2.1 有理数的加法与减法
课标要点
1. 结合温度、收支、海拔等生活实例，理解有理数加、减法的实际意义，借助数轴感受加
减运算的几何意义，建立符号意识。
2. 掌握有理数加法四大法则、减法转化法则，理解加法交换律、结合律在有理数范围内适
用，能独立完成有理数加减、加减混合基础运算。
3. 会将加减混合运算统一为加法，写成省略括号的代数和形式，灵活运用运算律简便计算。
4. 能结合数轴、绝对值、相反数进行化简求值，运用有理数加减法解决温差、行程、库存
等实际问题。
学习重难点
重点：
1. 有理数加法、减法运算法则，牢记 “先定符号，再算绝对值” 的运算步骤。
2. 加法交换律、结合律的灵活使用，掌握凑相反数、凑整、同分母合并等简便计算方法。
3. 加减混合运算统一为加法、省略括号的书写与计算。
难点：
1. 异号两数相加的符号判断，容易混淆同号、异号绝对值计算方式。
2. 减法转加法时双重变号（减号变加号、减数变相反数），符号运算易出错。
3. 数轴、绝对值、加减法综合题型，数形结合分析数量关系。
第一章
有理数
知识点
有理数的加法
◆有理数的加法法则：
1.同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和．
2．绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大
者与较小者的差.互为相反数的两个数相加得0.
3.一个数与0 相加，仍得这个数．
【注意】在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那
一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．
随学随练
1．（2026·山西长治·三模）下列各数中比−1大3 的数是（ ）
A．−2
B．−1
C．0
D．2
【答案】D
【分析】本题考查有理数的加法运算，根据题意列出加法算式，计算结果后匹配选项即可．
【详解】解：根据题意，要求比−1大3的数，可列式计算得到−1 + 3 = 2
∴所求的数是2．
2．（26-27 七年级·全国·暑假作业）计算下列各题：
(1)(−5) + (−3)；
(2)(−7) + ( +4)；
(3)( +2.5) + (−2.5)．
【答案】(1)−8
(2)−3
(3)0
【详解】（1）解：原式= −(5 + 3) = −8．
（2）解：原式= −(7−4) = −3．
（3）解：原式= 0．
知识点
有理数的加法运算律
◆1、有理数的加法交换律：
有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变．
即a + b = b + a.
◆2、有理数的加法结合律：
有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．
用字母表示为：(a + b) + c = a + (b + c).
随学随练
1．（25-26 七年级上·河南南阳·期中）小磊解题时，将式子−
1
6 +(−7)−
5
6 +(−4)先变成
−
1
6 + −
5
6
+[(−7) + (−4)]再计算结果，小磊运用了（ ）
A．加法交换律
B．加法结合律
C．加法交换律和加法结合律
D．乘法结合律
【答案】C
【分析】本题主要考查了加法交换律和加法结合律，熟练掌握这两种运算律的定义是解题的关键．分析式
子变形过程，判断所运用的运算律．
【详解】解：∵ 原式(−
1
6) + (−7)−
5
6 +(−4)可化为(−
1
6) + (−7) + (−
5
6) + (−4)，
小磊将项重新排列并分组为[(−
1
6) + (−
5
6)] + [(−7) + (−4)]，
其中交换加数顺序使用了加法交换律，改变分组方式使用了加法结合律，
∴ 小磊运用了加法交换律和加法结合律，
故选：C．
知识点
有理数的减法
◆1、有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.
用字母表示为：
◆2、方法指引：
①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；
②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号
（减数变相反数）；
)
( b
a
b
a
【注意】
在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律.减法法则不能与加法法则
类比，0 加任何数都不变，0 减任何数应依法则进行计算．
随学随练
1．下列计算正确的是（ ）
A．(−14)−5 = −9
B．0−(−3) = 3
C．(−3)−(−3) = −6
D．|5−3| = −(5−3)
【答案】B
【分析】本题考查了有理数的减法，熟练掌握有理数的减法法则是解题的关键．
根据有理数的减法进行计算即可求解．
【详解】A. (−14)−5 = −19，故该选项不正确，不符合题意；
B. 0−(−3) = 3，故该选项正确，符合题意；
C. (−3)−(−3) = 0，故该选项不正确，不符合题意；
D. |5−3| = 5−3 = 2，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
2．（25-26 六年级上·湖南娄底·期中）手机支付给生活带来便捷，如图是王老师某日微信账单的收支明细
（正数表示收入，负数表示支出，单位：元）王老师当天微信收支的最终结果是（ ）
微信红包-来自王某某：+14.00
某平台商户：－8.00
扫二维码付给某店：−9.00
A．收入14元
B．支出3元
C．收入6元
D．支出17元
【答案】B
【分析】本题考查了正负数的实际应用以及有理数加法运算，关键是读懂题意，熟练掌握运算法则；
根据题意，将当日微信账单的各项收支相加并计算结果，再根据“正数表示收入，负数表示支出”即可获得答
案．
【详解】解：( +14) + (−8) + (−9) = 14 + (−8−9) = 14 + (−17) = −3，
即：王老师当天微信收支的最终结果是：支出3元．
故选：B．
知识点
有理数的加减混合运算
◆有理数的加减混合运算
引入相反数后，有理数的加减混合运算统一成加法运算.即：
c
b
a
a+b+(﹣c)
◆2、方法指引：
①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式．
②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化．
随学随练
1．（25-26 七年级上·福建漳州·期中）将6−( +3)−(−7) + (−2)写成省略加号的和的形式，正确的是（ ）
A．−6−3−7−2 B．6−3−7−2
C．6−3 + 7−2
D．6 + 3−7−2
【答案】C
【分析】去括号时，括号前是正号，去掉括号后括号内各项不变号；括号前是负号，去掉括号后括号内各
项变号．
【详解】解：∵原式为6−( +3)−(−7) + (−2)，
∴按去括号法则变形得6−3 + 7−2．
2．（26-27 七年级·全国·暑假作业）计算：
(1)(−8) +10 + 2 + (−1)；
(2) −4
7
8 −−5
1
2 + −4
1
4 −+3
1
8 ．
【答案】(1)3
(2)−6
3
4
【详解】（1）解：(−8) +10 + 2 + (−1)
= −8 + 10 + 2−1
= 3；
（2）解：−4
7
8 −−5
1
2 + −4
1
4 −+3
1
8
= −4 7
8 + 5 1
2 −4 1
4 −3 1
8
=
−4
7
8 −3
1
8 + 5
1
2 −4
1
4
= −8 + 1 1
4
= −6
3
4．
题型一 有理数的加法
▌例1 下列各式运算正确的是（ ）
A．(−3) + ( + 7) = −4
B．(−2) + ( + 2) = −4
C．( + 6) + (−11) = −5
D．(−5) + ( + 3) = −8
【答案】C
【详解】解：选项A：∵(−3) + ( +7) = 4 ≠−4，
∴ A 错误；
选项B：∵(−2) + ( +2) = 0 ≠−4，
∴B 错误；
选项C：∵( +6) + (−11) = −5，
∴C 正确；
选项D：∵(−5) + ( +3) = −2 ≠−8，
∴ D 错误．
▌对点练1-1 （2026·山西运城·二模）下列选项中与4 的和为0 的是（ ）
A．−4
B．|−4|
C．−(−4)
D．4
【答案】A
【详解】解：∵|−4| = 4,−(−4) = 4，−4 + 4 = 0,4 + 4 = 8，
∴与4 的和为0 的是−4.
▌对点练1-2 （25-26 七年级上·江西新余·期中）如果两个有理数的和是正数，那么一定有结论（ ）
解题贴士
有理数加法运算的步骤：
1. 先判断类型（同号、异号等）；
2. 再确定和的符号；
3. 最后进行绝对值的加减运算.
A．两个加数都是正数
B．两个加数中至少一个是正数
C．一个加数为正数，另一个加数为零
D．两个加数同为负数
【答案】B
【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键．
根据有理数的加法性质，分析求解，即可解题．
【详解】解：设两个有理数为a 和b，且𝑎+ 𝑏> 0．
因为若𝑎≤0且𝑏≤0，则𝑎+ 𝑏≤0，与𝑎+ 𝑏> 0矛盾，
所以至少有一个加数大于0，即两个加数中至少一个是正数．
故选：B．
▌对点练1-3（26-27 七年级·浙江·暑假作业）计算：
(1)( +8) + (−5)；
(2)( +2.5) + (−2.5)；
(3)(−5) +0 ；
(4) −
1
2 +
+
1
3 ．
【答案】(1)3
(2)0
(3)−5
(4)−
1
6
【详解】（1）解：( +8) + (−5) = + (8−5) = 3 ；
（2）解：( +2.5) + (−2.5) = 0 ；
（3）解：(−5) +0 = −5 ；
（4）解：−
1
2 +
+
1
3
= −
1
2 −
1
3
= −
1
6.
