文档文本内容
1.2 有理数及其大小比较
🔷知识点一 有理数的概念
1. 整数：正整数、0、负整数统称为整数。
2. 分数：正分数、负分数统称为分数。
3. 正分数：像
1
3，0.24，50%等这样的数叫作正分数。
4. 负分数：像−
5
6，－3.56 等这样的数叫作负分数。
5. 有理数：整数和分数统称为有理数。
6. 无理数：无限不循环小数称为无理数。如：π，0.1010010001……
⚠️
特别提醒
①有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以它们也是分数。
②可以写成分数形式的数称为有理数，即有理数都可以表示为
𝑞
𝑝（p、q 均为整数，且p 不
为0）。
③在定义有理数时，我们说整数可以写作是分母为1 的分数，但是切记整数一般情况下
并不是分数。
🔷 知识点二 有理数的分类
1. 按有理数的定义分：
2. 按有理数的性质（符号）分：
第一章
有理数
3. 与有理数有关的“非”：
非正数 0
负数
非负数 0
正数
非正整数
0
负整数
非负整数
0
正整数
4. 正、负整数/分数：
①正整数：既是正数，又是整数。
②负整数：既是负数，又是整数。
③正分数：既是正数，又是分数。
⑤负分数：既是负数，又是分数。
🔷 知识点三 数轴
1. 数轴的定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫作数轴。
2. 数轴的三要素：原点、正方向和单位长度
①原点：在直线上任取一个点表示数0 ，这个点叫作原点；原点是数轴的基准点。
②正方向：通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，正方向一侧的部分叫数轴
的正半轴，从原点向左（或下）为负方向，负方向一侧的部分叫数轴的负半轴。
③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依
次表示1，2 ，3，…；从原点向左，用类似的方法依次表示1
- ，2
- ，3
- ，…．
3. 数轴的画法：
①画一条水平的直线（一般画水平的数轴）；
②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点；
③确定向右的方向为正方向，用箭头表示；
④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数
轴的单位长度要一致。
4. 有理数与数轴的关系：
①一切有理数都可以用数轴上的点表示出来；
②数轴上的点并不全是有理数，如π也可以在数轴上表示，但π并不是有理数；
③正有理数位于原点的右边，负有理数位于原点的左边；
④设𝑎是一个正数，则数轴上表示数𝑎的点在数轴的正半轴上，与原点的距离是𝑎个单
位长度；表示数−𝑎的点在数轴的负半轴上，与原点的距离是𝑎个单位长度。
🔷 知识点四 相反数
1. 相反数的定义：只有符号不同的两个数叫作互为相反数。
2. 相反数的几何意义：互为相反数的两个数在数轴上对应的点应分别位于原点两侧，
且到原点的距离相等。
3. 求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“－”号即可（当然最后结果如
果出现多重符号需要化简）。
4. 多重符号的化简：
1）一个正数前面不管有多少个“+”号，都可以全部去掉；
2）一个正数前面有偶数个“－”号，也可以把“－”号全部去掉；
3）一个正数前面有奇数个“－”号，则化简后只保留一个“－”号。
⚠️
特别提醒
①一般地，a 与-a 互为相反数，a 表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0。
②正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0 的相反数是本身。
③相反数是成对出现的（0 除外）。
🔷 知识点五 绝对值
1. 绝对值：一般地，数轴上表示数𝑎的点与原点的距离叫作数𝑎的绝对值，记作|𝑎|，
读作“𝑎的绝对值”。
2. 绝对值的几何意义：一个数𝑎的绝对值就是数轴上表示数𝑎的点与原点的距离。
3. 绝对值的代数意义：
(
0)
0 (
0)
(
0)
a a
a
a
a a
>
ì
ï
=
=
í
ï-
<
î
4. 绝对值的性质：绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0，即：|𝑎| ≥0。
📌 归纳总结
①绝对值等于它本身的数是：非负数。
②绝对值大于它本身的数是：负数。
③绝对值等于它的相反数的数是：非正数。
④绝对值最小的有理数是：0。
⑤绝对值最小的正整数是：1。
⑥绝对值最小的负整数是：-1。
🔷 知识点六 有理数的大小比较
1. 数轴比较大小：在数轴上表示出两个有理数，左边的数总比右边的数小。
2. 正数＞0,0＞负数，正数＞负数。
