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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 40 练 圆与圆的位置关系及圆的综合性问题（精练）
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．圆 与圆 的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．内切 D．外切
【答案】B
【分析】根据两圆圆心距离与半径和差的关系判断即可.
【详解】因为圆 的圆心为 ，半径 ，圆 的圆心为 ，半径 ，
则两圆圆心距离为 ，两圆半径之差为 ，两圆半径之和为 ，
因为 ，所以两圆相交.
故选：B.
2．已知圆 ： 和 ： ，则两圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．外切 C．相交 D．外离
【答案】B
【分析】根据两圆的圆心距与两圆半径和差的比较即可判断两圆位置关系.
【详解】因为圆 ： 的圆心 ，半径为 ，
圆 ： 即 的圆心 ，半径为 ，
所以两个圆的圆心距 ，又两个圆的半径和为 ，
所以圆 与圆 的位置关系是外切.
故选：B.
3．圆 与圆 的公切线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】C
【分析】根据两圆的位置关系即可求解.【详解】圆 的标准方程为 ，圆心坐标为 ，半径为2.
圆 与圆 的圆心距为3，等于两个圆的半径之和，所以圆 与圆 外切，故圆 与圆 的公切线有3
条.
故选：C
4．圆 与圆 的公共弦所在的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为2，则
的值为（ ）
A． B． C．3 D．3或
【答案】D
【分析】根据题意，联立两个圆的方程，可得两圆的公共弦所在的直线的方程，由直线的方程可得该直线
与 , 轴交点的坐标，进而可得 ，解可得 的值，即可得答案．
【详解】根据题意，圆 与圆 ，
即 ，两式相减可得： ，
即两圆的公共弦所在的直线的方程为 ，
该直线与 轴的交点为 ，与 轴的交点为 ，
若公共弦所在的直线和两坐标轴所围成图形的面积为2，则有 ，
变形可得： ，
解可得： 或 ；
故选：D
5．圆 关于点 对称的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【分析】求得圆心关于点 的对称点的坐标，由此求得对称圆的方程.
【详解】圆 的圆心为 ，半径为 ，
关于点 的对称点为 ，
所以对称圆的方程为 .
故选：A
6．已知在圆 上恰有两个点到原点的距离为 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据圆与圆的位置关系求得 的取值范围.
【详解】圆 的圆心为 ，半径为 ，
依题意可知，以原点 为圆心，半径为 的圆，与圆 相交，
，所以 ，
即 ，所以 .
故选：C
7．圆 与圆 相交于 两点，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出相交弦 所在直线的方程，然后根据圆的弦长的求法求解即可.
【详解】由圆 与圆 ，
将两圆方程相减整理得直线 的方程： ，又 ，即 ，
圆心为 ，半径为 ，
所以 到直线 的距离为 ，
所以 .
故选：B.
8．若圆 与圆 有公共点，则 满足的条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据圆与圆的位置关系求得正确答案.
【详解】由 得 ，圆心为 ，半径为 ，
圆 的圆心为 ，半径为 .
两圆圆心距为 ，
由于两圆有公共点，所以 ，解得 ，
所以 .
故选：D
9．已知圆 与圆 相交，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．【答案】D
【分析】根据两圆相交时圆心距和半径的关系列不等式，然后解不等式即可.
【详解】圆 的圆心为 ，半径为 ，圆 的圆心为 ，半径为 .
依题意可得 ，即 ，解得
.
故选：D.
10．已知圆 和圆 ，其中 ，则使得两圆相交的一个充分不必要条件可
以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆与圆的位置关系求参数范围，结合充分、必要性定义确定答案即可.
【详解】由 且半径 ， 且半径 ，结合a大于0，
所以 时，两圆相交，则 ，
由选项可得A选项为 的充要条件；
B、D选项为 的必要不充分条件；
C选项为 的充分不必要条件；
故选：C
11．已知动圆过点 ，并且在圆B： 的内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据圆与圆的位置关系，整理等式，根据椭圆的定义，可得答案.
【详解】由圆 ，则其圆心 ，半径为 ，设动圆的圆心为 ，半径为 ，
由圆 在圆 的内部与其相切，则 ，
由圆 过点 ，则 ，即 ，
所以动点 的轨迹为以 为焦点的椭圆，则 ， ，
，所以其轨迹方程为 .
故选：D.
12．已知两圆相交于两点 ， ，且两圆圆心都在直线 上，则 的值为（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】D
【分析】根据两圆的相交性质进行求解即可.
【详解】由直线 的方程可知该直线的斜率为 ，
直线 的斜率为 ，线段 的中点坐标为 ，
因为两圆相交于两点 ， ，且两圆圆心都在直线 上，
所以有 ，
故选：D
13．已知圆 ： 和两点 ， ，若圆 上至少存在一点 ，使得
，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件可得圆 ： 与圆 ： （ ）位置关系为相交、内
切或内含即可满足题意，进而求得a的值.
【详解】圆 ： 的圆心 ，半径为 ，
因为圆 上至少存在一点 ，使得 ，所以圆 ： 与圆 ： （ ）位置关系为相交、内切或内含，如图所示，
或 或
所以 ，
又因为 ，所以 ，即 .
故选：B.
14．已知点P为直线 上的一点，M，N分别为圆 ： 与圆 ： 上
的点，则 的最小值为（ ）
A．5 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】分别求得圆 的圆心坐标和半径，求得 ，结合图象，得 ，即
可求解.
【详解】如图所示，由圆 ，可得圆心 ，半径为 ，
圆 ，可得圆心 ，半径为 ，
可得圆心距 ，
如图， ，
所以 ，
当 共线时，取得最小值，故 的最小值为 .
故选：B
二、多选题
15．已知两圆 ，直线 ，则（ ）
A．圆 的面积为 B．圆 的圆心为
C．圆 与直线 相切 D．圆 与圆 外切
【答案】AD
【分析】由圆的一般方程写出圆的圆心与半径，运用几何法比较圆心到直线的距离与半径的大小来判断直
线与圆的位置关系，比较两圆心距与两圆的半径之和、半径之差的绝对值的大小来判断圆与圆的位置关系.
【详解】解：对于选项A，由题意得，圆 的半径为3，所以圆的面积为 ，故选项A正确；
对于选项B，∵圆 ： ，即： ，
∴圆 的圆心为 ，半径 ，故选项B错误；
对于选项C，由题得，圆 的圆心为 ，半径 ，
所以圆心 到直线l的距离为： ，则 ，所以圆 与直线 相交，故选项C错误；
对于选项D，由题得， ，所以圆 与圆 外切，故选项D正确.
故选：AD.
