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4.3.1 角
1.理解角的概念，掌握角的表示方法.
2.会比较角的大小，认识角的常用度量单位，并能进行简单的换算，会计算角的 和与差.
3.理解角的平分线的概念，会用符号语言表示，
4.了解余角和补角的概念，掌握余角和补角的性质，并能应用这些性质解决相关问题.
知识点一 角的概念及表示方法
1.角的概念
(1)(静态)有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，
这两条射线是角的两条边.
(2)(动态)角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，旋转开始
时的射线叫做角的始边，终止时的射线叫做角的终边.
注意：
1.“公共端点(顶点)”和“两条射线(边)”这两个条件缺一不可.
2.平角和周角都是角，而不是“线”,不能说“平角是直线”或“直线是平角”,
也不能说“周角是射线，射线是周角”.
即学即练 下列说法：①两条射线所组成的图形叫做角；②一条射线旋转而成的图形叫
做角；③两边成一直线的角是平角；④平角是一条直线.其中正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析：由于①和②没有说明两条射线是否有公共端点，缺少组成角的要素，因而都是错的；
③正确；④错，因为平角是角，它具有角的顶点、 角的两边，直线很显然不具备这些.
答案：A
2.角的表示方法
图形 记法 说明字母O表示顶点，要写在
用三个大写字母表示， 中间， A,C表示角的两
左 边上的点，用该表示法
可以
图的角记作∠AOC
表示任何一个角
当以某一个字母表示的
用一个大写字母表示， 顶点的角只有一个时，
左图 的角记作∠O 可用这个顶点的字母来
表示角
用数字 1,2,3,…表示，
或 用 小 写 希 腊 字 母 要在靠近角的顶点处加
α,β, 上弧线，该表示法形象
直观，只方便表示单独
…表示，∠AOB 可记作
的角，不方便表示含有
∠1,∠BOC可记作∠2,
角的角
∠DOC可记作∠α
注意：
(1)用三个大写字母可表示任一角(顶点字母写中间);
(2)用一个大写字母表示独立角(必须用顶点字母);
(3)用数字或希腊字母表示单独角(顶点处必须画弧线，并标上数字或希腊字母).
(4)在表示角时，同一个角可能有多种表示方法， 一般选取较简单的表
示方法.
知识点二 角度制及换算
1.角的度量单位
把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°;
把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1';
把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1".
2.角度制的概念
以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制.
3.角度制的换算
1周角=360°,1平角=180°,1°=60',1'=60".
注意：
角的大小与边的长短无关，因为角的两边是射线，不可以度量.角的大小只与构成角的两边张开的大小有关.角既可以度量，也可以比较大小，还可以参与运算.
4.角的度量单位之间的关系:
， ， .
， ，
题型1 角的概念理解
例1（2023上·湖南衡阳·七年级校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．由两条射线组成的图形叫做角 B．多项式 是三次三项式
C．八棱锥有9个面 D．“a与 的和的3倍”表示为
【答案】C
【分析】本题考查了角的定义、列代数式、棱锥的面和多项式的相关定义，属于基础性题
目，比较简单．
【详解】解：A．具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故A错误；
B．多项式 是四次三项式，故B错误；
C．八棱锥有9个面，故C正确；
D．“a与 的和的3倍”表示为 ，故D错误．
故选：C．
举一反三1（2023上·广东佛山·七年级校考期中）下列说法不正确的是（ ）
