并”
这样原方程可化为：7x=140
这个方程是一个简单的一元一次方程，是可以解的，所以原方程就可以
解了。
第三步：总结解此类一元一次方程的步骤。
x+2x+4x=140
↓合并
7x=140
↓系数化为1
x=20
（四） 解答例题，规范书写
例 解方程3x+2x-8x=7
解：合并，得
-3x=7
两边同除以-3，得
x=-
（五） 练习巩固，总结讨论
（1）课本P77 1,2
（2）小结：一元一次方程合并简单的一元一次方程（3）作业
课后反思：_________________________________________________
____________________________________________________________
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3.2.2一元一次方程的讨论（二）
一背景与意义分析
本课时是人教版七年级上册第二章第二节从古老的代数书说起-----
一元一次方程的的讨论(1)的第二课时,通过本节课的教学,不仅要激
发学生学习数学的兴趣,而且要让学生体会到数学就来源于生活.从中
国古代灿烂的文化,激发学生的爱国热情.
在上一节课,已经重点讨论了解方程中的“合并”。通过本节课的教学，
学进一步解 ax+b=cx+d 型的方程的解法，进一步体会“解方程就是要
107使方程不断向 x=a的形式转化”的化归思想。引导学生联系解方程的
目标体会解法。
二学习与导学目标
知识技能： 1、找相等关系列一元一次方程
2、用移项解一元一次方程
数学思考：1、学习分析问题找到相等关系并通过列方程解决问题的方
法
2、通过学习移动解一元一次方程，体会到式子变形的转化作
用。
解决问题： 体会解方程中的化归思想，会移项、合并解ax+b=cx+d型
方程，进一步认识如何用方程解决实际问题。
情感态度： 通过学习“合并”和“移项”，体会古老的代数书中的
“对消” 和“还原”的思想，激发数学学习的热情。
三 障碍与生成关注
重点 1、找相等关系，列一元一次方程
2、用移项，合并等解一元一次方程
难点 找相等关系列方程，正确地移项解一元一次方程四学程与导程活
动
活动1
复习：通过“合并”解方程
（1）-6x+5.6x=2
（2）x-x=
（3）6z-1.5z-2.5z=3
（从学生已有的知识出发，为进一步学习做好知识准备）
活动2
问题2 把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本，
如果每人分4本，则还缺25本，这个班有多少学生？
设这个班有x名学生 分析题意 找出等量关系，
列出方程：3x+20=4x-15
（通过问题2，再现列方程解决实际问题的过程）
活动3
（1）方程3x+20=4x-25的两边都有含x的项（3x与4x）和不含字母的常
数项（20与-25），怎样才能使它向x=a（常数）的形式转化呢？
同时解释“含x的项”和“常数项”
（前后两桌为一组，讨论交流，如何变为x=a的形式）
（通过问题2提供的方程，学习移项法解方程，体会知识的发展过程）
（2）为了使方程的右边没有含x的项，等号两边同减4x为了使左边没
有常数项，等号两边同减20，整个过程利用了等式的性质1，通过观察
结果强调“变号”这个特点，从而理解移项的概念。
（3）移项的概念：像上面那样把等式一边的某项变号后移到另一边，叫
108做移项
（4）用下面的框图表示解这个方程的具体方程
3x+20=4x-25
↓移项
3x-4x=-25-20
↓合并
-x=-45
↓系数化为1
x=45
活动4
例题 解方程： （1）-0.48x-6=0.02x
（2）5x+2=7x-8
演示解方程的具体步骤，格式，规范书写
活动5
练习P79
活动6
总结：移项的方法及注意点，体会“对消”和“还原”与“合并”和
“移项”的思想。
（通过对移项的思考及解方程过程的总结，丰富学生的认知结构）
活动7
作业：P82 2、3、7、9
六练习与拓展过程
1、 已知k是整数，关于x的方程7x-5=kx+9有正整数解，求k的所
有可能值
2、 （古代数学问题）好马每天走240里，劣马每天走150里，劣马先
走12天，好马几天可以追上劣马？
课 后 反 思 ：
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3.2.3一元一次方程的的讨论(三)
一背景与意义分析
本课在引出了方程一元一次方程等基本概念，以及一元一次方程的解
法，引出例1，例2有关数列的数学问题，题中有三个未知数，它们是互
相联系，通过观察可以 发现它们的排列规律，然后根据数量关系，设出
适当的未知数，列出一元一次方程。以方程为工具分析问题，解决问题，
即建立方程模型是全章的重点。同时，也是难点。而本节课通过一个同
学熟悉的“配比”问题引入，引导学生尝试用算术方法解决它，然后，
再进一步分析，由学生列出含未知数的式子表示有关的量。根据题中的
相等关系，列出方程达到解决问题目的。然后，进一步引出例1等问题。
109通过师生共同参与，探索，发现，归纳，使学生认识到用方程这样的工具
来解决应用题的优越性，从而激发学生学习数学的热情。
二学习与导学目标
知识技能： (1)一元一次方程解决实际问题;
(2)会通过合并，移项解一元一次方程;
(3)进一步巩固用一元一次方程解决实际问题的步骤;
数学思考： ( 1)会将实际问题转化为数学问题，通过列方程
解决问题;
(2)会用不同的方程解决实际问题;
解决问题：通过学生自主探究，师生共同研讨，体验将实际问
题转化
成数学问题，并加以解决。
三障碍与生成关系
重点：会用一元一次方程解决实际问题;
难点：通过寻找规律，将实际问题转化为数学问题，通过列方程解决问
题。
四学程与导程活动
教学流程安排
活动流程图 活动内容和目的
活动1
创设问题情境 由问题引入例 1，激发学生学习
欲望
活动2
提出例题1
对问题分析理解，找出规律，让学
活动3 生学会分析问题的方法
通过希腊数学家丢番图的墓碑上
记载的数学题激发学生学数学的
热情。
活动4
巩固练习，进一步激发学生学数
学用数学的热情，提高分析解决
问题的能力
活动5 教师引导学生回忆总结
小结，本节课你学到什么?
教学过程设计
问题与情境 师生行为 设计意图
110活动1
一种混凝土中，水泥， 1. 如何寻找规律? 由学生熟悉的问题入
黄沙，石子的配比是 2. 算术方法如何做? 手，探求一般的规律
1：2：3，现有混凝土 3. 你会列方程解吗? 教师引导则必不可少
1000kg，则水泥，黄 4. 怎样设未知数?
沙，石子各有多少kg? 由学生来解决上述问
题
活动2 找出这列数的规律，
例 1 有列数，按一定 1. 引导学生通过从 特别是三数之间的规
规律排列，1，-3，9，- 符号和绝对值两 律，是本题的难点。
27，81，-243，…，其中 方面观察，这列数
某三个相邻数的和 有什么规律?如果
是-1701，这三个数各 设其中一个数为
是多少? a，那么它后面与
前面相邻的数是
_____________ 强化规范列方程解应
可通过小组讨论的方 用题的步骤和书写要
式，共同探讨，得出 求，培养学生严谨，
结论。 细致的学习习惯和分
2。本题的相等关系是 析解决问题的能力。
什么?
如何设未知数，列方
程?
师生共同完成此求解
过程。
解：设这三个相邻数
中的第一个数为 x，
那 么 第 2 个 数 就
是 -3x ， 第 3 个 数
是-3×(-3x)=9x
由题意，得
x-3x+9x=-1701
合并，得
7x=-1701 树立多种方法解决问
系数化为1，得 题的创新意识，品尝
x=-243 成功的喜悦，激发学
所以-3x=729 生应用数学的热情
9x=-2187
答 ： 这 三 个 数
活动3 是：-243，729，-2187 通过此题的研究，进
希腊数学家丢番图 如果不这样设未知 一步激发学生学习数
(公元 3-4 世纪)的墓 数，你还有其它的解 学的热情，体会利用
碑上记载着：”他生 法吗? 方程解应用题的优越
命的 是幸福的童年; 性。
再活了他生命的，两
颊长起了细细的胡 首先提出算术方法怎
111须;他结婚了，又度过 么解，然后共同分析
了一生的，再过 5 年 找出相等关系，即各
他有了儿子，感到很 年龄段之和等于他去
幸福;可是儿子只活 世的年龄，设出适当
了他生命的一半;儿 的未知数。然后由学
子死后他在极度悲痛 生完成解答过程。
中，度过了4年，也与
世长辞了”，丢番图
活了多少年?
活动4 引导同学“执果索
练习， 因”和“由因导果”
1。填空 的方法，研究数学问
(1) 有一数列，按 题从而逐步建立用方
一定规律排成 0， 程的方程解决问题的
2，6，12，29，…，则 意识。
第 8 个 数 为 学生练习，教师巡视
______，第 n 个数 辅导，并作适当的引
为_____ 导，并通过小组讨论
(2) 有一数列，按 交流，达到解决问题
一定规律排成1，- 的目的。
2，3，2，-4，6，3，-
6，9，接下来的三
个数为________
2。用 72 厘米的铁丝
做一个长方形，要使
长是宽的 2 倍多 6 厘
米，则这个长方形的
长和宽各是多少厘
米?
3。有若干个小方格，
第 1 格 1 粒， 第 2 格
2 粒， 第 3 格 4 粒，
第 4 格 8 粒，如此类
推，从第几格开始的
连续三格中共有 448
粒?
活动5
小结
1. 现实生活中的许
多问题用一元一
次方程来解决更
112方便
2. 用一元一次方程
解决问题的一般
步骤是：
3. 一审题
4. 二设未知数
5. 三列方程
作业 6. 四解方程
课本习题2。2 4，5， 7. 五答
6，7 8. 如何寻找规律，逐
步通过渗透让学
生掌握从特例到
一般的分析思想
方法。
课 后 反 思 ：
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3.2.4一元一次方程的讨论（四）
教学目标
进一步体会用一元一次方程解决实际问题的基本过程，巩固
通过移项、合并解一元一次方程；学习将实际问题转化为数
学问题，感悟数学建模思想，体会数学的应用价值；会设未知
数，并利用问题中的相等关系列方程，且正确求解。初步掌握
用方程解决实际问题的基本过程；通过学习使学生更加关注
生活，增强用数学的意识，激发学习数学的热情。
重 点：会用一元一次方程解决实际问题。
难 点：将实际问题转化为数学问题，通过列方程解决问题。
教 程：①展示问题，激发学生学习数学的热情：
全球通 神州行
月租费 50元/月 0
本地通话费 0．40元/分 0．60元/分
某人新买一部手机，了解到电信公司有两种移动电话计费方式（如
图）。他正为选择哪一种方式犹豫呢！请帮助他选择。
帮助学生掌握有关信息，明确问题的关键是要知道每月通话的大
约时间。
②用具体小问题作铺垫，逐步深入解决问题。
问题（1）一个月内本地通话200分钟和300分钟，按两种计费方式
各需交费多少元？
学生完成（板演）：通话200分钟 50+0.40×200=130(元)
0.60×200=120(元)
通话300分钟 50+0.40×300=170(元)
0.60×300=180(元)
113分析所得结果后提出问题(2)。
问题（2）会出现两种移动电话计费方式的收费一样的情况吗？
让学生进一步明确问题即：月累计通话多少分钟时，两种方式收费
一样？并引导学生用方程来解决：
设累计通话分钟，则用“全球通”费用为（50+0.4t）元，用“神州
行”费用为0.6t元，则得方程
0.6t=50+0.4t
以下由学生完成。问题（3）选择哪种计费方式费用少？
学生交流讨论，教师适当讲解。
引导学生明确关键是估计月累计通话时间是大于250分钟还是小
于250分钟。 ③结合以上的问题（2），师生共同小结归纳用一元一
次方程解实际问题的基本过程（P81结构图）
列方程
实际问题
解
方
程
实际问题
答 案 检验
④课堂练习 P104 7 （若多数学生独立解决问题有困难，则可先
师生共同探讨）
⑤小结全课 引导学生回忆 ⑴用一元一次方程解实际问题的基
本过程；⑵最佳方案问题。
作业：P83 10、11 （预计要适当，引导学生分析作业题）
课后反思：_________________________________________________
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3.3.1一元一次方程的讨论（2）(一)
一背景与意义分析
本课安排在第二章第三小节，属于《全日制义务教育数学课程标准（实
114验稿）》中的“数与代数”领域。
本课在前面列、解一元一次方程的基础上，进一步探讨列方程解方程的
问题，如何根据实际列方程，如何解方程是本课的重点，正确利用“去
括号”变形来解方程是本课的难点，本课是在建立和运用方程这种数
学模型的大背景下进行的。
二学习与导学目标
1． 知识积累与疏导：结合一些实际问题讨论一元一次
方程，掌握“去括号”法则。
2． 技能掌握与指导：能根据实际问题中的等量关系列
出方程，感悟到方程是刻画现实世界的一个有效模
型。
3． 智能的提高与训导：通过同学间，学生和老师的合作
探讨让学生逐步学生思维。
4． 情感修炼与开导：俄罗斯古题创设情境，激发学生学
习数学的热情，增强数学教科书的人文色彩。
5． 观念确认与引导：会通过列方程解决实际问题，并会
将含有括号的方程化归成已经熟悉的方程，逐步培
养学生的化归思想。
.三 障碍与生成关系
关注方程与实际问题的联系，感受数学建模思想。
四 学程与导程活动
（一）创设问题情境
活动1：
展示问题（幻灯片）俄罗斯小说家契诃夫的小说《家庭教师》中，写了一
位教师为一道算术题大伤脑筋。我们来看看这道题。
问题（买布问题）顾客用540卢布买了两种布料共138俄尺，其中蓝布
料每俄尺3卢布，黑布料每俄尺5卢布，两种布料各买了多少？
（二）探索解决方法
活动2：
先让学生读题，然后老师提出，你会用方程解这道题吗？以同桌同
学或前后两桌为一组，讨论交流一下，此题怎样解，老师巡视之后，若发
现学生中有会解的，请同学板演并指出每个式子的意义，若没有，则作
如下提示：
设买了蓝布x俄尺，那么买了黑布料_________俄尺，买蓝布料花了
1153x卢布，买黑布料花了________卢布，根据买两种布共用540卢布，列
得方程为______________
活动3
列出方程后，教师再次提出问题：怎样解这个方程，求出x值？
学生思考，交流，得出共识，先去括号，然后按已学方程变，化简成
x=a的形式。
活动4
尝试练习：去括号是解方程时常用的变形，分别将式子2（x+2y-2）,-3
（3x-y+1）,-（4a+3b-5c）去括号，你能从中发现去括号时符号变化析规
律吗？注意其中-（4a+3b-5c）=（-1）•（4a+3b-5c）（幻灯片）
学生学会合作完成作业，归纳总结去括号法则（幻灯片）
所列方程的具体过程：
3x+5（138-x）=540
↓去括号
3x+690-5x=540
↓移项
3x-5x=540-690
↓合并
-2x=-150
↓系数化为1
x=75
↓代入
138-x=63
由上可知，买了75俄尺蓝布料和63俄尺黑布料
活动5
巩固去括号法则，解下列方程
（1）4x+3（2x-3）=12-（x+4）
（2）6（x-4）+2x=7-（x-1）
活动6
师生小结归纳（幻灯片）
六练习与拓展选题
1、P91/ 1，2
2、P92 /11（选做题）.
