文档内容
2.1 整式
1.会用含字母的式子表示数或数量关系
2.理解并掌握单项式、多项式和整式的概念以及它们之间的关系
3.会确定单项式的系数和次数、多项式的项和次数及常数项，掌握它们之间的区别与联系
4.通过单项式、多项式的应用过程,培养符号意识及观察、归纳、概括和语言表达的能力.
知识点一 用含字母的式子表示数或数量关系
1.用含字母的式子表示数或数量关系
用字母或含有字母的式子表示数或数量关系，为我们今后的学习和研究带来了
极大的方便.从具体的数字抽象到用字母表示数,在认识上是一个重大飞跃
2.书写规范
(1)数与字母相乘、字母与字母相乘、数字与括号相乘、字母与括号相乘、括号
与括号相乘,通常将乘号写作“·”或省略不写.如 可以写成 或 .
(2)数与字母相乘,数写在字母前面.如 可以写成 或 .
(3)数字因数为“1”或“-1”时,常省略“1”,如 写成 , 写成
.
(4)当数字因数为带分数时,要写成假分数.如 要写成 .
(5)除法运算要用分数线,如 写成 .
(6)式子后面有单位且式子是和或差的形式时，应把式子用括号括起来.如
元, 等.即学即练 用含字母的式子表示下列数量关系．
（1）小雪买单价为a元的笔记本4本，共花 元；
（2）三角形的底为a，高为h，则三角形的面积是 ；
（3）若正方体的棱长是a–1，则正方体的表面积为 ；
（4）自来水每吨m元，电每度n元，则小明家本月用水8吨，用电100度，应交费
元．
1
【答案】 4a ah 6（a–1）2 （8m+100n）
2
【分析】根据题意列代数式即可；
【详解】解：（1）笔记本4本共花4a元；
1
（2）三角形的面积是 ah；
2
（3）正方体的表面积为6（a–1）2；
（4）用水8吨花费8m元，用电100度花费100n元，共花费（8m+100n）元；
1
故答案为：4a； ah；6（a–1）2；（8m+100n）．
2
【点睛】本题主要考查了列代数式，准确分析列式是解题的关键．
知识点二 单项式
1.单项式的定义
由数或字母的积组成的式子叫做单项式.如 , ， .特别地,单独的一
个数或一个字母也是单项式
2.单项式的系数及次数
单项式的系数是指单项式中的数字因数
单项式的次数是指一个单项式中，所有字母的指数的和
如: 的系数是-,次数是 ,次数是3( 的指数是2, 的指数是1),是三次单项式.
注意：
(1) 圆周率 是常数，单项式中出现 时,要将其看成系数
(2) 当一个单项式的系数是“1”或“-1”时，“1”通常省略不写,如 , ;次数为
“1”时,通常也省略不写,如
(3) 数字与字母的商不是单项式,如 不是单项式，
(4) 单独一个字母的次数是1,而不是0.如单项式 的次数是1而不是0.
(5) 非0常数的次数为 0,如常数 -5的次数是0.
即学即练 找出下列各式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数．
2m 1
(1) ；(2)5a+2b；(3)- y；(4) x2y；(5)25x7.
3 8
2m
【答案】（1），（3），（4），（5）符合单项式的定义，是单项式；（1） 的系数是
3
2 1 1
，次数是1；（3）- y的系数是-1，次数是1；（4） x2y的系数是 ，次数是3；
3 8 8
（5）25x7的系数是25，次数是7.
【分析】根据单项式的定义找出单项式，再根据单项的系数与次数的概念进行求解即可.
【详解】(1)(3)(4)(5)符合单项式的定义，是单项式．
2m 2
(1) 的系数是 ，次数是1；
3 3
(3)- y的系数是-1，次数是1；
1 1
(4)
x2y的系数是
，次数是3；
8 8
(5)25x7的系数是25，次数是7.
【点睛】本题考查了单项式的概念、单项式的系数与次数，熟练掌握相关概念是解题的关
键.
知识点三 多项式
1多项式几个单项式的和叫做多项式,如
2.多项式的项
在多项式中,每个单项式叫做多项式的项,不含字母的项叫做常数项
3.多项式次数
多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数,如 的次数
是3.
提示
(1) 多项式的每一项都包括它前面的符号，且每一项都是单项式
(2) 一个多项式有几项,就叫它几项式.如 有三项，最高次项的次数为3,
所以 叫做三次三项式，注意先说次数再说项，书写时一般用汉字书写.
