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4.3 角
考点一：角的定义
有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫做这个角
的边。或：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的。
考点二：平角和周角
一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所形成的角叫做平角。终边继续旋转，当它又和
始边重合时，所形成的角叫做周角。
考点三：角的表示
①用数字表示单独的角，如∠1，∠2，∠3等。
②用小写的希腊字母表示单独的一个角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等。
③用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角）的角，如∠B，∠C等。
④用三个大写英文字母表示任一个角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等。
注意：用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧。
用一副三角板，可以画出15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，165°
考点四：角的度量
角的度量有如下规定：把一个平角180等分，每一份就是1度的角，单位是度，用“°”表示，1度记作
“1°”，n度记作“n°”。
1°=60’，1’=60”
把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分记作“1’”。
把1’ 的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒记作“1””。
考点五：角的性质
（1）角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关。
（2）角的大小可以度量，可以比较
（3）角可以参与运算。
考点六：角的平分线
从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
∵OB平分∠AOC
A
1
∴∠AOB=∠BOC=2∠AOC（或者∠AOC=2∠AOB=2∠BOC）
B
O考点七：余角和补角
①如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角。用数学语言
表示为如果∠α+∠β=90°，那么∠α与∠β互余；反过来，如果∠α与∠β互余，那么∠α+∠β=90°
②如果两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角。用数学语言
表示为如果∠α+∠β=180°，那么∠α与∠β互补；反过来如果∠α与∠β互补，那么∠α+∠β=180°
③同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。
考点八：对顶角
① 一对角，如果它们的顶点重合，两条边互为反向延长线，我们把这样的两个角叫做互为对顶角，其中一个角叫
做另一个角的对顶角。
注意：对顶角是成对出现的，它们有公共的顶点；只有两条直线相交时才能形成对顶角。
②对顶角的性质：对顶角相等
2
如图，∠1和∠4是对顶角，∠2和∠3是对顶角
1
4
∠1=∠4，∠2=∠3
3
题型一：角的基本概念
1．（2022·河南省实验中学七年级期中）如图，下列说法中不正确的是 （ ）
A． 与 是同一个角 B． 与 是同一个角C． 可以用 来表示 D．图中共有三个角： ， ，
2．（2022·山东省诸城市树一中学七年级期中）图中可以只用一个字母表示的角的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2022·全国·七年级专题练习）如图，下列说法错误的是（ ）
A． 也可用 来表示
B． 与 是同一个角
C．图中共有三个角： ， ，
D． 与 是同一个角
题型二：钟面角
4．（2022·全国·七年级专题练习）每天中午12点30分是“校园之声”节目都会如约而至，此时时针与分针所夹
的的角为( )
A． B． C． D．
5．（2022·四川广元·七年级期末）8点30分，时针与分针所夹的小于平角的角为（ ）
A． B． C． D．以上结论都不对
6．（2022·四川成都·七年级期末）钟表在9：10时，时针与分针所成的钝角为（ ）
A． B． C． D．
题型三：方向角
7．（2022·河南·信阳文华寄宿学校七年级期末）如图，如果把钟面上的每个刻度均看成一个点，那么表示2点的
时刻在表示12点的刻度方向的（ ）A．南偏东60° B．南偏西60° C．北偏东60° D．北偏西60°
8．（2022·河北衡水·七年级阶段练习）如图，货船 与港口 相距 海里，我们用有序数对 南偏西 ， 海里