题型二 有理数的减法
▌例2 （2026·河南周口·模拟预测）计算|−5|−(−1)的值为（ ）
A．6
B．4
C．−6
D．−4
【答案】A
【详解】解：|−5|−(−1) = 5 + 1 = 6．
▌对点练2-1 （26-27 七年级·全国·暑假作业）计算：−|−(−2)−2| = ___________．
【答案】0
【详解】解：−|−(−2)−2| = −|2−2| = −|0| = 0．
▌对点练2-2 （23-24 七年级上·河北保定·期末）计算：
(1)( + 18)−( + 6)−( + 19)−(−20)−(−5)；
(2)( + 4
5
6)−( + 3
3
5)−(−3
1
6)−( + 1
2
5)．
【答案】(1)18
(2)3
【分析】本题考查了有理数的加减法法则及加法运算律，熟练掌握有理数的加减法法则及加法运算律是解
题的关键．
（1）根据有理数的加减法法则计算即可得解；
（2）根据有理数的加减法法则及加法运算律计算即可得解．
【详解】（1）解：( + 18)−( + 6)−( + 19)−(−20)−(−5)
= 18−6−19 + 20 + 5
= 12−19 + 20 + 5
= −7 + 20 + 5
= 13 + 5
= 18；
（2）解：( + 4
5
6)−( + 3
3
5)−(−3
1
6)−( + 1
2
5)
= 4 5
6 −3 3
5 + 3 1
6 −1 2
5
= 4 5
6 + 3 1
6 −3
3
5 + 1
2
5
解题贴士
有理数的减法法则是一个转化法则，减号转化为加号，同时要注意减数变为它的相反数，这样就可以用
加法法则来解决减法问题.
= 8−5
= 3
▌对点练2-3 （24-25 七年级上·全国·课后作业）计算：
(1)16
1
4−32
3
4；
(2) +
1
3 −
1
2−(−1)；
(3) +5
2
3 −−5
2
3 ；
(4)(−6)−(−8)−( +7)．
【答案】(1)−16
1
2
(2)
5
6
(3)11
1
3
(4)−5
【分析】本题考查了有理数的减法运算及分数、带分数的加减运算，解题的关键是将减法转化为代数和形
式后按加法法则计算．
（1）将减法转化为代数和，拆分带分数后分别计算整数与分数部分的和．
（2）转化为代数和后通分，按分数加法法则计算．
（3）转化为代数和后，直接计算两个相同带分数的和．
（4）转化为代数和后，按整数加法法则依次计算．
【详解】（1）解：16
1
4−32
3
4 = 16
1
4 + −32
3
4
= 16−32 + 1
4 −3
4
= −16−
1
2 = −16
1
2；
（2）+
1
3 −
1
2−(−1) =
1
3−
1
2 +1 =
2
6−
3
6 +
6
6 =
5
6；
（3）+5
2
3 −−5
2
3 = 5
2
3 +5
2
3 = 11
1
3；
（4）(−6)−(−8)−( + 7) = −6 + 8−7 = 2−7 = −5．
题型三 省略加法和括号和的形式
▌例3（26-27 七年级·全国·暑假作业）将(−2)−( +1)−(−5) + (−4)统一为加法运算，正确的是（ ）
A．(−2) + ( +1) + (−5) + (−4)
B．(−2) + (−1) + ( +5) + (−4)
C．(−2) + ( +1) + ( +5) + ( +4)
D．(−2) + (−1) + (−5) + ( +4)
【答案】B
【分析】根据有理数的加减法法则，即可求解．
【详解】解：把(−2)−( +1)−(−5) + (−4)统一为加法运算为(−2) + (−1) + ( +5) + (−4)．
▌对点练3-1 （24-25 七年级上·天津·期中）把(−2)−( +3)−(−5) + (−4)转化成几个有理数相加的形式，
正确的是（ ）
A．(−2) + ( +3) + (−5) + (−4)
B．(−2) + (−3) + ( +5) + (−4)
C．( +2) + ( +3) + (−5) + (−4)
D．(−2) + ( +3) + (−5) + ( +4)
【答案】B
【分析】本题考查了有理数的加减混合运算．
将每个减法转化为加法，并改变减数的符号即可．
【详解】解：第一个减号：−( +3) 转化为 + (−3)；
第二个减号：−(−5) 转化为 + ( +5)；
因此，原式转化为：
(−2) + (−3) + (+5) + (−4)
故选 B．
▌对点练3-2 （24-25 七年级上·宁夏吴忠·阶段检测）不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以
写成−3 + 4−5−8的是（ ）
A．(−3)−( +4)−(−5) + (−8)
B．−( +3)−(−4)−( +5) + (−8)
C．−( +3) + ( +4)−(−5) + (−8)
D．(−3) + ( +4) + (−5)−(−8)
【答案】B
【详解】解：A、(−3)−( +4)−(−5) + (−8) = −3−4 + 5−8 ≠−3 + 4−5−8，
∴A 错误；
B、−( +3)−(−4)−( +5) + (−8) = −3 + 4−5−8，
解题贴士
1.核心法则：去括号、省略加号，统一写成代数和**理数加减混合运算的步骤：
2.步骤：① 把减法全部转化：a−b=a+(−b)
② 省略所有加号、多余括号
③ 只保留数字前面正负号．
∴B 正确；
C、−( +3) + ( +4)−(−5) + (−8) = −3 + 4 + 5−8 ≠−3 + 4−5−8，
∴C 错误；
D、(−3) + ( +4) + (−5)−(−8) = −3 + 4−5 + 8 ≠−3 + 4−5−8，
∴D 错误．
▌对点练3-3（24-25 七年级上·四川巴中·阶段检测）把式子21−( +6) + (−15)−(−7)改写成省略括号的和的
形式______________．
【答案】21 减6 减15 加7 或正21、负6、负15、正7 的和
【分析】本题考查的是有理数的加减混合运算，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略
括号的和的形式即可．
【详解】解：21−( +6) + (−15)−(−7) = 21−6−15 + 7，
所以把式子21−( +6) + (−15)−(−7)改写成省略括号的和的形式为21 减6 减15 加7 或正21、负6、负
15、正7 的和．
故答案为：21 减6 减15 加7 或正21、负6、负15、正7 的和．
题型四有理数的加减混合运算
▌例4 数轴上的点𝑀表示−2，将点𝑀向右平移5个单位后，再向左平移3个单位到点𝑁，那么点𝑁表示的数是
（ ）．
A．0
B．−3
C．−10
D．−6
【答案】A
【分析】本题考查了数轴上的点表示有理数，数轴上的动点问题，根据数轴上向右平移加，向左平移减，
计算即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：∵点𝑀表示−2，向右平移5个单位得−2 + 5 = 3，再向左平移3个单位得3−3 = 0，
∴点𝑁表示的数为0．
故选：A．
▌对点练4-1 （25-26 七年级上·湖南岳阳·期中）有理数的加减运算：
(1)43 + (−77) +27 + (−43)
(2)−0.5−−3
1
4 +2.75−+7
1
2
【答案】(1)−50
(2)−2
【分析】本题考查了有理数加减的混合运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键．
（1）去括号运算即可；
（2）把小数变成分数运算即可．
【详解】（1）43 + (−77) +27 + (−43)
解：原式= 43−77 + 27−43
= (43−43) + (−77 + 27)
= −77 + 27
= −50；
（2）−0.5−−3
1
4 +2.75−+7
1
2
解：原式= −
1
2 +3
1
4 +2
3
4−7
1
2
=
−
1
2 −7
1
2 + 3
1
4 + 2
3
4
= −8 + 6
= −2．
▌对点练4-2 （25-26 七年级上·湖南长沙·期中）错题是最好的素材，识错和辨错能有效的检测我们的知识
漏洞，纠错和改错则能培养我们严谨高阶的学科素养．仔细阅读嘉木同学进行有理数混合运算的过程并完
成相应任务．
计算：−
1
3 −15 + −
2
3 −(−25)
解题贴士
有理数加减混合运算的步骤：
（1）将减法转化为加法运算；
（2）省略加号和括号；
（3）运用加法交换律和结合律，将同号的数分别相加；
（4）按有理数加法法则计算．
解：原式= −
1
3 + (−15) + −
2
3 +25第一步
=
−
1
3 + −
2
3
+ [(−15)+ 25]第二步
