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4.3.3余角和补角 导学案
课题 4.3.3余角和补角 单元 第4单元 学科 数学 年级 七年级
（上）
本节是继“角”及“角的比较和运算”之后的内容，是进一步认识角，并认识互为余
教 材 角、互为补角之间的关系，并为寻找角之间的数量关系打下基础.同时也为以后的学习做好
分析 铺垫. 从知识的准备上，学生已认识了角，有了这个基础，对于本节认识做好了铺垫；从
应用上，学生经常找角的数量关系，应用价值很大.
核 心
通过余角、补角性质的探索，渗透从特殊到一般、类比、化归的数学思想方法，进一步提
素 养
高学生的抽象概括能力，发展空间观念和知识运用能力，学会简单的逻辑推理，并能对问
分析
题的结论进行合理的猜想.
1、理解余角、补角的意义及其性质.
学习 2、初步掌握图形语言与符号语言之间的相互转化.
目标
3、运用余角、补角的性质解决一些简单的问题.
重点 认识角的互余、互补关系及其性质.
难点 通过简单的推理，归纳出余角、补角的性质，用规范的语言描述性质.
教学过程
课前预学 引入思考
比萨斜塔建于1173年，工程曾间断了两次，历经约二百年才完工，设计为垂直建
造，但是在工程开始后不久便由于地基不均匀和土层松软而倾斜，你知道比萨斜塔倾
斜多少度角吗？它现在与地面成多少度角？
倾斜了约3.97°.
它现在与地面成的夹角约是86.03°.
这两个角之和是多少?
问题1：如图，将三角板（尺）的直角顶点放在直线 上，绕该顶点在同一平面
内转动三角板问∠1与∠2的和是否会发生变化？试一试：判断
①32°与58°互为余角。（ ）
②∠1＋∠2 ＋∠3= 90°，
则∠1、∠2 、∠3 互为余角。（ ）
③两个锐角一定互为余角。（ ）
问题2：你能类比互为余角的定义得到互为补角的定义吗？
如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为 .
如图，可以说 ∠3 是 ∠4 的补角，或 ∠4是 ∠3 的补角，或 ∠3 和
∠4 互补.
如果两个角的和等于180º(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角
是另一个角的 .
∵ ∠3+∠4=180°
∴∠3与∠4互为补角
∵∠3与∠4互为补角
∴ ∠3+∠4=180°
问题3：∠1和∠2互余，∠1也与∠3互余，请问∠2与∠3是什么关系？
问题4：若∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，
如果∠1=∠3，那么∠2和∠4相等吗？性质：同角 (等角) 的余角 .
问题5：对于补角是否也有类似性质？
性质：同角 (等角) 的补角 .
新知讲解
提炼概念
典例精讲
例3 如图，点 A，O， B在同一条直线 上，射线 OD和射线 OE分别平分∠AOC和
∠BOC， 图中哪些角互为余角？
知识：方位角
1.定义：以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，即正北、正南方
向与物体运动方向的夹角为方位角．注意事项：方位角在叙述时，一般先说南北，后说东西，
如南偏东30°.但与南北方向夹角为45°时，常简称为东北、东南、西
北、西南，如南偏东45°，即为东南方向．
如何表示在甲地观察乙地的方位角？
1.先找到观测点，然后画出 ；
2.把观测点和被观测点用 连接起来；
3.度量正北或正南方向的射线和视线之间的角度，就是所求 了。
例4 如图，货轮O在航行过程中,发现灯塔A在它南偏东60º的方向上.同时,在它北偏
东40º、南偏西10º、西北(即北偏西45º)方向上又分别发现了客轮B、货轮C和海岛D.
仿照表示灯塔方位的方法，画出表示客轮B、货轮C和海岛D方向的射线.
课堂练习 巩固训练
1.如图所示，∠AOB＝∠COD＝90°，那么∠AOC＝∠BOD，这是根据( ) A．直
角都相等 B．同角的余角相等
C．同角的补角相等 D．互为余角的两个角相等
2.如图所示，点O在直线AE上，OB平分∠AOC，∠BOD＝90°，则∠DOE和∠COB
的关系是( )
A．互余 B．互补 C．相等 D．和是钝角3. 如图，下面说法中不正确的是( )
A．射线OA表示北偏东30°
B．射线OB表示西北方向
C．射线OC表示西偏南80°
D．射线OD表示南偏东70°
4. 一个角的补角比它的余角的3倍小20°，求这个角的度数．
5. 如图，D是直线EF上一点，∠CDE＝90°，∠1＝∠2，哪些角互为余角？哪些角互
为补角？
答案
引入思考
问题1
如果两个角的和等于90º(直角)，就说这两个角互为余角，即其中每一个角是另一
个角的余角.∵ ∠1+∠2=90°
∴∠1与∠2互为余角
∵∠1与∠2互为余角
∴ ∠1+∠2=90°
试一试：
√,×,×
问题2 如果两个角的和等于180°(平角)，就说
这两个角互为补角( 简称为两个角互补 ).
如图，可以说 ∠3 是 ∠4 的补角，或 ∠4是 ∠3 的补角，或 ∠3 和
∠4 互补.
如果两个角的和等于180º(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角
是另一个角的补角.
∵ ∠3+∠4=180°
∴∠3与∠4互为补角
∵∠3与∠4互为补角
∴ ∠3+∠4=180°
问题3
解：因为∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°
所以∠2=90°-∠1，∠3=90°-∠1
所以∠2=∠3
问题5
解：∠2与∠4相等
因为∠1=∠3,
所以90°-∠1=90°-∠3
所以∠2=∠4
性质：同角 (等角) 的余角相等.
问题5：对于补角是否也有类似性质？性质：同角 (等角) 的补角相等.
提炼概念
典例精讲
例3 解：因为点A，O， B在同一条直线上，
所以 ∠AOC和∠BOC互为补角.
又因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC， 所以∠COD+∠COE=
∠AOC+ ∠BOC = (∠AOC+∠BOC)= 90°.
所以，∠COD和∠COE互为余角，
同理，∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE，∠COD和∠BOE也互为余角.
例4
画法:以点O为顶点,表示正北方向的射线为角的一边，画40°的角，使它的另一边OB
落在东和北之间.射线OB的方向就是北偏东40°，即客轮B所在的方向.同理，可以画
出表示货轮C和海岛D方向的射线.
巩固训练
1.B
2.A
3. C
4. 解：设这个角的度数为x°.由题意，得180－x＝3(90－x)－20，
解得x＝35.
答：这个角的度数为35°.
5.
解：∠1与∠ADC，∠1与∠BDC，∠2与∠BDC，∠2与∠ADC互为余角；
∠1与∠ADF，∠2与∠ADF，∠2与∠BDE，∠1与∠BDE，∠EDC与∠FDC互为补
角．
课堂小结