16．已知圆 与圆 ，下列说法正确的是（ ）A． 与 的公切线恰有4条
B． 与 相交弦的方程为
C． 与 相交弦的弦长为
D．若 分别是圆 上的动点，则
【答案】BD
【分析】由根据两圆之间的位置关系确定公切线个数；如果两圆相交，进行两圆方程的做差可以得到相交
弦的直线方程；通过垂径定理可以求弦长；两圆上的点的最长距离为圆心距和两半径之和，逐项分析判断
即可.
【详解】由已知得圆 的圆心 ，半径 ，
圆 的圆心 ，半径 ，
，
故两圆相交，所以 与 的公切线恰有2条，故A错误；
做差可得 与 相交弦的方程为
到相交弦的距离为 ，故相交弦的弦长为 ，故C错误；
若 分别是圆 上的动点，则 ，故D正确.
故选：BD
17．已知圆 ： 与圆 ： 有四条公切线，则实数 的取值可能是（ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】ACD
【分析】首先得到圆心坐标与半径，依题意可得两圆相离，利用圆心距大于半径之和求出参数的取值范围.【详解】解：由圆 和 的方程可知，
圆 的圆心 ，半径 ，
圆 的圆心 ，半径 ，
因为两圆有四条公切线，所以两圆外离，
两圆圆心距 ，则 ，
解得 或 ，即 ，
所以实数 的取值可以是 ， ， ，不能是 .
故选：ACD.
18．已知点 在圆 上，点 在圆 上，则（ ）
A．两圆外离 B． 的最大值为9
C． 的最小值为1 D．两个圆的一条公切线方程为
【答案】ABC
【分析】将两圆的方程化为标准方程，求出两圆的圆心和半径，再逐项分析.
【详解】圆 的圆心坐标 ，半径 ，
圆 ，即 的圆心坐标 ，半径 ，
所以圆心距 ，
因为 ，所以两圆外离．故A正确；
因为 在圆 上， 在圆 上，所以 ，故B、C正确；
因为圆心 到直线 的距离 ，所以 不是两圆
公切线，故D错误；故选：ABC．
19．已知圆 和圆 ，则下列结论正确的是（ ）
A．圆 与圆 外切
B．直线 与圆 相切
C．直线 被圆 所截得的弦长为2
D．若 分别为圆 和圆 上一点，则 的最大值为10
【答案】ACD
【分析】利用配方法，根据两圆相切、圆的切线性质、垂径定理、两圆的位置关系逐一判断即可.
【详解】圆 化为 ，圆心坐标为 ，半径为2，
圆 化为 ，圆心坐标为 ，半径为3.
因为两个圆的圆心距为 ，等于两个圆半径的和，所以两个圆外切， 正确.
圆 的圆心到直线 的距离为 ，所以直线 与圆 不相切， 错误.
圆 的圆心到直线 的距离为 ，直线 被圆 所截得的弦长为 ，C正
确.
若 分别为圆 和圆 上一点，则 的最大值为 ， 正确.
故选：ACD
20．点 在圆 上，点 在圆 上，则（ ）
A． 的最小值为3 B． 的最大值为7
C．两个圆心所在的直线斜率为 D．两个圆相交
【答案】ABC【分析】根据题意，由圆的方程求出两个圆的圆心分别为 、 ，半径分别为 、r=1；根
据两点间距离公式求出圆心距 ，与两圆半径之和或半径之差比较即可判断两圆的位置关系，判断选项
D； 的最小值为 可判断A； 的最大值为 可判断B；根据经过两点直线斜率
计算公式即可计算经过两圆圆心的直线斜率，从而判断C.
【详解】根据题意，圆 ，其圆心 ，半径 ，
圆 ，即 ，其圆心 ，半径 ，圆心距
>R+r，故两圆外离，故D错误；
则 的最小值为 ，最大值为 ，故A正确，B正确；
对于C，两个圆心所在的直线斜率 ，故C正确.
故选：ABC.
三、填空题
21．圆 ： ，圆 ： ，则圆 与圆 的位置关系是 ．
（选择以下答案填空：“相离”，“外切”，“相交”，“内切”，“内含”）
【答案】内切
【分析】首先计算两圆圆心之间的距离，利用圆心距与两圆半径作比较即可判断.
【详解】由题意可得圆 ： 的圆心为 ，半径 ；
圆 ： 的圆心为 ，半径 ，
两圆圆心距 ，
因为 ，所以两圆内切，
故答案为：内切22．已知圆 ， ， ，若以线段 为直径的圆与圆 有
公共点，则 的值可能为 .（写出一个即可）
【答案】1（2,3均可）答案不唯一
【分析】根据题意，由已知利用圆与圆的位置关系即可求解.
【详解】由题意得，圆 与圆 有公共点，
∴ ，∴ ，且 ，
解得 ；故 ，2，3均可.
故答案为：1（2,3均可）
23．已知圆 与圆 外切，此时直线 被圆 所截的弦长
为 ．
【答案】
【分析】根据两圆外切，可得圆心距离为半径之和，可得 ，接着计算 到直线的距离，最后根据圆的弦
长公式计算可得结果.
【详解】由题意可得： ，
即圆 的圆心为 ，半径为 ，
即圆心到直线 的距离为 ，
故所截弦长为 ．
故答案为：
24．已知圆 ，圆 ，如果这两个圆有且只有一个公共点，则常数
.
【答案】 或0【分析】根据题意，分两圆内切与外切，即可得到结果.
【详解】∵两个圆有且只有一个公共点，∴两个圆内切或外切，
当两圆内切时，可得 ，
当两圆外切时，可得 ，
∴ 或0.
故答案为： 或0
25．过点 作圆C： 的两条切线，设切点分别为A，B，则直线AB的方程为 .
【答案】
【分析】求出以MC为直径的圆的方程，可得AB的方程为两圆的公共弦所在的直线方程，两圆方程相减
可得答案.
【详解】 可化为： ，
∴圆心为 ，半径为 ，
∴MC的中点为 ， ，
以MC为直径的圆的方程为： ，
即
∵ ， ，
∴M，A，C，B四点共圆，
∴AB的方程为两圆的公共弦所在的直线方程，
两圆方程相减得直线AB的方程为 .
故答案为： .
26．已知圆C满足下列条件：①圆心C在第三象限；②与圆 外切；③圆C的一条切线方程为 ，则圆C的标准方程可能是 .（写出一个即可）
【答案】 (答案不唯一，但圆心坐标需满足 ， )
【分析】设所求圆的圆心和半径，根据条件得到关于 的方程组，即可求解.
