文档内容
1.3.1 有理数的加法
1.掌握有理数加法的运算法则,能熟练进行有理数的加法运算,体会分类和归纳的思想方法
2.理解并灵活运用有理数的加法运算律简化运算
3.在利用有理数的加法解决实际问题的过程中,提高分析问题和解决问题的能力
知识点一 有理数的加法法则
1.有理数加法法则
(1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.
(2)绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝
对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0
(3)一个数同0相加，仍得这个数.
注意：
(1)若 与 互为相反数,则 (或 );
(2)若 (或 ),则 与 互为相反数.
助记：
有理数加法打油诗：
有理数相加，定号再加减，
同同异绝大（符号相同取相同符号，异号取绝对值大的加数的符号），括号内加减，
同号绝相加，异号绝相减，
加零得原数，相反和为零.
2有理数加法的结果的几种情况
(1) 可以是正数,也可以是负数,还可以是零.如5+(-3)=2,-6+4=-2,-3+3=0
(2) 可能比两个加数都大.如2+3 =5;
(3)可能比两个加数都小.如(-2)+(-6)=-8
(4)可能比一个加数大,比另一个加数小.如(-3)+4 =1.
(5)可能等于其中一个加数.如2+0=0即学即练 计算：
( 3) 2 ( 2) ( 1)
(1)
-5 +7
(2)
- + -2
4 5 7 3
1 ( 3)
(3)(+5.21)+(+4.89) (4) + - ．
3 4
13 5
【答案】(1)1.65 (2)-2 (3)10.1 (4)- ．
21 12
【分析】（1）先确定符号取正号，再利用较大的绝对值减去较小的绝对值即可；
（2）先确定符号取负号，再把两数的绝对值相加即可；
（3）先确定符号取正号，再把两数的绝对值相加即可；
（4）先确定符号取负号，再利用较大的绝对值减去较小的绝对值即可；
( 3) 2
【详解】（1）解： -5 +7 =+(7.4-5.75)=1.65；
4 5
( 2) ( 1) ( 6 7 ) 13
（2） - + -2 =- +2 =-2 ；
7 3 21 21 21
（3）(+5.21)+(+4.89)=+(5.21+4.89)=10.1；
1 ( 3) ( 9 4 ) 5
（4） + - =- - =- ．
3 4 12 12 12
【点睛】本题考查有理数的加法运算，解答本题的关键是明确有理数加法运算的计算方法．
知识点二 有理数加法的运算定律
1. 有理数加法的运算定律
运算定律 文字叙述 式子表示
加法交换律 两个数相加,交换加数的位置,和不变
三个数相加,先把前两个数相加，或者
加法结合律
先把后两个数相加,和不变
2. 有理数加法运算的技巧
(1)互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”;
(2)符号相同的数先相加——“同号结合法”;
(3)分母相同(或分母成倍数关系易化成同分母)的数先相加——“同分母结合法”;
(4)几个数相加得到整数先相加——“凑整法”;
(5)整数与整数、小数与小数先相加——“同形结合法”;
(6)带分数相加时，可先拆成整数与分数的和再分别相加——“拆分法”;
注意：方法的选择并不是一成不变，有的时候还需要多种方法共同使用，所以
需要具体问题具体分析.
即学即练 计算．
(1)(-3)+40+(-32)+(-8)；
(2) 1 ( 3) ( 2) ；
5 + - + +1 +(-8.25)
3 4 3
(3)5.6+(-0.9)+4.4+(-8.1)+(-1)；
(4) 1 ( 1)．
(-0.5)+3 +2.75+ -5
4 2
【答案】(1)-3 (2)-2 (3)0 (4)0
【分析】（1）利用加法的结合律先计算后两个整数的和，再把互为相反数的两个数相加，
从而可得答案；
（2）把和为整数的两个数先加，再计算即可；
（3）把和为整数的两个数先加，再计算即可；
（4）把和为整数的两个数先加，再计算互为相反数的两个数的和即可；
【详解】（1）解：(-3)+40+(-32)+(-8)
=-3+40+(-40)
=-3；
1 ( 3) ( 2)
（2）5 + - + +1 +(-8.25)
3 4 3
( 1 2) [( 3) ( 1)]
= 5 +1 + - + -8
3 3 4 4
=7+(-9)
=-2；
（3）5.6+(-0.9)+4.4+(-8.1)+(-1)
=(5.6+4.4)+[(-0.9)+(-8.1)]+(-1)=10+(-9)+(-1)
=0；
1 ( 1)
（4）(-0.5)+3 +2.75+ -5
4 2
[ ( 1)] ( 1 3)
= (-0.5)+ -5 + 3 +2
2 4 4
=-6+6
=0．
【点睛】本题考查的是有理数的加法运算，加法运算律的应用，熟练的利用运算律进行简
便运算是解本题的关键．
正负带分数拆分注意符号，例如：
（1） ；
（2）
题型一 利用数轴确定有理数的和的符号
例1 （2023秋·甘肃酒泉·七年级统考期末）有理数a、b、c在数轴上所对应的点如图所
示，则下列结论正确的是（ ）
A．a+b<0 B．a+b>0 C．a+c<0 D．b+c>0
【答案】A
【分析】结合数轴中a，b，c的位置，判断其正负性和绝对值的大小，以此判断各选项的对错．
【详解】解：由数轴上各点的位置判断：b＜a＜0＜c，|a|＜|c|＜|b|，
A. a+b<0，原选项正确；
B. a+b<0，原选项错误；
C. a+c>0，原选项错误；
D. b+c<0，原选项错误；
故选：A
【点睛】本题考查数轴和有理数的加法、数形结合，利用数轴上点的位置判断各个选项中
的结论是否正确是解答本题的关键．
举一反三1 （2023春·广东梅州·七年级校考开学考试）a，b是有理数，它们在数轴上的
对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．a+b＜0 B．－a＜a＜b C．－b＜a＜b D．b＜|a|
【答案】C
【分析】根据数轴上有理数a、b对应点的位置关系即可得出结论．
