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4.3《角》
精选练习
基础篇
一、单选题
1．下列角度换算错误的是（ ）
A．10.6°＝10°36″ B．900″＝0.25°
C．1.5°＝90′ D．54°16′12″＝54.27°
【答案】A
【分析】根据度、分、秒之间的换算关系求解．
【详解】解：A、10.6°＝10°36'，错误；
B、900″＝0.25°，正确；
C、1.5°＝90′，正确；
D、54°16′12″＝54.27°，正确；
故选：A．
【点睛】本题考查了度、分、秒之间的换算关系： ， ，难度较小．
2．（2021·河南·嵩县教育局基础教育教学研究室七年级期末）如图，用量角器度量 ，可以读出
的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据量角器的使用方法结合图形解答即可．
【详解】解：∵OA指向O刻度，OB指向120°
∴由图形所示，∠AOB的度数为120°，
故选：C．
【点睛】本题涉及角的度量问题，熟练掌握量角器的使用是关键．
3．（2021·广西玉林·七年级期末）轮船航行到 处观测小岛 的方向是北偏西48°，那么从 同时观测轮船的方向是（ ）
A．南偏东48° B．东偏北48° C．南偏东42° D．东偏北42°
【答案】A
【分析】直接利用方向角的定义结合已知得出答案．
【详解】解：轮船航行到C处观测小岛A的方向是北偏西48°，那么从A同时观测轮船在C处的方向
是南偏东48°，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了方向角，解答此类题需要从运动的角度，正确画出方位角，找准中心是做这
类题的关键．
4．（2022·河北保定·七年级期中）如图，点A，O，B在一条直线上，OE⊥AB于点O，如果∠1与∠2
互余，那么图中相等的角有（ ）
A．5对 B．4对 C．3对 D．2对
【答案】A
【分析】根据互为余角的两个角的和等于90°和等角的余角相等解答．
【详解】解：∵OE⊥AB，
∴∠AOE=∠BOE=90°，
∴∠AOC+∠2=90°，∠1+∠BOD=90°，
∵∠1与∠2互余，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠AOC，∠2=∠BOD，
∠AOE=∠COD，
∠BOE=∠COD，
∴图中相等的角有5对．
故选：A．
【点睛】本题考查了余角的定义和性质，熟记概念并准确识图是解题的关键，属中考常考题．
5．下列说法：（1）两条射线组成的图形叫做角；（2）角的两边是两条线段；（3）平角的两边组成
一条直线；（4）周角就是一条射线．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据角的定义，平角，周角的定义，逐项分析即可，具有公共端点的两条射线组成的图形叫
做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边．一条射线绕它的端点旋转，当始边
和终边在同一条直线上，方向相反时，所构成的角叫平角；平角等于180°，是角的两边成一条直线时
所成的角；周角，即一条射线绕着它的端点旋转一周所形成的角，周角等于360°，是角的一边绕着顶
点旋转一周与另一边重合时所形成的角．
【详解】（1）具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故（1）不正确；
（2）角的两边是两条射线，故（2）不正确；
（3）平角的两边组成一条直线，故（3）正确；
（4）周角是一条射线绕着它的端点旋转一周所形成的角，故（4）不正确，
故正确的有（3）共1个．
故选A．
【点睛】本题考查了角的定义，平角与周角的定义，理解定义是解题的关键．
6．如图所示，∠1＝28°，∠AOC＝90°，点B，O，D在同一直线上，则∠2的度数为（ ）
A．128° B．118° C．108° D．152°
【答案】B
【分析】由图可得，∠1与∠BOC互余，可求∠BOC，又因为∠2与∠COB互补，即可求出∠2的度数．【详解】解：∵∠1=28°，∠AOC=90°，
∴∠BOC=62°，
∵∠2+∠BOC=180°，
∴∠2=118°．
故选：B．
【点睛】此题考查了余角和补角的知识，属于基础题，关键是识别图中的余角和补角．
二、填空题
7．（2022·山东菏泽·七年级期中）一个角为57°13′、则它的补角等于________．
【答案】122°47′
【分析】根据互为补角的两个角的和等于180°列式计算即可得解．
【详解】解：∵一个角是57°13′，
∴它的补角=180°-57°13′=122°47′，
故答案为：122°47′．
【点睛】本题考查了余角和补角，熟记补角的定义是解题的关键，计算时要注意度分秒是60进制．
8．如图，用三个大写字母表示 为________； 为________； 为________．
【答案】
【分析】根据角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字
母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角．
【详解】解：用三个大写字母表示∠1为 ；∠2为 ；∠3为 ；
故答案为： ； ； ．
【点睛】此题主要考查了角的概念，关键是掌握角的表示方法．
9．（2021·吉林吉林·七年级期末）如图，将两块三角板的直角顶点重合后叠放在一起，若∠1＝40°，
则∠2＝_____°．
【答案】【分析】根据图形可得等角的余角相等，进而即可求得 ．
【详解】解：如图，
∵将两块三角板的直角顶点重合后叠放在一起，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了同角的余角相等，读懂图形是解题的关键．
10．（2020·江西南昌·七年级期末）如图，直线 ∥ ， ，如果 ，那么 _______度．
【答案】42．
【详解】
∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，即∠1+∠3=90°，
∵∠1=48°，∴∠3=42°，
∵a∥b，∴∠2=∠3=42°.