A． 直角 周角 B． 周角 平角
C．角的两边越长角就越大 D．经过两点有且只有一条直线
【答案】C
【分析】本题考查了角的概念，周角，平角，直角的定义，确定直线的条件，熟练掌握相关概念是解答本题的关键．
根据 直角 ， 周角 ， 平角 ，确定直线的条件，分析每一个选项，只有
不正确，由此选出答案．
【详解】解：根据题意得：
选项中， 直角 ， 周角 ，此选项说法正确，故不符合题意；
选项中， 周角 ， 平角 ，此选项说法正确，故不符合题意；
选项中，角的大小与角的两边长度无关，此选项说法不正确，故符合题意；
选项中，经过两点有且只有一条直线，此选项说法正确，故不符合题意．
故选： ．
举一反三2（2022上·黑龙江大庆·六年级校考期末）用放大2倍的放大镜看 的角，看
到的角的度数是（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】A
【分析】角的大小和边的长短无关，与角张开的角度的大小有关，而放大镜看到的角，放
大的只是角的边，所以，无论用多少倍的放大镜看角，角的大小都不变，可据此解题．
【详解】解：由题意得用放大10倍的放大镜看 的角，看到的度数是 ．
故选：A
【点睛】解析此题考查的是角的大小的比较，角的大小的比较，不是比较边的长短，而是
比较角的张开的角度的大小．
举一反三3（2023上·吉林松原·七年级校联考期末）在 的内部引一条射线，图中共
有3个角；若引两条射线，图中共有6个角；若引n条射线，图中共有 个角．
【答案】
【分析】本题主要考查图形变化类的规律题，每两条射线组成一个角，一条射线与其他射线都能组成一个角，当引出n条射线时，此时共有 条射线，其中每一条射线与剩余
条射线都组成一个角，可组成 个角， 条射线可组成的角 个
角，但每个角都算了两次，则引出n条射线能组成 个角．
【详解】解：在 的内部引一条射线，图中共有 个角；
若引两条射线，图中共有 个角；
…
若引n条射线，图中共有 个角；
故答案是： ．
题型2 角的表示方法
例2（2023上·河北石家庄·七年级统考期中）下列图形中，能用 和 表示同一个角的
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了角的概念，熟记角的表示方法是解题关键．在顶点处只有一个角的情
况，才可用顶点处的一个大写字母来记这个角．【详解】解：A、因为顶点O处只有一个角，所以这个角能用 和 ，符合题意；
B、因为顶点O处不止一个角，所以这里的所有角均不能用 表示，不符合题意；
C、因为顶点O处不止一个角，所以这里的所有角均不能用 表示，不符合题意；
D、因为顶点O处不止一个角，所以这里的所有角均不能用 表示，不符合题意；
故选A．
举一反三1（2023上·全国·七年级专题练习）如图所示，回答下列问题：
(1)写出能用一个字母表示的角： ；
(2)写出以点B为顶点的角 ；
(3)图中共有 个小于平角的角．
【答案】
【分析】本题考查的是角的表示方法．
（1）确定以这个字母为顶点的角只有1个，从而可得答案；
（2）根据角的定义分别确定以B为顶点的角即可；
（3）分别确定以 ， ， ， 为顶点的小于平角的角即可．
【详解】（1）解：能用一个字母表示的角有： ．
故答案为： ．
（2）以 为顶点的角有： ．
故答案为： ．
（3）图中共有7个小于平角的角，分别是： ， ， ， ， ，
， ，共 个．
故答案为：7．
举一反三2如图所示，回答下列问题：(1)写出能用一个字母表示的角：________________；
(2)写出以点B为顶点的角________________；
(3)图中共有______________个小于平角的角．
【答案】(1)
(2)
(3)7
【分析】（1）确定以这个字母为顶点的角只有1个，从而可得答案；
（2）根据角的定义分别确定以B为顶点的角即可；
（3）分别确定以A，B，C，E为顶点的小于平角的角即可．
【详解】（1）解：能用一个字母表示的角有： ， ．
故答案为： ， ．
（2）以 为顶点的角有： ， ， ．
故答案为： ， ， ．
（3）图中共有7个小于平角的角，分别是：
， ， ， ， ， ， ．
故答案为：7．
【点睛】本题考查的是角的表示方法，熟记角的含义与角的表示方法是解本题的关键．
题型3 角的分类