【详解】解：由数轴知，a＜0＜b，|a|＜|b|，则
A、a+b＞0，故此选项的计算错误，不符合题意；
B、a＜－a＜b，故此选项的计算错误，不符合题意；
C、－b＜a＜b，故此选项的计算正确，符合题意；
D、b＞|a|，故此选项的计算错误，不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查数轴和绝对值、有理数的加法，正确识别数轴上的点对应的有理数的大
小是解答的关键．
举一反三2 （2023秋·广东中山·七年级校考期末）在数轴上表示a、b两数的点如图所示，
则下列判断正确的是（ ）
A．a+b>0 B．a-b<0 C．a+b<0 D．|a|>|b|
【答案】C
【分析】根据有理数大小比较原则，结合有理数加法计算法则判断即可．
【详解】如图，所以a>0，b<0，且|a|<|b|，
所以a+b<0，a-b>0，
所以A、B、D都是错误的，
只有C正确，
故选C．
【点睛】本题考查了有理数大小比较，有理数加法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
题型二 有理数与绝对值的综合运用
例2 （2023秋·甘肃天水·七年级校考期末）若x的相反数是3，|y|=5，则x+ y的值为
（ ）
A．-8 B．2 C．8或-2 D．-8或2
【答案】D
【分析】根据相反数、绝对值求出x，y的值，代入代数式，即可解答．
【详解】解：∵x的相反数是3，
∴x=-3，
∵|y|=5，
∴y=±5，
∴x+y=-8或2，
故选D．
【点睛】本题考查了相反数、绝对值，解决本题的关键是熟记相反数、绝对值的定义．
举一反三1 若有理数x、y满足|x|=5，|y|=2．
(1)求x与y的值；
(2)若|x- y|=x- y，求x+ y的值，
【答案】(1)x=±5，y=±2
(2)3或7
【分析】（1）根据绝对值等于一个正数的数有两个可得答案；
（2）根据|x- y|=x- y可得x- y≥0，进而可得x≥ y，然后计算x+ y即可．
【详解】（1）∵|x|=5，|y|=2，
∴x=±5，y=±2；（2）∵|x- y|=x- y，
∴x- y≥0，
∴①x=5，y=2，x+ y=7；
②x=5，y=-2，x+ y=3．
综上所述，x+ y的值是3或7
【点睛】此题主要考查了有理数的加法和绝对值，关键是掌握绝对值的性质：①当a是正
有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；③
当a是零时，a的绝对值是零．
举一反三2 在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运
用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读并解答题目后提出的探究问题．
第一步：【提出问题】
|x| |y| |z|
三个有理数x，y，z满足xyz>0，求 + + 的值．
x y z
第二步：【解决问题】
解：由题意x，y，z三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数，
①当x，y，z都是正数，即x>0、y>0、z>0时，
|x| |y| |z| x y z
则： + + = + + =1+1+1=3．
x y z x y z
②当x，y，z有一个为正数，另两个为负数时，设x>0、y<0、z<0，
|x| |y| |z| x - y -z
则： + + = + + =1+(-1)+(-1)=-1．
x y z x y z
|x| |y| |z|
所以 + + 的值为3或-1．
x y z
第三步：【探究问题】
请根据上面的解题思路解答下面的问题：
|x| |y| |z|
三个有理数x，y，z满足xyz<0，求 + + 的值．
x y z
【答案】-3或1
【分析】根据材料的解题思路，对x，y，z分情况讨论即可得出结果．
【详解】解：∵xyz<0，
∴x，y，z都是负数或其中一个为负数，另两个为正数，
①当x，y，z都是负数，即x<0，y<0，z<0时，
|x| |y| |z| x y z
则 + + =- - - =-1-1-1=-3，
x y z x y z②当x，y，z有一个为负数，另两个为正数时，设x<0，y>0，z>0，
|x| |y| |z| x y z
则 + + =- + + =-1+1+1=1；
x y z x y z
|x| |y| |z|
∴ + + 的值为-3或1．
x y z
【点睛】本题考查了绝对值的性质，有理数的乘法法则，运用分类讨论的数学思想是解题
的关键．
题型三 有理数加法中的符号问题
例3 （2023秋·浙江绍兴·七年级统考期末）如图，数轴上依次有A，P，B，Q，C五个点，
其中A，B，C三点所表示的数分别为a，b，c，且AP=PB=BQ=QC．如果有a+b<0，
a+c<0，b+c>0，那么该数轴原点O的位置应该在（ ）
A．点O在线段AP（不包括端点）上 B．点O在线段PB（不包括端点）上
C．点O在线段BQ（不包括端点）上 D．点O在线段QC（不包括端点）上
【答案】C
【分析】根据有理数的加法法则以及数轴上的点进行判断即可求解．
【详解】解：依题意，a+b<0，a+c<0，b+c>0，
∴a,b同为负号，bc异号，
∴b<0,a>0，
∴原点在BC之间，
∵b+c>0，
∴c的绝对值大于b的绝对值，即点C到原点的距离大于B到原点的距离
∴该数轴原点O的位置应该在点O在线段BQ（不包括端点）上，
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的加法法则以及数轴上的点，绝对值的意义，数形结合是解题
的关键．
举一反三1 （2023秋·湖南益阳·七年级校联考期末）下列省略加号和括号的形式中，正
确的是（ ）
A．(-7)+(+6)+(-5)+(-2)=-7++6+-5+-2B．(-7)+(+6)+(-5)+(-2)=-7+6-5-2
C．(-7)+(+6)+(-5)+(-2)=-7+6+5+2
D．(-7)+(+6)+(-5)+(-2)=-7+6-5+2
【答案】B
【分析】根据有理数的加法法则判断即可.
