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专题4.26 余角和补角（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
1．下面说法正确的是（ ）
A．两点之间，直线最短
B．连接两点的线段叫做两点间的距离
C．一个锐角的补角比这个角的余角大90°
D．若∠AOC＝ ∠AOB，则OC是∠AOB的平分线
2．如图所示，∠AOC与∠BOD都是直角，且∠AOB∶∠AOD＝2∶11，则∠AOB＝（
）
A．10° B．15° C．20° D．30°
3．如图， 是一条直线， ，图中互补的角有（ ）
A．4对 B．5对 C．6对 D．7对
4．如图，射线OC、OD把平角∠AOB三等分，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，下
列说法正确的是（ ）
A．图中只有两个120°的角 B．图中只有∠DOE是直角
C．图中∠AOC的补角有3个 D．图中∠AOE的余角有2个
5．一个角的补角为 ，则这个角的余角为（ ）
A． B． C． D．6．一个锐角的补角比它的余角（ ）
A．大45° B．小90° C．大90° D．小45°
7．如图，两块直角三角板的直角顶点O重合在一起，若 ，则
的度数为（ ）
A．22.5° B．23.2° C．25.5° D．30°
8．下列说法中错误的有（ ）．
（1）一个锐角的余角比这个角大；
（2）一个锐角的补角比这个角大；
（3）一个钝角的补角比这个角大；
（4）直角没有余角，也没有补角；
（5）同角或等角的补角相等；
（6）若 与 互余， 与 互余，则 与 也互余．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中 与 互补的是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，按照上北下南，左西右东的规定画出方向十字线，∠AOE＝m°，∠EOF＝
90°，OM、ON分别平分∠AOE和∠BOF，下面说法：①点E位于点O的北偏西m°；②图中互余的角有4对；③若∠BOF＝4∠AOE，则
∠DON＝54°；④若 ，则n的倒数是 ，其中正确的有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
二、填空题
11．已知 ，则 的补角是_____________°．
12．如图，射线OA⊥OC，射线OB⊥OD，若∠AOB＝40°，则∠COD＝____°.
13．如图，将一副三角尺的直角顶点重合摆放在桌面上，若∠BOC＝33°，则∠AOD＝
_____°．
14．如图，已知∠BOA＝90°，直线CD经过点O，若∠BOD∶∠AOC＝5∶2，则∠AOC
＝___________，∠BOD＝___________.
15．如图所示，O为直线AB上一点，OC平分 AOE， DOE=90°，则以下结论正确的
有______．（只填序号） ∠ ∠
① AOD与 BOE互为余角；
∠ ∠②OD平分 COA；
③ BOE=5∠6°40′，则 COE=61°40′；
④∠BOE=2 COD． ∠
∠ ∠
16．如图，点E，F分别在长方形 的边 ， 上，连接 ．将长方形
沿 对折，点A落在 处；将 对折，点D落在 的延长线上的 处，得到折痕
．若 ，则 ________°．
17．如图，某海域有三个小岛A，B，O，在小岛O处观测到小岛A在它北偏东62°的
方向上，观测到小岛B在它南偏东38°12＇的方向上，则∠AOB的补角的度数是_____．
18．如图，点A、O、B都在直线MN上，射线OA绕点O按顺时针方向以每秒4°的速
度旋转，同时射线OB绕点O按逆时针方向以每秒6°的速度旋转（当其中一条射线与直线
MN叠合时，两条射线停止旋转）．经过____________秒，∠AOB的大小恰好是60°．三、解答题
19．如图所示， 和 都是直角．
（1）填空：图中与 互余的角有____________；
（2） 与 互补吗？为什么？
20．如图所示，已知 ， 的补角比 大 ．
（1）求 的度数；
（2）过点O作射线OD，使得 ，请你求出 ．
21．如图，已知∠AOC与∠BOD都是直角，∠BOC=65°（1）求∠AOD的度数；
（2）∠AOB与∠DOC有何大小关系？
（3）若不知道∠BOC的具体度数，其他条件不变，（2）的关系仍成立吗？
22．如图，直线 上有一点 ， 平分 ， 是 内部的一条射线．
（1）在图中与 互补的角有___________；
（2）当 ，则 的度数是___________；
（3）当 ， ，求 的度数．
23．如图所示，已知∠BAC=∠EAD=90o.
