文档文本内容
1.2 有理数及其大小比较
🔷知识点一 有理数的概念
1. 整数：正整数、0、负整数统称为整数。
2. 分数：正分数、负分数统称为分数。
3. 正分数：像
1
3，0.24，50%等这样的数叫作正分数。
4. 负分数：像−
5
6，－3.56 等这样的数叫作负分数。
5. 有理数：整数和分数统称为有理数。
6. 无理数：无限不循环小数称为无理数。如：π，0.1010010001……
⚠️
特别提醒
①有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以它们也是分数。
②可以写成分数形式的数称为有理数，即有理数都可以表示为
𝑞
𝑝（p、q 均为整数，且p 不
为0）。
③在定义有理数时，我们说整数可以写作是分母为1 的分数，但是切记整数一般情况下
并不是分数。
🔷 知识点二 有理数的分类
1. 按有理数的定义分：
2. 按有理数的性质（符号）分：
第一章
有理数
3. 与有理数有关的“非”：
非正数 0
负数
非负数 0
正数
非正整数
0
负整数
非负整数
0
正整数
4. 正、负整数/分数：
①正整数：既是正数，又是整数。
②负整数：既是负数，又是整数。
③正分数：既是正数，又是分数。
⑤负分数：既是负数，又是分数。
🔷 知识点三 数轴
1. 数轴的定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫作数轴。
2. 数轴的三要素：原点、正方向和单位长度
①原点：在直线上任取一个点表示数0 ，这个点叫作原点；原点是数轴的基准点。
②正方向：通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，正方向一侧的部分叫数轴
的正半轴，从原点向左（或下）为负方向，负方向一侧的部分叫数轴的负半轴。
③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依
次表示1，2 ，3，…；从原点向左，用类似的方法依次表示1
- ，2
- ，3
- ，…．
3. 数轴的画法：
①画一条水平的直线（一般画水平的数轴）；
②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点；
③确定向右的方向为正方向，用箭头表示；
④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数
轴的单位长度要一致。
4. 有理数与数轴的关系：
①一切有理数都可以用数轴上的点表示出来；
②数轴上的点并不全是有理数，如π也可以在数轴上表示，但π并不是有理数；
③正有理数位于原点的右边，负有理数位于原点的左边；
④设𝑎是一个正数，则数轴上表示数𝑎的点在数轴的正半轴上，与原点的距离是𝑎个单
位长度；表示数−𝑎的点在数轴的负半轴上，与原点的距离是𝑎个单位长度。
🔷 知识点四 相反数
1. 相反数的定义：只有符号不同的两个数叫作互为相反数。
2. 相反数的几何意义：互为相反数的两个数在数轴上对应的点应分别位于原点两侧，
且到原点的距离相等。
3. 求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“－”号即可（当然最后结果如
果出现多重符号需要化简）。
4. 多重符号的化简：
1）一个正数前面不管有多少个“+”号，都可以全部去掉；
2）一个正数前面有偶数个“－”号，也可以把“－”号全部去掉；
3）一个正数前面有奇数个“－”号，则化简后只保留一个“－”号。
⚠️
特别提醒
①一般地，a 与-a 互为相反数，a 表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0。
②正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0 的相反数是本身。
③相反数是成对出现的（0 除外）。
🔷 知识点五 绝对值
1. 绝对值：一般地，数轴上表示数𝑎的点与原点的距离叫作数𝑎的绝对值，记作|𝑎|，
读作“𝑎的绝对值”。
2. 绝对值的几何意义：一个数𝑎的绝对值就是数轴上表示数𝑎的点与原点的距离。
3. 绝对值的代数意义：
(
0)
0 (
0)
(
0)
a a
a
a
a a
>
ì
ï
=
=
í
ï-
<
î
4. 绝对值的性质：绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0，即：|𝑎| ≥0。
📌 归纳总结
①绝对值等于它本身的数是：非负数。
②绝对值大于它本身的数是：负数。