(3)当一个多项式中的各项的次数都相同，即不存在哪一项的次数最高时,任取某一项
的次数作为这个多项式的次数，如多项式 的次数是2
即学即练 说出下列各式是几次几项式，最高次项是什么？最高次项的系数是什么？常数
项是多少？
（1）7x2﹣3x3y﹣y3+6x﹣3y2+1；
（2）10x+y3﹣0.5．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】（1）根据多项式次数以及最高次项以及最高次项的系数、常数项等定义分别得出
即可；
（2）根据多项式次数以及最高次项以及最高次项的系数、常数项等定义分别得出即可．
【详解】解：（1）7x2﹣3x3y﹣y3+6x﹣3y2+1
是四次六项式，最高次项是﹣3x3y，
最高次项的系数是﹣3，
常数项是1；
（2）10x+y3﹣0.5，
是三次三项式，最高次项是y3，
最高次项的系数是1，
常数项是﹣0.5．
【点睛】此题主要考查了多项式相关的概念，正确把握相关定义是解题关键．知识点四 整式
单项式与多项式统称整式它们的关系可以用图2-1-1表示
提示：
如果一个式子既不是单项式,也不是多项式,那么它一定不是整式.如: , 都是
整式,而 , 都不是整式，是分式（八年级上学期教学内容）
1 1 2x- y 1
即学即练1下列各式 - mn，m，8， ，x2+2x+6， ， 中，整式有（ ）
2 a 5 y
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】B
【分析】根据整式的定义，结合题意即可得出答案．
1
【详解】根据单项式和多项式统称为整式，则整式有：- mn，m，8，x2+2x+6，
2
2x- y
，共5个，
5
故选：B．
【点睛】此题考查了整式的定义：单项式和多项式统称为整式，凡分母中含有字母的代数
式都不属于整式．解题的关键是注意分式与整式的区别及正确记忆整式的类型．
1 3x- y
即学即练2下列各式①- ，②3xy，③a2-b2，④ ，⑤2x>1，⑥-x，⑦0.5+x，
4 5
2
⑧ 中，是整式的有 ，是单项式的有 ，是多项式的有 ．（填
x-1
序号）
【答案】 ①②③④⑥⑦； ①②⑥； ③④⑦；．
【分析】单项式是指只含乘法的式子，单独的字母或数字也是单项式；多项式：若干个单
项式的代数和组成的式子。 多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次
数，就是这个多项式的次数。 不含字母的项叫做常数；整式；单项式和多项式统称为整式．
1 3x- y
【详解】解：整式有：- ，3xy，a2-b2， ，-x，0.5+x
4 51
单项式有：- ，3xy，-x
4
3x- y
多项式有：a2-b2， ，0.5+x
5
2
2x>1是不等式， 是分式，故不属于整式；
x-1
故答案为：①②③④⑥⑦；①②⑥；③④⑦．
【点睛】本题考查整式、单项式、多项式的概念，解决本题关键是搞清整式、单项式、多
项式的概念紧扣概念作出判断．
题型一 用字母表示数
例1（2023秋·江苏·七年级统考期末）一个两位数，它的十位数字是x，个位数字是y，那
么这个两位数是（ ）．
A．x+ y B．10xy C．10(x+ y) D．10x+ y
【答案】D
【分析】根据两位数的表示方法：十位数字×10+个位数字，即可解答．
【详解】解：∵一个两位数，它的十位数是x，个位数字是y，
∴根据两位数的表示方法，这个两位数表示为：10x+ y．
故选：D
【点睛】本题考查了用字母表示数的方法，会用含有字母的式子表示数量是解题的关键．
举一反三1（2023秋·河北张家口·七年级统考期末）某商品先在批发价m元的基础上提高
10%零售，后又降价10%出售，则按后面的售价每销售一件商品的盈亏情况为（ ）．
A．亏损了 B．盈利了 C．不亏不盈 D．盈亏不确定
【答案】A
【分析】原价提高10%后商品新单价为m×（1+10%）元，再按新价降低10%后单价为m×
（1+10%）×（1-10%），通过计算即可得到答案．
【详解】由题意得，后面的售价为：m×（1+10%）×（1-10%）＝0.99m元
∵m＞0，
∴m＞0.99m，∴按后面的售价每销售一件商品，为亏损情况
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数和代数式的知识；解题的关键是熟练掌握有理数混合运算、代
数式的性质，从而完成求解．
举一反三2（2023秋·江西吉安·七年级统考期末）用a表示的数一定是（ ）
A．正数 B．正数或负数 C．正整数 D．以上全不对
【答案】D
【分析】字母可以表示任何数，A、B、C三个选项说法都不全面.
【详解】字母可以表示任何数，即a可以表示正数、0或负数，
故选D.
【点睛】本题考查了代数式，需要注意字母可以表示任意数，既可以是正数，也可以是负
数和0，带有负号的数不一定就是负数.
