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第二章 有理数的运算（单元重点综合测试）
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．济南市气象台提供数据显示，2024年2月10日（正月初一），甲辰龙年春节，济南市区最高气温为
，最低气温为 ，那么该地区这天的最低气温比最高气温低（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了有理数的减法．用最高温度减去最低温度，再利用减去一个数等于加上这个数的相反
数进行计算即可得解．
【详解】解： ，
故选：A．
2．下列运算结果为负数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查有理数的加减法法则、有理数的乘除法法则，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键．
根据有理数的加减法法则、有理数的乘除法法则进行逐一判断即可．
【详解】解：A、 ，故符合题意；
B、 ，故不符合题意；
C、 ，故不符合题意；
D、 ，故不符合题意；
故选：A．
3． 年 月 日记者获悉，我国天文学家成功绘制了有史以来观测范围最广且精度最高的仙女星系旋转曲线，并计算得到仙女星系质量约为太阳的 万亿倍．数据“ 万亿”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，
为整数即可求解，解题的关键要正确确定 的值以及 的值．
【详解】 万亿 ，
故选： ．
4． 表示（ ）
A．6个 相乘的积 B． 乘以6的积 C． 个6相乘的积 D．6与 相
乘的积
【答案】A
【分析】本题考查了有理数的乘法的意义，了解乘方的意义是解答本题的关键，难度不大．
根据乘方的意义直接回答即可．
【详解】根据乘方的意义知： 表示6个 相乘的积，
故选A．
5．如图，点 、 在数轴上，表示的数分别为 和 ，则 、 两点之间距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查两点间的距离，熟练掌握数轴上两点间距离的计算方法是解题的关键．
根据两点间的距离公式可得答案．
【详解】解：∵数轴上 ， 两点表示的数分别为 和 ，
∴ ， 两点之间的距离为 ．
故选C．
6．下列式子计算正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的混合运算法则逐项判断即可得出答案，准确熟练地
进行计算是解题的关键．
【详解】解：A、 ，故A不符合题意；
B、 ，故B不符合题意；
C、 ，故C符合题意；
D、 ，故D不符合题意；
故选：C．
7．在 中，用到的乘法运算律是
（ ）
A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．乘法分配律的逆运算．
【答案】B
【分析】本题主要考查了乘法结合律，熟记运算律是解题的关键．根据乘法交换律和结合律进行分析即可．
【详解】解： 可得是运用了乘法结合律．
故选：B．
8．如图，已知a，b是数轴上的两个数，下列不正确的式子是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了根据数轴上点的位置判定式子符号，由数轴上点的位置得到a，b之间的大小关系是解题的关键．由数轴得到 ， ， ，根据有理数的加减法，乘除法运算规则即可得解．
【详解】解：由数轴图可知， ， ， ，
A、 ，选项正确，不符合题意；
B、 ，选项正确，不符合题意；
C、 ，选项正确，不符合题意；
D、 ，选项错误，符合题意．
故选：D．
9．有一列数 ，其中 ，则
（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】本题考查了数字规律的探索，含乘方的有理数计算，根据已知分别求出 的值，可以发
现结果为 ， ， ， ， ， ，每三个一循环，根据 即可得出结果．
【详解】解： ， ， ， ，
这列数是 ， ， ， ， ， ，且这列数是每三个一循环的，
， ，
，
故选：A．
10．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一
位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．如图1，孩子出生后的天数是 （天），那么图2所表示孩子出生后的天数是（ ）
A．1234天 B．466天 C．396天 D．284天
【答案】B
【分析】本题考查有理数混合运算的应用，理解题意，根据题中计算方法列式计算即可．
【详解】解：由题意，图2所表示孩子出生后的天数是
（天），
故选：B
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11． 的倒数是 ，比较大小： ．（填上“＞”或“＜”或“＝”）
【答案】 ＜
【分析】此题主要考查了倒数以及有理数大小比较的方法，倒数：乘积是1的两数互为倒数；有理数大小
比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而
小，据此判断即可．
【详解】解： 的倒数是 ；
， ，而 ，
．
故答案为： ； ．
12．计算： ， ， ．
【答案】 4 /
【分析】本题考查了去括号法则、有理数的乘方运算，根据有理数的乘方法则、去括号法则计算即可，熟记相关法则，正确计算出结果是解题的关键．
【详解】解： ； ； ；
故答案为： ，4， ．
13．已知 为正整数，计算 的结果是 ；
