2.3 有理数的乘方
课标要点
1. 结合实例理解乘方、底数、指数、幂的概念，区分(−a)n 与−an 的意义。
2. 掌握乘方符号法则，熟练进行有理数乘方运算；掌握含乘方的四则混合运算顺序。
3. 会用科学记数法表示大数并还原原数；理解近似数、精确度，会四舍五入取近似值。
4. 能用乘方解决对折、细胞分裂等实际规律问题，发展运算与归纳推理能力。
学习重难点
重点：
1. 乘方相关概念，乘方符号运算规则。
2. 有理数混合运算顺序（先乘方，再乘除，后加减）。
3. 科学记数法表示大数；近似数精确度判断与四舍五入。
难点：
1. 区分(−a)n 与−an，准确判断负底数乘方符号。
2. 混合运算中符号、括号处理，易漏算、错算符号。
3. 确定科学记数法中 10 的指数；带单位大数的近似数精确位数判断。
4. 乘方规律探究、分段代数式综合求值题型。
第一章
有理数
知识点
有理数的乘方的意义
◆有理数乘方的定义：求n 个相同乘数的积的运算，叫做乘方．一般地，n 个相同的数a 相乘，
n
a
a
a
a
a
个
简记为
n
a ，即
n
n
a
a
a
a
a
a
个
.乘方的结果叫做幂，在an 中，a 叫做底数，n 叫
做指数．an 读作a 的n 次方，也可以读作a 的n 次幂．（将an 看作是a 的n 次方的结果时）
【注意】
（1）一个数可以看作这个数本身的一次方，例如，5 就是51 ，指数1 通常省略不写.
（2）指数是2 时读作平方（或二次方），指数是3 时读作立方（或三次方）.
（3）指数n 是正整数，底数a 可以是任意有理数.
随学随练
1．（26-27 七年级·全国·暑假作业）计算(−3)2可以表示为（ ）
A．(−3) × 2
B．(−3) + 2
C．(−3) × (−3)
D．(−3) + (−3)
2．（22-23 七年级上·全国·期末）(−2)3下列说法中不正确的是（ ）
A．表示3 个2 相乘
B．底数是−2
C．指数是3
D．幂为−8
知识点
有理数的乘方运算
◆1、乘方运算的符号法则：
（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
（2）正数的任何正整数次幂都是正数，
0 的任何正整数次幂都是 0.
◆2、有理数的乘方运算
计算一个有理数的乘方时，应将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值.
随学随练
3．（26-27 七年级·全国·暑假作业）计算：
(1)−
3
2
2
；
(2)−−
3
2
2
；
(3)−53；
(4)−
42
3 ．
知识点
有理数的混合运算
◆有理数的混合运算：
（1）有理数混合运算顺序：①先算乘方，再算乘除，最后算加减；②同级运算，应按从左到右的顺序进
行计算；③如果有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
随学随练
4．（25-26 七年级上·湖南长沙·期末）计算：
(1)(−1)2025 + |−6| ×
1
3 + (−2)2 × 2；
(2)−32 + (−5) × 2 + (−3)2．
知识点
科学记数法
◆1、科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10 的数记成a×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，n 是正整数，
这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n 为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a 的要求和10 的指数n 的表示规律为关键，由于10 的指数比原来的整数位数少1；按此
规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10 的指数n．
②记数法要求是大于10 的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10 的负数同样可用此法表示，只是
前面多一个负号．
◆2、科学记数法—原数
（1）科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a 的小数点向右移动n 位所得到的数．
（2）把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科
学记数法表示一个数是否正确的方法．
随学随练
5．（25-26 七年级下·贵州铜仁·期末）人工智能（AI）正在改变我们的生活，随着技术的不断突破，AI产品
用户数量也呈现出爆发式增长，其中有一款国产AI应用表现突出，在2026 年春节期间，日用户峰值达到
145000000 人，其中145000000 用科学记数法表示为（ ）
A．0.145 × 109
B．1.45 × 109
C．1.45 × 108
D．14.5 × 107
6．（2026·河南周口·三模）2026 年河南文旅综合收入突破 6.28 × 1011元， 6.28 × 1011原数为（ ）
A．62800000000 B．628000000000
C．6280000000
D．0.628 × 1012
知识点
近似数
◆1、准确数：与实际完全符合的数，叫做准确数.