故答案为42.
点睛：本题关键利用平行线的性质解题.
11．已知，直线AB和直线CD交于点O，∠BOD是它的邻补角的3倍，则直线AB与直线CD的夹角
是________度.
【答案】45
【分析】根据邻补角的定义列式，求解即可得出结果．【详解】解：由题意得：∠BOD=3（180°－∠BOD），
解得：∠BOD=135°．
则180°－135°=45°．
故答案为：45．
【点睛】此题考查了邻补角的定义，熟练掌握邻补角的定义是解题的关键．
12．（2022·江西·南昌市第二十七中学七年级期末）如图， ， ，在
∠AOB内画一条射线OP得到的图中有 对互余的角，其中 ，且满足 ，则
_______．
【答案】3或4或6
【分析】分三种情况下：①∠AOP＝35°，②∠AOP＝20°，③0＜x＜50中的其余角，根据互余的定义
找出图中互余的角即可求解．
【详解】①∠AOP＝ ∠AOB =35°时，∠BOP=35°
∴互余的角有∠AOP与∠COP，∠BOP与∠COP，∠AOB与∠COB，∠COD与∠COB，一共4对；
②∠AOP＝90°-∠AOB =20°时，
∴互余的角有∠AOP与∠COP，∠AOP与∠AOB，∠AOP与∠COD，∠COD与∠COB，∠AOB与
∠COB，∠COP与∠COB，一共6对；
③0＜x＜50中35°与20°的其余角，互余的角有∠AOP与∠COP，∠AOB与∠COB，∠COD与
∠COB，一共3对．
则m＝3或4或6．
故答案为：3或4或6．
【点睛】本题考查了余角和补角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中
一个角是另一个角的余角．
三、解答题
13．分别用三种形式表示下图中的角：【答案】∠ABC，∠1，∠B；∠MON，∠α，∠O；∠AOB，∠2，∠O
【分析】根据角的三种表示方法写出即可．
【详解】解：图1中的角可以表示为：∠ABC，∠1，∠B；
图2中的角可以表示为：∠MON，∠α，∠O；
图3中的角可以表示为：∠AOB，∠2，∠O．
【点睛】此题考查的是角的表示，掌握角的三种表示方法是解决此题的关键．
14．（2022·宁夏石嘴山·七年级期末）如图，A、O、B三点共线， 是直角， ，
，求 的度数．
【答案】
【分析】根据 是直角，求得 ，从而求得 ，即可求解．
【详解】解： 是直角，
所以，
由图形可得：
又因为
所以
又因为A、O、B三点共线，所以
所以，
答： 的度数为
【点睛】此题考查了几何图形中角的计算，涉及了直角、平角的性质，熟练掌握相关基本性质是解题
的关键．
15．（2022·天津南开·七年级期末）已知一个角的余角比这个角的补角的一半还小 ，求这个角的度
数．
【答案】24°
【分析】设这个角的度数为x度，则余角是（90-x）度，补角是（180-x）度，根据个角的余角比这个角的补角的一半还少12°即可列方程求解．
【详解】解：设这个角的度数为x度，根据题意，得：
90-x= （180-x）-12，
解得 x=24．
∴这个角的度数为24°．
【点睛】此题综合考查余角与补角，解答此类题一般先用未知数表示所求角的度数，再根据一个角的
余角和补角列出代数式和方程求解．
16．如图（1），货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东 的方向上，同时，在它北偏东 、
南偏西 ､西北（即北偏西 ）方向上又分别发现了客轮B､货轮C和海岛D．仿照表示灯塔方位的
方法，画出表示客轮B、货轮C和海岛D方向的射线．请你在图（2）上画出表示货轮C和海岛D方向
的射线．
【答案】见解析．
【分析】根据方向角的定义逐一画图，以点O为顶点，表示正北方向的射线为角的一边，向右画 的
角，射线 的方向就是北偏东 ，即客轮B所在的方向；以点O为顶点，表示正南方向的射线为角
的一边，向左画10°的角，射线OC就是南偏西 ，即货轮C所在的方向；以点O为顶点，表示正北
方向的射线为角的一边，向左画 的角，射线OD就是西北（即北偏西 ）方向，即海岛D所在的
方向．
【详解】解：如图，射线 的方向就是北偏东 ，即客轮B所在的方向；
射线OC就是南偏西 ，即货轮C所在的方向；