3. 绝对值比较大小：①正数之间比较大小：绝对值大的大；②负数之间比较大小：
绝对值大的反而小。
📌 归纳总结
①两数同号：同为正号：绝对值大的数大；同为负号：绝对值大的反而小。
②两数异号：正数大于负数。
③与0 的比较：正数＞0；负数＜0。
易错点 1 混淆有理数、整数、分数的定义，认为整数属于分数
•
错例：整数可以化为分母为1 的分数，所以整数属于分数
•
错因：曲解有理数定义，虽然整数可写成分母为1 的分数形式，满足有理数的分
数表达式要求，但数学定义中整数和分数是并列的两类有理数，二者相互独立，整数
不属于分数范畴
•
规避方法：牢记有理数分类核心：有理数分为整数、分数两大类，互不包含；整
数可改写为分数形式仅用于判定有理数，不改变数的归属类别
易错点 2 误认为数轴上的点都是有理数
•
错例：所有数轴上的点都表示有理数
•
错因：混淆有理数与数轴点的对应关系，所有有理数都能在数轴上表示，但数轴
上还有无数点表示无限不循环小数（无理数），如π对应的数轴点，不是有理数
•
规避方法：牢记单向对应关系：有理数⇒数轴上的点（成立），数轴上的点⇒有理
数（不成立）
易错点 3 认为符号不同的数就是相反数
•
错例：+2 和-3 互为相反数
•
错因：忽略相反数核心定义：只有符号不同的两个数才互为相反数，不仅符号相
反，数值必须完全相同；同时遗忘0 的特殊性，0 的相反数是它本身
•
规避方法：判定相反数两个条件：①数值完全相等；②符号相反（0 除外）；0 的
相反数是0，相反数成对出现
易错点 4 误解绝对值定义，认为绝对值一定是正数
•
错例：任何有理数的绝对值都是正数
•
错因：忽略绝对值的非负性边界，绝对值表示数轴上点到原点的距离，距离最小
为0，0 的绝对值是0，不是正数
•
规避方法：牢记绝对值性质：|𝑎| ≥0，绝对值结果是非负数（正数或0），绝对值
最小的有理数是0
易错点 5 负数比较大小出错，误用绝对值越大数值越大
•
错例：比较大小：-5＞-3（√）
•
错因：混淆正负数的比较规则，正数绝对值越大数越大，负数恰好相反，绝对值
越大，距离原点越远，数值越小
•
规避方法：大小比较口诀：数轴上左小右大；正数＞0＞负数；正数比绝对值，负
数比绝对值反着来
题型一：有理数的概念
📝方法技巧
1.整数和分数统称为有理数，所有能写成分数形式
𝑝
𝑞（𝑝、𝑞为整数，𝑞≠0）的数都是
有理数；
2.有限小数、无限循环小数都可以化为分数，属于有理数；无限不循环小数不是有
理数；
3.常见易错：𝜋、开方开不尽的数是无理数，不属于有理数。
1．下列各数中不是有理数的是（ ）
A．7𝜋
B．−
1
5
C．9
D．3.1415926
【答案】A
【分析】本题主要考查了有理数的概念，有理数分为整数和分数，据此求解即可．
【详解】∵有理数包括整数、分数及有限小数或无限循环小数，
选项B 为分数，选项C 为整数，选项D 为有限小数，均为有理数；
选项A 中π 为无理数，7π 亦为无理数，不可表示为两整数之比，∴7𝜋不是有理数，
故选A．
2．（25-26 七年级上·辽宁营口·期中）在−3，5，
7
22，0.16116，
π
2，−2024中，有理数有
（ ）个
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】D
【分析】本题考查了有理数的定义，根据整数和分数统称为有理数进行逐个分析，即可作
答．
【详解】解：−3，5，−2024都是整数，故都是有理数；
7
22，0.16116都是分数，故都是有理数；
π
2既不是整数也不是分数，故不是有理数；
∴有理数有5 个，
故选：D
3．下列各数中，是无理数的是（ ）
A．𝜋2
B．1.01
C．
3 8
D．
355
113
【答案】A
【分析】根据无理数定义判断，无限不循环小数是无理数，有理数是整数和分数的统称，
无限循环小数、整数、分数都属于有理数．
【详解】解：∵无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，对各选项分析如
下：
选项A，𝜋是无理数，𝜋2仍是无理数；
选项B，1.01是无限循环小数，属于有理数；
选项C，
3 8 = 2，2是整数，属于有理数；
选项D，
355
113是分数，属于有理数．
题型二：有理数的分类
📝方法技巧
1.0 是整数、有理数，既不是正数也不是负数；整数包含0，分数不包含0；
2.避坑要点：非负数=正数+0，非正数=负数+0，非正非负的数只有0。
1．下列有理数中：12，−3, + 1，
1
3，−1.5，0，0.2，3
1
4，−4
3
5是非负数的有______个．
【答案】6
【分析】根据非负数的定义，找出题目中符合要求的数，统计其个数即可得到结果．
【详解】解：非负数为：12，+1，
1
3，0，0.2，3
1
4，共有6个．
2．（25-26 七年级上·吉林四平·期中）把下列各数填入相应的集合中：
+3，−4
1