◆2、近似数：许多实际情况中，较难取得准确数，把接近准确数但不等于准确数的数称为近似数.
◆3、近似数的精确度：近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示.
◆4、确定近似数的精确度的方法：看这个近似数的最后一位数字，它在哪个数位上就说明该近似数精确
到哪个数位.
◆5、取近似数的方法：根据精确度取近似数时，要采用四舍五入法；在实际问题中，特殊情况下使用去
尾法或进一法.
随学随练
7．（24-25 六年级上·山东烟台·期中）下列说法正确的是（ ）
A．0.318 精确到百分位
B．3.6 万精确到个位
C．5.07 × 103精确到十位
D．3000 精确到千位
题型一 有理数乘方的概念
▌例1 （24-25 七年级上·全国·课后作业）−25表示的意义是（ ）
A．5 个−2相乘
B．5 个2 相乘的相反数
C．2 个−5相乘
D．2 个5 相乘的相反数
▌对点练1-1 （25-26 七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）对乘积(−2025) × (−2025) × (−2025) × (−2025)
记法正确的是（ ）
A．−20254
B．(−2025)4
C．−(−2025)4
D．−( +2025)4
▌对点练1-2 下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．2 和
1
2
B．2 和|−2|
C．1 和(−1)2
D．32和−32
▌对点练1-3（25-26 七年级上·全国·课后作业）（1）在−35中，底数是
，指数
．
（2）在(−5)7中，底数是
，指数是
．
题型二 有理数的乘方运算
▌例2（25-26 七年级上·广东江门·期中）下列各对数值相等的是（ ）
A．(−2)5和−(−2)5
B．−(−32)和(−3)2
C．−3 × 23和−32 × 2
D．−(−3)2和−(−2)3
解题贴士
有理数乘方的定义：求n 个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做幂，在an 中，a 叫做底数，
n 叫做指数．an 读作a 的n 次方．（将an 看作是a 的n 次方的结果时，也可以读作a 的n 次幂．）
▌对点练2-1 （20
26·江苏南京·二模）下列四个数中，是负数的是（ ）
A．|−5|
B．(−5)2
C．−(−5)
D．−52
▌对点练2-2 下列算式中，正确的是（ ）
A．−(−2)2 = 4
B．−22 = 4
C．(−2)2 = −4
D．(−2)3 = −8
▌对点练2-3（26-27 七年级·全国·小升初衔接）计算：
(1) −
3
4
2
；
(2)(−5)3；
(3)−(−3)2；
(4)[−(−2)]3．
题型三 含乘方的有理数的混合运算
▌例3（25-26 七年级上·全国·期中）小李同学做了以下几道计算题，其中做对的题的数量为（ ）
①8−4 × −
3
2 = 4 × −
3
2 = −6；
②−7 ÷ 9 ×
1
9 = −7 ÷ 1 = −7；
③−24−(−2)4 = −16−16 = −32；
④4 × 23−3 × 9 = 4 × 6−27 = −3．
A．1 道
B．2 道
C．3 道
D．4 道
解题贴士
1、有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；
2、乘方的符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0 的任何
正整数次幂都是0．
▌对点练3-1 （26-27 七年级·全国·小升初衔接）计算：
(1)−52 × −
1
5
2
−(−3)3 ÷ (−6)．
(2)(−10)4 + −8 ÷ −
1
2 −(3 ÷ 32)× 2
▌对点练3-2 （26-27 七年级·全国·小升初衔接）计算：
(1)(−3)2−1
1
2
3
×
2
9−6 ÷ |−
2
3|；
(2)−14−
1
2 −
1
3 × [(−2)3−(−3)2]
▌对点练3-3（26-27 七年级·全国·小升初衔接）计算：
(1)−14 + (−2)3 ÷ −
1
2 −(−3)2
(2)(−48) ÷ 6−(−5) × (−4) + (−2)2
(3)(−2)3 × (−3)2−(−6) ÷ −
1
3
解题贴士
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行
计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
题型四 乘方与相反数、倒数、绝对值等的综合
▌例4（25-26 七年级上·山东滨州·阶段检测）如果𝑎，𝑏互为相反数，𝑐，𝑑互为倒数，𝑥的绝对值是2，𝑦是最
大的负整数，求代数式
𝑎+𝑏
𝑥+ 𝑥2−𝑐𝑑+ 𝑦2023的值．
▌对点练4-1 （24-25 七年级上·湖南长沙·期中）已知a，b 互为相反数，c，d 互为倒数，m 的绝对值等于
2，求𝑚2 + (𝑎+ 𝑏) ⋅𝑚+ (−𝑐𝑑)2024的值．
▌对点练4-2 已知𝑎,𝑏互为相反数，𝑐,𝑑互为倒数，𝑥的绝对值等于2，试求：𝑥2−(𝑎+ 𝑏+ 𝑐𝑑)𝑥+ (𝑎+ 𝑏)2003 +
(−𝑐𝑑)2003的值．
解题贴士
1、互为相反数的两个数的偶次幂相等、奇次幂仍互为相反数；
2、相反数是它本身的数是0；
3、倒数等于它本身的数是1 和﹣1；
4、绝对值和偶次方都具有非负性.
