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4.3.1 角
1.理解角的概念，掌握角的表示方法.
2.会比较角的大小，认识角的常用度量单位，并能进行简单的换算，会计算角的 和与差.
3.理解角的平分线的概念，会用符号语言表示，
4.了解余角和补角的概念，掌握余角和补角的性质，并能应用这些性质解决相关问题.
知识点一 角的概念及表示方法
1.角的概念
(1)(静态)有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，
这两条射线是角的两条边.
(2)(动态)角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，旋转开始
时的射线叫做角的始边，终止时的射线叫做角的终边.
注意：
1.“公共端点(顶点)”和“两条射线(边)”这两个条件缺一不可.
2.平角和周角都是角，而不是“线”,不能说“平角是直线”或“直线是平角”,
也不能说“周角是射线，射线是周角”.
即学即练 下列说法：①两条射线所组成的图形叫做角；②一条射线旋转而成的图形叫
做角；③两边成一直线的角是平角；④平角是一条直线.其中正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.角的表示方法
图形 记法 说明
字母O表示顶点，要写在
用三个大写字母表示， 中间， A,C表示角的两
左 边上的点，用该表示法
可以
图的角记作∠AOC
表示任何一个角
用一个大写字母表示， 当以某一个字母表示的顶点的角只有一个时，
左图 的角记作∠O 可用这个顶点的字母来
表示角
用数字 1,2,3,…表示，
或 用 小 写 希 腊 字 母 要在靠近角的顶点处加
α,β, 上弧线，该表示法形象
直观，只方便表示单独
…表示，∠AOB 可记作
的角，不方便表示含有
∠1,∠BOC可记作∠2,
角的角
∠DOC可记作∠α
注意：
(1)用三个大写字母可表示任一角(顶点字母写中间);
(2)用一个大写字母表示独立角(必须用顶点字母);
(3)用数字或希腊字母表示单独角(顶点处必须画弧线，并标上数字或希腊字母).
(4)在表示角时，同一个角可能有多种表示方法， 一般选取较简单的表
示方法.
知识点二 角度制及换算
1.角的度量单位
把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°;
把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1';
把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1".
2.角度制的概念
以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制.
3.角度制的换算
1周角=360°,1平角=180°,1°=60',1'=60".
注意：
角的大小与边的长短无关，因为角的两边是射线，不可以度量.角的大小只与构
成角的两边张开的大小有关.角既可以度量，也可以比较大小，还可以参与运算.
4.角的度量单位之间的关系:
， ， .， ，
题型1 角的概念理解
例1（2023上·湖南衡阳·七年级校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．由两条射线组成的图形叫做角 B．多项式 是三次三项式
C．八棱锥有9个面 D．“a与 的和的3倍”表示为
举一反三1（2023上·广东佛山·七年级校考期中）下列说法不正确的是（ ）
A． 直角 周角 B． 周角 平角
C．角的两边越长角就越大 D．经过两点有且只有一条直线
举一反三2（2022上·黑龙江大庆·六年级校考期末）用放大2倍的放大镜看 的角，看
到的角的度数是（ ）
A． B． C． D．不确定
举一反三3（2023上·吉林松原·七年级校联考期末）在 的内部引一条射线，图中共
有3个角；若引两条射线，图中共有6个角；若引n条射线，图中共有 个角．
题型2 角的表示方法
例2（2023上·河北石家庄·七年级统考期中）下列图形中，能用 和 表示同一个角的是（ ）
A． B．
C． D．
举一反三1（2023上·全国·七年级专题练习）如图所示，回答下列问题：
(1)写出能用一个字母表示的角： ；
(2)写出以点B为顶点的角 ；
(3)图中共有 个小于平角的角．
举一反三2如图所示，回答下列问题：
(1)写出能用一个字母表示的角：________________；