【详解】解：(-7)+(+6)+(-5)+(-2)=-7+6-5-2.
故选：B.
【点睛】本题考查了有理数的加法，属于基本题目，掌握有理数的加法法则是关键.
举一反三2 （2023秋·甘肃天水·七年级校考期末）若a+b<0，ab<0，则下列说法正确
的是( ).
A．a，b同号 B．a，b异号且负数的绝对值较大
C．a，b异号且正数的绝对值较大 D．以上均有可能
【答案】B
【分析】根据有理数的加法和有理数的乘法运算法则进行判断即可．
【详解】∵ab＜0，
∴a、b异号，
∵a＋b＜0，
∴负数的绝对值较大，
综上所述，a、b异号且负数的绝对值较大．
故选B．
【点睛】本题考查了有理数的乘法，有理数的加法运算，熟记运算法则是解题的关键．
题型四 有理数加法在生活中的应用
例4 （2023秋·四川广安·七年级统考期末）一辆出租车一天上午从某商场出发在东西大街
上运行，若规定向东行为正，向西行为负，行驶里程（单位：km）依次如下：
+9，-8，-5，+6，-8，+9，-3，-7，-5，+10．
(1)将最后一名乘客送到目的地，出租车在该商场的哪边？离商场有多远？
(2)如果出租车每行驶100km的油耗为10L，1L汽油的售价为7.2元，那么出租车在这天上
午消耗汽油的金额是多少元？
【答案】(1)出租车在该商场的西边，离商场2km
(2)50.4元【分析】（1）将出租车上午每次运行里程相加运算即可；
（2）首先计算出租车每行驶总路程，然后结合“每行驶100km油耗为10L，1L汽油的售价
为7.2元”，计算消耗汽油的金额即可．
【详解】（1）9-8-5+6-8+9-3-7-5+10
=(9+6+9+10)-(8+5+8+3+7+5)
=34-36 =-2(km)．
答：将最后一名乘客送到目的地，出租车在该商场的西边，离商场2km．
（2）
|+9|+|-8|+|-5|+|+6|+|-8|+|+9|+|-3|+|-7|+|-5|+|+10|=70(km)
，
70
×10×7.2=50.4（元）．
100
答：出租车在这天上午消耗汽油的金额是50.4元．
【点睛】本题主要考查了正负数的实际应用、绝对值的意义以及有理数运算的应用等知识，
理解题意，掌握正负数的实际应用中的意义是解题关键．
举一反三1 （2023秋·重庆綦江·七年级统考期末）在某次抗洪抢险中，解放军战士的冲
锋舟沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从甲村出发，晚上到达乙村，约定向东为正方向，
当天的航行路程记录如下（单位：千米）:
14，-10，+8，-7，13，-6，+12，-6.
(1)请确定乙村相对于甲村的具体方位？
(2)救灾过程中，冲锋舟离出发地最远处有多远？
(3)为了尽快抢救灾民，冲锋舟出发前就加满了油，而且在救灾过程中不再加油，若冲锋舟
每千米耗油0.5升，那么该冲锋舟油箱容量至少是多少升？
【答案】(1)乙村位于甲村地的正东方向，距离甲村18千米
(2)救灾过程中，冲锋舟离出发点甲村最远处为24千米
(3)该冲锋舟油箱容量至少是38升
【分析】（1）把题目中所给数值相加，若结果为正数则乙村在甲村的东方，若结果为负数，
则乙村在甲村的西方；
（2）分别计算出各点离出发点的距离，取数值较大的点即可；
（3）先求出这一天走的总路程，再计算出一共所需油量，即为冲锋舟油箱容量．
【详解】（1）(+14)+(-10)+(+8)+(-7)+(+13)+(-6)+(+12)+(-6)=14-10+8-7+13-6+12-6
=18(千米)，
答：乙村位于甲村地的正东方向，距离甲村18千米；
（2）第1次记录时冲锋舟离出发点甲村的距离为|+14|=14(千米)，
第2次记录时冲锋舟离出发点甲村的距离为|14+(-10)|=4(千米)，
第3次记录时冲锋舟离出发点甲村的距离为|4+(+8)|=12(千米)，
第4次记录时冲锋舟离出发点甲村的距离为|12+(-7)|=5(千米)，
第5次记录时冲锋舟离出发点甲村的距离为|5+(+13)|=18(千米)，
第6次记录时冲锋舟离出发点甲村的距离为|18+(-6)|=12(千米)，
第7次记录时冲锋舟离出发点甲村的距离为|12+(+12)|=24(千米)，
第8次记录时冲锋舟离出发点甲村的距离为|24+(-6)|=18(千米)，
由此可知，救灾过程中，冲锋舟离出发点甲村最远处为24千米；
（3）冲锋舟当天航行总路程为：
|+14|+|-10|+|+8|+|-7|+|+13|+|-6|+|+12|+|-6|
=14+10+8+7+13+6+12+6
=76(千米)，
则76×0.5=38(升)，
答：该冲锋舟油箱容量至少是38升．
【点睛】本题考查了正数与负数的定义，解题的关键是熟知用正负数表示两种具有相反意
义的量，注意所走总路程一定是绝对值的和．
举一反三2 （2023秋·湖南常德·七年级校联考期末）已知10箱苹果，以每箱16千克为标
准，超过16千克的数记为正数，不足16千克的数记为负数，称重记录如下：
+0.2,-0.2,+0.8,-0.3,-0.5,+0.7,0,-0.1,+0.3,0.2
(1)求10箱苹果的总重量．