= −1 + 40第三步
= 39第四步
任务1：①第一步将原式的减法转化为加法的依据是___________；
②运算从第___________步开始出现错误，这一步错误的原因是___________；
任务2：请你写出正确的解答过程．
【答案】
任务1：①有理数的减法运算法则
②三，将(−15) +25误算为40
任务2：正确的解答过程见解析．
【分析】本题考查有理数的加减混合运算，有理数加法运算律．
任务1：①第一步将原式的减法转化为加法的依据是有理数减法的运算法则；②根据运算法则逐步检查，
即可求解；
任务2：按照运算法则，结合有理数加法运算律，写出正确的解答过程即可．
【详解】解：任务1：①第一步将原式的减法转化为加法的依据是有理数的减法运算法则，
故答案为：有理数的减法运算法则．
② −15 + 25 = 10 ≠40，
∴运算从第三步开始出现错误，这一步错误的原因是将(−15) +25误算为40，
故答案为：三，将(−15) +25误算为40．
解：任务2：−
1
3 −15 + −
2
3 −(−25)
=
−
1
3 −15 + −
2
3 + 25
=
−
1
3 + −
2
3
+ (−15 + 25)
= −1 + 10
= 9．
▌对点练4-3（24-25 七年级上·湖北黄石·阶段检测）计算：
(1)−2 + (−3) +7 + (−9)；
(2)28 + (−25) +14 + (−11)；
(3)0.85 + 0.75−+5
3
4 + (−11.85)−1；
(4)−
3
4 +
5
6−
1
2−
4
3．
【答案】(1)−7
(2)6
(3)−17
(4)−
7
4
【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）根据有理数的加减运算法则计算即可得解；
（2）根据有理数的加减运算法则计算即可得解；
（3）根据有理数的加减运算法则计算即可得解；
（4）根据有理数的加减运算法则计算即可得解．
【详解】（1）解：−2 + (−3) +7 + (−9) = −2−3 + 7−9 = −7；
（2）解：28 + (−25) +14 + (−11) = 28−25 + 14−11 = 6；
（3）解：0.85 + 0.75−+5
3
4 + (−11.85)−1 = 0.85 + 0.75−5.75−11.85−1 = −17；
（4）解：−
3
4 +
5
6−
1
2−
4
3 = −
9
12 +
10
12−
6
12−
16
12 = −
21
12 = −
7
4．
题型五 运用加法运算律进行简便计算
▌例5 （25-26 七年级上·全国·课后作业）小明同学在解题时，将式子−
1
3 +
2
5 + −
2
3 −−
3
5 变成
−
1
3 + −
2
3
+
2
5 −−
3
5
后再进行计算，该同学运用了（ ）
A．加法交换律
B．加法结合律
C．加法交换律和结合律
D．乘法分配律
【答案】C
【分析】小明通过重新排列和分组项，简化了计算过程，运用了加法交换律改变项的顺序，并运用加法结
合律改变分组．
【详解】解：−
1
3 +
2
5 +(−
2
3)−(−
3
5)
= −
1
3 +
2
5 +(−
2
3) +
3
5 ，
∴通过加法交换律，将 (−
2
3) 与
2
5 交换位置，
可得：原式= −
1
3 +(−
2
3) +
2
5 +
3
5，
再通过加法结合律，分组为 [−
1
3 +(−
2
3)] + [
2
5 +
3
5]，
∴该同学运用了加法交换律和结合律．
故选：C．
▌对点练5-1 （25-26 七年级上·北京朝阳·期中）计算6 + (−2) + (−9) +5 = (6 + 5) + [(−2)+(−9)]的依据
是（ ）
A．加法交换律
B．加法结合律
C．符号化简
D．加法交换律和结合律
【答案】D
【分析】本题考查了有理数的加法，等式左边到右边的变形涉及加数顺序的调整和分组的改变，因此同时
运用了加法交换律和结合律，熟练掌握有理数的加法法则是解此题的关键．
【详解】解：原式6 + (−2) + (−9) +5先通过加法交换律改变顺序为6 + 5 + (−2) + (−9)，再通过加法结合
律分组为(6 + 5) + [(−2)+(−9)]，故依据是加法交换律和结合律，
故选：D．
▌对点练5-2 （2025 七年级上·全国·专题练习）用简便方法计算：
(1)−4 + 17 + (−36) + 73；
(2)−
5
6 +
1
5 +
11
6 +(−
4
5)．
【答案】(1)50
(2)
2
5
【分析】本题主要考查有理数的加法，掌握运算律是解题的关键．
（1）根据有理数加法的运算律将同号两数先相加，再计算即可；
（2）根据有理数加法的运算律将同分母的先相加，再计算即可求解．
【详解】解：（1）原式= [(−4) + (−36)] + (17 + 73)
= −40 + 90
= 50；
解题贴士
1. 一般地，总是先把正数或负数分别结合在一起相加；
2. 有相反数的可先把相反数相加，能凑整的可先凑整；
3. 有分母相同的分数时，可先把分母相同的分数结合.
（2）原式= (−
5
6 +
11
6 ) + (
1
5−
4
5)
= 1−3
5
=
2
5.
▌对点练5-3（24-25 七年级上·安徽蚌埠·期中）阅读例题的计算方法．
例：计算：−5
5
6 + −9
2
3 +17
3
4 + −3
1
2 ．
解：原式= (−5)+ −
5
6
+ (−9)+ −
2
3
+ 17 +
3
4 + (−3)+ −
1
2
= [(−5) + (−9) + 17 + (−3)] +
−
5
6 + −
2
3 +
3
4 + −
1
2
= 0 + −1
1
4
= −1
1
4．
上面这种解题方法叫做拆项法．
(1)计算：−16
11
17 +
+14
3
7 +
+12
11
17 + −15
3
7 ；
(2)计算：+2024
4
5 + −1890
5
9 +
+1008
3
5 + −1142
4
9 ．
【答案】(1)−5
(2)
2
5
【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据提供的方法，拆项计算即可；
（2）根据提供的方法，拆项计算即可．
【详解】（1）解：−16
11
17 +
+14
3
7 +
+12
11
17 + −15
3
7
= (−16) + −
11
17
+ 14 +
3
7 + 12 +
11
17 + (−15) + −
3
7
= [(−16) + 14 + 12 + (−15)] +
−
11
17 +
3
7 + −
3
7 +
11
17
= [(−16) + (−15) + 14 + 12] +
−
11
17 +
11
17 +
3
7 + −
3
7
= [(−31) + 26] + 0
= −5．
（2）解：+2024
4
5 + −1890
5
9 +
+1008
3
5 + −1142
4
9
= 2024 +
4
5 + (−1890) + −
5
9
+ 1008 +
3
5 + (−1142) + −
4
9
= [(−1890) + 2024 + 1008 + (−1142)] +
−
5
9 +
4
5 + −
4
9 +
3
5
= [(−1890) + (−1142) + 2024 + 1008] +
−
5
9 + −
4
9 +
4
5 +
3
5
= [(−3032) + 3032] + (−1) + 1
2
5
= 0 + 2
5
=
2
5．
题型六 有理数加减法与数轴的综合
▌例6 （25-26 七年级上·福建福州·期末）有理数a，b，c 在数轴上的位置如图所示，且b 与c 互为相反数，
下列结论错误的是（ ）
A．𝑏+ 𝑐= 0
B．−𝑎< 𝑐
C．|𝑏| = |𝑐|
D．𝑎−𝑐> 0
【答案】B
【分析】本题主要考查了有理数与数轴，掌握相反数的定义，化简绝对值，由数轴可知，𝑐< 0 < 𝑎< 𝑏，
|𝑐| > |𝑎|，由b 与c 互为相反数，得𝑏+ 𝑐= 0，|𝑐| = |𝑏|，据此逐项判断即可．
【详解】解：∵b 与c 互为相反数，
∴𝑏+ 𝑐= 0，故选项A 正确；
由数轴图可知，𝑐< 0 < 𝑎< 𝑏，|𝑐| > |𝑎|，|𝑐| = |𝑏|，故选项C 正确；
∴𝑐< −𝑎，𝑎−𝑐> 0，
故选项B 错误；选项D 正确；
故选：B．
▌对点练6-1 （2026·河北邯郸·二模）如图，数轴上点𝑃表示的数为2，将点𝑃向左移动5 个单位长度得到点
𝑄，则点𝑄表示的数是（ ）
解题贴士
用有理数的减法可以表示数轴上两点之间的距离，若A、B 两点在数轴上分别表示a、b，则AB 两点间
距离公式：AB＝|a﹣b|＝|b﹣a|，即在数轴上任意两点之间的距离等于这两点所表示的数之差的绝对值.
