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专题4.25 余角和补角（基础篇）（专项练习）
一、单选题
1．若∠A＝23°，则∠A余角的大小是（ ）
A．57° B．67° C．77° D．157°
2．下列图形中 和 互为余角的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图∠BCA=90，CD⊥AB，则图中互余的角有（ ）对.
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图， 与 互余， 与 互补， 平分 ，则
的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．设两个互余的锐角分别为 和 ，（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
6．如图，点C、O、B在同一条直线上，∠AOB=90°，∠AOE=∠DOB，则下列结论：
①∠EOD=90°；②∠COE=∠AOD；③∠COE=∠DOB；④∠COE+∠BOD=90°．其中正确的
个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
7．将一副三角板按如图所示位置摆放，其中 与 一定互余的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图 ，垂足为D， ，下列结论正确的有（ ）
（1） ；（2） ；（3） 与 互余；；（4）
与 互补．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．下列说法正确的是（ ）
（1）如果互余的两个角的度数之比为 ，那么这两个角分别为 和
（2）如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角不一定相等
（3）如果两个角的度数分别是 和 ，那么这两个角互余
（4）一个锐角的余角比这个锐角的补角小
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
10．如图，C、D在线段BE上，下列说法：①直线CD上以B、C、D、E为端点的线段共有6条；②图中有4对互补的角；③若∠BAE=110°，∠DAC=40°，则以A为顶点的所
有小于平角的角的度数和为370°；④若BC=4，CD=DE=5，点F是线段BE上任意一点
（包含端点），则点F到点B、C、D、E的距离之和最大值为27，最小值为15，其中正确
的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．若一个角的余角为35°，则它的补角度数为 ______．
12．已知 与 互为补角，且 ，则 ______．
13．如图所示， ，点B，O，D在同一直线上，若 ，则 的度数
为______．
14．将一副三角板按如图方式摆放在一起，且 比 大 ，则 的度数等于
__________．
15．已知如图：直线AB和CD相交于点O，若 AOD=5 AOC，则BOC=___________．
16．将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若 ，则
_________．
17．如图，在正方形ABCD中，E为DC边上一点，沿线段BE对折后，若 比
大18°，则 的度数是___________________度．
18．如图，将三个边长相同的正方形的一个顶点重合放置，已知 ， ，
则 ______度．
三、解答题
19．已知一个角的余角比这个角的补角的 小 ，求这个角的余角和补角的度数．20．完成推理过程：
已知：OA⊥OC，OE⊥OD，求证∠1＝∠2．
证明：
∵OA⊥OC，OE⊥OD（已知）
∴∠AOC＝______º，∠DOE＝______º（垂直定义）
∴∠1＋∠3＝90º
∠2＋∠3＝90º
∴∠1＝∠2（ ）
21．如图所示，将两块三角尺的直角顶点重合．
（1）写出以C为顶点的相等的角；
（2）若 ，求 的度数；
（3）写出 与 之间所具有的数量关系；
（4）当三角尺 不动，将三角尺 的EC边与AC边重合，然后绕点C按顺时针
或逆时针方向任意转动一个角度，当 （ ）等于多少度时，这两块三
角尺各有一条边互相垂直，直接写出 角度的所有可能值，不用说明理由．22．如图1，已知锐角∠AOB，把一个三角尺的直角顶点与点O重合，一条直角边和
OA重合，沿另一条直角边画射线OD，再用量角器画出∠BOD的平分线OC，此时，
∠AOC与∠BOC互余．
(1) 请你用所学知识说明∠AOC与∠BOC互余；
(2) 请你仿照上面互为余角的画法，在图2中画出一个∠AOH，使∠AOH与∠BOH互
补，并简要说明画图方法．
23．已知 为直线 上的一点， 是直角， 平分 ．
（1）如图1，若 ，则 ；
（2）当射线 绕点 逆时针旋转到如图2的位置时， 与 之间有何数量
关系？请说明理由．
（3）在图3中，若 ，在 的内部是否存在一条射线 ，使得
？若存在，请求出 的度数；若不存在，请说明理
由．24．如图1，A、O、B三点在同一直线上，∠BOD与∠BOC互补．
（1）请判断∠AOC与∠BOD大小关系，并验证你的结论；
（2）如图2，若OM平分∠AOC，ON平分∠AOD，∠BOD＝30°，请求出∠MON的