课后反思：_________________________________________________
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1163.3.2一元一次方程的的讨论（2）（二）
一、背景与意义分析
本课主要是结合实际问题继续讨论一元一次方程的解法与与运用。
在前几节课，学生已经学会通过移项，合并，去分母来解一元一次方程。
而本节课的主要任务是要在熟练解方程的基础上，利用一元一次方程
来分析问题，并解决实际问题。本课主要设置了两个问题。问题（1）是
行程问题中的航行问题，涉及了顺流、逆流因素。这个问题中包含了几
个基本关系式： 顺流速度=静水速度+水流速度
逆流速度=静水速度-水流速度
顺流路程=顺流速度×顺流时间
逆流路程=逆流速度×逆流时间
行程问题中，速度、时间和路程这三个物理量及它们之间的关系，对
于分析数量关系很重要，在匀速运动中，路程=速度×时间是基本关系，
因此本题也不例外，而解决该问题的关键是要根据往返路程相等列出
方程。
问题（2）是生产调度问题即如何规划分工使两种产品在数量上成龙
配套的问题。“螺母的数量是螺钉数量的 2倍”是本题中特有的相等
关系。“每人每天的工作效率×人数=每天的工作量”两者结合，就能
列出方程。
这两个问题在解法上无大区别都要进行去括号的过程。而列方程中
蕴涵的“数学建模思想”和“解方程中蕴涵的”化归思想“是本课始
终渗透的主要数学思想。
二学习与导学目标
1、 知识积累与疏导：
学会利用去括号解一元一次方程，学会根据题意列出一元一次方程
解决实际问题，认知率达100%.
2、 技能掌握与指导：
能根据具体问题中的数量关系，列出方程，感悟到方程是刻画现实
世界的一个有效模型。利用率达100%.
3、 智能的提高与训导：
在与同学探讨的过程中，学会能合理清晰地表达自己的思维过程。
互动率达95%.
4、 情感修炼与开导：
117通过学习更加关注生活，增强用数学的意识，从而激发学习数学的
热情。
5、 观念确认与引导：
会将实际问题转化为数学问题，加强数学建模思想，学会用“去括
号”解一元一次方程，进一步体会化归思想。
三障碍与生成关注
通过“问题情境”，建立“数学模型”难度较大，为此要充分引导
学生关注生活实际，仔细分析题目，促使学生朝“数学模型”方面理解。
四学程与导学活动
活动1 知识巩固，引入新课
解下列方程：（1）4x+3(2x-3)=12-(x+4)
（2)6(x-4)+2x=7-(x-1)
(3)2(10-0.5y)=-(1.5y+2)
(通过学生板演，起到复习巩固的作用，进一步熟悉去括号解方程的
步骤与要点)
下面我们来看两个实际问题
活动2 师生互动，学习新知
展示问题（1）
一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶用了2小时，从乙码头返回甲码
头逆流行驶，用了2.5小时，已知水流的速度是3千米/时，求船在静水
中的平均速度。
（1）分析问题：
（先由学生读题，教师引导）这是一个行程问题中的航行问题，小学
里关于顺流、逆流问题同学们应该是学习过的，顺流速度、逆流速度、静
水速度和水流速度之间有什么关系？
让学生自由发挥，最后板书如下：
顺流（逆流）速度=静水速度+（-）水流速度
进一步问：本题中蕴含的重要相等关系是什么？学生口答，教师整
理如下：
顺流路程=逆流路程
（2）解决问题：
118教师引导学生设未知数，列出方程，解方程，作答。由学生口述，教
师板书出完整的解题过程，并逐步强调各个注意点。
活动3 展示问题（2）
某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉 1200个
或螺母2000个，一个螺钉要配两个螺母，为了使每天的产品刚好配套，
应分配多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母？
（学生读题）
1、 引导学生分析题意，找出相等关系
每人每天的工作效率×人数=每天的工作量（产品数量）
螺母的数量=螺钉数量×2
2、 由学生尝试解决问题，即学生完成板演，集体订正。
然后幻灯片打出完整的解题过程，让学生进行比较，明确步骤中的
各个要点。
活动4 归纳总结，初步应用
1、 师生共同小结归纳得出：
用一元一次方程分析和解决问题实际问题的基本过程。
（用幻灯片打出）
设未知数列方程
实际问题 数学问题
2、 学生练习：书本P92，7；P91，5
（一元一次方程）
3、 课堂小结：这节课你学习了哪些知识？
解
4、 布置作业：（1）书本习题2.2 P91-92 6，10，11
方
5、 （2）学生用书同步练习
程
课后反思：_________________________________________________
实际问题的答案
________________________________________________数__学_问__题_的__解____
__________________________________________________（_x_=_a_）____
3.4.1从买布问题说起
—一元一次方程的讨论
一、背景与教学任务分析：
本节课教学的主要内容是：一元一次方程的应用——工程问题。
学生在小学里已学过解工程问题，对于“把全部工作量看作1”的
了解无疑是一个难点，为此，书本在对工程问题的分析中，首先就“可
以把全部工作量看作1”进行了说明，给出了一个公式“工作量＝工作
效率×人数×工作时间”，限于初一学生的年龄特征，书本不能对“可
119以把全部工作量看作1”给予证明。
工程问题也是很有实际意义的一类应用题，用代数方法解决这类问
题比较方便，这又一次使学生看到代数方法的优越性。通过解决这类应
用题，还可以巩固学生从小学开始学习的分数的意义的认识。
二、学程与导程活动：
1、复习提问：
①一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成，那么两
人合作32小时完成，这个结论对吗？能不能只用加法求结果，除了加
法外，还需要用什么运算？
②一件工作，1人独做20小时完成，那么他每小时完成全部工作量
1 1
的多少？（ ），4人做每小时完成全部工作量的多少？（ 4），4人
20 20
1
做3小时完成全部工作量的多少？（ 43）
20
1
③一件工作由m个人用n小时完成，那么人均效率为
mn
2、新课讲解
A、阅读书本例3，分析题意，然后提问：
①这道题已知什么？最终的相等关系是什么？（各阶段的工作量的
和＝总工作量）
②这道题的要求的是什么？在列方程时，可以把全部工作量看作什
么？
x
③x人先做4小时，完成的工作量是什么？（ 4）
40
x2
增加2人后一起做8小时，完成的工作量是多少？（ 8）
40
④学生自己列出方程，上黑板把解答过程写出来。
B、对本题进行改编，形成一题多用的练习，方法如下：
1°整理一批图书，由1人做要40小时完成，现在计划由2人先做4
小时，剩下的部分为了在8小时内完成，还需增添几人？
2°整理一批图书，先由2人工作，后又增添2人，又用了8小时完
成，问开始的2人先用几小时？
C、鼓励学生对书本例3进行改编，自编自解。
3、课堂练习：
一项工程，甲单独做6人完成，乙单独做12天完成，现两人合作，途
中乙因病休息了几天，这样用了4.5天才完成任务，乙因病休息了几天？
4、课堂小结
通过这堂课，我们不仅对分数意义，对于“可以把全部工作量看作
1”有了更深的认识，而且再次体会到代数方法的优越性。
三、练习拓展
1、P92 8.9.13
1206 6
2、请根据所给方程 1，联系生活实际，编写一道应用题（要
x x5
求题目完整，题意清楚，不要求解方程）。
课 后 反 思 ：
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——————————————————
3.4.2从买布问题说起
——一元一次方程的应用（2）
1、进一步学习根据意列方程
知识技能 2、学习去分母解一元一次方程
3、初步掌握一元一次方程解法的一般步骤
学 1、会通过列方程来解决实际问题
习 2、会将含有分母的方程化归成已熟悉的方
数学思考
与 程，逐步体会化归的方法
导 3、初步掌握解方程的程序化方法
学 结合从实际问题中得出的方程，学会用
目 解决问题 “去分母”解一元一次方程，体会化归思
标 想
由埃及古题带来新情境，引入新问题（如何
情感态度 去分母），使学生们探究欲望和热情再次得
到激发。
重 1、学会去分母解一元一次方程
点 2、初步掌握解一元一次方程的一般步骤
难
去分母
点
学程与导程活动
问题与情境 师生行为 设计意图
[活动一]
展示问题： 教师展示问 当时的埃及人如
伦敦博物馆保存着 题 ， 让 学 生 思 果把问题写成这种形
一件极其珍贵的文物—— 考： 式，它一定是“最
纸莎草文书。这是古代 用数学符号 早”的方程。
埃及人用象形文字写在 表示，这道题就 教科书从古代埃
121一种特殊的草上的著 是方程 及的纸莎草文书说
作，它于公元前 1700年 2 1 1 起，这是能反映古埃
左右写成，至今已有三
x x x x 33
及 文明的一件珍贵文
3 2 7
千七百多年，草片文书 教师提出问题： 物，其中有关数学的
中记载了许多有关数学 怎样解这个方程 内容非常丰富，本节
的问题，其中有如下一 呢？ 通过纸莎草文书中一
道著名的求未知数的问 学生思考、交 道有关数量的问题，
题。 流，得出共识： 引出带有分母的一元
问题：一个数，它的 方程中有些系数 一次方程，进而讨论
三分之二，它的一半，它 是分数，能否化 用去分母的方法解这
的七分之一，它的全部， 去分母，把系数 类方程，这样选材可
加起来总共是33。 化成整数呢？ 以起到介绍悠久的数
学文明的作用。
[活动二]
以解方程 教师引导学 通过“去分母”
3x1 3x2 2x3 生一起解决： 使方程的系数都化为
2
方程左边＝ 整数，可以使解方程
2 10 5
为例，根据等式的基本 3x1 中减少分数运算，从
10 102
性质2，为去分母可以在 2 而计算更方便。去分
方程两边同时乘 10（各 5(3x1)20 母的依据是等式性质
分母的最小公倍数），于 （注意：这 2，即“等式两边乘同
是方程左边变为 里易犯的错误： 一个数，结果仍相
等”。选择方程中各
3x1 方程左边＝
10( 2) ? 分母的最小公倍数，
2 5(3x1)2,应提
既能化去分母又使所
问题：去了分母，方 醒学生去分母时
乘的数最小，因此一
程右边变为什么？ 不能漏乘）
般采用这种方法。
提醒学生：去分母
时，方程两边的每一
项都要乘同一个数，
不要漏乘某项。
方程中写在同一
条分数线上下的部
分，可以被认为是一
项：例如，在方程
3x1 3x2 2x3
2
2 10 5
中，可以认为左右两
边各有两项，它们分
别是
3x1 3x2 2x3
,2, ,
2 10 5
[活动三]
解这个方程的过 教师与同学 将这幅框图与前
程： 一起完成。 面框图进行比较，看
去分母后， 看有什么相同之处不
3x1 3x2 2x3
2
2 10 5
122应尽可能让学生 同之处。
完成，并让学生 （比前面框图多了
逐步总结解一元 去分母这一步）
去分母 一 次 方 程 的 过 通过解题过程的
（方程两 程。 体验、与前面框图的
边同乘各 比较，丰富学生已有
分母的最 的解一元一次方程的
小 公 倍 方法，使学生对解方
数） 程的知识更加完整。
5(3x1)102
(3x2)2(2x3)
去括号
15x5203x24x6
移项
15x3x4x26520
合并
16x 7
系数化为
1
7
x
16
[活动四]
1、解埃及古中的方 学生练习， 本题当然也可以
程：根据等式的基本性 教师指导。 不通过去分母来做，
质2，在方程两边同时乘 让学生体验 直接进入合并这一过
42（各分母的最小公倍 解方程的完整过 程也行。
数），即 程。 采取哪些步骤取
2 1 1 决于要解什么形式的
42( x x x x)
3 2 7
方程，各种步骤都是
在化归思想（使方程
4233
根据分配律，得
向 x a形式转化）支
配下有针对性地采用
28x21x6x42x 1386
的。
合并，得
97x 1386
系数化为1，得
1231386
x
97
教师与同学
2、回顾： 共同回顾具体方
通过解以上两方程， 程的解法，引出 还要让学生明白：
可以得出： 一元一次方程解 一元一次方程的解
一元一次方程解法 法的一般步骤。 法，主要依据是等式
的一般步骤： 同时说明： 的性质和分配律等。
解方程的目标的求 解题时，需要采 解一元一次方程
出其中的未知数（例如x 取灵活、合理的 的步骤可以看作解方
），通过去分母、去括号、 步骤，不能生搬 程的程序，解方程就
移项、合并、系数化为1 硬 套 、 机 械 模 是执行这个程序。
等步骤，就可以使一元 仿。
一次方程向着 x a的形
式转化。
3、练习：
第90页（1）（2）题
补充练习：
解下列方程：
3x x4
1、
2 3
4 y
2、2y 1
3
[活动五]
1、解决本章引例中 学生练习、巩 及时巩固所学知
的问题，解方程： 固。 识。
x50 x70 让学生再次 至此，前后呼应，
3 5
体会解一元一次 体现了本章问题解决
解：去分母，得 方程的步骤。 的主线。
5(x50) 3(x70)
去括号，得
5x250 3x210
移项，得
5x3x 210250
合并，得
2x 460
系数化为1，得
x 230
2、作业：教科书习題