3，−1.9，0.17，0，−8，+123．
正有理数集合{_______________}；
负分数集合{_______________}；
整数集合{_______________}；
非负整数集合{_______________}．
【答案】+3,0.17, + 123；−4
1
3,−1.9；+3,0,−8, + 123；+3,0, + 123
【分析】本题主要考查了有理数的分类，熟练掌握根据有理数的定义和分类方法，是解题
的关键．根据正有理数包括正整数和正分数；负分数是负的分数；整数包括正整数、负整
数和零；非负整数是正整数和零，进行求解即可．
【详解】解：正有理数集合{ +3,0.17, + 123}；
负分数集合{−4
1
3,−1.9}；
整数集合{ +3,0,−8, + 123}；
非负整数集合{ +3,0, + 123}．
3．把下列各数填在相应的表示集合的大括号里．
90%，𝜋，0，−3.1416，−12，+2
3
5，−3.2
·
1，+2025，−
22
7 ．
整数集合：{_______________________…}；
分数集合：{_______________________…}；
非负数集合：{_______________________…}；
负有理数集合：{_______________________…}．
【答案】0，−12，+2025；90%，−3.1416，+2
3
5，−3.2
·
1，−
22
7 ；90%，𝜋，0，+2
3
5，
+2025；−3.1416，−12，−3.2
·
1，−
22
7
【分析】本题考查有理数的定义和分类，掌握相关知识是解决问题的关键．根据相关定义
逐一判断即可．
【详解】解：整数有0，−12，+2025；
分数有90%，−3.1416，+2
3
5，−3.2
·
1，−
22
7 ；
非负数有90%，𝜋，0，+2
3
5，+2025；
负有理数有−3.1416，−12，−3.2
·
1，−
22
7 ．
故答案为：0，−12，+2025；90%，−3.1416，+2
3
5，−3.2
·
1，−
22
7 ；90%，𝜋，0，+2
3
5，
+2025；−3.1416，−12，−3.2
·
1，−
22
7 ．
4．所有正数组成正数集合，所有分数组成分数集合．把数−1，1，0，−7，−2025，
12
13，
−1.69，−2
2
3填入它们属于的圈内，其中𝐴区域应填的数是_________
【答案】1
【分析】本题考查的是正数与分数的集合运算，明确正数和分数的定义是解题的关键．根
据正数大于0、分数包括有限小数、无限循环小数和带分数的概念，分析每个数的归属，进
而确定𝐴区域的数．
【详解】解：根据题意，𝐴区域的数应为正数但不属于分数，
所以𝐴区域应填的数是1，
故答案为：1．
题型三：数轴的三要素及画法
📝方法技巧
1.数轴三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可；
2.画法技巧：先画直线定原点，再向右标注正方向（箭头），最后统一间距标注单位
长度；
3.关键要求：单位长度全程统一，不能长短不一；原点位置可灵活选取，正方向默
认向右。
1．下列数轴表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据数轴的三要素即规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴，解答即
可．
本题考查了数轴的三要素，熟练掌握数轴三要素是解题的关键．
【详解】
解：A．
单位长度不同，
该选项错误，不符合题意；
B．
负数的标记位置错误，
该选项错误，不符合题意；
C．
没有原点，
该选项错误，不符合题意；
D．
表示正确，
该选项正确，符合题意；
故选：D．
2．下列选项中所画的数轴正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】数轴的定义要求必须同时具备三个要素：原点、正方向、统一的单位长度；
【详解】解：选项A：没有画出正方向，不符合要求，错误；
选项B：没有标出原点，不符合要求，错误；
选项C：−1到0 的单位长度和0 到1、1 到2 的单位长度不一致，单位长度不统一，错
误；
选项D：同时满足原点、正方向、统一单位长度三个要求，是正确的数轴．
3．画数轴，在数轴上表示出下列有理数：−2，−3
1
2，0，−4
1
3，
1
2
【答案】见解析
【分析】本题考查了数轴的有关知识，熟练掌握数轴上的数的分布特点是解题的关键．根
据数轴与有理数的关系进行画图即可．
【详解】解：如图所示，
题型四：有理数与数轴上的点
📝方法技巧
1.对应关系：所有有理数都可以用数轴上唯一的点表示，但数轴上的点不都表示有
理数；
2.位置规律：原点右侧的点表示正数，左侧的点表示负数，原点表示0；
3.读数技巧：先看点在原点左右，再数对应单位长度，确定数值正负和大小。