(2)若每箱苹果的重量标准为16±0.45（千克），则这10箱有几箱不符合标准的？
【答案】(1)161.1千克
(2)3
【分析】（1）根据有理数加法求解即可；
（2）根据每箱苹果的重量标准为16±0.45（千克），利用各数与±0.45比较得出答案即可．
【详解】（1）解：10×16+(0.2-0.2+0.8-0.3-0.5+0.7+0-0.1+0.3+0.2)
=160+1.1=161.1（千克）
（2）解：∵每箱苹果的重量标准为16±0.45（千克），
∴称重记录范围为-0.45∼0.45千克之间，
∵+0.8，-0.5，+0.7不在-0.45∼0.45千克之间
∴这10箱有3箱不符合标准．
【点睛】此题考查了正负数的应用，有理数的加减的应用以及有理数大小的比较，解题的
关键是熟练掌握相关基础知识．
题型五 程序流程图与有理数计算
例5 （2022秋·山西临汾·七年级统考阶段练习）根据如图所示的程序计算，若输入的x值
为7，则输出的y值为 ．
【答案】-1
【分析】由题意可得其算式为x+(-5)+(-3)+4，把相应的值代入运算即可．
【详解】解：当x=7时，可有7+(-5)+(-3)+4=3>0，
当x=3时，可有3+(-5)+(-3)+4=-1<0，
则输出的值为-1．
故答案为：-1．
【点睛】本题主要考查了有理数运算，能根据程序图列出算式是解此题的关键．
举一反三1 如图，小明设计了一个计算程序，并按此程序进行了计算，若开始输入的数
为−7，则最后输出的数为 ．
【答案】-18
【分析】根据题意列式计算即可．
【详解】解：依题意，输出结果为：
-7+7+(-8)+2+(-12)=(-7+7)+[(-8)+(-12)]+2=-20+2=-18，
故答案为：-18
【点睛】本题考查有理数的加法，掌握有理数的加法法则和加法运算律是解题的关键．举一反三2 （2022秋·河南濮阳·七年级校考阶段练习）按如图所示的运算程序，能使输
出结果为-3的是（ ）
A．x=2,y=-1 B．x=-2,y=1 C．x=-2,y=-1 D．x=-1,y=-2
【答案】C
【分析】把各自的值代入运算程序中计算得到结果，即可作出判断．
【详解】解：A．把x=2，y=-1代入运算程序中得：2x+ y=3，不符合题意；
B．把x=-2，y=1代入运算程序中得：2x- y=-5，不符合题意；
C．把x=-2，y=-1代入运算程序中得：2x- y=-3，符合题意；
D．把x=-1，y=-2代入运算程序中得：2x+ y=-4，不符合题意，
故选：C．
【点睛】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
题型六 有理数加法运算定律
例6 （2022秋·河南濮阳·七年级统考期中）阅读下面的解题方法．
5 [ 2] 3 [ 1]
计算：-5 + -9 +17 + -3 ．
6 3 4 2
[ ( 5)]
解：原式= (-5)+ - +¿
6
=[(-5)+(-9)+17+(-3)]+¿
( 5) 5
=0+ - =- ．
4 4
上述解题方法叫做拆项法，按此方法计算：
( 5) 2 ( 2) 5
-2021 +4043 + -2022 +1 ．
6 3 3 6【答案】1
【分析】根据题目中的拆项法进行解答即可．
( 5) 2 ( 2) 5
【详解】解： -2021 +4043 + -2022 +1
6 3 3 6
[ 5 ] 2 [ 2 ] 5
= (-2021)+(- ) +(4043+ )+ (-2022)+(- ) +(1+ )
6 3 3 6
[ 5 2 2 5]
=[(-2021)+4043+(-2022)+1]+ (- )+ +(- )+
6 3 3 6
=1+0
=1．
【点睛】本题考查了有理数的加法运算，熟练掌握有理数的加法运算法则以及运算律是解
本题的关键．
举一反三1 （2022秋·四川广安·七年级统考期末）数学张老师在多媒体上列出了如下的
材料：
5 2 3 1
计算：-5 +(-9 )+17 +(-3 )
6 3 4 2
5 2 3 1
解：原式=[(-5)+(- )]+[(-9)+(- )]+(17+ )+[(-3)+(- )]
6 3 4 2
5 2 1 3 1 1
=[(-5)+(-9)+(-3)+17]+[(- )+(- )+(- )+ ]=0+(-1 )=-1
6 3 2 4 4 4
上述这种方法叫做拆项法．
请仿照上面的方式计算：
2 4 1
(-2021 )+(-2022 )+4044+(- )
7 7 7
【答案】0
【分析】先根据阅读部分的信息把运算式中的前两个分数的每一个拆成一个整数与一个分
数的和，再利用加法的交换律与结合律进行简便运算即可.
2 4 1
【详解】解：(-2021 )+(-2022 )+4044+(- )
7 7 7
2 4 1
=[(-2021)+(- )]+[(-2022)+(- )]+4044+(- )
7 7 72 4 1
=(-2021-2022+4044)+(- - - )=1+(-1)=0
7 7 7
【点睛】本题考查的是利用简便方法进行有理数的加减运算，掌握把一个分数拆成一个整
数与一个分数的和是解本题的关键.