例3（2022上·湖南娄底·七年级统考期末）在一副七巧板中，有我们学过的（ ）
A．8个锐角，6个直角，2个钝角 B．12个锐角，9个直角，2个钝角
C．8个锐角，10个直角，2个钝角 D．6个锐角，8个直角，2个钝角
【答案】B【分析】根据一副七巧板图形，查出锐角，直角和钝角的个数即可．
【详解】5个等腰直角三角形，5个直角，10个锐角，1个正方形，4个直角，1个平行四
边形，2个钝角，2个锐角，
在一副七巧板中根据12个锐角，9个直角，2个钝角．
故选择B．
【点睛】本题考查角的分类，平面图形，掌握角的分类，平面图形是解题关键．
举一反三1（2023上·全国·七年级专题练习）下列说法中，正确的有 个
①小于 的角是锐角；②等于 的角是直角；③大于 的角是钝角；
④平角等于 ；⑤周角等于 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了锐角、直角、钝角、平角以及周角的定义，属于基础题.掌握锐角、
直角、钝角、平角以及周角的定义是解答本题的关键．实际解答时，要学会举反例．
【详解】①小于 的角也可能是 ，不一定是锐角，原说法错误；
②等于 的角是直角，说法正确；
③平角大于 但不是钝角，原说法错误；
④平角等于 ，说法正确；
⑤周角等于 ，说法正确，
故正确的有3个，
故答案为：3．
举一反三2（2023上·湖北武汉·七年级统考阶段练习）因为钝角大于 ，所以大于 的
角就是钝角．
【答案】
【分析】根据钝角的范围即可作出判断．
【详解】解：∵钝角的度数范围是大于 且小于 ，
∴原题说法错误，
故答案为：【点睛】此题考查了钝角，熟练掌握钝角的度数范围是解题的关键．
题型4 画特殊角
例4（2021上·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）用一副三角板不能画出的角是（ ）．
A．75° B．105° C．110° D．135°
【答案】C
【分析】105°=60°+45°，105°角可以用一幅三角板中的60°角和45°角画；75°=45°+30°，75°
角可以用一幅三角板中的45°角和30°角画；135°=90°+45°，135°角可以用一幅三角板中的直
角和90°角或45°角画；110°角用一副三角板不能画出．
【详解】解：105°角可以用一幅三角板中的60°角和45°角画；
75°角可以用一幅三角板中的45°角和30°角画；
110°角用一副三角板不能画出；
135°角可以用一幅三角板中的直角和90°角或45°角画。
故选：C．
【点睛】本题考查了利用一副三角板画出的特殊角，找出规律是解决此类题的最好方法，
应让学生记住凡是能用一副三角板画出的角的度数都是15°的整数倍．
举一反三1（2022上·湖北武汉·七年级统考期末）画图，说理题
如图，已知四个点A、B、C、D；
(1)画射线 ；
(2)画线段 ；
(3)画 ；
(4)画出一点P，使P到点A、B、C、D的距离之和最小，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析(4)见解析
【分析】（1）过 画射线即可．
（2）连接B和C即可．
（3）分别以C为顶点画射线 、 即可．
（4）连接 ， 与 的交点就是P点位置，根据线段的性质：两点之间，线段距离最
短；结合题意，要使它与四个村庄的距离之和最小，就要使他在 与 的交点处．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）如图所示；
（3）如图所示；
（4）P点即为所求，
根据线段的性质：两点之间，线段距离最短；
结合题意，要使它与四个村庄的距离之和最小，就要使他在 与 的交点处．
【点睛】本题考查了射线，线段的性质：两点之间，线段距离最短．要求学生能灵活应用
所学的知识，解决实际问题．
举一反三2（2021上·安徽宣城·七年级统考期末）（1）请在给定的图中按照要求画图：
①画射线AB；
②画平角∠BAD；
③连接AC．
（2）点B、C分别表示两个村庄，它们之间要铺设燃气管道．若节省管道，则沿着线段
BC铺设．这样做的数学依据是： ．
【答案】（1）①见解析；②见解析；③见解析；（2）两点之间，线段最短【分析】（1）①根据射线的定义，作出图形即可；②根据平角的定义，作出图形即可；③
根据线段的定义，作出图形即可；