射线OD就是西北（即北偏西 ）方向，即海岛D所在的方向．【点睛】本题考查作图—应用与设计作图、方向角等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
17．（2021·四川自贡·七年级期末）已知一个角的余角比它的补角的 还多 ，求这个角．
【答案】这个角是40°．
【分析】设这个角为x，则它的余角为（90°-x），补角为（180°-x），再根据题中给出的等量关系列方
程即可求解．
【详解】设这个角的度数为x，则它的余角为（90°-x），补角为（180°-x），
依题意，得： ，
解得 40 ．
答：这个角是40°．
【点睛】本题主要考查了余角、补角的定义以及一元一次方程的应用．解题的关键是能准确地从题中
找出各个量之间的数量关系，列出方程，从而计算出结果．互为余角的两角的和为90°，互为补角的两
角的和为180°．
18．（2022·陕西宝鸡·七年级期中）点 在直线 上， 为射线， ．
（1）如图（1），求 的度数；（2）如图（2），点 在直线 上方， 与 互余， 平分 ，求 的度数．
【答案】（1）144°；（2）99°
【分析】（1）设∠BOC=α，则∠AOC=4α，根据已知条件列方程即可得到结论；
（2）由余角的定义得到∠AOD=90°-∠BOC=90°-36°=54°，根据角平分线的定义得到∠DOE，从而算出
∠AOE．
【详解】解：（1）设∠BOC=α，则∠AOC=4α，
∵∠BOC+∠AOC=180°，
∴α+4α=180°，
∴α=36°，
∴∠AOC=144°；
（2）∵∠AOD与∠BOC互余，
∴∠AOD=90°-∠BOC=90°-36°=54°，
∠COD=180°-∠AOD-∠BOC=180°-54°-36°=90°，
∵OE平分∠COD，
∴∠DOE= ∠COD= ×90°=45°，
∴∠AOE=∠DOE+∠AOD=45°+54°=99°．
【点睛】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．
提升篇
19．（2022·山东·龙口市培基学校期中）如图，已知OC是∠AOB内部任意的一条射线，OM、ON分
别是∠AOC、∠BOC的平分线．
(1)若∠AOM＝20°，∠BON＝30°，求∠MON的度数；
(2)若∠AOB＝α，求∠MON的度数．
【答案】(1)50°
(2)【分析】（1）根据角平分线的性质可知∠MOC＝∠AOM，∠NOC＝∠BON，再根据∠MON＝
∠MOC＋∠NOC即可求出∠MON的度数；
（2）根据角平分线性质可知∠MOC＝ ∠AOC，∠NOC＝ ∠BOC，再根据∠MON＝∠MOC＋
∠NOC即可计算∠MON的度数．
（1）
解：根据角平分线的性质可知∠MOC＝∠AOM＝20°，∠NOC＝∠BON＝30°，
∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝20°+30°＝50°，
即∠MON的度数为50°；
（2）
解：根据角平分线性质可知∠MOC＝ ∠AOC，∠NOC＝ ∠BOC，
∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝ ∠AOC+ ∠BOC＝ ∠AOB，
∵∠AOB＝α，
∴∠MON＝ α．
【点睛】本题主要考查角的计算，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
20．（2022·福建省尤溪第一中学文公分校七年级期末）如图所示，将两块三角板的直角顶点重合．
(1)写出以 为顶点的相等的角；
(2)若 ，求 度数；
(3)写出 与 之间所具有的数量关系；
(4)当三角板 绕点 旋转时，你所写出的（3）中的关系是否变化？请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)(3) 与 互补
(4)不变，见解析
【分析】（1）根据同角的余角相等作答；
（2）由图得∠DCE＝90°−∠ACE，求∠ACE的度数即可；
（3）∠ACB＋∠DCE＝∠BCE＋∠ACE＋∠DCE＝90°＋90°＝180°；
（4）由（3）可得，当三角板ACD绕点C旋转时，不变化．
（1）
解：根据同角的余角相等可得：∠ACE＝∠BCD，∠ACD＝∠ECB．
