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好题精选·同步精炼 2.1 有理数的加法与减法
2.1.1 有理数的加法第二课时有理数加法运算律
知识点1 有理数加法的运算律
1．（23-24七年级上·河北邢台·期末） 是应用了（ ）
A．加法交换律 B．加法结合律 C．分配律 D．移项
【答案】A
【分析】根据题意结合运算律即可得到答案，此题考查了加法交换律， ．
【详解】解： 是应用了加法交换律，
2．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列变形，运用加法运算律错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了有理数加法的运算律，熟练掌握交换律，结合律是解题的关键．
【详解】A. ，符合交换律，不符合题意；
B. ，符合交换律，不符合题意；C. ，不符合结合律，符合题意；
D. ，符合结合律，不符合题意；
故选C．
3．（23-24七年级上·吉林长春·期中）根据运算律，由式子 可得（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用加法交换律变形即可得到结果．
【详解】解： ，
．
【点睛】此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）计算 时，运算律用得最为恰当的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用有理数的加法的交换律与结合律进行求解即可；
【详解】解： ，
【点睛】本题主要考查有理数的加法运算，解答的关键是对有理数的加法的运算律的掌握5．（21-22七年级上·河北承德·期末）在计算 时，佳佳的板演过程如下：
解：原式 ．
老师问：“佳佳同学在解答过程中运用了哪些运算律？”
甲同学回答说：“佳佳在解答过程中运用了加法交换律”；
乙同学回答说：“佳佳在解答过程中运用了加法结合律”；
丙同学回答说：“佳佳在解答过程中既运用了加法交换律，也运用了加法结合律”．
下列对甲、乙、丙三名同学说法判断正确的是（ ）
A．甲同学说的对 B．乙同学说的对
C．丙同学说的对 D．甲、乙、丙说的都不对
【答案】C
【分析】根据加法运算律的定义进行解答即可．
【详解】解：由 到 既运用了加法交换律，也运用了加法结合律，所
以丙同学说的对，故C正确．
．
【点睛】本题主要考查了加法的交换律和结合律，熟记加法交换律和结合律， ，
，是解题的关键．
6．（23-24七年级上·青海海东·阶段练习）小磊解题时，将式子 先变成
再计算结果，则小磊运用了（ ）
A．加法交换律 B．加法结合律C．加法交换律和加法结合律 D．以上均不正确
【答案】C
【分析】根据加法交换律和加法结合律进行计算即可求解．
【详解】解：将式子 先变成 再计算结果，则小磊运用了加
法交换律和加法结合律
．
【点睛】本题考查了有理数的加法运算律，熟练掌握加法交换律和加法结合律是解题的关键．
7．（23-24六年级上·山东淄博·期中）计算 ．
【答案】
【分析】本题考查有理数的加法运算,掌握加法交换律和结合律是解题的关键．
【详解】解：原式
．
故答案为： ．
8．（2024七年级上·江苏·专题练习）用简便方法计算： ．
【答案】
【分析】本题主要考查有理数的加法，解答的关键是灵活运用有理数的加法的运算律．
利用有理数的加法的交换律与结合律对式子进行运算即可．
【详解】解：．
故答案为： ．
9．（23-24七年级上·全国·课堂例题）计算 的结果是 ．
【答案】
【分析】根据加法的结合律计算，即可作答．
【详解】
，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了有理数的加法运算，掌握加法的结合律，是解答本题的关键．
10．（22-23六年级·上海·假期作业）计算： = ．
【答案】 2500 50
【分析】算式 中的加数构成一个公差为“2”的等差数列，首项为1，末项为99，项
数为50．因此本题根据高斯求和公式进行计算即可：等差数列和=（首项+末项）×项数÷2．
【详解】解：．
故答案为： ，
【点睛】本题考查的是简单数列的求和，利用总结出的规律进行求和是解本题的关键．
11．（22-23六年级上·山东泰安·阶段练习）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ；
(7) ；
(8) ．
【答案】(1)
(2)(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，熟知有理数的加法计算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；（4）解：
；
（5）解：
；
（6）解：
；
（7）解：
；
（8）解：
．
12．（22-23七年级上·广西河池·阶段练习）某检修小组乘汽车沿一条东西走向的公路检修线路，记录员规定向东行驶为正，向西行驶为负．以下是某天记录员记录的自A地出发到收工时所走路线（单位：千米）
为： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ．
(1)收工时在A地那个方向，距A地多远?