（1）判断∠BAE与∠CAD的大小关系，并说明理由.（2）当∠EAC=60o时，求∠BAD的大小.
（3）探究∠EAC与∠BAD的数量关系，请直接写出结果,不要求说明理由.
24．如图，将两个直角三角板的顶点叠放在一起进行探究．
(1) 如图①，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起，若CE恰好是∠ACB的平分
线，请你猜想此时CB是不是∠ECD的平分线，并简述理由；
(2) 如图②，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起，若CB始终在∠DCE的内
部，请猜想∠ACE与∠DCB是否相等，并简述理由；
(3) 如图③，若将两个同样的三角板中60°锐角的顶点A叠放在一起，请你猜想∠DAB
与∠CAE有何关系，并说明理由．
参考答案
1．C
【分析】根据两点间的距离的定义对B进行判断；根据余角和补角的定义对C进行判断；根据线段的性质对A进行判断；根据角平分线的定义对D进行判断．
解：A、两点之间，线段最短，所以A选项不符合题意；
B、连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，所以B选项不符合题意；
C、一个锐角的补角比这个角的余角大90°，所以C选项符合题意；
D、若∠AOC＝ ∠AOB，射线OC在∠AOB外，则OC不是∠AOB的平分线，所以D
选项不符合题意．
故选：C．
【点拨】本题考查两点间的距离，余角和补角，线段的性质，角平分线的定义，解题
的关键是掌握以上相关知识点．
2．C
【分析】由∠AOB+∠BOC=∠BOC+∠COD知∠AOB=∠COD，设∠AOB=2α，则
∠AOD=11α，故∠AOB+∠BOC=9α=90°，解得α，从而可求解．
解：∵∠AOC与∠BOD都是直角，
∴∠AOB+∠BOC=∠BOC+∠COD=90°，
∴∠AOB=∠COD， 设∠AOB=2α，
∵∠AOB：∠AOD=2：11，
∴
∴∠AOB+∠BOC=9α=90°，
解得α=10°，
∴∠AOB=20°．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了几何图形中角的计算以及余角和补角，正确表示出各角度数
是解题关键．
3．D
【分析】根据已知条件得到∠AOB=∠COD=∠BOE=90°，即可得到三个直角两两互补，
进而得到∠1=∠3，∠2=∠4，根据补角的定义和等量代换即可得到四对互补的角，问题得
解．
解：∵ ，
∴∠AOB=∠COD=∠BOE=90°，
∴∠AOB+∠COD=180°，∠AOB+∠BOE=180°，∠COD+∠BOE=180°，∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
∴∠1+∠COE=180°，∠3+∠COE=180°，∠4+∠AOD=180°，∠2+∠AOD=180°，
∴图中互补的角有7对．
故选：D．
【点拨】本题考查了补角的定义，余角的定义，同角（等角）的余角相等等知识，熟
知相关知识是解题关键，注意解题时不要忘记所有直角都互补．
4．C
解：∵射线OC、OD把平角∠AOB三等分，
∴ ，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴ ，
∴ ，故A选项不符合题意；
，故B选项不符合题意；
∠AOC与∠AOD、∠FOE、∠BOC都是互为补角，故C选项符合题意；
∠AOE与∠AOC、∠COD、∠BOD都是互为余角，故D选项不符合题意；
故选：C
【点拨】此题考查了角平分线的定义，余角与补角的定义，正确掌握角平分线的定义
求出各角的度数是解题的关键．
5．C
【分析】根据互为补角的定义求出此角，然后再根据余角的定义求出答案即可．
解：这个角是，180°-138°=42°，
这个角的余角是，90°-42°=48°．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了补角和余角，熟练掌握补角和余角的定义是解题的关键．
6．C
【分析】设这个角是∠A，则它的余角是90°-∠A，它的补角时180°-∠A，得出式子
（180°-∠A）-（90°-∠A），求出即可．
解：设这个角是∠A，则它的余角是90°-∠A，它的补角时180°-∠A，
即（180°-∠A）-（90°-∠A）
=180°-∠A-90°+∠A=90°，
所以，一个锐角的补角比它的余角大90°，