▌对点练4-3（25-26 七年级上·湖南岳阳·期中）已知𝑎，𝑏互为相反数，𝑐，𝑑互为倒数，𝑚的绝对值等于2，
(1)写出𝑎+ 𝑏，𝑐𝑑，𝑚的值；
(2)求𝑚2 + (𝑎+ 𝑏) ⋅𝑚+ (−𝑐𝑑)2025的值．
题型五 含乘方的程序图运算题
▌例5 （25-26 七年级下·江西景德镇·期末）沫沫同学在学习了“设计自己的运算程序”综合与实践课后，设
计了如图所示的运算程序，若开始输入n 的值为3，则最后输出的结果y 是（ ）
A．63
B．3
C．64
D．8
▌对点练5-2（25-26 七年级上·宁夏中卫·期中）根据如图所示的程序，当输入𝑥的值为1 时，输出的𝑦值为
（ ）
解题贴士
钠利用有理数的加减乘除乘方混合运算解决程序计算题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序，根据程
序列出算式解答即可．
A．−2
B．3
C．4
D．8
▌对点练5-2 （25-26 七年级上·四川泸州·期中）根据流程图中的程序，若输入𝑥的值为−1，则输出𝑦的值为（ ）
A．187
B．8
C．7
D．5
▌对点练5-3（24-25 七年级上·湖南·期中）按如图所示的程序进行计算，则输出的结果为______．
题型六 含乘方的新定义运算问题
▌例6 （25-26 七年级上·陕西咸阳·期末）对于任意有理数a、b，定义新运算⊗:𝑎⊗𝑏= 2𝑎−𝑏2．例如
1 ⊗2 = 2 × 1−22 = −2．则4 ⊗(−3)的值为（ ）
A．−13
B．17
C．−1
D．1
▌对点练6-1 （25-26 七年级上·湖南长沙·期末）二进制在计算机科学中有广泛的应用，二进制是逢二进一，
其各数位上的数字为0 或1，并利用下标表示二进制数，例如，(1011)2就是二进制数1011 的简单写法．在
学习教科书《进位制的认识与探究》以后，爱国查阅了资料并进行了思考，发现以下两种方法均可实现二
进制与十进制之间的转换．
解题贴士
新定义运算问题主要是运用题目中所给的新定义的运算方式进行计算即可，注意计算时的运算顺序，也
是对有理数的混合运算的考查.