题型二 列代数式
例2（2023春·黑龙江绥化·九年级统考期末）一种原价均为m元的商品，甲超市连续两次
打八折；乙超市一次性打六折；丙超市第一次打七折，第二次再打九折；若顾客要购买这
种商品，最划算应到的超市是 ．
【答案】乙
【分析】分别求出甲、乙、丙三家超市打折后的商品价格即可．
【详解】解：由题意得：甲超市的价格为：m×0.8×0.8=0.64m（元）
乙超市的价格为：0.6m（元）；
丙超市的价格为：m×0.7×0.9=0.63m（元）
故：乙超市的价格最便宜，
故答案为：乙．
【点睛】本题考查列代数式．注意理解题意．
举一反三1（2023秋·广西柳州·七年级校考期末）一个两位数的个位数字为m，十位数字
为n，则这两位数表示为 ．
【答案】10n+m/m+10n
【分析】根据题意直接列式即可．
【详解】根据题意，这两位数表示为：10n+m，
故答案为：10n+m．【点睛】本题考查了列代数式的知识，明确题意，是解答本题的关键．
举一反三2（2023春·安徽亳州·七年级校考期中）如图，某小区规划在边长为xm的正方形
场地上，修建两条宽为1m的鹅卵石健身步行通道，其余部分种植花草，则下列式子中表示
种植花草面积的是（ ）
A．4x+4 B．2x-1 C．x2-1 D．x2-2x+1
【答案】D
【分析】直接列代数式表示种植花草面积即可．
【详解】解：种植花草面积为：x2-x-x+1=x2-2x+1，
故选D．
【点睛】本题考查列代数式，掌握不规则图形的面积表示方法是解题的关键．
题型三 用代数式表示数、图形的规律
例3（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考期中）下列图形都是由圆点和线段按照一
定的规律排列组成的篆书简化“汉”字，其中，图1中共有12个圆点，图2中共有18个
圆点，图3中共有25个圆点，……，依此规律，则图6中圆点的个数是（ ）
A．42 B．52 C．63 D．75
【答案】B
【分析】将每个图形分为2部分看，每个图形左边均为6个点；右边中间都是1个点；右
边上面依次增加一行，每行依次增加一个；右边下面依次增加一行，每行都是2个点；总
结出一般规律即可求解．
【详解】解：根据图形可知，图1中圆点个数为：6+1+2+3；
图2中圆点个数为：6+1+2×2+3+4；
图3中圆点个数为：6+1+2×3+3+4+5；
图4中圆点个数为：6+1+2×4+3+4+5+6；
图n中圆点个数为：6+1+2n+3+4+5+6……(n+2)，
∴图6中圆点的个数是：6+1+2×6+3+4+5+6+7+8=52，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了图形的变化规律，解题的关键是根据图形，总结出一般规律求解．
举一反三1（2023春·安徽阜阳·七年级校考期末）观察下列图形，完成下列问题．
(1)数一数，完成下列表格．
直线的条
2 3 4 5
数
交点的个
数
(2)若有n条直线相交，则最多有交点__________个．（用含n的代数式表示）
【答案】(1)1，3，6，10
n(n-1)
(2)
2
【分析】（1）根据图形信息即可求解；
（2）根据（1）中直线条数与交点的数量的关系即可求解．
【详解】（1）解：根据图示，
直线的条数 2 3 4 5
交点的个数 1 3 6 10
故答案为：1，3，6，10．
n(n-1)
（2）解：根据题意设有n条直线，则交点的数量为 ，
2
n(n-1) 2×(2-1)
当n=2时，则 = =1；
2 2
n(n-1) 3×(3-1)
当n=3时，则 = =3；
2 2n(n-1) 4×(4-1)
当n=4时，则 = =6；
2 2
n(n-1) 5×(5-1)
当n=5时，则 = =10，符合题意；
2 2
n(n-1)
故答案为： ．
2
【点睛】本题主要考查图形规律与整式的混合运算，理解图示含义，掌握整式的混合运算
是解题的关键．
举一反三2（2023秋·湖北黄石·七年级统考阶段练习）根据下面的图形中圆个数的变化规
律，第10个图形中有( )个圆，第n个图形中有( )个圆．
【答案】 31 3n+1
【分析】根据图形的排序、数量找出规律，即可求解．
【详解】解：第1个图形的数量为4；
第2个图形的数量为4+3=4+3×(2-1)=7；
第3个图形的数量为4+3+3=4+3×(3-1)=10；
……
∴第10个图形的数量为4+3×(10-1)=31；
∴第n个图形的数量为4+3(n-1)=3n+1；
故答案为：31，3n+1．
【点睛】本题主要考查图形规律，有理数的混合运算，理解题目中图形的排序，数量的关
系，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键．
题型四 代数式的概念
例4（2023秋·河北石家庄·七年级石家庄市第四十二中学校考期末）下列说法正确的是（
）
A．单项式－y的系数是－1，次数是0 B．x＋2＝5是代数式
C．多项式2x3y﹣3x﹣2是四次三项式 D．0不是单项式
【答案】C【分析】直接根据单项式，多项式的系数，次数，项数及代数式的定义逐项判断即可得解；
【详解】解：A. 单项式－y的系数是－1，次数是1，故本选项不正确，不符合题意；
B.x＋2＝5是等式，不是代数式，故本选项不正确，不符合题意；
C.多项式2x3y﹣3x﹣2是四次三项式,故本选项正确，符合题意；
D. 0是单项式，故本选项不正确，不符合题意；
故选择：C．
【点睛】本题考查单项式，多项式，代数式的有关概念，明确相关概念是解题的关键．
举一反三1（2023春·山东青岛·七年级统考期中）如图，某品牌自行车每节链条的长度为
2.5cm，交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm．
（1）观察图形，填写如表；
链条节数/x（节） 2 3 4 5 …
链条长度/y（cm
4.2 5.9 7.6 …
）
（2）如果一辆自行车的链条（安装以后）共由60节链条组成，那么链条的总长度是
cm．