2.3第3题，学生用书同
步练习。
课 后 反 思 ：
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————————————————————————————————————————————————————————————
————————————————————————————————————————————————————————————
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1243.5.1再谈实际问题与一元一次方程（一）
一、背景与意义分析：
本节在前面已经讨论过由实际问题建立一元一次方程和解一元一
次方程的一般步骤的基础上，进一步以“探究”的形式讨论如何用一
元一次方程解决实际问题。探究1中的问题比前几节的问题更复杂，它
涉及商品经营中的盈利与亏损。随着市场经济的发展，经营活动越来越
被人们重视，因此教材将它安排在探究1。
二、学习与导学目标：
1、知识积累与疏导：通过现实中的例子体会一元一次方程的实用
价值。认知率100%。
2、技能掌握与指导：在现实问题中找到等量关系，列出一元一次方
程，感悟到一元一次方程是描述现实世界的一个有效模型。利用率
100%。
3、智能提高与训导：通过实际问题的探究，初步体会到一元一次方
程与现实生活的联系。互动率95%。
4、情感修炼与开导：在与他人交流的探究过程中，学会探究学习、
合作学习，合理清晰的表达自己的思维过程。投入率95%。
5、观念确认与引导：感受实际生活－→建立数学模型－→一元一
次方程，培养建模思想，提高运用一元一次方程分析和解决实际问题的
能力。
（教学目标的分类表述有利于课堂评估，较好的体现了新课程多元
化的目标和价值追求，但在设计教学活动时各教学目标之间是协同和
合为一体的。）
三、障碍与生成关注：
探究问题的情境与实际情况比较接近，有些数量关系比较隐蔽，
在探究过程中正确建立方程会出现困难。
125四、学程与导程活动：
（一）复习巩固，埋下伏笔：
在前一节课里，我们共同学习了行程问题以及问题中涉及顺、逆流
因素的题目，这类问题中的基本相等关系有哪些？
V ＝V ＋V V ＝V －V
顺 静 水 逆 静 水
S＝Vt
根据这些相等关系，结合实际情况，可以列出方程。
在例2中，又遇到了生产调度问题，工作问题中的基本相等关系又
是什么呢？
每人每天的工作效率×人数＝每天的工作量
今天，我们又会遇到什么问题呢？
（通过复习，可以把学生的思维拉到预定的轨道上，在特殊的情境
下思考，有利于探究活动的开展。）
（二）创设情境，引入新课：
时间匆匆地从指间划过，不知不觉中，秋天到了，夏天过去了，在
季节的转换中，许多商家借此机会搞许多促销活动，商品经济中商品的
盈亏问题与一元一次方程是否有联系呢？请看题：
某商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈
利25%，另一种亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈
不亏？
先大体估算盈亏：
（给学生一定的时间讨论，估算，学生们一定会激烈讨论，这样能让
每一位学生都参与到探究活动中来，体会人人参与，激发学习兴趣。）
（三）交换估算结果，说明理由：
有的学生说最终卖这两件衣服是盈利的，理由是：商家总是很狡猾，
他们一般不会做亏本的买卖，他们总会打着“亏损”的旗号，但实际上
还是盈利的。
有的学生说不盈不亏，理由是：一件盈利25%，一件亏损25%，两个
正好抵消了。
还有少部分学生说亏本，理由是：几个学生猜的，还有学生说是预
习的，看了课本。
要想知道最终正确答案究竟是什么？让我们从理论上进行准确计
算。
（对于预习了的学生要给予表扬，对于估算不正确的，也不能批评，
避免抹杀学生的创造性思维）
（四）深入分析，揭示等量关系：
两件衣服共卖了 120元，是盈是亏要看这家商店买进这两件衣服
时花了多少钱，如果进价大于售价就亏损，反之就盈利。
假设一件商品的进价是40元，如果卖出后盈利25%，那么商品利润
是40×25%元；如果卖出后亏损25%，那么商品利润是40×（－25%）元。
本问题中，设盈利25%的那件衣服的进价是x元，它的商品利润就
是0.25x元
126进价、利润、售价三者之间有什么关系呢？
进价＋利润＝售价
列方程： x＋0.25x＝60
x＝48
类似地，（让学生自己解答）：
设另一价衣服的进价为y元，它的商品利润是－0.25y元
y＋（－0.25y）＝60
y＝80
（探究到这里，并不意味着问题已经解决，有的学生往往忽略了这
一点，认为题目已经做完了，其实我们还要归纳，看看卖两件衣服总的
盈亏情况。）
（五）归纳总结，得出结论。
两件衣服的进价是x＋y＝48＋80＝128（元），而两件衣服的售价是60
＋60＝120（元），进价大于售价，因此，卖这两件衣服总的盈亏情况是亏
损。
五、练习与拓展选项：
“国庆”期间，文峰大世界搞优惠促销，决定由顾客抽奖确定折扣，
某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折（按售价的70%销售）和九折
（按售价的90%销售），共付款386元，这两种商品原销售价之和为500
元，问：这两种商品的原销售价分别是多少元？
分析：利用等量关系原销售价之和为500元，设立未知数，
利用等量关系甲、乙商品实际购买价之和为386元，列方程：
解：设甲种商品的原销售价为x元，则乙种商品的原销售价为（500
－x）元，则：
x×70%＋（500－x）×90%＝386
解得： x＝320
500－x＝180
答：甲、乙两种商品的原销售价分别为320元、180元。
六、个别与重点辅导：
实际问题中的数量关系比较隐蔽，在探究过程中正确建立方程是主
要难点，突破难点的关键是弄清问题背景，分析清楚有关数量关系，特
别是找出可以作为列方程依据的主要相等关系。
课 后 反 思 ：
———————————————————————————————————————————————————————
3.5.2再探实际问题与一元一次方程（二）
一、背景与意义分析：
本节在前面已经讨论过由实际问题建立一元一次方程和解一元一
次方程的一般步骤的基础上，继探究活动一之后，进一步以探究的形式
讨论如何用一元一次方程解决实际问题。其中的问题涉及日常生活中
家庭节能用电的问题。伴随经济高速发展而出现的能源紧张问题日益
受到全社会的普遍关注，教材将其安排作探究2，有相当重要的现实意
义。
127二、学习与导学目标：
1、知识积累与疏导：通过现实中的例子体会一元一次方程的实用
价值，认知率100%。
2、技能掌握与指导：在现实问题中找到等量关系，列出一元一次方
程，领会一元一次方程作为描述现实世界的一个有效模型的作用。利用
率100%。
3、智能提高与训导：通过实际问题的探究，初步体会到一元一次方
程与现实生活的联系。互动率95%。
4、情感修炼与开导：在与他人交流的探究过程中，学会探究学习，
合作学习，合理清晰的表达自己的思维过程。投入率95%。
5、观念确认与引导：感受实际生活——建立数学模型——元一次方程，
培养建模思想，提高运用一元一次方程分析和解决实际问题的能力。
（教学目标的分类表述有利于课堂评估，较好地体现了新课程多元
化的目标和价值追求，但在设计教学活动时各教学目标之间是协同和
合为一体的。）
三、障碍与生成关注：
探究问题的情境与实际情况比较接近，有些数量关系比较隐蔽，在
探究过程中正确建立方程会出现困难。
四、学程与导程活动：
（一）复习巩固,埋下伏笔:
在前一课中,我们探究了销售中的盈亏问题即进售价格与利润之
间的关系,这类问题中的基本相等关系是怎样的呢?
进价+利润=售价
根据此相等关系,结合实际情况,可以列出方程。
若进价大于售价就亏损,反之就盈利。
(通过复习,可以把学生的思维拉到预定的轨道上,在特殊的情境
下思考,有利于探究活动的开展)
（二）创设情境,引入新课:
现在很多家庭的照明用灯都越来越多的采用了一种名为节能灯的
新灯具,它造型新颖,照明效果也不错,那么它是否真的比传统的白炽
灯节电呢,下面我们不妨来利用一元一次方程的方法尝试解答这个问
题,请看题：
小明想在两种灯中选购一种.其中一种是 11 瓦(即 0.011 千瓦)的
节能灯,售价60元;另一种是 60瓦(即0.06千瓦)的白炽灯,售价3元.
两种灯的照明效果一样,使用寿命也相同(3000小时以上).节能灯售价
高,但是较省电;白炽灯售价低,但是用电多.如果电费是 0.5元/(千瓦
时),选哪种灯可以节省费用(灯的售价加电费)
先大体估算一下两者相同照明时间内的用电量差异
(给学生一定的时间讨论,估算,学生们一定会激烈讨论,这样能让
每一位学生都参与到探究活动中来,体会人人参与,激发学习兴趣.)
（三）交换估算结果,说明理由:
128有的学生说使用节能灯节省费用,因为节能灯顾名思义就是节约
能源,既然市场出现了种产品,那它一定比传统白炽灯节能,否则不会
有那么多人使用它.
有的学生说白炽灯节省费用,因为比较谁更节省费用,不仅看电费,
还包括灯的售价,节能灯虽好,但价格昂贵,是白炽灯的 20 倍,如此悬
殊的价格足以抵消掉节能灯节电的优势.
还有的学生说两者费用或许相差不多,使用时间长了之后节能灯
原本的价格劣势会被省电节能的优势弥补,而白炽灯低廉的价格也使
它在总体费用的成本上占优。
要想知道正确答案为何，让蜗牛从理论上进行准确计算。
(对于大胆估算的学生要给予表扬,重要的并非答案正确与否,学
生在探究式学习中领略到的自主学习,积极思维的快乐是最值得教师
关注与呵护的.)
（四）深入分析，揭示等量关系：
这两种灯，看哪个更省费用，首先看在多长的使用时间之内，时间
越长节能灯的节能效果越明显，反之，白炽灯成本的优势会令费用较低。
问题中费用的等量关系为：
费用=灯的售价+电费
电费合0.5元/千瓦时
因此电费=0.5×灯的功率（千瓦）×照明时间（时）
（1）列式如下
选定一种灯之后，灯的售价和功率（千瓦），电费直接与照明时
间相关
若设照明时间为t小时，则用节能灯的费用（元）是
60+0.5×0.011t；
用白炽灯的费用（元）是：
3+0.5×0.06t
由此已能发现照明时间与费用间的关系。
（2）赋值试探
如果t=2000，那么节能灯的费用（元）是
60+0.5×0.011×2000=71
用白炽灯的费用（元）则是
3+0.5×0.06×2500=63
如果t=2500，那么节能灯的费用（元）是
60+0.5×0.011×2500=73.75
用白炽灯则费用(元)为
3+0.5×0.06×2500=78
从这两组运算后得出的数值可以看出为省钱而选择哪种灯与照
明时间长短有关
（3）明多少时间用两种灯的费用相等呢（精确到1个小时）？
列方程，并求出问题的答案。（引导学生探究解答）
设照明t小时用两种灯的费用相等
12960+0.5×0.011t=3+0.5×0.06t
t～2327(小时)
（探究到这里，通过师生共同总结和自我评价,以培养学生归纳,整
理,表达能力,培养良好学习习惯,进一步强化学习效果）
（五）归纳总结,得出结论
当照明时间少于 2327 小时,用白炽灯省钱,而且时间越少省钱越
多,当照明时间多于 2327小时而不超过 3000小时,用节能灯省钱,而且
时间越长省钱越多.因此,用白炽灯500小时,节能灯3000小时,是最省
钱的办法.
六、练习与拓展选项:
书本P95
课后反思：—————————————————————————
3.5.3再谈实际问题与一元一次方程（三）
一、背景与意义分析：
本节在前面已经讨论过由实际问题建立一元一次方程和解一元一
次方程的一般步骤的基础上，继探究活动2之后，进一步以探究的形式
讨论如何用一元一次方程解决实际问题。其中的问题涉及体育竞技比
赛中的积分排位问题，教材将其安排作探究3，有鲜明的实际意义。
二、学习与导学目标：
1、知识积累与疏导：通过现实中的例子体会一元一次方程的实用
价值，认知率100%。
2、技能掌握与指导：在现实问题中找到等量关系，列出一元一次方
程，领会一元一次方程作为描述现实世界的一个有效模型的作用。利用
率100%。
3、智能提高与训导：通过实际问题的探究，初步体会到一元一次方
程与现实生活的联系。互动率95%。
4、情感修炼与开导：在与他人交流的探究过程中，学会探究学习，
合作学习，合理清晰的表达自己的思维过程。投入率95%。
5、观念确认与引导：感受实际生活——建立数学模型——元一次方程，
培养建模思想，提高运用一元一次方程分析和解决实际问题的能力。
（教学目标的分类表述有利于课堂评估，较好地体现了新课程多
元化的目标和价值追求，但在设计教学活动时各教学目标之间是协同
和合为一体的。）
三、障碍与生成关注：
探究问题的情境涉及竞技体育积分的现实问题，有些数量关系比较
隐蔽，在探究过程中正确建立方程会出现困难。
四、学程与导程活动：
（一）复习巩固,埋下伏笔:
在前一课中,我们探究了销售中的盈亏问题即进售价格与利润之
间的关系,这类问题中的基本相等关系是怎样的呢?
进价+利润=售价
130根据此相等关系,结合实际情况,可以列出方程。
若进价大于售价就亏损,反之就盈利。
(通过复习,可以把学生的思维拉到预定的轨道上,在特殊的情境
下思考,有利于探究活动的开展)
四、学程与导程活动：
(一)复习巩固,埋下伏笔:
在前一课中,我们探究了日常生活中节能灯与白炽灯谁更节省费
用的问题,这类问题中的基本相等关系是怎样的呢?
电费=灯的售价+电费
根据此相等关系,结合实际情况,可以列出方程..