来描述货船 相对港口 的位置，那么港口 相对货船 的位置可描述为（ ）
A． 南偏西 ， 海里 B． 北偏西 ， 海里
C． 北偏东 ， 海里 D． 北偏东 ， 海里
9．（2022·江苏·七年级）如图，海上有两艘军舰 和 ，由 测得 的方向是（ ）
A．北偏西 B．北偏西 C．南偏东 D．南偏东
题型四：角的度量
10．（2022·全国·七年级）若 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·河北·邢台三中七年级期中）把 化为用度表示，下列正确的是（ ）A． B． C． D．
12．（2022·江苏·江阴市敔山湾实验学校七年级阶段练习）计算：
(1)45°10′﹣21°35′20′′；(2)48°39′+67°31′﹣21°17′；(3)42°16′+18°23′×2．
题型五：角的运算
13．（2022·河北石家庄·七年级期中）如图所示， ，若 ， ，则 的
度数为（ ）
A． B． C． D．
14．（2022·河南省实验中学七年级期中）将一副直角三角尺如图放置，若 ，则 的大小为
（ ）
A． B． C． D．
15．（2022·浙江台州·七年级期末）直线AB，CD相交于点O，OE是 的角平分线，若 ，则
的度数为( )A．36° B．72° C．108° D．144°
题型六：角平分线
16．（2022·广东·深圳市宝安中学（集团）实验学校七年级期中）如图，直线 ，点 ， 分别是 ，
上的动点，点 在 上， ， 和 的角平分线交于点 ，若 ，则 的值为
（ ）
A．70 B．74 C．76 D．80
17．（2022·河北石家庄·七年级期中）如图所示，已知 ，从点 出发的一条射线 满足 ，
是 的平分线， 是 的平分线，请补全图形（画出符合题意的草图即可），并求出 的大
小．
18．（2022·辽宁·丹东市第十七中学七年级期末）在同一平面内，若 与 的两边分别垂直，且 比 的
3倍少 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
题型七：余角和补角
19．（2022·河北石家庄·七年级期中）如图所示，以直线 上的一点 为端点，在直线 的上方作射线 ，使
，将一块直角三角尺 的直角顶点放在点 处，且直角三角尺在直线 的上方．设
．
(1)当 时，求 的大小；(2)当 恰好平分 时，求 的值；
(3)当 时，嘉嘉认为 与 的差为定值，淇淇认为 与 的和为定值，且二人求得的定
值相同，均为 ，老师说，要使两人的说法都正确，需要对 分别附加条件．请你补充这个条件：
当 满足 时， ；
当 满足 时， ．
20．（2022·新疆·乌鲁木齐八一中学七年级期中）如图：已知 ， ， ， ， 在同一条直线上.
(1) 的余角是_________， 的补角是_________.
(2)如果 ，求 的度数.
(3)找出图中所有相等的角（除直角外），并对其中一对相等的角说明理由.
21．（2022·江苏·七年级专题练习）点O为直线l上一点，射线 均与直线l重合，如图1所示，过点O作
射线 和射线 ，使得 ， ，作 的平分线 ．
(1)求 与 的度数；
(2)作射线 ，使得 ，请在图2中画出图形，并求出 的度数；
(3)如图3，将射线 从图1位置开始，绕点O以每秒 的速度逆时针旋转一周，作 的平分线 ，当
时，求旋转的时间．题型八：角的综合问题
22．（2022·陕西西安·七年级期中）已知 和三条射线 在同一个平面内，其中 平分角
平分角 ，
(1)如图，若 ，求 的度数；
(2)如图，若 ，直接用 、 表示 ；
(3)若 、 在同一平面内，且 ， 平分角 ， 平分角 ，直接写
出用 、 表示 ．
23．（2022·重庆南开中学七年级开学考试）射线 在 内部，射线 从射线 的位置开始以每秒 的
速度绕点O逆时针方向旋转；同时，射线 从射线 的位置开始以每秒 的速度绕点O逆时针方向旋转：
(1)若 ，当射线 运动了 秒，求 的值；
(2)若射线 在 内部时，总有 ，试探究 与 之间满足什么等量关系，
并说明理由；
(3)在（2）的条件下，过点 作射线 ，且 ，求 的值．
24．（2022·辽宁·沈阳市第七中学七年级期中）【实践操作】三角尺中的数学．(1)如图1，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起， ．
①若 ，则 ______；若 ，则 _____；
②猜想：请直接写出 与 的数量关系：_______．
(2)如图乙若是两个同样的直角三角尺60°锐角的顶点虫重合在一起， ，则请直接写出
与 的数量关系______；
(3)已知 ， （ 、 都是锐角），如图3，若把它们的顶点O重合在一起，请直接写出
与 的数量关系： _______．
一、单选题
25．（2022·河北石家庄·七年级期中）若 是锐角， 是钝角，则计算 的结果可能是（ ）
A． B． C． D．
26．（2022·河北石家庄·七年级期中）如图所示，钟表上显示的时刻是10点10分，再过20分钟，时针与分针所
成的角是（ ）
A． B． C． D．
27．（2022·河北石家庄·七年级期中）如图所示，是一副三角尺，上边三角尺的三个角分别为 ， ， ，下