(2)写出以点B为顶点的角________________；
(3)图中共有______________个小于平角的角．题型3 角的分类
例3（2022上·湖南娄底·七年级统考期末）在一副七巧板中，有我们学过的（ ）
A．8个锐角，6个直角，2个钝角 B．12个锐角，9个直角，2个钝角
C．8个锐角，10个直角，2个钝角 D．6个锐角，8个直角，2个钝角
举一反三1（2023上·全国·七年级专题练习）下列说法中，正确的有 个
①小于 的角是锐角；②等于 的角是直角；③大于 的角是钝角；
④平角等于 ；⑤周角等于 ．
举一反三2（2023上·湖北武汉·七年级统考阶段练习）因为钝角大于 ，所以大于 的
角就是钝角．
题型4 画特殊角
例4（2021上·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）用一副三角板不能画出的角是（ ）．
A．75° B．105° C．110° D．135°
举一反三1（2022上·湖北武汉·七年级统考期末）画图，说理题
如图，已知四个点A、B、C、D；
(1)画射线 ；
(2)画线段 ；
(3)画 ；
(4)画出一点P，使P到点A、B、C、D的距离之和最小，并说明理由．举一反三2（2021上·安徽宣城·七年级统考期末）（1）请在给定的图中按照要求画图：
①画射线AB；
②画平角∠BAD；
③连接AC．
（2）点B、C分别表示两个村庄，它们之间要铺设燃气管道．若节省管道，则沿着线段
BC铺设．这样做的数学依据是： ．
举一反三3（2021上·广西玉林·七年级统考期末）如图，已知 ，按下列要求画图．
（1）在 的内部画射线 ；
（2）画 ，使 在 的内部；
（3）在完成（1）、（2）后，图中共______个角，并写角的名称．
题型5 钟面角
例5（2023上·陕西西安·七年级校考阶段练习）钟表上显示的时刻是10点30分时，时针
与分针所成的角是（ ）
A． B． C． D．
举一反三1（2023上·陕西西安·七年级校考阶段练习）每天早上9点10分我们的“课间操
分享”活动都会如约而至，此时时针与分针所夹的角为( )A． B． C． D．
举一反三2（2023上·广西梧州·七年级统考期末）从2时整到3时35分，时针转过的角度
是（ ）
A． B． C． D．
举一反三3（2023上·陕西西安·七年级校考阶段练习）每天下午第一节课的时间是 分，
则 时的分针与时针夹角是 度．
举一反三4（2023上·江苏盐城·七年级校联考阶段练习）“时钟里的数学问题”：时钟是
我们日常生活中常用的生活用品，钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，如图1，表盘中1
－12均匀分布，分针60分钟转动一周是 ，时针60分钟移动一周的 是 ，这样，
分针转速为每分钟转6度，时针转速为每分钟转 度．
【课题学习】三点二十分时，时针与分针所成角度多少度？解决这个问题，可以先考虑三
点整，时针与分针所成角度为 ；从三点到三点二十分，我们可以先计算分针转动的角
度， ，时针转动的角度， ， ，三点二十分时，
时针与分针所成角度是 ，
【问题解决】
(1)三点三十分时，时针与分针所成角度是______ ，三点四十分时，时针与分针所成角度
是______ ；
(2)如图2，十二点钟时，时针与分针重合，在十二点钟到十三点钟之间，小明发现存在着
时针和分针垂直的情况，请求出具体的时刻：
(3)当时针和分针所成角度为 时形成一条直线，这条直线刚好平分钟面，我们将这样的
时刻称为“美妙时刻”，如图3，六点整就是一个美妙时刻，从0时到24时共______个美妙时刻．
题型6 方向角的表示
例6（2022上·广东湛江·七年级校考期末）如图， 是直角，则射线 表示的方向
是（ ）
A．南偏西 B．南偏东 C．北偏西 D．北偏东
举一反三1（2023上·黑龙江绥化·六年级校考期中）以学校为观测点，广场在西偏北30°
的方向上，如图中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
举一反三2科技馆在博物馆的北偏西 方向，那么博物馆在科技馆的（ ）方向．
A．北偏西 B．南偏东 C．西偏北 D．东偏南
举一反三3（2023上·陕西西安·七年级西安市西光中学校考阶段练习）如图，在灯塔 处
观测到轮船 位于北偏西 的方向， ，那么轮船 在灯塔 的 的方向
上．举一反三4（2023上·黑龙江绥化·六年级校考期中）根据图示信息回答问题．