(通过复习,可以把学生的思维拉到预定的轨道上,在特殊的情境
下思考,有利于探究活动的开展)
（二）创设情境,引入新课:
男生都喜欢看 NBA,激烈的对抗中比分交替上升,最终由积分显示牌
上的各队积分进行排位.下面我们来看一个 2000 赛季国内篮球甲 A 联
赛常规赛的最终积分榜
队名 比赛场次 胜场 负场 积分
八一双鹿 22 18 4 40
上海东方 22 18 4 40
北京首钢 22 14 8 36
记录恒和 22 14 8 36
辽宁盼盼 22 12 10 34
广东宏远 22 12 10 34
前卫奥神 22 11 11 33
江苏南钢 22 10 12 32
山东润洁 22 10 12 32
浙江万马 22 7 15 29
双星济军 22 6 16 28
沈部雄师 22 0 22 22
（1）列式表示积分与胜,负场数之间的数量关系;
（2）某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗?
(给学生一定的时间讨论,估算,学生们一定会激烈讨论,这样能让
每一位学生都参与到探究活动中来,体会人人参与,激发学习兴趣.)
（三）分析列出等量关系:
观察积分榜,从最下面一行可看出,负一场积一分
设胜一场积 X 分的话,从表中其他任何一行可以列方程,求出 X 的
值.例如,从第一行得出方程:
18X+1×4=40
由此得出
X=2
用表中其他行可以验证,得出结论:负一场积1分,胜一场积2分.
(1) 如果一个队胜 M 场,则负(22—M)场,胜场积分为 2M,负场积分为
22—M,总积分为
1312M+(22—M)=M+22
(2) 设一个队胜了 X 场,则负了(22—X)场,如果这个队的胜场总积分
等于负场总积分,则有方程
2X—(22—X)=0
计算得
X=22/3
解决实际问题时,考虑得逞结果是否合乎实际,X(胜场)的值必须
是整数,所以 X=22/3 不符合实际.由此可以判定没有哪个队伍的胜场
总积分等于负场总积分.
（四）归纳总结
这个问题中的(2)是个判断题,要正确作出判断,需要进行定量分
析,这里运用了一元一次方程作为工具,分析过程渗透了反证法的思想,
即先假使某队的胜场总积分等于负场总积分,由此列出方程,解得答案.
教学中引导学生求得结果后,提醒注意方程解应为整数.
该问题还说明(1)利用方程不仅能计算未知数的值,而且可以进一
步进行推理
(2)对于解决实际问题,检验解出的结果是否合乎实
际意义是必要的.
五、练习与拓展选项:
书本P97
课 后 反 思 ：
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3.5.4再谈实际问题与一元一次方程（四）
一、背景与意义分析
本课是《义务教育课程标准实验教科书》（人教版）数学七年级上
册第二章中的内容。
在前面三堂课学习的基础上，本课将进一步讨论如何用一元一次方
程解决实际生活中的问题，进一步体现一元一次方程与实际的密切联
系，进一步帮助学生建构数学建模思想，培养学生运用一元一次方程分
析和解决实际问题的能力。
由于本课问题的背景和表达都比较贴近实际，其中有些数量关系比
较隐蔽，所以本课教学应注重在生活情境中引导学生探究、理解、操作，
从而学会应用数学思想和方法，解决实际问题。
二、学习与导学目标
1321、知识积累与疏导：通过现实生活中的例子，体会到方程知识就在
我们的生活中，培养学生应用方程知识，解决实际问题的能力。认知率
达到100%
2、技能掌握与指导：弄清问题背景，分析清楚有关数量关系，特别
是找出可以作为列方程依据的相等关系。利用率100%
3、智能的提高与训导：通过师生对话，与同学合作，共同探究，提高
自主学习的能力，合作学习的能力，科学探究的能力。互动率达95%
4、情感修炼与开导：积极创设问题情景，使学生更加关注生活，增
强用数学的意识，激发学生学习数学的热情。投入率达95%
5、观念确认与引导：数学来源于生活，生活中处处有数学，学习数
学就是为了解决生活中的问题，从而促进学生学习方式的改变。认同率
达95%
（教学目标的分立表述，有利于教者全面理清本课教学思路，有
利于课堂教学评估，有利于生成新的教学资源，较好的体现新课程多元
化的目标和价值追求，体现“用教材教”，真正把教材作为实现教学目
标的载体，达到培养学生掌握数学工具的能力和提高学生人文素养的
目的。但是在实际教学中，必须整体把握各教学目标，使其协同和合为
一体。）
三、障碍与生成关注
学生的生活经验并不是十分丰富的，要引导学生从已有的生活经验
出发，让学生亲身经历将实际问题转化为数学问题。
四、学程与导程活动
（一）创设情景
同学们去过南通华东轻纺城吗？那儿琳琅满目的服装，一定会使你
怦然心动。如果你想买一件称心如意、价廉物美的衣服，一定得和个体
老板讨价还价，否则，你会掉进价格的陷阱。那么你觉得该怎样讨价还
价，才比较合适呢？
（这是教师设置的教学场景，当学生看到自己所学的知识与“现实
世界”息息相关时，学习通常会更主动。）
例：据了解，个体服装销售只要高出进价的20%便可盈利，但老板们
常以高出进价的 50%至 100%标价，假如你准备买一件标价为 200 元的
服装，应在什么范围内还价？
（这里教学问题场已形成，激发了学生学习愿望，使学生感受到问
题是“现实的、有意义的、富有挑战性的”，让学生在不知不觉中走进
自己的“最近发展区”，愉快地参与教学活动。）
师生共同逐句分析，并提问：
如果设服装的进价为 x元，那么你能分别计算出按 50%报价时的进
价及按100%标价时的进价吗？
你能再按相应的进价计算出相应的可盈利价格吗？学生讨论后，
请学生回答。
133（这是教学问题场与教学情境场的叠加。教者以学生为主体，设
计了两个层次教学活动，将学生逐步引入自主、积极、主动的学习状态
中。）
（二）动手实践
你会解决这个实际问题吗？不妨试一试。教师巡视后，请两位同学
上黑板板演。
解：设服装的进价为x元
若标价是按高出进价的50%标的价，则有：
（1＋50%）x＝200
400
解得x＝
3
6 400
于是（1＋20%）·x＝ 160
5 3
若标价是按高出进价的100%标的价，则有：
（1＋100%）x＝200
解得x＝100
于是（1＋20%）·x＝120
答：应在120元～160元的范围内还价。
（通过层层设问和学生动手实践，优化了教学情境场，激发学生
的学习兴趣，并通过交流讨论，培养学生合作意识和探究意识，在反复
理解体会中，将感受内化，逐步建立个体意境场。）
（三）类比分析
以下两题以同桌或前后两桌同学为一组，讨论交流，然后代表发言。
1、商店对某种商品作调价，按原价的8折出售，此时商品的利润率
是10%，此商品进价为1600元，商品的原价是多少？
（1）由公式：商品利润＝商品售价－商品进价
商品利润
和公式： ＝商品的利润率，得：
商品进价
商品售价－商品进价＝商品进价×商品的利润率；
（2）按原价的8折出售，即按原价的80%出售。
2、某服装商贩同时售出两套服装，每套均售168元，以进价计算，
其中一套赢利20%，另一套亏本20%，则这次出售中，商贩的赢利情况如
何？
两套服装总售价为336元，商贩是盈还是亏，要看他进货时花了多
少钱，总进价大于总售价是亏损，反之就赢利。
（通过巩固所学的知识，进一步让学生感受到生活中处处有数学，
品尝到学习的愉快，增强了学习的信心，有利于帮助学生建立个体意向
场。）
（四）总结提高
1341、 师生共同小结归纳
（1）问题中涉及到售价、进价、商品利润等问题，这些量之间存在
如下的关系：
商品利润＝商品售价－商品进价
商品利润
＝商品的利润率
商品进价
（2）列方程解应用题时，不要死背题型，要学会分析，找出等量关系，
掌握分析的方法。
2、作业：
课本①P98,4
②P104,7
③根据生活经历，自编一道类似的应用题，并加以解答。
六、练习与拓展选题
有些商家为了既能吸引顾客，又能赚钱，往往采取先提价后打折的
办法进行销售，如果某种商品先报价20%，再打八五折，问商家这种做
法实际售价与原售价相比是降低了还是提高了？降低或提高百分之几？
课后反思：_________________________________________________
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3.6.1一元一次方程的数学活动1
一、背景与意义分析
本课是《义务教育课程标准实验教科书》（人教版）数学七年级上册
第二章一元一次方程内容的最后部分之一。
通过前一阶段“再探实际问题与一元一次方程”的学习，学生基本
掌握了销售中的盈亏、用哪种灯节省以及球赛积分表问题。在现实生活
中还会有由于各方面的原因，需要选择解决问题的最佳方案，例如顾客
在购买某种商品时有几种打折的方法，顾客如何选择最佳的优惠方法；
在各种工程的招标中，如何选择最佳的投标方案，用较少的投资取得最
佳的效益等等，这些问题有的可以应用一元一次方程的知识加以解决。
因此，本课既是对前一阶段学习的巩固，又是新的应用和引伸，同时本
课作为“数学活动”，这就为数学拓展了空间，可引导学生到生活中实
际了解有关数学问题，尝试应用数学知识解决问题，从而使学生在学习
中兴趣盎然，获得真知，培养求异思维和创新的精神。
135数学来源于生活，数学教学应走进生活，生活也应走进数学，数学
与生活的结合，便会使问题变得具体、生动，学生就会产生亲近感、探究
欲，从而诱发内在知识潜能，主动动手、动口、动脑。因此，在教学中，我
们应自觉地把生活作为课堂，让数学回归生活，服务生活。
二、学习与导学目标
1、知识积累与疏导：通过现实生活中的例子，体会到方程知识就在
我们的生活中，培养学生应用方程知识解决实际问题的能力。认知率达
到100%。
2、技能掌握与指导：在分析题意的基础上列出有关表达式，知道其
中有关字母的取值范围会产生不同的结果，有助于认识变化的量对数
量关系有影响，也为今后学习函数写下伏笔。利用率100%。
3、智能的提高与训导：通过师生对话，与同学合作，共同探究，提高
自主学习的能力，合作学习的能力，科学探究的能力。互动率达95%。
4、情感修炼与开导：积极创设问题情景，使学生更加关注生活，增
强用数学的意识，激发学生学习数学的热情。投入率达95%。
5、观念确认与引导：数学来源于生活，生活中处处有数学，学习数
学就是为了解决生活中的问题，从而促进学生学习方式的改变。认同率
达95%。
（教学目标的分立表述，有利于教者全面考虑本课教学思路，有
利于课堂教学评估，有利于生成新的教学资源，较好的体现新课程多元
化的目标和价值追求，达到培养学生人文素养的目的，在进行数学活动
时，教者应着眼于教学目标的整体性，但是各教学目标之间是协同和合
为一体的。）
三、障碍与生成关注
学生的生活经验并不是十分丰富的，要引导学生从已有的生活经验
出发，让学生亲身经历将实际问题转化为数学问题。
四、学程与导程活动
（一）创设情景
同学们喜欢上网吗？在网上我们可以聊天、看电影、了解新闻事件、
收发电子邮件……，你知道上网的收费方式吗？你选择哪种上网收费
方式比较合算？
（这是教师设置的教学场景，当学生看到自己所学的知识，与
“现实世界”息息相关时，学习通常会更主动。）
例1：某地上网有两种收费方式，用户可以任选其一：
（A）记时制：2.8元/时
（B）包月制：60元/月
此外，每一种上网方式都加收通信费1.2元/时。
1、如果某用户一个月上网20小时，选用哪种上网方式比较合算？
（教学应以问题为起点，归宿于问题的解决。此处，鲜明地提出问
136题，构建了数学问题场，而问题又是“现实的、有意的、富有挑战性的”，
学生在不知不觉中走进自己的“最近发展区”，愉快地参与问题的探
究，从而激发了学生探究愿望。）
让学生计算后回答。
设用户上网的时间为t小时，则（A）种方式的费用为2.8t+1.2t＝
4t（元）；（B）种方式的费用为60＋1.2t（元）
当t＝20时，4t＝80，,60＋1.2t＝84，因为80＜84，所以选择（A）种
方式比较合算。
2、如果用户有120元用于上网（一个月），选用哪种方式比较合算？
（这是教学问题场与教学情景场的叠加。教者设置了两个层次将
学生步步带入教学状态中。首先是教学问题场，引导学生充分理解题意，
捕捉题意信息，在问题讨论中，充分发挥学生学习主体性和创造性，其
次教学情景场的想象使教学的情感、目标得到落实。）
（二）动手实践
你会解决这个问题吗？不妨试一试。教师巡视后，请两位同学上黑
板板演，教师讲评时，让学生指出每个式子的意义。
如果用户选择（A）方案，则4t＝120，解得t＝30
如果用户选择（B）方案，则60＋1.2t＝120，解得t＝50，因为30＜
50，所以用户选择（B）种方案比较合算。
（通过层层设问和学生动手实践，优化了教学情境场，激发学生
的学习兴趣，并通过小组合作交流，培养学生合作意识和探究意识，在
反复理解体会中将感受内化，逐步建立个体意境场。）
（三）展开讨论
请你为用户设计一个方案，使用户能合理地选择上网方式。
以同桌或前后两桌的同学为一组，讨论交流，然后请代表发言。
150
当两种方式费用相同时，那么4t＝60＋1.2t，解得t＝ ，所以上
7
150 150
网时间t＝ 小时。两种方式一样合算；当上网时间t＜ 小时，选用
7 7
150
（A）种方式比较合算；当上网时间t＞ 小时，选用（B）种方式合算。
7
这里利用方程等知识解决了最佳上网收费方案问题，根据上网时间
的不同，选择经济、合理的方式。
（体现学习方法：传授“授人以渔”并注意培养学生学习——反思
——学习的良好习惯，不断强化个体意境场。）
（四）巩固提高
同学们都有上商店购物的经历，也一定体验到商店搞的促销活动，
下面一起讨论某商店的一次促销活动：
例2：（课本P100活动1）中的⑴、⑵题），一种笔记本售价为2.3
137元/本，如果买100本以上（不含100本），售价为2.2元/本。列式表示
买n本笔记本所需钱数（注意对n的大小要有所考虑）。
请同学们讨论下面问题：
①按照这种售价规定，会不会出现多买比少买反而付钱少的情况？
②如果需要100本笔记本，怎样买能省钱？
学生分组讨论，代表回答，师生共同总结。
1、活动1的意图是让学生在分析题意的基础上列出有关表示式，体
会其中字母n的取值范围会影响用什么式子。
2、讨论题⑴的答案是“会”。这也可以通过具体数为例说明，例如
买101本付222.2元，买100本却付230元。讨论时可启发学生用特例
考虑，这种思维方法很重要。讨论题⑵的答案为付222.2元买101本，
这除能满足需要外还余一本，并且比买100本省钱。现实生活中可能会
发现类似的例子，实际上这种促销规定不十分合理，可以让学生考虑如
何改进促销规定，使它既能促销又较合理。
（通过巩固所学过的知识，进一步让学生感受到生活中处处有数
学，品尝到学习的愉快，增强了学习的信心，有利于帮助学生建立个体