A．−5
B．−3
C．0
D．7
【答案】B
【详解】解：依题意，点𝑄表示的数是2−5 = −3．
▌对点练6-2 （2026·河北保定·三模）如图，数轴上的点M，N 分别表示数−3，1．
(1)求点M，N 之间的距离；
(2)数x 对应此数轴上的点A，若点A，N 之间的距离为2，求x 的值．
【答案】(1)4
(2)−1或3
【详解】（1）解：由数轴可知：点M，N 之间的距离为1−(−3) = 1 + 3 = 4；
（2）解：∵点A，N 之间的距离为2，且点N 表示的数为1，
∴点A 表示的数为1−2 = −1或1 + 2 = 3，
即x 的值−1或3．
▌对点练6-3（25-26 七年级上·山西临汾·期末）已知数轴上点A、点B 所表示的数分别为a，b
(1)若𝑎= −3，𝑏= 2，A、B 两点的距离为____________，点A、点B 的中点C 表示的数为____________．
(2)到点A 为3 个单位长度的数可表示为____________．
(3)A、B 两点间的距离为____________．
【答案】(1)5,−0.5
(2)𝑎+ 3和𝑎−3
(3)|𝑎−𝑏|
【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，有理数的加法，减法运算，绝对值的含义.
（1）直接利用数轴上两点之间的距离公式计算A、B 两点的距离即可，再由−3加上A、B 两点的距离的一
半可得点A、点B 的中点C 表示的数.
（2）根据到点A 为3 个单位长度的数有两个，再进一步表示即可.
（3）直接利用数轴上两点之间的距离公式计算A、B 两点的距离即可.
【详解】（1）解：∵𝑎= −3，𝑏= 2，
∴A、B 两点的距离为：|𝑎−𝑏| = |−3−2| = 5，点A、点B 的中点C 表示的数为：−3 +
5
2 = −0.5．
（2）解：到点A 为3 个单位长度的数可表示为：𝑎+ 3或𝑎−3.
（3）解：A、B 两点间的距离为：|𝑎−𝑏|.
题型七 有理数加减法与相反数、绝对值的综合
▌例7 已知𝑥𝑦< 0，且|𝑥| = 3,|𝑦| = 2，则𝑥+ 𝑦的值等于（ ）
A．1 或−1
B．5 或−5
C．5 或−1
D．−5或1
【答案】A
【分析】此题主要考查了绝对值的性质，由|𝑥| = 3,|𝑦| = 2可得 𝑥=± 3，𝑦=± 2；结合𝑥𝑦< 0可知x 与 y
异号，分两种情况计算𝑥+ 𝑦即可．
【详解】解：∵|𝑥| = 3,|𝑦| = 2，
∴𝑥=± 3，𝑦=± 2，
又∵𝑥𝑦< 0，
∴ x 与 y 异号，
当𝑥= 3时，𝑦= −2，则 𝑥+ 𝑦= 3−2 = 1，
当 𝑥= −3时，𝑦= 2，则𝑥+ 𝑦= −3 + 2 = −1，
∴𝑥+ 𝑦的值为1 或−1．
故选：A．
▌对点练7-1 （26-27 七年级·全国·暑假作业）已知 |𝑎| = 4，|𝑏| = 7，且 𝑎+ 𝑏< 0，求 𝑎+ 𝑏 的值．
【答案】−3 或 −11
【分析】根据绝对值的定义得到𝑎=± 4,𝑏=± 7，由𝑎+ 𝑏< 0，得到𝑎=± 4,𝑏= −7，据此代值计算即可．
【详解】因为 |𝑎| = 4，所以 𝑎=± 4；
解题贴士
1、利用相反数的意义：互为相反数的两个数的和为0；
2、利用绝对值的非负性：几个非负数的和为0，每个非负数都要为0.
3、利用有理数的加法运算法则：异号的两个数相加，取绝对值较大的数的符号，再让较大的绝对值减
去较小的绝对值．
因为 |𝑏| = 7，所以 𝑏=± 7，
又因为 𝑎+ 𝑏< 0，
所以： ① 当 𝑎= 4 时，𝑏 必须为 −7，此时 𝑎+ 𝑏= 4 + (−7) = −3；
② 当 𝑎= −4 时，𝑏 可以为 −7，此时 𝑎+ 𝑏= −4 + (−7) = −11，（若 𝑏= 7，则 𝑎+ 𝑏= 3 > 0，舍去）
综上，𝑎+ 𝑏 的值为 −3 或 −11．
▌对点练7-2（25-26 七年级上·湖南长沙·阶段检测）已知|𝑥| = 5，|𝑦| = 7．
(1)填空：𝑥=
；𝑦=
；
(2)若|𝑥+ 𝑦| = 𝑥+ 𝑦，求𝑥−𝑦的值．
【答案】(1) ± 5，± 7
(2)−2或−12
【分析】本题考查绝对值，有理数的减法运算；
（1）根据绝对值的定义解答即可；
（2）根据题意得到𝑥+ 𝑦≥0，进而得到x 和y 的值，然后代入，根据有理数的减法解答．
【详解】（1）解：∵|𝑥| = 5，|𝑦| = 7，
∴𝑥=± 5，𝑦=± 7，
故答案为：± 5，± 7；
（2）解：根据题意得：𝑥+ 𝑦≥0，
∴𝑥= 5，𝑦= 7；或𝑥= −5，𝑦= 7
当𝑥= 5，𝑦= 7时，𝑥−𝑦= −2；
当𝑥= −5，𝑦= 7时，𝑥−𝑦= −12
综上所述，𝑥−𝑦的值为−2或−12．
▌对点练7-3（24-25 七年级上·湖南长沙·阶段检测）我国著名的数学家华罗庚曾经说过：“数缺形时少直观，
形少数时难入微”数形结合是解决数学问题的重要思想方法，在中学数学中，体现数形结合思想的内容较多，
本学期学习的“数轴”就是体现数形结合思想的一个有力工具，利用数轴常常可以使一些复杂问题变得容易解
决，我们都知道：|5−2|表示5 与2 的差的绝对值，实际上也可理解为5 与2 两数在数轴上所对应的两点之
间的距离；|5 + 2|表示5 与−2的差的绝对值，实际上也可以理解为5 与−2两数在数轴上所对应的两点之间
的距离，试探索：
(1)|−4 + 6| = ___________；|−2−4| = ___________；
(2)若数轴上表示数𝑎的点位于−4与6 之间，则|𝑎+ 4| + |𝑎−6|的值是___________．
【答案】(1)2，6
(2)10
【分析】本题考查数轴上两点间的距离，掌握两点间的距离公式，是解题的关键：
（1）利用两点间的距离公式进行计算即可；
（2）根据绝对值的几何意义，得到|𝑎+ 4| + |𝑎−6|等于6和−4两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
【详解】（1）解：|−4 + 6| = 2,|−2−4| = 6；
故答案为：2，6；
（2）数轴上表示数𝑎的点位于−4与6 之间，|𝑎+ 4| + |𝑎−6|的值等于6和−4两数在数轴上所对应的两点之间
的距离，
∴|𝑎+ 4| + |𝑎−6| = 6 + 4 = 10；
故答案为：10．
题型七 有理数加减混合运算在实际生活中的应用
▌例8 （2026·辽宁抚顺·一模）2025 年全国多地开展“城市地下水位监测”工作，某监测站记录的一周内地下
水位变化量（均与前一天进行对比，上升为正，下降为负）如下表所示：
时间
周一
周二
周三
周四
周五
周六
周日
水位变化量／m
+0.25
−0.18
+0.05
−0.32
+0.12
−0.09
+0.15
其中水位最低的一天是（ ）
A．周二
B．周四
C．周五
D．周日
【答案】B
【分析】设上周日水位为初始值，根据每天的水位变化量依次计算出本周每天的水位，再比较大小即可得
出水位最低的一天．
【详解】解：设上周日的水位为𝑎m，
依次计算本周每天的水位：
周一水位：𝑎+ 0.25，
周二水位：𝑎+ 0.25−0.18 = 𝑎+ 0.07，
周三水位：𝑎+ 0.07 + 0.05 = 𝑎+ 0.12，
周四水位：𝑎+ 0.12−0.32 = 𝑎−0.20，
周五水位：𝑎−0.20 + 0.12 = 𝑎−0.08，
周六水位：𝑎−0.08−0.09 = 𝑎−0.17，
周日水位：𝑎−0.17 + 0.15 = 𝑎−0.02，
∵−0.20 < −0.17 < −0.08 < −0.02 < +0.07 < +0.12 < +0.25
∴𝑎−0.20 < 𝑎−0.17 < 𝑎−0.08 < 𝑎−0.02 < 𝑎+ 0.07 < 𝑎+ 0.12 < 𝑎+ 0.25，
∴周四的水位最低．
▌对点练8-1 （26-27 七年级·全国·暑假作业）足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，
如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单
位：m ）：+10 ，−2 ，+5 ，+12 ，−6 ，−9 ，+4 ，−14 ．（假定开始计时时，守门员正好在球
门线上）
(1)守门员最后是否回到球门线上？
(2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？
(3)如果守门员离开球门线的距离超过10m （不包括10m ），则对方球员挑射极可能造成破门．问：在这
一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？简述理由．
【答案】(1)守门员最后回到了球门线上
(2)25 米
(3)4 次，理由如下：
由（2）可知守门员每次离开球门线的距离分别为：10 米，8 米，13 米，25 米，19 米，10 米，14 米，0，
则符合题意的有：13，25，19，14．
∴对方球员有4 次挑射破门的机会．
【分析】（1）根据有理数加减法的规则进行计算，因为初始位置为球门线，对应数值0，所以只需将所有
跑动记录的数值相加，判断和是否为0 即可；
（2）如果要找离开球门线的最远距离，那么需要依次计算每次跑动后守门员相对于球门线的位置，取最大
值；
（3）因为需要统计距离超过10m 的次数，所以需逐一核对每次跑动后位置，统计其中大于10 的次数即可．
【详解】（1）解：根据题意得：( +10) + (−2) + ( +5) + ( +12) + (−6) + (−9) + ( +4) + (−14) = 0 米，
∴守门员最后回到了球门线上；
（2）解：第一次跑距离开球门线10 米 ；
第二次距离开球门线10−2 = 8 （米）；
第三次距离开球门线8 + 5 = 13 （米）；
第四次距离开球门线13 + 12 = 25 （米）；
解题贴士
用有理数的加减混合运算求解实际问题时，关键是审清题意，把实际问题转化成数学问题，常见的实际
问题有距离问题、高度问题、温差问题等.