边三角尺的三个角分别为 ， ， ，那么，在① ，② ，③ ，④ 中，可以用这副三角尺画出来
的是（ ）A．②④ B．①②④ C．②③④ D．①③④
28．（2022·河北·石家庄外国语学校七年级期中）如图，小明将自己用的一副三角板摆成如图形状，下列结论错误
的是（ ）
A． B．
C． 与 互余 D． 与 互补
29．（2022·重庆南开中学七年级开学考试）下列说法正确的个数是（ ）
①钟面上 ： 时，时针和分针的夹角是 ：②把一个角分成两个角的射线叫做这个角的角平分线；③若
，则点 是 的中点；④各边相等的多边形是正多边形；⑤ 边形从其中一个顶点出发连接其余各顶
点，可以画出 条对角线，这些对角线扡这个 边形分成了 个三角形．
A．0 B．1 C．2 D．3
30．（2022·河北·邯郸市永年区教育科学研究所七年级期中）计算：
(1)
(2)
31．（2022·河北·邢台三中七年级期中）如图，直线 相交于点O。已知 ，在 内部引一
条射线 ，且 ，请解答下列问题：(1) 度数是___________； 度数是___________；
(2)将射线 绕点O逆时针旋转 到
①如图2，当 平分 时，说明 平分 ；
②当 时，请求出α的度数
一：选择题
32．（2022·河北唐山·七年级期中）如图，已知 ， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
33．（2022·广东·深圳市布心中学七年级期末）如图， ， ，则 的
度数（ ）
A． B． C． D．
34．（2022·广东·深圳市宝安中学（集团）实验学校七年级期中）如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：
① ；② ；③如果 ，则有 ；④ ．其中正确的序号是（ ）A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④
35．（2022·河南·项城市第一初级中学七年级期末）下面的说法中，不正确的是（ ）
A．两直线平行，同位角相等；
B．若 ，则 和 是一对对顶角；
C．若 与 互为补角，则 ；
D．如果一个角的补角是 ，那么这个角的余角等于
36．（2022·浙江·之江中学七年级期中）如图，AB CD，PG平分∠EPF，∠A+∠AHP＝180°，下列结论：①CD
PH；②∠BEP+∠DFP＝2∠EPG；③∠FPH＝∠GPH；④∠A+∠AGP+∠DFP﹣∠FPG＝180°；其中正确结论是（
）
A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②
37．（2022·广东广州·七年级期中）如图，AB∥CD， 平分 ， ， ， ，则下
列结论： ； 平分 ； ； 其中正确的有( )A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④
二、填空题
38．（2022·广东·石门中学七年级）时钟显示为10：50时，时针与分针所夹锐角的大小是_____．
39．（2022·河北·石家庄外国语学校七年级期中）计算： ______'_____"．
40．（2022·广东·丰顺县三友中学七年级）如图， 平分 ， ，则 _________ ．
41．（2022·上海奉贤·七年级期中）如图，点O与量角器中心重合， 与零刻度线叠合， 与量角器刻度线叠
合， 是 的角平分线，那么 ______．
42．（2022·北京·景山学校七年级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴在正半轴、 轴正半轴分别
交 、 两点，点 在 的延长线上， 平分 ， 平分 ，则 的度数是___________．
三、解答题
43．（2022·河北·石家庄外国语学校七年级期中）请把下列解题过程补充完整：
如图，点O为直线AB上一点，将一直角三角板OMN的直角顶点放在点O处，射线OC平分 ．若，求 的度数；
解：∵ ， （已知）
∴ ______=_______°．
∵ 平分 （已知）
∴ ______=_______°（角平分线定义）
∵ （已知）
∴ ______=______°．
44．（2022·重庆市万盛经济技术开发区溱州中学七年级阶段练习）如图，直线 ， 相交于点O， 平分
， 平分 ．
(1)判断 与 的位置关系，并进行证明．
(2)若 ，求 的度数．
45．（2022·河南省实验中学七年级期中）己知 ，
(1)如图1， 平分 ， 平分 ，若 ，则 是__________°；
(2)如图2， 、 分别平分 和 ，若 ，求 的度数．
(3)若 、 分别平分 和 ， ，则 的度数是__________（直接填
空）．
46．（2022·黑龙江·哈尔滨市萧红中学校七年级阶段练习）已知：直线 ，点M、N分别在直线 、直线上，点E为平面内一点，
(1)如图1，请写出 之间的数量关系，并给出证明；
(2)如图2，利用（1）的结论解决问题，若 ， 平分 ， 平分 ， ，求
的度数；
(3)如图3，点G为 上一点， ， ， 交 于点H，请写出 ，
， 之间的数量关系（用含m的式子表示），并给出证明．1．C
