文档内容
4.3.3 余角和补角 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书•数学》七年级上册（以下统称“教材”）第四章“几何图形初
步”4.3角第3课时，内容包括余角、补角、方位角的概念及应用．
2.内容解析
余角补角及方位角是本章重要的基础知识，也是后续学习图形与几何必备的知识基础．正确理解此概
念需明确两点：①余角（补角）是相对于两个角而言，当满足了和为 90°（180°）时，就称这两个角互为
余角（补角），其中一个角叫做另一个角的余角（补角）.不能单纯地说某个角是余角（补角）.②余角
（补角）与这两个角的位置没有关系，不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相
应的关系．
基于以上分析，可以确定本节课的教学重点为：理解余角、补角、方位角等概念．
二、目标和目标解析
1.目标
（1）了解余角、补角的概念，掌握余角和补角的性质，并能利用余角、补角的知识解决相关问题.
（2）了解方位角的概念，并能用方位角知识解决一些简单的实际问题．
2.目标解析
达成目标（1）的标志是：学生能理解当满足了和为90°（180°）时，就称这两个角互为余角（补角），
其中一个角叫做另一个角的余角（补角）.不能单纯地说某个角是余角（补角）；知道余角（补角）与这两
个角的位置没有关系．
达成目标（2）的标志是：能用方位角知识准确表示物体的位置及距离．
三、教学问题诊断分析
针对余角和补角，学生易忽视概念中的“互为”二字，不能单纯地说某个角是余角（补角）.余角（补
角）与这两个角的位置没有关系，不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的
关系.同时学生对于文字语言、符号语言、图形语言三种语言的相互转化以及在什么情形下用哪种语言表达
最为贴切，学生还不是能够自由的运用．
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：探索并掌握同角（等角）的余角、补角相等的性质．
四、教学过程设计（一）温故知新，引入课题
对于三角板，我们已经很熟悉了，我们来回顾一下三角板各个角的度数．
问题1：在一副三角尺中，除了直角，其他两个角的和有什么特点？
师生活动：学生回忆，回答问题，教师出示多媒体.
【设计意图】通过回忆与本节课内容密切相关的引导性材料，使学生对学习进程心中有数，帮助学生
掌握研究问题的方法.
（二）余角和补角的概念
在一副三角尺中，每块都有一个角是 90°，而其他两个角的和是90°（30°+60°=90°，45°+45°=90°）.
一般地，如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角 （简称为两个角互余），即其中一个
角是另一个角的余角.
师生活动：小组合作探究，师生归纳．
师生归纳：余角是成对出现的，所以不能说某个角是余角．
针对训练：
图中给出的各角，哪些互为余角？
类似地，如下图，如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一
个角的补角.
师生归纳：补角是成对出现的，所以不能说某个角是补角.针对训练：
1. 图中给出的各角，哪些互为补角？
2. 图中给出的各角中，哪些互为余角？哪些互为补角？
解：互余的角有：①与④，②与③
互补的角有：①与⑧，②与⑦，③与⑥，④与⑤.
3. 填表：
4. 已知3组数，①对A组的每一个角，在B组中找出它的补角，并用线连接. ②B组中有哪些角的余角在C组中，分别找出并用线连接.
【设计意图】用一副三角尺引出余角和补角的概念，加深学生对余角和补角的认识．
（三）典例分析
例1：若一个角的补角等于它的余角的 4 倍，求这个角的度数.
解：设这个角为 x°，则它的补角是 ( 180－x )°，余角是 ( 90－x )° .
根据题意，得
180－x = 4 ( 90－x ) .
解得x = 60.
答：这个角的度数是 60 °.
针对训练：
1. 一个角是70°39′，求它的余角和补角．
解：余角：90°－70°39′=19°21′
补角：180°－70°39′=109°21′
2. 一个角的补角是它的3倍，这个角是多少度？
解：设这个角为x°，
则180°－x=3x，
∴x=45°．
3. 一个角是钝角，它的一半是什么角？它的余角呢？补角呢？
解：它的一半是锐角；因为钝角大于90°，所以它没有余角；补角是锐角.
4. 已知∠A与∠B 互余，且∠A 的度数比∠B 度数的 3 倍还多30°，求∠B的度数.
解：设∠B的度数为x°，则∠A 的度数为 (3x+30)°.根据题意得：
x + ( 3x+30 ) = 90.
解得x=15.
故∠B 的度数为15°.
例2：如图，已知O为AD上一点，∠AOC与∠AOB互补，OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，
若∠MON=40°，试求∠AOC与∠AOB的度数．
解：设∠AOB=x，
因为∠AOC与∠AOB互补，
则∠AOC=180°－x．
因为OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，
所以∠AOM= ，∠AOM= .
所以 ，
解得x=50°，则180°－x=130°.
即∠AOB=50°，∠AOC=130°.
（四）余角和补角的性质
问题2：如图，∠1 与∠2，∠3都互为补角，∠2 与∠3 的大小有什么关系？
师生活动：学生小组合作探究，师生共同得出结论：
同角（等角）的余角相等.
同角（等角）的补角相等.
【设计意图】明晰余角、补角的性质，为后续利用余角、补角的性质解决几何问题打下基础．
（五）典例分析
例3：如图，点A，O，B在同一直线上，射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，图中哪些角互为余角？
解：因为点A，O，B在同一直线上，所以∠AOC和∠BOC互为补角.
