文档内容
1.4.2 有理数的除法
1. 了解有理数除法的意义,理解有理数除法与乘法的互逆关系
2. 掌握有理数的除法法则,能运用法则熟练地进行有理数除法运算以及四则混合运算.
3. 通过利用有理数除法法则进行运算的过程,体会转化的数学思想
知识点一 有理数除法法则
法则1：
除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数.用公式表示为
（除数一定不能为0哦!）
法则2：
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的
数都得0.
提示
(1) 有理数除法没有交换律、结合律,更没有分配律.
(2) 两个数相除,若商是 1,则这两个数相等;若商是 -1,则这两个数互为相反数.
(3) 任何数除以1都得原数;任何数除以-1都得原数的相反数;除以一个非0数等于这
个数的倒数.
有理数除法的两个法则的如何选用？
如果被除数和除数都是整数，且能整除，一般选用法则(2)进行计算,先确定商的符号,
再将两数的绝对值相除.否则，一般选用法则(1)进行计算,法则(1)是把除法转化为乘
法
即学即练1 计算：在进行有理数除法运算时,首先确定商的符号,然后将其绝对值相除或者将除法转化为
乘法进行计算
即学即练1 化简下列分数：
-21 -54 -6 -0.75
（1） ； （2） ； （3） ； （4）
7 -8 -0.3 0.25
1 0.2
-(-2) |24| -
（5） ； （6） ； （7） 3 ； （8） 1 ．
-6 -(-8) -
0.2 3
27 1 5
【答案】（1）-3；；（2） ；（3）20；（4）-3；（5）- ；（6）3 （7）– ；
4 3 3
3
（8）–
5
【分析】根据有理数的除法法则，即可求解．
-21 1
【详解】解：（1） =-21÷7=-21× =-3；
7 7
-54 ( 1) 27
（2） =-54÷(-8)=-54× - = ；
-8 8 4
-6 ( 10)
（3） =-6÷(-0.3)=-6× - =20；
-0.3 3-0.75
（4） =-3；
0.25
-(-2) 2 1
（5） = =- ；
-6 -6 3
|24| 24
（6） = =3
-(-8) 8
1
1 -
- 3 5
（7） 3 = =– ；
1 3
0.2
5
1
0.2
5 3
（8） 1 = =– ．
- 1 5
3 -
3
【点睛】本题主要考查了有理数的除法法则，熟练掌握除以一个不为0的数等于乘以这个
数的倒数，还要注意两数相除，同号得正，异号得负是解题的关键．
化简分数要遵循“同号得正，异号得负”的符号法则,分子、分母、分数线前,若有一
个或两个负号,则负号可以移到三个位置的任何一个,而分数的值不变.
知识点二 有理数乘除的同级运算
有理数乘除同级运算通常是先将除法转化成乘法，然后按照乘法法则,确定积的
符号，最后求出结果
注意：
1. 除法没有运算律，只有将除法转化为乘法后，才可以利用乘法的运算律简化运算；
2. 有理数的乘除运算是同级运算,如果没简便计算情况下，一般要按照从左到右的顺
序进行.
即学即练 计算：
| 2|
(1) -2 ×(-18)÷(-3)．
316
(2)-32 ÷(-8×4)．
25
1 4
(3)(-81)÷2 × ÷(-16)．
4 9
7 ( 1) ( 3)
(4)1 ÷(-10)× -3 ÷ -3 ．
8 3 4
【答案】(1)16
51
(2)
50
(3)1
1
(4)-
6
2
【详解】（1）解：|-2 |×(-18)÷(-3)
3
2 1
=2 ×(-18)×(- )
3 3
8 1
=+ ×18×
3 3
=16．
16
（2）解：-32 ÷(-8×4)
25
816 1
=- ×(- )
25 32
816 1
= ×
25 32
51
= ．
50
1 4
（3）解：(-81)÷2 × ÷(-16)
4 9
4 4 1
=+81× × ×
9 9 16
=1．
7 1 3
（4）解：1 ÷(-10)×(-3 )÷(-3 )
8 3 415 1 10 4
=- × × ×
8 10 3 15
1
=- ．
6
【点睛】本题主要考查了乘除的混合运算，解题的关键是熟记混合运算顺序与乘除运算法
则．
知识点三 有理数的混合运算
1.有理数的加减乘除混合运算
（1）混合运算中，按照“先算乘除一级,再算加减一级”的顺序进行；
（2）有括号时，应先算括号里面的.
2.计算器的使用
不同品牌的计算器操作方法可能有所不同，具体操作方法应参考计算器的使用
说明,熟悉各功能键.
另外,还要注意以下几点:
(1)计算器要平稳放置，以免按键时发生晃动和滑动；
(2)计算开始时,要先按开启键;停止使用时要注意按关闭键；
(3)确定按键顺序后，按照算式从到右的顺序直接输入；
(4)在输入数据和算式时,每次按键都要注意显示器上是否显示出了相应的数字
或运算符号，以免因漏按或按不实而出现错误；
(5)每次运算时,要按一下清零键；
(6)注意负数的输入方式.