【详解】设圆心坐标为 ，由①可知 ，半径为 ，
由②③可知 ，整理可得 ，
当 时， ， ，所以其中一个同时满足条件①②③的圆 的标准方程是 .
故答案为： ．
27．已知点 ， ，若圆 上有且只有一点 ，使得 ，则实数
的一个取值为 .（写出满足条件的一个即可）
【答案】 (答案不唯一)
【分析】根据题意，分析圆 的圆心坐标以及半径，设 中点为 ，由 的坐标分析 的坐标以及
的值，可得以 为直径的圆，进而分析，原问题可以转化为圆 与圆 相切，结合圆与圆的位置关
系，即可求解.
【详解】由题知，圆 ，
即 ，圆心为 ，半径 ，
设 中点为 ，因 ， ，
则 ， ，
以 为直径的圆为 ，
因为圆 上有且只有一点 ，使得 ，则圆 与圆 相切，
又 ，
即有 或 ，
解得 或 .
故答案为：
28．若 且 ，圆 ： 和圆 ： 有且只有一条公切线，则
的最小值为 ．
【答案】4
【分析】首先根据题意得到圆 与圆 内切，从而得到 ，再利用基本不等式求解即可.
【详解】圆 的圆心为 ，半径为2；圆 的圆心为 ，半径为3.
因为圆 和圆 只有一条公切线，
所以圆 与圆 内切，所以 ，即 ，
所以 ，
当且仅当 时等号成立，所以 的最小值为4．
故答案为：4
四、解答题
29．判断下列两个圆的位置关系：
(1) 与 ；
(2) 与 ．【答案】(1)外切
(2)相交
【分析】（1）求得两圆的圆心坐标和半径，结合圆心距与两圆半径的关系，即可求解；
（2）化简两圆为标准方程，求得两圆的圆心坐标和半径，结合圆心距与两圆半径的关系，即可求解.
【详解】（1）解：由圆 与 ，
可得两圆的圆心坐标分别为 ，半径分别为 和 ，
可得两个圆的圆心距 ，所以 ，
所以两个圆外切．
（2）解：将两个圆的方程都化为标准方程，可得 ， ，
则两圆的圆心坐标分别为 ，半径分别为 和 ，
可得两个圆的圆心距 ，
因为 ，所以两个圆相交．
30．已知圆 ， .
(1)求过两圆交点的直线方程；
(2)求过两圆交点，且圆心在直线 上的圆的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）两圆方程直接作差即可整理得到所求直线方程；
（2）将过两圆交点的直线方程与圆的方程联立可得交点坐标；采用待定系数法，代入交点坐标和圆心所
满足的直线方程可构造方程组求得圆心和半径，由此可得圆的方程.
【详解】（1）将两圆方程作差得： ，即 ，过两圆交点的直线方程为 .
（2）由 得： 或 ，
即两圆交点的坐标为 和 ；
设过两圆交点的圆的方程为 ，
则 ，解得： ，
过两圆交点的圆的方程为 .
31．圆 内有一点 ，过 的直线交圆于A、B两点.
(1)当弦AB被 平分时，求直线AB的方程；
(2)若圆 与圆 相交于E，F两点，求 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先根据题意得到 ，从而得到 ，再利用点斜式求解直线方程即可.
（2）首先根据题意得到公共弦方程为 ，再求弦长即可.
【详解】（1）如图所示：，
因为弦AB被 平分，所以 ，即 .
所以直线 为 ，即 .
（2） .
原点 到直线 的距离 .
则 .
32．已知圆
(1)若直线 过定点 ，且与圆C相切，求直线 的方程；
(2)若圆D的半径为3，圆心在直线 上，且与圆C外切，求圆D的方程．
【答案】(1) 或
(2) 或
【分析】（1）由点到直线的距离等于半径，即可分情况求解，
（2）由两圆外切圆心距与半径之和的关系，即可列方程求解.
【详解】（1）圆
化为标准方程为 ，所以圆C的圆心为 ，半径为
①若直线 的斜率不存在，即直线为 ，符合题意．
②若直线 的斜率存在，设直线 的方程为 即
由题意知，圆心 到已知直线 的距离等于半径2，
所以 ，即 ，
解得 ，所以直线方程为
综上，所求直线 的方程为 或
（2）依题意，设
又已知圆C的圆心为 ，半径为2，
由两圆外切，可知 ，
所以 ，
解得 或 所以 或 ，
所以所求圆D的方程为 或
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．已知点 ，若圆O： 上存在点A，使得线段PA的中点也在圆O上，则a的取值范围是
（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】由题意知，A在圆O 上，PA中点也在圆上，根据中点位置列出方程式解得中点的轨迹为
，然后根据两圆的位置关系求得a的取值范围.
【详解】设A的坐标为 ，PA的中点坐标为 ，
则有： ，
解得： ，
又线段PA中点也在圆上，所以两圆有公共点，
所以 ，
解得： ，
解得： ，
故选：B.
2．在直角坐标系内，已知 是以点 为圆心的圆 上的一点，折叠该圆两次使点A分别与圆上不相
同的两点（异于点A）重合，两次的折痕方程分别为 和 ，若圆 上存在点 ，使得
，其中点 、 ，则 的最大值为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】B【分析】利用圆的性质先确定圆 ，结合向量数量积得出 三点共圆，再利用两圆的位置关系数
形结合即可.
【详解】由题意可得圆心在两折痕方程上，联立方程得 ，
即圆心 ，半径 ， ，即 三点共圆，
该圆以 为直径，故圆心为原点.
如图所示连接 交圆C于B点，当 重合时此时两圆相内切， 最大，
即 .
故选：B
3．已知圆C： ，若点P在直线 上运动，过点P作圆C的两条切线 ，
，切点分别为A，B，则直线 过定点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出 的圆心和半径，由几何关系得到 四点共圆，设 ，得
到 的圆的方程，与 相减后得到直线 的方程，求出直线 过定点坐标.
【详解】圆C： ①的圆心为 ，半径为2，过点P作圆C的两条切线 ， ，切点分别为A，B，故 四点共圆，
其中 的中点为该圆心， 为直径，
设 ，则 的中点为 ，
，
故过 的圆的方程为 ，
变形得到 ②，
由①②相减可得直线 的方程，即 ，
整理得 ，
令 ，解得 ，
故直线过定点坐标 .
故选：D
4．圆 ，圆 ，则两圆的一条公切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由圆与圆位置关系的判断可知两圆外离，得公切线条数；根据两圆半径相同可确定两条公切线过
，两条公切线平行于 ，假设公切线方程，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得公切线.