【分析】根据角的概念和表示方法可知，当角的顶点处只有一个角时，这个角才可以用一个顶点字母来表示，由
此可得结论．
【详解】解：A、∠1与 表示的是同一个角，故A说法正确，不符合题意；
B、 与 是同一个角，故B说法正确，不符合题意；
C、以O为顶点的角一共有三个，不能用一个顶点字母表示，故C说法错误，符合题意；
D、由图可知，图中共有三个角： ， ， ，故D说法正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了角的表示方法，根据图形特点将每个角用合适的方法表示出来是解题的关键．
2．B
【分析】根据角的表示方法，可得答案．
【详解】解：可以只用一个大写字母表示的角有∠B、∠C共2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了角的概念，角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在
中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪
个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示．
3．A
【分析】根据角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中
间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个
角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示进行分析即可．
【详解】解：A、∠1与∠AOB是同一个角，不可用∠O来表示，说法错误；
B、∠β与∠BOC是同一个角，说法正确；
C、图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC，说法正确；
D、∠1与∠AOB是同一个角，说法正确；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了角的概念，关键是掌握角的表示方法．
4．B
【分析】根据时钟上一大格是30°进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得： 6×30°- ×30°=180°-15°=165°，
∴时针与分针所夹的的角为165°，
故选：B．【点睛】本题考查了钟面角，熟练掌握时钟上一大格是30°是解题的关键．
5．C
【分析】根据时钟上一大格是30°进行计算即可．
【详解】解：由题意得：2×30°+ ×30°=75°，
∴8点30分，时针与分针所夹的小于平角的角为：75°，
故选：C．
【点睛】本题考查了钟面角，熟练掌握时钟上一大格是30°是解题的关键．
6．C
【分析】由钟面角的定义可求出∠COD=∠DOE=∠EOF=∠FOB=30°，由钟面上时针、分针在转动过程中所成角度
的变化关系可求出∠AOC=25°，进而求出答案．
【详解】解：如图，
由钟面角的定义可知，
∠COD=∠DOE=∠EOF=∠FOB=360°× =30°，
∠AOC=30°×（1- ）=25°，
∴∠AOB=30°×4+25°
=145°，
故选：C．
【点睛】本题考查钟面角，掌握钟面角的定义以及钟面上时针、分针在转动过程中所处角度的变化关系是正确解
答的关键．
7．A
【分析】先证明三角形AOB为等边三角形，再根据方向角的定义解答即可．
【详解】解：如图，∵ ，
∴ ，
∵OA=OB，
∴三角形AOB为等边三角形，
∴ ，
∴表示2时的刻度在表示12时的刻度的南偏东60°方向，
故选：A．
【点睛】本题考查了方向角和等边三角形的判定与性质，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．
8．D
【分析】以点 为中心点，来描述点 的方向及距离即可．
【详解】解：由题意知港口 相对货船 的位置可描述为 北偏东 ， 海里 ，
故选：D．
【点睛】本题考查坐标确定位置，用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线
为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．
9．D
【分析】根据方向角的分类及已知角度即可求解．
【详解】解：由图可得A在B的北偏西 的方向上，
故B在A的南偏东 的方向上．
故选：D．
【点睛】本题考查了方向角的分类及表示，熟练掌握方向角的概念及分类是解题的关键．
10．A
【分析】首先∠1、∠2已经是度、分、秒的形式，故将∠3化为度、分、秒的形式；再根据三个角的度数进行大
小比较，即可得到结论．
【详解】∵ ， ， =25° ，
∴ ．
故选A．
【点睛】本题主要考查了角的大小比较，熟练掌握同一角的单位比较角的大小并灵活运用是解决本题的关键．
11．B
【分析】根据1°等于60′，1′等于60″计算即可．【详解】40°12′36″中的12′36″化为秒为12×60″+36″=756″，