即学即练1 （2023秋·河南南阳·七年级校联考期末）计算：
(1 5 3) (1 1)
-48× - + -6÷ - ．
6 12 8 3 2
【答案】30
【分析】根据有理数的四则混合计算法则求解即可．
1 5 3 ( 1)
【详解】解：原式=-48× +48× -48× -6÷ -
6 12 8 6=-8+20-18-6×(-6)
=-8+20-18+36
=30．
【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
( 5 3) ( 3)
即学即练2 （2023秋·广东佛山·七年级统考期末）计算： - + ×24-18÷ -
6 4 2
【答案】10
【分析】利用分配律先计算乘法，同步计算除法运算，再算加法即可．
( 5 3) ( 3)
【详解】解： - + ×24-18÷ -
6 4 2
=-20+18+12
=10．
【点睛】本题考查的是有理数的四则混合运算，熟记运算顺序是解本题的关键．
题型一 有理数乘除的同级运算
4 ( 5) ( 3)
例1 （2023秋·吉林延边·七年级统考期末）计算： × - ÷ - ；
5 3 4
16
【答案】
9
【分析】原式先将除法转换为乘法后，再进行乘法运算即可；
4 ( 5) ( 3)
【详解】解： × - ÷ -
5 3 4
4 ( 5) ( 4)
= × - × -
5 3 3
16
=
9【点睛】本题主要考查了有理数乘除混合运算，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键
举一反三1 （2023秋·浙江金华·七年级统考期末）计算：
(1)4-(-2)+(-6)
( 5)
(2)42÷(-5)× -
7
【答案】(1)0
(2)6
【分析】（1）根据有理数的加减运算法则求解即可；
（2）根据有理数乘除混合运算法则求解即可．
【详解】（1）解：4-(-2)+(-6) =4+2-6
=6-6
=0；
( 5)
（2）解：42÷(-5)× -
7
1 5
=42× ×
5 7
=6．
【点睛】本题考查有理数的加减混合运算、有理数乘除混合运算，熟练掌握相关的运算法
则和运算顺序是解答的关键．
5 3
举一反三2 （2023秋·广西贺州·七年级统考期末）计算：(-1.25)× ×(-8)÷(- )．
4 4
50
【答案】-
3
【分析】根据有理数乘除运算法则计算，即可．
5 5 4
【详解】原式=- × ×8× ，
4 4 3
50
=- ；
3
【点睛】本题主要考查了有理数的乘除混合运算，准确计算是解题的关键．
题型二 有理数除法的混合运算例2 （2023秋·广东广州·七年级校考期末）(-3)×2+|-24|÷4
【答案】0
【分析】先计算绝对值，然后计算乘法和除法，最后计算加减．
【详解】(-3)×2+|-24|÷4
=(-3)×2+24÷4
=-6+6
=0．
【点睛】本题考查了绝对值和有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．
( 1)
举一反三1 （2023秋·内蒙古呼伦贝尔·七年级校考期中）(-6.5)×2÷ - ÷(-5)
3
39
【答案】-
5
( 1)
【详解】(-6.5)×2÷ - ÷(-5)
3
( 1)
=-13×(-3)× -
5
39
=- ．
5
【点睛】本题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．
| 1|
举一反三2 （2023秋·福建福州·七年级统考期末）计算:18-16÷(-2)× -
4
【答案】20
【分析】先乘除运算，再加减运算即可求解．
| 1|
【详解】解：18-16÷(-2)× -
4
1
=18-(-8)×
4
=18+2
=20．
【点睛】本题考查有理数的四则混合运算，熟练掌握运算法则并正确求解是解答的关键．题型三 有理数的除法简便运算
( 1 3 1 ) 1
例3 （2022秋·湖南郴州·七年级校考期中）简便运算： - + - ÷ ．
6 4 12 48
【答案】24
【分析】现将除法化为乘法，再利用乘法分配律进行计算即可．
( 1 3 1 ) 1
【详解】解： - + - ÷
6 4 12 48
( 1 3 1 )
= - + - ×48
6 4 12
1 3 1
=- ×48+ ×48- ×48
6 4 12
=-8+36-4
=24．
【点睛】本题考查有理数的四则混合运算，解答的关键是熟练掌握运算法则和运算顺序，
会利用乘法分配律进行简便运算．
举一反三1 （2022秋·广东揭阳·七年级揭阳市实验中学校考期中）用简便方法：
( 3 5 7 ) 1
- - + ÷ ；
4 9 12 36
【答案】-26
【分析】先将有理数的除法运算转化为乘法运算，再根据乘法分配律去括号，最后根据有
理数的加减混合运算计算即可；
( 3 5 7 )
【详解】原式= - - + ×36
4 9 12
3 5 7
=- ×36- ×36+ ×36
4 9 12
=-27-20+21
=-26；
【点睛】本题考查了有理数的乘法运算、除法运算、有理数的加减混合运算及有理数的乘法运算律，熟练掌握运算顺序是解题的关键．
举一反三2（取倒数法）（2022秋·江苏宿迁·七年级统考期中）先计算，再阅读材料，
解决问题：
(1 1 1)
(1)计算： - + ×12．
3 6 2
1 (2 1 1 2)
(2)认真阅读材料，解决问题：计算： ÷ - + - ．
30 3 10 6 5
2 1 1 2
分析：利用通分计算 - + - 的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算：
3 10 6 5
(2 1 1 2) 1 (2 1 1 2)
解：原式的倒数是： - + - ÷ = - + - ×30
3 10 6 5 30 3 10 6 5
2 1 1 2
= ×30- ×30+ ×30- ×30
3 10 6 5
=20-3+5-12=10．
1 (2 1 1 2) 1
故 ÷ - + - = ．
30 3 10 6 5 10
1 (3 5 4)
请你根据对所提供材料的理解，选择合适的方法计算： ÷ - - ．
28 4 14 7
【答案】(1)8
1
(2)-
5
【分析】（1）根据乘法分配律可以解答本题；
（2）根据题目中的例子的解题方法，可以求出所求式子的值．
1 1 1