(2)若每千米耗油 升，问从A地出发到收工时共耗油多少升?
【答案】(1)收工时在A地东边，距A地41千米；
(2) 升．
【分析】此题考查了有理数的混合运算以及正数与负数，正确列出算式并掌握有理数的相关运算法则是解
本题的关键．
（1）依题意列式求出和即可；
（2）要求耗油量，需求他共走了多少路程，然后用总路程 ，计算即可，与方向无关．
【详解】（1）解： (千米)；
答：收工时在A地东边，距A地41千米；
（2）解： (千米)，
(升)．
答：从A地出发到收工时共耗油 升．
13．（22-23七年级上·河北·阶段练习）小高不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判定墨迹盖住部分
的整数和是（ ）
A．3 B． C．1 D．【答案】D
【分析】先确定被盖住的整数，再进行相加即可．
【详解】解：由图可知，被盖住的整数为： ，
则： ；
故选D．
【点睛】本题考查有理数的加法．解题的关键是确定被墨迹盖住的整数，掌握有理数加法的法则．
14．（23-24七年级上·全国·课堂例题）下列各式运用运算律变形错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用有理数加法的结合律和交换律一一计算即可判断．
【详解】解：A、 ，变形正确；
B、 ，变形正确；
C、 ，故原变形错误；
D、 ，变形正确．
．【点睛】本题考查了有理数加法的结合律和交换律，解题的关键是掌握有理数加法的结合律和交换律并灵
活运用，属于中考常考题型．
15．（23-24七年级上·贵州遵义·阶段练习）计算 的值等于
（ ）
A．－1012 B．－1011 C．1012 D．1013
【答案】A
【分析】从第二个数开始，相邻两个数的和为 ，再确定 的个数，最后求解．
【详解】解：
，
．
【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，数字的变化类，找到变化规律是解题的关键．
16．（23-24七年级上·全国·课后作业）我国是最早认识负数并进行相关运算的国家．在古代数学名著《九
章算术》中，记载了利用算筹实施“正负术”的方法，图1表示的是计算 的过程．按照这种方法，
图2表示的过程应是在计算 ．
【答案】【分析】本题考查了有理数的加法，解题的关键是理解图1表示的计算．由图1可以看出白色表示正数，
黑色表示负数，观察图2即可列式．
【详解】解：由图1知：白色表示正数，黑色表示负数，
图2表示的过程应是在计算 ．
故答案为： ．
17．（23-24七年级上·重庆·阶段练习）用简便方法计算：
．
【答案】
【分析】原式变形后，计算即可得到结果．
【详解】解：原式
，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（22-23七年级上·湖南长沙·阶段练习）定义一种新运算： ，其中 ，比如：
，则 的
值为 ．
【答案】
【分析】将各数代入计算，发现第一项和最后一项的值的和为3，第二项和倒数第二项的和为3，据此分组
计算即可．【详解】解：原式
故答案为： ．
【点睛】本题考查了有理数的加法及其运算律，发现各项之间的规律是解题的关键．
19．（23-24七年级上·河南商丘·期末）一个两位数 的十位上的数字是 ，个位上的数字是 ，我们把十
位上的数字 与个位上的数字 的和叫做这个两位数 的“衍生数”，记作 ，即 ，如
现有 个两位数 和 ，且满足 ，则 ．
【答案】 或
【分析】本题考查对题干“衍生数”的理解，记 的个位数和十位数分别为 、 ，记 的个位数和十位
数分别为 、 ，再分类讨论个位数相加为0和10的情况即可解题．
【详解】解：记 的个位数和十位数分别为 、 ，记 的个位数和十位数分别为 、 ，
，
， 或者 ， ，
① ，② ，
故答案为： 或 ．
20．（23-24七年级上·海南儋州·期末）某公司上半年每个月的盈亏情况如下表（盈余为正，单位：万元）：
月份
月 月 月 月 月 月
盈亏（万元）
(1)该公司收入最高的月份比最低的月份多多少万元？
(2)该公司上半年是盈还是亏？盈亏了多少？
【答案】(1)80万元
(2)盈利45万元
【分析】考察正数负数的意义，分析表格的能力及有理数的加减法．
【详解】（1）解：由表格分析可知5月收入最高，3月收入最低
所以由题意得 万元
答：该公司收入最高月份比最低月份多80万元；
（2）解： 万元
答：该公司上半年盈利45万元．
21．（23-24七年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数字．从下到上，第一
个至第四个台阶依次标着数字 ，2，10，且任意相邻四个台阶上的数的和相等．
