2024年广东省广州市天河区中考数学一模试卷-解析版_初中近3年全区全科一模真题_2024年广州初三一模各区全科真题卷（70份）_数学2024年广州中考一模

2024 年广东省广州市天河区中考数学一模试卷 一、单选题 1．如图，数轴上点A所表示的数的相反数为（ ） A． 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 1 − 3 B．3 C． − 1 3 1 D． 3 2．据国家统计局公布，2023年第一季度，全国居民人均可支配收入10870元．数据10870用科学记数法 表示为（ ） A． 1 .0 8 7  1 0 4 B． 1 0 .8 7  1 0 4 C． 1 0 .8 7  1 0 3 D． 1 .0 8 7  1 0 3 3．下列几何体中，各自的三视图完全一样的是（ ）． A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（ ） A． ( m − 1 ) 2 = m 2 − 1 B． ( 2 m ) 3 = 6 m 3 C． m 7  m 3 = m 4 D． m 2 + m 5 = m 7 5．一组数据：3，4，4，4，5，若去掉一个数据4，则下列统计量中发生变化的是（ ） A．众数 B．中位数 C．平均数 D．方差 6．某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，且大货车运输75吨货物所用车 辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同，设有大货车每辆运输x吨，则所列方程正确的是（ ） 75 50 75 50 75 50 75 50 A． = B． = C． = D． = x−5 x x x−5 x+5 x x x+57．下列四个函数图象中，当x<0时，函数值y随自变量x的增大而减小的是（ ） A． B． C． D． 8．如图，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度，将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为18 3m的 地面上，若测角仪的高度为 2 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 1 .5 m ，测得教学楼的顶部 A 处的仰角为30 ，则教学楼的高度是( ) A． 5 5 .5 m B．54m C． 1 9 .5 m D．18m 9．如图， O 是 A B C 的外接圆，且 A B = A C ，  B A C = 3 0  ，在 A B 上取点D（不与点A，B重合），连 接 B D ， A D ，则  B A D +  A B D 的度数是（ ） A． 6 0  B． 1 0 5  C．75 D．72 10．如图，M是 ABC三条角平分线的交点，过 M 作 D E ⊥ A M ，分别交 A B 、 A C 于点 D 、 E 两点，设BD=a， DE=b，CE=c，关于x的方程 a x 2 + ( b + 1 ) x + c = 0 的根的情况是（ ）A．一定有两个相等的实数根 B．一定有两个不相等的实数根 C．有两个实数根，但无法确定是否相等 D．无实数根 二、填空题 11．方程 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 3 4 + 2 x = 0 的解为 ． 12．因式分解：x2﹣3x= ． 13．现有50张大小、质地及背面图案均相同的《西游记》人物卡片,正面朝下放置在桌面上,从中随机抽取 一张并记下卡片正面所绘人物的名字后原样放回,洗匀后再抽.通过多次试验后,发现抽到绘有孙悟空这个人 物卡片的频率约为0.3.估计这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数约为 . 14．已知 P ( x 1 ,1 ) ， Q ( x 2 ,1 ) 两点都在抛物线 y = x 2 − 3 x + 1 上，那么 x 1 + x 2 = ． 15．如图，平面直角坐标系中， A 与x轴相切于点B，作直径 B C ，函数 y = 2 0 x ( x  0 ) 的图象经过点C，D 为y轴上任意一点，则 ACD的面积为 ． 16．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点E，F分别是边CD，BC上的动点，且AFE=90．（1）当 4 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 B F = 5 时，tanFEC= ； （2）当AED最大时， D E 的长为 ． 