【详解】（1）原式= ×12- ×12+ ×12
3 6 2
=4-2+6
=8；
(3 5 4)
（2）原式的倒数是： - - ×28
4 14 73 5 4
= ×28- ×28- ×28
4 14 7
=21-10-16
=-5，
1
故原式=- ．
5
【点睛】本题考查有理数的混合运算以及乘法运算律，解答本题的关键是明确有理数混合
运算法则．
题型四 有理数的除法与绝对值的综合问题
例4 请利用绝对值的性质，解决下面问题：
a b
(1)已知a，b是有理数，当a>0时，则 = _______；当b<0时，则 = _______．
|a| |b|
b+c a+c a+b
(2)已知a，b，c是有理数，a+b+c=0，abc<0，求 + + 的值．
|a| |b| |c|
|a| |b| |c|
(3)已知a，b，c是有理数，当abc≠0时，求 + + 的值．
a b c
【答案】(1)1，-1
(2)-1
(3)3或-1或1或-3
【分析】（1）根据正负数去绝对值的方法即可求解．
（2）由a+b+c=0可得b+c=-a，a+c=-b，a+b=-c，由根据abc<0进而可求解．
（3）分四种情况讨论：①当a，b，c都是正数，即a>0，b>0，c>0时；②当
a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设a>0，b<0，c<0；③当a，b，c有两
个为正数，一个为负数时；④当a，b，c三个数都为负数时，分别去绝对值即可求解．
a a
【详解】（1）解：当a>0时，则 = =1，
|a| a
b b
当b<0，则 = =-1，
|b| -b
故答案为：1，-1．
（2）已知a，b，c是有理数，a+b+c=0，abc<0，
所以b+c=-a，a+c=-b，a+b=-c，且a，b，c中两正一负，b+c a+c a+b -a -b -c
所以 + + = + + =-1．
|a| |b| |c| |a| |b| |c|
（3）由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个
正数，一个负数或三个都为负数．
①当a，b，c都是正数，即a>0，b>0，c>0时，
|a| |b| |c| a b c
则： + + = + + =1+1+1=3，
a b c a b c
②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设a>0，b<0，c<0，
|a| |b| |c| a -b -c
则： + + = + + =1+(-1)+(-1)=-1，
a b c a b c
③当a，b，c有两个为正数，一个为负数时，
设a>0，b<0，c<0，
|a| |b| |c|
则： + + =1+1-1=1，
a b c
④当a，b，c三个数都为负数时，
|a| |b| |c|
则： + + =-1-1-1=-3，
a b c
|a| |b| |c|
综上所述： + + 的值为3或-1或1或-3
a b c
【点睛】本题考查了化简绝对值，有理数的乘除法，熟练掌握正数的绝对值等于它本身，
负数的绝对值等于它相反数是解题的关键．
举一反三1 （2022秋·浙江金华·七年级期中）在学习一个数的绝对值过程中，化简|a|时，
可以这样分类：当a>0时，|a|=a；当a=0时，|a|=0；当a<0时，|a|=-a，请用这种方
法解决下列问题．
|a|
(1)当a=3,a=-2时，分别求 的值；
a
|a| |b|
(2)已知a,b是有理数，当ab>0时，试求 + 的值；
a b
|a| |b| |c| |abc|
(3)已知a,b,c是有理数，当abc<0时，试求 + + + 的值．
a b c abc
【答案】(1)１，-1
(2)±2
(3)0或-4【分析】（1）直接代入求解即可；
（2）分a、b同为正和同为负，化简绝对值求解即可；
（3）分a、b、c中有一个小于0，其它两个大于0和三个都小于0，化简绝对值即可求解．
|a| 3
【详解】（1）解：当a=3时， = =1，
a 3
|a| 2
当a=-2时， = =-1；
a -2
（2）解：由ab>0知，分两种情况：
|a| |b| a b
当a>0,b>0时， + = + =1+1=2；
a b a b
|a| |b| -a -b
或a<0,b<0时， + = + =-1-1=-2，
a b a b
|a| |b|
故当ab>0时， + 的值为±2；
a b
（3）解：由abc<0知，分两种情况：
当a、b、c中有一个小于0，其它两个大于0时，
|a| |b| |c| |abc|
+ + + =1+1-1-1=0；
a b c abc
当a、b、c三个都小于0时，
|a| |b| |c| |abc|
+ + + =-1-1-1-1=-4，
a b c abc
|a| |b| |c| |abc|
综上，当abc<0时， + + + 的值为0或-4．
a b c abc
【点睛】本题考查了绝对值、有理数的四则混合运算，分类讨论并正确求解是解答的关键．
举一反三2 （2022秋·湖南长沙·七年级统考期中）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，
m的绝对值为5．
(1)直接写出a+b，cd，m的值；
a+b
(2)求m2+cd+
的值．
m
【答案】(1)a+b=0，cd=1，m=±5
(2)26
【分析】（1）根据互为相反数的两个数之和为0，互为倒数的积为1，绝对值的意义，即可得出答案；
（2）结合（1）求解即可．
【详解】（1）解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为5，
∴a+b=0，cd=1，m=±5；
（2）由（1）得：
a+b
m2+cd+
m
0
=(±5) 2+1+
±5
=25+1+0
=26．
【点睛】本题考查了有理数的混合计算，倒数、相反数、绝对值，熟记各定义是解决问题
的关键．
题型五 有理数的除法实际问题
例5 （2023春·陕西宝鸡·七年级统考期中）某网上购物平台促销，苹果2千克以上有优惠
（不含2千克），购买苹果所付金额（元）与购买数量（千克）之间的关系如图所示，根
据图象回答下列问题：
(1)购买1千克苹果多少元?
(2)购买3千克苹果多少元?
(3)一次性下单购买苹果6千克与平均分3次下单购买可节省多少元?