意向场。）
（五）总结拓展
1、师生共同小结归纳
（1）方程是分析和解决问题的一种很有用的数学工具，本课主要利
用一元一次方程解决最优方案的选择等实际问题。
（2）用方程解决实际问题时不仅要注意解方程是否正确，还要检验
方程的解是否符合问题的实际意义。
（通过师生互动，共同总结和自我评估，培养学生归纳、整理、表
达能力，培养良好的学习习惯，进一步强化了个体意向场。）
2、作业：（1）课本P104第7题
（2）根据生活经历，自编一道类似的应用题，并加以解答。
六、练习与拓展选题
某学校需刻录一批电脑光盘，若到电脑公司刻录，每张需8元（包括
空白光盘费）；若学校自刻，除租用刻录机需120元外，每张还需成本4
元（包括空白光盘费）。问刻录这批电脑光盘到电脑公司刻录费用省还
是自刻费用省？请说明理由。
答案：当这批光盘多于30张时，自刻费用省；当这批光盘少于30张
时，到电脑公司刻录费用省。当这批光盘为30张时，到电脑公司刻录与
自刻录费用一样。
课 后 反 思 ：
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1383.6.2一元一次方程数学活动（2）
一、背景与意义分析：
本节的教学活动是一元一次方程的最后一小节，是对现实问题与一
元一次方程的关系有一定的了解的情况下进行的，但活动 2的问题与
前面又有所不同。它的内容选自新闻报道中的统计数据，虽然“增长约
3%”，“增幅提高约1个百分点”这样的说法是常见的。但对于学生们
来说，这些语句还比较生疏，尤其是第二种说法。让学生结合统计报告
中的内容，运用一元一次方程求出某些数据，一方面可以锻炼运用方程
解决实际问题的能力，另一方面让学生感觉到数学与国民经济的发展
密不可分。
二、学习与导学目标：
1、知识积累与疏导：关注新闻报道中隐含的数学问题，体会到数学
无处不在，认知率达100%。
2、技能掌握与指导：在新闻报道中的数学问题里找到等量关系，列
出一元一次方程、感悟到数学的无穷魅力，利用率达100%。
3、智能提高与训导：根据收集的数据编题，并用一元一次方程解它
们，互动率95%。
4、情感修炼与开导：在寻找数据和编题的过程中体会数学活动的
乐趣，提高自己分析、解决问题的能力，投入率95%。
5、观念确认与引导：关注生活、生产中隐含的数学问题→建立数学
模型→运用数学知识自编题目，开拓视野，锻炼自己的能力。
（教学目标的分类表述有利于课堂评估，较好的体现了新课程多
元化的目标和价值追求，但在设计教学活动时各教学目标之间是协同
和合为一体的。）
三、障碍与生成关注：
让学生收集数据，分析其中的等量关系，编成问题，并用方程解它
们，这类活动有较大的开放性，在教学活动中要注意培养学生的创新思
维。
四、学程与导程活动
（一）利用多媒体，引入新课：
用投影仪显示出新闻内容，在显示时适当加点背景音乐。
据2002年初的统计资料报告，2001年我国农民人均收入约2320元，
比上一年增长约3%，增幅提高约1个百分点。
139根据显示内容，你感觉有哪些与我们学过的数学知识有关系？
（多媒体的利用，有利于增强题目的新闻性、社会性。问题的范围
较大，没有具体针对哪两句话，这样可以给学生自由发挥的空间，一定
的背景音乐可以让学生们心情愉快一点。）
（二）合作学习，挖出隐含问题：
大部分学生能够理解“增长约 3%”，但对于“增幅提高约 1 个百
分点”不太理解，给一点时间让他们互相讨论，共同查阅资料，经过讨
论，归纳得出：
2000年我国农民人均收入×（1＋3%）＝2001年我国农民人均收入
增幅提高约1个百分点即：2001年比2000年增长约3%
2000年比1999年增长的百分数比 3%
少1个百分点，即：3%－1%
1999年我国农民人均收入×（1＋2%）＝2000年我国农民人均收入
（学生讨论要把握好，少部分学生可能会不讨论课堂上的问题，
而是玩耍，教师可以在学生中间给予适当的解释，防止学生因讨论不出
来而失去学习的热情。）
（三）根据等量关系，列方程：
试用一元一次方程解决以下问题：
2000年我国农民人均收入约是多少？1999年呢？（精确到1元）
解：设2000年我国农民人均收入x元
（1＋3%）x＝2320
解得：x≈2252
设1999年我国人圴收入y元
［1＋（3%－1%）］y＝2252
y≈2208
答：2000年我国农民人均收入约2252元，1999年约2208元。
（四）收集数据，学会应用
把事先借的报刊、图书拿出来，再收集一些数据，分析其中的等
量关系，编成问题，看看能不能用一元一次方程解决这些问题。
数据1：从1989年至2001年，虽然国有企业的户数减少了，但国有
及国有控股工业企业完成的工业增加值在不断增长，到2001年底已经
升到14652亿元，比上一年增长11.67%，比全国各行业的增加值年均增
长高出2.37个百分点。
你能算出 2000年国有控股工业企业的工业总产值吗？还能算出全
国其它行业的工业产值的增长百分比吗？经调查，2001年全国其它行
业的工业产值是18895亿元，你能计算出2000年的总产值吗？
解：设2000年国有控股工业企业的工业总产值为x亿元
（1＋11.67%）x＝14652
x≈13121
140设2000年全国其它行业的工业总产值为y亿元
［1+（11.67－2.37）%］y＝18895
y≈17287
答：（略）
（学生收集的数据会多种多样，编的题目也会五花八门，课堂上
要多拿出几份学生编的题目在投影仪上显示，尊重学生的劳动，激发学
生的学习热情。）
（五）归纳总结，谈谈体会：
让学生畅所欲言，谈谈收集数据、编题过程中的感受，启发学生之
间要合作学习、主动探究、互相帮助、共同进步。
六、练习与拓展选题：
某商场经销一种商品，由于进货时价格比原来降低了6.4%，使得利
润率增加了8个百分点，求经销这种商品原来的利润率
解：设经销这种商品原来的利润率为x%
商品进价为a元
a（1－6.4%）（1＋x%+8%）=a（1＋x%）
93.6%×（100＋x＋8%）＝（100＋x）%
93.6＋0.936x＋0.936×8＝100＋x
0.064x＝0.088
x＝1.375
答：这种商品原来的利润率为1.375%
（这道题目需要多设一问，把商品进价当作常量，或者不设商品进
价为a元，而把它当作单位1。对学生来讲，这道题的难度可能不在“增
加了8个百分点”上，而是商品的进价没有给出，会让人有一种无从下
手的感觉。教学时考虑因材施教，对基础不好的同学可不作要求。）
识的例子是数不胜数，因此，学好数学，应用数学，我们任重而道
远。
课后反思：—————————————————————————
第四章 形初步的
图 认识
4.1.1 认识几何图形
教学内容
课本第116～120页．
1．知识与技能
（1）能从现实物体中抽象得出几何图形，正确区分立体图形与平面
图形；
（2）能把一些立体图形的问题，转化为平面图形进行研究和处理，
探索平面图形与立体图形之间的关系．
2．过程与方法
（1）经历探索平面图形与立体图形之间的关系，发展空间观念，培
141养提高观察、分析、抽象、概括的能力，培养动手操作能力．
（2）经历问题解决的过程，提高解决问题的能力．
3．情感态度与价值观
（1）积极参与教学活动过程，形成自觉、认真的学习态度，培养敢
于面对学习困难的精神，感受几何图形的美感；
（2）倡导自主学习和小组合作精神，在独立思考的基础上，能从小
组交流中获益，并对学习过程进行正确评价，体会合作学习的重要性．
重、难点与关键
1．重点：从现实物体中抽象出几何图形，把立体图形转化为平面图
形是重点．
2．难点：立体图形与平面图形之间的转化是难点．
3．关键：从现实情境出发，通过动手操作进行实验，结合小组交流
学习是关键．
教具准备
长方体、正方体、球、圆柱、圆锥等几何体模型，墨水瓶包装盒（每
个学生都准备一个），及多媒体教学设备和课本图4．1-5的教学幻灯片．
教学过程
一、引入新课
1．打开电视，播放一个城市的现代化建筑，学生认真观看．
2．提出问题：
在同学们所观看的电视片中，有哪些是我们熟悉的几何图形？
二、新授
1．学生在回顾刚才所看的电视片后，充分发表自己的意见，并通过
小组交流，补充自己的意见，积累小组活动经验．
2．指定一名学生回答问题，并能正确说出这些几何图形的名称．
学生回答：有圆柱、长方体、正方体等等．
教师活动：纠正学生所说几何图形名称中的错误，并出示相应的几
何体模型让学生观察它们的特征．
3．立体图形的概念．
（1）长方体、正方体、球、圆柱、圆锥等都是立体图形．
（2）学生活动：看课本图4．1-3后学生思考：这些物体给我们什么
样的立体图形的形象？（棱柱和棱锥）
（3）用幻灯机放映课本4．1-4的幻灯片（或用教学挂图）．
（4）提出问题：在这个幻灯片中，包含哪些简单的平面图形？
（5）探索解决问题的方法．
①学生进行小组交流，教师对各小组进行指导，通过交流，得出问
题的答案．
②学生回答：包含的平面图形有长方形、圆、正方形、多边形和三角
形等．
4．平面图形的概念．
长方形、正方形、三角形、圆等都是我们十分熟悉的平面图形．
注：对立体图形和平面图形的概念，不要求给出完整的定义，只要
142求学生能够正确区分立体图形和平面图形．
5．立体图形和平面图形的转化．
（1）从不同方向看：出示课本图4．1-7（1）中所示工件模型，让学生
从不同方向看．
（2）提出问题．
从正面看，从左面看，从上面看，你们会得出什么样的平面图形？
能把看到的平面图形画出来吗？
（3）探索解决问题的方法．
①学生活动：让学生从不同方向看工件模型，独立画出得到的各种
平面图形．
②进行小组交流，评价各自获得的结论，得出正确结论．
③指定三名学生，板书画出的图形．
6．思考并动手操作．
（1）学生活动：在小组中独立完成课本第119页的探究课题，然后
进行小组交流，评价．
（2）教师活动：教师对学生完成的探究课题给出适当、正确的评价，
并对学生给予鼓励，激发学生的探索热情．
7．操作试验．
（1）学生活动：让学生把准备好的墨水瓶包装盒裁剪并展开，并在
小组中进行交流，得出一个长方体它的平面展开图具有的一个特征：多
样性．许多立体图形都能展开成平面图形．
（2）学生活动：观察展开图，看看它的展开图由哪些平面图形组成？
再把展开的纸板复原为包装，体会立体图形与平面图形的关系．
三、课堂小结
1．本节课认识了一些常见的立体图形和平面图形．
2．一个立体图形从不同方向看，可以是一个平面图形；可以把立体
图形进行适当的裁剪，把它展开成平面图形，或者把一个平面图形复原
成立体图形，即立体图形与平面图形可以互相转换．
注：小结可采取师生互动的方式进行，由学生归纳，教师进行评价、
补充．
四、作业布置
1．课本第123页至第124页习题4．1第1～6题．
2．选用课时作业设计．
课 后 反 思 ：
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1434.1.2点、线、面、体
【教学目标】
1、通过丰富的实例，学生进一步认识点、线、面、体的几何特征，感受它
们之间的关系。
2、培养学生操作、观察、分析、猜测和概括等能力，同时渗透转化、化归
变换的思想。
3、养成学生积极主动的学习态度和自主学习的方式。
【重点难点】
重点：认识点、线、面、体的几何特征，感受它们之间的关系。
难点：在实际背景中体会点的含义。
【教学准备】圆柱、圆锥、正方体、长方体、球、棱柱、棱锥模型
【教学过程】
一、 创设情境
多媒体演示西湖风光，垂柳、波澜不起的湖面、音乐喷泉、雨天、亭
子……随着镜头的切换，学生在欣赏美丽风景的同时，教师引导学生注
意观察：垂柳像什么？平静的湖面像什么？湖中的小船像什么？随着
音乐起伏的喷泉又像什么？在岸边的亭子中我们寻找到了哪些几何图
形？从中感受生活中的点、线、面、体．
设计意图：从西湖风光引入新课，引导学生观察生活中的美妙画面，
不仅能激发学生的学习兴趣，而且让学生对点、线、面、体有了初步的形
象认识，感知知识来源于生活．如“点”是没有大小的，学生难以真正
理解，可以借助湖中的小船、地图上用点表示城市的位里这些生活实例，
让学生体会到“点”的含义．
二、讨论（动态研究）
课件演示：灿烂的星空，有流星划过天际；汽车雨刷；长方形绕它
的一边快速转动；问：这些图形给我们什么样的印象？
观察、讨论．让学生共同体会“点动成线、线动成面、面动成
体，’．
让学生举出更多的“点动成线、线动成面、面动成体”的例子。
小组合作学习，学生利用学具完成教科书第114页练习（动手转
一转）
设计意图：教师利用多媒体动态演示，让学生主动参与学习活动，
观察感受，经历体验图形的变化过程，通过合作学习，感悟知识的生成、
变化、发展，激发学生的联想与再创造能力。学生自己动手实践操作，加
深学生印象，化解难度。
三、讨论（静态研究）
144教师展示图片（建筑或生活的实物等），让学生找找生活中的平面、
曲面、直线、点等。
让学生找出生活中更多的包含平面、曲面、直线、曲线、点的例子。
四、 探索
1、课本112页观察，并回答它的问题。
引导学生观察后得出结论：面与面相交得到线，线与线相交得到点。
2、113页练习（提供实物，议一议，动手摸一摸），思考以下问题：
这些立体图形是由几个面围成的，它们都是平的吗？圆锥的侧面
与底面相交成几条线，是直线还是曲线？正方体有几个顶点？经过每
个顶点有几条边？
让学生自己体会并小组讨论得出点、线、面、体之间的关系。
五、 作业
1、“当你远远地去观察霓虹灯组成的图案时，图案中的每个霓虹灯
就是一个点；在交通图上，点用来表示每个地方；电视屏幕上的画面
也是由一个个小点组成；运用点可以组成数字和字母，这正是点阵
式打印机的原理．”说
说你对上述这段叙述的理解和体会．
2、阅读教科书第119页的实验与探究，并思考有关问题．
课 后 反 思 ：
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4.2.1 直线、射线、线段（1）
【教学目标】
1、进一步认识直线、射线、线段的联系和区别，逐步掌握它们的表示方
法；
2、结合实例，了解两点确定一条直线的性质，并能初步应用；
3、会画一条线段等于已知线段．
4、能根据语句画出相应的图形，会用语句描述简单的图形．在图形的基
础上发
展数学语言．
5、初步体验图形是有效描述现实世界的重要手段，并能初步应用空间
与图形
的知识解释生活中的现象以及解决简单的实际问题，体会研究几何图
形的意义．
【重点难点】
重点：认识直线、射线、线段的区别与联系．学会正确表示直线、射线、
145线段，逐步使学生懂得几何语句的意义并能建立几何语句与图形之间
的联。
难点：：能够把几何图形与语句表示、符号书写很好的联系起来。
【教学准备】
打好小洞的10cm长，1cm宽的硬纸条和装有揿扣，边长为15cm的正方
形纸板。
二、 创设情境
1、观察教科书121页图3.2一1.
