文档内容
1.3.2 有理数的减法
1. 掌握有理数减法的运算法则,理解减法法则与加法法则的关系,体会转化的思想方法
2. 能熟练地进行有理数的减法运算,会进行有理数的加减混合运算,会解决简单的实际问题
3. 能将和式中的括号和加号省略,并利用加法运算律进行相关计算
知识点一 有理数的减法法则
1. 有理数的减法法则
减去一个数,等于加这个数的相反数.即 .例如 .
注意：
(1)两变一不变：被减数不变，减号变加号，减数变相反数.
(2)有理数的减法，可以先将减法转化为加法,再按有理数的加法法则和运算定律计算.
(3)减法没有交换律,被减数与减数的位置不能改变.
2. 有理数减法的三种情况
(1) 减去一个正数等于加上一个负数;
(2) 减去一个负数等于加上一个正数;
(3) 任何数减去0仍得这个数,0减去一个数等于这个数的相反数.
拓展延伸：
(1) 在有理数的减法中,当减数为正数时,差一定小于被减数;当减数为负数时，差一定
大于被减数.
(2) 大数减小数的差为正,小数减大数的差为负,相等两数的差为0.用字母表示为:若
,则 ;若 ,则 ;若 ,则 .
即学即练 计算：
(1)(-72)-(-37)-(-22)-17
(2)(-16)-(-12)-24-(-18)
(3)23-(-76)-36-(-105)
(4)(-32)-(-27)-(-72)-87．
【答案】(1)-30 (2)-10 (3)168 (4)-20【分析】（1）根据减法法则，把减法转化为加法，能简算的简算即可完成．
（2）根据减法法则，把减法转化为加法，能简算的简算即可完成．
（3）根据减法法则，把减法转化为加法，能简算的简算即可完成．
（4）根据减法法则，把减法转化为加法，能简算的简算即可完成．
【详解】（1）解：(-72)-(-37)-(-22)-17
=-72+37+22-17
=59-89
=-30．
（2）解：(-16)-(-12)-24-(-18)
=-16+12-24+18
=30-40
=-10．
（3）解：23-(-76)-36-(-105)
=23+76-36+105
=128+40
=168．
（4）解：(-32)-(-27)-(-72)-87
=-32+27+72-87
=40-60
=-20．
【点睛】本题考查了有理数的减法运算，减法法则关键是抓住两变：一是运算变，即减法
变为加法；二是减数变为其相反数．易出错的是：部分学生忘记减数变为其相反数而导致
出错．
在减法运算中应注意运算符号与性质符号的区别,不要将运算符号“减号”与字母取值
的“负号”混淆.因此,减号后面是负数时,要注意给负数添上括号,否则容易出现符号
混乱，从而导致计算结果错误.
知识点二 有理数的加减混合运算
有理数加减混合运算的方法有括号的,先算括号内的;没有括号的,先将减法转化为加法，再利用加法交换律
和结合律进行简化计算.
注意
进行有理数加减混合运算时，应有条理地按步骤进行,不要随意地跳步,否则容易出错.
即学即练 计算：
(1)(-1.25)+(+5.25)；
(2)(-7)+(-2)；
(3)-27+(-32)+(-8)+72；
( 1)
(4)8+ - -5-(-0.25)．
4
【答案】(1)4 (2)-9 (3)5 (4)3
【分析】（1）先化简，然后根据有理数的加法法则计算即可；
（2）根据有理数的加法法则计算即可；
（3）根据加法的交换律和结合律计算即可；
（4）先把减法转化为加法，然后根据有理数的加法法则计算即可．
【详解】（1）解： (-1.25)+(+5.25)
=(-1.25)+5.25
=4；
（2）(-7)+(-2)
=-(7+2)
=-9；
（3）-27+(-32)+(-8)+72
=¿
=(-35)+40
=5
( 1)
（4）8+ - -5-(-0.25)
4
( 1) 1
=8+ - +(-5)+
4 4
=3．【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
知识点三 省略加号的和式的写法及读法
1.省略加号的和式的写法
在和式里可以把加号及加数的括号省略不写，以简化书写形式.
例如(-10)+(-5)+(+3)+(-4)可以写成-10-5+3-4.
2.省略加号的和式的读法
(1)按结果读，是性质符号和数字在一起的和，正负不能省略;
(2)按运算读,是加减,但第一个加数如果是负的,这个“－”号要读“负”而不
能读“减”,其余数字前面的符号按运算符号读.
例如-10-5+3-4 的读法:(1)按加法的结果来读:负10负5正3负4的和;(2)按运
算来读:负10减5加3减4.
（1）既然我们能根据有理数的减法法则将减法转化为加法,那么加减混合运算则能统
一为省略加号、括号的几个正数或负数的和的形式;
（2）加号可以省略,但必须保留性质符号;
（3）省略加号和括号的和式中的每一个数连同它的性质符号可以看成一“项”,都是
和式中的一个加数.
即学即练 把下面两个式子写成省略括号和加号的形式，再计算出结果.
（1）(-5)-(+9.6)+(+7.3)+(-0.7)-(-3.07)；
3 ( 1) ( 2)
（2）4 + -2 -(-4.8)+ -3 -(+4.6).