又因为射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，
所以∠COD+∠COE= ∠AOC+ ∠BOC = (∠AOC+∠BOC ) = 90°.
所以∠COD和∠COE互为余角，
同理∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE，∠COD和∠BOE也互为余角.
变式训练：
如图，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠DOE=90°．
（1）∠AOD的余角是_______________，∠COD的余角是_________________;
（2 ）OE是∠BOC的平分线吗？请说明理由．
解：（1）∠COE、∠BOE；∠COE、∠BOE；
（2）解：OE平分∠BOC，
理由如下：∵∠DOE=90°，∴∠AOD+∠BOE=90°，
∴∠COD+∠DOE=90°，
∴∠AOD+∠BOE=∠COD+∠DOE，
∵OD平分∠AOC∴∠AOD=∠COD，
∴∠COE=∠BOE，∴OE平分∠BOC．
针对训练：
如图，已知∠AOB=90°， ∠AOC= ∠BOD，则与∠AOC互余的角有__________________.（∠BOC和
∠AOD）（六）方位角
问题3：如图，说出下列方位
（1）射线 OA 表示的方向为 .
（2）射线 OB 表示的方向为 .
（3）射线 OC 表示的方向为 .
（4）射线 OD 表示的方向为 .
（七）典例分析
例4：如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上.同时，在它北偏东40°，南偏
西10°，西北（即北偏西45°）方向上又分别发现了客轮B，货轮C和海岛D. 仿照表示灯塔方位的方法画
出表示客轮B，货轮C和海岛D方向的射线.
解：画法：1. 以点O为顶点，表示正北方的射线为角的一边，画40°的角，使它的另一边OB落在东
与北之间. 射线OB的方向就是北偏东40°，即客轮B所在的方向.
2. 同理画出射线OC、射线OD.
射线OC、射线OD即为所求.（八）当堂巩固
1. 一个角的余角是它的2倍，这个角的度数是（ A ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
2. 下列说法正确的是（ D ）
A．一个角的补角一定大于它本身
B．一个角的余角一定小于它本身
C．一个钝角减去一个锐角的差一定是一个锐角
D．一个角的余角一定小于其补角
3. 已知∠A与∠B互余，∠B与∠C互补，若∠A=60°，则∠C的度数是 150° .
4. ∠1 与 ∠2 互余，∠1 = (6x + 8)°，∠2 = (4x－8)°，则∠1= 62° ，∠2= 28° .
5. 如图，已知∠ACB=∠CDB=90°.
（1）图中有哪几对互余的角？
答案：∠A+∠B=90°
∠A+∠2=90°
∠1+∠B=90°
∠1+∠2=90°
（2）图中哪几对角是相等的角（直角除外）？为什么？
答案：∠B=∠2（同角的余角相等）
∠A=∠1（同角的余角相等）
6. 垃圾打捞船A和B都停驻在湖边观测湖面，从A船发现它的北偏东60°方向有白色漂浮物，同时，
从B船也发现该白色漂浮物在它的北偏西30°方向.
（1）试在图中确定白色漂浮物C的位置；（2）点 C 在点 A 的北偏东60°的方向上，那么点 A在点 C 的 D 方向上.
A. 南偏东30° B. 南偏西30° C. 南偏东60° D. 南偏西60°
（九）感受中考
1．（2022•甘肃）若∠A=40°，则∠A的余角的大小是（ ）
A．50° B．60° C．140° D．160°
【解答】解：因为∠A=40°，
所以∠A的余角为：90°－40°=50°，
故选：A．
2．（2022•连云港）已知∠A的补角为60°，则∠A = °．
【解答】解：因为∠A的补角为60°，
所以∠A =180°－60°=120°，
故答案为：120．
3.（3分）（2020•通辽4/26）如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使∠α和∠β互余的摆放方式是（
）
【解答】解：A．∠α与∠β互余，故本选项正确；
B．∠α =∠β，故本选项错误；C．∠α =∠β，故本选项错误；
D．∠α与∠β互补，故本选项错误，
故选：A．
【设计意图】通过对最近几年的中考真题的训练，使学生提前感受中考考什么，进一步了解考点．
（十）课堂小结
教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，构建知识与方法框图：
（十一）布置作业
P139：习题4.3：第8、11、12、13题.
五、教学反思
发展学生的空间观念、培养学生的空间想象力是本节教学的另一个重要目标，应重视让学生从事动手
操作、观察、思考、想象、交流等活动，为学生提供一些现实的、有意义的、有一定挑战性的学习任务，
鼓励学生勤思考、多动手、善交流，在活动中获得几何概念和性质，以及读图、表达、推理等技能，从而
丰富学生的空间想象能力．
本节内容涉及的基本概念多，大多数几何图形与性质是学生初次接触，且比较抽象．作为几何入门阶
段的学习，要善于培养学生学习几何的兴趣，注意揭示所学几何概念与性质同现实生活的联系，让学生体
会到所学知识在实际生活中有着广泛的应用．通过设置一些探索规律、猜想结论、体现综合的问题，让学
生体验到几何探究的乐趣，成功解决问题的喜悦．
学习“图形与几何”与“数与代数”的方式、方法有所不同．要通过多种数学活动，让学生逐步认识到“先动手操作、后思考结论”与“先思考、后动手验证”都是学习几何的方法．同时，要养成勇于质疑、
善于说理和独立思考、认真严谨的学习习惯，逐步提升学生的空间想象能力、逻辑思维能力、动手操作能
力和应用几何图形知识解决实际问题的能力．