【答案】(1)10元
(2)28元
(3)8元【分析】（1）由图可知，购买2千克苹果的总价为20元，据此可得答案；
（2）由2千克和5千克苹果的金额计算出购买2千克以上苹果时的单价，进而可得答案；
（3）分别计算出一次性下单购买苹果6千克与平均分3次下单购买所需费用，再进行比较
即可．
【详解】（1）解：20÷2=10（元），
即购买1千克苹果需要10元；
（2）解：购买2千克以上苹果时的单价为：(44-20)÷(5-2)=8（元），
20+8=28（元），
即购买3千克苹果需要28元；
（3）解：一次性下单购买苹果6千克需要的费用为：20+(6-2)×8=52（元），
平均分3次下单购买所需费用为：20×3=60（元），
60-52=8（元），
即可节省8元．
【点睛】本题考查有理数混合运算的实际应用，从所给图象中获取相应信息是解题的关键．
举一反三1 （2023春·山西大同·七年级统考开学考试）李叔叔驾车以75千米/小时的速度
在公路上行驶，前方出现限速60千米/小时的标志，如果他保持原速继续行驶，将受到扣
几分的处罚？
《道路交通安全法实施条例》规定：
超速50%以上扣12分；
超速20%以上未达50%扣6分；
超速未达20%扣3分．
【答案】如果李叔叔保持原速继续行驶，他将受到扣6分的处罚
【分析】依据题意，先求出李叔叔超速百分之几，即是求李叔叔的开的速度比限速多出百
分之几，再根据交通条例，对号入座扣分即可．
【详解】解：(75-60)÷60
=15÷60
=25%，
∵20%<25%<50%，
∴根据交通条例，如果李叔叔保持原速继续行驶，他将受到扣6分的处罚，
答：如果李叔叔保持原速继续行驶，他将受到扣6分的处罚．
【点睛】本题考查了百分数的应用，认真读题理解题意是解题的关键．举一反三2 （2023秋·重庆万州·七年级统考期末）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，
某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过50单（送一次外卖称为
一单）的部分记为“+”，低于50单的部分记为“-”，如表是该外卖小哥一周的送餐量：
星期 一 二 三 四 五 六 日
送餐量（单位：单） -3 +4 -5 +14 -8 +7 +12
(1)求该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单？
(2)外卖小哥每天的工资由底薪60元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量
不超过50单的部分，每单补贴2元；超过50单但不超过60单的部分，每单补贴4元；超
过60单的部分，每单补贴6元．求该外卖小哥这一周工资收入多少元？
【答案】(1)该外卖小哥这一周平均每天送餐53单
(2)该外卖小哥这一周工资收入1248元
【分析】（1）由50单加上超过或不足部分数据的平均数即可得到答案；
（2）每天的工资由底薪加上送餐部分的补贴，分别计算每天的工资，再求解代数和即可．
【详解】（1）解：由题意，得：
50+[(-3)+(+4)+(-5)+(+14)+(-8)+(+7)+(+12)]÷7
=50+3
=53（单），
答：该外卖小哥这一周平均每天送餐53单；
（2）解：由题意，得：
(50×7-3-5-8)×2+(4+7+10×2)×4+(4+2)×6+60×7
=668+124+36+420
=1248（元），
答：该外卖小哥这一周工资收入1248元．
【点睛】本题考查的是正负数的实际应用，平均数的计算，有理数的加法与乘法的实际应
用，理解题意，正确的列代数式计算计算是解本题的关键．
题型六 有理数的除法探究与创新|x |
例6 已知x ，x ，x ，…x 都是不等于0的有理数，若y = 1 ，求y 的值．
1 2 3 2021 1 x 1
1
|x | x |x | -x
当x >0时，y = 1 = 1=1；当x <0时，y = 1 = 1 =-1，所以y =±1．
1 1 x x 1 1 x x 1
1 1 1 1
|x | |x |
（1）若y = 1 + 2 ，则y 的值为______；
2 x x 2
1 2
|x | |x | |x |
（2）若y = 1 + 2 + 3 ，则y 的值为______；
3 x x x 3
1 2 3
|x | |x | |x | |x |
（3）由以上探究猜想，y = 1 + 2 + 3 +⋯+ 2021 ，共有______个不同的值，在
2021 x x x 2021
1 2 3
y 这些不同的值中，最大的值和最小的值的差等于______．（本小题要写推理过程）
2021
【答案】（1）±2或0；（2）±1或±3；（3）2022，4042
|x | |x | |x |
【分析】（1）结合题干信息，分三种情况讨论，当 1 =1， 2 =1时，当 1 =1，
x x x
1 2 1
|x | |x | |x | |x | |x |
2 =-1时，或 1 =-1， 2 =1时，当 1 =-1， 2 =-1时，再计算即可得到答案；
x x x x x
2 1 2 1 2
|x | |x | |x | |x | |x | |x |
1 2 3 1 2 3
（2）分四种情况讨论：当 ， ， 都为1时，当 ， ， 两个为1时，一
x x x x x x
1 2 3 1 2 3
|x | |x | |x | |x | |x | |x |
个为-1时， 当 1 ， 2 ， 3 一个为1时，两个为-1时，当 1 ， 2 ， 3 三个为-1
x x x x x x
1 2 3 1 2 3
时，再计算即可得到答案；
（3）根据题干信息与（1）（2）的结论进行归纳总结，可得y 有多少种可能的值及最
2021
大值与最小值，从而可得答案.
|x | |x |
【详解】解：（1）由题干信息可得： 1 =±1， 2 =±1，
x x
1 2|x | |x |
当 1 =1， 2 =1时，y =1+1=2,
x x 2
1 2
|x | |x | |x | |x |
当 1 =1， 2 =-1时，或 1 =-1， 2 =1时，y =-1+1=0,
x x x x 2
1 2 1 2
|x | |x |
当 1 =-1， 2 =-1时，y =-1+(-1)=-2,
x x 2
1 2
故答案为：±2或0
|x | |x | |x |
（2）∵ 1 =±1， 2 =±1， 3 =±1，
x x x
1 2 3
|x | |x | |x |
当 1 ， 2 ， 3 都为1时，则y =3,
x x x 3
1 2 3
|x | |x | |x |
当 1 ， 2 ， 3 两个为1时，一个为-1时，则y =1,
x x x 3
1 2 3
|x | |x | |x |
当 1 ， 2 ， 3 一个为1时，两个为-1时，则y =-1,
x x x 3
1 2 3
|x | |x | |x |
当 1 ， 2 ， 3 三个为-1时，则y =-3,
x x x 3
1 2 3
所以：y 的值为±1或±3
3
故答案为：±1或±3
（3）由题干信息及（1）（2）可知，
y 有2个值，y 有3个值，y 有4个值．
1 2 3
···
总结归纳可得，y 有2022个值，
2021
最大值是每个数都为正数时，所以最大值2021，
最小值是每个数都为负数时，所以最小值为-2021，
最大值与最小值的差为2021-(-2021)=2021+2021=4042．
故答案为：2022，4042
【点睛】本题考查的是绝对值的含义与化简，有理数的加法与除法运算，数字与运算的规律探究，清晰的分类讨论与归纳总结，运用规律解决问题等都是解本题的关键.
