文档内容
3.1.2 等式的性质
1.会利用等式的两条性质解方程．
2.了解等式的概念和等式的两条性质，并能运用这两条性质解方程．
3.由具体实例抽象出等式的性质．
知识点一 等式的性质1
等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等
用式子表示为如果 ,那么 .
知识点二 等式的性质2
等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数，结果仍相等
,那么 ;如果 ,那么
如果
提示
等式的两条基本性质是解一元一次方程的依据.
知识点三 等式的另外两种常用性质
除了以上两个性质外,等式还有以下性质:
(1) :若 ,则 ;(2)传递性:若 , ,则
对称性
即学即练1 在下列各题的横线上填上适当的数或整式，使所得结果仍是等式，并说明根
据的是等式的哪一条性质以及是怎样变形的．
（1）如果x-2=3，那么x= ，理由：根据等式性质 ，在等式两边
．
（2）如果-2x=2y．那么x= ．理由：根据等式性质 ，在等式两边
．（3）如果3x=4+2x，那么x= ，理由：根据等式性质 ，在等式两边
．
m n
（4）如果- = ，那么m= ．理由：根据等式性质 ，在等式两边
10 5
．
即学即练2 （2022秋·北京西城·七年级北师大实验中学校考期中）下列变形中，不正确
的是（ ）
A．若x= y，则x+3= y+3 B．若-2x=-2y，则x= y
x y x y
C．若 = ，则x= y D．若x= y，则 =
m m m m
即学即练3 利用等式的性质解一元一次方程
（1）2x-3=9 （2）-x+2=4x-7
1
（3）4x+2=x （4） x+2=1-x
3
题型一 用一个字母表示另一个字母
例1（2023春·河南驻马店·七年级统考期末）已知方程3x-2y=5，把它变形为用含x的
代数式表示y，正确的是（ ）
3x-5 3x+5 -3x+5 -3x-5
A．y= B．y= C．y= D．y=
2 2 2 2
举一反三1（2023春·河南驻马店·七年级统考期末）将方程2x-3 y=6变形为用含x的代
数式表示y的形式： ．
举一反三2（2023春·北京海淀·七年级校考期末）将方程3x- y=6变形为用含x的式子表
示y，则y= ．题型二 利用等式性质变形式子
例2（2023春·河南南阳·七年级统考期中）下列等式变形正确的是（ ）
1
A．由4+x=3得x=4+3 B．由 x=0得x=3
3
1
C．由5 y=-4 y+2得5 y+4 y=2 D．由 a-1=3a得a-1=6a
2
举一反三1（2023秋·山东东营·六年级校考期末）设x,y,c是有理数，则下列结论正确的
是（ ）
A．若x= y，则x+c= y-c B．若x= y，则xc= yc
x y x y
C．若x= y，则 = D．若 = ，则2x=3 y
c c 2c 3c
举一反三2（2023春·福建泉州·七年级校考期中）根据等式的基本性质，下列变形不一定
正确的是（ ）
A．若a=b，则ac2=bc2 B．若ac2=bc2，则a=b
a b a b
C．若 = ，则a=b D．若a=b，则 =
c c c2+1 c2+1
题型三 等式的性质的应用
bx-1
例3（2023春·浙江杭州·七年级统考期末）已知t= (a，b是常数，x≠-a)① ．
x+a
1
(1)若a=-2，b= ，求t；
2
(2)试将等式①变形成“Ax=B”形式，其中A，B表示关于a，b，t的整式；
(3)若t的取值与x无关，请说明ab=-1．
举一反三1（2023春·浙江金华·七年级统考期末）照相机成像的原理公式为：
1 1 1
= + (v≠f )，用v，f表示u的代数式是（ ）
f u v1 v+f fv
A．u=f +v B．u= +v C．u= D．u=
f fv v-f
举一反三2（2023秋·河北邢台·七年级统考期末）如下图可以表示的等式变形是（ ）
（其中a、b、c均为正数）
A．如果a+c=b+c，那么a=b B．如果a=b，那么a+c=b+c
C．如果2a=2b，那么a=b D．如果a=b，那么2a=2b
题型四 规律探究
例4（2023秋·河北承德·七年级校考期末）用同样大小的两种不同颜色的正方形纸片，按