③绝对值等于它的相反数的数是：非正数。
④绝对值最小的有理数是：0。
⑤绝对值最小的正整数是：1。
⑥绝对值最小的负整数是：-1。
🔷 知识点六 有理数的大小比较
1. 数轴比较大小：在数轴上表示出两个有理数，左边的数总比右边的数小。
2. 正数＞0,0＞负数，正数＞负数。
3. 绝对值比较大小：①正数之间比较大小：绝对值大的大；②负数之间比较大小：
绝对值大的反而小。
📌 归纳总结
①两数同号：同为正号：绝对值大的数大；同为负号：绝对值大的反而小。
②两数异号：正数大于负数。
③与0 的比较：正数＞0；负数＜0。
易错点 1 混淆有理数、整数、分数的定义，认为整数属于分数
•
错例：整数可以化为分母为1 的分数，所以整数属于分数
•
错因：曲解有理数定义，虽然整数可写成分母为1 的分数形式，满足有理数的分
数表达式要求，但数学定义中整数和分数是并列的两类有理数，二者相互独立，整数
不属于分数范畴
•
规避方法：牢记有理数分类核心：有理数分为整数、分数两大类，互不包含；整
数可改写为分数形式仅用于判定有理数，不改变数的归属类别
易错点 2 误认为数轴上的点都是有理数
•
错例：所有数轴上的点都表示有理数
•
错因：混淆有理数与数轴点的对应关系，所有有理数都能在数轴上表示，但数轴
上还有无数点表示无限不循环小数（无理数），如π对应的数轴点，不是有理数
•
规避方法：牢记单向对应关系：有理数⇒数轴上的点（成立），数轴上的点⇒有理
数（不成立）
易错点 3 认为符号不同的数就是相反数
•
错例：+2 和-3 互为相反数
•
错因：忽略相反数核心定义：只有符号不同的两个数才互为相反数，不仅符号相
反，数值必须完全相同；同时遗忘0 的特殊性，0 的相反数是它本身
•
规避方法：判定相反数两个条件：①数值完全相等；②符号相反（0 除外）；0 的
相反数是0，相反数成对出现
易错点 4 误解绝对值定义，认为绝对值一定是正数
•
错例：任何有理数的绝对值都是正数
•
错因：忽略绝对值的非负性边界，绝对值表示数轴上点到原点的距离，距离最小
为0，0 的绝对值是0，不是正数
•
规避方法：牢记绝对值性质：|𝑎| ≥0，绝对值结果是非负数（正数或0），绝对值
最小的有理数是0
易错点 5 负数比较大小出错，误用绝对值越大数值越大
•
错例：比较大小：-5＞-3（√）
•
错因：混淆正负数的比较规则，正数绝对值越大数越大，负数恰好相反，绝对值
越大，距离原点越远，数值越小
•
规避方法：大小比较口诀：数轴上左小右大；正数＞0＞负数；正数比绝对值，负
数比绝对值反着来
题型一：有理数的概念
📝方法技巧
1.整数和分数统称为有理数，所有能写成分数形式
𝑝
𝑞（𝑝、𝑞为整数，𝑞≠0）的数都是
有理数；
2.有限小数、无限循环小数都可以化为分数，属于有理数；无限不循环小数不是有
理数；
3.常见易错：𝜋、开方开不尽的数是无理数，不属于有理数。
1．下列各数中不是有理数的是（ ）
A．7𝜋
B．−
1
5
C．9
D．3.1415926
2．（25-26 七年级上·辽宁营口·期中）在−3，5，
7
22，0.16116，
π
2，−2024中，有理数有
（ ）个
A．2
B．3
C．4
D．5
3．下列各数中，是无理数的是（ ）
A．𝜋2
B．1.01
C．
3 8
D．
355
113
题型二：有理数的分类
📝方法技巧
1.0 是整数、有理数，既不是正数也不是负数；整数包含0，分数不包含0；
2.避坑要点：非负数=正数+0，非正数=负数+0，非正非负的数只有0。
1．下列有理数中：12，−3, + 1，
1
3，−1.5，0，0.2，3
1
4，−4
3
5是非负数的有______个．
2．（25-26 七年级上·吉林四平·期中）把下列各数填入相应的集合中：
+3，−4
1
3，−1.9，0.17，0，−8，+123．
正有理数集合{_______________}；
负分数集合{_______________}；
整数集合{_______________}；
非负整数集合{_______________}．
3．把下列各数填在相应的表示集合的大括号里．
90%，𝜋，0，−3.1416，−12，+2
3
5，−3.2
·
1，+2025，−
22
7 ．
整数集合：{_______________________…}；
分数集合：{_______________________…}；
非负数集合：{_______________________…}；
负有理数集合：{_______________________…}．
4．所有正数组成正数集合，所有分数组成分数集合．把数−1，1，0，−7，−2025，