三、解答题 17．解不等式： 6 x − 3  2 x − 7 ． 18．如图，四边形ABCD中， A B = D C ， A B D C ，E，F是对角线AC上两点，且 A E = C F ．求证： △ A B E ≌ △ C D F ． 19．为打造书香文化，培养阅读习惯，某中学计划在各班建设图书角，并开展主题为“我最喜欢阅读的书 篇”的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类， E：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分同学进行了问卷调查．根据收集到的数据，绘制了两幅 不完整的统计图（如图所示）． 根据图中信息，请回答下列问题： (1)填空：参与本次问卷调查活动的学生人数是______； (2)甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树 状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率． 20．已知关于x的函数 y = m m + 1 x + 3 m m + + 1 1 ( m  − 1 ) 图象经过点A(m−1,n) ． (1)用含m的代数式表示n； k (2)当m= 5时，若反比例函数y= 的图象也经过点A，求k的值． x21．如图，在 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 5 A B C 中，  A B C = 9 0  ，  A = 6 0  ， A B = 3 ． (1)尺规作图：在BC上找一点P，作 P与 A C ， A B 都相切，与 A C 的切点为Q；（保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图中，连接BQ，求sinCBQ的值． 22．如图是气象台某天发布的某地区气象信息，预报了次日0时至8时气温随着时间变化情况，其中0时 至5时的图象满足一次函数关系式 y = k x + b ，5时至8时的图象满足函数关系式 y = − x 2 + 1 6 x − 6 0 ．请根 据图中信息，解答下列问题： (1)填空：次日0时到8时的最低气温是______； (2)求一次函数 y = k x + b 的解析式； (3)某种植物在气温 0 ℃ 以下持续时间超过4小时，即遭到霜冻灾害，需采取预防措施．请判断次日是否需 要采取防霜措施，并说明理由． 23．在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图 M N 为一凸透镜，F是凸透镜的焦点．在焦点以外的 主光轴上垂直放置一小蜡烛 A B ，透过透镜后呈的像为 C D ．光路图如图所示：经过焦点的光线 A E ，通过 透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线 A O 汇聚于C点．(1)若焦距 6 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 O F = 4 ，物距 O B = 6 ．小蜡烛的高度 A B = 1 ，求蜡烛的像 C D 的长度； (2)设 x = O O B F ， y = A C B D ，求y关于x的函数关系式，并通过计算说明当物距大于2倍焦距时，呈缩小的像． 24．矩形 A B C D 中， A B = 4 ， B C = 8 ． (1)如图1，矩形的对角线 A C ， B D 相交于点O． ①求证：A，B，C，D四个点在以O为圆心的同一个圆上； ②在 O 的劣弧 A D 上取一点E，使得 A E = A B ，连接 D E ，求 △ A E D 的面积． (2)如图2，点P是该矩形的边AD上一动点，若四边形 A B C P 与四边形 G H C P 关于直线 P C 对称，连接 G D ， HD，求 G D H 面积的最小值． 25．已知抛物线 C : y 1 = a ( x − h ) 2 − 1 ，直线 l : y 2 = k ( x − h ) − 1 ，其中 0 ＜ a  2 ，k 0． (1)求证：直线l与抛物线C至少有一个交点； (2)若抛物线C与x轴交于 A ( x 1 , 0 ) ， B ( x 2 , 0 ) 两点，其中 x 1  x 2 ，且 0  x 1 + 1 3 x 2  3 ，求当 a = 1 时，抛物线 C存在两个横坐标为整数的顶点； (3)若在直线l下方的抛物线C上至少存在两个横坐标为整数的点，求k的取值范围．2024 年广东省广州市天河区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 1．