5 3 3
【答案】（1）-4.93；（2）-1.2
【分析】（1）根据去括号法则，括号前面是正号的去掉括号和它前面的正号，括号里面的
各数都不变号，括号前面是负号的去掉括号和它前面的负号，括号里面的各数都要变号的
法则去掉括号，再进行加减运算；
（2）根据去括号法则去括号，再观察式子，根据加法交换律，计算得到答案.
【详解】解：（1）原式=-5-9.6+7.3-0.7+3.07=-4.93.3 1 2 3 1 2
（2）原式=4 -2 +4.8-3 -4.6=4 -4.6-2 -3 +4.8=-1.2.
5 3 3 5 3 3
【点睛】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握去括号法则.
题型一 有理数的加减混合运算
例1 （2023秋·山东济南·七年级统考期末）计算：25-9+(-12)-(-7)．
【答案】11
【分析】应用有理数加减混合运算法则进行计算即可得出答案．
【详解】解：原式=25-9-12+7
=16-12+7
=4+7
=11．
【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则进行求解
是解决本题的关键．
举一反三1 （2023秋·吉林·七年级校考期末）计算：(-7)+(-3)-5-(-20)．
【答案】5
【分析】根据有理数的加减混合运算法则求解即可．
【详解】解：(-7)+(-3)-5-(-20)
=-7-3-5+20
=-15+20
=5．
【点睛】本题考查有理数的加减混合运算，掌握有理数的加减运算法则是解题的关键．
举一反三2 （2023秋·福建泉州·七年级统考期末）计算：
(-0.5)-(-3.2)+(+2.8)-(+6.5)．
【答案】-1
【分析】按照有理数的加减法运算法则和运算律进行计算．
【详解】解：原式=-0.5+3.2+2.8-6.5
=(-0.5-6.5)+(3.2+2.8)=(-7)+6
=-1．
【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握有理数的加减法运算法则
和运算律．
题型二 有理数加减中的简便运算
5 1 ( 1 1)
例2 （2023秋·广东惠州·七年级校考阶段练习）计算：4 +2 - 12 -7 ．
6 3 3 6
【答案】2
【分析】根据有理数加减中的简便运算进行计算即可．
5 1 ( 1 1)
【详解】解：4 +2 - 12 -7
6 3 3 6
5 1 1 1
=4 +2 -12 +7
6 3 3 6
( 5 1) ( 1 1)
= 4 +7 + 2 -12
6 6 3 3
=12-2
=2．
【点睛】本题考查了有理数加减中的简便运算，熟练掌握有理数加减中的简便运算法则是
解题的关键．
举一反三1 （2022秋·陕西西安·七年级校考期中）计算：
1 1 1 1 1 1
+ + + + +⋯+
2 6 12 20 30 9900
99
【答案】
100
【分析】根据题目式子的特点，将式子变形，然后裂项作差即可求得所求式子的值．
1 1 1 1 1 1
【详解】解： + + + + +⋯+
2 6 12 20 30 9900
1 1 1 1 1
= + + + +⋯+
1×2 2×3 3×4 4×5 99×1001 1 1 1 1 1 1
= + - + - +⋯+ -
2 2 3 3 4 99 100
1
=1-
100
99
= ．
100
【点睛】本题考查了有理数的加减法的简便运算，解答本题的关键是发现题目中式子的特
点，裂项作差解答．
举一反三2 （2022秋·四川巴中·七年级统考期中）阅读下面的计算方法：
5 ( 2) 1
计算：-5 + -9 +17
6 3 2
[ ( 5)] [ ( 2)] ( 1)
解：原式= (-5)+ - + (-9)+ - + 17+
6 3 2
[( 5) ( 2) 1]
=[(-5)+(-9)+17]+ - + - +
6 3 2
=3+(-1)
=2
上面的解法叫拆项法． 请你运用这种方法计算：
1 2 2 5
-2010 -2013 +400 +1023 ．
6 3 3 6
1
【答案】-2599
3
【分析】读懂题意，根据材料中的拆项法运算即可得到答案．
1 2 2 5
【详解】解：-2010 -2013 +400 +1023
6 3 3 6
( 1) ( 2) 2 5
= -2010- + -2013- +400+ +1023+
6 3 3 6
( 1 2 2 5)
=(-2010-2013+400+1023)+ - - + +
6 3 3 6
2
=-2600+
31
=-2599 ．
3
【点睛】本题考查阅读理解，读懂题意，理解题目材料中所给的拆项法，现学现用是解决
问题的关键．
题型三 绝对值与有理数的减法的综合运用
例3 （2023春·四川泸州·七年级泸县五中校考期末）若有理数x、y满足|x|=3，|y|=2，
且|x+y|=x+y，求x﹣y的值.