(1)求前四个台阶上数的和；(2)求第五个台阶上的数x的值；
(3)求从下到上，前23个台阶上数的和；
(4)试用含m（m为正整数）的式子表示出数“ ”所在的台阶数．
【答案】(1)1
(2)
(3)
(4)
【分析】本题是数的规律探索问题，考查了有理数的运算，一元一次方程，列代数式等知识；
（1）直接把四个数相加即可；
（2）根据“任意相邻四个台阶上的数的和相等”得关于x的方程，解方程即可；
（3）根据“任意相邻四个台阶上的数的和相等”知，台阶上的数是 依次循环，由此规律即可
求得前23个台阶上数的和；
（4） 所在的台阶数分别为2、6、10、14、…，据此即可写出这列数的规律．
【详解】（1）解： ，
即前四个台阶上数的和为1；
（2）解：由于任意相邻四个台阶上的数的和相等，
则
解得 ；
（3）解：由于相邻四个台阶上的数的和相等，且和为1，则从下到上，第6个台阶上的数为
，第7个台阶上的数 ，第8个台阶上的数 ，第9个台
阶上的数 ，…，规律是：从下到上，台阶上的数是 依次循环，则第24个台
阶上的数为10，所以前23个台阶上数的和为 ；（4）解：从下到上， 所在的台阶数分别为2、6、10、14、…，此规律用代数式表示为： ．
22．（2024七年级上·江苏·专题练习）阅读下面的材料：高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算
“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易
出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程．
解：设 ，①
则 ，②
① ②得 ．
所以 ， ，
所以 ．
后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”．
请类比以上做法，解答下列问题：
(1)计算： ；
(2)计算： ．
【答案】(1)500500
(2)15150
【分析】本题考查的是数式的变化规律和有理数的混合运算，从题目中找出数字间的变化规律是解题的关
键．
（1）根据题意，利用“倒序相加法”，计算即可．
（2）计算出 和 的值；．
【详解】（1）解：（1）设 ，①
则 ，②
① ②得： ，
，
；
（2）设 ，①
则 ，②
① ②得： ，
，
．
．
23．（24-25七年级上·全国·随堂练习）阅读下面的解题方法．
计算： ．
解：原式上述解题方法叫做拆项法，按此方法计算：
．
【答案】1
【分析】本题考查了有理数的加法，拆项法是解题关键．根据拆项法，可把整数结合在一起，分数结合在
一起，再根据有理数的加法，可得答案．
【详解】解：原式
=1
24．（22-23七年级上·湖南长沙·期中）探究规律，完成相关题目：对非零数定义一种新的运算，叫※
（宏）运算．
下列是一些按照※（宏）运算的运算法则进行运算的算式； ； ；
； ．
(1)我们在研究有理数的加法运算时，既要考虑符号，又要考虑绝对值．请你类比有理数加法的运算法则，
归纳※（宏）运算的运算法则；同号两数进行※（宏）运算时 ，异号两数进行※（宏）运算时 ．
(2)计算： ．（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）
(3)我们知道加法有交换律和结合律，请你判断交换律和结合律在※（宏）运算中是否适用，如果适用只需
作出判断，如果不适用，举反例说明．（举一个例子即可）
【答案】(1)同号得正，并把它们的绝对值相加；异号得负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值(2)
(3)加法交换律适用，加法结合律不适用，例子见解析
【分析】（1）根据题目中的例子可以总结出※（宏）运算的运算法则；
（2）根据（1）中的结论可以解答本题，注意运算顺序；
（3）根据（1）中的结论分别采用加法交换律和结合律计算可以解答本题．
【详解】（1）解：由题意可得，
归纳※（宏 运算的运算法则：同号两数进行※（宏 运算时，同号得正，并把它们的绝对值相加，异号两
数进行※（宏 运算时，异号得负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
故答案为：同号得正，并把它们的绝对值相加；异号得负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．
（2）解： ，
，
，
故答案为： ；
（3）解： ， ．
加法交换律适用；
，
，
而 ，
加法结合律不适用．
【点睛】本题考查有理数的加法运算，解答本题的关键是明确有理数的加法运算的计算方法．