A 【分析】通过识图可得点A所表示的数为3，然后结合相反数的概念求解． 【详解】解：由图可得，点A所表示的数为3， ∴数轴上点A所表示的数的相反数为-3， 故选：A． 【点睛】本题考查了数轴上的点击相反数的概念，准确识图，理解相反数的定义是解题关键． 2．A 【分析】用科学记数法表示较大的数的一般形式为 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 7 a  1 0 n ，其中 1 1 0 a   ，n等于原数的整数位数减1， 即可得到答案． 【详解】解：用科学记数法表示较大的数的一般形式为a10n，其中 1 1 0 a   ，n等于原数的整数位数 减1， ∴ 1 0 8 7 0 = 1 .0 8 7  1 0 4 ， 故答案选：A． 【点睛】本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的表示方法是解题的关键． 3．D 【分析】本题主要考查了常见的几何体的三视图，熟知常见几何体的三视图是解题的关键． 【详解】解：A、俯视图是三角形，主视图是长方形，左视图是长方形，中间有一条竖直实线，不符合题 意； B、俯视图是一个圆，左视图和主视图都是等腰三角形，不符合题意； C、俯视图是一个圆，左视图和主视图都是长方形，不符合题意； D、主视图，俯视图，左视图都是圆，符合题意； 故选：D． 4．C【分析】根据幂的运算法则，完全平方公式处理． 【详解】解：A. 8 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 ( m − 1 ) 2 = m 2 − 2 m + 1 ，原运算错误，本选项不合题意； B. ( 2 m ) 3 = 8 m 3 ，原运算错误，本选项不合题意； C. m 7  m 3 = m 4 ，符合运算法则，本选项符合题意； D. m 2 + m 5 ，不能进一步运算化简，原运算错误，本选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查乘法公式在整式乘法中的运用，幂的运算法则，掌握相关法则和公式是解题的关键． 5．D 【分析】根据众数、中位数、平均数及方差可直接进行排除选项． 【详解】解：由题意得： 原中位数为4，原众数为4，原平均数为 x = 3 + 4 + 4 5 + 4 + 5 = 4 ，原方差为 S 2 =  ( 3 − 4 ) 2 + ( 4 − 4 ) 2 + ( 4 − 5 4 ) 2 + ( 4 − 4 ) 2 + ( 5 − 4 ) 2  = 2 5 ； 去掉一个数据4后的中位数为 4 + 2 4 = 4 ，众数为4，平均数为 x = 3 + 4 + 4 4 + 5 = 4 ，方差为 S 2 =  ( 3 − 4 ) 2 + ( 4 − 4 ) 2 + 4 ( 4 − 4 ) 2 + ( 5 − 4 ) 2  = 1 2 ； ∴统计量发生变化的是方差； 故选D． 【点睛】本题主要考查平均数、众数、众数及方差，熟练掌握求一组数据的平均数、众数、众数及方差是 解题的关键． 6．B 【分析】根据“大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同”即可列出方程． 【详解】解：设有大货车每辆运输x吨，则小货车每辆运输 ( x − 5 ) 吨， 则 7 5 x = x 5 0 − 5 ． 故选B 【点睛】本题考查分式方程的应用，理解题意准确找到等量关系是解题的关键．7．D 【详解】A、根据函数的图象可知y随x的增大而增大，故本选项不符合题意； B、根据函数的图象可知在第二象限内y随x的增大而减增大，故本选项不符合题意； C、根据函数的图象可知，当x＜0时，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，在对称轴的左侧y随x的增 大而增大，故本选项不符合题意； D、根据函数的图象可知，当x＜0时，y随x的增大而减小；故本选项符合题意． 故选 D． 【点睛】本题考查了函数的图象，函数的增减性，熟练掌握各函数的性质是解题的关键. 8．C 【分析】过 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 9 D 作 D E A B ⊥ 交 A B 于E，得到DE，在 R t △ A D E 中， ta n 3 0 = A D E E ，求出AE，从而求出AB 【详解】过 D 作 D E A B ⊥ 交 A B 于E， DE=BC=18 3 在 R t △ A D E 中， ta n 3 0 = A D E E 3 AE=18 3 =18m 3 AB=18+1.5=19.5m 故选C 【点睛】本题主要考查解直角三角形，能够构造出直角三角形是本题解题关键 9．