【详解】由两圆方程得：圆心 ， ，半径 ，两圆圆心距 ， ，即两圆外离，公切线共有 条；
两圆半径相同， 两圆两条公切线经过 中点 ，两条公切线与 平行，
经过 中点的公切线斜率显然存在，可设为： ，
，解得： 或 ，即公切线方程为： 或 ；
， 与 平行的公切线方程为 ，即 ，
，解得： ，即公切线方程为 或 ；
综上所述：两圆的公切线方程为： 或 或 或 .
故选：C.
5．已知 ： ， ： ，则下列说法中，正确的个数有
（ ）个.
（1）若 在 内，则 ；
（2）当 时， 与 共有两条公切线；
（3）当 时， 与 的公共弦所在直线方程为 ；
（4） ，使得 与 公共弦的斜率为 .
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据点与圆的位置关系判断方法判断（1）；利用两圆的位置关系判断（2）；
通过判断圆与圆的位置关系确定 与 的公共切线的条数，通过将两圆方程相减，
确定两圆的公共弦的方程，判断（3）（4）.
【详解】因为 ： ， ： ，所以 ： ， ： ，
则 ， ， ， ，则 ，
由 在 内，可得 ，即 ，故（1）错误；
当 时， ， ， ， ，
所以 ，所以两圆相交，共两条公切线，故（2）正确；
当 时， ： ， ： ，两圆相交
由 ，得： ，即 故（3）正确；
公共弦所成直线的斜率为 ，令 ，无解，故（4）错误.
故选：B.
6．在平面直角坐标系xOy中，圆O： 与圆M： 相交于A，B两点，
若对于直线AB上的任意一点P，均有 成立，则半径r的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可知 与直线AB位置关系，利用圆与圆的位置关系即可得出r的范围．
【详解】圆O的圆心为 ，半径为r，圆M的圆心为 半径为2．
∴ ，
∵圆O与圆M相交，
∴ ．
∵对于直线AB上任意一点P，均有 成立，又 ，当直线AB过点M时， ．
∴ ．
故答案为： ．
7．若圆 与圆 的公共弦长为 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【分析】利用两圆方程相减求出公共弦所在直线方程，根据点到直线的距离公式，利用几何法求弦长列出
方程，解方程即可.
【详解】圆 与圆 两式相减，
整理得公共弦所在直线方程为 ，
又 ，圆心为 ，半径为2，公共弦长为 ，
则圆心 到直线 的距离
，
化简得 ，
解得： ．验证知符合题意.
故选：A.
8．已知圆 与圆 ，则“ ”是“圆与圆 外切”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用两圆相切圆心距与两半径之和相等，分别证明充分性和必要性是否成立即可得出答案.
【详解】根据题意将圆 化成标准方程为 ；
易知 ，
所以可得圆心 ，半径为 ，圆心 ，半径为 ，
可得 ，两半径之和 ；
若 ，圆心距 ，两半径之和 ，此时 ，
所以圆 与圆 外切，即充分性成立；
若圆 与圆 外切，则 ，解得 或 （舍），
所以必要性成立；
即“ ”是“圆 与圆 外切”的充分必要条件.
故选：C
9．已知集合 ，若 恰有一个元素，则
的值可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据 恰有一个元素，得到两圆只有一个公共点，分两圆相外切和内切求解.
【详解】解： ，即 ，
则该圆的圆心为 ，半径为 ，
，即 ，由题意可知集合 表示圆，则该圆的圆心为 ， ，半径为 ，
又圆心距为 ，且 恰有一个元素，
即两圆只有一个公共点，
当两圆相外切时， ，解得 ，
当两圆相内切时， ，解得 ，
故选：D
10．已知圆C： ，P为直线l： 上的动点，过点P作圆C的切线PA，
PB，切点为A，B，当四边形APBC的面积最小时，直线AB的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆的几何性质判断出直线 时，四边形APBC的面积最小，利用圆与圆相交弦所在直线
方程的求法求得正确答案.
【详解】圆的方程可化为 ，
点C到直线l的距离为 ，所以直线l与圆C相离.
依圆的知识可知，四点A，P，B，C四点共圆，且 ，
所以四边形APBC的面积 ，而 ，
当直线 时， ， ，此时四边形APBC的面积最小.
所以CP： 即 ，由 ，解得 ，即 .
所以以CP为直径的圆的方程为 ，即 ，
两圆的方程相减可得： ，即为直线AB的方程.故选：C
11．圆 与圆 的公共弦长的最大值是
（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【分析】将两圆转化成标准方程，根据标准方程得出两圆圆心均在直线 上，再利用几何关系即可求出
结果.
【详解】由 ，得 ，圆心 ，半径 ；
由 ，得 ，圆心 ，半径 ，
所以两圆圆心均在直线 上，半径分别为1和 ，
如图，当两圆相交且相交弦经过小圆圆心，也即大圆圆心在小圆上时，两圆公共弦长最大，最大值为小圆
的直径，即最大值为2.
故选：D.
12．已知过圆 外一点 做圆的两条切线，切点为 两点，求 所在的直线方程为
（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据切线的特征可知 所在的直线为圆 和以 的中点 为圆心,以 为直径
的圆的公共弦所在的直线方程，
【详解】根据题意得 所在的直线为圆 和以 的中点 为圆心,以 为直径的圆的公
共弦所在的直线方程，
因为 ，所以圆 ，
两圆相减得 所在的直线方程为 .
故选：A.
二、多选题
13．已知圆 ： ，下列说法正确的是（ ）
A．点 在圆 内部
B．圆 与圆 相离
C．过 的直线与圆 相交，弦长为 ，则直线方程为 或
D．若 ， ，直线 恒过圆 的圆心，则 恒成立
【答案】CD
【分析】利用点到圆心的距离与半径的关系可判断A选项；利用两圆的圆心距与半径的关系可判断B；利
用点到直线的距离为1可判断C；直线 恒过圆 的圆心，可得 ，利用基本不等式求解可判断D.
【详解】对A，由方程可得圆心 ，半径为2，所以点 到圆心的距离为
，则点 在圆外，故A错误；
对B，两圆的圆心距为 ，因为 ，所以两圆相交，故B错误；
对C，因为过点 的直线与圆 相交，弦长为 ，可得圆心 到直线的距离为1，当直线的斜率不
存在时，即 符合题意，
当直线的斜率存在时，设直线为 ，由圆心 到直线的距离为1，可得 ，解
得 ，
即直线为 ，所以直线的方程为 或 ，故C正确；
对D，由于直线 恒过圆心，可得 即 ，又 ， ，所以
，当且仅当 即 时等号成立，故D正
确.
故选：CD.