举一反三1 在解决数学问题的过程中，我们常用到"分类讨论"的数学思想，下面是运
用"分类讨论"的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．
|a| |b| |c|
【提出问题】已知有理数a，b，c满足abc＞0，求 + + 的值．
a b c
【解决问题】解∶由题意，得 a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为
负数．
|a| |b| |c| a b c
①当a，b，c都为正数，即a＞0，b＞0，c＞0时， + + ＝ + + ＝1＋1
a b c a b c
＋1＝3
②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a＞0，b＜0，c＜0，则
|a| |b| |c| a -b -c
+ + ＝ + + ＝1＋（－1）＋（－1）＝－1
a b c a b c
|a| |b| |c|
综上所述， + + 的值为3或－1
a b c
【探究拓展】
请根据上面的解题思路解答下面的问题；
a b
（1）已知a，b是不为0的有理数，当|ab|＝－ab时， + ＝
|a| |b|
a b c
（2）已知a，b，c是有理数，当abc＜0时，求 + ＋ ＝
|a| |b| |c|
b+c c+a a+b
（3）已知a，b，c是有理数，a＋b＋c＝0，abc＜0，求 + + ＝
|a| |b| |c|
【答案】（1）0；（2）-3或1；（3）-1．
【分析】（1）分a>0,b<0和a<0,b>0两种情况，先化简绝对值，再计算有理数的除法
与加减法即可得；
（2）分a,b,c都是负数和a,b,c中一个为负数，另两个为正数两种情况，先化简绝对值，
再计算有理数的除法与加减法即可得；
（3）先化简已知等式可得a+b=-c，c+a=-b，b+c=-a，再根据abc<0得出a,b,c中
只有一个为负数，另两个为正数，然后化简绝对值，计算有理数的除法与加减法即可得．
【详解】解：（1）由题意，分以下两种情况：
a b a b
①当a>0,b<0时， + = + =1+(-1)=0，
|a| |b| a -ba b a b
②当a<0,b>0时， + = + =-1+1=0，
|a| |b| -a b
a b
综上，
+ =0，
|a| |b|
故答案为：0；
（2）由题意得：a,b,c都是负数或其中一个为负数，另两个为正数，
①当a,b,c都是负数，即a<0,b<0,c<0时，
a b c a b c
则
+ + = + + =-1+(-1)+(-1)=-3；
|a| |b| |c| -a -b -c
②当a,b,c中有一个为负数，另两个为正数时，不妨设a<0,b>0,c>0，
a b c a b c
则
+ + = + + =-1+1+1=1；
|a| |b| |c| -a b c
a b c
综上， + + 的值为-3或1，
|a| |b| |c|
故答案为：-3或1；
（3）因为a+b+c=0，abc<0，
所以a,b,c均不为0，
所以a+b=-c，c+a=-b，b+c=-a，
所以a,b,c中只有一个负数，另两个为正数，
不妨设a<0，b>0，c>0，
b+c c+a a+b -a -b -c
所以
+ + = + + =1+(-1)+(-1)=-1，
|a| |b| |c| -a b c
故答案为：-1．
【点睛】本题考查了化简绝对值、有理数的加减法与除法，读懂题意，掌握分类讨论思想
和有理数的运算法则是解题关键．
举一反三2 （2021秋·河南驻马店·七年级统考期中）概念学习：规定，求若干个相同的
有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)等，类
比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2 ，读作“2的圈3次方”，
③
(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)记作(-3) ④ ，读作“-3的圈4次方”，一般地，把n个a(a≠0)，
⏟a÷a÷a÷⋯÷a
记作 ，读作“a的圈n次方”．
n个a( 1) ③
初步探究：直接写出计算结果：2 ＝______， - = ______；
2
③
深入思考：我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法
运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（1）试一试：仿照下面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．
例如(-3) ④=(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 2
=(-3)× - × - × - = -
3 3 3 3
( 1) ⑥
5 ＝______， - = ______；
2
⑤
（2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于______；
（3）算一算：22÷ ( - 1) ④ ×(-2) ③- ( - 1) ⑥ ÷33 ．
3 3
1 1 1 29
【答案】初步探究： ，-2；深入思考：（1） ，24；（2） ；（3）-
2 53 an-2 9
【分析】初步探究：根据题目中规定的圈n次方的运算法则求解即可；
（1）根据题目中规定的圈n次方的运算法则求解即可；
（2）根据题目中规定的圈n次方的运算法则求解即可；
（3）根据题目中规定的圈n次方的运算法则结合有理数的混合运算法则求解即可．
1
【详解】解：初步探究：2③＝2÷2÷2= ；
2
( 1) ③ ( 1) ( 1) ( 1)
- = - ÷ - ÷ - =-2；
2 2 2 2
1
深入思考：（1）5⑤＝5÷5÷5÷5÷5=
；
53
( - 1) ⑥ = ( - 1) ÷ ( - 1) ÷ ( - 1) ÷ ( - 1) ÷ ( - 1) ÷ ( - 1) =24 ；
2 2 2 2 2 2 2
（2）根据“a的圈n次方”的运算法则可得，
1
将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于 ；
an-2（3）原式=22÷9× ( - 1) -(-3) 4÷33
2
=4÷9× ( - 1) -34÷33=- 2 -3=- 29
2 9 9
【点睛】此题考查了新定义问题和有理数的除法运算，解题的关键是正确分析出“a的圈n
次方”的运算法则．
题型七 24点
例7 小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各问题：