（2）根据两点之间线段最短解决问题．
【详解】解：（1）①如图，射线AB即为所求；
②如图，∠BAD即为所求；
③如图，线段AC即为所求；
（2）沿着线段BC铺设．这样做的数学依据是：两点之间线段最短．
【点睛】本题主要考查了直线，射线，平角的定义，线段的基本事实，熟练掌握直线是两
端都没有端点、可以向两端无限延伸、不可测量长度的线；射线是只有一个端点，它从一
个端点向另一边无限延长不可测量长度的线；直线上两个点和它们之间的部分叫做线段；
两点之间线段最短是解题的关键．
举一反三3（2021上·广西玉林·七年级统考期末）如图，已知 ，按下列要求画图．
（1）在 的内部画射线 ；
（2）画 ，使 在 的内部；
（3）在完成（1）、（2）后，图中共______个角，并写角的名称．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）6； 、 、 、 、
、
【分析】（1）根据射线的定义即可作图OP；
（2）根据角的定义即可作图 ；（3）根据角的定义，有公共端点的两条射线组成的图形即可求解．
【详解】解：（1）如图，射线 为所作；
（2）如图， 为所作；
（3）图中共有6个角，它们为 ， ， ， ， ， ．
【点睛】此题主要考查角的定义及作图，解题的关键是熟知角的构成及定义．
题型5 钟面角
例5（2023上·陕西西安·七年级校考阶段练习）钟表上显示的时刻是10点30分时，时针
与分针所成的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了钟面角．根据时钟上一大格是 进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：
，
∴钟表10点30分时，时针与分针所成的角是： ，
故选：C．
举一反三1（2023上·陕西西安·七年级校考阶段练习）每天早上9点10分我们的“课间操
分享”活动都会如约而至，此时时针与分针所夹的角为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了钟面角，根据先求出时针指向9，分针指向2时的度数，再减去时针
从9点到9点 分的过程中，实际转动的角度可得答案，掌握时针和分针每分钟走过的角度是解题关键．
【详解】解：画出钟面图，如下：
若时针指向9，分针指向2时的度数为： ，
但实际上从9点到9点 分时，时针绕钟表中心旋转的度数为 ，
故钟面上时针和分针的夹角为 ，
故选：B．
举一反三2（2023上·广西梧州·七年级统考期末）从2时整到3时35分，时针转过的角度
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查钟表分针所转过的角度计算．因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了
12等份，每一份是 ，从2点到3时35分，时针转过了 份，再计算度数．
【详解】解：∵从2点到3时35（分），时针转过了 大格，
∴转过的角度是 ．
故选：C．
举一反三3（2023上·陕西西安·七年级校考阶段练习）每天下午第一节课的时间是 分，
则 时的分针与时针夹角是 度．
【答案】
【分析】本题主要考查了钟面角，根据钟面的特点可知 时分针指向数字3，时针在数
字2和3之间且走了 大格，再求出一大格的度数即可得到答案．【详解】解：∵ 时分针指向数字3，时针在数字2和3之间且走了 大格，
∴此时分针与时夹角是 ，
故答案为： ．
举一反三4（2023上·江苏盐城·七年级校联考阶段练习）“时钟里的数学问题”：时钟是
我们日常生活中常用的生活用品，钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，如图1，表盘中1
－12均匀分布，分针60分钟转动一周是 ，时针60分钟移动一周的 是 ，这样，
分针转速为每分钟转6度，时针转速为每分钟转 度．
【课题学习】三点二十分时，时针与分针所成角度多少度？解决这个问题，可以先考虑三
点整，时针与分针所成角度为 ；从三点到三点二十分，我们可以先计算分针转动的角
度， ，时针转动的角度， ， ，三点二十分时，
时针与分针所成角度是 ，
【问题解决】
(1)三点三十分时，时针与分针所成角度是______ ，三点四十分时，时针与分针所成角度