以98 为例：
方法一：因为98 = 64 + 32 + 2
= 1 × 26 + 1 × 25 + 0 × 24 + 0 × 23 + 0 × 22 + 1 × 21 + 0 × 20
所以98 = (1100010)2．
方法二：用如图的短除法算式表示：
根据以上材料，把234 转换为五进制数是（ ）
A．(1111011)5
B．(123)5
C．(1414)5
D．(1314)5
▌对点练6-2 （24-25 七年级上·贵州铜仁·期中）某学习小组学习了幂的有关知识发现：根据𝑎𝑚= 𝑏，知道
𝑎，𝑚可以求𝑏的值．如果知道𝑎，𝑏可以求𝑚的值吗？他们为此进行了研究，规定：若𝑎𝑚= 𝑏，则𝑇(𝑎,𝑏)
= 𝑚．例如：34 = 81，则𝑇(3,81) = 4．
(1)填空：𝑇(2,2) = ______；
(2)计算：𝑇(2,4) +𝑇−
1
3 ,−
1
27 ．
▌对点练6-3（25-26 七年级上·新疆哈密·期中）小聪是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了有理数的乘
方后，他就琢磨着使用乘方这一数学知识，脑洞大开的定义出“有理数的除方”的概念．规定：若干个相同有
理数（均不为零）的除法运算叫做除方．如5 ÷ 5 ÷ 5,−2 ÷ (−2) ÷ (−2) ÷ (−2)类比有理数的乘方5 ÷ 5 ÷ 5
记作𝑓(3,5),−2 ÷ (−2) ÷ (−2) ÷ (−2)记作𝑓(4,−2)．
(1)直接写出计算结果：𝑓4,−
1
2 = ______；𝑓(5,3) = ______；
(2)计算𝑓(5,3) × 𝑓4,
1
3 +𝑓(5,−2) × 𝑓6,
1
2 ．
题型七 利用有理数的乘方解决实际问题
▌例7（25-26 七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上
打结来记录数量，即“结绳计数”．一位书生坚持每天五更起床读书，为了勉励自己，他用“结绳计数”的方法
来记录自己读书的天数，如图1是他从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，表示的天数为38天，按同
样的方法，图2表示的天数是（ ）
A．35
B．67
C．92
D．335
▌对点练7-1 （25-26 六年级上·山东威海·期末）《庄子·天下篇》讲到：“一尺之棰，日取其半，万世不
解题贴士
钠性质的巧记口诀：银白轻低软，传导热和电；遇氧产物变，遇氯生白烟；遇水记五点，浮熔游响红；
遇酸酸优先，遇盐水在前。
竭．”意思是说一尺长的木棍，每天截去它的一半，千秋万代也截不完．若按此方式截一根长为1 米的木棍，
那么7 天之后这根木棍还剩（ ）
A．
1
32米
B．
1
64米
C．
1
128米
D．
1
256米
▌对点练7-2 （25-26 七年级上·湖北襄阳·期末）《庄子·天下》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思
是一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．如图，有一根4 米长的木棍，第1 天截取它的一半，第2
天截取剩余部分的一半，第3 天再截取剩余部分的一半，．．．，则第1 天到第5 天一共截取的长度为
___________米．
▌对点练7-3（26-27 七年级·全国·小升初衔接）手工拉面是我国的传统面食，制作时，拉面师傅将一团和好
的面，揉搓成1 根长条后，手握两端用力拉长，然后将长条对折，再拉长，再对折（每次对折称为一扣），
如此反复操作，连续拉扣若干次后，便成了许多细细的面条．你能算出拉扣7 次后共有多少根面条吗？
题型八 含乘方的探究规律题
▌例8（25-26 七年级上·贵州铜仁·阶段检测）观察下面有规律排列的三行数：
①−2,4,−8,16,−32,64，⋯
②0,6,−6,18,−30,66，⋯
③−1,2,−4,8,−16,32，⋯
分别取第①②③行中的第10 个数，依次记为𝑎,𝑏,𝑐，则𝑎−𝑏+ 𝑐的值为___________．
▌对点练8-1 （25-26 七年级·全国·暑假作业）阅读下面的材料，然后按照材料中提供的方法计算．
解题贴士
乘方运算中的数或数列呈现一定的规律性，可以从符号和绝对值两个方面考虑数的变化规律，由特殊到
一般，由得到的规律来解决问题．
计算：1 + 21 + 22 +⋯+ 22017．
解：设𝑆= 1 + 21 + 22 +⋯+ 22017，
则2𝑆= 21 + 22 + 23 +⋯+ 22018，
