文档内容
4.3.2 角的比较与运算
1.理解角的概念，掌握角的表示方法.
2.会比较角的大小，认识角的常用度量单位，并能进行简单的换算，会计算角的 和与差.
3.理解角的平分线的概念，会用符号语言表示，
4.了解余角和补角的概念，掌握余角和补角的性质，并能应用这些性质解决相关问题.
知识点一 角的比较
1.方法1(度量法)
用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小.如图所示中的 和 ,用量角
器量得 , ,那么 ＜ .
2.方法2(叠合法)
把两个角的顶点和一边分别重合，另一边放在重合边的同侧，通过另一边的位
置关系比较大小.
如图所示， 落在 的内部，那么 小于 ,记作 ＜
.
如图所示， 落在 的外部，那么 小于 ,记作 ＜；
如图所示， 和 重合，那么 等于 , 记作 = .
注意：
1. 角的度数大，角就大；角的度数小，角就小.反之，角大，角的度数就大；
角小，角的度数就小.
2. 顶点重合，一边重合(两重合), 另一边落在重合边的同侧，然后进行观察比
较.
3. 根据叠合法，我们可以用一副三角板画出多个角，如 15°的角，75°的角，
105°的角等.
4. 比较角的大小，度量法具体准确，而叠合法更直观.
即学即练（2022上·四川成都·七年级四川省蒲江县蒲江中学校考期末）如图，将一副直角
三角尺的直角顶点重合摆放，若 ，则 度；
知识点二 角的和、差、倍、分运算
1.角的和、差如图所示，∠AOC 是∠AOB 与∠BOC 的和，记作∠AOC=∠AOB+∠BOC.∠AOB 是
∠AOC 与∠BOC的差，记作∠AOB=∠AOC-∠BOC.类似地，∠BOC=∠AOC-∠AOB.
注意：一角的和与差仍是一个角，只不过是这个角的度数等于另外两个角度数
的和或差.
2.一个角的几倍及几分之一(拓展)
如果两个∠1的和是∠2,那么∠2是∠1的2倍，记作∠2=2∠1,∠1是∠2的 ，
记作∠1= ∠2；如果三个∠1 的和是∠3,那么∠3 是∠1 的 3 倍，记作
∠3=3∠1,∠1是∠3的 ，,记作∠1= ∠3等.
注意：一个角可能有多种和、差的表示方法，应根据条件适当选取.
3.角的度量单位之间的关系:
， ， .
， ，
即学即练1（2023上·重庆南岸·七年级校考期末） （ ）
A． B． C． D．
即学即练2（2022上·广东韶关·七年级校考期末）计算：
．角度的加减乘除运算技巧
(1)在角度的加法运算中，我们可以把度与度、分与分、秒与秒单位上的数分
别相加，然后把满60秒的进1分，再把满60分的进1度
(2)在角度的减法运算中，同单位的数相减，不够减时，应向上一级单位“借
1”,1°=60',1'=60”, 然后再减.
(3)把一个角度扩大几倍(一个角度乘一个正整数),可借助乘法分配律的思想，
把这个数分别与角度的度、分、秒单位上的数相乘，再把分、秒单位上满 60
的数向上一位“进1”.
(4) 依照多位数除法，把一个角度除以一个数时先用度除以这个数，把余数部
分乘60转化为分单位上的数后再除以这个数，依次类推.
知识点三 角的平分线
1.角的平分线的定义
一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线叫做这个角
的平分线.
2.角的平分线的性质
如图所示， 是 的平分线，那么 .
或 .
注意：
角平分线必须同时满足三个条件：①从角的顶点引出的射线；②在角的内部；
③将已知角平分.