14．已知圆 ，圆 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若点 在圆 的内部，则
B．若 ，则圆 的公共弦所在的直线方程是
C．若圆 外切，则
D．过点 作圆 的切线 ，则 的方程是 或【答案】BCD
【分析】根据点在圆的内部解不等式 即可判断A错误；将两圆方程相减可得公共弦所
在的直线方程可知B正确；利用圆与圆外切，由圆心距和两半径之和相等即可知C正确；对直线 的斜率
是否存在进行分类讨论，由点到直线距离公式即可得D正确.
【详解】对于A，由点 在圆 的内部，得 ，解得 ，故 错误；
对于B，若 ，则圆 ，
将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程是 ，故B正确；
对于C，圆 的标准方程为 ，圆心为 ，半径 ，
圆 的标准方程为 ，圆心为 ，半径 ，
若圆 外切，则 ，即 ，解得 ，故C正确；
对于D，当 的斜率不存在时， 的方程是 ，圆心 到 的距离 ，满足要求，
当 的斜率存在时，设 的方程为 ，
圆心 到 的距离 ，解得 ，
所以 的方程是 ，故D正确.
故选：BCD.
15．（多选题）点 在圆 ： 上，点 在圆 ： 上，则（ ）
A．实数 的取值范围为
B．当 时， 的最小值为 ，最大值为
C．当圆 和圆 外切时，D．当圆 的圆心在圆 上时，圆 和圆 的相交弦的长度为
【答案】ABD
【分析】将圆的方程化为标准方程即可判断A；分别求出两圆的圆心及半径，求出圆心距，再根据最小值
为圆心距减去半径之和，最大值为圆心距加上半径之和，即可判断B；根据两元外切可得圆心距等于半径
之和即可判断C；先求出公共弦所在直线的方程，再根据圆的弦长公式即可判断D.
【详解】圆 的圆心 ，半径 ，
圆 ： ，即 ，
则圆 的圆心 ，半径 ，
对于A，由题意， ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 ，故A正确；
当 时，圆 的半径 ，
因为 ，
所以两圆外离，
所以 的最小值为 ，最大值为 ，故B正确；
对于C，当圆 和圆 外切时， ，
即 ，解得 ，故C错误；
对于D，当圆 的圆心在圆 上时，
则 ，解得 ，
所以圆 ： ，
两圆的方程相减得 ，
即两圆的公共弦所在直线的方程为 ，圆心 到直线 的距离 ，
所以公共弦长为 ，故D正确.
故选：ABD.
16．已知圆 ： 与圆 ： ，则下列说法正确的是（ ）
A．若圆 与 轴相切，则
B．若 ，则圆 与圆 相离
C．若圆 与圆 有公共弦，则公共弦所在的直线方程为
D．直线 与圆 始终有两个交点
【答案】BD
【分析】求出两圆的圆心和半径，再逐项分析判断作答.
【详解】圆 ： 的圆心 ，半径 ，圆 ： 的圆心
，半径 ，
对于A，圆 与 轴相切，则 ，解得 ，A错误；
对于B，当 时， ，圆 与圆 相离，B正确；
对于C，当圆 与圆 有公共弦时，公共弦所在的直线方程为 ，C错误；
对于D，直线 ，即 恒过点 ，而点 在圆 内，
因此直线 与圆 相交，始终有两个交点，D正确.
故选：BD三、填空题
17．如图，圆 和圆 的圆心分别为 ， ，半径都为 ，写出一条与圆 和圆 都相切的
直线的方程： .
【答案】 （或 或 ，答案不唯一，写出一个即可）.
【分析】由圆与圆的位置关系、直线与圆的位置关系求解即可.
【详解】由已知，圆 和圆 的半径 ，
圆心距为 ，
∴圆 和圆 相外切.
如图易知与圆 和圆 都相切的直线斜率存在，设其方程为 ，即 ，
则 到直线 的距离 ，①
到直线 的距离 ，②
由①、②得， 即 或 即 ，
∴解得 或 或 ，
∴与圆 和圆 都相切的直线的方程为 或 或 .
故答案为： （或 或 ，答案不唯一，写出一个即可）.18．已知点 在直线 上，过点 作圆 的两条切线，切点分别为 ，则点
到直线 的距离的最大值为 ．
【答案】5
【分析】假设点 ，然后得到以OP为直径的圆的方程，与已知圆的方程作差可得直线AB的方程，
然后可知直线AB过定点 ，最后简单判断和计算可得结果.
【详解】设 ，则 ，OP的中点为 ， ，
以OP为直径的圆的方程是 ，
与圆O的方程 相减，得直线AB的方程为 ，即 ，
因为 ，所以 ，代入直线AB的方程，得 ，
即 ，当 且 ，即 ， 时该方程恒成立，
所以直线AB过定点 ，
点M到直线AB距离的最大值即为点M，N之间的距离 ，
所以点 到直线AB距离的最大值为5.
故答案为：5.
19．已知圆 ，圆 ，若圆 平分圆 的周长，则 .
【答案】
【分析】求出两圆的相交弦所在直线的方程，将圆 的圆心坐标代入相交弦所在直线的方程，可判断结果.
【详解】圆 的标准方程为 ，圆心为 ，半径为 ，
将两圆方程作差可得 ，因为圆 平分圆 的周长，则这两圆相交，且相交弦所在直线的方程为 ，
由题意可知，直线 过圆心 ，
所以， ，解得 .
故答案为： .
20．若圆 ： 与圆 ： 相交于 、 两点，且两圆在 点处的切线互相
垂直，则线段 的长是 ．
【答案】
【分析】画出已知两个圆的图象，利用圆的性质可以得到两切线互相垂直时，满足过对方的圆心，再利用
直角三角形进行求解.
【详解】如图，
由两圆在 点处的切线互相垂直可知，两条切线分别过两圆的圆心，
由相交圆公共弦的性质可知 ，
由切线性质可知 ，在 中， ，
所以 ，
又 斜边上的高为 ，
由等面积法可知， ，
即 ，解得 .故答案为：
21．在平面直角坐标系 中， 为坐标原点，点 ，若圆 上存在动点 满
足 ，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】设 ，根据点到点的位置关系化简可得 ，再根据圆与圆的位置关系求解
即可.
【详解】设 ，因为动点 满足 ，所以 ，化简得
．
又动点 在圆 上，所以圆 与圆 有公共点，所以 ，解得
．
故答案为：
22．过点 作圆 的两条切线，切点分别为 ，则直线 的方程为 ．
【答案】
【分析】根据题意结合两圆的相交弦的性质运算求解.
【详解】因为圆 的圆心为 ，半径为2，
设 为点P，可知 ，
以点P为圆心，3为半径作圆P ，即 ，
两圆方程作差整理得 ，
所以直线 （两圆公共弦所在直线）的方程为 .
