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好题精选·同步精炼 2.1 有理数的加法与减法
2.1.2 有理数减法第二课时有理数的加减混合运算
知识点1 省略算式中的括号和加号
1．将式子 省略括号和加号后变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，根据有理数的加减计算法则求解即可．
【详解】解：将式子 省略括号和加号后变形正确的是 ，
．
2．把 写成省略加号和括号的形式后的式子（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先把运算式统一为加法运算，再省略加号与括号即可．
【详解】解：
，．
【点睛】本题考查有理数的加减混合运算，省略加号和的形式的理解，解答本题的关键是省略前一定要统
一为加法运算．
3．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）下列式子可读作“负10、负6、正3、负7的和”的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据有理数的加减判断即可．
【详解】解：可读作“负10、负6、正3、负7的和”的是 ，
．
【点睛】本题考查了有理数的加减运算，在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法
都转化成加法，并写成省略括号的和的形式．
4．（2024·河北石家庄·二模）式子 有下面两种读法；
读法一：负 ，负 ，正 与负 的和；
读法二：负 减 加 减 ．
则关于这两种读法，下列说法正确的是（ ）
A．只有读法一正确 B．只有读法二正确
C．两种读法都不正确 D．两种读法都正确
【答案】D
【分析】本题考查有理数加减混合运算，解题的关键是明确有理数的加减混合运算的读法．据此解答即可．
【详解】解：对于式子 ，
可读作：负 ，负 ，正 与负 的和；也可读作：负 减 加 减 ，
∴两种读法都正确．故选：D．
5．（23-24七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）将式子 省略括号和加号后变形正确的是
．
【答案】
【分析】此题主要考查了有理数的加减运算法则，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①在一个式子
里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式． ②转
化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化．
【详解】解：
，
故答案为： ．
6．（23-24七年级上·福建三明·阶段练习）将式子写成省略括号及加号的和的形式，
.
【答案】
【分析】先把加减法统一成加法，再省略括号和加号．
【详解】解：
故答案为： ．
【点睛】本题考查了有理数的加减法，把同号得正，异号得负运用到省略括号和加号的形式中，可使计算
更简单不易出错．知识点2 有理数的加减混合运算
7．（22-23七年级上·河北邢台·阶段练习）下列运用加法交换律正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的加减；
根据运用加法交换律时，交换位置符号不变逐项判断即可．
【详解】解：A. ，原式错误；
B. ，原式错误；
C. ，正确；
D. ，原式错误；
．
8．（24-25七年级上·全国·随堂练习） 是应用了（ ）
A．加法交换律 B．加法结合律
C．分配律 D．加法的交换律与结合律
【答案】D
【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算律是解答本题的关键．
【详解】
解： 是应用了加法的交换律与结合律，
故选：D．9． 应用了（ ）
A．加法交换律 B．加法结合律
C．乘法分配律 D．.加法交换律和加法结合律
【答案】D
【分析】先根据加法的交换律，加法的结合律等知识点进行判断，即可得出答案．
【详解】根据题意得， ，用了加法的交换律与结合律，
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的加法运算律，解题的关键在于掌握加法的交换律和结合律．
10．（22-23七年级上·山东日照·期中）我市12月份某天早晨，气温为 ，中午上升了 ，晚上又下
降了 ，则晚上气温为 ．
【答案】
【分析】本题考查有理数加减运算的实际应用，根据题意，列出算式进行计算即可．
【详解】解： ；
故答案为： ．
11．（2024七年级上·江苏·专题练习）在一个峡谷中，A地的海拔记为 ，B地比A地高 ，C地比
B地低 ，则C地的海拔记为 ．
【答案】
【分析】本题考查有理数的加减混合运算，掌握运算法则是解题关键．
根据C地海拔＝B地海拔 ，其中B地海拔＝A地海拔 ．
【详解】解：＝﹣18+15，
，
则C地的海拔为 ；
故答案为： ．
12．（23-24六年级下·全国·假期作业）对于任意有理数 ， ，定义新运算： ，则
．
【答案】
【分析】本题考查了有理数的加减运算，理解 的运算方法，列出算式是解题的关键．根据 的运算方法列
出算式，再根据加减运算进行计算即可．
【详解】解：根据定义新运算： ，
可得 ．
故答案为： ．