即学即练（2022上·湖北襄阳·七年级统考期末）如图， 在 内部，且
， 是 的平分线， ，则下列结论：①；② ；③ ；④
．其中正确结论有 （写序号）．
题型1 角的单位与角度制
例1（2023上·新疆乌鲁木齐·七年级校考期末）把 用度、分、秒表示正确的是
（ ）
A． B． C． D．
举一反三1（2023上·陕西西安·七年级统考期末） ．
举一反三2（2022上·浙江宁波·七年级统考期末）用度表示 为 ．
举一反三3（2023上·重庆江北·七年级字水中学校考期末）计算：
′．
题型2 角的度数大小比较
例2（2022上·湖南长沙·七年级校联考期末）比较大小： （填“＞”、
“＜”或“＝”）．
举一反三1（2020上·湖南长沙·七年级校考阶段练习）已知 ， ，则
（填“ ”、“ ”或“ ”）．
举一反三2（2023上·湖南娄底·七年级统考期末）用“ ”、“ ”或“ ”填空：
．
举一反三3（2023上·河南驻马店·七年级统考期末）如图，线段 、点 在正方形网格中，所有小正方形的边长都相等．
利用画图工具画图：
(1)①画线段 、 ；②延长线段 到点 ，使 ；③画直线 ．
(2)线段 与线段 的大小关系是：______；
(3) 与 的大小关系是：______．
题型3 角的比较
例3（2017·七年级课时练习）在 的内部任取一点 ，作射线 ，则下列结论一定
正确的是（ ）
A． B．
C． D．
举一反三1（2021上·北京海淀·七年级校考期末）如图，用同样大小的三角板比较∠A和
∠B的大小，下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．没有量角器，无法确定
举一反三2如图1，图2所示，把一副三角板先后放在 上，则 的度数可能
（ ）
A． B． C． D．举一反三3（2023下·黑龙江绥化·七年级统考期末）若 ，则么
．
题型4 三角板中角度计算问题
例4（2022上·河南新乡·七年级校考期末）两个直角三角板按如图所示的方式摆放，若
，则 ．
举一反三1（2023上·吉林松原·七年级校联考期末）将一副三角尺放在同一平面内，使直角
顶点重合于点O．
(1)如图①，若 ，求 、 、 的度数．
(2)如图①，你发现 与 的大小有何关系？ 与 有何关系？直接写
出你发现的结论．
(3)如图②，当 与 没有重合部分时，（2）中你发现的结论是否仍然成立，请说
明理由．
举一反三2（2022上·浙江杭州·七年级统考期末）一副三角板如图放置，其中有部分重叠在一起，已知 ．
(1)若 ，求 的度数；
(2)若 ，求 的度数；
(3)若 ，其中 ，求 的度数．（用含k的代数式表示）
举一反三3（2022上·河北石家庄·七年级统考期末）已知直角三角形 的直角顶点 在
直线 上，射线 平分 ．
(1)如图1，若 ，求 的度数；
(2)如图2，将三角形 绕点 逆时针旋转，若 ，求 的度数；
(3)如图3，将三角形 绕点 逆时针旋转，试写出 和 之间的数量关系，
并说明理由．题型5 几何图形中角度计算问 题
例5（2023上·浙江杭州·七年级统考期末）如图，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合
放置，那么 的度数为（ ）
A． B． C． D．
举一反三1（2022上·河北石家庄·七年级统考期末）如图， ，若
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
举一反三2（2023上·黑龙江绥化·七年级统考期末）如图，射线 在 的内部，
是 的平分线． 若 ，则 的度数是
．
举一反三3（2022上·江西赣州·七年级统考期末）已知 是 的平分线，， 是 的平分线，则 的度数为 ．
题型6 角度的四则运算
例6（2021上·江苏南京·七年级南京钟英中学校考阶段练习）计算：
举一反三1（2022上·北京海淀·七年级校考期末） ．
举一反三2（2023下·黑龙江哈尔滨·六年级统考期末）计算 的结果为 ．
题型7 实际问题中角度计算问题
例7（2022上·浙江台州·七年级统考期末）定义：当射线 在 内部，
时，我们称 为射线 在 内的角值，记作 ．如图1，
若 ， ，则 ，则 ．
(1)如图1，射线 在 内部，若 ，则 _________ ；若
，则 __________；
(2)如图2，已知 ，射线 ， 分别从射线 和 同时开始旋转，其中射线 绕点 顺时针旋转，射线 绕点 逆时针旋转，当射线 旋转到射线 时，射
线 ， 停止旋转．设运动时间为 秒．
①若射线 ， 的运动速度均为每秒 ，试用含 的式子表示 和 ，
并直接写出它们的数量关系；
②若射线 ， 的运动速度分别为每秒 和 ，射线 到达射线 后立即以原速
返回，则当 为何值时， ?