第五次距离开球门线25−6 = 19 （米）；
第六次距离开球门线19−9 = 10 （米）；
第七次距离开球门线10 + 4 = 14 （米）；
第八次距离开球门线14−14 = 0 （米）．
∴守门员离开球门线的最远距离为25 米；
（3）略．
▌对点练8-2 （25-26 七年级上·吉林长春·阶段检测）在2025 年长春航展演练期间、一架歼—10 表演机从
停机坪A 地出发执行飞行表演任务，全程仅沿东西方向飞行，若规定向东为正、向西为负，当天飞行的路
程（单位：km）如下：+15,−20, + 16,−9, + 12,−6, + 11,−4．
(1)表演结束时歼—10 表演机所在的B 地在A 地的什么方向，距离A 地多远?
(2)若外—10 表演机每千米耗油量约为30L，计算该歼—10 表演机在执行飞行表演任务期间的耗油量是多
少?
(3)若该歼—10 表演机按题目给出的8 段路程依次飞行，每完成1 段路程后，工作人员会记录一次飞机与A
地的距离（距离非负）、请直接写出所有记录的距离中，最大值与最小值的差是 km．
【答案】(1)在A 地的东方向，距离A 地15km
(2)2790L
(3)17
【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，正数和负数，绝对值，结合已知条件列得正确的算式是
解答本题的关键．
（1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可；
（2）将各数的绝对值相加并计算即可；
（3）分别将每段的路程表示出来进行比较即可得解．
【详解】（1）解：根据题意得，15−20 + 16−9 + 12−6 + 11−4 = 15，
∴歼—10 表演机所在的B 地在A 地的东方向，距离A 地有15km；
（2）解：根据题意得，15 + 20 + 16 + 9 + 12 + 6 + 11 + 4 = 93，
∴歼—10 表演机在执行飞行表演任务期间的路程为93km，
∴歼—10 表演机在执行飞行表演任务期间的耗油量是93 × 30 = 2790(L)；
（3）解：根据题意得，第1 段后：15km，
第2 段后：|15−20| = 5km，
第 3 段后：|−5 + 16| = 11km，
第 4 段后：|11−9| = 2km，
第 5 段后：|2 + 12| = 14km，
第 6 段后：|14−6| = 8km，
第 7 段后：|8 + 11| = 19km，
第 8 段后：|19−4| = 15km，
记录的距离为：15,5,11,2,14,8,19,15。
∴最大值为19km，最小值为2km，
∴差值为：19−2 = 17(km)．
故答案为：17．
▌对点练8-3 （25-26 七年级上·河北唐山·期末）南湖公园，全称南湖城市中央生态公园，是唐山市国家4A
级景区，是集自然生态、历史文化和现代文化为一体的大型城市中央生态公园．某星期日，南湖公园共接
待游客约1.7 万人，接下来的一星期中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表
示比前一天少的人数）．
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
人数变
化（万
人）
−0.4
+0.1
−0.2
−0.1
+0.5
+1.1
−0.3
(1)星期三的人数为________万人；
(2)这一星期内，游客人数最多的是星期________，是________万人；
(3)请求出这一星期内南湖公园一共接待了多少名游客．
【答案】(1)1.2
(2)六，2.7
(3)这一星期内南湖公园一共接待了11.7 万名游客
【分析】本题考查有理数运算的实际应用，正确的列出算式是解题的关键：
（1）用上周日的人数加上表格中前三个数据，求和即可；
（2）求出每天的人数，比较大小即可；
（3）（2）中每天的数据求和即可．
【详解】（1）解：1.7−0.4 + 0.1−0.2 = 1.2（万人）；
故答案为：1.2；
（2）解：星期一人数为1.7−0.4 = 1.3（万人）；
星期二人数为1.3 + 0.1 = 1.4（万人）；
星期三人数为1.4−0.2 = 1.2（万人）；
星期四人数为1.2−0.1 = 1.1（万人）；
星期五人数为1.1 + 0.5 = 1.6（万人）；
星期六人数为1.6 + 1.1 = 2.7（万人）；
星期日人数为2.7−0.3 = 2.4（万人）；
故人数最多的是星期六，有2.7 万人；
故答案为：六，2.7
（3）解：1.3 + 1.4 + 1.2 + 1.1 + 1.6 + 2.7 + 2.4 = 11.7（万人）；
答：这一星期内南湖公园一共接待了11.7 万名游客．
题型八 有理数加减法的程序计算题
▌例9 （25-26 七年级上·甘肃兰州·期中）按如图所示的程序分别输入1进行计算，请写出输出结果（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【分析】本题考查了有理数的加法运算，把𝑥= 1代入程序中计算得到结果，判断是否大于2即可求解，熟
练掌握运算法则是解本题的关键．
【详解】解：把𝑥= 1代入程序中得：
1 + 4 + (−3) + 1
= 6 + (−3)
= 3 > 2，
∴输出结果为3，
故选：B．
▌对点练9-1 一个运算程序如图所示，当输入的数x 是－5 时，最后输出的数是（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】B
【分析】根据程序的运算法则，即可计算求解．
【详解】当输入的数x 是－5 时，-5-（-5）+（-1）=-1＜5
当x=-1 时，-1-（-5）+（-1）=3＜5
当x=3 时，3-（-5）+（-1）=7＞5
故输出7
故选B．
【点睛】此题主要考查程序的计算，解题的关键是熟知有理数的加减运算法则．
▌对点练9-2 （25-26 七年级上·全国·周测）根据如图所示的程序计算，若输入的值为−3，则输出的值为
________．
【答案】1
【分析】本题考查有理数的加减运算，根据运算程序，把输入的值为−3进行计算即可得解．
【详解】解：输入的值为−3，−3−(−2) +5−3 = −3 + 2 + 5−3 = 1，
故答案为：1．
▌对点练9-3 （22-23 七年级上·四川宜宾·期中）按如图所示的程序计算，若输入的值为1，则输出的值为
______．
解题贴士
利用有理数的加减混合运算解决程序计算题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序，根据程序列出算式
解答即可．
【答案】−2
【分析】按照程序，进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：
1−1 + 2−4 = −2 < 4，
∴输出的值为−2，
故答案为：−2．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，理解程序是解题的关键．
题型十 有理数加减法的新定义运算问题
▌例10 （24-25 七年级上·河南周口·阶段检测）定义：对于任意两个有理数𝑚,𝑛，可以组成一个有理数对
(𝑚,𝑛)．我们规定：(𝑎,𝑏) = 𝑎−𝑏+ (−2)．例如：(−2,5) = −2−5 + (−2) = −9．则有理数对(2,−1) = ______．
【答案】1
【分析】此题考查了有理数的加减运算．原式利用题中的新定义计算即可求出值．