2、学校总务处为解决下雨天学生雨伞的存放问题，决定在每个班
级教室外钉一根2米长的装有挂钩的木条．本校三个年级，每个年级八
个班，问至少需要买几颗钉子？你能帮总务处的师傅算一算吗？
设计意图：创设实际问题情景，引导学生思考，激发学习兴趣。
二、探索实践，自主归纳
（学生按照学习小组，利用打好小洞的10 cm长，1 cm宽的硬纸条
和撒扣进行实践活动）小组之间交流实践成果，相互补充完善，并解决
问题（1）、（2）．得到直线性质：两点确定一条直线．
你画我说
要求学生分别画一条直线、射线、线段，教师给出规范表示方法·
设计意图：学生通过动手实践，观察分析，猜想，合作交流，体验
并感悟到直线的性质．让学生自己归纳性质，在小组交流中完善表述．
（教学中学生用自己的语言描述性质，语言可能不够准确简练、完整细
致，面对这种情况，不必操之过急，要允许学生有一个发展的时间与空
间。）
三、议一议
结合自己所画图形寻找直线、射线、线段的特征，说说它们之
间的区别与联系并交流．思考：怎样由一条线段得到一条射线或一
条直线？
举出生活中一些可以看成直线、射线、线段的例子．
设计意图：在自己动手画好直线、射线和线段的基础上，要求学生
说出它们的区别与联系，目的是使学生进一步认识线段、射线、直线。
六、 我说你画
完成教科书 122页练习。使学生逐步懂得几何语句的意义并能建立几
何语句与图形之间的联系。
七、 数学活动
独立探究：画一条线段等于已知线段a，说说你的想法．小组交流
补充．
教师边说边示范尺规作图并要求学生写好结论．
设计意图：慢慢让学生读清题意并学会按照要求正确画出图形．并
让学生自己说出想法，培养学生独立操作，自主探索的数学实脸学习
146八、 布置作业
1、教科书124页习题3.2第2、3、4题。选做126页习题3.2第10题。
课 后 反 思 ：
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4.2.2直线、射线、线段（2）
【教学目标】
1、结合图形认识线段间的数量关系，学会比较线段的大小；
2、利用丰富的活动情景，让学生体验到两点之间线段最短的性质，并能
初步应用．
3、知道两点之间的距离和线段中点的含义。
【重点难点】
重点：线段大小比较，线段的性质是重点。
难点：线段上点、三等分点、四等分点的表示方法及运用是难点。
【教学准备】
棉线、中国地图等。
【教学过程】
三、 创设情境
1、多媒体演示十字路口：为什么有些人要过马路到对面，但又没走
人行横道呢？
2、讨论第124页思考题：
学生分组讨论：从A地到B地有四条道路，如果要你选择，你走哪条
路？为什么？
在小组活动中，让他们猜一猜，动动手，再说一说．学生交流比较的
方法．
除它们外能否再修一条从A地到B地的最短道路？
为什么？
小组交流后得到结论：两点之间，线段最短．
结合图形提示：此时线段AB的长度就是A、B两点之间的距离．
3、做一做：
测量北京、天津、上海、重庆四个直辖市之间的距离．
（小组合作完成）
设计意图： 人人都有几何直觉．创设问题情景的目的是引导学生
探究发现，让学生感受两点之间线段最短的事实．
“做一做”解决生活中的数学问题，是为了进一步巩固两点之间的
距离的意义，引导学生主动参与学习过程，从中培养学生动手和合作交
流的能力．
二、数学活动
1471、 教师给出任务：比较两位同学的身高。
2、 学生讨论、实践、交流方法，师生总结评价。
设计意图：体会线段比较的意义与方法，培养学生的实践、探究能力，在
发现诸多结论后，注重引导学生归纳、概括。
三、想一想
教师在黑板上任意画两条线段 AB, CD.怎样比较两条线段的长短？
（在学生独立思考和讨论的基础上，请学生把自己的方法进行演示、说
明）
1、用度量的方法比较；
2、放到同一直线上比较．
教师给出表示方法．
九、 试一试
教科书第123页练习
十、 折一折
让学生将一条绳子对折，使绳子的端点重合，说说你的感受．
在一张透明的纸上画一条线段，折叠纸片，使线段的端点重合，折
痕与线段的交点就是线段的中点．
引导学生看第 123页书，你能找到线段的中点吗？三等分点？四
等分点？
画一画．教师给出表示方法．
设计意图：在实际背景中感受中点的含义。
十一、 勇攀高峰
尝试完成教科书125页习题3.2第9题。
十二、 布置作业
1、必做题：
教科书125页习题3.2第5、7、8题．
2、备选题：
(1)数轴上A,B两点所表示的数分别是－5，1，那么线段AB的长是
个单位长度，线段AB的中点所表示的数是
(2)已知线段AC和BC在一条直线上，如果AC =5.6 cm,BC=2.4 cm,
求线段AC和BC的中点之间的距离．
课 后 反 思 ：
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1484.3.1 角的度量（1）
教学内容
课本第137页至第138页．
教学目标
1．知识与技能
（1）在现实情境中，认识角是一种基本的几何图形，理解角的概念，
学会角的表示方法．
（2）认识角的度量单位度、分、秒，会进行简单的换算和角度计算．
2．过程与方法
提高学生的识图能力，学会用运动变化的观点看问题．
3．情感态度与价值观
经历在现实情境中认识角的数学活动过程，感受图形世界的丰富
多彩，增强审美意识，激发学生的求知欲．
重、难点与关键
1．重点：会用不同的方法表示一个角，会进行角度的换算是重点．
2．难点：角的表示、角度的换算是难点．
3．关键：学会观察图形是正确表示一个角的关键．
教具准备
多媒体设备、量角器、时钟、四棱锥．
一、引入新课
1．观察时钟、四棱锥．
2．提出问题：
时钟的时针与分针，棱锥相交的两条棱，都给我们什么样的平面图
形的形象？请把它画出来．
学生活动：进行独立思考、画图，然后观看教师的演示过程．
教师活动：用多媒体演示角的形成过程：一条射线 OA绕端点O旋
转到OB的位置，得到的平面图形──角．
板书：角．
二、新授
1．角的概念．
（1）提出问题：
从上面活动过程中，你能知道角是由什么图形组成的吗？
学生回答：两条射线．
149（2）角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共
端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．（如下图）
2．角的表示．
学生活动：阅读课本第137页有关内容，了解角的表示方法．
教师活动：讲解角的不同表示方法，着重讲解一个顶点有多个角的
表示方法．
请用适当的方法表示下图中的每个角．
学生活动：请一个学生板书练习，其余学生独立练习．
教师活动：巡视学生练习情况，给予评价，对多数同学作出肯定评
价．
学生活动：阅读课本第138页思考题，进行小组交流，获得问题结
论．
教师活动：参与学生交流，并用多媒体演示平角、周角的形成过程，
启发引导学生对问题进行探索，并对学生讨论结果进行评价．
答案：分别形成平角、周角．
3．角的度量．
教师活动：指导学生阅读课本P138页内容，讲解角的度量方法及
度、分、秒的换算．
板书：1周角=_____°，1平角=_____°，1°=____′，1′=____″．
学生活动：思考并完成上面的填空．
例：把一个周角7等分，每一份是多少度的角（精确到分）？
教师讲解计算过程．
三、巩固练习
1．课本第139页练习．
2．计算：（1）48°39′+67°41′；
（2）90°-78°19′40″；
（3）22°30′×8； （4）176°52′÷3．
此：此练习由学生独立完成，在练习过程中充分地进行小组交流以
解决练习过程中的疑难，教师巡视过程中对个别学习困难的学生及时
给以答疑解惑，并请学生板书后再讲评．
3．想一想：时钟在5点15分时，时钟的时针与分针所成的角是多
少度？
师生互动：观察时钟在5点15分时，时针与分针所处位置，教师引
导、启发学生先从时针在分针转动到15分时，分针转过的角度与时针
150转过的角度的关系，并请学生在小组中进行交流，从而得出正确的答案．
答案：76.5°．
四、课堂小结
师生互动，完成本节课的小结：
1．什么是角？组成角的图形是什么？如何表示一个角？
2．本节课还复习了平面、周角？怎样得到这两种角？
3．角的度量单位是什么？它们是如何换算的？
五、作业布置
1．课本第144页习题4．3第1、2、3、4题．
2．选用课时作业设计．
课 后 反 思 ：
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4.3.2角的度量（2）
教学内容
课本第139页．
教学目标
1．知识与技能
会用量角器测一个角的大小，能借助三角板画出 30°，45°，
60°，90° 等特殊角及用量角器画出一个给定度数的角，会用尺规作图
画一个角等于已知角，熟悉并理解画法语言．
2．过程与方法
经历本节课的画一个角等于已知角，测量角的大小数学活动，提高
学生的动手操作能力．
3．情感态度与价值观
经历本节课的数学活动过程，尝试从不同角度寻求解决问题的方
151法，体会不同方法间的差异，能够在测量画图等操作活动过程中发挥主
动作用．
重、难点与关键
1．重点：会用量角器测量角的大小，会用尺规画一个角等于已知角
2．难点：用尺规画一个角等于已知角．
3．关键：引导学生积极参与画图的数学活动过程，才能熟练掌握画
图步骤．
教具准备
一副三角板、量角器、多媒体设备、投影仪．
教学过程
一、引入新课
1．投影一个五角星的图案，请学生观察图形．（如右图）
2．提出问题：
你知道五角星的五个角是多少度吗？你是怎样知道的？
二、新授
学生活动：在小组中交流测量角的大小方法，可借助三角板估计角
的度数，或用量角器量出角的度数．
教师活动：巡视收集学生测量的方法，并请学生说明不同方法得出
的结论有何不同，对学生的活动过程给予积极评价．
结论：每个角均为36°．
1．画一个角等于已知角．
（1）提出问题：
你能用量角器画一个角等于36°吗？能画一个角等于108°吗？
学生活动：两个学生板书演示画图过程，其余同学独立完成．
教师活动：巡视并指导学生画图．
（2）提出问题：
你能用三角板画出30°，45°，60°，90°等特殊角吗？
学生活动：动手画图．
教师活动：指导个别学生画图，评价学生的画图结果．
2．用尺规画一个角等于已知角．
探究：已知∠AOB，画一个角等于这个角．
学生活动：先进行独立思考，阅读课本第139页探究内容，动手画
图，小组交流解决疑难，根据教师的演示，进行自我评价．
教师活动：启发引导学生画图，并巡视指导学生画图，然后板书演
示画图过程（画图过程中指导学生阅读课本中的画法），指导学生进行
自我评价：用量角器量∠A′O′B′与∠AOB，看一看度数是否相等．
三、巩固练习
任意画一个钝角∠AOB，用尺规画一个角等于∠AOB．
152师生互动：教师在黑板上画钝角∠AOB，请一个学生板书画图教师
巡视指导其余学生画图．
请同学们用三角板画出（1）15°；（2）75°；（3）105°；（4）