举一反三2 （2022秋·山东济宁·七年级统考期末）计算
(1)4.7+(-0.8)+5.3+(-8.2)
( 1) ( 1) ( 1 )
- + + + -
(2)
6 3 12
【答案】(1)1
1
(2)
12
【分析】对于（1），将两个正数，两个负数分别结合，再计算；
对于（2），先通分，再结合计算即可．
【详解】（1）原式=(4.7+5.3)+(-0.8-8.2)
=10-9
=1；
2 1 4
（2）原式=（- - ）+
12 12 12
3 4
=- +
12 12
1
= ．
12
【点睛】本题主要考查了有理数的加法运算，灵活应用有理数的运算律是解题的关键．
题型七 规律探究题
例7 （2022秋·湖南长沙·七年级统考期中）探究规律，完成相关题目：对非零数定义一种
新的运算，叫※（宏）运算．
下列是一些按照※（宏）运算的运算法则进行运算的算式；(+5)※(+2)=+7；
(-3)※(-5)=+8；(-3)※(+4)=-1；(+5)※(-8)=-3．
(1)我们在研究有理数的加法运算时，既要考虑符号，又要考虑绝对值．请你类比有理数加
法的运算法则，归纳※（宏）运算的运算法则；同号两数进行※（宏）运算时 ，异号两
数进行※（宏）运算时 ．(2)计算：(-3)※[(+1)※(-4)]= ．（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）
(3)我们知道加法有交换律和结合律，请你判断交换律和结合律在※（宏）运算中是否适用，
如果适用只需作出判断，如果不适用，举反例说明．（举一个例子即可）
【答案】(1)同号得正，并把它们的绝对值相加；异号得负，并用较大的绝对值减去较小的
绝对值
(2)6
(3)加法交换律适用，加法结合律不适用，例子见解析
【分析】（1）根据题目中的例子可以总结出※（宏）运算的运算法则；
（2）根据（1）中的结论可以解答本题，注意运算顺序；
（3）根据（1）中的结论分别采用加法交换律和结合律计算可以解答本题．
【详解】（1）解：由题意可得，
归纳※（宏)运算的运算法则：同号两数进行※（宏)运算时，同号得正，并把它们的绝对
值相加，异号两数进行※（宏)运算时，异号得负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
故答案为：同号得正，并把它们的绝对值相加；异号得负，并用较大的绝对值减去较小的
绝对值．
（2）解：(-3)※[(+1)※(-4)]，
=(-3)※(-3)，
=6，
故答案为：6；
（3）解：∵(-2)※(+3)=-1，(-3)※(+2)=-1．
∴加法交换律适用；
∵(+4)※(-1)※(+2)=(-3)※(+2)=-1，
(+4)※[(-1)※(+2)]=(+4)※(-1)=-3，
而-1≠-3，
∴加法结合律不适用．
【点睛】本题考查有理数的加法运算，解答本题的关键是明确有理数的加法运算的计算方
法．
举一反三1 （2022秋·河南洛阳·七年级统考期中）探索研究：(1)比较下列各式的大小（用“＜”、“>”、“=”连接）
①|2|+|3|___________|2+3|；
②|-2|+|-3|___________|-2-3|；
③|2|+|-3|___________|2-3|；
④|2|+|0|___________|2+0|．
(2)a、b为有理数，通过比较、分析，归纳|a|+|b|与|a+b|的大小关系．（用“＜”、“>”、
“=”、“≥”“≤”连接）
当a、b同号时，|a|+|b|___________|a+b|；
当a、b异号时，|a|+|b|___________|a+b|；
当a=0或b=0时，|a|+|b|=|a+b|；
综上，|a|+|b|___________|a+b|．
(3)根据（2）中得出的结论，当|x|+2015=|x-2015|时，则x的取值范围是___________．
【答案】(1)=；=；>；=；
(2)=；>；≥
(3)x≤0
【分析】（1）分别计算①②③④题两边，即可比较大小；
（2）根据绝对值的性质结合有理数的加法法则即可判断大小；
（3）将|x|+2015化为|x|+|-2015|，结合（2）中结论进行分析即可求解．
【详解】（1）①∵ |2|+|3|=5，|2+3|=5，
∴ |2|+|3|=|2+3|；
②∵ |-2|+|-3|=5，|-2-3|=5，
∴ |-2|+|-3|=|-2-3|；
③∵ |2|+|-3|=5，|2-3|=1，
∴ |2|+|-3|>|2-3|；
④∵ |2|+|0|=2，|2+0|=2，
∴ |2|+|0|=|2+0|．
故答案为：①=，②=，③>，④=；
（2）当a、b同号时，|a|+|b|=|a+b|；
当a、b异号时，|a|+|b|>|a+b|；
又a＝0或b＝0时，|a|+|b|=|a+b|；
综上，|a|+|b|≥|a+b|．故答案为：=，>，≥；
（3）∵ |x|+2015=|x|+|-2015|=|x-2015|，
∴由（2）可知x非正，即x≤0
故答案为：x≤0．
【点睛】本题考查了绝对值，有理数的加法法则，有理数的大小比较等知识，属于基础知
识的归纳探究题型，难度一般．解题的关键是熟知相关知识，学会寻找规律．
举一反三2 （2022秋·重庆潼南·七年级统考期末）阅读材料，探究规律，完成下列问题．
甲同学说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．“然后他写出了一些按照*（加
乘）运算的运算法则进行运算的算式：(+2)*(+3)=+5；(-1)*(-9)=+10；
(-3)*(+6)=-9；(+4)*(-4)=-8；0*(+1)=1；0*(-7)=7．乙同学看了这些算式后
说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？
(1)请你根据甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则，计算下列式子：
(-2)*(-7)= ；(+4)*(-3)= ；0*(-5)= ．
请你尝试归纳甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则：
两数进行*（加乘）运算时， ．
特别地，0和任何数进行*（加乘）运算， ．
(2)我们知道有理数的加法满足交换律和结合律，这两种运算律在甲同学定义的*（加乘）
运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在*（加乘）运算中是否适用，并举例验证．
（举一个例子即可）
【答案】(1) +9 -7 5 同号得正，异号得负，并把绝对值相加 等
于这个数的绝对值
(2)加乘运算满足交换律，不满足结合律，举例见解析.
【分析】（1）根据题干提供的运算特例的运算特点分别进行计算，再归纳可得：加乘运算
的运算法则；
（2）对于加乘运算的交换律， 可举例(-3)*(-5), (-5)*(-3),进行运算后再判断，对
于加乘运算的结合律，可举例[0*(-3)]*(-5), 0*[(-3)*(-5)], 进行运算后再判断即
可.