【答案】1或5
【分析】根据绝对值的意义分别求出x,y的值，代入求解即可．
【详解】解：∵|x+ y|=x+y，
∴x+ y≥0，
∵|x|=3，|y|=2，
∴x=3，y=2或-2，
当x=3，y=2时，x- y=3-2=1；
当x=3，y=-2时，x- y=3-(-2)=5；
综上：x- y的值为1或5．
【点睛】本题考查了绝对值以及有理数的减法，读懂题意，根据题意得出x,y的值是解本
题的关键．
举一反三1 （2023秋·河北邢台·七年级校考阶段练习）已知|x|=3，|y|=5，
(1)若x>0，y<0，求x+ y的值；
(2)若x0，y<0，求出x，y的值，计算即可；
（2）先确定x，y，z的值，然后计算即可．
【详解】（1）解：∵|x|=3，|y|=5，
∴x=±3，y=±5，
∵x>0，y<0，
∴x=3，y=-5，∴x+y=3+（-5）=-2；
（2）∵x=±3，y=±5， x0，
∴a-b<0，
故答案为：<．
【点睛】本题主要考查了根据点在数轴上的位置判断式子的正负，有理数的加法法则，解题的关键是根据实数在数轴上的位置，正确判断出实数的符号和绝对值的大小．
举一反三1 （2023秋·广东惠州·七年级统考期末）有理数a，b在数轴上的对应点的位置
如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．a>-1 B．-a0
【答案】B
【分析】观察数轴可得-20，故C选项错误，不符合题意；
∴a-b<0，故D选项错误，不符合题意；
故选：B
【点睛】本题考查了数轴，绝对值，有理数的加减法，掌握绝对值不等的异号两数相加，
取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值是解题关键．
举一反三2 （2023·内蒙古包头·一模）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，
则下列结论正确的是（ ）
A．|a|<|b| B．a+b>0 C．a+1<0 D．b-1>0
【答案】C
【分析】根据数轴上点的位置，先确定a、b的范围，再逐个判断得出结论．
【详解】解：根据数轴可得，a<-1，0|b|，故A错误；
B．a+b<0，故B错误；
C．a+1<0，故C正确；
D．b-1<0，故D错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了数轴、绝对值、有理数加法的符号法则、有理数的减法．认真分析数轴得到有用信息是解决本题的关键．
题型六 新定义运算问题
a-b+c
例6 （2023秋·广东惠州·七年级校考阶段练习）规定图形 表示运算 ，图形
x+z- y-w + = - =
表示运算 ．则 ， ．
【答案】 0 2
【分析】根据题中的规定直接代入计算即可．
=1-2+3=2 =4+6-7-5=-2
【详解】解：由题意，得 ， ，
=2+(-2)=0
∴ ＋ ．
=1-4+3=0 =2+6-7-3=-2
由题意，得 ， ，
- =0-(-2)=2
∴
故答案为：0，2．
【点睛】本题是新定义运算，主要考查了有理数的加减运算，解题的关键是弄清基本图象
如何转化成常见运算的形式．
举一反三1 （2023秋·湖南常德·七年级校联考期末）规定图形 表示运算
a-b+c，图形 表示运算x+z- y-ω，则 + = ．
【答案】0
【分析】由题意知： 表示运算为1-2+3， 表示运算为4+6-7-5，
然后把这两个代数式相加计算出结果．【详解】由题意，得 =1-2+3=2，
=4+6-7-5=-2，
∴ ＋ =2+(-2)=0．
故答案为：0．
【点睛】本题是新定义运算，主要考查了有理数的加减运算，解题的关键是弄清基本图象
如何转化成常见运算的形式．
举一反三2 （2023春·上海长宁校联考期末）a为有理数，定义运算符号∇：当a>-2时，
∇a=-a；当a<-2时，∇a=a；当a=-2时，∇a=0根据这种运算，则
∇[4+∇(2-5)]的值为 ．
【答案】-1
【分析】根据新定义运算进行运算即可求解．
【详解】解：根据题中的新定义得：∇(2-5)=∇(-3)=-3，
故原式=∇(4-3)=∇1=-1．
故答案为：-1．
【点睛】本题考查了有理数的新定义，属于新定义题型，严格按照题目中定义求解，运算
过程中细心即可．
题型七 有理数的加减在实际生活中的应用
例7 （2023秋·河南许昌·七年级校考阶段练习）下表是某水库管理人员记录的雨季一周内
水位高低的变化情况：（上周末的水位达到警戒水位，用正数表示水位比前一天上升数，
用负数表示水位比前一天下降数，警戒水位为72.5米）
日期 一 二 三 四 五 六 日
水位变化 +0.15 +0.62 -0.28 +0.05 +0.28 -0.38 +0.03（米）
(1)本周哪一天的水位最高？哪一天的水位最低？与警戒水位的距离分别是多少？
(2)与上周相比，本周末的水位是上升了还是下降了？为多少米？
【答案】(1)周五的水位最高，周一的水位最低，与警戒水位的距离分别为0.82米、0.15米
(2)上升了0.47米
【分析】（1）根据水位变化分别计算每天的水位即可得答案；
（2）这周末的水位与上周末的水位比较即可．
【详解】（1）解：由题意得，本周的水位分别是：
周一：72.5+0.15=72.65（米），
周二：72.65+0.62=73.27（米），
周三：73.27-0.28=72.99（米），
周四：72.99+0.05=73.04（米），
周五：73.04+0.28=73.32（米），
周六：73.32-0.38=72.94（米），
周日：72.94+0.03=72.97（米），
通过比较可知，本周周五的水位最高，与警戒水位的距离为：73.32-72.5=0.82（米），