13．（2024七年级上·浙江·专题练习）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如表所示的幻方中，各
行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则表中△处的值为 ．
△ c
0 a d
b
【答案】
【分析】本题主要考查了有理数的加法，解题关键是根据题意，列出算式，求出a，b．根据各行、各列及
各条对角线上的三个数字之和均相等可得： ，然后
求出a，b，代入 ，求出△即可．【详解】解：∵各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，
∴ ，
∴ ， ，
，
，
故答案为： ．
14．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)25
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．（1）（2）利用有理数加减运算法则：同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异
号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用加大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相
加得0；从而求解．
（3）（4）可以先通分然后再进行有理数加减运算．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：．
知识点3 有理数的加减中的简便运算
15．（23-24七年级上·安徽六安·期中）已知 ， ， ，请计算
的结果为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了有理数的加减运算，先化简绝对值，然后进行计算，即可求解．
【详解】解：
．
16．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习） 的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了有理数的运算，根据有理数的运算法则计算即可求解，掌握有理数的运算法则是解题
的关键．
【详解】解： ，故答案为： ．
17．（23-24七年级上·河北保定·期末）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了有理数的加减法法则及加法运算律，熟练掌握有理数的加减法法则及加法运算律是解
题的关键．
（1）根据有理数的加减法法则计算即可得解；
（2）根据有理数的加减法法则及加法运算律计算即可得解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：18．（23-24七年级上·山西太原·阶段练习）阅读下面的解题过程并解决问题．
计算： ．
解：原式 （第一步）
（第二步）
（第三步）．
(1)计算过程中，第一步变形的依据是______（填运算法则）；
(2)为了计算简便，第二步和第三步分别应用了______ 、______（填运算律）；
(3)请直接写出运算结果，并就有理数运算给出一条建议．
【答案】(1)有理数减法法则
(2)加法交换律、加法结合律
(3) ，建议见解析
【分析】（1）根据题目中的解答过程可知，第一步变形的依据是有理数减法法则；
（2）根据题目中的解答过程可知，第二步和第三步分别应用了加法交换律、加法结合律；
（3）根据第三步继续计算，然后即可写出结果，再写出一条合理化建议即可．
【详解】（1）由题目中的解答过程可得，
计算过程中，第一步变形的依据是有理数减法法则，
故答案为：有理数减法法则；
（2）为了计算简便，第二步和第三步分别应用了加法交换律、加法结合律，故答案为：加法交换律、加法结合律；
（3）
，
即运算结果是 ，
建议是：进行加减混合运算时，先把减法转化为加法，再根据加法的运算律进行简便运算．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
19．（23-24七年级上·河南郑州·期中）阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题．
计算： ．
解：原式 ，
，
，
，以上解题方法叫做拆项法．
拆项法常用在带分数中，将带分数转化为整数与真分数的和，再将所有的真整数和所有的真分数分别相加，
从而达到简便运算的目的．仿照上面的方法，计算：
(1) ；(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了有理数的混合运算：
（1）根据“拆项法”以及加法交换律和结合律计算即可．
（2）根据“拆项法”以及加法交换律和结合律计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
故答案为： ；
（2）解：原式．
20．（22-23七年级上·山西太原·阶段练习）阅读下面的解题过程并解决问题
计算： ；
解：原式 （第一步）
（第二步）
（第三步）
……
(1)计算过程中，第一步变形的依据是______，体现了数学中的______思想；
(2)为了计算简便，第二步和第三步分别应用了______、______；
(3)请将过程补充完整．
【答案】(1)有理数的减法法则，转化
(2)加法交换律，加法结合律
(3)见解析