120°；（5）135°的角．
教师活动：在学生活动过程中，教师对学生进行必要的指导，如
15°看成45° ～30°，用两块三角板画出15°的角．
四、课堂小结
本节课我们通过测量角的度数，复习了角的度量方法，学会了用不
同的工具画角．
提出问题：
请同学们说出你所知道的测量角的大小的仪器．（同学互相补充）
教师活动：打开多媒体播放有关用仪器测量角的活动片子，让学生
认识测量角的仪器．
五、作业布置
1．课本第145页至第146页习题4．3第6、11、14题．
2．选用课时作业设计．
课 后 反 思 ：
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4.3.3角的比较与运算
教学内容
课本第139页至第141页．
教学目标
1．知识与技能
（1）在现实情境中，运用类比的方法，学会比较两个角的大小，丰
富对角的大小关系的认识，会分析图中角的和差关系．
（2）通过动手操作，学会借助三角板拼出不同度数的角，认识角的
平分线及角的等分线，会画角的平分线．
2．过程与方法
进一步培养和提高学生的识图能力和动手操作的能力，认识类比
的数学思想方法．
3．情感态度与价值观
能在动手操作画图、拼图的数学活动过程中发挥积极作用，体验数
153学活动的成功经验，激发学生的学习热情．
重、难点与关键
1．重点：比较角的大小，认识角的大小关系，分析角的和差关系，
认识角平分线及画角平分线是本节课的重点．
2．难点：认识复杂图形中角的和差关系，比较两个角的大小是难点
3．关键：从动手操作过程中，认识角的大小关系，认识角的和差关
系及认识角平分线，也是学好本节课知识的关键．
教具准备
量角器、三角板、圆规、剪刀、透明纸、多媒体设备．
教学过程
一、引入新课 C
教师活动：在黑板上画出一个三角形．（如右图所示）
1．提出问题：比较图中线段AB、BC、CD的长短．
学生活动：回顾线段长短的比较方法．小组交流，得出适当的比较
线段长短的方法． A B
教师活动：归纳学生的讨论结果，并演示用圆规比较AB、BC、CD三
条线段长短的过程，并写出结论：AB>AC>BC．
2．提出问题：
怎样比较图中∠A、∠B、∠C的大小？
学生活动：小组交流比较方法，得出结论：可用量角器先量出角的
度数，然后比较它们的大小．
教师活动：（1）肯定评价学生提出的方法，并动手测量度数，比较
它们的大小，板书结论：∠C>∠B>∠A．（2）启发引导学生，类比线段长
短的比较方法，也可以把它们叠合在一起比较大小．
二、新授
1．提出问题：
如何用叠合的方法比较角的大小？
学生活动：进行小组交流讨论，动手操作：每个学生都在透明纸上
画一个角，然后剪下这个角，并与小组中其它同学所画的角进行比较后
归纳出比较方法和比较结果，然后观看多媒体演示角的比较过程．
教师活动：巡视并指导学生进行角的比较活动过程，打开多媒体演
示角的比较过程：把一个角移到另一个角上，顶点与一条边重合；两个
角的另一边都在重合边的同侧．观察这两边的位置关系，就能得出两个
角的大小关系．
注：讲解过程应强调操作过程，让学生掌握角的比较的操作过程．
完成课本第142页练习．
注：教师在评价学生完成练习的情况时，应对较好的方法给予肯定
的评价，鼓励学生进行探索．
2．认识角的和差．
学生活动：思考课本第140页观察中的问题，小组交流思考的结论．
教师活动：讲解观察中的问题，给出图中各角之间的和差关系．（如
下图）
154∠AOC=∠AOB+∠BOC，
∠AOB=∠AOC-∠BOC．
提出问题：∠AOC-∠AOB=________．
3．动手操作：用三角板拼出特殊角，完成课本第140页探究中的问
题．
学生活动：每个学生都用三角板进行尝试拼出15°、75°的角，并
讲出其中的理由．
提出问题：
利用一副三角板还能拼出多少度的角？
学生活动：小组交流后说出这些角的度数，各小组之间互相补充．
教师活动：评价学生的结论，对学生的答案进行归纳补充．
4．认识角的平分线．
教师活动：在透明纸上画一个角，沿着顶点对折，使角的两边重合．
学生活动：观察老师演示过程，并思考下面问题．（如下图）
提出问题：∠AOC被折痕OB分成的两个角有什么关系？
在图中，射线 OB 把∠AOC 分成相等的两个角，即∠AOB=∠BOC，
∠AOC与∠AOC和∠BOC有什么关系？这个关系怎样用式子来表示？射
线OB叫做什么？
学生活动：阅读课本第140页有关内容，回答上面问题．
教师活动：讲解角平分线定义，板书：角的平分线．
教师活动：指导学生看课本第141页图3．4-5，讲解角的三等分线．
请学生动手完成课本P138探究，加深对角的平分线的认识．
在纸上画一个角，设法画出这个角的平分线．
学生活动：思考并进行小组交流，总结出角平分线的画法并画图．
教师活动：对学生总结出的画法进行评价，并演示画图过程．
（1）借助量角器画图：以已知角顶点为顶点，已知角的一边为边，
在已知线的内部画一个度数等于已知角度数一半的角，则这个角的另
一边就是已知角的平分线．
（2）用折叠方法：把角沿顶点对折，使角的两边重合，沿折痕在角
的内部画一条射线即为已知角的平分线．
三、课堂小结
师生互动，共同总结本节课的学习内容：
1．角的大小比较方法和角的大小关系有哪些？认识了角的哪些运
算．
1552．本节课学习了用三角板拼出哪些角？
3．角平分线的定义是什么？
四、作业布置
1．课本第145页习题4．3复习巩固5，综合运用10，拓广探索15．
2．选用课时作业设计．
课 后 反 思 ：
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4.3.4 余角和补角
教学目标：
1、知识与技能：
⑴、在具体的现实情境中，认识一个角的余角和补角，掌握余角
和补角的性质。
⑵、了解方位角，能确定具体物体的方位。
2、过程与方法：
进一步提高学生的抽象概括能力，发展空间观念和知识运用能力，
学会简单的逻辑推理，并能对问题的结论进行合理的猜想。
3、情感态度与价值观：
体会观察、归纳、推理对数学知识中获取数学猜想和论证的重要作
用，初步数学中推理的严谨性和结论的确定性，能在独立思考和小组交
流中获益。
重、难点及关键：
1、重点：认识角的互余、互补关系及其性质，确定方位是本节课的
重点。
2、难点：通过简单的推理，归纳出余角、补角的性质，并能用规范的
156语言描述性质是难点。
3、关键：了解推理的意义和推理过程是掌握性质的关键。
教学过程：
一、引入新课：
让学生观察意大利著名建筑比萨斜塔。
比萨斜塔建于1173年，工程曾间断了两次很长的时间，历经约二百
年才完工。设计为垂直建造，但是在工程开始后不久便由于地基不均匀
和土层松软而倾斜。
二、新课讲解：
1、探究互为余角的定义：
如果两个角的和是90°(直角)，那么这两个角叫做互为余角，其中
一个角是另一个角的余角。即:∠1是∠2的余角或∠2是∠1的余角。
2、练习⑴：
图中给出的各角，那些互为余角？
25
10
44
3、探究
65
互
为补角的定义：
46 80
如果两个角的和是180°(平角)，那么这两个角叫做互为补角，其
中一个角是另一个角的补角。即:∠3是∠4的补角或∠4是∠3的补角。
4、练习⑵：
（1）图中给出的各角，那些互为补角？
30 80
10 60
（2）填下列表：
100 120 ∠a的余15角0 ∠a的补角
∠a 170
5°
32°
45°
77°
62°23′
x°
结论：同一个锐角的补角比它的余角大90°。
（3）填空：
①70°的余角是 ，补角是 。
157②∠a（∠a <90°）的它的余角是 ，它的补角是
。
重要提醒：ⅰ(如何表示一个角的余角和补角)
锐角∠a的余角是（90 °—∠ a ）
∠a的补角是（180 °—∠ a ）
ⅱ互余和互补是两个角的数量关系，与它们的位置无关。
5、讲解例题：
例1:若一个角的补角等于它的余角4倍，求这个角的度数。
解： 设这个角是 x °，则它的补角是（ 180°－x°）,余角是
(90°－x°) 。
根据题意得：
（180－x°）= 4 (90－x°)
解之得： x =60
答：这个角的度数是60 °。
6、练习⑶：
一个角的补角是它的3倍,这个角是多少度?
7、探究补角的性质：
如图∠1 与∠2互补，∠３ 与∠４互补 ，如果∠1＝∠３,那么∠2
与∠４相等吗？为什么？
教师活动：操作多媒体演示。
2 4
1
学生活动：观察图形的运动，得出结果：∠2=3∠４
补角性质：同角或等角的补角相等
教师活动：向学生说明，以上从观察图形得到的结论，还可以从理
论上说明其理由。
∵ ∠1 +∠2=180°， ∠3 +∠4=180°
∴ ∠2=180°－∠1 ， ∠4=180°－ ∠3
∵ ∠1 =∠3
∴ 180°－∠1 =180°－ ∠3
即：∠2 =∠4
8、探究余角的性质：
如图∠1 与∠2互余，∠３ 与∠４互余 ，如果∠1＝∠３，那么∠2
与∠４相等吗？为什么？
3
1
4
教师活动：2操作多媒体演示。
学生活动：观察图形的运动，得出结果：∠2=∠４
158余角性质：同角或等角的余角相等
教师活动：向学生说明，以上从观察图形得到的结论，还可以从理
论上说明其理由。
∵ ∠1 +∠2=90°， ∠3 +∠4=90°
∴ ∠2=90°－∠1 ， ∠4=90°－ ∠3
∵ ∠1 =∠3
∴ 90°－∠1 =90°－ ∠3
即：∠2 =∠4
D A
9、讲解例题：
例2：如图,∠AOB=90°,∠COD=∠EOD=90°,C,O,BE在一条直线上,
且∠2=∠4,请说出∠1与∠3之间的关系？并试着说明理由？
3
2
4 1 C
解:∠1=∠3
E O
∵ ∠1+∠2= ∠COD=90°
∠3+∠2= ∠AOB=90°
∴ ∠1=∠3 (等角的余角相等)
10、练习⑷： A
D
如图∠AOB = 90 °,∠COD = 90 °则∠1与∠2是什么关系？
11、讲解方位角：
1
（1）认识方位： 北
西北 东北 O 2 C
正东、正南、正西、正北、东南、
西南、西北、东北。
西 东 B
（2）找方位角：
ⅰ乙地对甲地的方位角 ⅱ甲地对乙地的方位角
东南
西南
12、讲解例题：
南
例3:选择题：
(1)A看B的方向是北偏东21°，那么B看A的方向（ ）
A:南偏东69° B:南偏西69° C:南偏东21° D:南偏
西21°
北
(2)如图，下列说法中错误的是（ ）
A: OC的方向是北偏东60°
B: OC的方向是南偏东60° 68 60
C: OB的方向是西南方向 西 45 O 30 东
D: OA的方向是北偏西22°
(3)在点O 北偏西60°的某处有一点A，在点O南偏西20°的某处
有一点B，则∠AOB的度数是（ ） 南
A:100° B:70° C:180° D:140°
例4:如图.货轮 O在航行过程中,发现灯塔 A在它南偏东 60°的方
向上,同时,在它北偏东 40°,南偏西 10°,西北(即北偏西 45°)方向
上又分别发现了客轮 B,货轮C和海岛D.仿照表示灯塔方位的方法画出
表示客轮B,货轮C和海岛D方向的射线.