周一的水位最低，与警戒水位的距离为：72.65-72.5=0.15（米）．
综上可知，本周周五的水位最高，周一的水位最低，与警戒水位的距离分别为0.82米、
0.15米．
（2）解：由已知条件可得上周末水位为72.5米，由（1）知本周末水位为72.97米，
72.97>72.5，
72.97-72.5=0.47（米），
故与上周相比，本周末的水位上升了0.47米．
【点睛】此题主要考查正负数的实际应用和有理数加减运算的实际应用，解题的关键是理
解“正”和“负”的相对性．
举一反三1 （2023春·四川广安·八年级四川省武胜烈面中学校校考阶段练习）某食品厂
从生产的袋装食品中随机抽样检测每袋的质量是否符合标准质量，超过或不足的质量分别
用正、负数表示，例如+2表示该袋食品超过标准质量2克．现记录如下：
与标准质量的误
﹣5 ﹣6 0 +1 +3 +6
差(单位：克)
袋数 5 3 3 4 2 3
(1)在抽取的样品中，最重的那袋食品的质量比最轻的那袋多多少克；
(2)若标准质量为500克/袋，则这次抽样检测的总质量是多少克．
【答案】（1）12；（2）9985
【详解】试题分析：（1）根据表格可得最重的食品超过标准6克，最轻的食品不足标准6
克，用最重的减去最轻的列出算式，即可得到最重的那袋食品的质量比最轻的那袋的克数；
（2）根据表格第一行表示一袋与标准的误差，第二行表示袋数，用每一列第一行乘以第二
行为总克数，并把各自乘得的积相加即为抽检的总质量．
试题解析：
（1）根据题意及表格得：+6-（-6）=6+6=12（克），
答：最重的食品比最轻的重12克；
（2）由表格得：（-5）×5+（-6）×3+0×3+（+1）×4+（+3）×2+（+6）×3
=-25+（-18）+0+4+6+18
=-25+10
=-15，
则500×20-15=9985（克）．
答：这次抽样检测的总质量是9985克．
举一反三2 （2023秋·广东广州·七年级校考期末）已知小智家上半年的用电情况如表
（以200度为标准，超出200度记为正、低于200度记为负），根据表中数据，解答下列问
题：
二月 五月
一月份 三月份 四月份 六月份
份 份
-50 +30 -26 -45 +36 +25
(1)小智家三月份的用电量是多少？六月份的用电量是多少？
(2)用电量最多的月份比最少的月份多用多少度？
【答案】(1)三月份174度，四月份225度
(2)86度
【分析】（1）由表格信息，分别列式计算即可；
（2）由超出最多的量减去不足最多的量即可得到答案．【详解】（1）解：由表格信息可得：小智家三月份的用电量为200-26=174（度），
小智家六月份的用电量为200+25=225（度），
（2）由表格信息可得：用电最多的是五月，最小的是一月，
用电量最多的月份比最少的月份多36-(-50)=36+50=86（度）．
【点睛】本题考查的是正负数的实际应用，有理数的加法与减法的实际应用，理解题意，
列出准确的运算式是解本题的关键．
题型八 规律探究创新题
例8 （2023秋·江苏泰州·七年级校考期末）探究规律，完成相关题目：
小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．”
然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：
(+5)※(+2)=+7；(-3)※(-5)=+8；
(-3)※(+4)=-7；(+5)※(-6)=-11；
(0)※(+8)=8；(0)※(-8)=8；(-6)※(0)=6；(+6)※(0)=6．
小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了．”
聪明的你也明白了吗？
( 1) ( 1) ( 2)
(1)观察以上式子，类比计算：① - ※ - = ______，② - ※(+1)= ______；
2 5 3
(2)计算：(-2)※[0※(-1)]（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致，写出必要的
运算步骤）
(3)我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的※（加乘）运算中还适用吗？
请你任选一个运算律，判断它在※（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子
即可）
7 5
【答案】(1)① ，②-
10 3
(2)-3
(3)适合，见解析
【分析】（1）根据同号得正，异号得负，并把绝对值相加的运算法则依次计算即可．
（2）根据零与任意数※（加乘）或任何数同零※（加乘），都得这个数的绝对值，结合前
面的运算计算即可．（3）举例运算说明即可．
( 1) ( 1)
【详解】（1）解：① - ※ -
2 5
| 1| | 1| 1 1 7
= - + - = + = ，
2 5 2 5 10
7
故答案为： ．
10
( 2)
② - ※(+1)
3
| 2| 2 5
=-( - +|1|)=-( +1)=- ，
3 3 3
5
故答案为：- ．
3
（2）解：(-2)※[0※(-1)]
=(-2)※(+1)
=-(1+2)
=-3．
（3）解：适合．举例如下：
交换律 (+5)※(+2)=+(5+2)=+7，(+2)※(+5)=+(2+5)=+7，
所以(+5)※(+2)=(+2)※(+5)，
故交换律成立；
(+5)※[(+2)※(+3)]=(+5)※(+5)=+10，
[(+5)※(+2)]※(+3)=(+7)※(+3)=+10，
所以(+5)※[(+2)※(+3)]=[(+5)※(+2)]※(+3)，
故结合律成立．
【点睛】本题考查了实数的新定义运算，正确理解新定义掌握有理数的运算法则是解题的