（2）
解：∵∠ACB＝150°，∠BCE＝90°，
∴∠ACE＝150°−90°＝60°，
∴∠DCE＝90°−∠ACE＝90°−60°＝30°．
（3）
解：∵∠ACB＋∠DCE＝∠BCE＋∠ACE＋∠DCE＝90°＋90°＝180°，
∴∠ACB与∠DCE互补．
（4）
解：不变化．
∵∠ACB＋∠DCE＝∠BCE＋∠ACE＋∠DCE＝90°＋90°＝180°，
∴无论如何旋转，∠ACB与∠DCE互补．
【点睛】本题主要考查了几何图形中的角度计算，解答本题需要熟悉一副三角板各角之间的关系．
21．（2022·安徽·肥西县严店初级中学七年级阶段练习）已知∠AOB=∠COD=90°，OE平分∠AOC，
OF平分∠BOD．
(1)如图1，若OB，OC重合，则 __________；
(2)如图2， ，求 的度数；
(3)如图3，求 的度数．【答案】(1)90°
(2)∠EOF=90°；
(3)∠EOF=90°．
【分析】（1）根据角平分线的定义知∠EOB= ∠AOB、∠BOF= ∠COD，据此求解可得答案；
（2）根据角平分线的定义知∠EOC=35°，∠BOF=35°，再根据∠EOF=∠EOC+∠BOC+∠BOF可得答案；
（2）根据角平分线的定义知∠EOC= (90+x)°，∠BOF= (90+x)°，再根据
∠EOF=∠EOC+∠BOF−∠BOC可得答案
（1）
解：∵OB，OC重合，
∴∠AOB+∠COD=180°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠EOB= ∠AOB，∠BOF= ∠COD，
∴∠EOF=∠EOB+∠BOF
= ∠AOB+ ∠COD
= (∠AOB+∠COD)
= ×180°
=90°；
故答案为：90°；
（2）
解：∵∠AOB=∠COD=90°，∠BOC=20°，
∴∠AOC=∠AOB−∠BOC=70°，∠BOD=∠COD−∠BOC=70°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠EOC= ∠AOC=35°，∠BOF= ∠BOD=35°，
∴∠EOF=∠EOC+∠BOC+∠BOF=35°+20°+35°=90°；
（3）
解：设∠BOC=x°，∵∠AOB=∠COD=90°，∠BOC=x°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=(90+x)°，∠BOD=∠COD+∠BOC=(90+x)°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠EOC= ∠AOC= (90+x)°，∠BOF= ∠BOD= (90+x)°，
∴∠EOF=∠EOC+∠BOF−∠BOC= (90+x)°+ (90+x)°−x°=90°．
【点睛】本题主要考查角的计算和角平分线的定义，读懂图并利用角的和差关系，是解决本题的关键．
22．（2022·河南·郑州市第四初级中学七年级期末）【阅读理解】
如图①，射线OC在∠AOB内部，图中共有三个角∠AOC、∠AOB、∠BOC，若其中有两个角的度数
之比为1：2，则称射线OC为∠AOB的“幸运线”．
(1)∠AOB的角平分线 这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）
(2)若∠AOB＝120°，射线OC为∠AOB的“幸运线”，则∠AOC＝ ．
【问题解决】
(3)如图②，已知∠AOB=150°，射线OP从OA出发，以20°/s的速度顺时针方向旋转，射线OQ从OB
出发，以10°/s的速度逆时针方向旋转，两条射线同时旋转，当其中一条射线旋转到与∠AOB的边重合
时，运动停止，设旋转的时间为t（s），当t为何值时，射线OP是以射线OA、OQ为边构成角的幸运
线？试说明理由．
【答案】(1)是；
(2)40°或60°或80°；
(3) 或 或3．
【分析】（1）由角平分线的定义可得；
（2）分三种情况讨论，即∠AOC=2∠BOC，2∠AOC=∠BOC，∠AOB=2∠AOC或∠AOB=2∠BOC三种
情况，结合∠AOC+∠BOC=∠AOB =120°可以求出∠AOC．
（3）分三种情况讨论，由“幸运线”的定义，列出方程可求t的值．