故选：C．
【点拨】本题考查了余角和补角，注意：一个角是∠A，则它的余角是90°-∠A，它的
补角是180°-∠A．
7．A
【分析】设∠BOC＝x，根据余角的性质可得∠AOC＝90°−x，∠BOD＝90°−x，则可得
出∠AOD＝∠AOC＋∠BOC＋BOD＝90°−x＋x＋90°−x＝180°−x，根据已知∠BOC：∠AOD
＝1：7，可得x：180−x＝1：7，求解即可得出答案．
解：设∠BOC＝x，
∵∠AOC＝90°−x，∠BOD＝90°−x，
∴∠AOD＝∠AOC＋∠BOC＋BOD＝90°−x＋x＋90°−x＝180°−x，
∵∠BOC：∠AOD＝1：7，
∴x：180−x＝1：7，
解得：x＝22.5°，
∴∠BOC＝22.5°．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了余角的定义及角的计算，熟练掌握余角的定义及角的计算进
行求解即可得出答案．
8．D
【分析】根据余角和补角的定义，如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角
互为余角．如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角进行解答即可．
解：（1）若已知的锐角＞等于45°，则它的余角＜等于45°．错误；
（2）锐角的补角是钝角，正确；
（3）一个钝角的补角一定是锐角，所以钝角的补角比这个角小，错误；
（4）直角有补角，补角为90°，错误；
（5）根据补角定义，同角或等角的补角相等，正确；
（6）若 与 互余， 与 互余，则 = ，错误；
故选：D．
【点拨】本题考查的是余角和补角，熟知相关定义是解答此题的关键．
9．D【分析】根据同角的余角相等，等角的补角相等和邻补角的定义对各小题分析判断即
可得解．
解：A、图中∠ +∠ ＝180°﹣90°＝90°，∠ 与∠ 互余，故本选项不符合题意；
B、图中∠ ＝∠α ，不β 一定互余，故本选项错误；α β
C、图中∠α+∠ β＝180°﹣45°+180°﹣45°＝270°，不是互余关系，故本选项错误；
D、图中∠α+∠β＝180°，互为补角，故本选项正确．
故选：D．α β
【点拨】本题考查了余角和补角，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键．
10．B
【分析】根据方位角的定义，以及角平分线的定义，分别求出所需角的度数，然后分
别进行判断，即可得到答案．
解：∵∠AOE＝m°，
∴∠EOD=90° m°，
∴点E位于点O的北偏西90° m°；故①错误；
∵∠EOF＝90°，
∴∠EOD+∠DOF＝90°，∠AOE+∠BOF=90°，
∵∠AOD=∠BOD=90°，
∴∠AOE+∠EOD=90°，∠DOF+∠FOB=90°，
∠AOM+∠MOD=90°，∠BON+∠DON=90°，
∵OM、ON分别平分∠AOE和∠BOF，
∴∠AOM=∠EOM，∠BON=∠FON，
∴∠EOM+∠MOD=90°，∠FON+∠DON=90°，
∴图中互余的角共有8对，故②错误；
∵∠BOF＝4∠AOE，∠AOE+∠BOF=90°，
∴∠BOF=72°，
∴∠BON=36°，
∴∠DON=90° 36°=54°；故③正确；
∵∠AOE+∠BOF=90°，
∴∠MOE+∠NOF= ，
∴ ，∴ ，
∴n的倒数是 ，故④正确；
∴正确的选项有③④，共2个；
故选：B．
【点拨】本题考查了角平分线的定义，余角的定义，方位角的表示，以及角度的和差
关系，解题的关键是熟练掌握题意，正确找出图中角的关系进行判断．
11．140
【分析】两角互为补角，和为180°，那么计算180°-∠1可求补角．
解：设所求角为∠α，
∵∠α+∠1=180°，∠1=40°，
∴∠α=180°-40°=140°．
故答案为：140．
【点拨】此题考查的是角的性质，两角互余和为90°，两角互补和为180°．
12．40
【分析】根据OA⊥OC，OB⊥OD，可得∠AOC=90°，∠BOD=90°，然后得到∠AOB
与∠BOC互余，
∠COD与∠BOC互余，根据同角的余角相等，继而可求解即可．
解：∵OA⊥OC，OB⊥OD，
∴∠AOC=90°，∠BOD=90°，
∴∠AOB与∠BOC互余，
∠COD与∠BOC互余，
∴∠AOB=∠COD =40°，
故答案为40°．
【点拨】本题考查了余角的知识，关键发现∠AOB、∠COD都是∠BOC余角，根据
同角的余角相等解答.