1．（25-26 七年级上·山东枣庄·期末）如图，数轴上𝐴，𝐵，𝐶，𝐷四个点中，表示−1的点是
（ ）
A．点𝐴
B．点𝐵
C．点𝐶
D．点𝐷
【答案】B
【分析】本题考查了有理数与数轴，直接根据数轴得出答案即可．
【详解】解：由数轴可知，表示−1的点是𝐵，
故选：B．
2．（25-26 七年级上·广西梧州·期末）如图数轴上点𝐴表示的数可能是（ ）
A．−2.7
B．−1.7
C．−1.3
D．1.2
【答案】C
【分析】本题考查了数轴；
根据点A 在数轴上的位置可得答案．
【详解】解：由图可知，点𝐴在−1和−2之间，且离−1较近，
∴点𝐴表示的数可能是−1.3，
故选：C．
3．直线上点𝐴表示的数是______，点𝐵表示的数写成分数是______，点𝐶表示的数写成小数
是______．
【答案】
−2
2
5
1.8
【分析】先理解题意，观察观察数轴，分析数轴的信息得点𝐴表示的数是−2，再列式计算
得出点𝐵 ,𝐶表示的数，即可作答．
【详解】解：观察数轴得出直线上点𝐴表示的数是−2，
依题意，得1 ÷ 5 × 2 =
2
5，1 + 1 ÷ 5 × 4 = 1.8
∴点𝐵表示的数是
2
5，点𝐶表示的数是1.8．
4．（25-26 六年级上·山东淄博·期中）如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是
__________．（写出一个即可）
【答案】−0.5（答案不唯一）
【分析】本题考查了数轴的定义，根据数轴上该点所对应的数的取值范围，写出一个符合
条件的数即可．
【详解】解：由数轴可知，手掌遮挡住的点表示的数大于−1且小于0，接近−
1
2的数都可
以，
故答案为：−0.5（答案不唯一）．
题型五：数轴上两点间的距离
📝方法技巧
1.万能公式：数轴上两点距离 = 右边的数 − 左边的数；
2.通用公式：若两点表示的数为𝑎、𝑏，则距离= |𝑎−𝑏|，结果恒为非负数；
3.解题技巧：已知距离和其中一个点，求另一个点有两种情况，需分类讨论（左、
右各一个）。
1．（25-26 七年级上·山东临沂·期中）数轴上，表示−3的点与表示2的点之间的距离是
（ ）个单位长度
A．5
B．1
C．−1
D．−5
【答案】A
【分析】本题考查数轴上两点之间的距离计算，根据数轴上两点之间的距离等于它们坐标
差的绝对值，即可求解．
【详解】解：表示−3的点与表示2的点之间的距离是|2−(−3)| = |5| = 5，
故选：A．
2．（25-26 七年级上·云南玉溪·期中）数轴上有一点A 表示数−5，与它相距4 个单位长度
的数为（ ）
A．−9
B．−1
C．−1或−9
D．1 或−1
【答案】C
【分析】本题考查了数轴上点的距离定义的知识，掌握以上知识是解答本题的关键；
根据数轴上点的距离定义，与点𝐴相距4 个单位长度的点可能在𝐴的左侧或右侧，分别计算
即可求解；
【详解】解：∵ 点𝐴表示数−5，设与该点相距4 个单位长度的数为𝑥，
∴|𝑥−(−5)| = 4，即|𝑥+ 5| = 4，
∴𝑥+ 5 = 4或 𝑥+ 5 = −4，
∴ 𝑥= −1或 𝑥= −9，
∴与点𝐴相距4 个单位长度的数为−1或−9；
故选：C；
3．（25-26 七年级上·贵州铜仁·期中）在数轴上，把表示−1的点移动5 个单位长度后，所得
到的对应点表示的数是（ ）
A．6 或−4
B． ± 6
C．5
D．4 或−6
【答案】D
【分析】本题考查数轴上点的移动，解题的关键是考虑点移动的方向（向左或向右），分别
计算对应点表示的数．
分点向右移动和向左移动两种情况，根据数轴上点的移动规律（向右移动加，向左移动
减）计算对应点表示的数．
【详解】解：在数轴上，点的移动有两种方向：
向右移动5 个单位长度：表示的数为−1 + 5 = 4，
向左移动5 个单位长度：表示的数为−1−5 = −6，
所以所得到的对应点表示的数是4 或−6．
故选：D．
4．如图，芳芳将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上“0cm”、“3cm”
和“8cm”分别对应数轴上的−3、0 和x，那么x 的值为______．
【答案】5
【分析】本题考查有理数的减法，熟练掌握数轴上点之间的距离是解题的关键．
根据刻度尺，计算出0 与𝑥之间的距离即可．
【详解】解：根据刻度尺可知，数轴上𝑥与−3之间的距离为8，由于−3到0 的距离为3，
则0 到𝑥的距离为8−3 = 5，𝑥在0 的右侧，
因此x 的值为5，
故答案为：5．
题型六：求一个数的相反数
📝方法技巧
求一个数的相反数，直接在这个数前加负号。
1．−
3
7的相反数是（ ）
A．−
3
7
B．
7
3
C．
3
7
D．−
7
3
【答案】C
【详解】解：∵ 只有符号不同的两个数互为相反数，
∴ 求−
3
7的相反数只需改变原式的符号， 可得−
3
7的相反数是
3
7．
2．（25-26 七年级上·山东德州·期末）______的相反数是