所以2𝑆−𝑆= (21 + 22 + 23 + ⋯+ 22018)−(1 + 21 + 22 + ⋯+ 22017)
= 21 + 22 + 23 + ⋯+ 22018−1−21−22−⋯−22017
= 22018−1，
即1 + 21 + 22 +⋯+ 22017 = 22018−1．
按照上面的方法，计算：1 + 3 + 32 +⋯+ 32023．
▌对点练8-2（25-26 七年级上·湖南邵阳·期中）观察下列各式，回答问题：
1−1
22 = 1
2 × 3
2 ,1−1
32 = 2
3 × 4
3 ,1−1
42 = 3
4 × 5
4 ,
(1)按照上述规律填空：
1−
1
1002 = ___________ × ___________；
1−
1
20252 = ___________ × ___________；
(2)计算：1−
1
22 × 1−
1
32 × …… × 1−
1
20242 × 1−
1
20252
▌对点练8-3（25-26 七年级上·湖南娄底·期中）找规律：
(1)计算：
①2−1 = ________；
②22−2−1 = ________；
③23−22−2−1 = ________；
④24−23−22−2−1 = ________；
(2)根据上面的计算结果猜想：
①2200−2199−2198−⋯−22−2−1的值为________；
②2𝑛−2𝑛−1−2𝑛−2−⋯−22−2−1（n 为正整数）的值为________；
(3)根据（2）中的结论，试求2100−299−298−⋯−28−27−26的值．
题型九 科学记数法
▌例9（25-26 六年级下·山东泰安·期末）据报道，2026 年春节五一假期，泰安市文旅市场供需两旺，累计
接待游客1183900人次，比去年同期增长59.98%．数据1183900用科学记数法表示为（ ）
A．0.11839 × 107 B．0.11839 × 108
C．1.1839 × 106
D．1.1839 × 107
▌对点练9-1 （25-26 八年级下·湖南株洲·期末）2026 年“五一”假期期间，某市中型城市动物园累计接待游
客541400 人次，实现旅游综合收入2.21 亿元．为便于数据上报与媒体发布，需将游客人数用科学记数法
表示．下列表示正确的是（ ）
A．54.14 × 104
B．5.414 × 105
C．0.5414 × 106
D．5.414 × 106
解题贴士
1、科学记数法：把一个大于10 的数记成a×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，n 是正整数，
这种记数法叫做科学记数法．10 的指数比原来的整数位数少1．
2、科学记数法a×10n 表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a 的小数点向右移动n 位所得到的
数．
▌对点练9-2 （2026·河南周口·三模）2026 年省内乡村振兴项目投入资金约2.15 × 108元，该科学记数法表
示的数还原为原数是（ ）
A．21500000
B．215000000
C．2150000
D．2150000000
▌对点练9-3（2026·甘肃天水·模拟预测）近年来我国电影行业发展迅速，电影《哪吒之魔童闹海》风靡全
球．据统计，截至2025 年5 月底，其票房达到约150 亿元．数字15000000000 用科学记数法表示为________．
题型十 近似数
▌例10 （2026·四川攀枝花·中考真题）2020 年11 月10 日，中国奋斗者号载人潜水器在太平洋马里亚纳海
沟成功坐底，坐底深度10909米，创造了中国载人深潜的新纪录．将数10909精确到百位，正确的是（ ）
A．10900
B．11000
C．1.09 × 104
D．1.1 × 104
▌对点练10-1 数 a 四舍五入后的近似值为3.1，则a 的取值范围是（ ）．
A．3.05 ≤𝑎< 3.15
B．3.14 ≤𝑎< 3.15
C．3.144 ≤𝑎< 3.149
D．3.0 ≤𝑎< 3.2
▌对点练10-2 用四舍五入法将近似数64.5精确到个位的结果是_____．
▌对点练10-3 近似数2.60万精确到____________位．
基础通关
1．（2026·河北唐山·三模）下列运算结果为负数的是（ ）
解题贴士
1、能确切的反应实际的数量的数是准确数.
2、只是接近实际的数量，但与实际的数量还有差别的数是近似数.
3、近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示，一个近似值四舍五入到某一位，就说这个近似数
精确到那一位.