【答案】 9.3 102.8
【分析】（1）根据表格可知y与x的关系式，可知x=5时，y的值；
（2）将x=60代入（1）中函数关系式即可．
【详解】解：（1）根据题意，得y=2.5+(2.5-0.8)(x-1)=1.7x+0.8，
当x=5时，y=1.7×5+0.8=9.3，
故答案为：9.3；
（2）当x=60时，y=1.7×60+0.8=102.8（cm），
故答案为：102.8．
【点睛】本题考查了图形的变化规律，函数关系式，根据表格信息表示出函数关系式是解
题的关键．
（2023秋·河北石家庄·七年级校考期末）下列各式中，不是代数式的是（ ）π
A．3a B．0 C．2x＝1
D．a2-
16
【答案】C
【分析】根据代数式的定义逐项判断．
【详解】A、3a是代数式，不符合题意；
B、0是代数式，不符合题意；
C、2x＝1是方程，不是代数式，符合题意；
π
D、a2-
是代数式，不符合题意；
16
故选：C．
【点睛】本题主要考查了代数式的定义，正确把握代数式的定义是解题关键．
举一反三2（2022秋·湖南长沙·七年级校联考期中）下列说法正确的是（ ）
A．2m表示m和m相乘 B．2m的值一定比m的值大
C．2m的值一定比2大 D．2m的值随m的增大而增大
【答案】D
【分析】利用代数式的意义逐项分析判断即可获得答案．
【详解】解：A. 2m表示2和m相乘，故本选项错误，不符合题意；
B. 例如，当m=-1时，2m1,-2d=3．
3 2 n 5 xy a+b
单项式：（ ）；
多项式：（ ）；
整式：（ ）．
b2 xy ab+x b2 xy ab+x
【答案】 ，0，m，4b； +3， ，a-3； ，0，m，4b， +3， ，
3 2 5 3 2 5
a-3
【分析】单项式是指只含乘法的式子，单独的字母或数字也是单项式． 多项式：若干个单
项式的代数和组成的式子．多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次
数，就是这个多项式的次数．不含字母的项叫做常数；整式：单项式和多项式统称为整式．b2
【详解】单项式：（ ，0，m，4b）
3
xy ab+x
多项式：（ +3， ，a-3）
2 5
b2 xy ab+x
是整式：（ ，0，m，4b， +3， ，a-3）
3 2 5
【点睛】本题考查整式、单项式、多项式的概念，熟练掌握相关的概念是解题的关键．
1 a+b
举一反三 1（2023春·广东河源·七年级校考开学考试）在下列代数式： ab， ，
2 2
3 2 3a+2
ab2+b+1， + ，x3+x2-3，π+2， 中，多项式有（ ）
x y 5x
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】多项式是几个单项式的和，可得答案．
1 a+b 3 2 3a+2
【详解】解：在： ab， ，ab2+b+1， + ，x3+x2-3，π+2， 中，
2 2 x y 5x
1
ab，π+2是单项式，
2
3 2 3a+2
+ ， 不是整式，不是多项式，
x y 5x
a+b
多项式有： ，ab2+b+1，x3+x2-3，有3个．
2
故选：B．
【点睛】本题考查了多项式的定义，熟记多项式的定义（由几个单项式的和组成的代数式
叫做多项式）是解题关键．
举一反三1（2023秋·山东济宁·七年级统考期末）下列结论中正确的是（ ）
πx2y 1
A．单项式 的系数是 ，次数是4 B．单项式m的次数是1，系数为0
4 4
1 1 x- y 5 y
C．多项式2x2+x y2+3是二次三项式 D．在 ，2x+ y， a2 ， ， ，0中
x 3 3 4x
整式有4个
【答案】D
【分析】根据单项式次数和系数的定义，多项式项和次数的定义，整式的定义进行求解即
可．πx2y π
【详解】解：A、单项式 的系数是 ，次数是3，原结论错误，不符合题意；
4 4
B、单项式m的次数是1，系数为1，原结论错误，不符合题意；
C、多项式2x2+x y2+3是三次三项式，原结论错误，不符合题意；
1 1 x- y 5 y 1 x- y
D、在 ，2x+ y， a2 ， ， ，0中整式有2x+ y， a2 ， 和0，一共4个，
x 3 3 4x 3 3
原结论正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了单项式的次数、系数的定义，多项式的定义及其次数的定义，整
式的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单
独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母
的指数之和叫做单项式的次数；几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项
式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数；整
式是多项式和单项式的统称．
题型十二 多项式的项、项数或次数
例12（2023秋·上海静安·七年级校考阶段练习）3a2-ab2+2a2-34是 式（填几次
几项）．
【答案】三次四项
【分析】多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，多项式的每一项都是一个单项
式，单项式的个数就是多项式的项数，进而可得出答案．
【详解】3a2-ab2+2a2-34是三次四项式．
故答案为：三次四项
【点睛】本题考查了多项式，掌握多项式的次数和项数是解题的关键．
举一反三1（2023秋·安徽合肥·七年级校考阶段练习）对于多项式-2x3-3x2+x-7，下
列说法正确的是（ ）
A．最高次项是2x3 B．二次项系数是-2
C．常数项是7 D．是三次四项式
【答案】D
【分析】根据几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫作多项式的次数进行分析即可．