【详解】解：根据题中的新定义得：(2,−1) = 2−(−1)−2 = 2 + 1−2 = 1．
故答案为：1．
▌对点练10-1 （23-24 七年级上·陕西西安·阶段检测）现定义两种运算“ ⊕”和“※”．对于任意两个整数，
𝑎⊕𝑏= 𝑎+ 𝑏−1，如2 ⊕1 = 2 + 1−1 = 2，𝑎※𝑏= 𝑎−𝑏+ 5，如2※1 = 2−1 + 5 = 6，则(−3)※(3 ⊕4) =
______．
【答案】−4
【分析】读懂新定义，利用新定义计算即可．
【详解】解：∵𝑎⊕𝑏= 𝑎+ 𝑏−1，𝑎※𝑏= 𝑎−𝑏+ 5，
∴(−3)※(3 ⊕4)
= (−3)※(3 + 4−1)
= (−3)※6
= (−3)−6 + 5
解题贴士
有理数加减法的新定义运算问题主要是根据新定义运算的法则列出算式，然后再进行计算即可．
= −4，
故答案为：−4．
【点睛】本题考查了新定义运算，解题的关键是读懂新定义，利用新定义法则代入计算．
▌对点练10-2 （25-26 七年级上·广东东莞·期中）已知：|𝑎| = 5，|𝑏| = 3．
(1)若𝑎< 0，𝑏> 0，求𝑎−𝑏的值；
(2)若𝑎> 𝑏> 0，定义一种运算：𝑎▲𝑏= 𝑎𝑏+ 2𝑎−3𝑏+ 2，求𝑎▲𝑏的值；
(3)若|𝑎+ 𝑏| = 𝑎+ 𝑏，求𝑎+ 𝑏的值．
【答案】(1)−8
(2)18
(3)8或2
【分析】本题考查了有理数的混合运算，倒数，相反数以及绝对值、求代数式的值，熟练掌握有理数运算
法则是解本题的关键．
（1）利用绝对值的代数意义求出𝑎与𝑏的值，代入代数式计算即可求值；
（2）把𝑎,𝑏的值代入定义的算式中即可求解；
（3）根据|𝑎+ 𝑏| = 𝑎+ 𝑏，可得𝑎+ 𝑏≥0，得出𝑎= 5，𝑏= −3或𝑎= 5，𝑏= 3，再代入代数式计算即可求
解．
【详解】（1）解：∵|𝑎| = 5，|𝑏| = 3，
∴𝑎=± 5，𝑏=± 3，
∵𝑎< 0，𝑏> 0，
∴𝑎= −5，𝑏= 3，
∴𝑎−𝑏= −5−3 = −8；
（2）解：∵𝑎> 𝑏> 0，
∴𝑎= 5，𝑏= 3，
∴𝑎▲𝑏= 5 × 3 + 2 × 5−3 × 3 + 2，
= 15 + 10−9 + 2，
= 18；
（3）解：∵|𝑎+ 𝑏| = 𝑎+ 𝑏，
∴𝑎+ 𝑏≥0，
∴𝑎= 5，𝑏= −3或𝑎= 5，𝑏= 3，
当𝑎= 5，𝑏= −3时，𝑎+ 𝑏= 5−3 = 2，
当𝑎= 5，𝑏= 3时，𝑎+ 𝑏= 5 + 3 = 8，
∴𝑎+ 𝑏的值为8或2．
▌对点练10-3 （25-26 七年级上·湖南长沙·期中）定义“数对映射”𝑓(𝑥,𝑦)，对于任意有理数x，y，若𝑥≥𝑦，
则𝑓(𝑥,𝑦) = (𝑥−1) + 𝑦；若𝑥< 𝑦，则𝑓(𝑥,𝑦) = 𝑥+ (𝑦−2)．例：𝑓(0,1) = 0 + (1−2) = −1．
(1)计算：𝑓(4,−2) = ________；𝑓(4,8) = ________；
(2)如𝑓(𝑚,3) = 3，求m 的值；
(3)在（2）的基础上，若𝑓(𝑛,𝑚) = |𝑛|，求整数n 的所有可能值．
【答案】(1)1，10
(2)𝑚= 2
(3)0 或1
【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，解一元一次方程，解题的关键是理解新定义的运算．
（1）根据新定义的运算，进行计算即可；
（2）分𝑚≥3，𝑚< 3，根据新定义的运算，得出关于m 的方程，然后解方程即可；
（3）分𝑛≥2，𝑛< 2，根据新定义的运算，得出关于n 的方程，然后解方程即可．
【详解】（1）解：因为4 > −2，所以𝑓(4,−2) = (4−1) + (−2) = 1；
因为4 < 8，所以𝑓(4,8) = 4 + (8−2) = 10．
（2）解：已知𝑓(𝑚,3) = 3，分情况讨论：
当𝑚≥3，𝑓(𝑚,3) = (𝑚−1) + 3 = 𝑚+ 2 = 3，
∴𝑚= 1，但𝑚= 1不满足𝑚≥3，舍去；
当𝑚< 3，𝑓(𝑚,3) = 𝑚+ (3−2) = 𝑚+ 1 = 3，
所以𝑚= 2，2 < 3成立，所以𝑚= 2．
综上：𝑚= 2．
（3）解：因为𝑚= 2，所以𝑓(𝑛,2) = |𝑛|，分情况讨论：
若𝑛≥2，则𝑓(𝑛,2) = (𝑛−1) + 2 = |𝑛|，即𝑛+ 1 = |𝑛|，
又𝑛≥2，所以|𝑛| = 𝑛，所以𝑛+ 1 = 𝑛，即1 = 0，无解；
若𝑛< 2，则𝑓(𝑛,2) = 𝑛+ (2−2) = 𝑛= |𝑛|，
对于整数𝑛< 2，使得|𝑛| = 𝑛，只需n 为非负整数，所以𝑛= 0或𝑛= 1．
综上：n 的值为0 或1．
基础通关
1．（2026·广东清远·一模）计算−13 + 5的结果是（ ）
A．−8
B．−18
C．8
D．18
【答案】A
【分析】根据有理数加法中异号两数相加的法则：异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的
绝对值减去较小的绝对值.
【详解】解：∵ |−13| = 13，|5| = 5，13 > 5
∴ −13 + 5 = −(13−5) = −8
2．（25-26 七年级上·安徽合肥·期末）已知𝑎、𝑏为有理数，且𝑎> 0，𝑏< 0，𝑎+ 𝑏< 0，则𝑎，𝑏，−𝑎，−𝑏
的大小关系是（ ）
A．−𝑎< 𝑎< 𝑏< −𝑏
B．−𝑎< 𝑏< 𝑎< −𝑏
C．−𝑏< −𝑎< 𝑎< 𝑏
D．𝑏< −𝑎< 𝑎< −𝑏
【答案】D
【分析】本题考查了有理数比较大小，有理数加法，根据题意得到|𝑎| < |𝑏|，进而根据有理数的大小比较法
则分析得出结论即可．
【详解】解：∵ 𝑎> 0，𝑏< 0，𝑎+ 𝑏< 0，
∴|𝑎| < |𝑏|，
∴𝑏< −𝑎< 𝑎< −𝑏，
故选：D．
3．（2026·浙江·模拟预测）2025 年10 月，我国深地川科1 井首次突破10000 米．以水平地面为基准面，
向上为正方向．若当时深度记为−10000米，后续钻井又下探910 米，则钻井最终下探深度可记为（ ）．
A．−10910米
B．−9090米
C．−910米
D．10910 米
【答案】A
【详解】解：−10000 + (−910) = −10910．
4．（2026·吉林长春·一模）嘉嘉的零花钱记账本上，支出记作负数，收入记作正数．今天嘉嘉用零花钱买
文具支出5 元，妈妈又给了他9 元零花钱．嘉嘉今天零花钱的收支合计可表示为（ ）
A．−5 + 9
B．−5−9
C．5 + 9
D．5−9
【答案】A
【详解】解：∵题目规定支出记作负数，收入记作正数，
∴支出5元可记为−5，获得9元收入可记为+9，
∴嘉嘉今天零花钱的收支合计可表示为−5 + 9．
5．（25-26 七年级上·湖南衡阳·期中）把( +6)−( +3)−(−1) + (−5)写成省略括号的和的形式是（ ）
A．6 + 3−1−5
B．6−3−1−5
C．6−3 + 1−5
D．6−3 + 1 + 5
【答案】C
【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，当括号前是“ + ”时，把括号和它前面的“ + ”去掉，括号内的各
项都不改变符号，当括号前是“−”时，把括号和它前面的“−”去掉，括号内的各项都改变符号，据此求解即
可．
【详解】解：( +6)−( +3)−(−1) + (−5) = 6−3 + 1−5，
故选：C．
6．（25-26 七年级上·辽宁大连·阶段检测）下列说法正确的是（ ）
A．两个数的和一定大于每个加数
B．两个数的和等于0，则这两个数都是0
C．两个数异号，且正数的绝对值较大，则这两个数的和是正数
D．两个数的和为正数，则这两个数都是正数
【答案】C
【分析】本题考查了有理数加法的相关概念.