关键．
举一反三1 （2022秋·安徽滁州·七年级校考阶段练习）观察下列等式：
1 1
第1个等式：a = =1- ；
1 1×2 21 1 1
第2个等式：a = = -
2 2×3 2 3
1 1 1
第3个等式：a = = - ；
3 3×4 3 4
1 1 1
第4个等式：a = = -
4 4×5 4 5
…
请回答下列问题：
（1）按上述等式的规律，列出第5个等式：a ＝_____＝_____；
5
（2）用含n的式子表示第n个等式：a ＝_____＝______．
n
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
又因为 =1- ， = - ， = - ，…， = -
1×2 2 2×3 2 3 3×4 3 4 19×20 19 20
1 1 1 1
所以 + + +…+
1×2 2×3 3×4 19×20
( 1) (1 1) (1 1) ( 1 1 )
= 1- + - + - +…+ -
2 2 3 3 4 19 20
1 1 1 1 1 1 1
=1- + - + - +…+ -
2 2 3 3 4 19 20
1
=1-
20
19
=
20
通过阅读，你一定学会了一种解决问题的方法．请你用学到的方法计算：
1 1 1 1
（3） + + +…+ ；
2 6 12 99×100
1 1 1 1
（4） + + +…+ ．
50×51 51×52 52×53 99×100
1 1 1 1 1 1 99 1
【答案】（1） ， - ；（2） ， - ；（3） ；（4） ．
5×6 5 6 n(n+1) n n+1 100 100
【分析】（1）根据所给的式子的形式，得出第5个等式，从而进行求解即可；
（2）分析所给的式子的形式，得出一般规律，从而可求解；
（3）利用所给的式子的形式，把各项的分母转化为两个整数的积，然后利用（2）的规律
进行拆项，从而可求解；
（4）结合（2）的规律进行求解即可．1 1 1
【详解】解：（1）第5个等式为：a = = - ，
5 5×6 5 6
1 1 1
故答案为： ， - ；
5×6 5 6
1 1 1
（2）由题意得：第n个等式为：a = = - ，
n n(n+1) n n+1
1 1 1
故答案为： ， - ；
n(n+1) n n+1
1 1 1 1
（3） + + +…+
2 6 12 99×100
1 1 1 1 1
= + + +…+ -
1×2 2×3 3×4 99 100
1 1 1 1 1 1 1
=1- + - + - +…+ -
2 2 3 3 4 99 100
1
=1-
100
99
= ；
100
1 1 1 1
（4） + + +…+
50×51 51×52 52×53 99×100
1 1 1 1 1 1 1 1
= - + - + - +…+ -
50 51 51 52 52 53 99 100
1 1
= -
50 100
1
= ．
100
【点睛】本题考查数字的变化规律。解题的关键是由所给的等式总结出存在的规律，然后
利用规律解决问题．
举一反三2 （2022秋·河南周口·七年级校考阶段练习）观察下面一组等式：
|2﹣1|＝2﹣1＝1，|1﹣2|＝2﹣1＝1；
|（﹣2）﹣（﹣5）|＝（﹣2）﹣（﹣5）＝3，|（﹣5）﹣（﹣2）|＝（﹣2）﹣（﹣5）＝
3；
|6.4﹣（﹣3.5）|＝6.4﹣（﹣3.5）＝9.9，|（﹣3.5）﹣6.4|＝6.4﹣（﹣3.5）＝9.9；
…
解决下列问题：(1)化简|（﹣2）﹣1|；
(2)化简|3.14﹣π|的结果是______；
1 1 1 1 1 1 1 1
(3)求| - |+| - |+| - |+⋯+| - |的值．
3 2 4 3 5 4 2022 2021
【答案】(1)3
(2)π-3.14
505
(3)
1011
【分析】（1）根据题意得：|(-2)-1|=|1-(-2)|，从而得出答案；
（2）根据题意得：|3.14-π|＝|π-3.14|，从而得出答案；
（3）去掉绝对值，把中间项抵消，只剩下首项和尾项，从而得出答案；
【详解】（1）解：根据题意得：|(-2)-1|=|1-(-2)|＝|1+2|=|3|=3；
（2）根据题意得：原式＝|3.14-π|＝π-3.14，
故答案为：π﹣3.14；
1 1 1 1 1 1 1 1
（3）原式＝ - + - + - +⋯+ - ，
2 3 3 4 4 5 2021 2022
1 1
＝ - ，
2 2022
1010
＝ ，
2022
505
＝ ．
1011
【点睛】本题考查了绝对值，有理数的减法，去掉绝对值，把中间项抵消，只剩下首项和
尾项是解题的关键．
举一反三3 （1）尝试：比较下列各式的大小关系：(用>,<,=,≥,≤填空)
①|-2|+|3|___________|-2+3|； ②|-6|+|4|_________|-6+4|；
③|-3|+|-4|_________|-3-4|； ④|0|+|-7|__________|0-7|；
（2）归纳：观察上面的数量关系，可以得到：
|a|+|b|___________|a+b|(用>,<,=,≥,≤填空)
（3）应用：利用上面得到的结论解决下面问题：
若|m|+|n|＝16，|m+n|＝2，则m=______________．
（4）拓展：当a、b、c满足什么条件时，|a|+|b|+|c|＞|a+b+c|(请直接写出结果，不需过程)
【答案】（1）①>；②>；③=；④=；（2）≥；（3）±9或±7；（4）1个正数，2个负数；
2个正数，1个负数；1个0，1个正数，1个负数．
【分析】（1）①根据绝对值运算、有理数的加法即可得；
②根据绝对值运算、有理数的加法即可得；
③根据绝对值运算、有理数的加减法即可得；
④根据绝对值运算、有理数的加减法即可得；