C 【分析】连接CD，根据题意，得BAD=BCD,ABD=ACD，结合AB= AC，  B A C = 3 0  ，得到 180−BAC ACB= =75，计算BAD+ABD即可，本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，熟 2 练掌握圆周角定理，等腰三角形的性质是解题的关键．【详解】连接CD，根据题意，得BAD=BCD,ABD=ACD， ∵ 10 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 A B = A C ，  B A C = 3 0  ， ∴  A C B = 1 8 0  −  2 B A C = 7 5  ， ∴BAD+ABD=BCD+ACD=ACB=75, 故选C． ． 10．B 【分析】 M 是 A B C 三条角平分线的交点，过M作 D E ⊥ A M ，则得出  B D M =  M E C =  B M C ，即可得 出 DBM∽ MBC，再求出 B M C ∽ M E C ， D B M ∽ E M C ，即可得出： a c = 1 4 b 2 ，即可求解． 【详解】 A M 平分BAC， D E ⊥ A M ，   A D M =  A E M ， M D = M E = 1 2 D E = 1 2 b ，   B D M =  M E C = 9 0  + 1 2  B A C ，   B M C = 9 0  + 1 2  B A C ， BDM =MEC=BMC， M是 ABC的内角平分线的交点， ∴ D B M ∽ M B C ， 同理可得出： B M C ∽ M E C ， ∴ D B M ∽ E M C ， BD MD  = ， ME CE BDEC=MDME， 1 即：ac= b2， 4=(b+1)2−4ac=b2+2b+1−b2 =2b+10， 关于 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 11 x 的方程 a x 2 + ( b + 1 ) x + c = 0 的根的情况是：一定有两个不相等的实数根． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了根的判别式，相似三角形的判定与性质，根据已知得出  B D M =  M E C =  B M C 是解题关键． 11．x=−2 【分析】根据解方程的基本步骤解答即可，本题考查了解方程的基本步骤，熟练掌握步骤是解题的关键． 【详解】 4 + 2 x = 0 ， 2 x = − 4 ， 解得 x = − 2 ， 故答案为： x = − 2 ． 12．x（x﹣3） 【详解】试题分析：提取公因式x即可，即x2﹣3x=x（x﹣3）． 考点：因式分解. 13．15 【详解】因为通过多次试验后，发现抽到绘有孙悟空这个人物卡片的频率约为0.3， 则这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数=0.3×50=15(张). 所以估计这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数约为15张． 故答案为15. 14．3 【分析】根据题意可得点P和点Q关于抛物线的对称轴对称，求出函数的对称轴即可进行解答． b −3 3 【详解】解：根据题意可得：抛物线的对称轴为直线：x=− =− = ， 2a 2 2 ∵ P ( x 1 ,1 ) ，Q(x ,1) ， 2 x +x 3 ∴ 1 2 = ， 2 2 ∴x +x =3． 1 2故答案为：3． 【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据题意，找到P、Q两点关于对称轴对称求解． 15．5 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，切线的性质；根据反比例函数系数k的几何意义可得 12 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 O B  B C = 2 0 ，由切线的性质可得 B C ⊥ x 轴，再根据三角形的面积公式列式求解即可． 【详解】解：∵点C在函数 y = 2 0 x ( x  0 ) 的图象上， ∴ O B  B C = 2 0 ， ∵ A与 x 轴相切于点B， ∴ B C ⊥ x 轴， ∴ B C ∥ y 轴， 1 1 1 ∴S AC OB BC OB 20 5， ACD 2 4 4 故答案为：5． 16． 