度数．参考答案
1．B
【分析】根据∠A的余角是90°﹣∠A，代入求出即可．
解：∵∠A＝23°，
∴∠A的余角是90°﹣23°＝67°．
故选：B．
【点拨】本题考查了余角的定义，注意：如果∠A和∠B互为余角，那么∠A=90°-
∠B．
2．D
【分析】根据余角、补角的定义计算．
解：根据余角的定义，两角之和为90°，这两个角互余．
D中∠1和∠2之和为90°，互为余角．
故选D．
【点拨】本题考查了余角和补角的定义，根据余角的定义来判断，记住两角之和为
90°，与两角位置无关．
3．D
【分析】根据互余的定义，结合图形进行判断．
解：∵∠BCA=90，CD⊥AB，
∴互余的角有：∠A与∠B，∠A与∠ACD，∠ACD与∠BCD，∠BCD与∠B，共4
对．
故选D．
【点拨】考查的互余的知识，注意掌握互余的定义和等量代换是解题的关键．
4．B
【分析】根据已知条件得到∠BOD=∠AOD-∠AOB=90°，根据角平分线的定义得到
∠BOC=45°，根据角的和差即可得到结论．解：∵∠AOB与∠AOC互余，∠AOD与∠AOC互补，
∴∠AOB=90°-∠AOC，∠AOD=180°-∠AOC，
∴∠BOD=∠AOD-∠AOB=90°，
∵OC平分∠BOD，
∴∠BOC=45°，
∴∠AOC=45°+∠AOB，
∴∠AOB=90°-∠AOC=90°-（45°+∠AOB），
∴∠AOB=22.5°，
故选B．
【点拨】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，利用了互余的定义，角平分线的
定义，角的和差．
5．D
【分析】根据余角的性质及各选项的已知条件求出 ，即可得出答案．
解：A．若 ，∵ ，∴ ，则 ，
故此选项错误，不符合题意；
B．若 ，∵ ，∴ ，则 ，故
此选项错误，不符合题意；
C．若 ，∵ ，∴ ，则 ，故
此选项错误，不符合题意；
D．若 ，∵ ，∴ ，则 ，故
此选项正确，符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查了余角的性质，熟练掌握余角的性质是解题的关键．
6．C
解：点C、O、B在同一条直线上，
∴∠BOC =180°
∵∠AOB=90°，
∴∠AOD+∠BOD=90°，∠AOC=90°，
∵∠AOE=∠DOB∴∠AOE+∠AOD=90°，即∠EOD=90°
∴∠COE=∠AOD，∠COE+∠BOD=90°
∴①②④正确．
故选C．
【点拨】本题考查了余角的性质，解题关键是明确同角的余角相等．
7．C
【分析】根据余角：若两角和为90°则两角互余；计算判断即可；
解：A．两角不一定互余，选项错误，不符合题意；
B． =45°， =30°，两角不互余，选项错误，不符合题意；
C． + =180°-90°=90°，两角互余，选项正确，符合题意；
D． + =180°，两角互补，选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了余角的定义，掌握互余的两角和是90°是解题关键．
8．C
【分析】根据余角和补角的性质即可得到结论；
解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故（1）正确；
同理可得 ，故（2）正确；
∵ ，
∴ 与 互余，故（3）正确；
∵ ＜ ，
∴ ＜ ，
∴ 与 不互补，故（4）错误；
故答案选C．
【点拨】本题主要考查了余角和补角的知识点，准确分析判断是解题的关键．
9．B
【分析】（1）根据互余的两个角和为90°解题；
（2）根据等角的补角相等解题；（3）将两个角相加，判断和是否等于90°即可解题；
（4）设这个角为x，分别解得这个角的余角和补角，再求差即可．
解：（1）如果互余的两个角的度数之比为 ，则这两个角分别为
，故（1）错误；
（2）根据等角的补角相等，故（2）错误；
（3） ，
与 互余，
故（3）正确；
（4）设一个角为x，则它的余角为 ，它的补角为 ，
故（4）正确，
故正确的有（3）（4），共2个，
故选：B．
【点拨】本题考查余角、补角、互余、等角的补角相等等知识，是基础考点，难度较
易，掌握相关知识是解题关键．
10．B
【分析】①按照一定的顺序输出线段的条数即可判断；②根据补角的定义即可判断；
③根据角的和差计算机可判断；④分两种情况讨论：当点F在线段CD上最小，当点F和E
重合最大计算即可判断．
解：①以B、C、D、E为端点的线段BC、BD、BE、CE、CD、DE共6条，故本选项
正确；
②图中互补的角就是分别以C、D为顶点的两对邻补角，即∠BCA和∠ACD互补，
∠ADE和∠ADC互补，故本选项错误；
③由∠BAE=100°，∠CAD=40°，根据图形可以求出
∠BAC+∠DAE+∠DAC+∠BAE+∠BAD+∠CAE=110°+110°+110°+40°=370°，故选项正确；
④当F在的线段CD上最小，则点F到点B、C、D、E的距离之和为
FB+FE+FD+FC=4+5+5+5=19，当F和E重合最大则点F到点B、C、D、E的距离之和
FB+FE+FD+FC=14+0+5+10=25，故本选项错误．
故选B．【点拨】本题考查线段、角的和差、补角及角的计算，难度不大，解题的关键是熟练
掌握有关知识点．
11．125°##125度
【分析】若两个角的和为 则这两个角互余，若两个角的和为 则这两个角互
补，根据定义直接可得答案.