（2）根据（1）的结果归纳类推即可得；
（3）先根据上述结论得出m、n异号，再分m为正数，n为负数和m为负数，n为正数两种
情况，然后代入解绝对值方程即可得；
（4）先根据a,b,c中0的个数进行分类，再结合上述结论、绝对值运算分析即可得．
【详解】（1）①|-2|+|3|=2+3=5，|-2+3|=|1|=1，
则|-2|+|3|>|-2+3|，
故答案为：>；
②|-6|+|4|=6+4=10，|-6+4|=|-2|=2，
则|-6|+|4|>|-6+4|，
故答案为：>；
③|-3|+|-4|=3+4=7，|-3-4|=|-7|=7，
则|-3|+|-4|=|-3-4|，
故答案为：=；
④|0|+|-7|=0+7=7，|0-7|=|-7|=7，
则|0|+|-7|=|0-7|，
故答案为：=；
（2）由（1）的结果，归纳类推得：|a|+|b|≥|a+b|，
故答案为：≥；
（3）∵|m|+|n|=16,|m+n|=2，
∴|m|+|n|>|m+n|，
由上述结论可得：m、n异号，
①当m为正数，n为负数时，则|m|+|n|=m-n=16，即n=m-16，
将n=m-16代入|m+n|=2得：|m+m-16|=2，
解得m=9或m=7，符合题设；
②当m为负数，n为正数时，则|m|+|n|=-m+n=16，即n=m+16，将n=m+16代入|m+n|=2得：|m+m+16|=2，
解得m=-9或m=-7，符合题设；
综上，m=±9或m=±7，
故答案为：±9或±7；
（4）由题意，分以下四类：
第一类：当a,b,c三个数都不等于0时，
①1个正数，2个负数，此时|a|+|b|+|c|>|a+b+c|，
②2个正数，1个负数，此时|a|+|b|+|c|>|a+b+c|，
③3个正数，此时|a|+|b|+|c|=|a+b+c|，不符题意，舍去，
④3个负数，此时|a|+|b|+|c|=|a+b+c|，不符题意，舍去；
第二类：当a,b,c三个数中有1个等于0时，
①1个0，2个正数，此时|a|+|b|+|c|=|a+b+c|，不符题意，舍去，
②1个0，2个负数，此时|a|+|b|+|c|=|a+b+c|，不符题意，舍去，
③1个0，1个正数，1个负数，此时|a|+|b|+|c|>|a+b+c|；
第三类：当a,b,c三个数中有2个等于0时，
①2个0，1个正数，此时|a|+|b|+|c|=|a+b+c|，不符题意，舍去，
②2个0，1个负数，此时|a|+|b|+|c|=|a+b+c|，不符题意，舍去；
第四类：当a,b,c三个数都等于0时，
此时|a|+|b|+|c|=|a+b+c|，不符题意，舍去；
综上，|a|+|b|+|c|>|a+b+c|成立的条件是：1个正数，2个负数；2个正数，1个负数；1
个0，1个正数，1个负数．
【点睛】本题考查了绝对值、有理数的加减运算，熟练掌握绝对值运算，并正确归纳出规
律是解题关键．
一、单选题
1．（2022秋·贵州遵义·七年级统考期末）仁怀市某镇2022年11月30日这一天的最高气温
和最低气温分别是5℃和-1℃，这一天的温差是（ ）
A． -1℃ B． 4℃ C． 5℃ D． 6℃
【答案】D【分析】首先要弄清温差的含义是最高气温与最低气温的差，那么这个实际问题就可以转
化为减法运算即可．
【详解】这一天的温差是：5-(-1)=6(℃) ，
故选：D．
【点睛】此题考查了有理数的减法，解题的关键在于掌握运算法则．
2．（2022秋·浙江金华·七年级校联考阶段练习）如图，数轴上4个点表示的数分别为a、
b、c、d．若|a-c|=8，|a-d|=10，|b-d|=6，则|b-c|=（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】利用绝对值的意义，推出c、d之间的距离是2，再根据b、d之间的距离是6，利
用b、d之间的距离减去c、d之间的距离即为所求．
【详解】解：∵|a-c|=8，|a-d|=10，|b-d|=6，
∴数a、c之间的距离是8，数a、d之间的距离是10，数b、d之间的距离是6，
∴数c、d之间的距离是10-8=2，
∴数b、c之间的距离是6-2=4．
故选B．
【点睛】本题考查数轴上两点间的距离．熟练掌握数轴上两点间的距离公式，是解题的关
键．
3．（2022春·黑龙江哈尔滨·六年级校考期中）某件商品原价18元，先降价1.8元，后又涨
价0.6元，则这一商品经过调整后的价格是（ ）
A．0.3元 B．16.2元 C．16.8元 D．18元
【答案】C
【分析】跌为负，涨为正，根据有理数的加法法则运算即可．
【详解】解：由题可得，18-1.8+0.6=18.6-1.8=16.8，
这一商品最终价格是16.8元，
故选C．
【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算：先把正数和负数分别相加，然后根据有理数
的加法法则运算．
4．（2022秋·湖南衡阳·七年级阶段练习）在数轴上表示数-3和2的点分别是点A和点B，
则点A与点B的距离为（ ）A．﹣5 B．﹣1 C．5 D．1
【答案】C
【分析】根据数轴上两点之间距离的计算方法求解即可．
【详解】解：∵表示数-3和2的点分别是点A和点B，
∴点A与点B之间的距离为2-(-3)=5，
故选：C．
【点睛】此题考查数轴上两点之间距离的求法，两点间的距离＝右边的点表示的数－左边
的点表示的数；或者两点间的距离＝两数差的绝对值．
5．（2022秋·甘肃定西·七年级统考阶段练习）将6-(+3)-(-7)+(-2)写成省略加号的和
的形式为（ ）
A．-6-3+7-2 B．6-3-7-2 C．6-3+7-2 D．6+3-7-2
【答案】C
【分析】先将代数式中的减号利用去括号与添括号法则改为加号，再将减法转化成省略加
号的和的形式.