【详解】（1）解：根据加乘运算的运算法则可得：
(-2)*(-7)=+9；(+4)*(-3)=-7；0*(-5)=5．
归纳可得：两数进行*（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加．
特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，等于这个数的绝对值．
（2）解：加法的交换律仍然适用，
例如：(-3)*(-5)=8, (-5)*(-3)=8,
所以(-3)*(-5)=(-5)*(-3),
故加法的交换律仍然适用．
加法的结合律不适用，
例如：[0*(-3)]*(-5)=3*(-5)=-8,
0*[(-3)*(-5)]=0*(+8)=8,
所以[0*(-3)]*(-5)≠0*[(-3)*(-5)],
故加法的结合律不适用．
【点睛】本题考查的是新定义运算，同时考查的是有理数的加法运算，绝对值的含义，理
解新定义，归纳总结运算法则是解本题的关键.
题型八 定义新运算
例8 （2022秋·湖南长沙·七年级长沙麓山外国语实验中学校考阶段练习）定义一种新运算：
2x+ y 2×2+5 9
T(x,y)= ，其中x+ y≠0，比如：T(2,5)= = ，则
x+ y 2+5 7
T(1,2)+T(2,3)+⋯+T(100,101)+T(101,101)+T(101,100)+⋯+T(3,2)+T(2,1)的值
为 ．
603
【答案】
2
【分析】将各数代入计算，发现第一项和最后一项的值的和为3，第二项和倒数第二项的
和为3，据此分组计算即可．
4 7 301 303 302 8 5
【详解】解：原式= + +⋯+ + + +⋯+ +
3 5 201 202 201 5 3
(4 5) (7 8) (301 302) 303
= + + + +⋯+ + +
3 3 5 5 201 201 202
3
=3+3+⋯+3+
2603
=
2
603
故答案为： ．
2
【点睛】本题考查了有理数的加法及其运算律，发现各项之间的规律是解题的关键．
举一反三1 （2022秋·重庆沙坪坝·七年级重庆市第七中学校校考期中）若a，b都是有理
数，定义一种新运算“☆”，规定a☆b=(-a)+b，则(-2)☆4的值为 ．
【答案】6
【分析】根据新定义列式计算即可．
【详解】解：∵a☆b=(-a)+b，
∴(-2)☆4=2+4=6，
故答案为：6．
【点睛】此题考查了新定义计算，正确理解新定义的计算公式是解题的关键．
举一反三2 （2022秋·重庆·七年级西南大学附中校考期中）对有理数a、b定义新运算如
1 1 2
下：aΔb=-a+ ，则(3Δ )Δ(- )= ．
b 2 3
1
【答案】- /-0.5
2
1 1 1
【分析】根据aΔb=-a+ ，用3的相反数加上 的倒数，求出3Δ 的值，进而求出
b 2 2
1 2
(3Δ )Δ(- )
2 3
的值即可．
1
【详解】解：∵aΔb=-a+ ，
b
1
∴3Δ =-3+2=-1，
2
1 2 2 3 1
∴(3Δ )Δ(- )=(-1)Δ(- )=1+(- )=- ；
2 3 3 2 2
1
故答案为：- ；
2
【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，解答此题的关键是弄清楚运算“Δ”的运算
方法．一、单选题
1．（2023秋·重庆垫江·七年级统考期末）如果|x+1|=3，|y|=5，xy<0那么y-x的值是
（ ）
A．2或0 B．-2或0 C．-1或3 D．-7或9
【答案】D
【分析】根据绝对值的定义求出x,y的所有数值，然后根据xy<0，确定符合条件的数值，
最后代入y-x计算即可．
【详解】解：∵ |x+1|=3，|y|=5，
∴ x+1=±3，y=±5，
∴ x=2或-4，y=±5，
又∵ xy<0，
∴ x=2,y=-5或x=-4,y=5，
∴ y-x=-7或y-x=9．
故选D．
【点睛】本题考查了绝对值的定义、有理数的运算等知识点，熟练运用运算法则是解题关
键．
2．（2023秋·内蒙古呼伦贝尔·七年级校考期中）绝对值小于4的所有的整数的和是（ ）
A．10 B．0 C．6 D．-6
【答案】B
【分析】找出绝对值小于4的所有整数，将它们加起来即可．
【详解】解：绝对值小于4的所有的整数有：-1，-2，-3，0，1，2，3
∴-1+(-2)+(-3)+0+1+2+3=0．
故选：B．
【点睛】本题考查了绝对值及整数的概念，掌握绝对值及整数的概念是解题的关键．
3．（2023秋·辽宁锦州·七年级统考期末）我国是最早进行负数运算的国家，魏晋时期的数
学家刘徽在其著作《九章算术注》中，用不同颜色的算筹《小棍形状的记数工具）分别表
示正数和负数（白色为正，黑色为负），如图1表示的是(-13)+(+23)=10的计算过程，
则图2表示的计算过程是（ ）A．(+31)+(-43)=-12 B．(-31)+(+43)=12
C．(+13)+(+34)=47 D．(-13)+(+34)=-21
【答案】A
【分析】通过观察图1找到计算的过程与规律，类比图2即可得出答案．
【详解】解：根据题意可知：一横表示10，一竖表示1，
通过观察，可知图1和图2的计算过程相同，只是数值的不同，
∴图2中表示的计算过程是：(+31)+(-43)=-12，
故选：A．
【点睛】本题考查正数和负数，有理数的加法运算，解题关键能够类比题干中的信息从而
解决问题．
4．（2023秋·湖南娄底·七年级统考期末）在一条东西向的笔直马路上，小亮从点O出发，
沿箭头所指方向行走，两次行走的效果3用算式表示正确的是（ ）
A．(-3)+(-2) B．1+(-3) C．1+(-2) D．1+2
【答案】B
【分析】根据有理数的加法，即可求解．
【详解】解：根据题意得：若规定向东为正，