故答案为： .四、解答题
23．已知圆 方程： ，圆 相交点A、B．
(1)求经过点A、B的直线方程.
(2)求 的面积.
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）判断两圆相交，再将两圆方程相减即可作答.
（2）由（1）的结论，求出点 到直线 的距离，进而求出弦 长，求出三角形面积作答.
【详解】（1）圆 ： 的圆心 ，半径 ，圆 的圆心 ，半
径 ，
显然 ，且有 ，则圆 与圆 相交，由 消去二次项得 ，
所以直线 的方程为 .
（2）由（1）知，点 到直线 ： 的距离 ，
于是 ，
所以 的面积 .
24．已知圆E经过点 ， ，圆E恒被直线 平分；
(1)求圆E的方程；
(2)过点 的直线l与圆E相交于A、B两点，求AB中点M的轨迹方程．
【答案】(1)
(2) ， .
【分析】（1）根据已知条件确定圆心、半径，写出圆的方程即可；
（2）由题意知 ，易知点M落在以EP为直径且在圆E内部的一段圆弧，再写出轨迹方程，注意
范围.
【详解】（1）由直线方程 知： ，故直线恒过点 ，因为圆E恒被直线 平分，所以圆E的圆心为 ，
因为 在圆上，故圆 的半径 ，
综上，圆E的方程为： ；
（2）
因为M为AB中点，E为圆心，根据垂径定理得： ，
所以点M落在以EP为直径的圆上，且点M在圆E的内部，
即点M的轨迹为以EP为直径的圆落在圆E内的一段弧．
因为 、 ，以EP为直径的圆的方程为 ，
由 ，
所以M的轨迹方程为： ， .
25．在平面直角坐标系 中，已知四点 ， ， ， .
(1)求过 ， ， 三点的圆 方程，并判断 点与圆 的位置关系；
(2)求圆 与圆 的公共弦长.
【答案】(1) ， 在圆上
(2) .
【分析】（1）设出圆的一般式方程，把点的坐标代入列方程组求解即可，把点的坐标代入检验点与圆的
位置关系；
（2）两圆相减得公共弦所在直线方程，然后结合点到直线距离公式利用垂径定理求弦长.
【详解】（1）设圆方程为 ，把 ， ， 三点坐标代入可得： ，
解得 ， ， ，所以圆方程是 ；
把 点坐标代入可得： ，故 在圆上.
（2）两圆方程相减得两圆公共弦所在的直线方程为： ，
又圆 的圆心 ，半径为2，则圆心 到直线的距离为 ，
所以公共弦长为 .
26．在平面直角坐标系 中，已知圆 .设圆 与 轴相切，与圆 外切，
且圆心 在直线 上.
(1)求圆 的标准方程；
(2)设垂直于 的直线 与圆 相交于 ， 两点，且 ，求直线 的方程.
【答案】(1)
(2) 或 ．
【分析】（1）由题意求出圆 ，圆 的圆心和半径，由两圆外切，可得 ，即可求出答案.
（2）由 ，可求出圆心O1到直线l的距离，再由点到直线的距离公式代入求解即可.
【详解】（1）圆 ： ，
则圆 的标准方程为 ，
即圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，因为圆 与x轴相切，与圆O1外切，则圆心 ， ，
则圆 的半径为 ，
则 ，解得 ，
即圆 的标准方程为 ；
（2）由（1）知O2（﹣6，1），则 ，
所以直线l的斜率为 ，
设直线l的方程为 ，
因为 ，则圆心O1到直线l的距离 ，
所以 ，解得 或 ，
所以直线l的方程为 或 ．
27．已知圆 ，M是y轴上的动点，MA、MB分别与圆C相切于A、B两点，
(1)如果点M的坐标为 ，求直线MA、MB的方程；
(2)求 面积的最大值．
【答案】(1)答案见解析；
(2) .
【分析】（1）利用直线MA、MB到圆心距离为半径可求出相应直线方程；
（2）设M ，利用两圆方程相减可得直线 方程，后利用其分别得到 ，AB边上高关于 的表达
式，即可得答案.
【详解】（1）由题意可知显然切线斜率存在，故设过点 的圆C的切线方程为 ，则圆心C到切线距离等于半径1，即 或 .
则直线MA方程为 ，MB的方程为 .或直线MA方程为 ，MB的方程为 .
（2）设M ，因MA、MB分别与圆C相切于A、B两点，
则 ，则以M为圆心， 为半径的圆的方程为：
，将其与圆C方程相减得直线AB方程： .则 中，AB边上的
高，即C到直线AB距离为： ，
则由垂径定理， ，
则 ，注意到函数 在 上单调递增， ，则
，当且仅当 时取等号.
则 面积的最大值为 .【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．已知过点 作圆 的两条切线 ， ，切点分别为 ， ，则直线
必过定点（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】通过过点 作圆 的两条切线 ， ，切点分别为 ， ，能得
到 是以 为直径的圆和圆 的公共弦，将两圆的方程相减可得直线 的方程，从而求得直线 恒
过定点坐标.
【详解】圆 的方程可化为 ，所以圆心 .
则以 为直径的圆的圆心为 ，设以 为直径的圆的半径为 ，
则 .
所以以 为直径的圆的方程为 .
过点 作圆 的切点分别为 ， ,
两圆的交点为 , ,即两圆的公共弦为 .
将两圆的方程相减可得直线 的方程为 ，
即 .令 得 .
所以直线 必过定点 .
故选：A.
【点睛】本题解题的关键是把圆的切线问题转化为求两圆的公共弦问题，然后就能得到直线 的方程，再利用含参直线过定点的解题策略求定点坐标即可.
2．在平面直角坐标系 中，已知点 .若圆 上存在唯一点 ，使得
直线 在 轴上的截距之积为5，则实数 的值为（ ）
A． B． C． 和 D． 和
【答案】C
【分析】设出 点的坐标，根据直线 在 轴上的截距之积列方程，根据唯一性求得 的值.
【详解】圆 的圆心在直线 上，半径为 ，所以 在圆 外，
设 ，其中 且 ，
直线 的方程为 ，纵截距为 ，
直线 的方程为 ，纵截距为 ，
依题意有 ，整理得 ，
所以 在圆 上，圆心为 ，半径为 .
则圆 与圆 有且只有一个公共点，
则两圆外切或内切，或圆 与圆 相交，且其中一个交点的横坐标为 ，
当两圆外切或内切时：
圆 的圆心为 ，半径为 ，
则 或 ，
前者无解，后者解得 .
当圆 与圆 相交，且其中一个交点的横坐标为 时，
，将 代入 ，得 .