756″÷3600=0.21°，
即40°12′36″用度表示为：40.21°，
故选：B．
【点睛】本题考查了角的单位于角度制的知识，掌握度分秒之间时60进制是解答本题的关键．
12．(1)23°34′40′′
(2)94°53′
(3)79°2′
【分析】（1）根据度分秒之间的进率即可解答；
（2）根据度分秒之间的进率即可解答；
（3）先计算乘法，再计算加法即可．
（1）
解：45°10′﹣21°35′20′′=23°34′40′′．
（2）
解：48°39′+67°31′﹣21°17′
=116°10′-21°17′
=94°53′．
（3）
解：42°16′+18°23′×2
=42°16′+36°46′
=79°2′．
【点睛】本题考查度分秒的计算， ， ，掌握度分秒之间的进率是解答本题的关键．
13．C
【分析】通过 得到 ，计算求解即可．
【详解】解： ，
，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查角的计算，能够得到角度关系是解题关键．
14．D
【分析】利用直角三角形的性质以及余角的定义，进而得出 的度数，即可得出答案．【详解】解：解：∵将一副直角三角尺如图放置， ，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
【点睛】本题考查了余角和补角，根据直角三角形的性质以及余角的定义求出 的度数是解题的关键．
15．C
【分析】根据OE是 的角平分线，得出 ，根据 ，得出
，求出 ，即可得出 ，即可得出答案．
【详解】解：∵OE是 的角平分线，
∴ ，
∵ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
，
∴ ，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，根据已知条件得出 ，是解题的关键．
16．C
【分析】先由平行线的性质得到∠ACB＝∠5＋∠1＋∠2，再由三角形内角和定理和角平分线的定义求出m即可．
【详解】过C作CH∥MN，
∴∠6＝∠5，∠7＝∠1＋∠2，
∵∠ACB＝∠6＋∠7，
∴∠ACB＝∠5＋∠1＋∠2，
∵∠D＝52°，
∴∠1＋∠5＋∠3＝180°−52°＝128°，
由题意可得GD为∠AGB的角平分线，BD为∠CBN的角平分线，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴m＝∠1＋∠2＋∠5＝2∠1＋∠5，
∠4＝∠1＋∠D＝∠1＋52°，
∴∠3＝∠4＝∠1＋52°，
∴∠1＋∠5＋∠3＝∠1＋∠5＋∠1＋52°＝2∠1＋∠5＋52°＝m＋52°，
∴m＋52°=128°，
∴m＝76°．
故选：C
【点睛】本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，解题的关键是对知识的掌握和灵活运用．
17．图见解析， 或
【分析】根据题意画出图形，再根据角平分线的定义进行解答即可．
【详解】解：如图1所示．
， 是 的平分线，
．
， 是 的平分线，
．
；
如图2所示．
， 是 的平分线，
．
， 是 的平分线，
．
．
等于 或 ．
【点睛】本题考查的是角的计算和角平分线的定义，解题的关键是根据题意画出图形，利用数形结合分类讨论求解．
18．C
【分析】因为两个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补，可设 是 度，利用方程即可解决问题．
【详解】解：设 是 度，根据题意，得
①两个角相等时，如图1：
，
，
解得 ，
故 ，
②两个角互补时，如图2：
，
，
∴
故 的度数为： 或 ．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了垂线的定义，角的运算，一元一次方程的应用，本题需仔细分析题意，利用方程即可解
决问题．
19．(1)
(2)23
(3) ，
【分析】（1）用 减去 即可．
（2）利用角平分线的性质计算角度即可．
（3）分 在 内部和外部讨论解题即可．
【详解】（1）解：当 时， ，
，
，
，
；（2）解： 恰好平分 ， ，
，
，
；
（3）当 时，如图1， ，理由如下：
，
，
，
，
；
当 时，如图2，理由如下：
，
，
，
，
；
故答案为： ， ．
【点睛】本题主要考查角的加减运算，能够熟练根据要求列角的等量关系是解题关键．
20．(1) ；
(2)
(3) ，理由见（1）详解【分析】（1） 根据垂直的定义得到，再根据同角或等角的余角相等得到
，最后根据补角和余角的定义求解即可；
（2）根据补角的定义进行求解即可；
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的余角是 ， 的补角是 ，
故答案为： ； ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
（3）解：由（1）得 ．
【点睛】本题主要考查了与余角补角有关的计算，熟知余角与补角的定义是解题的关键．
21．(1) ，
(2) 或