则两次行走的效果3用算式表示为1+(-3)．
故选：B
【点睛】本题主要考查了有理数的加法，利用数形结合思想解答是解题的关键．
5．（2023春·广东深圳·七年级统考期中）下表是某商行某商品的销售情况，该商品原价为
600元，由于市场变动，商行决定降价． 发现日销量y（单位：件）随降价x（单位：元）
的变化如下表所示，则空格处对应的日销量为（ ）
降价（元） 10 20 30 40 50 60 70日销量
700 740 780 860 900 940
（件）
A．850 B．810 C．820 D．40
【答案】C
【分析】根据表格数据发现规律求解即可．
【详解】解：根据表格得，每降价10元，日销量多加40，
∴空格处对应的日销量为：780+40=820，
故选：C．
【点睛】题目主要考查有理数加法的应用，理解题意是解题关键．
6．（2023秋·江苏盐城·七年级统考期末）下列各数中，与-5的和是正数的是（ ）
A．-2 B．0 C．4 D．6
【答案】D
【分析】根据有理数的加法法则进行计算即可．
【详解】A、-5+(-2)=-7<0，不符合题意；
B、-5+0=-5<0，不符合题意；
C、-5+4=-1<0，不符合题意；
D、-5+6=1>0，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则 是解决本题的关键．
7．（2023秋·广东佛山·七年级统考期末）在学习了《有理数及其运算》后，第一小组的同
学总结得出以下结论：①1是绝对值最小的正数；②一个数的绝对值越小，则在数轴上表
示这个数的点越靠左；③整数和分数统称为有理数；④若a+b<0，则a，b中至少有一个
是负数．其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．③④ D．①③④
【答案】C
【分析】根据绝对值的意义，有理数与数轴，有理数的定义，有理数的加减法法则，逐项
分析判断即可求解．
【详解】解：①1是绝对值最小的正整数，故①不正确；
②一个数的绝对值越小，则在数轴上表示这个数的点越靠近原点，故②错误；
③整数和分数统称为有理数，故③正确；
④若a+b<0，则a，b中至少有一个是负数，故④正确．
故选：C．【点睛】本题考查了绝对值的意义，有理数与数轴，有理数的定义，有理数的加减法法则，
掌握以上知识是解题的关键．
二、填空题
1．（2023春·青海海东·七年级统考期中）已知a的相反数是2，b的绝对值是5，则a+b的
值为 ．
【答案】3或-7
【分析】根据题意可求出a与b的值从而可求出答案．
【详解】解：由题意得a=-2，b=5或-5，
当a=-2，b=5时，a+b=-2+5=3；
当a=-2，b=-5时，a+b=-7．
所以a+b的值为3或-7，
故答案为：3或-7．
【点睛】本题考查有理数的运算，解题的关键是求出a与b的值，本题属于基础题型．
2．（2023春·广西北海·七年级统考期末）小慧家的冰箱冷冻室的温度为-3℃，调高了2℃
后的温度是 ℃．
【答案】-1
【分析】根据正负数的实际意义，利用有理数加法运算法则求解即可得到答案．
【详解】解：根据题意得：-3+2=-1，
冰箱冷冻室的温度为-3℃，调高了2℃后的温度是-1℃，
故答案为：-1．
【点睛】本题考查正负数的实际意义解决实际问题，掌握有理数加法运算法则是解决问题
的关键．
3．（2023秋·云南昭通·七年级统考期末）甲、乙、丙三地海拔高度分别为25米，-16米，
-10米，那么最高的地方比最低的地方高 米.
【答案】41
【分析】根据有理数的减法运算，可得两地的距离差再用最大数减最小数，可得最高的地
方比最低的地方高多少米；
【详解】25-(-16)=41 (米)
故答案为：41
【点睛】本题考查了有理数的减法，减一个数等于加这个数的相反数．
4．（2023秋·山东临沂·七年级统考期末）如图的数轴上表示整数的点部分被墨迹盖住，那
么被盖住的点表示整数的和为 ．【答案】1
【分析】先求被盖住的整数，再求它们的和．
【详解】解：被盖住的点表示整数有：-4，-3，-2，1，2，3，4，
∴-4-3-2+1+2+3+4=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了数轴，有理数的加法运算，求出相应整数是解题的关键．
5．（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）“幻方”最早源于我国，古人称之为纵横图．
如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为
．
【答案】-2
【分析】先计算出行的和，得各行各列以及对角线上的三个数字之和均为-6，则
-7+a+3=-6，即可得．
【详解】解：∵0+(-1)+(-5)=-6，
∴-7+a+3=-6，
解得：a=-2，
故答案为：-2．
【点睛】本题考查了有理数的加减，解题的关键是理解题意和掌握有理数加减运算的法则．
6．（2023秋·浙江金华·七年级统考期末）如图是同一时刻莫斯科与中国北京的时差时间，
则当莫斯科时间为17:08时，北京时间为 ．
【答案】22：08
【分析】根据同一时刻莫斯科与中国北京的时差时间是5小时，即可求解．【详解】如图可知：
同一时刻莫斯科与中国北京的中时差时间是5小时
所以当莫斯科时间为17:08时，北京时间为22:08
故答案为：22:08
【点睛】本题考查有理数的加法，解题的关键是能够读懂图片的含义．
7．（2023秋·全国·七年级专题练习）已知a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对
值最小的有理数，则a、b、c三数的和为 ．
【答案】0
【分析】根据最小正整数的定义、负整数的定义和绝对值的非负性即可求出a、b、c的值，