【详解】解：6-(+3)-(-7)+(-2)中的减法改成加法时原式化为：6－3+7－2，
故选：C.
【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算：有理数加减法运算统一成加法运算，先转化
成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化.
二、填空题
1．（2022秋·江苏连云港·七年级校考期中）点A在数轴上表示数-2，点B距离点A有2个
单位长度，则点B表示的数为 ．
【答案】0或-4
【分析】分类讨论点B在点A的右边或者左边，即可求解．
【详解】解：①若点B在点A的右边，则点B表示的数为：-2+2=0；
②若点B在点A的左边，则点B表示的数为：-2-2=-4
故答案为：0或-4
【点睛】本题考查数轴上两点之间的距离．确定两点的相对位置是解题关键．
2．（2022秋·湖南永州·七年级校考期中）甲、乙、丙三个地方的海拔高度分别为-205m，
-90m，35m，则这三个地方中，最高的地方比最低的地方高 m．
【答案】240
【分析】找出最大值与最小值，作差即可．【详解】解：由-205<-90<35，可知最高的地方35m，最低的地方-205m，
35-(-205)=35+205=240，
即最高的地方比最低的地方高240m，
故答案为：240．
【点睛】本题考查有理数减法运算的实际应用，解题的关键是通过比较找出最大值与最小
值．
3．（2022秋·福建福州·七年级校考阶段练习）把(-8)-(-1)+(+3)-(-2)转化为省略括号
的算式： ．
【答案】-8+1+3+2
【分析】根据有理数加减法法则去括号即可．
【详解】(-8)-(-1)+(+3)-(-2)=-8+1+3+2，
故答案为：-8+1+3+2．
【点睛】本题考查有理数的加减法，括号前是“+”号时，将括号连同它前边的“+”号去
掉，括号内各项都不变；括号前是“-”号时，将括号连同它前边的“-”去掉，括号内各
项都要变号．
4．（2022秋·湖南衡阳·七年级校考期中）如图，a、b两个数在数轴上的位置如图所示，
比较大小：a-b 0．
【答案】<
【分析】根据数轴上表示的a、b两数的位置可知a<0、b>0，|a|<|b|即可解答．
【详解】解：由数轴可知a<0、b>0，|a|<|b|，
∴a-b<0，
故答案为：<．
【点睛】本题考查了判断数轴上点的位置关系，有理数的减法运算法则，掌握数轴上点的
位置关系是解题的关键．
5．（2023秋·内蒙古呼和浩特·七年级校考期末）若a的相反数是-2，b的绝对值是5，则
a-b= ．
【答案】-3或7
【分析】根据绝对值和相反数分别求出a，b，再分情况计算减法即可．
【详解】解：∵a的相反数是-2，b的绝对值是5，
∴a=2，b=±5，∴a-b=2-5=-3或a-b=2-(-5)=7．
故答案为：-3或7．
【点睛】本题考查了有理数的减法，绝对值，相反数，解题的关键是正确求出a，b的值．
三、解答题
1．（2023秋·福建泉州·七年级校联考阶段练习）计算：
(1)-2+5+(-6)+7
(2)(-7)-(-10)-|-8|
【答案】(1)4
(2)-5
【分析】（1）根据加法的交换律和结合律计算即可；
（2）先把减法转化为加法，再按照加法法则计算．
【详解】（1）原式=(5+7)+[(-2)+(-6)]
=12+(-8)
=4
（2）原式=(-7)+(+10)-8
=(-7)+(+10)+(-8)
=(-7)+(-8)+(+10)
=(-15)+(+10)
=-5
【点睛】本题考查了有理数的加法和减法运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
2．（2023春·甘肃定西·七年级统考期末）甘肃省的马铃薯产量名列全国前茅，而定西县马
㸳薯产量又是甘肃省之首．临近端午节，吴大权在甘肃省定西县购买了10箱马铃薯，它们
的质量称得如下（单位：kg）：
10.2，9.8，9.2，9.6，10，10.3，10.5，10，10.5，9.9．
(1)若每箱马铃薯以10kg为标准，超过10kg的千克数记为正数，不足10kg的千克数记为负
数，则上述10箱马铃薯的质量用正负数依次分别表示为______.