12
13，
−1.69，−2
2
3填入它们属于的圈内，其中𝐴区域应填的数是_________
题型三：数轴的三要素及画法
📝方法技巧
1.数轴三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可；
2.画法技巧：先画直线定原点，再向右标注正方向（箭头），最后统一间距标注单位
长度；
3.关键要求：单位长度全程统一，不能长短不一；原点位置可灵活选取，正方向默
认向右。
1．下列数轴表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．下列选项中所画的数轴正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．画数轴，在数轴上表示出下列有理数：−2，−3
1
2，0，−4
1
3，
1
2
题型四：有理数与数轴上的点
📝方法技巧
1.对应关系：所有有理数都可以用数轴上唯一的点表示，但数轴上的点不都表示有
理数；
2.位置规律：原点右侧的点表示正数，左侧的点表示负数，原点表示0；
3.读数技巧：先看点在原点左右，再数对应单位长度，确定数值正负和大小。
1．（25-26 七年级上·山东枣庄·期末）如图，数轴上𝐴，𝐵，𝐶，𝐷四个点中，表示−1的点是
（ ）
A．点𝐴
B．点𝐵
C．点𝐶
D．点𝐷
2．（25-26 七年级上·广西梧州·期末）如图数轴上点𝐴表示的数可能是（ ）
A．−2.7
B．−1.7
C．−1.3
D．1.2
3．直线上点𝐴表示的数是______，点𝐵表示的数写成分数是______，点𝐶表示的数写成小数
是______．
4．（25-26 六年级上·山东淄博·期中）如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是
__________．（写出一个即可）
题型五：数轴上两点间的距离
📝方法技巧
1.万能公式：数轴上两点距离 = 右边的数 − 左边的数；
2.通用公式：若两点表示的数为𝑎、𝑏，则距离= |𝑎−𝑏|，结果恒为非负数；
3.解题技巧：已知距离和其中一个点，求另一个点有两种情况，需分类讨论（左、
右各一个）。
1．（25-26 七年级上·山东临沂·期中）数轴上，表示−3的点与表示2的点之间的距离是
（ ）个单位长度
A．5
B．1
C．−1
D．−5
2．（25-26 七年级上·云南玉溪·期中）数轴上有一点A 表示数−5，与它相距4 个单位长度
的数为（ ）
A．−9
B．−1
C．−1或−9
D．1 或−1
3．（25-26 七年级上·贵州铜仁·期中）在数轴上，把表示−1的点移动5 个单位长度后，所得
到的对应点表示的数是（ ）
A．6 或−4
B． ± 6
C．5
D．4 或−6
4．如图，芳芳将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上“0cm”、“3cm”
和“8cm”分别对应数轴上的−3、0 和x，那么x 的值为______．
题型六：求一个数的相反数
📝方法技巧
求一个数的相反数，直接在这个数前加负号。
1．−
3
7的相反数是（ ）
A．−
3
7
B．
7
3
C．
3
7
D．−
7
3
2．（25-26 七年级上·山东德州·期末）______的相反数是
1
6．
3．a 的相反数是−( +5)，则𝑎= ________．
4．𝑥+ 3的相反数是________．
题型七：相反数的性质
📝方法技巧
1.核心性质：互为相反数的两个数和为0，即若𝑎、𝑏互为相反数，则𝑎+ 𝑏= 0；
2.唯一性：一个数的相反数有且只有一个；
3.特殊结论：相反数等于本身的数只有0；
4.非零相反数：互为相反数的两个数绝对值相等，符号相反。
1．若代数式𝑥−3和3𝑥−5的值互为相反数，则𝑥的值是（ ）
A．2
B．−2
C．
1
2
D．−
1
2
2．若m，n 互为相反数，则5𝑚+ 5𝑛+ 3 = ___．
3．已知3𝑎与−9互为相反数，b 与a 互为相反数，求𝑎+ 6𝑏的值．
题型八：相反数的几何意义
📝方法技巧
1.几何定义：在数轴上，互为相反数的两个数对应的点，分布在原点两侧；
2.距离特征：两个点到原点的距离相等；
3.特殊情况：0 的相反数是自身，对应点就是原点。
1．数轴上表示数a 和𝑎+ 4的点到原点的距离相等，则a 为（ ）
A．−4
B．4
C．2
D．−2
2．点A、C、O、B 在数轴上的位置如图所示，O 为原点，𝑂𝐴= 𝑂𝐵，点C 对应的有理数
是a，若𝐴𝐶= 2，则点B 对应的有理数是（ ）
A．𝑎+ 2
B．𝑎−2
C．2−𝑎
D．−(𝑎+ 2)