6 5 10 / 3 3 1 3 【分析】（1）证明  A F B = 9 0  −  E F C =  F E C ，利用tanAFB=tanFEC计算即可； （2）当 B C 与 O 相切时，  A F D 的值最大，此时， A E D  也最大，利用三角形相似计算即可． 【详解】（1）∵矩形 A B C D 中， A B = 6 ， A D = 8 ， ∴ABF =90,FCE=90 ∵  A F E = 9 0  ， ∴  A F B = 9 0  −  E F C =  F E C ， AB 6 ∴tanAFB=tanFEC= = ， BF 5 6 故答案为： ． 5（2）如图，取 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 13 A E 的中点O，连接 O D , O F , D F ． ∵矩形 A B C D 中， A B = 6 ， A D = 8 ， ∴  A D E = 9 0  ， ∵  A F E = 9 0  ， ∴A、D、E、F四点共圆， ∴ A E D A F D  = ， ∴当 B C 与 O 相切时，  A F D 的值最大，此时， A E D  也最大， ∴ O F ⊥ B C ， ∵矩形 A B C D 中， A B = 6 ， A D = 8 ， ∴  A D E =  A B F = 9 0  ， ∴OF AB EC， ∴ E O O A = C B F F ， ∴ B F = C F = 1 2 B C = 4 ， ∵  A F E = 9 0  ， ∵矩形ABCD中， A B = 6 ， A D = 8 ， ∴  A B F = 9 0  ,  F C E = 9 0  ∵  A F E = 9 0  ， ∴  A F B = 9 0  −  E F C =  F E C ， ∴△AFB∽△FEC， BF AB ∴ = ， EC FC 4 6 ∴ = ， EC 4∴ 14 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 E C = 8 3 ， ∴ D E = C D − E C = 6 − 8 3 = 1 0 3 ， 故答案为： 1 0 3 ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正切函数，三角形相似的判定和性质，切线的性质，四点共圆，圆周角 定理，熟练掌握正切函数，切线性质，四点共圆是解题的关键． 17． x ＞ − 1 【分析】按照解不等式的基本步骤解答即可． 本题考查了解不等式，熟练掌握解题的基本步骤是解题的关键． 【详解】 6 x − 3 ＞ 2 x − 7 ， 移项，得 6 x − 2 x ＞ 3 − 7 合并同类项，得 4 x ＞ − 4 ， 系数化为1，得x＞−1． 18．见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 根据 A B D C 得  B A E =  D C F ，证明即可． 【详解】∵ A B D C ， ∴  B A E =  D C F ， 在 ABE和 C D F 中 AB=DC  BAE=DCF  AE=CF ∴ △ A B E ≌ △ C D F ． 19．(1)50 2 (2) 9【分析】（1）根据样本容量=频数÷所占百分数，求得样本容量后，计算解答． （2）利用画树状图计算即可．本题考查了条形统计图、扇形统计图，画树状图求概率，熟练掌握统计图 的意义，准确画树状图是解题的关键． 【详解】（1）∵ 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 15 4  ?8 % = 5 0 (人)， 故答案为：50． （2）画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中抽到相同类有2种可能的结果， 2 相同的概率为： ． 9 20．(1) n = m + 1 (2)4 【分析】（1）把点的坐标代入解析式，化简计算即可； （2）当 m = 5 时，点 A ( 5 − 1 , 5 + 1 ) ，代入解析式，计算即可． 本题本题考查了反比例函数与点的关系，熟练掌握这些知识是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得 n = m m + 1  ( m − 1 ) + 3 m m + + 1 1 = ( m m + + ) 1 1 2 = m + 1 ． （2）解：当 m = 5 ( ) 时，此时点A 5−1, 5+1 ， 故 k = ( 5 − 1 ) ( 5 + 1 ) = 5 − 1 = 4 ． 21．