13．147
【分析】根据题意可得：∠AOB=∠AOC+∠BOC=90°，∠COD=∠DOB+∠BOC=90°，即
可得出∠AOB+∠COD=∠AOC+∠BOC+∠DOB+∠BOC=180°，由
∠AOD=∠AOC+∠DOB+∠COB，代入计算即可得出答案．
解：∵∠AOB=∠AOC+∠BOC=90°，∠COD=∠DOB+∠BOC=90°，∴∠AOB+∠COD=∠AOC+∠BOC+∠DOB+∠BOC=180°，
∵∠AOD=∠AOC+∠DOB+∠COB，
∴∠AOD=180°-∠BOC=180°-33°=147°．
故答案为：147
【点拨】本题主要考查了余角的定义，熟练掌握余角的定义进行求解是解决本题的关
键．
14． 60°; 150°
【分析】根据一个角的余角与这个角的补角的关系，可得∠BOD与∠AOC的关系，
再根据解方程组，可得答案．
解：∵∠AOC+∠BOC=90°，∠BOD+∠BOC=180°，
∴∠BOD=∠AOC+90°①，
∵∠BOD：∠AOC=5：2，
∴∠BOD=2.5∠AOC，②
把②代入①得2.5∠AOC=∠AOC+90°，
解得∠AOC=60°，
∠BOD=2.5∠AOC=2.5×60°=150°，
故答案为60°，150°．
【点拨】本题考查了角的计算，利用了一个角的余角与这个角的补角的关系．
15．①③④
解：∵∠DOE=90°，
∴∠COD+∠COE=90°，∠EOB+∠DOA=90°，（①正确）
若∠BOE=56°40′，
∵∠AOE+∠BOE=180°，
∴∠COE= （180°-∠BOE）=61°40′．（③正确）
∵OC平分∠AOE，
∴∠AOE=2∠COE=2∠AOC；
∵∠BOE=180°-2∠COE，
∴∠COD=90°-∠COE
∴∠BOE=2∠COD成立.（④正确）
∴①③④正确．
故答案为①③④.16．20
【分析】先由翻折的性质得到∠BEA＝∠BEA′，∠DEF＝∠D′EF，从而可知∠BEF＝
×180°＝90°，然后根据余角的性质即可得到结论．
解：由翻折的性质可知：∠BEA＝∠BEA′＝70°，∠DEF＝∠FED′，
∴∠BEF＝∠BEA′＋∠FED′＝ ∠AEA′＋ ∠DED′＝ ×180°＝90°．
∴∠FED′＝90°−∠BEA′＝90°−70°＝20°．
故答案为：20．
【点拨】本题主要考查的是翻折的性质、余角的定义，掌握翻折的性质是解题的关键．
17．100°12′．
【分析】根据已知条件可直接确定∠AOB的度数，再根据补角的定义即可求解．
解：∵OA是表示北偏东62°方向的一条射线，OB是表示南偏东38°12′方向的一条射线，
∴∠AOB=180°-62°-38°12′=79°48′，
∴∠AOB的补角的度数是180°-79°48′=100°12′．
故答案是：100°12′．
【点拨】本题考查了余角和补角、方向角及其计算，基础性较强．
18．12或24
【分析】设经过x秒，∠AOB的大小恰好是60°．分∠AOM＋∠AOB＋∠BON＝180°