如图方式拼成长方形：
第①个图形中有2张正方形纸片；
第②个图形中有2(1+2)=6=2×3张正方形纸片；
第③个图形中有2(1+2+3)=12=3×4张正方形纸片；
第④个图形中有2(1+2+3+4)=20=4×5张正方形纸片；
请你观察上述图形与算式，完成下列问题：
(1)第⑤个图形中有 张正方形纸片（直接写出结果）；根据上面的发现我们可以猜想第n个
图形中有 张正方形纸片；
(2)由（1）可得：1+2+3+⋅⋅⋅+n= （用含n的代数式表示）；
(3)根据你的发现计算：121+122+123+⋅⋅⋅+300．举一反三1（2023秋·湖北恩施·七年级统考期末）在数轴上，点M，N对应的数分别是m，
（ ， ）， 为线段 的中点，同时给出如下定义：如果|m-n| ，那么
n m≠n mn≠0 P MN =10
n
1
称M是N的“努力点”．例如：m=1，n= 时，M是N的“努力点”．
11
(1)若 ，则 ______， ______．
|m-10|+(n+90) 2=0 m= n=
(2)在（1）的条件下，下列说法正确的是______（填序号）；
①M是P的“努力点”； ②M是N的“努力点”；
③N是M的“努力点”； ④N是P的“努力点”．
m
(3)若mn<0，且P是M、N其中一点的“努力点”，求 值？
n
举一反三2（2022秋·湖北省直辖县级单位·七年级校联考期中）（1）观察一列数a =3，
1
a =9，a =27，a =81，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个
2 3 4
常数是_______；根据此规律，如果a （n为正整数）表示这个数列的第n项，那么a =
n 6
_______，a = _______；（可用幂的形式表示）
n
（2）如果想要求 的值，可令
1+2+22+23+...+210 S =1+2+22+23+...+210 ①
10
将①式两边同乘以2，得___________ ②，
由②减去①式，得S ＝__________________．
10
（3）若（1）中数列共有20项，设S =3+9+27+81+...+a ，请利用上述规律和方法
20 20
计算S 的值．（列式计算）
20
一、单选题
y
1.（2023春·安徽合肥·七年级校考期中）由x- =1可以得到用x表示y的式子为（ ）
2A．y=2x-2 B．y=2x+2 C．y=-2x-1 D．y=-2x+1
2．（2023春·福建泉州·七年级统考期中）在下列方程的变形中，正确的是（ ）
2 1
A．由2x=-3得x=- B．由 x=0得x=2
3 2
1 1
C．由4x-3=3x得4x-3x=3 D．由于 x= 得x=2
2 4
3．（2023春·福建泉州·七年级校考期中）根据等式的基本性质，下列结论正确的是（ ）
A．若x= y，则x+2= y-2 B．若2x= y，则6x= y
a
C．若ax=2，则x= D．若x= y，则x-c= y-c
2
二、填空题
（2023春·湖南郴州·七年级校考期末）已知方程x-2y+1=0，用含x的代数式表示y的形
式为 ．
x 2x
2．（2023秋·内蒙古巴彦淖尔·七年级校考期末）方程 - =0.1可变形成为
0.3 0.7
10x 20x
- = ．
3 7
a b
3．（2023春·重庆·七年级重庆市凤鸣山中学校联考期中）由a=b，得 = ，那么c应该满
c c
足的条件是 ．
三、解答题
1.（2023秋·浙江嘉兴·七年级统考期末）小周学习《5．2等式的基本性质》后，对等式
5m-2=3m-2进行变形，得出“5=3”的错误结论，但他找不到错误原因，聪明的你能
帮助他找到原因吗？小周同学的具体过程如图所示：
将等式5m-2=3m-2变形
得5m=3m（第①步）
∴5=3（第②步）
(1)哪一步等式变形产生错误？
(2)请你分析产生错误的原因．2．（2022秋·浙江·七年级期中）已知a-2b=5．
(1)用b的代数式表示a．
(2)求代数式5-3a+6b的值．
(3)a,b均为自然数，且均小于13．求所有满足条件的a,b的值．
3．（2022秋·广东广州·七年级校考期中）先化简，再求值：
，其中： ．
-2a3-3(1-3a)+(3a3-a2-14a+4) a2-3=2a