(3)如图3，在钟面内有三条射线 ， 和 ，分别指向12点，4点，8点．射线 ，
同时从射线 开始旋转，其中射线 绕点 顺时针旋转，射线 绕点 逆时针旋转，
同时到射线 停止旋转．设 ，当射线 运动到 的内部时，请用含
的式子表示 ．
举一反三1（2023下·山东威海·六年级统考期末）如图，已知 ， 是
的平分线，若 ，求 的度数.
举一反三2（2023·江苏泰州·七年级泰州市姜堰区第四中学校考期末）七年级上册《数学实
验手册》中有“三角尺拼角”的问题．将一副三角尺如图这样放置，就可画出 ，
在实验中同学们发现用一副三角尺还能画出其他特殊角．(1)请你借助三角尺完成以下操作，并在所画图形上标注所使用三角尺的相应角度；
①设计用一副三角尺画出 角的画图方案，并画出相应的几何图形；
②用一副三角尺能画出 的角吗？__________．（填“能”或“不能”）．
(2)利用一副三角尺在图中画出 的角平分线 ，并在所画图形上标注所使用三角尺
的相应角度．
(3)如图，现有 角的三种模板， ， ， 请设计
一种方案，只用给出的一种模板画出 的角．
小冬想出了一个方案，利用 角模板画出 角，动手操作：如图，M、O、N三点在一条
直线上，将 的顶点B与点O重合， 边与射线 重合，如图所示，将 绕
点O逆时针旋转 ，得 ，再将 绕点O逆时针旋转 ，得 ，……，
如此连续操作18次，再利用两个平角等于一个周角，可得 的角，即：
．
请从 或 角模板中选一个你认为能画出 角的模板，设计一个方案，并说明理由．
(4)对于任意一个 （n为正整数）角的模板，只用此模板是否一定能画出 的角？请作出
判断，并说明理由．题型8 角平分线的有关计算
例8（2023上·广东佛山·七年级西樵中学校联考期中）如图，O是直线 上一点，过O作
任意射线 ， 平分 ， 平分 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．不能确定
举一反三1（2023上·河南南阳·七年级校考期末）如图， 是直角， 平分 ，
平分 ， ，则 的度数为 ．
举一反三2（2022上·广东深圳·七年级统考期末）【综合探究】：如图1，一副三角板如图
所示放置在直线 上， ， ， ， ．三角
板 的顶点与另一个三角板 的顶点重合在点O处，三角板的边 与直线
重合，三角板其它的边都在直线 的上方．
【实践探究】：
（1）如图2，若三角板 不动，将三角板 绕点O以每秒 的速度按顺时针方向旋
转一周，经过t秒时，三角板 的边 恰好分 ．
①此时 _____秒；
②此时 _____ ______ ；
【解决问题】：
（2）如图2，在（1）的条件下，边 恰好平分 时，同一时刻三角板 开始也
绕点O以每秒 的速度按相同方向旋转，那么再经过多长时间边 与边 第一次重合？
（如图3）请说明理由；
【拓展研究】：（3）如图3，在（2）的条件下，当边 与边 第一次重合时，两个三角板同时按顺时
针方向再次转动一周后停止，请问两个三角板再次转动后，经过多少秒，边 恰好平分
？请说明理由．
举一反三3（2023上·云南昆明·七年级统考期末）折纸中的数学我们在第四章《几何图形初
步》中学习了角的平分线，并会用折纸的方法作角平分线．如图是教材第135页的探究，
将纸片折叠使 与 重合， 是折痕，此时 与 重合，所以
，射线 是 的平分线．
【知识初探】
如图（1），四边形 是一张正方形纸片，将正方形纸片 沿 对折，把正方形
展平，再将 和 分别沿 和 折叠，使点 落在 上的点 处，使点 落在
上的点 处， 与 重合，则 __________度； __________度．【类比再探】
如图（2），将正方形纸片 的 沿 折叠，使点A落在点 处，将 沿 折叠，
使点 落在点 处，点 与点 重合．猜想 的度数，并说明理由．
小官同学：猜想 ．
理由如下： 沿 折叠， ，
沿 折叠，
，
__________，
__________．
【拓展探究】