(1)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字的乘积最大．这两张卡片上的数字分别是
________，积为________；
(2)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字相除的商最小．这两张卡片上的数字分别是
________，商为________；
(3)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当方法
（可加括号），使其运算结果为24，写出运算式子及运算过程．（写出一种即可）
【答案】(1)-5和-3，15
5
(2)-5和+3， - ；
3
(3)[-3-(-5)]×(+3)×(+4)(答案不唯一)
【分析】（1）依题意，积为正数才有最大值，也就是必须选择同号的两个数相乘，然后取
积最大的两个卡片即可．
（2）依题意，商为负数才最小值，也就是必须选择异号的两个数相除且被除数的绝对值要
大于除数的绝对值，然后选择商最小的两个卡片即可．
（3）把24分解因数，可得到2×12=24，3×8=24，4×6=24，然后找到合适的卡片能
够通过运算得到24的因数即可．
【详解】（1）依题意，积为正数才有最大值，选择同号的两个数相乘则有(+3)×(+4)=12，(-5)×(-3)=15
积最大为15，
∴选择卡片-5和卡片-3；
故答案为：-5和-3，15；
（2）依题意，商为负数才最小值，选择异号的两个数相除且被除数的绝对值要大于除数的
绝对值．
5 5 4
则有(-5)÷3= - ，(-5)÷4= - ，4÷(-3)= -
3 4 3
5
商最小为- ，所选择卡片-5和卡片+3，
3
5
故答案为：-5和+3， - ；
3
（3）[-3-(-5)]×(+3)×(+4)
=2×3×4
=24
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则是解题的关键．
举一反三1 （2022秋·湖北宜昌·七年级校考期中）现有 5 张卡片写着不同的数字，利用
所学过的加、减、乘、除、乘方运算按要求解答下列问题（每张卡片上的数字只能用一
次）．
(1)从中取出 2 张卡片，使这 2 张卡片上数字的和最小，则和的最小值为_________．
(2)从中取出 2 张卡片，使这 2 张卡片上数字的差最大，则差的最大值为________．
(3)从中取出 2 张卡片，使这 2 张卡片上数字相除的商最大，则商的最大值为_________．
(4)从中取出 3 张卡片，使这 3 张卡片上数字的乘积最大，乘积的最大值为__________．
(5)从中取出 4 张卡片，使这 4 张卡片上的数字运算结果为 24．写出两个不同的等式，
分别为 ， ．
【答案】(1)-9
(2)11
(3)6(4)90
(5)(-3)×(-1)×[2-(-6)]=24，[(-3)-(-1)]×(-6)×2=24
【详解】（1）解：这五个数中，最小的两个数是-3和-6，
所以要使这 2 张卡片上数字的和最小，则和的最小值为(-3)+(-6)=-9．
故答案为：-9；
（2）解：这五个数中，最小的两个数是-6，最大的数是5，
所以要使这 2 张卡片上数字的差最大，则差的最大值为5-(-6)=11．
故答案为：11；
（3）解：取出-6和-1，相除得(-6)÷(-1)=6．
所以商的最大值为6；
故答案为：6
（4）解：取出-6，-3,5，则乘积的最大值为(-6)×(-3)×5=90．
故答案为：90；
（5）解：(-3)×(-1)×[2-(-6)]=24，[(-3)-(-1)]×(-6)×2=24．
故答案为：(-3)×(-1)×[2-(-6)]=24，[(-3)-(-1)]×(-6)×2=24．
【点睛】本题考查了有理数的加减乘除以及混合运算，熟知有理数的运算法则是解题关键．
举一反三2 小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题：
(1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是___________；
(2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是___________；
(3)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子（至少写出两种）
【答案】(1)15
5
(2)-
3
(3)-[(-3)÷3+(-5)]×4=24，{0-[(-3)+(-5)]}×3=24（答案不唯一）
【分析】（1）观察这五个数，要找乘积最大的就要找符号相同且乘积数值最大的数，所以选-3和-5；
（2）2张卡片上数字相除的商最小就要找符号不同，且分母的绝对值越小越好，分子的绝
对值越小大越好，所以就要选+3和-5，且-5为分子；
（3）从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24，这就不唯一，用加减乘除只
要答数是24即可，比如-3、-5、0、3，四个数，{0-[(-3)+(-5)]}×3=24，再如：抽
取-3、-5、3、4，则-[(-3)÷3+(-5)]×4=24．
【详解】（1）解： -3×(-5)=15；
故答案为15；
5
（2）(-5)÷(+3)=- ；
3
5
故答案为：- ．
3
（3）方法不唯一，如：抽取-3、-5、0、3，则{0-[(-3)+(-5)]}×3=24；
如：抽取-3、-5、3、4，则-[(-3)÷3+(-5)]×4=24．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，根据题意列出算式是解题的关键．
题型八 定义新运算
例8 （2022秋·甘肃陇南·七年级校考期中）如果对于任何有理数a、b定义运算“Δ”如
1 ( b) 1 ( 3) 1
下：aΔb= ÷ - ，如2Δ3= ÷ - =- ，求(-2Δ7)Δ4的值．
a 2 2 2 3
7
【答案】-
2
【分析】按照规定的运算方法把式子改为有理数的混合运算，进而计算得出结果即可．
【详解】解：(-2Δ7)Δ4
[ 1 ( 7)]
= - ÷ - Δ4
2 2
1
= Δ4
7
( 4)
=7÷ -
27
=- ．
2
【点睛】此题考查有理数的混合运算，掌握运算顺序与运算法则是解决问题的关键．
举一反三1 （2022秋·河北石家庄·七年级校考期中）在数轴上，把原点记作点O，表示数
1的点记作点A． 对于数轴上任意一点P（不与点O，点A重合），将线段PO与线段PA的
PO
长度之比定义为点P的特征值，记作^P，即 ^P= ． 例如：当点P是线段OA的中点时，
PA
1
因为PO=PA，所以^P=1． 如图，点P ,P ,P 为数轴上三个点，点P 表示的数为- ，
1 2 3 1 4