(3)6秒或 秒
【分析】（1）根据 ， ，即可得出 的度数，根据角平分线的定义得出
，然后根据 得出 的度数；
（2）根据题意得出 的度数，然后分两种情况进行讨论：①当射线 在 内部时；②当射线 在
外部时；分别进行计算即可；
（3）根据 平分 得出 ，根据题意画出图形，计算 的角度，然后计算时间即可．
【详解】（1）解：由题意可知， ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ；
（2）由（1）知， ，
∴ ，
①当射线 在 内部时，如图2（1），；
②当射线 在 外部时，如图2（2），
，
综上所述， 的度数为 或 ；
（3）∵ 平分 ，
∴ ，
①如图3，
，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴旋转的时间 （秒）；
②如图3（1），此时， ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴旋转的时间 （秒）；
综上所述，旋转的时间为6秒或 秒．
【点睛】本题主要考查角度的计算，角平分线的定义等内容；第（2）问进行合适的分类讨论是解题的关键；第
（3）问，搞清楚在射线 旋转的过程中， 和 的相对位置在不断的变化，以此进行分类画图．
22．(1) ；
(2) ；
(3) ； ； ．
【分析】 首先根据角平分线的定义求得 ，同理求得 ，然后根据 求解；
根据角平分线的定义可以得到 ， ， 直接用 、 表示即
；
分三种情况讨论，一种情况如图所示 和 相邻，还有一种情况是当 在 内部时，还
有一种情况是当 在 在内部时．
【详解】（1）解：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ；（2）解：∵ 平分 ，
∴ ，
同理 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∵ ；
（3）解：当 和 相邻时，由（2）可知 ；
当 在 内部时，如图：
∵ 平分 ，
∴ ，
同理 ，
,
即 ，
当 在 内部时，如图所示：
∵ 平分 ，
∴ ，同理 ，
即 ．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，以及角度的计算，分类讨论的思想，正确理解角平分线的定义是关键．
23．(1)
(2) ；理由见解析
(3)
【分析】（1）根据角的和差关系计算即可；
（2）由题意可知： ，再根据角的和差关系得出 ；进而得出结论；
（3）根据 、 可得出 ；由 可得
出 ，从而得出结论；
【详解】（1）解：由题意可得： ，
∴
（2）解： ；理由如下：
由题意可知，在相同的时间内满足：
∵
∴
即：
∴ ；
（3）解：如图：
∵ ，
∴
∴
由（2）可知：
∴∴
∴
【点睛】本题考查了角的和差关系；熟练掌握几何图中角的和差关系是解题的关键．
24．(1)① ， ；②
(2)
(3)
【分析】（1）①本题已知两块直角三角尺实际就是已知三角板的各个角的度数，根据角的和差就可以求出
的度数；②根据前两个小问题的结论猜想 与 的大小关系，结合前两问的解决思路得
出证明；
（2）根据（1）解决思路确定 与 的大小并证明；
（3）由于 （ 都是锐角），而 ，进而得出结论．
【详解】（1）①∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
故答案为： ；
②猜想得 （或 与 互补），
理由：∵
∴
∴ ；
故答案为：
（2） ，
理由如下：由于 ，
故 ；
故答案为：
（3） ，
理由：∵∴ ，
即 ，
∴ ．
故答案为：
【点睛】本题考查余角与补角，掌握互为余角、互为补角的意义以及图形中角的和差关系是正确解答的关键．
25．B
【分析】根据锐角和钝角的概念求出 范围，然后进行判断．
【详解】解：由题意可知，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了角的计算，解题的关键是理解锐角和钝角的概念．
26．C
【分析】根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，即可．
【详解】解： 点 分，再过 分钟就是 点 分，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题考查角的知识，解题的关键是掌握时针的速度和分针的速度．
27．D
【分析】根据三角尺每个角的度数，利用角的和差计算即可得出．
【详解】左边三角尺的三个角分别为 ， ， ，右边三角尺的三个角分别为 ， ， ，
， ， ，
用这副三角尺画出来的是： ， ， ，
①③④正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了角的计算，利用和、差关系求解是解答此题的关键．
28．B
【分析】根据余角的定义和补角的定义分别进行判断即可．
【详解】解：A. ,
，故此项不合题意；
B.无法判断 ，故此项符合题意；C. ，
与 互余，故此项不合题意；
D. ，
，