A．(−3)2
B．−3 ÷ 2
C． 0 × (−2017)
D．−2 + 3
2．（2025·湖南娄底·一模）仅上映28 天，电影《哪吒之魔童闹海》全球票房突破135 亿元人民币、超越
《头脑特工队》登顶全球动画电影票房榜，13500000000 用科学记数法可表示为𝑎× 1010，则a 的值是（ ）
A．135
B．13.5
C．1.35
D．0.135
3．（25-26 八年级下·江苏泰州·阶段检测）自2025 年11 月1 日泰州队斩获苏超冠军以来，李中水上森林
景区累计接待游客超70.9万人次．该近似数70.9万精确到（ ）位．
A．十
B．百
C．千
D．万
4．（25-26 七年级下·湖南衡阳·期中）在有理数(−1)2,−−
2
3 ,−|−2|,(−2)3中负数有（ ）个
A．4
B．3
C．2
D．1
5．（25-26 七年级上·安徽蚌埠·阶段检测）下列选项中，数值相等的是（ ）
A．22和32
B．(−6)2和−62
C．(−2)3和−23
D．−(−7)4和74
6．（23-24 七年级上·广东韶关·期中）若|𝑥+ 3| + (𝑦−2)2 = 0，则𝑥+ 𝑦的值为（ ）
A．1
B．−1
C．3
D．−2
7．（2026·北京丰台·一模）2025 年我国新能源汽车年产量约为1.7 × 107辆，比2024 年年产量增长约30%，
若按照这个速度增长，则2026 年新能源汽车年产量为（ ）
A．5.1 × 106辆
B．5.1 × 108辆
C．2.21 × 107辆
D．2.21 × 108辆
8．（25-26 七年级上·福建漳州·期中）如图，某种细菌在适宜环境下，细胞每过30 分钟便会由1 个分裂成2
个，经过4 小时，1 个细胞能分裂成（ ）
A．27个
B．82个
C．24个
D．28个
素养提升
9．（25-26 七年级上·山东临沂·期中）二进制数1010转换为十进制数是10，即(1010)2 = 1 × 23 +0 × 22 +1 ×
21 +0 × 20 = 10，则五进制数202 转换为十进制数为（ ）
A．5
B．20
C．52
D．1010
10．（25-26 七年级上·湖南益阳·期中）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学
模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n 来表
示，即∶21=2， 22=4， 23=8， 24=16，25=32…，请你推算21+22+23+24+…+22026的个位数字是（ ）
A．8
B．6
C．4
D．2
11．（25-26 七年级上·重庆·阶段检测）根据流程图中的程序，若输入𝑥的值为1，则输出𝑦的值为_____．
12．（25-26 七年级上·湖南邵阳·期末）已知𝑎与𝑏互为相反数，𝑥是最大的负整数，𝑦的倒数是本身，𝑚的绝
对值是1，求𝑦−2𝑎−2𝑏+
𝑥
𝑚2 = ________．
13．（2025·山东聊城·一模）对于各数互不相等的正整数组(𝑎1,𝑎2,⋯,𝑎𝑛)（n 是不小于2 的正整数），如果在
i < 𝑗时有𝑎i > 𝑎𝑗，则称𝑎i与𝑎𝑗是该数组的一个“逆序”．例如数组(1,−2,3−4)中𝑎1 = 1，𝑎2 = −2，𝑎1 > 𝑎2，
则“1，−2”为一个逆序，且此数组所有的逆序为“1，−2”，“1，−4”，“−2，−4”，“3，−4”，其逆序数为4．则
数组(−1,2,−3,4,−5)的逆序数是________．
14．（24-25 七年级上·江苏·阶段检测）《庄子》中记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”这句话的意
思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1 的木棍，第5 天截取后
木棍剩余的长度是___________．
迁移创新
15．（25-26 七年级上·四川达州·期末）计算：
(1)17−8 ÷ (−2)2−|4 ×(−3)|；
(2)−0.25 ÷ −
1
2
2
× (−1)3 +
11
8 + 2
1
3 −3.75 × 24
16．（25-26 七年级上·江苏南通·阶段检测）已知|𝑥| = 7，𝑦2 = 16．