【详解】解：多项式-2x3-3x2+x-7最高次项是-2x3，二次项系数是-3，常数项是-7，
是三次四项式，故D选项正确，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了多项式的定义，关键是掌握和多项式有关的定义．
举一反三2（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考开学考试）下列
说法中正确的是（ ）
1 1
A．x- - 是二次三项式 B．单项式-3πx y2z3的系数和次数分别是-3，
x x2
7
x2y2 1
C． 的系数是 ，次数是4 D．x2-2x+25是五次三项式
3 3
【答案】C
【分析】运用多项式及单项式的定义求解．
1 1
【详解】解：A、x- -
是分式，故本选项不符合题意；
x x2
B、单项式-3πx y2z3的系数为-3π，次数为5，故本选项不符合题意；
x2y2 1
C、 的系数是 ，次数是4，故本选项符合题意；
3 3
D、x2-2x+25是二次三项式，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了多项式及单项式的定义，解题的关键是掌握多项式中关于项数和
次数的规定及单项式的次数与系数的概念．
题型十三 多项式系数、指数中字母求值
1
例13（2023秋·甘肃天水·七年级校考期末）若5x2y|m|- (m+1)y2-3是关于x、y的三
4
次三项式，则m= ．
【答案】1
【分析】根据多项式次数和项的定义进行求解即可．
1
【详解】解：∵多项式5x2y|m|- (m+1)y2-3是关于x、y的三次三项式，
4∴¿，
∴m=1，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了多项式的项定义及其次数的定义，解题的关键在于能够熟知相关
定义：几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫
做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数．
举一反三1（2023春·新疆乌鲁木齐·七年级乌市八中校考开学考试）如果
3xn-(m-1)x+1是关于x的三次二项式，则-m+n2= ．
【答案】8
【分析】根据一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式可得
n=3，m-1=0，进一步计算即可求解．
【详解】解：由题意得：n=3，m-1=0，
解得：m=1，n=3，
则-m+n2=-1+92=8，
故答案为：8．
【点睛】此题主要考查了多项式，关键是掌握多项式定义．
举一反三2（2023秋·广西防城港·七年级统考期末）若多项式x2y|m|+(m+2)x2- y+3是
一个关于x，y的四次四项式，则m的值为 ．
【答案】2
【分析】根据多项式的次数和项数的定义，即可求解．
【详解】解：∵多项式x2y|m|+(m+2)x2- y+3是一个关于x，y的四次四项式，
∴|m|=2且m+2≠0，
解得：m=2，
故答案为：2
【点睛】本题主要考查了多项式，熟练掌握一个多项式有几项就叫几项式，次数最高的项
的次数是几就叫几次多项式是解题的关键．题型十四 将多项式按某个字母升幂(降)排列
例14（2023秋·吉林长春·七年级统考期末）将多项式-8a4+a-2a2-4a3降幂排列后，第
二项为 ．
【答案】-4a3
【分析】利用降幂排列的定义进行排列即可得出答案．
【详解】解：将多项式-8a4+a-2a2-4a3按字母a的降幂排列为-8a4-4a3-2a2+a，
故答案为：-4a3．
【点睛】本题考查了多项式按某个字母升幂或降幂的排列，解题时需要注意按x的降幂排
列即要把x按从高次到低次排列．
举一反三1（2023秋·安徽六安·七年级校考期中）将多项式3b-6a2b-2ab-a4b按字母
a降幂排列为 ．
【答案】-a4b-6a2b-2ab+3b
【分析】先分清多项式的各项，然后按多项式降幂排列的定义排列．
【详解】解：多项式3b-6a2b-2ab-a4b的各项为3b,-6a2b,-2ab,-a4b，
按字母a降幂排列为-a4b-6a2b-2ab+3b,
故答案为：-a4b-6a2b-2ab+3b．
【点睛】本题考查了多项式，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从
小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，
要保持其原有的符号．
举一反三2（2023春·吉林长春·七年级长春外国语学校校考开学考试）把多项式
1
2y2+x3- x y3-3x2y按y的降幂排列为 ．
2
1
【答案】- x y3+2y2-3x2y+x3
2
【分析】按照y的指数的大小，从大到小进行排列即可．
1
【详解】解：把多项式2y2+x3- x y3-3x2y按y的降幂排列为
2
1
- x y3+2y2-3x2y+x3 ，
2
1
故答案为：- x y3+2y2-3x2y+x3 ．
2【点睛】本题考查多项式的排列，会分清各项的指数和系数，在重新排列时一定不能改变
该项的符号，这是解此题的关键．
题型十五 整式的判断
例15（2023秋·内蒙古呼和浩特·七年级校考期末）下列说法正确的是（ ）
x- y
A． 是整式 B．2是单项式，其系数是1，次数是1
2
C．单项式-πx系数为-1 D．多项式2-a-ab-2πx2y是四次四项式
【答案】A
【分析】根据多项式、单项式、整式的相关概念解答即可．
x- y
【详解】解：A、 是整式，原说法正确，故此选项符合题意；
2
B、2是单项式，其系数是2，次数是0，原说法错误，故此选项不符合题意；
C、单项式-πx系数为-π，原说法错误，故此选项不符合题意；
D、多项式2-a-ab-2πx2y是三次四项式，原说法错误，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查整式、多项式与单项式的概念，解题的关键是正确理解单项式与多项式