1
6．
【答案】−
1
6
【分析】本题主要考查相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键；根据相反数的定
义，一个数的相反数是与它相加等于零的数，然后问题可求解．
【详解】解：
1
6的相反数是−
1
6．
故答案为−
1
6．
3．a 的相反数是−( +5)，则𝑎= ________．
【答案】5
【分析】本题考查了相反数的定义．根据相反数的定义，𝑎的相反数是−5，即可求解．
【详解】解：a 的相反数是−( +5) = −5，则𝑎= 5，
故答案为：5．
4．𝑥+ 3的相反数是________．
【答案】−𝑥−3/−3−𝑥
【分析】本题考查了相反数的定义．根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反
数，进行分析，即可作答．
【详解】解：𝑥+ 3的相反数是−(𝑥+ 3) = −𝑥−3，
故答案为：−𝑥−3．
题型七：相反数的性质
📝方法技巧
1.核心性质：互为相反数的两个数和为0，即若𝑎、𝑏互为相反数，则𝑎+ 𝑏= 0；
2.唯一性：一个数的相反数有且只有一个；
3.特殊结论：相反数等于本身的数只有0；
4.非零相反数：互为相反数的两个数绝对值相等，符号相反。
1．若代数式𝑥−3和3𝑥−5的值互为相反数，则𝑥的值是（ ）
A．2
B．−2
C．
1
2
D．−
1
2
【答案】A
【分析】本题考查了相反数的定义，解一元一次方程，根据相反数的定义列出关于x 的方
程是解题的关键．
根据相反数的定义得到方程𝑥−3 + 3𝑥−5 = 0，通过解该方程可以求得x 的值．
【详解】解：∵代数式𝑥−3的值与3𝑥−5互为相反数，
∴𝑥−3 + 3𝑥−5 = 0，
∴𝑥= 2．
故选：A．
2．若m，n 互为相反数，则5𝑚+ 5𝑛+ 3 = ___．
【答案】3
【分析】本题考查了相反数的性质，求代数式的值，掌握相反数和为0 是解题的关键．
由相反数的性质可知𝑚+ 𝑛= 0，进而简化表达式5𝑚+ 5𝑛+ 3
【详解】解：∵ m，n 互为相反数，
∴ 𝑚+ 𝑛= 0，
∴ 5𝑚+ 5𝑛+ 3 = 5(𝑚+ 𝑛) +3 = 5 × 0 + 3 = 0 + 3 = 3．
故答案为 3．
3．已知3𝑎与−9互为相反数，b 与a 互为相反数，求𝑎+ 6𝑏的值．
【答案】−15
【分析】本题主要考查了代数式求值，相反数的定义，根据互为相反数的两个数的和为0
得到3𝑎+ (−9) = 0，则𝑎= 3，进而得到𝑏= −3，据此代值计算即可．
【详解】解：∵3𝑎与−9互为相反数，
∴3𝑎+ (−9) = 0，
∴𝑎= 3，
∵b 与a 互为相反数，
∴𝑏= −3，
∴𝑎+ 6𝑏= 3 + 6 × (−3) = −15．
题型八：相反数的几何意义
📝方法技巧
1.几何定义：在数轴上，互为相反数的两个数对应的点，分布在原点两侧；
2.距离特征：两个点到原点的距离相等；
3.特殊情况：0 的相反数是自身，对应点就是原点。
1．数轴上表示数a 和𝑎+ 4的点到原点的距离相等，则a 为（ ）
A．−4
B．4
C．2
D．−2
【答案】D
【分析】本题考查数轴上原点两侧到原点的距离相等的点表示的数互为相反数．
根据相反数的几何意义可知：𝑎与𝑎+ 4互为相反数；再根据互为相反数的两数和为0 即可
解答．
【详解】解：由题意知：
𝑎与𝑎+ 4互为相反数，
∴𝑎+ 𝑎+ 4 = 0，
解得：𝑎= −2．
故选：D．
2．点A、C、O、B 在数轴上的位置如图所示，O 为原点，𝑂𝐴= 𝑂𝐵，点C 对应的有理数
是a，若𝐴𝐶= 2，则点B 对应的有理数是（ ）
A．𝑎+ 2
B．𝑎−2
C．2−𝑎
D．−(𝑎+ 2)
【答案】C
【分析】本题主要考查在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，以及相反数的意
义．由点C 对应的有理数是a，𝐴𝐶= 2，根据两点之间的距离求出点A，然后利用相反数
的意义即可求解．
【详解】解：∵点C 对应的有理数是a，𝐴𝐶= 2，
∴点A 对应的有理数为：𝑎−2，
∵𝑂𝐴= 𝑂𝐵，
∴A，B 是一对相反数．
∴点B 为−(𝑎−2) = −𝑎+ 2 = 2−𝑎，
故选：C．
3．如图，数轴上的点M，P，N，Q 分别表示四个有理数，若点M，N 表示的有理数互为
相反数，则图中表示正数的点的个数是_____个．
【答案】3
【分析】本题考查了数轴、相反数的几何意义，解决本题的关键是判断出原点的位置．
先利用相反数的几何意义确定原点为线段𝑀𝑁的中点，再根据原点右边的数为正数进行判
断解答即可．
【详解】解：点M，N 表示的有理数互为相反数，
∴原点O 在𝑀𝑁的中点处，如图，
∴图中在原点O 右边的数为正数的点是P、N、Q 三个点．
故答案为：3．
题型九：相反数中多重符号的化简
📝方法技巧
1.核心口诀：奇负偶正；
2.化简技巧：只数数字前面负号的个数，偶数个负号结果为正，奇数个负号结果为