根据有理数加法的相关概念逐一判断即可.
【详解】A. 当一个加数为负时，两个数的和小于最大的加数，原说法错误；
B. 两个数的和等于0，则这两个数互为相反数，原说法错误；
C. 两个数异号，且正数的绝对值较大，则这两个数的和是正数，原说法正确；
D. 两个数的和为正数，这两个数不一定都是正数，例如 5 + (−2) = 3，和为正数，但两个加数不都是正数，
故原说法错误，
故选：C.
7．（25-26 七年级上·福建泉州·阶段检测）如图，这是嘉嘉作业的一部分，在计算过程中使用的运算律表述
正确的是（ ）
0.25−
1
8−
7
8−
3
4 =
1
4−
3
4−
1
8−
7
8①
=
1
4 −
3
4 + −
1
8 −
7
8 ②
A．①②都是加法交换律
B．①②都是加法结合律
C．①是加法交换律，②是加法结合律
D．①是加法结合律，②是加法交换律
【答案】C
【分析】本题考查加法交换律和结合律的识别；加法交换律形式为𝑎+ 𝑏= 𝑏+ 𝑎；加法结合律形式为
𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 𝑎+ (𝑏+ 𝑐)，据此判断所使用的运算律即可．
【详解】解：∵原式为0.25−
1
8−
7
8−
3
4，步骤①将其改写为
1
4−
3
4−
1
8−
7
8，
∴将−
3
4的位置从末尾调整到第二位，改变了加数的顺序，
∴应用了加法交换律，
∵步骤②将算式分为
1
4 −
3
4 + −
1
8 −
7
8 ，通过添加括号将原式分组计算，改变了加法的运算顺序，
∴应用了加法结合律.
∴①是加法交换律，②是加法结合律．
故选：C．
8．（25-26 七年级上·全国·课后作业）若方框
表示运算𝑥−𝑦+ 𝑧+ 𝑤，则方框
=_____．
【答案】−8
【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，根据方框表示的运算把算式转化为一般的有理数加减混
合运算，再根据运算法则进行计算．
【详解】解：由题意可得：原式= −2−3 + (−6) +3 = −2−3−6 + 3 = −11 + 3 = −8．
故答案为：−8.
素养提升
9．（25-26 七年级上·湖南怀化·期中）数轴上与表示数1 的点距离为4 个单位长度的点所表示的数为______．
【答案】5 或−3/−3或5
【分析】此题综合考查了有理数的加减法，数轴的相关知识，关键是理解数轴上两点间的距离的含义；根
据数轴的特点进行解答即可．
【详解】解：①当点在表示1的点的左边时，该点表示的数为1−4 = −3；
②当点在表示1的点的右边时，该点表示的数为1 + 4 = 5，
故答案为：5 或−3．
10．（25-26 七年级上·浙江杭州·期末）随着移动支付的普及，小晨妈妈近期使用“支付宝”进行了五笔交易，
账单如下所示，已知原来账户内有900元，则五笔交易后账户内余额为______元．
支付宝账单
买菜支出134元 −134.00
一箱纸巾支出109元 −109.00
转账收入600元 +600.00
餐饮支出320元 −320.00
地铁支出5 元 −5.00
【答案】932
【分析】本题考查正数与负数；理解正数与负数在实际问题中的意义，利用有理数加减进行准确运算是解
题的关键．计算五笔交易的净变化值，再与初始余额相加．
【详解】解：初始余额为900元，五笔交易金额依次为：−134元、−109元、+600元、−320元、−5元，
交易净变化为：(−134) + (−109) +600 + (−320) + (−5)
= 600−(134 + 109 + 320 + 5)
= 600−568
= 32（元）
最终余额为900 + 32 = 932（元）．
故答案为932．
11．（25-26 七年级上·河南许昌·期末）计算：|
1
3 −
1
2| + |
1
4 −
1
3| +… + |
1
2025 −
1
2024|=______．
【答案】
2023
4050
【分析】本题考查绝对值的运算，有理数的加减运算，掌握好绝对值的非负性是关键．
根据绝对值的性质，去掉绝对值，然后计算即可．
【详解】解：|
1
3 −
1
2| + |
1
4 −
1
3| +… + |
1
2025 −
1
2024|，
=
1
2−
1
3 +
1
3−
1
4 +… +
1
2024−
1
2025，
=
1
2−
1
2025，
=
2023
4050．
故答案为：
2023
4050．
12．（24-25 七年级上·湖南长沙·阶段检测）计算：
(1)(−13) + ( +19)；
(2)(−4.7) + (−5.3)；
(3)9−(−11)；
(4)(−6)−6．
【答案】(1)6
(2)−10
(3)20
(4)−12
【分析】本题考查有理数的加减法运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）根据有理数加法法则计算即可得答案；
（2）根据有理数加法法则计算即可得答案；
（3）根据有理数加减法法则计算即可得答案；
（4）根据有理数减法法则计算即可得答案．
【详解】（1）解：(−13) + ( +19)
=−13 + 19
=6．
（2）(−4.7) + (−5.3)
=−(4.7 + 5.3)
= −10．
（3）9−(−11)
= 9 + 11
=20．
（4）(−6)−6
=−6−6
=−12．
13．（24-25 七年级上·湖南长沙·阶段检测）计算下列各题：
(1)(−53) + ( +21)−(−69)−( +37)；
(2)
1
2−+2
1
4 −|−1
1
2|−(−2.25)．
【答案】(1)0
(2)−1
【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算、有理数加法运算律等知识点，掌握有理数加减混合运算的
运算法则成为解题的关键．
（1）先化减为加，然后再运用有理数加法运算律进行简便运算即可；
（2）先将小数化为分数、再化减为加，然后再运用有理数加法运算律进行简便运算即可．
【详解】（1）解：(−53) + ( +21)−(−69)−( +37)
= −53 + 21 + 69 + (−37)
= (21 + 69) + [−53 + (−37)]
= 90−90
= 0．
（2）解：
1
2−+2
1
4 −|−1
1
2|−(−2.25)
= 1
2 −+2
1
4 −|−1
1
2| −−2
1
4
= 1
2 + −2
1
4 −1 1
2 + 2 1
4
=
1
2 −1
1
2 +
−2
1
4 + 2
1
4
= −1 + 0
= −1．
14．（26-27 七年级·全国·暑假作业）某股民上周五买进股票1000 股，每股27 元．本周每日涨跌情况如下
（单位：元）：+4，+4.5，−1，−2.5，−6．问本周五收盘时，每股多少元？
【答案】26元
【分析】初始价格加上所有涨跌幅，据此列式计算，即可作答．
【详解】解：依题意，27 + ( +4) + ( +4.5) + (−1) + (−2.5) + (−6)
= (27 + 4 + 4.5) + [−(1 + 2.5 + 6)]
= 35.5 + (−9.5)
= 26，
即本周五收盘时，每股26元．
迁移创新
15．（26-27 七年级·浙江·暑假作业）计算：
(1)(−5) +7 + (−4) +5；
(2)
1
2 + −
2
3 + −
1
3 + −
1
2 ．
(3)(−23) + ( +58) + (−17)；
(4)
1
6 + −
2
7 + −
5
6 +
+
5
7 ．
【答案】(1)3
(2)−1
(3)18
(4)−
5
21
【详解】（1）解：原式= (−5) +5 + 7 + (−4)
= 0 + 3
= 3．
（2）解：原式=
1
2 + −
1
2 + −
2