的概念，本题属于基础题型．
举一反三1（2023春·福建福州·七年级统考开学考试）下列对式子a2b的判断与说法，不
正确的是（ ）
A．它是单项式 B．它是整式 C．它的系数是1 D．它的次数是2
【答案】D
【分析】根据单项式的相关概念，逐个进行判断即可．
【详解】解：a2b是单项式也是整式，系数为1，次数为3，
∴A、B、C正确，不符合题意；D不正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了单项式的相关概念，解题的关键是掌握单项式和多项式统称为整
式；单项式中，所有字母的指数和叫单项式的次数，数字因数叫单项式的系数，通常系数
不为0．
举一反三2（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考期中）在代数式5 1
x2+5，-1，-3x+2，π， ，x2+ ，5x中，整式有( )
x x+1
A．3个 B．1个 C．5个 D．6个
【答案】C
【分析】根据整式包括单项式和多项式进行解答即可．单项式就是数与字母的乘积，以及
单独的数与单独的字母都是单项式，几个单项式的和叫做多项式．
5 1
【详解】解：代数式x2+5，-1，-3x+2，π， ，x2+ ，5x中，
x x+1
整式有：x2+5，-1，-3x+2，π，5x，共5个，
故选：C．
【点睛】本题考查了整式的定义，熟记定义是解本题的关键．
题型十六 数字类规律探索
例16（2023秋·山东济南·七年级校考阶段练习）观察下列算式
1 1
第1个等式：a = =1- ；
1 1×2 2
1 1 1
第2个等式：a = = - ；
2 2×3 2 3
1 1 1
第3个等式：a = = - ；
3 3×4 3 4
(1)按以上规律写出第10个等式a = ___________；
10
(2)第n个等式a = ___________；
n
1 1 1 1 1
(3)试利用以上规律求 + + +…+ + 的值．
1×2 2×3 3×4 2021×2022 2022×2023
1 1 1 1
(4)你能算出 + + +…+ 的值吗？若能请写出解题过程．
2×4 4×6 6×8 1000×1002
1 1 1
【答案】(1) = -
10×11 10 11
1 1 1
= -
(2)
n(n+1) n n+1
2022
(3)
2023125
(4)
501
【分析】（1）根据所给的等式的形式进行求解即可；
（2）分析所给的等式，总结出其规律即可；
（3）利用（2）中的规律进行求解即可；
（4）仿照（2）中的规律进行求解即可．
1 1
【详解】（1）解：∵第1个等式：a = =1- ；
1 1×2 2
1 1 1
第2个等式：a = = - ；
2 2×3 2 3
1 1 1
第3个等式：a = = - ；
3 3×4 3 4
…，
1 1 1
∴第10个等式a = = - ；
10 10×11 10 11
1 1 1
故答案为： = - ；
10×11 10 11
1 1 1
（2）解：由（1）的规律得，第n个等式a = = - ，
n n(n+1) n n+1
1 1 1
= -
故答案为： ；
n(n+1) n n+1
1 1 1 1 1
（3）解： + + +…+ +
1×2 2×3 3×4 2021×2022 2022×2023
1 1 1 1 1 1 1
=1- + - + - +⋯+ -
2 2 3 3 4 2022 2023
1
=1-
2023
2022
=
2023
1 1 1 1
+ + +…+
1×2 2×3 3×4 2020×2021
1 1 1 1 1 1 1
=1- + - + - +…+ -
2 2 3 3 4 2020 2021
1
=1-
20212020
= ；
2021
1 1 1 1
（4）解： + + +…+
2×4 4×6 6×8 1000×1002
1 (1 1) 1 (1 1) 1 (1 1) 1 ( 1 1 )
= × - + × - + × - +⋯+ × -
2 2 4 2 4 6 2 6 8 2 1000 1002
1 (1 1 1 1 1 1 1 1 )
= × - + - + - +⋯+ -
2 2 4 4 6 6 8 1000 1002
1 (1 1 )
= × -
2 2 1002
1 ( 501 1 )
= × -
2 1002 1002
1 500
= ×
2 1002
125
= ．
501
【点睛】本题主要考查规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，解答的关键是由所给
的式子总结出存在的规律．
1 1 1 1 1 1
举一反三1（2023秋·内蒙古呼和浩特·七年级校考阶段练习）- ； ；- ； ；- ； ；
1 2 3 4 5 6
…；第2013个数是 ．
1
【答案】-
2013
1
【分析】由已知数据，得到奇数为负，偶数为正，第n个数的绝对值为 (n≥1)，即可得出
n
结果．
1
【详解】解：由已知数据可知：奇数为负，偶数为正，第n个数的绝对值为 (n≥1)，
n
1
∴第2013个数是- ；
2013
1
故答案为：- ．
2013
【点睛】本题考查数字类规律探究，解题的关键是从已有数据中抽象概括出相应的数字规律．
举一反三2（2023秋·河南周口·七年级校考阶段练习）已知整数a ，a ，a ，a ，…满足
1 2 3 4
下列条件：
a =0，a =-|a -2|，a =-|a -3|，a =-|a -4|，…，以此类推.
1 2 1 3 2 4 3
(1)直接写出a ，a ，a ，a 的值；
2 3 4 5
(2)仔细观察（1）的结果，填写：
a -a = ______；a -a = ______；a -a = ______；a -a = ______；…
1 2 2 3 3 4 4 5
猜想：a
n-1
-a
n
= ______；
(3)探究a 的值是多少.