(1)若𝑥> 𝑦，求𝑥+ 𝑦的值；
(2)若
𝑥
𝑦> 0，求𝑥−𝑦的值．
17．（2026·河北石家庄·一模）进位制是人们为了满足记数和运算的需求而约定的记数系统．如三进制数就
是用0，1，2 这三个数字来表示数的记数方式，逢三进一位．不同的进位制是可以互相转换的，若将三进
制数(221)3转换为十进制数，就可以这样转换：(221)3 = 2 × 32 +2 × 31 +1 × 30 = 25．
解答下面问题：
(1)将三进制数(121)3，转换为十进制数；
(2)已知一个三进制的四位数(𝑎𝑏2𝑑)3对应的十进制数能被3 整除，求𝑑的值．
18．（24-25 七年级上·陕西榆林·期中）数学兴趣小组在合作学习过程中获得知识的同时，也提出新的问
题．例如：根据𝑎𝑛= 𝑏，知道a 和n 的值，可以求b 的值，如果知道a 和b 的值，可以求n 的值吗？他们
对此进行了研究，并规定：若𝑎𝑛= 𝑏，那么𝑓(𝑎,𝑏) = 𝑛，例如：若23 = 8，则𝑓(2,8) = 3．根据他们的研究
结果，解答下列各题：
(1)填空：𝑓(3,27) = _________，𝑓(4,16) = ________；
(2)计算：𝑓(−3,−27)−𝑓(−5,625)；
(3)若𝑓−
1
2 ,𝑎= 3,𝑓−
1
4 ,
1
16 = 𝑏−3，求𝑓𝑎,
𝑏−4
13𝑏−1 的值．
19．【概念学习】定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2 ÷ 2 ÷ 2，(−3) ÷
(−3) ÷ (−3) ÷ (−3)等．类比有理数的乘方，我们把2 ÷ 2 ÷ 2记作23，读作“2 的下3 次方”；(−3) ÷ (−3) ÷
(−3) ÷ (−3)记作(−3)4，读作“−3的下4 次方”．一般地，把𝑎÷ 𝑎÷ 𝑎÷ … ÷ 𝑎（𝑛个𝑎，𝑎≠0，𝑛为大于等
于2 的整数）记作𝑎𝑛，读作“𝑎的下𝑛次方”．
（1）直接写出计算结果：34 = ______；
1
3 4 = ______；
【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数
的除方运算如何转化为乘方运算呢？
例如：24 = 2 ÷ 2 ÷ 2 ÷ 2 = 2 ×
1
2 ×
1
2 ×
1
2 =
1
2
2
．
（2）仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式（不用计算）：
27 = ______，−
1
3 8 = ______；
【结论应用】（3）计算：(−4)2 × (−2)6−−
1
3 6 ÷ 33．
20．（25-26 七年级上·湖南·阶段检测）在一次综合实践活动课上，张老师给每位同学各发了一张正方形纸
片，请同学们思考如何通过折纸的方法求出
1
2 +
1
4 +
1
8 +… +
1
26的值．
【操作探究】“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：如图1，将一个边长为1 的
正方形纸片分割成7 个部分，第①部分是边长为1 的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的
一半，第③部分是第②部分面积的一半，…，依次类推，则图1 中空白部分的面积为
1
2 +
1
4 +
1
8 +… +
1
26．
“破浪”小组是这样思考的：设𝑆=
1
2 +
1
4 +
1
8 +… +
1
26，将等式两边同时乘以
1
2得：
1
2𝑆=
1
4 +
1
8 +… +
1
26 +
1
27，
将上式减去下式得
1
2𝑆=
1
2−
1
27，即𝑆= 1−
1
26 =
63
64，即
1
2 +
1
4 +
1
8 +… +
1
26 =
63
64．
【过程思考】
(1)阴影部分的面积是_____．
(2)利用图2，设计能求
1
2 +
1
4 +
1
8 +… +
1
28的值的几何图形，并求出它的值_______．
(3)根据“破浪组”的方法，计算
1
2 +
1
4 +
1
8 +… +
1
2𝑛（𝑛为正整数）的值，并写出计算过程．
(4)2 + 4 + 8 + 16 + … + 2𝑛= ___________________．（直接写答案）