点P 表示的数与点P 表示的数互为相反数，点P 表示的数为2．
2 1 3
(1)点P 表示的数为：___________；
2
(2)求^P ,^P ,^P 的值，比较^P ,^P ,^P 的大小，并用“<”连接；
1 2 3 1 2 3
1
(3)若数轴上有一点M满足OM= OA，求^M．
3
1
【答案】(1)
4
1 1
(2) ^P = ， ^P = ，^P =2，^P <^P <^P
1 5 2 3 3 1 2 3
1 1
(3) 或
2 4
【分析】（1）根据相反数的定义即可解答；
PO
（2）根据 ^P= 求出求^P ,^P ,^P 的值，再根据有理数大小比较的方法解答即可；
PA 1 2 3
MO
（3）根据数轴上两点之间的距离公式可知点M表示的数，再根据 ^M= 解答即可．
MA
1
【详解】（1）解：∵点P 表示的数为- ，点P 表示的数与点P 表示的数互为相反数，
1 4 2 11
∴点P 表示的数为 ，
2 4
1
故答案为 ；
4
1
（2）解：∵点P 表示的数为- ，点A表示的数为1，O表示原点，
1 4
( 1) 1
0- -
P O 4 4 1
∴ ^P = 1 = = = ，
1 P 1 A 1- ( - 1) 5 5
4 4
1
∵点P 表示的数为 ，
2 4
1 1
0-
P O 4 4 1
∴ ^P = 2 = = = ，
2 P A 1 3 3
2 1-
4 4
∵点P 表示的数为2，
3
P O 0-2 2
∴ ^P = 3 = = =2，
3 P A 1-2 1
3
1 1
∵ < <2，
5 3
∴^P <^P <^P ；
1 2 3
1
（3）解：∵点A所表示的数为1，且OM= OA，O为原点，
3
1
∴OM= ，
3
设M点表示的数为x，
1
∴OM=|0-x|= ，
3
1 1
∴x= 或- ，
3 3
1 1
∴点M表示的数是 或- ，
3 31
1 MO 3 1
当点M表示的数是 时， ^M= = = ；
3 MA 2 2
3
1
1 MO 3 1
当点M表示的数是- 时， ^M= = = ；
3 MA 4 4
3
1 1
综上，^M的值是 或 ．
2 4
【点睛】本题考查了数轴，有理数的混合运算，理解题目中的定义将线段PO与线段PA的
PO
长度之比定义为点P的特征值，记作^P，即 ^P= 是解题的关键．
PA
举一反三2 （2022秋·河北邢台·七年级校考阶段练习）定义：对于确定位置的三个数：a，
a-c b-c
b，c，计算a-b， ， ，将这三个数的最小值称为a，b，c的“分差”，例如，
2 3
1-3 -2-3 5
对于1，-2，3，因为1-(-2)=3， =-1， =- ，所以1，-2，3的“分差”
2 3 3
5
为- ．
3
(1)-2，-4，1的“分差”为______；
(2)调整“-2，-4，1”这三个数的位置，得到不同的“分差”，求这些不同“分差”中的
最大值．
5
【答案】(1)-
3
2
(2)
3
【分析】（1）根据题中意思分别求出三个数，然后比较大小即可得出答案；
（2）先给这三个数进行排序，分别求出其中的分差，然后比大小即可得出答案．
-2-1 3 -4-1 5
【详解】（1）解：根据题意可得：-2-(-4)=2， =- ， =- ，
2 2 3 3
5 3
∵- <- <2，
3 25
∴-2，-4，1的“分差”为- ，
3
5
故答案为：- ；
3
5
（2）①这三个数的位置为：-2，-4，1时，根据（1）中所求“分差”为- ；
3
②这三个数的位置为：-2，1，-4时，
-2-(-4) 1-(-4) 5
则-2-1=-3， =1， = ，
2 3 3
5
∵-3<1< ，
3
∴-2，1，-4的“分差”为-3；
③这三个数的位置为：1，-2，-4时，
1-(-4) 5 -2-(-4) 2
则1-(-2)=3， = ， = ，
2 2 3 3
2 5
∵ < <3，
3 2
2
∴1，-2，-4的“分差”为 ；
3
④这三个数的位置为：1，-4，-2时，
1-(-2) 3 -4-(-2) 2
则1-(-4)=5， = ， =- ，
2 2 3 3
2 3
∵- < <5，
3 2
2
∴1，-4，-2的“分差”为- ；
3
⑤这三个数的位置为：-4，1，-2时，
-4-(-2) 1-(-2)
则-4-1=-5， =-1， =1，
2 3
∵-5<-1<1，
∴-4，1，-2的“分差”为-5；’
⑥这三个数的位置为：-4，-2，1时，
-4-1 5 -2-1
则-4-(-2)=-2， =- ， =-1，
2 2 3
5
∵- <-2<-1，
25
∴-4，-2，1的“分差”为- ；
2
2 2 5 5
∵ >- >- >- >-3>-5，
3 3 3 2
2
∴这些不同“分差”中的最大值为 ．
3
【点睛】本题考查了新定义以及有理数的混合运算，有理数的大小比较，解题关键：理解
什么叫做“分差”．
一、单选题
1．（2023秋·四川宜宾·七年级四川省宜宾市第四中学校校考期中）下列计算正确的是（
）
1 ( 3) ( 3 )
A．0÷(-3)=- B． - ÷ - =-5
3 7 35
( 1) ( 3) ( 1) 9
C．1÷ - =-9 D． - ÷ -1 =
9 4 2 8
【答案】C
【分析】根据有理数的除法法则计算即可判断．
【详解】解：A、0÷(-3)=0，故错误，不合题意；
( 3) ( 3 )
B、 - ÷ - =5，故错误，不合题意；
7 35
( 1)
C、1÷ - =-9，故正确，符合题意；
9
( 3) ( 1) 1
D、 - ÷ -1 = ，故错误，不合题意；
4 2 2
故选：C．
【点睛】本题考查有理数除法法则，根据法则准确计算即可．
2．（2023秋·内蒙古呼伦贝尔·七年级校考期中）两个有理数相除，其商是负数，则这两个
有理数（ ）A．都是负数
B．都是正数
C．一个正数一个负数
D．有一个是零
【答案】C
【分析】根据两数相除，同号得正，异号得负进行分析；
【详解】解：根据除法法则，知两个有理数相除，其商是负数，则这两个有理数必定异号；
故选：C
【点睛】此题考查了有理数的除法法则
3．（2023春·辽宁营口·七年级校联考期中）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列
式子正确的是（ ）
b
A．a-b>0 B．a+b>0 C． >0 D．a=b
a
【答案】A
b
【分析】根据数轴得出b<0|a|，推出a+b<0，a-b>0， <0，a≠b，最后选
a
出即可．
【详解】解：∵从数轴可知：b<0|a|，
b
∴a+b<0，a-b>0， <0，a≠b，
a
∴选项B、C、D错误，只有选项A正确；
故选：A．
【点睛】本题考查了数轴，有理数的加法减法和乘法，关键是能根据数轴得到b<0|a|．
4．（2023秋·浙江湖州·七年级统考期末）已知a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结