2021
【答案】(1)-2，-5，-9，-14；
(2)2，3，4，5，n；
(3)-2043230
【分析】（1）将数字代入求解即可得到答案；
（2）根据题意的得到数列是一组逐渐减小的数，去绝对值直接求解即可得到答案；
（3）根据（2）的规律求解即可得到答案；
【详解】（1）解：∵a =0，
1
∴a =-|0-2|=-2，a =-|-2-3|=-5，a =-|-5-4|=-9，a =-|-9-5|=-14，
2 3 4 5
故答案为：-2，-5，-9，-14；
（2）解：由（1）得，这组数是逐渐减小的数，
∵a =-|a -2|，a =-|a -3|，a =-|a -4|，
2 1 3 2 4 3
∴a =-(2-a )，a =-(3-a )，a =-(4-a )，
2 1 3 2 4 3
∴a -a =2，a -a =3，a -a =4，a -a =5，
1 2 2 3 3 4 4 5
由上述规律可得：a -a =n，
n-1 n
故答案为：2，3，4，5，n；
（3）解：由（2）得，
(a -a )+(a -a )+(a -a )+(a -a )+…+(a -a )=2+3+4+5+⋯+n，
1 2 2 3 3 4 4 5 n-1 n
(1+n)n
∴a -a = -1，
1 n 2(1+n)n
即a =1- ，
n 2
2023×2020
∴a =- =-2043230；
2021 2
【点睛】本题考查绝对值及规律题，解题的关键是找到规律．
题型十七 图形类规律探索
例17（2023秋·山东济南·七年级校考阶段练习）《庄子•天下》：“一尺之棰，日取其半，
万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代
入在两千多年前就有了数学极限思想，今天我们运用此数学思想研究下列问题．
（规律探索）
1 1
（1）如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则S =1- = ；
阴影1 2 2
1 (1) 2 (1) 2 1
如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉一半，则S =1- - = = ；
阴影2 2 2 2 4
依此类推，
1 (1) 2 (1) 3
如图3，S =1- - - = ；
阴影3 2 2 2
1 (1) 2 (1) 3 (1) 4
如图4，S =1- - - - = ；
阴影3 2 2 2 2
…
1 (1) 2 (1) 3 (1) n
S =1- - - -⋯- = ；
阴影n 2 2 2 2
(规律应用)
1 (1) 2 (1) 3 (1) 10
（2）规律应用：计算 + + +⋯+ 的值．
2 2 2 21 1 1 1
【答案】（1） ； ；
；（2）1-
8 16 2n 210
【分析】（1）根据题意中得到的规律进行有理数的混合运算即可求解；
（2）根据题意中得到的规律进行有理数的混合运算即可求解．
1 (1) 2 (1) 3 1
【详解】解：（1）如图3，S =1- - - = ；
阴影3 2 2 2 8
1 (1) 2 (1) 3 (1) 4 1
如图4，S =1- - - - = ；
阴影3 2 2 2 2 16
…
1 (1) 2 (1) 3 (1) n 1
S =1- - - -⋯- = ；
阴影n 2 2 2 2 2n
1 1 1
故答案为： ； ； ；
8 16 2n
1 (1) 2 (1) 3 (1) 10 1
（2）∵1- - - -⋯- = ，
2 2 2 2 210
1 (1) 2 (1) 3 (1) 10 1
∴ + + +⋯+ =1- ．
2 2 2 2 210
【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类、有理数的混合运算，解决的本题的关键是寻
找规律并利用规律．
举一反三1（2023秋·山东菏泽·七年级校考阶段练习）如图，圆的周长为4个单位长度．
在该圆的4等分点处分别标上数字0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示
数-1的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上．则数轴上表示数+2024的点与圆周
上表示数字______的点重合．（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】由于圆的周长为4个单位长度，所以只需先求出此圆在数轴上环绕的距离，再用这个距离除以4，如果余数分别是0，1，2，3，则分别与圆周上表示数字0，1，2，3的点
重合．
【详解】解：∵2024-(-1)=2025，
2025÷4=506…1，
∴数轴上表示数2024的点与圆周上表示数字1重合．
故选：B．
【点睛】本题考查了数轴．找出圆运动的周期与数轴上的数字的对应关系是解答此类题目
的关键．
举一反三2（2023秋·江苏南京·七年级南京市竹山中学校考阶段练习）找出以下图形变化
的规律，则第2023个图形中黑色正方形的数量是（ ）
A．3033 B．3034 C．3035 D．3036
【答案】C
【分析】根据图形的变化规律归纳出第n个图形中黑色正方形的数量即可．
【详解】解：根据图形变化规律可知：
第1个图形中黑色正方形的数量为2，
第2个图形中黑色正方形的数量为3，
第3个图形中黑色正方形的数量为5，
第4个图形中黑色正方形的数量为6，
⋯，
n+1
当n为奇数时，黑色正方形的个数为( +n)，
2
n
当n为偶数时，黑色正方形的个数为( +n)，
2
2023+1
第2023个图形中黑色正方形的数量是 +2023=3035，
2
故选：C．
【点睛】本题主要考查规律型：图形的变化类，归纳出第n个图形中黑色正方形的数量是
解题的关键．一、单选题
1.（2023秋·河北石家庄·七年级统考期末）下列各式符合代数式书写规范的是（ ）
n 3
A．m×6 B． C．x-7元 D．2 x y2
3 4
【答案】B
【分析】根据代数式的书写规范：一、如果数字和字母相乘，必须把数字写在字母的前面；