从而求出结论．
【详解】解：∵最小正整数是1，最大的负整数是﹣1，绝对值最小的有理数是0，
∴a+b+c＝1+（﹣1）+0＝0，
故答案为：0．
【点睛】此题考查的是有理数的相关概念及性质和有理数的加法运算，掌握最小正整数的
定义、负整数的定义、绝对值的非负性和有理数的加法法则是解题关键．
三、解答题
1．（2022秋·湖南岳阳·七年级统考期末）计算：
1 (1 2) (1 2 3) ( 1 2 58 59)
+ + + + + +⋯+ + +⋯+ +
2 3 3 4 4 4 60 60 60 60
【答案】885
【分析】原式整理结合后，计算即可得到结果．
1 (1 2) (1 2 3) ( 1 2 58 59)
【详解】解：设S= + + + + + +⋯+ + +⋯+ + ，
2 3 3 4 4 4 60 60 60 60
1 (2 1) (3 2 1) (59 58 2 1 )
则S= + + + + + +⋯+ + +⋯+ + ，
2 3 3 4 4 4 60 60 60 60
59×(1+59)
上下两式相加得2S=1+2+3+⋯+59= =1770，
2
所以S=885，1 (1 2) (1 2 3) ( 1 2 58 59)
即 + + + + + +⋯+ + +⋯+ + =885
2 3 3 4 4 4 60 60 60 60
【点睛】本题主要考查了有理数的加法，正确运用倒序相加法是解答本题常用方法．
( 5) ( 2) 3 ( 1)
2．（2022秋·湖南邵阳·七年级统考期中）阅读：对于 -5 + -9 +17 + -3 ，
6 3 4 2
可以按如下方法计算：
[ 5 ] [ 2 ] 3 [ 1 ]
原式＝ (-5)+(- ) + (-9)+(- ) +(17+ )+ -3+(- )
6 3 4 2
[ 5 2 1 3]
＝[(-5)+(-9)+17+(-3)]+ (- )+(- )+(- )+
6 3 2 4
( 1) 1
＝0+ -1 =-1 ．
4 4
上面这种方法叫拆项法．
( 7 ) ( 5) ( 1)
仿照上面的方法，请你计算： -2022 + -2021 + -1 +4044．
24 8 6
1
【答案】-1 ．
12
【分析】根据例题将各带分数拆解，将整数和分数分别相加，再计算加法即可．
( 7 ) ( 5) ( 1)
【详解】解： -2022 + -2021 + -1 +4044
24 8 6
[ ( 7 )] [ ( 5)] [ ( 1)]
= (-2022)+ - + (-2021)+ - + (-1)+ - +4044
24 8 6
[( 7 ) ( 5) ( 1)]
=[(-2022)+(-2021)+(-1)+4044]+ - + - + -
24 8 6
( 13)
=0+ -
12
1
=-1 ．
12【点睛】此题考查了有理数的加法计算，正确理解例题的解题方法并仿照解决问题是解题
的关键．
3．（2023秋·浙江宁波·七年级统考期末）某志愿者驾驶汽车在东西走向的道路上来回的运
输防疫物资．若约定向东行驶记为正，已知某天他从道路上的A地出发到运输物资结束的
行驶记录如下（单位：千米）；
＋12，－3，＋5，－2，－6，－10．
(1)运输物资结束时，汽车停在A地哪一边，距离A地多远？
(2)若汽车的耗油量为0.1升每千米，求这天汽车运输物资耗油多少升？
【答案】(1)A地西面，离A地4千米
(2)3.8升
【分析】(1)计算各里程的和，正表示在东，负表示在西，绝对值表示距离．
(2)计算各里程的绝对值的和，计算出耗油量较即可．
【详解】（1）∵12-3+5-2-6-10=-4,|-4|=4，
∴运输物资结束时，他在A地的西面，离A地有4千米．
（2）∵|+12|+|-3|+|+5|+|-2|+|-6|+|-10|=38千米，
∴耗油量为：38×0.1=3.8（升）．
【点睛】本题考查了有理数的应用，熟练掌握有理数的加减混合运算法则是解题的关键．
4．（2023秋·江西宜春·七年级统考期末）已知：有理数a，b满足ab≠0，则求
|a| |b|
+ 的值
a b
|a| |b|
【答案】 + 的值为2，-2，0
a b
【分析】分a、b同号与a、b异号两种情况，根据绝对值的意义和有理数的加法法则解答
即可．
【详解】解：∵ab≠0，
∴a≠0，b≠0，
若a、b同号，
|a| |b|
当a＞0，b＞0时， + =1+1=2；
a b
|a| |b|
当a＜0，b＜0时， + =-1+(-1)=-2；
a b若a、b异号，
|a| |b|
当a＞0，b＜0时， + =1+(-1)=0；
a b
|a| |b|
当a＜0，b＞0时， + =-1+1=0；
a b
|a| |b|
综上分析可知， + 的值为2，-2，0．
a b
【点睛】本题主要考查了有理数的绝对值和有理数的加法运算，属于常考题型，全面分类、
掌握解答的方法是解题关键．
5．（2023春·吉林长春·七年级统考期末）我们知道，分类讨论思想在数学中是非常重要的
数学思想．请同学们阅读下面试题并把解题过程补充完整：
已知若|x|＝2，|y|＝5，且x＜0，则求x+y的值．
解：因为|x|＝2，|y|＝5．
所以x＝±2，y＝±5．
因为x＜0
所以x＝ ．
所以当x＝ ，y＝ ，x+y＝ ；
当x＝ ，y＝ ，x+y＝ ．
【答案】-2,-2,5,3,-2,-5,-7
【分析】由绝对值的含义先求解x,y的值，再根据x＜0，可得x=-2, 再分两种情况讨论
即可．
【详解】解：因为|x|＝2，|y|＝5．
所以x＝±2，y＝±5．
因为x＜0
所以x＝-2 ．
所以当x＝-2 ，y＝5，x+y＝3；
当x＝-2，y＝-5，x+y＝-7．
【点睛】本题考查的是绝对值的含义，绝对值方程的应用，有理数的加法运算，清晰的分
类讨论是解本题的关键．