是______ ；
(2)如图2，十二点钟时，时针与分针重合，在十二点钟到十三点钟之间，小明发现存在着
时针和分针垂直的情况，请求出具体的时刻：
(3)当时针和分针所成角度为 时形成一条直线，这条直线刚好平分钟面，我们将这样的
时刻称为“美妙时刻”，如图3，六点整就是一个美妙时刻，从0时到24时共______个美
妙时刻．
【答案】(1)75；130(2)在 或 时，时针与分针垂直
(3)22
【分析】本题考查了钟面角的计算、一元一次方程的应用：
（1）先求出从三点开始分针旋转的角度，再求出时针旋转的角度，利用最终差值公式即可
求解；
（2）设从十二点开始过了 分钟时针与分针垂直，最终差值可以是 或 ，分类讨论：
当最终差值为 时，当最终差值为 时，利用最终差值公式即可求解；
（3）再次到达美妙时刻时，相当于分针比时针多旋转一周，时针每分钟旋转 ，分针每
分钟旋转 ，则时针每分钟少旋转 ，则可求得下一个美妙时刻所经过的时间为
分，再利用一天的时间除以下一个美妙时刻所经过的时间即可求解；
熟练掌握题干中钟面角的最终差值的计算方法是解题的关键．
【详解】（1）解：三点整时，时针与分针所成的角为 ，从三点到三点三十分，分针所
转的角度是 ，时针所转的角度为 ，
三点三十分时，时针与分针所成角度是 ，
三点到三点四十分时，分针所转的角度是 ，时针所转的角度为 ，
三点三十分时，时针与分针所成角度是 ，
故答案为：75；130．
（2）设从十二点开始过了 分钟时针与分针垂直，
由题意得：分针旋转角度 （初始角度 时针旋转角度） 最终差值，当时针与分针垂直
时，最终差值可以是 或 ，
当最终差值为 时， ，
解得： ，
当最终差值为 时， ，解得： ，
综上所述，在 或 时，时针与分针垂直．
（3）再次到达美妙时刻时，相当于分针比时针多旋转一周，时针每分钟旋转 ，分针每
分钟旋转 ，
则时针每分钟少旋转 ，
到达下一个美妙时刻需要的时间为 分，
一天有 分钟，
，
即一天有22个美妙时刻，
故答案为：22．
题型6 方向角的表示
例6（2022上·广东湛江·七年级校考期末）如图， 是直角，则射线 表示的方向
是（ ）
A．南偏西 B．南偏东 C．北偏西 D．北偏东
【答案】B
【分析】本题考查了方向角．熟练掌握角度之间的数量关系是解题的关键．
如图，由题意知， ，然后判断作答即可．
【详解】解：如图，由题意知， ，
∴射线 表示的方向是南偏东 ，
故选：B．
举一反三1（2023上·黑龙江绥化·六年级校考期中）以学校为观测点，广场在西偏北30°
的方向上，如图中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了方位角，根据方位角的定义即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关
键．
【详解】解：以学校为观测点，广场在西偏北30°的方向上的是：
故选C．
举一反三2科技馆在博物馆的北偏西 方向，那么博物馆在科技馆的（ ）方向．
A．北偏西 B．南偏东 C．西偏北 D．东偏南
【答案】B
【分析】方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成北（南）偏东（西）多少度．根据定
义就可以解决．此题主要考查了方向角，描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东
或偏西．
【详解】解：科技馆在博物馆的北偏西 方向，那么博物馆在科技馆的南偏东 方向．
故选：B．
举一反三3（2023上·陕西西安·七年级西安市西光中学校考阶段练习）如图，在灯塔 处
观测到轮船 位于北偏西 的方向， ，那么轮船 在灯塔 的 的方向
上．
【答案】南偏东 （或东偏南 ）
【分析】本题考查了方向角，根据题意得 ，进而可得 ，根据方向角的表示
方法即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．
【详解】解：如图：
依题意得： ，
，
，
，
，
则轮船 在灯塔 的南偏东 或东偏南 的方向上，
故答案为：南偏东 （或东偏南 ）．举一反三4（2023上·黑龙江绥化·六年级校考期中）根据图示信息回答问题．