（1）解：∵一个角的平分线平分这个角，且这个角是所分两个角的两倍，
∴一个角的角平分线是 这个角的“幸运线”，
故答案为：是．
（2）
解：∵射线OC在∠AOB内部，
∴∠AOC+∠BOC=∠AOB =120°．
①当∠AOC=2∠BOC时，∠AOC+∠BOC=3∠BOC =120°，
∴∠BOC=40°，
∴∠AOC=80°．
②当2∠AOC=∠BOC，且∠AOC+∠BOC=3∠AOC =120°，
∴∠AOC=40°．
③当∠AOB=2∠AOC或∠AOB=2∠BOC时，OC平分∠AOB，
∴∠AOC = ∠AOB =60°．
综上所述：∠AOC=40°或60°或80°．
故答案为： 40°或60°或80°．
（3）
解：∵射线OP是以射线OA、OQ为边构成角的“幸运线”，
∴射线OP在以射线OA、OQ为边构成角的内部．如下图所示：
∴∠AOP=20t°，∠BOQ =10t°，
∴∠POQ=∠AOB-∠AOP-∠BOQ= (150-20t-10t)°=(150-30t)°,
∠AOQ=∠AOB -∠BOQ==(150-10t)°．
①当∠AOP=2∠POQ时，则20t =2×(150-30t)，
∴t= ．
②若∠POQ=2∠AOP，则150-30t =2×20t，
∴t= ．③若2∠AOP=∠AOQ或2∠POQ=∠AOQ，则2×20t=150-10t，
∴t=3．
综上所述：t= 或 或3．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，角平分线的性质，找等量关系列出方程是解决问题的关键，
属于中考常考题型．
23．（2022·陕西·西安铁一中分校七年级期末）已知：O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平
分∠BOC．
(1)如图1，当∠AOC＝40°时，求∠DOE的度数；
(2)如图2，OF平分∠BOD，求∠EOF的度数；
(3)如图3，∠AOC=36°，此时∠COD绕点O以每秒6°沿逆时针方向旋转t秒（0≤t<60），请直接写出
∠AOC和∠DOE之间的数量关系
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】(1)由补角及直角的定义可求得的 度数，结合角平分线的定义可求解∠DOE的度数；
(2)由角平分线的定义可得 ，进而可求解；
(3)可分两种情况：①当 时， ，求出 ，得出答案；②当 时，
，得出 ，进而得到答案．
（1）
解：∵ ，
∴ ，
∵OE平分 ，
∴ ，∵ ，
∴ ；
（2）
∵OE平分 ，OF平分 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3）
①当 时，由题意可得
∴ ，
∴ ，
，
∴ ；
②当 时，如下图，
∴ ，
∴
，
∴
【点睛】本题主要考查角的计算，角平分线的定义，补角的定义等知识的综合运用，分类讨论是解题
的关键．24．（2022·新疆乌鲁木齐·七年级期末）图（1）所示，点O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平
分∠BOC．
(1)若∠AOC＝30°，求∠DOE的度数；
(2)将图（1）中的∠COD绕点O顺时针旋转至图（2）所示的位置，以（1）题思路探究∠AOC与
∠DOE的度数之间的关系，并说明理由；
(3)将图（1）中的∠COD绕点O顺时针旋转至图（3）所示的位置，直接写出∠AOC与∠DOE的度数
之间的关系．
【答案】(1)15°
(2)
(3)【分析】（1）由已知可求出 ，再由 是直角， 平分 求出
的度数；
（2）由 是直角， 平分 可得出 ，则得
，从而得出 和 的度数之间的关系；
（3）根据（2）的解题思路，即可解答．
(1)
解：由已知得∠AOC＝30°，则 ，
又 是直角， 平分 ，
，
故答案为：15°；
(2)
解： ；
理由： 是直角， 平分 ，
，
则得 ，
所以得： ；
(3)
解： ；
理由： 平分 ，
，
则得 = ，
所以得： ．
【点睛】本题考查的知识点是角平分线的性质、几何图形中角的计算，解题的关键是正确运用有关性
质准确计算角的和差倍分．