正；
3.辅助规则：正号可直接省略，不影响最终化简结果。
1．化简符号：−−−( +8)
= ___________．
【答案】
−8
【详解】解：−{−[−( + 8)]} = [−( + 8)] = −( + 8) = −8．
2．化简下列各数：
（1）−(−3) = ________；
（2）+ (−3) = ________；
（3）−( +3) = ________；
（4）−−(−3) = ________．
【答案】
3
−3
−3
−3
【分析】本题主要考查了多重符号的化简，解题的关键是掌握多重符号的化简法则．
根据多重符号化简的法则，化简结果的符号由负号的个数决定：如果负号的个数为偶数，
结果为正；如果负号的个数为奇数，结果为负．
【详解】解：（1） −(−3)=3，
故答案为：3；
（2）+ (−3) = −3，
故答案为：−3；
（3）−( +3) = −3，
故答案为：−3；
（4）−−(−3) = −3，
故答案为：−3．
3．化简：−+(−5) =_______；−
−28
35 =_______．
【答案】
5
4
5
【分析】本题主要考查相反数 ，分数；第一个表达式通过处理括号内的符号和外部负号化
简；第二个表达式先化简分数，再处理负号．
【详解】解：对于第一个表达式：−+(−5) ，先计算内部括号：+ (−5) = −5，然后外
部负号：−[−5] = 5，
对于第二个表达式：−
−28
35 ，先化简分数
−28
35 ，分子和分母同时除以最大公约数7，得
−4
5 ，然
后外部负号：−
−4
5
=
4
5，
故答案为：5，
4
5．
题型十：求一个数的绝对值
📝方法技巧
先判断数的正负，再对应代入规则求解。
1．（25-26 九年级下·广西玉林·期中）−3的绝对值是（ ）
A．−3
B．0
C．1
D．3
【答案】D
【详解】根据绝对值的性质：负数的绝对值是它的相反数.
∵−3 < 0，
∴|−3| = −(−3) = 3.
2．|−−
1
3 |的相反数是（ ）
A．3
B．
1
3
C．−3
D．−
1
3
【答案】D
【详解】解：|−−
1
3 | = |
1
3| =
1
3，
∴|−−
1
3 |的相反数是−
1
3．
3．如果|𝑥| = 2025，则𝑥= ______，如果|𝑥| = |−2025|，则𝑥= ______．化简：|3−𝜋| =
______．
【答案】
± 2025
± 2025
𝜋−3
【分析】本题考查绝对值的定义与化简，根据绝对值的性质求解即可. 绝对值等于一个正
数的数有两个，且互为相反数，化简绝对值需先判断绝对值内代数式的正负，再根据绝对
值的性质去绝对值符号．
【详解】解：根据绝对值的定义，若|𝑥| = 𝑎(𝑎> 0)，则𝑥=± 𝑎.
当|𝑥| = 2025时，
解得𝑥=± 2025．
当|𝑥| = |−2025|时，
由|−2025| = 2025，
故|𝑥| = 2025，
因此𝑥=± 2025．
因为𝜋≈3.14 > 3，所以3−𝜋< 0，
根据“负数的绝对值是它的相反数”，可得：
|3−𝜋| = −(3−𝜋) = 𝜋−3．
题型十一：绝对值的非负性
📝方法技巧
1.核心结论：任意有理数的绝对值都大于或等于0，即|𝑎| ≥0；
2.必考模型：若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0；
3.常见非负数：绝对值、平方数，考试高频组合|𝑎| + 𝑏2 = 0，则𝑎= 0、𝑏= 0。
1．（25-26 七年级上·湖北襄阳·期中）若|𝑚| = −𝑚，下列m 的取值能使这个式子成立的是
（ ）
A．5
B．−1
C．2
D．m 取任何数
【答案】B
【分析】此题考查了绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝
对值是它的相反数，正确掌握绝对值的性质是解题的关键．根据绝对值的性质得到
−𝑚> 0，即可判断．
【详解】解：∵|𝑚| = −𝑚，
∴−𝑚≥0，
∴𝑚≤0，选项中只有−1符合，
故选：B．
2．已知|𝑥−4| + |5 + 𝑦| = 0，则|𝑥| + |𝑦| = __________．
【答案】9
【分析】本题考查的是非负数的性质，根据绝对值的非负性，两个绝对值的和为零，则每
个绝对值均为零，从而求出𝑥和𝑦的值，再计算|𝑥| + |𝑦|的值．
【详解】解：∵|𝑥−4| + |5 + 𝑦| = 0，
∴ |𝑥−4| = 0且|5 + 𝑦| = 0，
解得：𝑥= 4，𝑦= −5．
则|𝑥| + |𝑦| = |4| + |−5| = 4 + 5 = 9．
故答案为：9
3．已知 |𝑥+ 3| + (𝑦+ 1)2 = 0，求𝑥𝑦3 + 𝑥2−𝑥的值
【答案】15
【分析】本题考查绝对值和平方的非负性，代数式求值，根据绝对值和平方的非负性可求
得𝑥= −3,𝑦= −1，代入𝑥𝑦3 + 𝑥2−𝑥即可解题.