和∠AOM＋∠BON﹣∠AOB＝180°两种情况，可得关于x的一元一次方程，解之即可求得结
论．
解：设经过x秒，∠AOB的大小恰好是60°．
由题意可得：当∠AOM＋∠AOB＋∠BON＝180°时，即 ,解得：
当∠AOM＋∠BON﹣∠AOB＝180°时，即 ，解得： ，
故答案为：12或24．
【点拨】本题考查一元一次方程的应用和角的计算，解题的关键是找出等量关系，正
确列出一元一次方程．
19．（1）∠AOB和∠COD；（2）互补，理由见分析
【分析】（1）根据∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC=90°，解答即可；
（2）求出∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠BOD，代入求出即可．
解：（1）因为∠AOC和∠BOD都是直角，所以∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC=90°，
所以∠BOC与∠AOB互余，∠BOC与∠COD互余，
所以图中与∠BOC互余的角有∠AOB和∠COD；
（2）∠AOD与∠BOC互补，理由如下：
因为∠AOC和∠BOD都是直角，
所以∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC=90°，
又因为∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠COD，
所以∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠BOC+∠COD+∠BOC=180°，
所以∠AOD与∠BOC互补．
【点拨】本题考查了角的有关计算．解题的关键是明确角的有关计算方法，以及能够
根据图形进行计算，题目比较好，难度适中．
20．（1）40°；（2） 或 ．
【分析】（1）根据题意先求得 的补角，结合 ， 的补
角比 大 列出方程，求解即可；
（2）分射线OD在 内部和外部两种情况讨论，根据（1）的结论可知
，结合题意 ，列出方程，求解即可．
解：（1） 的补角为 ，
因为 ， 的补角比 大
所以 ，
则 ，
即 ， ，
所以 ；
（2）由（1）得， ，
①当射线OD在 内部时，
，
则 ；②当射线OD在 外部时，
，
则 ．
综上所述， 的度数为 或 ．
【点拨】本题考查了补角的定义，角度的计算，运用方程的思想计算，分类讨论是解
题的关键．
21．(1)115°;(2)证明见分析；（3）成立.
【分析】(1)根据直角的定义可以求得∠DOC＝∠BOD－∠BOC；然后由角间的和差关
系可以求得∠AOD的度数；
(2)根据图示知∠AOB＝∠AOC－∠BOC，据此可以求得∠BOC的度数，结合(1)求得的
∠AOD的度数即可解答；
(3)根据同角的余角相等解答.