(1)龙龙从家出发，先向东偏（ ）（ ） 方向走（ ） ，到达体育馆，接着从体育馆
向北偏（ ）（ ） 方向走（ ） 到达娱乐场．
(2)已知公园在龙龙家北偏东 方向 处，电影院在体育馆北偏西 方向 处，
请你在图中标出公园和电影院的位置．
题型7 与方向角有关的计算题
例7（2022上·浙江台州·七年级统考期末）如图，射线 的方向是北偏东20°，射线 的
方向是西北方向，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
举一反三1（2023上·北京西城·七年级北师大实验中学校考阶段练习）从点A出发沿北偏
东 方向可行至点B，从点A出发沿南偏西 方向可行至点C，那么 的度数为（ ）
A． B． C． D．
举一反三2（2023上·吉林长春·七年级长春市第八十七中学校考阶段练习）如图，一艘轮
船行驶到 处时，测得小岛A、 的方向分别为北偏西 和西南方向，则 的度
数是（ ）
A． B． C． D．
举一反三3（2023上·江苏南通·七年级启东市长江中学校考阶段练习）如图，甲沿北偏东
方向前进，乙沿图示方向前进，甲与乙前进方向的夹角 为 ，则此时乙位于
A地的 ．
举一反三4（2023上·黑龙江绥化·六年级校考期中）以A岛为观测点，B岛在东偏
方向，距A岛 ，以B岛为观测点A岛在 偏 方向，距B岛 ．一、单选题
1．（2023上·黑龙江绥化·七年级统考期末）下列说法正确的是（ ）
A．单项式 的次数是2
B．如果 ，那么
C．连接两点之间的线段，叫做这两点之间的距离
D．若点 在点 的北偏东 方向上，点 在点 的西北方向上，则
2．（2023上·西藏日喀则·七年级校考期末）为保障学生的睡眠时间，教育部规定，小学生
上课时间不能早于 ．如图，8点钟时，分针与时针所夹的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·吉林松原·七年级校联考期末）下列说法正确的是（ ）
A．两条射线组成的图形叫作角 B．延长直线 至点C
C．两点之间直线最短 D．两点确定一条直线
4．（2022上·新疆省直辖县级单位·七年级校考期末）下列说法：（1）两条射线组成的图
形叫做角；（2）角的两边是两条直线；（3）角的大小与我们画出的角的两边的长短无关；
（4）线段上有无数个点；（5）两个锐角的和一定是钝角，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2023上·重庆江北·七年级字水中学校考期末）如图，下列表示不正确的是（ ）A． B．
C． D．
二、填空题
6．（2022上·江西赣州·七年级统考期末）把一个 的角放在 倍的放大镜下看，这个角
是 度．
7．（2020上·广东湛江·七年级校考期末）如图，某海域有三个小岛A，B，O，在小岛O处
观测小岛A在它北偏东 的方向上，小岛B在它南偏东 ，则 的度
数是 ．
8．（2023上·福建福州·七年级统考期末）甲看乙的方向为北偏东 ，那么乙看甲的方向
是 ．
9．（2022上·黑龙江绥化·六年级校考期末）如果公园在广场的东偏北 方向上，距离是
，那么广场在公园的( )方向上，距离是( ) ．
三、解答题
10．（2023上·西藏日喀则·七年级校考期末）作图：如图，平面上有四个点A，B，C，D．
按下列要求在下图中用三角板或直尺画出图形：
(1)画射线 ；(2)画直线 ，与射线 相交于点M；
(3)画 ；
(4)连接 ，线段 与线段 交于点 ．
11．（2022上·黑龙江鸡西·六年级统考期末）（1）荷花池在喷泉的北偏东 的方向上，
这是以______为观测点．
（2）丽丽家在学校北偏东______ 方向，距离是 ．
玲玲家在学校北偏西______ 方向，距离是 ．
芳芳家在学校南偏______ 方向，距离是 ．
12．（2023上·江苏淮安·七年级统考期末）生活处处有数学，就看你是否有数学的眼光．
同学们都见过机械手表吧，让我们一起去探索其中隐含的数学知识．
一块手表如图①所示，把它抽象成数学模型：如图②，表带的两端用点A和点D表示，表
盘与线段 交于点B、C，O为表盘圆心．
(1)若 为4 ， ，B是 中点，则手表全长 ．
(2)表盘上的点B对应数字“12”，点C对应数字“6”， 为时针， 为分针，8：30时表
盘指针状态如图③所示，分针 与 重合．
① 度；
②作射线 ，使 ，求此时 的度数．
(3)如图④所示，F在 下方，已知 ，从 (分针 与 重合， 仍为时
针）开始，在一小时以内，经过多少分钟后，射线 、射线 、射线 中一条射线是另两条射线组成的角的平分线．