(2)这10箱马铃薯的总质量为多少kg?
【答案】(1)0.2，-0.2，-0.8，-0.4，0，0.3，0.5，0，0.5，-0.1
(2)这10箱马铃薯的总质量为100kg【分析】（1）根据正数和负数的实际意义即可得出答案；
（2）由题意列式后利用有理数的运算法则计算即可．
【详解】（1）∵每箱马铃薯以10千克为标准，超过10千克的千克数记为正数，不足10千
克的千克数记为负数，
∴题干中10箱马铃薯的质量用正负数依次分别表示为0.2，-0.2，-0.8，-0.4，0，0.3，
0.5，0，0.5，-0.1，
故答案为：0.2，-0.2，-0.8，-0.4，0，0.3，0.5，0，0.5，-0.1；
（2）10×10+(0.2-0.2-0.8-0.4+0+0.3+0.5+0+0.5-0.1)=100
答：这10箱马铃薯的总质量为100kg．
【点睛】本题考查正数和负数的意义及有理数的混合运算，结合已知条件理解题干意义是
解题的关键．
3．（2023秋·福建泉州·七年级校联考阶段练习）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，
A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a-b|，利用数形
结合思想回答下列问题：
(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示2和﹣3的两点之间的距离是 ．
(2)数轴上表示x和-2的两点之间的距离表示为 ．
(3)若x表示一个有理数，利用数轴求解，|x|+|x-3|的最小值是 ，并写出此时x的整数
值 ．
【答案】(1)3，5
(2)|x+2|
(3)3；0，1，2，3
【分析】（1）根据两点间距离公式求解即可；
（2）根据已知给出的求两点间距离的公式表示即可；
（3）根据两点间距离公式及数轴分析即可．
【详解】（1）由题意可得，
数轴上表示2和5两点之间的距离是：|5-2|=3，
数轴上表示2和-3的两点之间的距离是：|-3-2|=5，
故答案为：3，5；
（2）由题意可得，
数轴上表示x和-2的两点之间的距离是：|x-(-2)|=|x+2|，故答案为：|x+2|；
（3）根据绝对值的定义有：|x|+|x-3|可表示为|x-0|+|x-3|，即表示点x到0与3两
点距离之和，借助数轴分析可知：当x在0与3之间时，|x-0|+|x-3|的最小值=3．
此时x的整数值是0，1，2，3．
【点睛】本题考查的是数轴，绝对值的定义，两点间的距离，理解两点间的距离是解答本
题的关键．
4．（2023秋·河南郑州·七年级校考期末）传说在很久以前夏禹治水，来到洛水，水中浮出
一只大乌龟，乌龟背上有一个神秘的图，人们发现把龟背上的数填入3×3的正方形方格
（方阵）中．每一行，每一列，斜对角的三个数相加的和都相等，其和都等于15．
(1)请同学们观察思考后将相应的数填入图1的方阵中，使得处于同一横行、同一竖列、同
一斜对角线上的3个数之和均相等．
(2)请将相应的数填入图2的方阵中，使得处于同一横行，同一竖列、同一斜对角线上的3
个数之和均相等．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据副对角线得出这个相等的和为0，再根据存在已知两数的行或列数字之和是0，依次填空即可；说明：主对角线是指左上到右下的对角线，副对角线是指左下到
右上的对角线
（2）根据第一列和主对角线的和相等，可得第三行第一个数是6，从而根据副对角线得出
这个相等的和为9，再根据存在已知两数的行或列数字之和是9，依次填空即可．
【详解】（1）解：依题意得：每一行，每一列，斜对角的三个数相加的和都相等，其和为：
-3+0+3=0，
根据第一行数字之和为0得：第一行第二个数字为：0-(-1)-(-3)=4，
根据第一列数字之和为0得：第二行第一个数字为：0-(-1)-3=-2，
根据第二行数字之和为0得：第二行第三个数字为：0-(-2)-0=2，
根据第二列数字之和为0得：第三行第二个数字为：0-4-0=-4，
根据第三行数字之和为0得：第三行第三个数字为：0-3-(-4)=1，
故填入表格得：
−1 4 −3
−2 0 2
3 −4 1
（2）根据第一列和主对角线的和相等得：第三行第一个数字为：3+1-(-2)=6，
∴由副对角线得这个相等的和为：0+3+6=9，
根据第三列数字之和为9得：第二行第三个数字为：9-0-1=8，
根据第三行数字之和为9得：第三行第二个数字为：9-6-1=2，
根据第一列数字之和为9得：第一行第一个数字为：9-(-2)-6=5，
根据第一行数字之和为9得：第一行第二个数字为：9-5-0=4，
故填入表格得：
5 4 0
−2 3 8
6 2 1
【点睛】本题考查有理数加减法，找寻出相等关系中仅有一个数未知的式子是解题的关键．