综上所述， 的值为 或 .
故选：C
【点睛】关键点睛：求直线方程时，可以根据已知条件，利用合适的求法来求，如本题中，已知两点，则
可以考虑两点式，也可以考虑点斜式来求解.圆有关的问题，可考虑方程的思想，如本题中“截距之积”，
这就是一个方程，也即是一个等量关系式，是解题的突破口.
3．已知点 为直线 ： 上的动点，过点 作圆 ： 的切线 ， ，切点为
，当 最小时，直线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先利用圆切线的性质推得 四点共圆， ，从而将 转化为 ，进而确
定 时 取得最小值，再求得以 为直径的圆的方程，由此利用两圆相交弦方程的求法即可
得解.
【详解】因为圆 ： 可化为 ，
所以圆心 ，半径为 ，因为 ， 是圆 的两条切线，则 ，
由圆的知识可知， 四点共圆，且 ， ，
所以 ，又 ，
所以当 最小，即 时， 取得最小值，此时 的方程为 ，
联立 ，解得 ，即 ，
故以 为直径的圆的方程为 ，即， ，
又圆 ，
两圆的方程相减即为直线 的方程： .
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将 转化为 ，从而确定 最小时 的坐标，从
而利用两圆相减可得相交弦方程的技巧得解.
4．已知 是圆 上两点，且 ．若存在 ，使得直线
与 的交点 恰为 的中点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【分析】根据直线与圆相交弦长可得 的中点 的轨迹方程为圆 ，又根据直线
的方程可确定 ，交点 的轨迹 ，若 恰为 的中点，即圆 与圆 有公共点，
根据圆与圆的位置关系即可得实数 的取值范围.
【详解】解：圆 ，半径 ，
因为 恰为 的中点，直线与圆相交弦长 ，所以 ，
的轨迹方程是 ．
又直线 过定点 ，直线 过定点 ，且 ，
则点 是两垂线的交点，所以 在以 为直径的圆上，则圆心 ，半径为
的轨迹方程是 由于 的斜率存在，所以点 的轨迹要除去点 ，
由已知得圆 与圆 有公共点，
，即 ，又 ，所以 ，解得
.
∴实数 的取值范围为 .
故选：B.
5．已知圆 和 ，动圆M与圆 ，圆 均相切，P是
的内心，且 ，则a的值为（ ）
A．9 B．11 C．17或19 D．19
【答案】C
【分析】由两圆方程得圆 内含于圆 ，由P是 的内心，且 得，动圆M内切于圆 ，分别讨论圆 内切、外切于动圆M，由圆心距得
，即可求解
【详解】根据题意：圆 ，其圆心 ，半径 ，圆 ，
其圆心 ，半径 ，
又因为 ，所以圆心距 ，所以圆 内含于圆 ，
因为P为 的内心，设内切圆的半径为 ，又由 ，则有
，得 ，
因为动圆M与圆 ，圆 均相切，设圆M的半径为r，
（1）当动圆M内切于圆 ，与圆 外切（ ），
则有 ， ，所以 ，所以 ，得a＝
17；
（2）当动圆M内切于圆 ，圆 内切于动圆M，
则有 ， ，所以 ，所以 ，得a＝19.
综上可得：a＝17或19；
故选：C．
二、多选题
6．已知圆 ，过直线 上一点 作圆 的两条切线，切点分别为 ，则（ ）
A．若点 ，则直线 的方程为 B．四边形 面积的最小值为C．线段 的最小值为 D．点 始终在以线段 为直径的圆上
【答案】ABC
【分析】求出以 为直径的圆的方程，和 相减，即可得直线 的方程，判断A；求出边形
面积的表达式，结合几何意义即可求得最小值，判断B；求出直线AB经过的定点，结合几何意义
可求得线段 的最小值，判断C；根据点和圆的位置关系的判断可判断D.
【详解】对于A，点 ，连接 ，则 ，
故 在以 为直径的圆上，而 ,
则以 为直径的圆的方程为 ，
将方程 和 相减得 ，
即直线 的方程为 ，A正确；
对于B，由题意知 ，则 的面积为 ，
而 的最小值即为原点O到直线 的距离 ，
故 的面积的最小值为 ，B正确；
对于C，设 ，则以 为直径的圆的方程为 ，
和 相减，即得直线 的方程为 ，
又 ，故 ，即 ，令 ，则 ，
即直线 过定点 ，设为E，则 ，
当 时， 最小，最小值为 ，C正确；
对于D，在四边形 中， 不一定是直角，
故点 不一定在以线段 为直径的圆上，D错误，
故选：ABC
【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于C的判断，解答时要注意结合圆的公共弦方程的求解，求出直线
AB所过的定点，然后利用几何意义即可求解答案.
7．已知 的顶点 在圆 上，顶点 在圆 上.若 ，则
（ ）
A． 的面积的最大值为
B．直线 被圆 截得的弦长的最小值为
C．有且仅有一个点 ，使得 为等边三角形
D．有且仅有一个点 ，使得直线 ， 都是圆 的切线
【答案】ACD
【分析】设点 到直线 的距离为 ，由 求得 的最大值判断A，
利用直线和圆的位置关系判断B，利用 为等边三角形，则需 ， 判断C，利用射影定理可得 进而判断D.
【详解】设线段 的中点为 ，因为圆 的半径为2， ，
所以 ，且 ，
对于A选项，设点 到直线 的距离为 ，则 ，
所以当且仅当 四点共线时，点 到直线 距离的最大值为15，所以 的面积的最大值为
，故A正确；
对于B选项，点 到直线 的距离小于等于 ，当 时，等号成立，又 的最大值为7，
所以点 到直线 的距离的最大值为7，这时直线 被圆 截得的弦长的最小值为 ，故
B错误；
对于C选项，若 为等边三角形，则需 ， ，因为 ，
所以点 的轨迹是以 为圆心的单位圆，所以 ，又 的最小值为4，所以 ，
当且仅当 四点共线时成立，因此有且仅有一个点 ，使得 为等边三角形，故C正确；
对于D选项，若直线 ， 都是圆 的切线，则 ，由射影定理，可得 ，
同上，当且仅当 三点共线时， ，因此有且仅有一个点 ，使得直线 ， 都是圆 的切线，故D正确；
故选：ACD
三、填空题
8．已知P为直线 上一动点，过点P作圆 的切线，切点分别为
A，B，则当四边形 面积最小时，直线 的方程为 ．
【答案】
【分析】求得四边形 面积最小时 点的坐标，再根据圆与圆的位置关系求得直线 的方程.