解：（1）∵∠DOC=∠DOB-∠BOC=90°-65°=25°，
∴∠AOD=∠AOC+∠DOC=90°+25°=115°．
（2）∵∠DOC=25°，∠AOB=∠AOC-∠BOC=90°-65°=25°，
∴∠AOB=∠DOC．
（3）成立，
∵∠AOB=∠AOC-∠BOC=90°-∠BOC，
∠COD=∠BOD-∠BOC=90°-∠BOC，
∴∠AOB=∠COD．
【点拨】本题考查了余角的和等于90°的性质，同角的余角相等的性质，都是基本性
质，需要熟练掌握．
22．（1） 和 ；（2）90°；（3） 54°
【分析】（1）通过OC平分∠AOD得出∠AOC=∠DOC，推导出
∠DOC+∠BOC=180°，根据补角的概念即可判断；（2）通过 得出∠EOD=∠BOE，通过∠EOC=∠DOC+∠EOD即可得出
的度数；
（3）通过 得出∠BOE=3∠EOD，推导出∠EOD=18°，即可得出
的度数．
解：（1）∵OC平分∠AOD，
∴∠AOC=∠DOC，
∵点O为直线AB上一点，
∴∠AOB=180°，
即∠BOC+∠AOC=∠AOB=180°，
则∠DOC+∠BOC=180°，
故图中与∠BOC互补的角有∠AOC和∠DOC；
(2) ∵∠BOD=∠EOD+∠BOE=2∠EOD，
∴∠EOD=∠BOE，
又∠EOC=∠DOC+∠EOD= ∠AOD+ ∠BOD=∠AOB=90°，
故∠EOC=90°；
（3）∠BOD=∠EOD+∠BOE=4∠EOD，
∴∠BOE=3∠EOD，
∵∠EOC=∠DOC+∠EOD=72°，
∴∠AOC=∠DOC=72°-∠EOD，
∴∠AOB=∠AOC+∠DOC+∠EOD+∠BOE=72°-∠EOD+72°-
∠EOD+∠EOD+3∠EOD=180°，
∴∠EOD=18°，
则∠EOB=3∠EOD=3×18°=54°，
故∠EOB的度数为54°．
【点拨】本题考查了补角的概念，角度的计算和角平分线的定义，准确识图并熟记概
念是解题的关键．
23．（1）∠BAE=∠CAD，理由见分析；（2） ；（3）∠EAC+∠BAD= .
【分析】（1）由同角的余角相等可得；
（2）当∠EAC=60o时，可求得∠BAE=30o ，从而得出∠BAD的度数.
（3）根据第（2）得出的∠BAD的度数，可得出二者的数量关系.
解：（1）解:∠BAE与∠CAD的大小关系是：∠BAE=∠CAD
理由是：∠BAE+∠EAC=∠EAC+∠CAD=90ｏ
所以， 由同角的余角相等可得，∠BAE=∠CAD .
（2）解：当∠EAC=60o时，已知∠BAC=∠EAD=90o.
所以，∠BAE=∠BAC－∠EAC
=90o－60o=30o.
因此，∠BAD=∠BAE+∠EAD=30o+90o=120o.
（3）解：∠EAC与∠BAD的数量关系是：∠EAC+∠BAD=180o.
【点拨】本题考查的知识点是角的计算，根据已知条件判断两角的大小并探究两角之
间的数量关系，考验了学生探究归纳的能力.
24．(1)CB是∠ECD的平分线，理由见分析(2)∠ACE=∠DCB，理由见分析
(3)∠DAB+∠EAC=120°，理由见分析
【分析】（1）根据角平分线的定义求得∠ECB=45°，进而求得∠BCD=45°，证得
∠ECB=∠DCB即可解答；
（2）根据等角的余角相等解答即可；
（3）根据角的运算求解即可．
(1)解：CB是∠ECD的平分线．
理由：∵∠ACB=90°，CE恰好是∠ACB的平分线，
∴∠ECB=45°，
∵∠DCE=90°，
∴∠DCB=90°－45°=45°，
∴∠ECB=∠DCB，
∴CB是∠ECD的平分线 ；
(2)解：∠ACE=∠DCB．
理由：∵∠ACB=∠DCB=90°,
∴∠ACE+∠ECB=90°，∠DCB+∠ECB=90°，
∴∠ACE=∠DCB；
(3)解：∠DAB+∠EAC=120°．
理由：∵∠BAE=∠CAD=60°，
∴∠DAE+∠EAC=60°，∠EAC+∠CAB=60°，
∴∠DAE+∠EAC+∠EAC+∠CAB=120°，∵∠DAE+∠EAC+∠CAB=∠DAB，
∴∠DAB+∠CAE=120°．
【点拨】本题考查三角板中角的运算、等角的余角相等、角平分线的定义，熟练掌握
图形中的角的运算是解答的关键．