北
159
西 东
O
60 A
南三、课堂小结：
1、本节课学习了余角和补角，并通过简单的推理，得到出了余角和
补角的性质。
2、了解方位角，学会了确定物体运动的方向。
四、课外作业：
1、课本第114页：9、11、12题。
2、学习指要第78-79页：训练二和训练三。
课 后 反 思 ：
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4.4.1 设计制作长方体形状的包装纸盒（一）
教学任务分析
知识技
利用立体图形的平面展开图制作包装纸盒．
能
教
数学思 通过问题的解决使学生进一步理解立体图形和相
学
考 应平面图形之间的转化关系．
目
解决问 通过包装纸盒的制作，使学生掌握制作长方体纸盒
标
题 的一般方法，能够独立制作出相关的包装盒．
情感态 在解决问题的过程中，使学生提高对合作意识的认
度 识，培养合作精神．
重
如何把立体图形转化为平面图形，制作包装纸盒．
点
160难
如何把立体图形转化为平面图形．
点
教学流程安排
活动流程图 活动内容和目的
出问题、明确任务 指明活动的主要内容．
提出活动步骤、分组活 在活动的过程，培养学生的合作意识与
动． 合作能力，以及动手能力．
小结与作业 归纳总结、巩固新知．
教学过程设计
一、提出问题，指明活动的主要内容
活动名称：设计制作长方体形状的纸盒．
方法：观察、讨论、动手制作．
材料：厚（硬）纸板、直尺、裁纸刀、剪刀、胶水、彩笔等．
准备：收集一些长方体形状的包装盒，如墨水瓶盒、粉笔盒、饼干盒、
牛奶包装盒、牙膏盒等．
二、提出活动步骤、分组活动
活动步骤：
1．观察、讨论
以5～6人为一组，各组确定所要设计制作的包装盒的类别，明确
分工．
（1）观察作为参考物的包装盒，分析其各面、各棱的大小与位置关
系．
（2）拆开盒子，把它铺平，得到表面展开图；观察它的形状，找出对
应长方体各面的相应部分；度量各部分的尺寸，找出其中的相等关系．
（3）把表面展开图复原为包装盒，观察它是如何折叠并粘到一起的．
（4）多拆、装几个包装盒，注意它们的共同特征．
（5）经过讨论，确定本组的设计方案．
2．设计制作
（1）先在一张软纸上画出包装盒表面展开图的草图，简单设计一下，
161裁纸、折叠，观察效果．如果发生问题，调整原来的设计，知道达到满意
的初步设计．
（2）在硬纸板上，按照初步设计，画好包装盒的表面展开图，注意要
预留出粘合处，并要减去适当的棱角．在表面展开图上进行图案与文字
的美术设计．
（3）裁下表面展开图、折叠并粘好粘合处，得到长方体包装盒
3．交流、比较
各组展示本组的作品，并介绍设计思想和制作过程．
讨论本组的作品，重点探究以下问题：
（1）制成的包装盒是否是长方体？若不是，是哪个地方出项了问题？
如何改正？
（2）从使用性上看，包装盒形状、尺寸是否合理？用料是否节省？
是否需要改进？
（3）包装盒的外观设计是否美观？
（4）对平面图形与立体图形的联系有哪些新认识？
4．评价、小结
评价各组的活动情况，小结活动的主要收获．
三、小结与作业
小结：制作立体图形――先转化为平面图形（平面展开图），再转化
为立体图形（折叠）．
作业：
（1）自己设计制作一个正六棱柱形状（底面是6条边相等、6个角都
相等的六边形，6个侧面都是长方形）的包装盒；
（2）自己设计制作一个圆柱形的包装纸盒．
课 后 反 思 ：
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4.4.2设计制作长方形状的包装纸盒（二）
[教学目标]
1．通过对长方体和它的表面的探索，进一步了解直线与直线的平行、相
162交、异面的关系，以及直线与平面、平面与平面的平行、垂直的关系。
2．会设计制作长方体纸盒，并对纸盒进行美术设计。
此外，培养学生观察、实验、分析、判断、归纳和概括的能力，空间想象
力、综合应用知识的能力和语言表达能力、审美能力，渗透空间图形和
平面图形之间的相互联系。相互转化的数学思想，培养学生的实践意识、
创新精神和团队合作的精神，发展学生的个性品质和特长。
[引导性材料]
按“同质”的原则将学生分成若干个小组（分8～10组），每组准
备一只长21厘米、宽14厘米、高7厘米的长方体白纸板盒，一只墨水
瓶，另配有白纸一块，剪纸刀、剪子、胶水、刻度尺、铅笔和彩笔各一支。
（教师应对学生合理、有效地分组，尽可能做到组间同质、组内异质。
“同质”，就可以保证各组实践操作所花的时间大体一致，也便于各小
组之间进行公平的比较和竞争；“异质”，即组内成员的差异性，有利
于每个成员发挥其个性和特长，有效地展开互助与合作。）
（另外，为了便于学生直观地探索和研究立体图形和平面图形的关
系，顺利地设计制作墨水瓶的包装盒。教师要预先制作几个长方体纸板
盒。制作时，盒子尽量要做大一点，便于学生观察；面与面之间的连接处
都要用胶带封好，不留下制作的痕迹，使各棱在外观上保持一致，学生
沿棱将纸盒剪开时，可随机地得到不同的平面展开图，以有利于发展学
生的求异思维。）
教师在讲台上展示出粉笔盒、玻璃杯、药品、营养品等各种各样的
产品包装盒，问：这些包装盒的形状有什么共同的特点呢？从而提出本
节课的主题：长方体和它的表面。
[知识产生和发展过程的教学设计]
问题1－1：长方体是一个立体图形，它是由几个面、多少条棱、多
少个顶点组成的呢？
问题1－2：长方体的 6个面是平面图形还是立体图形？是什么形
状？长方体中相对的两个面有什么特殊的位置关系？（互相平行）这两
个面的形状有什么关系？（相同）。它们的面积呢？（相等）长方体中相
邻的两个面有什么特殊的位置关系呢？（互相垂直）
问题1－3：长方体的棱共有12条，同一方向的棱的大小和位置有
什么特殊的关系呢？（同一方向的棱互相平行，且长度相等）不同方向
的棱呢？（不同方向的校互相垂直或异面，长度不一定相等）。
（学生回答时有可能答不全，教师要根据情况分位置关系和大小两
方面引导学生去观察、比较、思考；另一方面，教师可要求学生根据学过
的定义，找出平行、垂直、异面的棱，找出互相平行、互相垂直的棱与面、
面与面。）w-w-w.12999.-co-m
问题2－1：现在请将每一组的纸制长方体沿棱剪开，展开成一个完
整的平面展开图，需要剪开多少条棱？（由组长负责，人人参与，分工明
确，团结合作，强调用剪刀和剪纸刀时要注意安全，尽量保持卫生。）
（剪开长方体纸盒，得到平面展开图，应剪开七条棱）问题2－－2：
163如图2．8—1所示，将其沿棱剪开，所得的平面展开图是什么样的？由各
小组长到讲台前分别展示所得的图形。（共有如图2．8－2～图2．8－7
所示的六种图形）
图2．8－1
图2．8－2 图2．8－3
图2．8－ 4 图2．8－5
164图2．8－6 图2．8－7
（由于每组学生剪开的棱不同，会得到不同的平面展开图形，教师要对
学生的创新活动给予充分的肯定，即使不能全部展示六种情况也没关
系，教师可以继续让学生探索，直到展示出六种情况为止。）
问题2－3：你能试着从六个平面展开图中发现它们的共同特点吗？（它
是由长方体的表面所组成的。六个表面在同一平面内；边与边之间互相
平行或垂直；原来相对的面成为相隔的面；长方体的长、宽、高成了其平
面展开图中的每个长方形的长和宽。）
（学生可能不能完全讨论出结果，教师可在启发之后，给予完整的结
论。）
问题3－1：按刚才长方体的平面展开图的大小，在白纸板上制作出平面
图，并折成长方体。
（培养学生观察实验能力，在动手制作的过程中一方面复习知识，另一
方面加强组员之间的团结协作精神，发展学生的个性品质和特长。）
问题3－2：设计出与教科书中长城牌墨水瓶不同的图案，不仅可用彩笔
在盒上画出包装盒表面的产品广告设计，而且可以用电脑进行创意。图
案以朴实大方设计合理为主。
（培养学生的审美能力，设计制作包装盒也不是件容易的事，一次不行
可重来。当个人想法与大家想法不一致时，可保留自己的想法，个人服
从集体，发挥团结合作的精神。）
问题4－1：如图2．8－8所示，长方体顶点A处有一只小蚂蚁，沿长方体
表面爬行到B处，小蚂蚁非常聪明，它总是能按照最短的路线爬行，你
能找到这条最短的路线吗？为什么？
问题4－2：设计出与如果是从顶点A沿表面转一圈爬到顶点A′，最短
的路线是什么呢？
165图2．8－8
（这两个问题可根据实际情况，有选择地提出。解决这两个问题的关键
在于将长方体这个立体图形展开成平面展开图，将立体问题转化为平
面问题解决，渗透了空间图形和平面图形之间相互联系、相互转化的数
学思想。）
［练习］
课本第94页练习第1、2题。
［小结］
这节课，从研究长方体出发，先把长方体展开成平面图形，再学习制作
长方体纸盒。在这样的实践活动中，我们可以体会到：用数学的眼光观
察事物，常常能引起“探究”问题的兴趣；研究解决问题之前，要设计
方案，并尽量考虑周全；在解决问题过程中，又要根据需要调整原来的
方案；问题得到解决以后，要总结经验，相互交流。同时，在这样的过程
中，大家要学会互相帮助，团结协作，还要发挥自己的聪明才智和创造
能力。通过这节课的学习，大家一定会感到学好数学是有用的，学习数
学就要会用数学知识解决实践中的问题。
课 后 反 思 ：
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166第四章《图形初步认识》复习（一）
教学目标
知识与技能
1．使学生理解本章的知识结构，并通过本章的知识结构掌握本章
全部知识；
2．对线段、射线、直线、角的概念及它们之间的关系有进一步
的认识；
过程与方法
经历相关内容的归纳、总结，巩固对图形的直观认识，了解图形的
分割和组合，探索学习空间与图形的方法
情感、态度、价值观
在探索知识之间的相互联系及应用的过程中，体验推理的意
义,获取学习的经验
教学重难点
重点是理解本章的知识结构，掌握本章的全部定理和公理；
难点是理解本章的数学思想方法．
教学过程
一、引导学生画出本章的知识结构框图
167二、具体知识点梳理
（一）多姿多彩的图形
立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等.
1、几何图形
平面图形：三角形、四边形、圆等.
主（正）视图---------从正面看
2、几何体的三视图 侧（左、右）视图-----从左（右）边看
俯视图---------------从上面看
（1）会判断简单物体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图.
（2）能根据三视图描述基本几何体或实物原型.
3、立体图形的平面展开图
（1）同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平现图形不一样的.
（2）了解直棱柱、圆柱、圆锥、的平面展开图，能根据展开图判断和
制作立体模型.
4、点、线、面、体
（1）几何图形的组成
点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形.
线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线.
面：包围着体的是面，分为平面和曲面.
体：几何体也简称体.
（2）点动成线，线动成面，面动成体.
（二）直线、射线、线段
1、基本概念
直线 射线 线段
图形
端点
无 一个 两个
个数
直线a 线段a
表示
直 线 射线AB 线 段 AB
法
AB（BA） （BA）
作 直
作线段a
作法 线AB；
作射线AB 作线段AB
叙述 作 直
连接AB
线a
延长 不 能 反向延长 延长线段
叙述 延长 射线AB AB；
168反向延长
线段BA
2、直线的性质
经过两点有一条直线，并且只有一条直线.
简单地：两点确定一条直线.
3、画一条线段等于已知线段
（1）度量法 （2）用尺规作图法
4、线段的大小比较方法
（1）度量法 （2）叠合法
5、线段的中点（二等分点）、三等分点、四等分点等
定义：把一条线段平均分成两条相等线段的点.
图形：
A M B
1
符号：若点M是线段AB的中点，则AM=BM= AB，AB=2AM=2BM.
2
6、线段的性质
两点的所有连线中，线段最短.简称：两点之间，线段最短.
7、两点的距离
连接两点的线段长度叫做两点的距离.
8、点与直线的位置关系
（1）点在直线上 （2）点在直线外.
（三）角
1、角：由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角.
2、角的表示法（四种）：
3、角的度量单位及换算
4、角的分类
5、角的比较方法
（1）度量法 （2）叠合法
6、角的和、差、倍、分及其近似值
7、画一个角等于已知角
（1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画
出11个角.
（2）借助量角器能画出给定度数的角.
169（3）用尺规作图法.
8、角的平线线
定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫
做角的平分线.
图形： 符号：
9、互余、互补
（1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余
角，∠2是∠1的余角.
（2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补
角，∠2是∠1的补角.
（3）余（补）角的性质：等角的补（余）角相等.
10、方向角
（1）正方向
（2）北（南）偏东（西）方向
（3）东（西）北（南）方向
四、练习
1、下列说法中正确的是（ ）
A、延长射线OP B、延长直线CD C、延长线段CD D、反向延
长直线CD
2、下面是我们制作的正方体的展开图，每个平面内都标注了字母，
请根据要求回答问题：
（1）和A面所对的会是哪一面？
（2）和B面所对的会是哪一面？
（3）面E会和哪些面相交？
3、 两条直线相交有几个交点？
三条直线两两相交有几个交点？
四条直线两两相交有几个交点？
思考:n条直线两两相交有几个交点？
4、 已知平面内有四个点A、B、C、D，过其中任意两点画直线，最少可
170画多少条直线，
最多可画多少条直线？画出图来．
5、已知点C是线段AB的中点，点D是线段BC的中点，CD=2．5厘米，请
你求出线段AB、AC、AD、BD的长各为多
少？
6、已知线段AB=4厘米，延长AB到C，使B C=2AB，取AC的中点P，求PB
的长．
五、作业设计
课本第152~153页复习题4第1~6题
171第四章《图形初步认识》复习（二）
教学目标
知识与技能
应用本章知识解决一些实际问题
过程与方法
通过实验、操作，提高对图形的认识能力，探索学习空间与图形的
方法
情感、态度、价值观
在解决一些实际问题的过程中，体验推理的意义,获取学习的经验。
教学重难点
重点是理解本章的知识结构，掌握本章的全部定理和公理；
难点是理解本章的数学思想方法．
教学过程
一、例题讲解
例1如图1-1，正方体盒子中，一只蚂蚁从B点沿正方体的表面爬到
D点，画出蚂蚁爬行的最短线路
1
图1
图3
图2
.
分析：正方体是空间图形，解决空间图形的问题，经常是将空间
图形转化为平面图形，这正是转化思想的体现.
解：将正方体展开成平面图形，如图1-2所示，因为两点之间线段最
短，所以，在图1-2中，BD 就是所要求的最短线路.
1
例2一个角的补角是它的3倍，这个角是多少？
分析：设这个角的度数为x，则它的补角为180－x，根据题意，可列
出一元一次方程来求解.
解：设这个角的度数为 x，则有 180－x＝3x.解这个方程，得 x＝
45°.所以这个角是45°.
例3如图2，点O是直线A上的一点，OD是∠AOC的平分线，OE是
∠COB 的平分线，
求∠DOE的度数.
分析：在解决线段的中点和角的平分线问题
时，某个环节整体处理，能化难为易，轻松求解.
分别求出∠DOC、∠EOC的度数，再相加得到
∠DOE的度数，是不可能的，可将∠DOE作为一个
172整体来考虑.
解：因为OD是∠AOC的平分线，OE是∠COB的平分线，
1 1
所以∠COD＝ ∠COA，∠COE＝ ∠COB，
2 2
而∠COA＋∠COB＝180°，
1 1
所以∠DOE＝ （∠COA＋∠COB）＝ ×180°＝90°.
2 2
例4 如图3-173所示，回答下列问题。
图3-173
（1）图中有几条直线？用字母表示出来；
（2）图中有几条射线？用字母表示出来；
（3）图中有几条线段？用字母表示出来。
解：（1）图中有1条直线，表示为直线AD（或直线AB，AC，BD，BC，
CD）；
（2）共有8条射线，能用字母表示的有射线AB，AC，AD，BC，BD，CD，
不能用字母表示的有2条，
二、课堂练习
１. 已知平面内有四个点 A、B、C、D，过其中任意两点画直线，最
少可画多少条直线，最多可画多少条直线？画出图来并说明理由．
２．已知点C是线段AB的中点，点D是线段BC的中点，CD=2．5厘
米，请你求出线段AB、AC、AD、BD的长各为多少？
3．已知线段AB=4厘米，延长AB到C，使B C=2AB，取AC的中点P，
求PB的长．
4．计算下列各题:
（1）23°30′＝____°;13．6°＝____°____′；
（2）52°45′－32°46′＝____°____′；
（3）18．3°+26°34′＝____°____′．
5．由图形填空 :
∠AOC＝______+______ ；
∠AOC－∠AOB ＝_________ ；
∠COD＝ ∠AOD－_______ ；
∠BOC＝ _____－ ∠COD ；
∠AOB+∠COD＝_____－______．
173第5题 第6题
6．如图，A、B、C在一直线上，已知１＝53°,2＝37°．CD与CE
垂直吗？
三、课堂小结
根据复习练习情况小结
四、作业设计
课本第153~154页复习题4第7~12题
174