【详解】解：∵|𝑥+ 3| + (𝑦+ 1)2 = 0
∴𝑥+ 3 = 0,𝑦+ 1 = 0
解得𝑥= −3,𝑦= −1
∴将𝑥= −3,𝑦= −1代入𝑥𝑦3 + 𝑥2−𝑥= −3 × (−1)3 + (−3)2−(−3) = 3 + 9 + 3 = 15.
题型十二：绝对值的几何意义
📝方法技巧
1.基础意义：一个数的绝对值是数轴上该数对应点到原点的距离；
2.拓展意义：|𝑎−𝑏|表示数轴上数𝑎和数𝑏对应两点的距离；
3.核心要点：距离无负值，因此绝对值永远非负。
1．（25-26 七年级上·河南焦作·期中）下列各数在数轴上所对应的点，到原点最近的是
（ ）
A．−3
B．−1
C．2
D．4
【答案】B
【分析】本题考查了绝对值的意义，表示一个数a 的点到原点的距离叫做这个数的绝对
值．
通过计算各数的绝对值，比较大小，绝对值最小的点离原点最近．
【详解】解：|−3| = 3，|−1| = 1，|2| = 2，|4| = 4，
∵1 < 2 < 3 < 4，
∴−1的绝对值最小，到原点最近．
故选B．
2．（25-26 七年级上·河北保定·期中）数轴上的定点𝐴，𝐵表示的数分别是𝑎，𝑏，且满足
(𝑎−6)2 + |𝑏+ 4| = 0．
(1)𝑎= ___________，𝑏= ___________；𝐴，𝐵间的距离为___________；
(2)数轴上一点𝐶距点𝐴7 个单位长度，其表示的数𝑐满足|𝑎𝑐| = −𝑎𝑐．
①求点𝐵，𝐶之间的距离；
②当数轴上的点𝑃到点𝐵的距离是点𝑃到点𝐶的距离的2 倍时，求点𝑃表示的数；
③沿数轴移动点𝐶，要使得𝐴，𝐵，𝐶其中一点到另外两点的距离相等，直接写出点𝐶所有的
移动方法（写出方向和距离）．
【答案】(1)6，−4，10
(2)①3；②−2或2；③见解析
【分析】本题考查了非负数的性质、数轴上的距离计算及动点问题，解题的关键是利用非
负数的性质求𝑎、𝑏的值，结合数轴的特点分析点的位置．
（1）利用平方和绝对值的非负性求𝑎、𝑏，再计算两点距离；
（2）①先根据条件确定点𝐶的位置，再计算𝐵、𝐶距离；
②设点𝑃表示的数，根据距离关系列方程求解；
③分三种情况分析𝐴、𝐵、𝐶的位置关系，确定点𝐶的移动方法．
【详解】（1）解：∵一个数的平方和绝对值都是非负数，且(𝑎−6)2 +|𝑏+ 4| = 0，
∴ 𝑎−6 = 0,𝑏+ 4 = 0，解得𝑎= 6,𝑏= −4，
𝐴、𝐵间的距离为|6−(−4)| = 10，
故答案为：6，−4，10；
（2）解：由（1）可知𝑎= 6 > 0，
∵ |𝑎𝑐| = −𝑎𝑐，所以𝑎𝑐< 0或𝑎𝑐= 0，所以𝑐< 0或𝑐= 0，
∴点C 在数轴上表示的数为6−7 = −1，
∴点B，C 之间的距离为−1−（−4）= −1 + 4 = 3；
②由（2）①知点B，C 之间的距离为3，当点P 在点B，C 之间时，点P 到点B 的距离为
3 ×
2
3 = 2，
∴点P 表示的数为−4 + 2 = −2；
当点P 在点C 的右侧时，点P 到点C 的距离为3，
∴点P 表示的数为−1 + 3 = 2，
综上，点P 表示的数为−2或2；
③点C 向左移动13 个单位长度，点B 到点A，C 的距离相等；
点C 向右移动2 个单位长度，点C 到点A，B 的距离相等；
点C 向右移动17 个单位长度，点A 到点B，C 的距离相等．
3．（25-26 七年级上·广东惠州·期中）综合应用题：
|𝑚−𝑛|的几何意义是数轴上表示m 的点与表示n 的点之间的距离．
(1)|2−1|的几何意义是数轴上表示________的点与_______之间的距离，则|2−1| =
______；
(2)数轴上表示x 和−1的两点M 和N 之间的距离是_______，如果|𝑥−3| = 4，则𝑥=
_______；
(3)令𝑦= |𝑥+ 1| + |𝑥−2| + |𝑥−3|，问当x 取何值时，y 最小，最小值为多少？请求解．