如图（3），在图（2）的基础．上将正方形纸片 展平，然后将 和 分别沿
和 再折叠，使点A落在 上的点 处，点 落在 上的点处．猜想 和
的数量关系，并说明理由．
举一反三4（2023上·甘肃武威·七年级校考期末）如图，直线 相交于点O， 平分 ． 平分 ， ，求 的度数．
题型9 角n等分线的有关计算
例9（2022上·浙江杭州·七年级统考期末）如图，设锐角 的度数为 ，若一条射线
平分 ，则图中所有锐角的和为 ．若四条射线五等分 ，则图中所有锐角的
和为( )
A． B． C． D．4a
举一反三1（2023上·浙江杭州·七年级统考期末）如图， 平分 三等分
，已知 ，求 的度数．
举一反三2（2022上·山西吕梁·七年级统考期末）综合与实践
【问题发现】在数学探究课上，王老师带领同学们结束角平分线的探究后，安排同学打自
主探究角的三等分线．小明进行了如下探究，如图①，若射线 ， 是 的三等
分线，则称更靠近 边的射线 是射线 的“友好线”，靠近 边的射线 是射线
的“友好线”．(1)如图②， ，射线 是射线 的友好线，求 的度数．
(2)【问题探究】如图③， ，射线 与射线 重合并绕点O以每秒 的速度
逆时针方向旋转，与射线 重合时停止．问旋转几秒后， 是 的“友好线”．
(3)【问题拓展】如图④， ，射线 ， 分别与射线 ， 重合，射线
绕点O以每秒 的速度逆时针方向旋转，同时射线 绕点O以每秒 的速度顺时针
方向旋转，是否存在某一刻 恰好是 的“友好线”，若存在，求出时间t秒；若不存
在，请说明理由．
一.单选题
1．（2022上·陕西渭南·七年级统考期末）已知 ， ，则∠1与∠2的大
小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
2．（2018上·北京·七年级统考期末）如图， 的大小可由量角器测得，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022上·陕西西安·七年级校考期末）如图，已知 的度数比
少 ，若 的度数等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·重庆沙坪坝·七年级重庆八中校考期末）如图，已知轮船A在灯塔P的北偏东
方向，轮船B在灯塔P的南偏东 方向，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
二.填空题
1．（2022上·四川遂宁·七年级统考期末）如图，已知 ，且图中所有角的和等
于 ，则 的度数为 ．2．（2023上·浙江金华·七年级统考期末）比较大小： ．（用＞，
＜或＝连结）
3．（2023上·江苏南京·七年级期末）如图，一副三角板中，将一个三角板 角的顶点与
另一个三角板的直角顶点重合，如果 ，那么 的大小是 度．
4．（2023上·四川成都·七年级统考期末）如图，当钟表上时刻为上午 正时，钟表上
时针与分针的夹角为 度．
三.解答题
1．（2022上·江苏淮安·七年级校考期末）【新概念】如图1， 为 内一条射线，
当满足 时，我们把射线 叫做射线 、 的m等个性线，记作
．（其中m为正整数）【实际应用】已知：O为直线 上一点，过O点作射线 ．
(1)如图2，将一个三角板（含 、 ）直角顶点D放在O处，另两条边分别为 ，
，当 是 时， ___________ ．（填“是”或“不是”）．
(2)如图3，将三角板的 顶点E放在O处，那么当 是 时， 是否也是
？请先猜想结果，再说明理由．
(3)将图3中的射线 绕O点逆时针旋转 ，如图4，此时存在正整数m使
是 的同时， 也是 ，则 ___________， ___________．
2．（2022下·广东茂名·七年级校联考期中）将直角三角板 的直角顶点O放在直线
上，射线 平分 ．
(1)如图，若 ，求 的度数；
(2)若 ，求 的度数；
(3)将直角三角板 绕顶点O按逆时针方向旋转，在旋转过程中，当 时，
求 的度数．