与 互补，故此项不合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了余角和补角，熟记余角和补角的概念是解题的关键．
29．A
【分析】根据角的大小、角平分线、线段的中点、多边形的性质逐项判断即可；
【详解】解：钟面上 ： 时，时针和分针的夹角是 ；①错误；
把一个角分成两个相等的角的射线叫做这个角的角平分线；②错误；
当点 在线段 的延长线上时，也可以满足 ，因此不能说明点 是 的中点；③错误；
各边相等各个内角也相等的多边形是正多边形；④错误；
从 边形的其中一个顶点出发连接其余各顶点，可以画出 条对角线，这些对角线扡这个 边形分成了
个三角形；⑤错误；
正确的个数为
故选：A．
【点睛】本题考查了角的大小、角平分线的定义、线段的中点定义、多边形的性质等知识点；熟练掌握上述基础
知识是解题的关键．
30．(1)
(2)
【分析】（1）根据度分秒的进制进行计算即可解答；
（2）根据度分秒的进制进行计算即可解答；
【详解】（1）解：
（2）解：原式
【点睛】此题考查度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键．
31．(1) ；(2)①见解析；②当 时，α的度数为 或者
【分析】（1）根据 ， ，即可得出答案；
（2）①求出 与 的度数，进行比较即可证得结论；
②考虑到有两种情况即可，即为 在如图所示位置与 在 上方位置．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ；
∵ ，
∴ ；
故答案为： ； ；
（2）解：①当 平分 时，
∵ ，
又∵
∴ ，
∴ 平分 ．
∴当 平分 时 是平分 ．
②当 时，且OF在 下方时，
∵ ，
∴ ，
当 时，且 在 上方时， 相当于比在 下方时多旋转了 ，
∴ ．
综上所述：当 时，α的度数为 或者 ．
【点睛】本题考查了几何图形中角的计算，角平分线的定义，数形结合是解题的关键．
32．D
【分析】先求出 ，再根据 ，即可求解．
【详解】解：如图所示，
， ，
，
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查角的和差，结合图形，准确找到角的和差数量关系是关键．33．B
【分析】根据全等三角形的性质可得 ，根据 即可求解．
【详解】∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故选B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
34．B
【分析】根据 ， ，即可得 ；根据角之间关系即可得
；根据角之间关系可得 ，无法判断BC与AD平行；由题意得 ，
，得 ；综上，即可得．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
故①正确；
∵
故②正确；
∵ ，
∴ ，
，
∴BC与AD不平行，
故③错误；
∵ ，
即 ，
又∵ ，
∴
,
故④正确；
综上，①②④正确，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，余角和同角的余角，平行线的判定，解题的关键是理解题意，掌握这些
知识点并认真计算．
35．B
【分析】根据平行线的性质，余角、补角的性质，对顶角的性质判断选择即可．【详解】两直线平行，同位角相等，
正确，不符合题意；
若 ，则 和 不一定是一对对顶角，
故错误，符合题意；
若 与 互为补角，则 ，
正确，不符合题意；
如果一个角的补角是 ，那么这个角的余角等于 ，
正确，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，余角、补角的性质，对顶角的性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键．
36．B
【分析】由∠A+∠AHP＝180°，可得PH AB，根据AB CD，可得AB CD PH，再根据平行线的性质以及角的
和差关系进行计算，即可得出正确结论．
【详解】解：∵∠A+∠AHP＝180°，
∴PH AB，
∵AB CD，
∴CD PH，
故①正确；
∴AB CD PH，
∴∠BEP＝∠EPH，∠DFP＝∠FPH，
∴∠BEP+∠DFP＝∠EPF，
又∵PG平分∠EPF，
∴∠EPF＝2∠EPG，
∴∠BEP+∠DFP＝2∠EPG，
故②正确；
∵∠GPH与∠FPH不一定相等，
∴∠FPH＝∠GPH不一定成立，故③错误；
∵∠AGP＝∠HPG+∠PHG，∠DFP＝∠FPH，∠FPH+∠GPH＝∠FPG，∠FPG＝∠EPG，
∴∠A+∠AGP+∠DFP﹣∠FPG＝∠A+∠HPG+∠PHG+∠DFP﹣∠EPG
＝∠A+∠HPG+∠PHG+∠FPH﹣∠FPG＝∠A+∠HPG+∠PHG+∠FPH﹣（∠FPH+∠GPH）
＝∠A+∠PHG，∵AB PH，
∴∠A+∠PHG＝180°，
即∠A+∠AGP+∠DFP﹣∠FPG＝180°．
故④正确；
综上所述，正确的选项①②④，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解题的关键是注意：两直线平行，内错角相