解： 一个角的余角为35°，
这个角为：
则它的补角度数为：
故答案为：
【点拨】本题考查的是余角与补角的计算，掌握“余角与补角的含义”是解本题的关
键.
12．
【分析】根据题意可得 ，即可求解．
解：∵ 与 互为补角，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：
【点拨】本题主要考查了补角的定义，熟练掌握互补的两角的和为 是解题的关
键．
13．116°
【分析】由图示可得，∠1与∠BOC互余，结合已知可求∠BOC，又因为∠2与
∠COB互补，即可求出∠2的度数．
解：∵ ，∠AOC＝90°，
∴∠BOC＝64°，
∵∠2＋∠BOC＝180°，
∴∠2＝116°．
故答案为：116°．
【点拨】此题考查了余角和补角的知识，属于基础题，关键是掌握互余的两角之和为90°，互补的两角之和为180°．
14．
【分析】设出未知数：∠2＝x，则∠1＝x＋20°，根据∠1和∠2的互余关系列出方程，
解方程即可．
解：设∠2为x，则∠1＝x＋20°；
根据题意得：
x＋x＋20°＝90°，解得：x＝35°，
则∠1＝35°＋20°＝55°；
故答案为：55°．
【点拨】本题考查了余角的定义；关键是设出未知数找出等量关系列方程．
15．150
解：由图可以看出，∠AOD与∠BOC为对顶角，所以∠AOD=∠BOC，又因为
∠AOD与∠AOC互补，且∠AOD=5∠AOC，所以∠AOC=30°，∠AOD=150°，
则∠BOC=150°.
16．
【分析】由∠AOB=∠COD=90°，∠AOC=∠BOD，进而∠AOC=∠BOD=108°-
90°=18°，由此能求出∠BOC．
解： ∠AOB=∠COD=90°，
∠AOC=∠BOD， 又∠AOD=108°，
∠AOC=∠BOD=108°-90°=18°，
∠BOC=90°-18°=72°．
故答案为： ．
【点拨】本题考查的是角的和差，两锐角的互余，掌握以上知识是解题的关键．
17．24
【分析】根据折叠角相等和正方形各内角为直角的性质即可求得∠EBF的度数．
解：∵∠FBE是∠CBE折叠形成，
∴∠FBE=∠CBE，
∵∠ABF-∠EBF=18°，∠ABF+∠EBF+∠CBE=90°，
∴∠EBF+18°+∠EBF+∠EBF+=90°，
∴∠EBF=∠EBC= 24°，
故答案为：24．【点拨】本题考查了折叠的性质，考查了正方形各内角为直角的性质，本题中求得
∠FBE=∠CBE是解题的关键．
18．20
【分析】根据∠3=∠BOD+∠EOC-∠BOE，利用正方形的角都是直角，即可求得∠BOD
和∠EOC的度数从而求解．
解：∵∠BOD=90°-∠2=58°，
∠EOC=90°-∠1=90°-38°=52°，
又∵∠3=∠BOD+∠EOC-∠BOE，
∴∠3=58°+52°-90°=20°．
故答案为：20．
【点拨】本题主要考查了正方形的性质，角度的计算，正确理解∠3=∠BOD+EOC-
∠BOE这一关系是解决本题的关键．
19．这个角的余角为 ，补角为 .
【分析】互补的两角的和为 ，互余的两角和为 ，设这个角为 ，则这个
角余角为 ，这个角的补角为 ，然后列方程求解即可．
解：设这个角为 ，则这个角余角为 ，这个角的补角为 ．
根据题意得； ．
解得 ．
，
．
答：这个角的余角为 ，补角为 .
故答案为这个角的余角为 ，补角为 .【点拨】本题考查余角和补角的定义，根据题意列出关于x的方程是解题的关键．
20．90，90，同角的余角相等
【分析】由垂直的定义，得到∠AOC＝90º，∠DOE＝90º，然后同角的余角相等，即
可得到∠1＝∠2．
解：证明：∵OA⊥OC，OE⊥OD（已知）
∴∠AOC＝90º，∠DOE＝90º（垂直定义）
∴∠1＋∠3＝90º
∠2＋∠3＝90º
∴∠1＝∠2（同角的余角相等）；
故答案为：90，90，同角的余角相等；
【点拨】本题考查了垂直的定义，同角的余角相等，解题的关键是熟练掌握所学的知
识，正确的进行证明．
21．（1） ；（2）30°；（3）互补；（4） 的所有可能值为 ，
， ， ．
【分析】（1）根据余角的定义即可得到结论；
（2）根据角的和差即可得到结论；
（3）根据补角的定义即可得到结论．
（4）分四种情况分类讨论，①当CE⊥AD时，②当EB⊥CD时，③当BE⊥AD时，④当
CB⊥AD时，再画出符合题意的图形，从而可得答案.