【分析】（1）根据有理数的加减混合运算步骤及运算定律可得出答案；
（2）仿照题意运用有理数加法交换律及结合律，使用简便方法计算即可；
（3）根据有理数的加减混合运算计算即可．
【详解】（1）解：根据有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，所以第一步变形的依据是有理数的减法法则，体现了数学中的转化思想；
故答案为：有理数的减法法则，转化；
（2）解：为了计算简便，第二步和第三步分别应用了加法交换律，加法结合律；
故答案为：加法交换律，加法结合律；
（3）解：原式
．
【点睛】本题主要考查有理数的加减混合运算，掌握混合运算的步骤及运算法则是解题关键．
21．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算．（1）可以正、负数分别结合相加；
（2）可以正、负数分别结合相加；
（3）可以同分母分数结合相加；
（4）可以同分母分数结合相加．
【详解】（1）解：
；
（2）
；
（3）
；
（4）．
22．（2021·河北·中考真题）能与 相加得0的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用加法与减法互为逆运算，将0减去 即可得到对应答案，也可以利用相反数的性质，
直接得到能与 相加得0的是它的相反数即可．
【详解】解：方法一： ；
方法二： 的相反数为 ；
．【点睛】本题考查了有理数的运算和相反数的性质，解决本题的关键是理解相关概念，并能灵活运用它们
解决问题，本题侧重学生对数学符号的理解，计算过程中学生应注意符号的改变．
23．（23-24六年级下·黑龙江绥化·期中）观察图，找出规律 根据
规律 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
本题考查了数字类规律探索，有理数的加减，由题意得出计算顺序与方法，列数式子
，根据有理数的加减运算法则计算即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：由题意得： ， ， ，
，
．
24．（23-24七年级上·浙江金华·期末）观察前三个图形，利用得到的计算规律，得到第四个图形的计算结
果为（ ）
A． B． C．5 D．9
【答案】D【分析】根据前三个图形得到规律：左上角与右下角的两数之和减去右上角与左下角的两数之和，即可得
到答案．此题考查了有理数的加减混合运算，根据图形，发现规律是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，
，
，
，
∴ ，
故选：D．
25．（23-24七年级上·河南驻马店·阶段练习）在“□”里填上一个数，使式子“ ”能用运算律进
行简便计算，则这个数可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查同学们对加法运算定律的认识以及了解.我们通过题干给出的信息，可以知道题目要求我
们运用加法的交换律和结合律，即 ，我们知道分数相加减，一般把分母相同的放在一
起，因此A选项分母与题干中 的分母相同，这样这道题目就解答出来了.
【详解】解：当“ ”里的数为 时，可用交换律和结合律；
即 ；26．（23-24七年级上·陕西宝鸡·期中）计算 的值为（ ）
A． B．40 C． D．80
【答案】C
【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，先去括号和绝对值，再计算加减法即可得到答案．
【详解】解：
，
故选B．
27．（23-24七年级上·福建龙岩·期中）对有理数 、 ，定义运算*如下： ，如：
.试求 的值.（ ）
A． B． C．6 D．8
【答案】D
【分析】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．原式利用题中的新定义计算
即可得到结果．
【详解】解：根据题中的新定义得： ，
故选：D．
28．（23-24七年级上·河北张家口·期中）在数轴上点A表示的数是－5，点M从点A出发，先向左移动1
个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度，……依次
操作4054次后，此时点M表示的数是（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【答案】C【分析】本题考查了数轴，有理数的加减运算，根据移动的方向和距离，列出算式进行计算即可．
【详解】解：根据题意得，
∴点 表示的数是 ．
．
29．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）某公交车上原坐有19人，经过 个站点时上下车情况如下（上
车为正，下车为负）： ， ， ，则车上还有 人．
【答案】
【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，注意计算的准确性即可.
【详解】解： ，
∴经过 个站点后，车上还有 人，
故答案为：
30．（23-24七年级上·广东茂名·期中）实际测量一座山的高度时，可在若干个观测点中测量每两个相邻可
视观测点的相对高度然后用这些相对高度计算出山的高度．下表是某次测量数据的部分记录（用 表
示观测点A相对观测点C的高度）：
90 80 50 30
米 米 米 米 米 米
根据这次测量的数据，可得观测点A相对观测点B的高度是 米．