(1)见解析 1 (2)sinCBQ= 2 【分析】（1）结合切线的判定与性质，作 B A C  的平分线，交BC于点P，以点P为圆心， P B 的长为半径 画圆即可． （2）由题意可得Rt△ABP≌Rt△AQP，则AB= AQ，可得 ABQ为等边三角形，即ABQ=60，则16 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季  C B Q = 3 0  ，进而可得答案． 【详解】（1）解：如图，作BAC的平分线，交 B C 于点 P ，以点 P 为圆心，PB的长为半径画圆，交 A C 于点 Q ， 则 P 即为所求． （2）解：由（1）可得， B P = P Q ， P Q ⊥ A C ，   A Q P = 9 0  ， A P = A P ，  R t A B P ≌ R t A Q P ( H L ) ， AB= AQ， BAC=60，  ABQ为等边三角形， ABQ=60， CBQ=30，  s in  C B Q = s in 3 0  = 1 2 ． 【点睛】本题考查作图—复杂作图、切线的判定与性质、等边三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识 点，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． 22．(1)−5℃ 8 (2)y=− x+3 5 (3)需要采取防霜措施，见解析 【分析】（1）根据题意，当x=5时，函数最小值，代入解析式y=−x2+16x−60计算即可． （2）把 (0,3),(5,−5) 分别代入y=kx+b中，计算即可；（3）令y=kx+b=0，y=−x2+16x−60=0，计算交点坐标的横坐标的差，对照标准判断即可． 本题考查了待定系数法，图象信息识读，图象与x轴交点坐标的计算，熟练掌握待定系数法，交点坐标的 计算是解题的关键． 【详解】（1）根据题意， 当 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 17 x = 5 时，函数有最小值，代入解析式 y = − x 2 + 1 6 x − 6 0 得， y=−25+80−60=−5， 故答案为： − 5 ℃ ． （2）把 (0,3),(5,−5) 分别代入 y = k x + b 中， 得  5 b k = + 3 b = − 5 ， 解得  k b = = − 3 8 5 ， ∴ y = − 8 5 x + 3 ． （3）令 y = − 8 5 x + 3 = 0 ， 解得 x = 1 5 8 ； 令 y = − x 2 + 1 6 x − 6 0 = 0 ， 解得x =6,x =10（舍去）， 1 2 故 6 − 1 5 8 = 4 .1 2 5 ( h ) ， ∵ 4 .1 2 5 ＞ 4 ∴遭到霜冻灾害，故需要采取防霜措施． 23．(1)2米 (2)y=x−1，说明见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，平行四边形的性质与判定； （1）先证明 ABF∽ EOF，利用相似三角形的性质得到OE=2，再证明四边形OECD是平行四边形，可 得CD=OE=2米；（2）由（1）得 18 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 A B F ∽ E O F ， C D = O E = 2 AB OB−OF ，则 = ，据此可得 CD OF y = x − 1 ，当 O O B F  2 ，即 x  2 时， y = x − 1  1 ，据此可得结论． 【详解】（1）解：由题意得， A B ∥ O E ， ∴ A B F ∽ E O F ， AB BF 1 6−4 ∴ = ，即 = ， OE OF OE 4 ∴ O E = 2 ， ∵OE∥CD，CE∥OD， ∴四边形 O E C D 是平行四边形， ∴ C D = O E = 2 米， ∴蜡烛的像CD的长度为2米； （2）解：由（1）得 A B F ∽ E O F ， C D = O E = 2 ∴ A O B E = B O F F ，即 A C B D = O B O − F O F ， ∴ y = x − 1 ， 当 O O B F  2 ，即 x  2 时，y=x−11， ∴ A C B D  1 ，即 A B  C D ， ∴物高大于像高，即呈缩小的像． 48 24．(1)①见解析；② 5 (2)8 【分析】（1）①根据矩形的性质，得到ABC=90，得到点A，B，C在以O为圆心，OA为半径的圆上， 根据矩形的性质，得OA=OB=OC=OD，判定点D在以O为圆心的同一个圆上，继而得到四点共圆； ②过点E作在EG⊥ AD于点D，根据 A E = A B ，得到ADE=ADB，结合 A E = A B = 4 ，BC=8，得到 AB EG 1 tanADE=tanADB= = = ，设EG=x，GD=2x，则 BC GD 2 A G = A D − G D = 8 − 2 x ，利用勾股定理计 算x，利用面积公式解答即可．