解：（1） ， ，根据同角的余角相等得：∠
，
由直角可得， ；
（2） ， ；
（3） ，
则 与 互补；
（4）当CE⊥AD时，∠ACE=180°-90°-∠A=180°-90°-60°=30°；
当EB⊥CD时，∠E=∠ECD=45°，∴∠ACE=∠ACD-∠ECD=45°，
当BE⊥AD时，∠CFB=∠DFE=180°-90°-30°=60°，
∴∠BCD=180°-∠B-∠CFB=75°，
∴∠ACE=∠BCD=75°；
当CB⊥AD时，∠ACB=180°-90°-∠A=30°，
∴∠ACE=90°-∠ACB=60°；
即∠ACE角度所有可能的值为：30°、45°、60°、75°．
【点拨】本题考查了余角和补角，关键是熟练掌握余角的性质，角的和差关系．
22．(1)见分析(2)见分析
【分析】（1）根据角平分线的定义和余角的性质即可得到结论；
（2）延长AO，作∠BOC的角平分线OH，即可得到结论．
（1）解：∵OC平分∠BOD，
∴∠BOC=∠DOC，
∵∠AOD=90°，
∴∠COD+∠AOC=90°，
∴∠BOC+∠AOC=90°，
即∠AOC与∠BOC互为余角；（2）解：如图2中，延长AO至C，作∠BOC的角平分线OH，射线OH即为所求．
∵OH平分∠BOC，
∴∠BOH=∠COH，
∵∠AOC=180°，
∴∠AOH+∠COH=1800°，
∴∠AOH+∠BOH=180°，
即∠AOH与∠BOH互为互补．
【点拨】本题考查余角与补角，角平分线的定义，解题的关键是掌握角平分线的定义．
23．（1）56°；（2）∠BOE＝2∠COF，理由见分析；（3）存在，16°
【分析】（1）首先根据 ， 是直角，求出∠EOF＝62°，然后根据
平分 求出∠AOE＝124°，最后根据平角的性质即可求出 的度数；
（2）首先根据 是直角， 平分 表示出∠AOE＝180°﹣2∠COF，然后
根据平角的性质即可得到 与 之间的数量关系；
（3）首先根据 是直角， 平分 求出∠EOF＝25°，∠BOE＝130°，然
后代入 求解即可．
解：（1）∵∠COF＝28°，∠COE＝90°，
∴∠EOF＝90°﹣28°＝62°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE＝2∠EOF＝124°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝56°；
（2）结论：∠BOE＝2∠COF；
理由如下：
∵∠COE＝90°，
∴∠EOF＝90°﹣∠COF，∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE＝2∠EOF＝180°﹣2∠COF，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣（180°﹣2∠COF）＝2∠COF；
（3）存在；
∵∠COF＝65°，∠COE＝90°，
∠EOF＝25°，
∵OF平分∠AOE，∴∠AOF＝∠EOF＝25°，
∴∠BOE＝130°，
∵2∠BOD+∠AOF＝ （∠BOE﹣∠BOD），
即2∠BOD+25°＝ （130°﹣∠BOD），解得∠BOD＝16°．
【点拨】此题考查了角平分线的有关运算，平角和直角的性质，解题的关键是正确分
析图形中各角之间的关系．
24．（1）∠AOC＝∠BOD，证明见分析；（2）60°
【分析】（1）根据补角的性质即可求解；
（2）根据角平分线的定义以及等量关系列出方程求解即可．
解：（1）∠AOC＝∠BOD，理由如下：
∵A，O，B三点共线，
∴∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠AOC与∠BOC互补，
∵∠BOD与∠BOC互补，
∴∠AOC＝∠BOD；
（2）∵∠BOD＝30°，
∴∠AOC＝∠BOD＝30°，
∵OM平分∠AOC，
∴ ，
∵∠AOD+∠BOD＝180°，
∴∠AOD＝180°﹣30°＝150°，
∵ON平分∠AOD，
∴ ，∴∠MON＝∠AON﹣∠AOM＝60°．
【点拨】本题考查的是角的有关计算和角平分线的定义，正确理解并灵活运用角平分
线的定义是解题的关键．