【答案】220【分析】本题考查有理数加减的应用，正负数的应用，理解题意，正确得到算式是解答的关键．
【详解】解：由表格中的数据可得， ①， ②， ③， ④， ⑤，
⑥，
由 得：
，
则观测点A相对观测点B的高度是220米，
故答案为：220．
31．（23-24七年级下·黑龙江绥化·阶段练习）阅读下面的解题过程，并解决问题．
计算： ．
解：原式
．
(1)第①步经历了哪些转变：_____，体现了数学中的转化思想，为了计算简便，第②步应用了哪些运算律：
_______．
(2)根据以上解题技巧进行计算： ．
【答案】(1)去括号，省略加号；加法交换律、结合律
(2)【分析】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握有理数的加减运算，运用有理数的加减运算进行计算，
即可．
（1）根据有理数的加减运算步骤，进行计算，即可；
（2）根据（1）中的运算法则，进行计算，即可．
【详解】（1）由解题过程可知，第①步去括号，省略加号；第②步运用加法交换律、结合律计算，
故答案为：去括号，省略加号；加法交换律、结合律．
（2）
．
32．（23-24七年级上·山西朔州·期中）阅读下题中的计算方法，解决问题．
(1)
解：原式上面这种方法叫拆项法．
仿照上面的拆项法可将 拆为_________， 拆为_________．
(2)类比上述计算方法计算：
．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算；
（1）根据题干信息进行解答即可；
（2）利用题干提供的信息，运用有理数加减混合运算法则进行计算即可．
解题的关键是熟练掌握有理数加减混合运算法则，准确计算．
【详解】（1）解： ， ，
故答案为： ； ；
（2）解：．
33．（22-23七年级上·广西百色·期末）某检修小组从A地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向
东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶纪录如下．(单位： )
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次
(1)在第_______次纪录时距A地最远？
(2)求检修小组收工时在A地的何处？距A地有多远？
(3)若每千米耗油0.15升，每升汽油需8元，问这天检修小组工作一天回到出车地时需汽油费多少元？
【答案】(1)四
(2)西边，
(3)57.6元
【分析】本题考查有理数运算的实际应用：
（1）分别写出各次记录时距离A地的距离，然后判断即可；
（2）将行驶记录全部相加即可判断；
（3）把所有行驶记录的绝对值相加，再乘以每千米耗油及汽油单价即可得解．
【详解】（1）解：第一次纪录距A地的距离为： ，
第二次纪录距A地的距离为： ，
第三次纪录距A地的距离为： ，
第四次纪录距A地的距离为： ，第五次纪录距A地的距离为： ，
第六次纪录距A地的距离为： ，
第七次纪录距A地的距离为： ，
所以在第四次纪录时距A地最远，
故答案为：四
（2）解： ，
答：检修小组收工时在A地西边，距离A地 ；
（3）解：
，
（元）．
答：检修小组工作一天需汽油费约为57.6元．
34．（23-24七年级上·福建泉州·期中）阅读下列材料，探究规律，并解决问题．
已知：
(1)若n为正整数－请你猜想 ________．(2)计算：
(3)计算： ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的联系，得出运算规律，利用规律解决问题．
（1）分子是1，分母是连续两个自然数的乘积可以拆成两个分子是1，分母是这两个自然数的分数的差，
由此规律得出答案即可；
（2）利用发现的规律拆分抵消计算即可；
（3）利用发现的规律拆分抵消计算即可．
【详解】（1）解： ，
；
故答案为： ；
（2）解：；
（3）解：
．
35．（23-24七年级上·四川南充·期中）阅读下面材料：
小明在研究数学问题时遇到一个定义：对于排好顺序的 个数： ， ， ， ， ，称为数列 ： ，
， ， ，其中 为整数且 ．
定义 ．
例如，若数列 ： ， ， ， ， ，则 ．
根据以上材料，回答下列问题：
(1)已知数列 ： ， ， ，求 ；
(2)已知数列 ： ， ， ， ，其中 ， ， ， ，为 个互不相等的整数，且 ， ，
，直接写出满足条件的数列 ；
(3)已知数列 ： ， ， ， ， 中 个数均为非负数，且 ，直接写出的最大值和最小值，并说明理由．
【答案】(1)
(2)数列 为： ， ， ， ； ， ， ， ； ， ， ， ；
(3) 的最大值为 ，最小值为 ．
【分析】本题考查了绝对值，有理数，准确理解题意，熟练掌握新定义是解题的关键．
（1）根据定义 ，代入数据即可求出结论；
（2）由题意可得， ， 在 到 之间，再根据为 个互不相等的整数，求解即可；
（3）由数列 ： ， ， ， ， 中 个数均为非负数，结合绝对值即可得出 ，即可得
解．
【详解】（1）解： 数列 ： ， ， ，
；
（2） 数列 ： ， ， ， 中， ， ， ，
，可看成 条线段的长度和，如图所示：
，
， 在 到 之间，
， ， ， ，为 个互不相等的整数，数列 为： ， ， ， ； ， ， ， ； ， ， ， ；
（3） 数列 ： ， ， ， ， 中 个数均为非负数，
， ， ， ， ，
，
即 ，
的最大值为 ，最小值为 ．