3．如图，数轴上的点M，P，N，Q 分别表示四个有理数，若点M，N 表示的有理数互为
相反数，则图中表示正数的点的个数是_____个．
题型九：相反数中多重符号的化简
📝方法技巧
1.核心口诀：奇负偶正；
2.化简技巧：只数数字前面负号的个数，偶数个负号结果为正，奇数个负号结果为
正；
3.辅助规则：正号可直接省略，不影响最终化简结果。
1．化简符号：−−−( +8)
= ___________．
2．化简下列各数：
（1）−(−3) = ________；
（2）+ (−3) = ________；
（3）−( +3) = ________；
（4）−−(−3) = ________．
3．化简：−+(−5) =_______；−
−28
35 =_______．
题型十：求一个数的绝对值
📝方法技巧
先判断数的正负，再对应代入规则求解。
1．（25-26 九年级下·广西玉林·期中）−3的绝对值是（ ）
A．−3
B．0
C．1
D．3
2．|−−
1
3 |的相反数是（ ）
A．3
B．
1
3
C．−3
D．−
1
3
3．如果|𝑥| = 2025，则𝑥= ______，如果|𝑥| = |−2025|，则𝑥= ______．化简：|3−𝜋| =
______．
题型十一：绝对值的非负性
📝方法技巧
1.核心结论：任意有理数的绝对值都大于或等于0，即|𝑎| ≥0；
2.必考模型：若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0；
3.常见非负数：绝对值、平方数，考试高频组合|𝑎| + 𝑏2 = 0，则𝑎= 0、𝑏= 0。
1．（25-26 七年级上·湖北襄阳·期中）若|𝑚| = −𝑚，下列m 的取值能使这个式子成立的是
（ ）
A．5
B．−1
C．2
D．m 取任何数
2．已知|𝑥−4| + |5 + 𝑦| = 0，则|𝑥| + |𝑦| = __________．
3．已知 |𝑥+ 3| + (𝑦+ 1)2 = 0，求𝑥𝑦3 + 𝑥2−𝑥的值
题型十二：绝对值的几何意义
📝方法技巧
1.基础意义：一个数的绝对值是数轴上该数对应点到原点的距离；
2.拓展意义：|𝑎−𝑏|表示数轴上数𝑎和数𝑏对应两点的距离；
3.核心要点：距离无负值，因此绝对值永远非负。
1．（25-26 七年级上·河南焦作·期中）下列各数在数轴上所对应的点，到原点最近的是
（ ）
A．−3
B．−1
C．2
D．4
2．（25-26 七年级上·河北保定·期中）数轴上的定点𝐴，𝐵表示的数分别是𝑎，𝑏，且满足
(𝑎−6)2 + |𝑏+ 4| = 0．
(1)𝑎= ___________，𝑏= ___________；𝐴，𝐵间的距离为___________；
(2)数轴上一点𝐶距点𝐴7 个单位长度，其表示的数𝑐满足|𝑎𝑐| = −𝑎𝑐．
①求点𝐵，𝐶之间的距离；
②当数轴上的点𝑃到点𝐵的距离是点𝑃到点𝐶的距离的2 倍时，求点𝑃表示的数；
③沿数轴移动点𝐶，要使得𝐴，𝐵，𝐶其中一点到另外两点的距离相等，直接写出点𝐶所有的
移动方法（写出方向和距离）．
3．（25-26 七年级上·广东惠州·期中）综合应用题：
|𝑚−𝑛|的几何意义是数轴上表示m 的点与表示n 的点之间的距离．
(1)|2−1|的几何意义是数轴上表示________的点与_______之间的距离，则|2−1| =
______；
(2)数轴上表示x 和−1的两点M 和N 之间的距离是_______，如果|𝑥−3| = 4，则𝑥=
_______；
(3)令𝑦= |𝑥+ 1| + |𝑥−2| + |𝑥−3|，问当x 取何值时，y 最小，最小值为多少？请求解．
题型十三：有理数的大小比较
📝方法技巧
1.数轴比较法：数轴上右边的数永远大于左边的数；
2.符号比较法：正数＞0＞负数，正数大于一切负数；
3.负数比较法：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；
4.解题步骤：先区分正负，同号比绝对值，异号直接判大小。
1．（2026·浙江宁波·二模）下列四个数中，最小的是（ ）
A．2026
B．−2026
C．
1
2026
D．−
1
2026
2．（25-26 七年级上·四川宜宾·期中）比较大小：−+
8
9 ________−|−
3
4|．(填“ > ”“ < ”或
“ = ”)
3．（2026·河南南阳·一模）写出一个绝对值小于3 的负数：________________．
4．（25-26 七年级上·安徽宿州·期中）在数轴上表示5，−
1
2，0，−3，1
1
2，−|−4|这6 个
数，并用“<”把这6 个数连接起来．