等．
37．B
【分析】根据平行线的性质和角平分线的性质、垂直的定义，判断各个小题中的结论是否成立，从而解答本题．
【详解】解： ， ，
，
平分 ， ，
，故①正确；
， ， 平分 ，
， ， ， ，
， ，故③正确；
平分 ，故②正确；
，
，
，
而题目中不能得到 ，故④错误；
故选：B．
【点睛】本题主要考查平行线的性质、垂直、角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思
想解答．
38． ##25度
【分析】根据时针与分针相距的格数乘以每格的度数，可得答案．
【详解】解：如图，1个大格的度数，即 ．
∵10：50时，时针与分针相距 个大格，
∴ ，即时钟显示为10：50时，时针与分针所夹锐角的大小为 ．故答案为：25°．
【点睛】本题考查了钟面角．确定时针与分针相距的格数是解题的关键．
39．
【分析】根据1度等于 分，1分等于 秒，按此将其转换，保留小数点前面的，只计算小数点后面的即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ．
故答案为： ； ．
【点睛】本题是进行度、分、秒的加法计算，相对比较简单，注意以60为进制即可．
40．80
【分析】根据角平分线的定义判断即可．
【详解】解：∵ 平分 ， ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查角平分线的定义，正确得出相等的角是解题关键．
41． ##55度
【分析】根据角的概念与角平分线的定义解决此题．
【详解】解：由题意得，
是 的角平分线，
故答案为：
【点睛】本题考查了角、角平分线，解题关键是掌握角的概念以及角平分线的定义．
42． ##45度
【分析】利用角平分线的意义和三角形的外角性质，列式计算即可得到答案．
【详解】解：由平面直角坐标系可知： ，
平分 ， 平分 ，
，
，，
即 ，
又 ，
；
故答案为： ．
【点睛】此题考查了三角形的外角性质、角平分线的意义和平面直角坐标系的概念，熟练掌握三角形外角性质的
应用是解答此题的关键．
43． ， ， ， ， ，
【分析】根据角平分线的定义和余角的性质即可得到结论．
【详解】解：∵ ， （已知）
∴ ．
∵ 平分 （已知）
∴ （角平分线定义）
∵ （已知）
∴ ．
故答案为： ， ， ， ， ， ．
【点睛】本题主要考查的是余角定义及角平分线的定义的运用，正确的理解题意是解题的关键．解题时注意方程
思想的运用．
44．(1) ，证明见解析
(2)
【分析】（1）由 平分 ， 平分 ，得到 ， ，根据邻补角互补
可得出 ，进而可得出 ，由此即可证出 ；
（2）由 ， ，得到 ，由对顶角相等，可求出
，根据 平分 ， 平分 ，可得出 以及 ，根据
邻补角互补结合 ，可求出 的度数．
【详解】（1） ．
证明：∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∵ ，∴ ，
∴ ．
（2）∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了对顶角相等，邻补角互补，角平分线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．
45．(1)11
(2)
(3)
【分析】（1）根据角平分线的性质求出 的度数，进而求出 的度数，最后根据角平分线的概念计算
求解即可；
（2）首先求出 ，进而求出 ，然后根据角平分线的概念求出 ，最后根据角的
和差关系求解即可；
（3）分析两种情况讨论，计算方法同（2）．
【详解】（1）∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ；
（2）∵ 平分 ， ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ；
（3）①若 或 至少有一个在 内部时，如下图，
则
；
②若 和 都在 外部时，如下图，
则
，
综上 的度数为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义，难点在第三小题要根据α的取值范围分情况讨论．
46．(1)
(2)(3)
【分析】（1）过点E作 ，根据题意和平行线的判定得 ，根据平行线的性质得
， ，根据 ，即可得；
（2）根据题意得 ， ，根据平行线的性质得 ，根据
得 ，即可得 ，进行计算即可；
（3）根据题意得 ， ，根据 得 ，根据
得 ，根据 得
，即可得 ．
【详解】（1） ，证明如下：
证明：如图1所示，过点E作 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
==
= ；
（3） ，证明如下：
证明：∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵
= ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