【详解】圆 ，即 ，
所以圆心为 ，半径 ，
，
所以当 最小，也即 垂直 时，四边形 面积最小，
直线 的斜率为 ，则此时直线 的斜率为 ，
则直线 的方程为 ，由 ，解得 ，
即 ，对应 ， ，
以 为圆心，半径为 的圆的方程为： ，
即 ，
由 ，
两式相减并化简得 ，
也即直线 的方程为 .故答案为：
【点睛】研究直线和圆的位置关系问题，主要思路是数形结合的数学思想方法，直线和圆有关的相切问题，
连接圆心和切点的直线，与切线相互垂直.与四边形面积的最值有关问题，可先求得面积的表达式，再根据
表达式来求最值.
9．已知点P为圆 ： 上一动点，直线PA，PB分别与圆 ： 相切于
A，B两点，且直线PA，PB分别与y轴交于C，D两点，则 的周长能取得的整数值为 ．（写
出1个即可）
【答案】7（答案不唯一，7，8，9，10，11中任意一个均可）
【分析】连接 ，由题意可知圆 与y轴切于点 ，则可得 ，所以
将 的周长的周长转化为 ，所以只要求出 的范围，就可得
到 的周长的范围，从而可得答案.
【详解】连接 ，
圆 ： 的圆心 ，半径 ，
圆 ： 的圆心 ，半径 ，则圆 与y轴切于点 ，
因为直线PA，PB分别与圆 ： 相切于A，B两点，且直线PA，PB分别与y轴交于C，D
两点，所以 ，
所以 的周长为
，
由图可知 ，所以 ，即 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 的周长的范围为 ，
所以 的周长能取得的整数值为7，或8，或9，或，10，或11，
故答案为：7（答案不唯一，7，8，9，10，11中任意一个均可）
【点睛】关键点点睛：此题考查直线与圆的位置关系，考查圆的切线长定理的应用，解题的关键是结合图
形根据切线长定理将 的周长转化为 ，然后根据圆的性质可得答案，考查数
形结合的思想，属于较难题.
10．若对于圆 上任意的点 ，直线 上总存在不同两点 ， ，使得 ，则 的最小值为 .
【答案】10
【分析】将问题转化为直线 上任意两点为直径的圆包含圆 ，结合直线上与圆 最近的点，
与圆上点距离的范围，即可确定 的最小值.
【详解】由题设圆 ，故圆心 ，半径为 ，
所以 到 的距离 ，故直线与圆相离，
故圆 上点到直线 的距离范围为 ，
圆 上任意的点 ，直线 上总存在不同两点 、 ，使 ，
即以 为直径的圆包含圆 ，至少要保证直线上与圆 最近的点，与圆上点距离最大值为半径的圆包含
圆 ，
所以 .
故答案为：10
11．已知平面上两定点A、B，且 ，动点P满足 ，若点P总不在以点B为圆心，
为半径的圆内，则负数 的最大值为 ．
【答案】
【分析】利用解析方法，以 所在直线为x轴，线段 的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，得到动点P点的轨迹方程 ，分 和 两种情况讨论，当 时，利用两圆的
位置关系得到关于 的不等式，进而求解得到 的取值范围.
【详解】以 所在直线为x轴，线段 的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则
．
设 ，且动点P满足 ，
即 ，
则 ，
当 时，满足题意；
当 时，点P在以原点为圆心， 为半径的圆上，同时点P总不在以点B为圆心， 为半径的
圆内，
即圆 与圆 相离或外切内切或内含，
所以 或 ，
解得 或 （舍去），
所以负数 的最大值为 ．故答案为： .四、解答题
12．如图，已知圆 ，点 .
(1)求圆心在直线 上，经过点 ，且与圆 相外切的圆 的方程；
(2)若过点 的直线 与圆 交于 两点，且圆弧 恰为圆 周长的 ，求直线 的方程.
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）通过求圆 的圆心和半径来求得圆 的方程.
（2）首先判断出 ，求得 到直线 的距离，对直线 的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到
直线的距离公式求得正确答案.
【详解】（1）由 ，
化为标准方程： .
所以圆 的圆心坐标为 ，
又圆 的圆心在直线 上，
所以当两圆外切时，切点为 ，设圆 的圆心坐标为 ，
则有 ，
解得 ，
所以圆 的圆心坐标为 ，半径 ，故圆 的方程为 .
（2）因为圆弧PQ恰为圆C周长的 ，所以 .
所以点 到直线 的距离为 .
当直线 的斜率不存在时，点C到 轴的距离为 ，直线 即为 轴，
所以此时直线 的方程为 .
当直线 的斜率存在时，
设直线 的方程为 ，
即 .
所以 ，解得 .
所以此时直线 的方程为 ，
即 ，故所求直线 的方程为 或 .【点睛】求圆的方程，有很多方法，一是求得圆心和半径，从而求得圆的标准方程；一是根据圆所过的三
个点，设出圆的一般方程，然后列方程组来求解；一是利用相关点代入法进行求解.求解直线和圆的位置关
系有关题目时，要注意直线的斜率是否存在.
13．如图，已知圆 ，点 为直线 上一动点，过点 作圆 的切线，切点分别
为 、 ，且两条切线 、 与 轴分别交于 、 两点．
(1)当 在直线 上时，求 的值；
(2)当 运动时，直线 是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)直线 过定点
【分析】（1）求出点 的坐标，分析可知过点 且与圆 相切的直线的斜率存在，设出切线方程，利用圆
心到切线的距离等于圆的半径求出切线的斜率，求出两条切线的方程，可求得点 、 的坐标，再利用平
面内两点间的距离公式可求得 的值；（2）设点 ，写出以点 为圆心， 为半径的圆 的方程，将圆 的方程与圆 的方程作
差，可得出直线 的方程，化简直线 的方程，可得出直线 所过定点的坐标.
【详解】（1）解：联立 可得 ，即点 ，
若过点 的直线垂直于 轴，则该直线的方程为 ，显然直线 与圆 不相切，
设过点 且与圆 相切的直线的方程为 ，即 ，
则圆心 到切线的距离为 ，整理可得 ，解得 ， ，
由图可知，直线 的方程为 ，则直线 的方程为
，
在直线 的方程中，令 ，可得 ，即点 ，
在直线 的方程中，令 ，可得 ，即点 ，
， ，
因此， .
（2）解：分析知 、 在以 为圆心， 为半径的圆上，设 ，
， ， ，
所以，以点 为圆心，半径为 的圆的方程为 ，
将圆 和圆 的方程作差，消去 、 可得 ，
即 ，故直线 的方程为 .由 可得 ，因此，直线 过定点 .
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方
程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点 ，常利用直线的点斜式方程 或截距式 来证明.