二、字母的系数为一时候省去系数一；三、字母的次数为一的时候也省去次数一；四、如
果这个代数式是一个有单位的，那么一定要把整个代数式用括号括起来，将单位写在括号
外即可解答
【详解】解：A、项不符合书写要求，应为6m，故A项不符合题意；
n
B、项 符合书写要求，故B项符合题意；
3
C、项不符合书写要求，应为(x-7)元，故C项不符合题意；
11
D、项不符合书写要求，应为 x y2 ，故D项不符合题意．
4
故选：B．
【点睛】本题考查了代数式的书写规范：一、如果数字和字母相乘，必须把数字写在字母
的前面；二、字母的系数为一时候省去系数一；三、字母的次数为一的时候也省去次数一；
四、如果这个代数式是一个有单位的，那么一定要把整个代数式用括号括起来，将单位写
在括号外，熟记代数式的书写规范是解题的关键．
mn 1
2．（2023春·河北秦皇岛·七年级统考开学考试）在-2x3y2, ,3x-2y, ,7中，单项
5 2x
式的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】单项式的定义：数字与字母的积，特别的单个的数与单个的字母也是单项式，根
据定义逐一判断即可．
mn 1 mn
【详解】解：-2x3y2, ,3x-2y, ,7中，单项式有：-2x3y2, ,7；共3个，
5 2x 5故选C．
【点睛】本题考查的是单项式的含义，熟记单项式的含义是解本题的关键．
3．（2023秋·云南楚雄·七年级统考期末）下列说法正确的是（ ）
x+ y
A． 是单项式 B．单项式2πr的系数为2
2
C．-2是单项式 D．多项式2a2-3a4+1的次数是2
【答案】C
【分析】根据单项式，多项式的概念，以及单项式的系数，次数的概念，依次进行判断即
可．
x+ y
【详解】解：A、 是多项式，选项说法错误，不符合题意；
2
B、2πr系数为2π，选项说法错误，不符合题意；
C、-2是单项式，选项说法正确，符合题意；
D、2a2-3a4+1的次数是4， 选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了单项式的相关概念，准确理解单项式的相关概念是解题的关键．
二、填空题
1.（2023秋·四川达州·七年级统考期末）下列用字母表示数的式子中，符合书写要求的有
个．
7a 1
-1x2y，2×(a+b)，a÷bc2，ab⋅2， ，2 bc2
4 3
【答案】1
【分析】根据代数式的书写要求分别进行判断即可．
7a
【详解】解：用字母表示数的式子中，符合书写要求的有： ，共有1个．
4
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了列代数式，用到的知识点是代数式的书写要求：
（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“⋅”或者省略不写；
（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；
（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．
πab2
2．（2023春·福建三明·七年级统考阶段练习）单项式- 的次数和系数分别是
3．
π
【答案】3，-
3
【分析】根据单项式的次数和系数的定义即可得到答案．
【详解】解：单项式的次数指单项式中各个字母的指数和，即次数为1+2=3，
π
单项式的系数指单项式中的数字因数．故系数为- ．
3
π
故答案为：3，- ．
3
【点睛】本题考查单项式次数和系数的定义，熟知次数和系数的定义是解题的关键．
3．（2023秋·吉林·七年级统考期末）若多项式(k-5)x2-3x+1中不含x2项，则k的值为
．
【答案】5
【分析】根据不含某项即该项的系数为0进行求解即可．
【详解】解：∵(k-5)x2-3x+1中不含x2项，
∴k-5=0，
∴k=5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了多项式项中的系数求值，熟知不含某项即该项的系数为0是解题的关
键．
三、解答题
1.（2023秋·山东菏泽·七年级统考期末）多项式7xm+(k-1)x2-(2n+4)x-6是关于x的三
次三项式，并且二次项系数为1，求m+n-k的值．
【答案】－1
【分析】根据题意分别求出m、n、k的值，然后进行计算．
【详解】解：由题意可知：m=3，2n+4=0，k－1=1，解得：m=3，n=－2，k=2，则：m+n-k=
﹣1；
【点睛】本题考查了多项式的次数与系数的定义，熟练掌握什么是多项式的次数和每项的
系数是解题关键．
2．（2023秋·河南南阳·七年级校考期末）把多项式﹣x3﹣7x2y+y3﹣4xy2重新排列（1）按x的升幂排列；
（2）按y的升幂排列．
【答案】（1）y3﹣4xy2﹣7x2y﹣x3；（2）﹣x3﹣7x2y﹣4xy2+y3．
【分析】（1）按x的升幂排列是指按x的指数从小到大排列；
（2）按y的升幂排列是指按y的指数从小到大排列．
【详解】（1）按x的升幂排列为：y3﹣4xy2﹣7x2y﹣x3；
（2）按y的升幂排列为：﹣x3﹣7x2y﹣4xy2+y3．
【点睛】本题考查了多项式，能理解升幂排列的意义是解答此题的关键．
1
3．（2023秋·河北邢台·七年级校联考期末）已知多项式-x3ym+1+x y2- x2+7是六次四
2
项式，单项式6xny5-m的次数与这个多项式的次数相同，求mn的值．
【答案】8
【分析】根据多项式的次数和项数以及单项式的次数的定义，即可求解．
1
【详解】解：∵-x3ym+1+x y2- x2+7
是六次四项式，
2
∴3+m+1=6，
解得∶m=2，
∵单项式6xny5-m的次数与这个多项式的次数相同，
∴n+5-m=6，即n+3=6，
解得∶n=3，
∴mn=23=8．
【点睛】本题考查多项式与单项式，解题的关键是熟练运用多项式的次数与单项式的次数
的概念．单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，多项式中次数最高项的次数叫
做多项式的次数．