【答案】2
【分析】本题考查有理数的乘方，根据有理数乘方运算法则进行计算即可．
【详解】解：
，
故答案为：2．
14．如图是一个简单的数值运算程序图，当输入 的值为 时，输出的数值为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的
代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种： 已知条件不化简，所给代数式化简； 已
知条件化简，所给代数式不化简； 已知条件和所给代数式都①要化简． ②
【详解】解：当输入 的值为 时③，输出的数值为：
．
故答案为： ．
15．“二十四点游戏”的规则为：给出 个有理数，用加、减、乘、除（可加括号）把给出的 个有理数
算成 ，每个数必须用一次且只能用一次（不考虑顺序），先算出结果获胜，现有四个有理数 ， ，
， ，发挥你的聪明才智，运用“二十四点”游戏的规则，写出一种运算式，使其结果等于 ，你的运算式是 ．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．
【详解】
解：根据有理数的运算可得： ， ， 等．
故答案为： （答案不唯一）．
16．定义一种新运算： ，例如 ，则 ．
【答案】3
【分析】本题考查了有理数的乘方，掌握相关运算法则是解题关键．根据已知新运算法则，先计算乘方，
再作差即可．
【详解】解： ， ，
，
故答案为：3．
三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
17．计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)20
(2)
(3)0
(4)
【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的运算法则，（1）根据有理数的加减运算法则计算即可；
（2）根据有理数的乘法分配律计算即可；
（3）根据含乘方的有理数混合运算法则计算即可，
（4）根据含乘方的有理数混合运算法则计算即可，
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
18．用简便方法计算下面各题．
(1)
(2)
【答案】(1)8(2)
【分析】本题主要考查分数的混合运算，简便计算，运算律的运用，掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据乘法分配律的逆运算即可求解；
（2）将 拆成 ，再运用乘法分配律即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
19．如图，当你把一张纸对折1次时可以得到2层，对折2次时可以得到4层，对折3次时可以得到8层，
继续对折下去（最多折7次）．
(1)你能发现层数与折纸次数之间的关系吗？
(2)如果每层纸的厚度是0.05毫米，求对折7次时纸的总厚度．
【答案】(1)层数
(2)6.4毫米【分析】本题考查了有理数的乘方，通过例举寻找规律是解题的关键．
（1）由于把纸对折1次时，可以得到2层；当对折2次时，可以得到4-2层；当对折3次时，可以得到8-
23层，由此即可得到层数5和折纸的次数之间的关系；
（2）利用（1）的结论代入其中计算即可求解．
【详解】（1）解：∵对折1次，层数 ，
对折2次，层数 ，
对折3次，层数 ，
∴对折n次，层数 ；
（2）解：
（毫米），
答：对折7次时纸的总厚度的总厚度为6.4毫米．
20．如图，数轴上有 ， ， 三点．
(1) ____ ， _____ ， ______ ；(填“ ”“ ”，“ ”)
(2)化简 ．
【答案】(1) ， ， ；
(2) ．
【分析】（ ）根据数轴分别判断 ， ， 的正负；
（ ）根据 ， ， 的正负去掉绝对值，最后合并同类项即可；
本题考查了整式的加减和去绝对值，解题的关键是结合数轴判断绝对值符号里面代数式的正负．
【详解】（1）由数轴可得， ， ， ，
故答案为： ， ， ；
（2）
，
．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．阅读下面材料：
计算：
解法①：
原式
；
解法②：
原式
；
解法三：
原式的倒数为
，
故原式 ．
(1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法_____是错误的（填序号）
(2)在正确的解法中，你认为解法______比较简便．（填序号）
请你进行简便计算： ．
【答案】(1)①(2)③；
【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算和分配律、倒数等知识，熟练掌握相关运算法则和运算律是
解题的关键．
（1）解法①中，除法当中的除式不能进行加减法分解，故解法①错误；
（2）解法三运用了倒数的知识使得运算比较简便；先计算原式的倒数，再转化为原式即可．
【详解】（1）解：三种解法得出的结果不同，解法①是错误的．
故答案为：①；
（2）解：在正确的解法中，解法③比较简便．
故答案为：③；
原式的倒数为
，
∴原式 ．
22．初夏逢盛会，冰城万象新．2024年第三十三届哈尔滨国际经济贸易洽谈会，吸引了众多采购商和消费
者的目光，让海内外宾朋收获颇丰，也给哈尔滨市的旅游行业带来了新的生机，某出租车驾驶员在一条东
西向的道路上连续接送5批客人，行驶路程记录如下（规定向东为正，向西为负，单位： ）．
第一批 第二批 第三批 第四批 第五批
(1)接送完第5批客人后，该驾驶员在公司什么方向，距离公司多少千米？