a
论：①a<0a+b，正确的是（ ）
b
A．①② B．①④ C．②③ D．①③④【答案】B
【分析】由a，b在数轴上的位置，即可一一判定．
【详解】解：由a，b在数轴上的位置，可知：
a<0|b|，
a
∴- >0，b-a>a+b，
b
故正确的有①④，
故选：B．
【点睛】本题考查了实数与数轴、绝对值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的
思想解答．
5．（2023秋·河北保定·七年级校考期末）在算式-2□6的“□”中填入下列运算符号中的
一个，要使计算结果最小，应填（ ）
A．+ B．- C．× D．÷
【答案】C
【分析】将各个选项中的运算符号代入题干中的式子，计算出结果，然后观察结果，即可
得到使得式子结果最小时的运算符号．
【详解】解：-2+6=4，
-2-6=-8，
-2×6=-12，
1
-2÷6=- ，
3
1
-12<-8< <4，
3
由上可得，-2×6的结果最小，
故选：C．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
二、填空题
1．（2023秋·新疆和田·七年级和田市第三中学校考期末）已知|x|=3，|y|=5．且xy<0，
x
则 的值等于 ．
y
3
【答案】- /-0.6
5x
【分析】利用绝对值的代数意义求出x与y的值，即可求出 的值．
y
【详解】解：∵|x|=3，|y|=5，且xy<0，
∴x=3，y=-5或x=-3，y=5，
x 3
则 =- ．
y 5
3
故答案为：- ．
5
【点睛】此题考查了有理数的乘除法，绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（2023秋·湖南岳阳·七年级统考期末）若规定“！”是一种数学运算符号，且
98!
1!=1,2!=2×1=2,3!=3×2×1=6，4!=4×3×2×1=24，．．．，则 的值为
100!
．
1
【答案】
9900
【分析】根据定义新运算的运算法则，有理数的乘除运算法则即可求解．
98! 98! 1
【详解】解： = = ，
100! 100×99×98! 9900
1
故答案为： ．
9900
【点睛】本题主要考查定义新运算，理解新运算的运算法则，掌握有理数的运算法则是解
题的关键．
( 1 5 3 5 ) ( 1 )
3．（2023秋·山西晋城·七年级统考期末）计算： - + - + ÷ 的结果是
2 6 8 12 24
．
【答案】9
【分析】先把除法变为乘法，然后根据有理数乘法分配律求解即可．
( 1 5 3 5 ) ( 1 )
【详解】解： - + - + ÷ ，
2 6 8 12 24
( 1 5 3 5 )
= - + - + ×24，
2 6 8 121 5 3 5
=- ×24+ ×24- ×24+ ×24，
2 6 8 12
=-12+20-9+10
=9．
故答案为9．
【点睛】本题主要考查了有理数除法和有理数乘法运算律，熟知有理数乘法分配律是解题
的关键．
三、解答题
1．（2023秋·重庆沙坪坝·七年级重庆八中校考期末）计算：
(1)-3÷[(-2)-|-1|]
( 1 )
(2) -166 ÷41
20
【答案】(1)1
1
(2)-4
20
【分析】（1）先计算绝对值，再计算中括号里的，最后计算除法；
41
（2）先将带分数转化为164- ，再将除法转化为乘法，利用乘法分配律求解即可．
20
【详解】（1）原式=-3÷(-2-1)
=-3÷(-3)
=1；
( 41) 1
（2）原式= -164- ×
20 41
1 41 1
=-164× - ×
41 20 41
1
=-4-
20
1
=-4 ．
20
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题关键是掌握运算法则和顺序，以及能灵活的将带分数进行转化，使计算更简便．
2．（2023秋·山东菏泽·七年级统考期末）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的
“洛书”．把“洛书”（图1）的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（图2），即表格
中每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．
(1)图2中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于______．
(2)请将-2，-1，0，1，2，3，4，5，6填入图3，使其构成一个三阶幻方．
【答案】(1)15
(2)见详解（答案不唯一）
【分析】（1）根据图中数据即可作答；
（2）先将已知的9个数求和，再除以3即可求出每行、每列、每条对角线上的三个数之和，
根据幻方的特点可知，已知的从小到大的排列的9个数中，居于中间位置的数填在幻方的
正中心的格子中，并且这列数中最大的数与最小的数必在一起，据此填表即可．
【详解】（1）任取两组数据，由图2可知：4+9+2=8+5+2=15，
故答案为：15；
（2）(-2-1+0+1+2+3+4+5+6)÷3=6，
即幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于6，
根据幻方的特点可知：从小到大的排列的9个数中，居于中间位置的数填在幻方的正中心
的格子中，并且这列数中最大的数与最小的数必在一起，
即三阶幻方如下：
（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查了有理数的加减乘除运算，掌握有理数的加减乘除运算法则，是解答本题的关键．
3．（2023秋·宁夏石嘴山·七年级统考期末）数学老师布置了一道思考题“计算：
( 1 ) (1 5)
- ÷ - ”，小明仔细思考了一番用了如下方法解决了这个问题．
12 3 6
(1 5) ( 1 ) (1 5)
小明的解法：原式的倒数为 - ÷ - = - ×(-12)=-4+10=6，
3 6 12 3 6
( 1 ) (1 5) 1
所以 - ÷ - = ．
12 3 6 6
请你运用小明的解法解答下面的问题．
( 1 ) (1 1 3)
计算： - ÷ - + ．
24 3 6 8
1
【答案】- ．
13
【分析】求出原式的倒数，即可确定出原式的值．
(1 1 3) ( 1 )
【详解】原式的倒数为 - + ÷ -
3 6 8 24
(1 1 3)
= - + ×(-24)
3 6 8
=-8+4-9
=-13，
( 1 ) (1 1 3) 1
则 - ÷ - + =- ．
24 3 6 8 13
【点睛】本题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