(1)龙龙从家出发，先向东偏（ ）（ ） 方向走（ ） ，到达体育馆，接着从体育馆
向北偏（ ）（ ） 方向走（ ） 到达娱乐场．
(2)已知公园在龙龙家北偏东 方向 处，电影院在体育馆北偏西 方向 处，
请你在图中标出公园和电影院的位置．
【答案】(1)南；30；600；东；25；400
(2)见解析
【分析】本题主要考查了方位角的实际应用，熟知方位角的定义是解题的关键．
（1）根据体育馆再龙龙家东偏南30度方向上且相距600米，娱乐场在体育馆北偏东25度
方向上且相距500米进行求解即可；
（2）根据方位角的描述依据对应的距离作图即可．
【详解】（1）解：由题意得，龙龙从家出发，先向东偏南 方向走 到达
体育馆，接着从体育馆向北偏东 方向走 到达娱乐场，
故答案为：南；30；600；东；25；400；
（2）解：如图所示，电影院和公园的位置即为所求．
题型7 与方向角有关的计算题例7（2022上·浙江台州·七年级统考期末）如图，射线 的方向是北偏东20°，射线 的
方向是西北方向，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了方向角的定义，解决本题的关键是计算出 得度数．用方向角描
述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角
时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．根据方向角的定义，得到 的度数，即
可解答．
【详解】解：如图，
∵射线 的方向是西北方向，
∴
∵射线 的方向是北偏东20°，
∴
即
故选：C
举一反三1（2023上·北京西城·七年级北师大实验中学校考阶段练习）从点A出发沿北偏
东 方向可行至点B，从点A出发沿南偏西 方向可行至点C，那么 的度数为
（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】考查了方向角，根据方位角的概念，画图正确表示出行驶的过程，再根据已知转
向的角度结合角的关系求解．
【详解】解：如图，北偏东 方向即为东偏北 ，即 ，
．
故选：D．
举一反三2（2023上·吉林长春·七年级长春市第八十七中学校考阶段练习）如图，一艘轮
船行驶到 处时，测得小岛A、 的方向分别为北偏西 和西南方向，则 的度
数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了方位角和角的和差计算，正确得出 是解题
的关键．
【详解】解：根据题意可得： ，
∴ ；
故选：A.举一反三3（2023上·江苏南通·七年级启东市长江中学校考阶段练习）如图，甲沿北偏东
方向前进，乙沿图示方向前进，甲与乙前进方向的夹角 为 ，则此时乙位于
A地的 ．
【答案】南偏东
【分析】本题考查了方位角，利用数形结合的思想解决问题是关键．由题意可得，
，即可得到乙的位置．
【详解】解：如图，由题意可知， ， ，
，
即乙位于A地的南偏东 ，
故答案为：南偏东 ．
举一反三4（2023上·黑龙江绥化·六年级校考期中）以A岛为观测点，B岛在东偏
方向，距A岛 ，以B岛为观测点A岛在 偏 方向，距B岛 ．【答案】 北30 南 西60 270
【分析】本题考查方位图，掌握用方位表示位置的方法是解题的关键．
【详解】以A岛为观测点，B岛在东偏北 方向，距A岛 ，以B岛为观测点A岛在
南偏西 向，距B岛 ，
故答案为：北30，南，西60，270．
一、单选题
1．（2023上·黑龙江绥化·七年级统考期末）下列说法正确的是（ ）
A．单项式 的次数是2
B．如果 ，那么
C．连接两点之间的线段，叫做这两点之间的距离
D．若点 在点 的北偏东 方向上，点 在点 的西北方向上，则
【答案】B
【分析】单项式的次数：所有字母的指数和叫做它的次数；等式的性质：等式两边同时乘
以或者除以同一个不为0的数，等式仍然成立； 两点之间的距离：连接两点之间的线段长
度，叫做这两点之间的距离；方向角：西北方向指西偏北 的方向．
【详解】解： ． 的次数是3，原表述错误．故本选项不符合题意；
．如果 ，即 ，那么 ，符合等式的性质，故本选项符合题意；
．连接两点之间的线段长度，叫做这两点之间的距离，原表述错误，故本选项不符合题意；
．若点 在点 的北偏东 方向上，点 在点 的西北方向上，则 ，原表