(2)若出租车每千米耗油 升，那么在连续接送5批客人的过程中共耗油多少升？
(3)若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过 收费9元，超过 的部分每千米加 元收费，在连
续接送5批客人的过程中，该驾驶员一共收到车费多少元？
【答案】(1)在公司东面，距离公司6千米
(2)共耗油6升(3)一共收到车费56.4元
【分析】本题考查正负数的意义以及有理数混合运算的应用，解题的关键是熟练运用正负数的意义．
（1）根据有理数加法即可求出答案．
（2）根据题意列出算式即可求出答案．
（3）根据题意列出算式即可求出答案．
【详解】（1）解：由行驶路程记录得：
，
答：接送完第5批客人后，该驾驶员在公司东面，距离公司6千米；
（2）解：由行驶路程记录得：
（升），
答：在连续接送5批客人的过程中共耗油6升；
（3）解：由行驶路程记录得：
（元），
答：在连续接送5批客人的过程中，该驾驶员一共收到车费 元．
23．定义新运算： ， （右边的运算为平常的加、减、乘、除）．
例如: ， ．
若 ，则称有理数 ， 为“隔一数对”．
例如： ， ， ，所以2，3就是一对“隔一数对”．
(1)下列各组数是“隔一数对”的是 （请填序号）
① ， ；② ， ；③ ， ．
(2)计算： ．
(3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”．
计算： ．
【答案】(1)①②(2)
(3)
【分析】本题考查有理数的定义新运算，仔细审题，理解题干中的新定义，熟练掌握有理数的混合运算法
则是解题关键．
（1）按照题干定义进行计算，判断是否满足条件即可；
（2）直接根据题目定义分别计算各项，然后再合并求解即可；
（3）根据定义进行变形和拆项，然后根据规律求解即可．
【详解】（1）解：① ；
∵ ， ，
∴ ，则①是“隔一数对”；
② ；
∵ ， ，
∴ ，则②是“隔一数对”；
③ ；
∵ ， ，
∴ ，则③不是“隔一数对”；
故答案为：①②；
（2）解：根据定义，
；（3）解：根据定义，
．
五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
24．阅读下列材料： ，即当 时， ，当 时， ，运用以上结论
解决下面问题：
(1)已知m，n是有理数，当 时，则 ______；
(2)已知m，n，t是有理数，当 时，求 的值；
(3)已知m，n，t是有理数， ，且 ，求 的值．
【答案】(1)0；
(2)1或 ；
(3) 或3．
【分析】本题考查的是有理数的四则混合运算，化简绝对值，熟练的化简绝对值是解本题的关键；
（1）先判断 同号，再分两种情况化简绝对值，再计算即可；
（2）先判断m，n，t全负或m，n，t两正一负，再分情况化简绝对值，再计算即可；
（3）先判断m，n，t两正一负，再结合（2）的结论即可得到答案．
【详解】（1）解：∵m，n是有理数，当 时，
∴ 同号，
当 ， 时，
，
当 ， 时，；
（2）∵
∴m，n，t全负或m，n，t两正一负
①当m，n，t全负时，
②当m，n，t两正一负时
Ⅰ）当 ， ， 时，
Ⅱ）当 ， ， 时，
Ⅲ）当 ， ， 时，
综上所述， 的值为1或 ；
（3）∵
∴ ， ， ．
∴
又∵ ，
∴m，n，t两正一负
由（2）可知 的值为 或3．
25．在学习了数轴后，小亮决定对数轴进行变化应用：
应用一：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之
间的距离 ．
利用数形结合思想回答下列问题：
(1)数轴上表示 和6的两点之间的距离表示为__________；数轴上表示 和 的两点之间的距离表示为__________．
(2)若 表示一个有理数，则 的最小值 __________，满足条件的所有整数 的和为
__________．
(3)请写出当 __________时， 有最小值为__________．
(4)规律应用
工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件相应
该放在工作__________处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是__________米．
【答案】(1) ；
(2)5，
(3) ，8
(4)E，40
【分析】本题考查有理数在数轴上对应的点、绝对值：
（1）根据数轴上A、B两点之间的距离 计算便可；
（2）当x在表示数 与1的两点及两点之间时， 的值最小，求出此时的值便可；
（3）根据绝对值的几何意义可知，当 时， 有最小值8；
（4）以E点为原点，2米为一个单位长度，A、B、C、D、E、F、G、H、I依次在数轴上排列，根据绝对
值的意义，几何数轴上点的特点可知当 时，
有最小值40；
【详解】（1）解：数轴上表示 和6的两点之间的距离表示为 ；
数轴上表示 和 的两点之间的距离表示为 ，
故答案为： ；
（2）解：当 时， 取最小值，其最小值为： ，
满足条件的整数x的和为
故答案为：5， ；
（3）解： 表示数轴上有理数x所对应的点到 所对应的点的
距离之和，
∴当 时， 有最小值，最小值为8，
故答案为： ，8；
（4）以E点为原点，2米为一个单位长度，A、B、C、D、E、F、G、H、I依次在数轴上排列，
则A点表示的数为 ，B点表示的数为 ，C点表示的数为 ，D点表示的数为 ，F点表示的数为
2，G点表示的数为4，H点表示的数为6，I点表示数为8，
设配件箱应该放在数轴上表示x的数的位置，
当 有最小值时，工作台上的工作人员取配件所
走的路程最短，
∴当 时， 有最小值40，
∴配件箱应该放在工作台E处，最短路程为40米，
故答案为：E，40；