【答案】(1)2，1，1
(2)|𝑥+ 1|，7，−1
(3)𝑥= 2时，y 最小，最小值为4
【分析】本题考查绝对值，熟练掌握绝对值表示两点距离是解题的关键．
（1）根据绝对值的意义进行解答即可；
（2）根据绝对值的意义列出代数式，再令𝑥−3 = 4或𝑥−3 = −4，进行计算求解即可；
（3）根据绝对值的意义可知，𝑦= |𝑥+ 1| + |𝑥−2| + |𝑥−3|表示点𝑥到点−1、2、3的距离之
和，当𝑥= 2时，y 最小，最小值为4．
【详解】（1）解：|2−1|的几何意义是数轴上表示2的点与1之间的距离，
则|2−1| = |1| = 1，
故答案为：2，1，1；
（2）解：数轴上表示x 和−1的两点M 和N 之间的距离是|𝑥−(−1)| = |𝑥+ 1|，
由于|𝑥−3| = 4，
则𝑥−3 = 4或𝑥−3 = −4，
解得𝑥= 7或𝑥= −1，
故答案为：|𝑥+ 1|，7，−1；
（3）解：𝑦= |𝑥+ 1| + |𝑥−2| + |𝑥−3|表示点𝑥到点−1、2、3的距离之和，
当𝑥= 2时，y 最小，
最小值为： 𝑦= |2 + 1| + |2−2| + |2−3| = 3 + 0 + 1 = 4,
故𝑥= 2时，y 最小，最小值为4．
题型十三：有理数的大小比较
📝方法技巧
1.数轴比较法：数轴上右边的数永远大于左边的数；
2.符号比较法：正数＞0＞负数，正数大于一切负数；
3.负数比较法：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；
4.解题步骤：先区分正负，同号比绝对值，异号直接判大小。
1．（2026·浙江宁波·二模）下列四个数中，最小的是（ ）
A．2026
B．−2026
C．
1
2026
D．−
1
2026
【答案】B
【详解】解：∵正数大于负数，
∴最小的数在−2026和−
1
2026中，
∵|−2026| > |−
1
2026|，而两个负数比较，绝对值大的反而小，
∴−2026 < −
1
2026，
∴最小的数是−2026．
2．（25-26 七年级上·四川宜宾·期中）比较大小：−+
8
9 ________−|−
3
4|．(填“ > ”“ < ”或
“ = ”)
【答案】<
【分析】本题考查有理数的大小比较，涉及相反数与绝对值的化简，先化简两个数，再根
据两个负数比较大小，绝对值越大的负数越小的规则进行比较即可．
【详解】解：先化简两个数−+
8
9 = −
8
9，−|−
3
4| = −
3
4．
计算两个数的绝对值|−
8
9| =
8
9 =
32
36，|−
3
4| =
3
4 =
27
36．
因为
32
36 >
27
36，可得
8
9 >
3
4，
根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，可得−
8
9 < −
3
4，即−+
8
9 < −|−
3
4|．
3．（2026·河南南阳·一模）写出一个绝对值小于3 的负数：________________．
【答案】−1（答案不唯一）
【详解】解：绝对值小于3 的负数可以是−1．
4．（25-26 七年级上·安徽宿州·期中）在数轴上表示5，−
1
2，0，−3，1
1
2，−|−4|这6 个
数，并用“<”把这6 个数连接起来．
【答案】
可得数轴如图所示：
−|−4| < −3 < −1
2 < 0 < 1 1
2 < 5
【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示、绝对值的意义及有理数的大小比较，熟练掌
握数轴上有理数的表示、绝对值的意义及有理数的大小比较是解题的关键；因此此题可先
画出数轴，然后再进行有理数的大小比较．
【详解】解：由−|−4| = −4
用“<”连接起来为−|−4| < −3 < −
1
2 < 0 < 1
1
2 < 5．