述错误．故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了单项式的次数，等式的性质，两点之间的距离以及方向角，关键
是正确掌握这概念以及性质．
2．（2023上·西藏日喀则·七年级校考期末）为保障学生的睡眠时间，教育部规定，小学生
上课时间不能早于 ．如图，8点钟时，分针与时针所夹的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是钟面角的大小，理解钟面被等分成12份，每一份对应的圆心角为
是解本题的关键，再根据 时，分针指向12，时针指向8，从而可得答案．
【详解】解：∵钟面被等分成12份，每一份对应的圆心角为 ，
∵ 时，分针指向12，时针指向8，
∴此时所成的角为 ．
故选：D．
3．（2023上·吉林松原·七年级校联考期末）下列说法正确的是（ ）
A．两条射线组成的图形叫作角 B．延长直线 至点C
C．两点之间直线最短 D．两点确定一条直线
【答案】D
【分析】题目主要考查直线、射线、线段的区别，直接根据直线、射线、线段的定义及区
别即可得出答案．
【详解】解：A、两条射线有公共顶点组成的图形叫作角，选项错误，不符合题意；
B、直线无端点，不能用延长直线叙述，选项错误，不符合题意；
C、两点之间线段最短，选项错误，不符合题意；D、两点确定一条直线，选项正确，符合题意；
故选：D．
4．（2022上·新疆省直辖县级单位·七年级校考期末）下列说法：（1）两条射线组成的图
形叫做角；（2）角的两边是两条直线；（3）角的大小与我们画出的角的两边的长短无关；
（4）线段上有无数个点；（5）两个锐角的和一定是钝角，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查线段、角的定义等知识，由两条有公共端点的射线组成的图形叫角，角
的大小与角两边的长短无关，根据线段、角的定义等知识逐一进行判断即可求解．是基础
考点，掌握相关知识是解题关键．
【详解】解：（1）由两条有公共端点的射线组成的图形叫角，这两条射线叫做角的边，它
们的公共端点叫做角的顶点，故（1）错误；
（2）角的两边是两条射线，故（2）错误；
（3）角的大小与我们画出的角的两边的长短无关，故（3）正确；
（4）线段上有无数个点，故（4）正确；
（5） 和 是两个锐角，它们的和为： 是锐角，故（5）错误，
则其中正确的有 个，
故选B．
5．（2023上·重庆江北·七年级字水中学校考期末）如图，下列表示不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了角的表示方法，以及角和线段的和差关系，关键是掌握角的表示
方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中
间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究的表示哪个角．角还可以用一个希腊字母(如 )表示，或用阿拉伯
数字 表示．
看清题形，根据选项一一分析，排除错误答案．
【详解】解：A、看图可知 ；
B、 ；
C、不正确，写法不规范，应该是 ，
D、看图可知， ．
故选：C．
二、填空题
6．（2022上·江西赣州·七年级统考期末）把一个 的角放在 倍的放大镜下看，这个角
是 度．
【答案】20
【分析】角在放大镜下大小不变，据此解答．
【详解】解：把一个 的角放在 倍的放大镜下看，这个角大小不变，还是 ，
故答案为：20．
【点睛】本题考查了角的概念，熟知角的特性是关键．
7．（2020上·广东湛江·七年级校考期末）如图，某海域有三个小岛A，B，O，在小岛O处
观测小岛A在它北偏东 的方向上，小岛B在它南偏东 ，则 的度
数是 ．
【答案】
【分析】根据方位角的表示可知， 计算即可得出结果．
【详解】解：∵在小岛O处观测小岛A在它北偏东 的方向上，小岛B在它南偏东，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了方位角及其计算，掌握方位角的概念是解题的关键．
8．（2023上·福建福州·七年级统考期末）甲看乙的方向为北偏东 ，那么乙看甲的方向
是 ．
【答案】南偏西