（2）根据折叠的性质，得到CB=CH =8,BA=HG=4,CHG=90，根据 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 19 C H  C D + D H ，得到 D H ≥ C H − C D = 4 ，当点C，D，H三点共线时， D H = 4 最小，此时 G D H 面积的为 1 2 G H  D H = 1 2  4  4 = 8 ， 最小． 【详解】（1）①∵矩形 A B C D ， ∴  A B C = 9 0  ， O A = O B = O C = O D ， ∴点A，B，C在以O为圆心， O A 为半径的圆上， ∵ O A = O B = O C = O D ， ∴点D在以O为圆心的同一个圆上， 故A，B，C，D四个点在以O为圆心的同一个圆上； ②如图，过点E作在 E G ⊥ A D 于点D， ∵ A E = A B ， ∴ADE=ADB， ∵ A E = A B = 4 ，BC=8， ∴ ta n  A D E = ta n  A D B = A B B C = E G G D = 1 2 ， 设EG=x，GD=2x，则AG= AD−GD=8−2x， ∴ ( 8 − 2 x ) 2 + x 2 = 1 6 ， 解得 x = 1 2 5 , x = 4 （舍去）， ∴△AED的面积 1 2  8  1 2 5 = 4 8 5 ． （2）根据折叠的性质，得到CB=CH =8,BA=HG=4,CHG=90， ∵CH CD+DH，∴ 20 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 D H ≥ C H − C D = 4 ， ∴当点C，D，H三点共线时， D H = 4 最小， 此时 G D H 面积的为 1 2 G H  D H = 1 2  4  4 = 8 ，最小． 【点睛】本题考查了矩形的性质，构造辅助圆，正切函数，勾股定理，三角形不等式，熟练掌握正切函数， 辅助圆，勾股定理，三角形不等式是解题的关键． 25．(1)见解析 (2) ( 1 , − 1 ) , ( 2 , − 1 ) (3)k＞4  y=a(x−h)2−1 【分析】（1）联立 ，解方程，判断方程的解得个数即可解答；  y=k(x−h)−1 （2）根据 a = 1 时， C : y 1 = ( x − h ) 2 − 1 ，结合抛物线C与x轴交于 A ( x 1 , 0 ) ， B ( x 2 , 0 ) 两点，结合x x ， 1 2 1 则x =h−1,x =h+1，且0x + x 3，求得 1 2 1 3 2 1 2  h  1 1 4 ，确定h的整数解有1,2两个，得证． （3）根据题意，得当 x = h + 2 时， y ＞2 y 1 恒成立．建立不等式解答即可． 本题考查了抛物线与一次函数的综合，不等式组的解集与整数解，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．  y=a(x−h)2−1 【详解】（1）联立 ，  y=k(x−h)−1 解方程，得 x = h , x = a h + a k ， 当x=h时， y=−1， 即直线与抛物线恒过点 (h,−1) ，故直线l与抛物线C至少有一个交点． （2）当 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 21 a = 1 时，C:y =(x−h)2−1， 1 ∵抛物线C与x轴交于A(x,0) ，B(x ,0) 两点， 1 2 ∴x−h=1， ∵ x 1  x 2 ， ∴ x 1 = h − 1 , x 2 = h + 1 ， 1 ∵0x + x 3， 1 3 2 ∴ 0  4 3 h − 2 3  3 解得 1 2  h  1 1 4 ， ∵h时整数， ∴ h = 1 , h = 2 ， 故抛物线C存在两个横坐标为整数的顶点，且顶点坐标为 ( 1 , − 1 ) , ( 2 , − 1 ) ． （3）．∵如图所示：由（1）可知：抛物线C与直线 l 都过点 A ( h , − 1 ) ． 当 0 ＜ a  2 ， k  0 ，在直线 l 下方的抛物线C上至少存在两个横坐标为整数点， 即当 x = h + 2 时， y ＞2 y 1 恒成立． 故k(h+2−h)−1＞a(h+2−h)2−1， 整理得： k ＞ 2 a ． 又∵ k ＞ 2 a ， ∴ 0 ＜ 2 a ＜ 4 ， ∴k＞4．