3 + −
1
3
= 0 + (−1)
= −1．
（3）解：原式= [(−23)+(−17)] + ( +58)
= (−40) + 58
= 18．
（4）解：原式=
1
6 + −
5
6
+
−
2
7 +
+
5
7
= −2
3 + 3
7
= −14
21 + 9
21
= −
5
21．
16．（25-26 七年级上·宁夏吴忠·期末）小李是一名外卖员，某天中午他骑电动车一直在南北方向的文化路
上送外卖．如果向北行驶记作“+”，向南行驶记作“﹣”，这天中午他从集合点出发，行程记录如下（单位：
千米）：
−2，+3.5，−1.8，+0.3，+1.6，−2.6．
(1)小李将最后一份外卖送到目的地时，他在集合点的什么方向？距集合点多远？
(2)小李距集合点最远为______千米．
(3)若小李在出发时电动车显示剩余电量还能行驶12千米，在中间不充电的情况下，他能否完成上面的行程？
请说明理由．
【答案】(1)小李在集合点的南边，距集合点1 千米
(2)2
(3)能，理由见解析
【分析】（1）将题中所记录的数据相加求和即可得出答案；
（2）分别求出这6 次行驶距离集合点的路程，比较即可；
（3）分别求出这6 个数的绝对值，相加求和，然后与12 进行比较即可得出答案．
【详解】（1）解：(−2) + ( +3.5) + (−1.8) + ( +0.3) + ( +1.6) + (−2.6)
= [(+3.5) + (+0.3) + (+1.6)] + [(−2) + (−1.8) + (−2.6)]
= (+5.4) + (−6.4)
= −1（千米），
答：小李将最后一份外卖送到目的地时，他在集合点的南边，距集合点1 千米；
（2）第一次距离集合点|−2| = 2（千米），
第二次距离集合点|−2 + 3.5| = 1.5（千米），
第三次距离集合点|1.5−1.8| = 0.3（千米），
第四次距离集合点|−0.3 + 0.3| = 0（千米），
第五次距离集合点|0 + 1.6| = 1.6（千米），
第六次距离集合点|1.6−2.6| = 1（千米），
因为2 > 1.6 > 1.5 > 1 > 0.3 > 0，
所以小李距集合点最远为2 千米，
故答案为：2；
（3）能，理由：
|−2| + |+3.5| + |−1.8| + |+0.3| + |+1.6| + |−2.6|
= 2 + 3.5 + 1.8 + 0.3 + 1.6 + 2.6
= 11.8（千米）< 12千米，
所以在中间不充电的情况下，他能完成上面的行程．
17．阅读下列材料，并解答问题定义一种新运算：a★b★c = |𝑎−𝑏+𝑐|−(𝑎+𝑏−𝑐)
𝑐
（等号右边是常规的有理
数加减法则运算），例如：（﹣2）★（﹣1）★3 = |(−2)−(−1)+3|−[(−2)+(−1)−3]
3
= |−2+1+3|−(−2−1−3)
3
= 2−(−6)
3
= 8
3
（1）计算：（﹣5）★3★4；
（2）计算：（﹣4）★（−4
5）★2．
【答案】（1）2.5；
（2）4．
【分析】（1）根据a★b★c = |𝑎−𝑏+𝑐|−(𝑎+𝑏−𝑐)
𝑐
，可以计算出所求式子的值；
（2）根据a★b★c = |𝑎−𝑏+𝑐|−(𝑎+𝑏−𝑐)
𝑐
，可以计算出所求式子的值．
【详解】解：（1）（﹣5）★3★4
= |(−5)−3+4|−[(−5)+3−4]
4
= 4−(−6)
4
= 4+6
4
= 10
4
＝2.5；
（2）（﹣4）★（−4
5）★2
=
|(−4)−(−4
5 )+2|−[(−4)+(−4
5 )−2]
2
=
1 1
5 −(−6 4
5 )
2
=
1 1
5+6 4
5
2
= 8
2
＝4．
【点睛】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确新定义，求出所求式子的值．
18．（25-26 七年级上·重庆巫山·期末）先阅读材料，再解决问题
【阅读】
|5−2|表示5 与2 差的绝对值，也可以理解为5 与2 两数在数轴上所对应的两点之间的距离；
解答问题：
（1）数轴上表示−3和2 两点之间的距离是_____；类似地，数轴上表示数𝑚和𝑛的两点之间的距离等于
|𝑚−𝑛|．如果表示数𝑎和－1 的两点之间的距离是3，那么𝑎的值为_____；
（2）若|𝑎−3| = 1，|𝑏+ 2| = 7，且数𝑎，𝑏在数轴上表示的点分别是点𝐴，点𝐵，则𝐴，𝐵两点间的最大距离
是_____，最小距离是_____；|5 + 2|可以看作|5−(−2)|，表示5 与−2的差的绝对值，也可以理解为5 与−2两
数在数轴上所对应的两点之间的距离．
【探索】
（3）利用数轴找出所有符合条件的整数点𝑥，使得|𝑥+ 1| + |𝑥−4| = 5，这些点表示的数的和是_____；
【应用】
（4）小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作𝑥，妈妈上班地点记
作1，小明学校记作−3，求距离和|𝑥−1| + |𝑥+ 3|的最小值．
【答案】（1）5；2 或−4；（2）13；1；（3）9；（4）4
【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、有理数的加减运算，运用分类讨论
思想是解题的关键．
（1）根据数轴上两点之间的距离公式求出表示−3和2 两点之间的距离；根据数轴上两点之间的距离公式，
分2 种情况即可求出𝑎的值；
（2）首先根据绝对值的性质分别求出𝑎,𝑏的值，再根据数轴上两点之间的距离公式，分4 种情况求出点A
和点B 之间的距离，通过比较找出最大距离和最小距离即可；
（3）根据数轴上两点之间的距离，可知表示数𝑥的点在数轴上表示数−1和4 的点之间，找到之间的所有整
数并求和即可；
（4）根据题意可知，表示数𝑥的点在数轴上表示数1 和−3的点之间时，距离和|𝑥−1| + |𝑥+ 3|取得最小值，
再利用数轴上两点之间的距离即可求解．
【详解】解：（1）|−3−2| = |−5| = 5，
∴数轴上表示−3和2 两点之间的距离是5；
∵数a 和−1的两点之间的距离是3，
∴|𝑎−(−1)| = 3，
∴𝑎= −1 + 3 = 2或𝑎= −1−3 = −4，
∴a 的值为2 或−4；
故答案为：5；2 或−4；
（2）∵|𝑎−3| = 1，|𝑏+ 2| = 7，
∴𝑎−3 =± 1，𝑏+ 2 =± 7，
∴𝑎= 4或𝑎= 2，𝑏= 5或𝑏= −9，
当𝑎= 4，𝑏= 5时，𝐴𝐵= |4−5| = 1；
当𝑎= 4，𝑏= −9时，𝐴𝐵= |4−(−9)| = 13；
当𝑎= 2，𝑏= 5时，𝐴𝐵= |2−5| = 3；
当𝑎= 2，𝑏= −9时，𝐴𝐵= |2−(−9)| = 11；
∴A，B 两点间的最大距离是13，最小距离是1，
故答案为：13；1；
（3）|𝑥+ 1|表示的是数轴上表示数𝑥的点到表示数−1的点之间的距离，
|𝑥−4|表示的是数轴上表示数𝑥的点到表示数4 的点之间的距离，
∴|𝑥+ 1| + |𝑥−4| = 5表示到数−1和4 的点之间的距离之和等于5 的点，
由数轴可得，表示数𝑥的点在数轴上表示数−1和4 的点之间，
∴符合条件的整数点x 为−1，0，1，2，3，4，
∴这些点表示的数的和是−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 9；
故答案为：9；
（4）|𝑥−1|表示的是数轴上表示数𝑥的点到表示数1 的点之间的距离，
|𝑥+ 3|表示的是数轴上表示数𝑥的点到表示数−3的点之间的距离，
|𝑥−1| + |𝑥+ 3|表示数𝑥的点到数1 和−3的点之间的距离之和，
由数轴可得，表示数𝑥的点在数轴上表示数1 和−3的点之间时，距离和|𝑥−1| + |𝑥+ 3|取得最小值，最小值
为1−(−3) = 4，
∴距离和|𝑥−1| + |𝑥+ 3|的最小值为4．