【分析】根据位置的相对性可知，它们的方向相反，角度相等，距离相等，据此解答．
【详解】解：甲看乙的方向为北偏东 ，那么乙看甲的方向是南偏西 ，
故答案为：南偏西 ．
【点睛】本题主要考查了学生对位置相对性的掌握情况，画图更容易解答．
9．（2022上·黑龙江绥化·六年级校考期末）如果公园在广场的东偏北 方向上，距离是
，那么广场在公园的( )方向上，距离是( ) ．
【答案】 西偏南 600
【分析】根据位置和方向的相对性判断即可．
【详解】解：公园在广场的东偏北 方向上，距离是 ，
那么广场在公园的西偏南 方向上，距离是 ，
故答案为：西偏南 ，600．
【点睛】本题考查了位置和方向，解题的关键是掌握相对性：方向相反，角度相同，距离
相等．
三、解答题
10．（2023上·西藏日喀则·七年级校考期末）作图：如图，平面上有四个点A，B，C，D．
按下列要求在下图中用三角板或直尺画出图形：
(1)画射线 ；
(2)画直线 ，与射线 相交于点M；(3)画 ；
(4)连接 ，线段 与线段 交于点 ．
【答案】(1)画图见解析
(2)画图见解析
(3)画图见解析
(4)画图见解析
【分析】本题考查的是根据简单作图语言画图，熟记直线，射线，线段，角的含义并进行
画图是解本题的关键；
（1）画以A为端点的射线 即可；
（2）画过C，D的直线，标注直线与射线 的交点M即可；
（3）画以 ， 为边的角即可；
（4）画线段 ， ，标注两条线段的交点N即可．
【详解】（1）解；如图，射线 即为所求，
（2）如图，直线 ，点M即为所求；
（3）如图， 即为所求；
（4）如图线段 ，点 即为所求；
11．（2022上·黑龙江鸡西·六年级统考期末）（1）荷花池在喷泉的北偏东 的方向上，
这是以______为观测点．
（2）丽丽家在学校北偏东______ 方向，距离是 ．
玲玲家在学校北偏西______ 方向，距离是 ．
芳芳家在学校南偏______ 方向，距离是 ．【答案】（1）喷泉（2） ， ，东
【分析】（1）根据荷花池在喷泉的东偏北 的方向上即可得到答案；
（2）分别根据丽丽家、玲玲家、芳芳家以学校为观测点的方向角和距离进行回答即可．
【详解】解：（1）“荷花池在喷泉的北偏东 的方向上”，是以喷泉为观测点；
故答案为：喷泉
（2）由图可知：丽丽家在学校北偏东 的方向上，距离是 ．
玲玲家在学校北偏西 的方向上，距离是 ．
芳芳家在学校南偏东 方向，距离是 ．
故答案为： ， ，东
【点睛】本题考查用方向角和距离确定物体的位置．掌握方位角的表示法是解题关键．
12．（2023上·江苏淮安·七年级统考期末）生活处处有数学，就看你是否有数学的眼光．
同学们都见过机械手表吧，让我们一起去探索其中隐含的数学知识．
一块手表如图①所示，把它抽象成数学模型：如图②，表带的两端用点A和点D表示，表
盘与线段 交于点B、C，O为表盘圆心．
(1)若 为4 ， ，B是 中点，则手表全长 ．
(2)表盘上的点B对应数字“12”，点C对应数字“6”， 为时针， 为分针，8：30时表
盘指针状态如图③所示，分针 与 重合．
① 度；
②作射线 ，使 ，求此时 的度数．
(3)如图④所示，F在 下方，已知 ，从 (分针 与 重合， 仍为时
针）开始，在一小时以内，经过多少分钟后，射线 、射线 、射线 中一条射线是
另两条射线组成的角的平分线．【答案】(1)12
(2)①75；② 或
(3) 或
【分析】（1）利用中点和 ，求出 和 ,求和即可得 ;
（2）①利用分针和时针每分钟走过得角度即可计算；②分两种情况计算即可；
（3）设时间为t，列出含t的方程，解方程即可．
【详解】（1）∵B是 中点．
∴ ；
∴ ；
∵ ；
∴ ；
∴ ；
∴ ，
故答案为：12；
（2）①分针的速度为 （每分）；
时针的速度为 （每分）；
30分钟时针走的路程为 ，即时针从8点到 走的路程为15°，
∴ ，
故答案为： ；
②当 在 内部时，
，
∴ ；
当 在 外部时，
（3）设经过时间为t分钟，时针与分针得速度差为 ，∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
① ，
解得 （分），
② ，
解得 （分），
综上所述t为 或 ．
【点睛】本题考查了线段长度的计算，时针和分针的夹角，以及列一元一次方程解决问题，
数形结合和细心计算是解题的关键．
