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分层作业
2.2.1 有理数的乘法
说明：ABC 三组为必做内容，拓展部分为选做。
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目 录
A 组 巩固过关.....................................................................................................................1
题型一、两个有理数的乘法运算...........................................................1
题型二、多个有理数的乘法运算...........................................................2
题型三、有理数乘法运算律...............................................................4
题型四、有理数乘法的实际应用...........................................................6
题型五、倒数...........................................................................8
B 组 能力进阶.....................................................................................................................8
C 组 思维拔高...................................................................................................................11
拓展 衔接中考...................................................................................................................13
A 组 巩固过关
题型一、两个有理数的乘法运算
1．（25-26 七年级上·四川宜宾·阶段检测）下列变形不正确的是（ ）
A．
5
6
6
5
´ -
= -
´
B．
4
5
10
4
5
10
´ -
´ -
=
´
-
´ -
é
ù
é
ù
ë
û
ë
û
巩固过关
C．
2
1
2
1
12
12
12
3
2
3
2
é
ù
æ
ö
æ
ö
-
+
´ -
= -
´ -
+
´ -
ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
è
ø
ë
û
D．
3
1
3
1
8
1
8
1
16
2
16
2
æ
ö
-
´
´ -
´
= - ´
´ ´
ç
÷
è
ø
2．（25-26 七年级上·山东聊城·阶段检测）已知
5
a =
，
2
b =
，且
0
a
b
+
<
，则ab 的值是（ ）
A．3 或3
-
B．7 或7
-
C．3
- 或7
-
D．10 或10
-
3．（25-26 七年级上·山西吕梁·阶段检测）如果两个有理数x，y 满足
0
x
y
+
> ，且
0
xy <
，那么下列说法正确
的是（ ）
A．x，y 都是正数
B．x，y 都是负数
C．x，y 中一个正数一个负数，且正数的绝对值较大
D．x，y 中一个正数一个负数，且负数的绝对值较大
4．（25-26 七年级上·湖北襄阳·期末）计算：1
8
4
9
æ
ö
´ -
=
ç
÷
è
ø
____．
5．（25-26 七年级上·山西吕梁·期末）计算：
4
0.25
-
´ -
= ______．
6．计算：
(1)
8
0.125
-
´ -
；
(2) 4
1
1
5
4
´
；
(3)
1
4
4
æ
ö
-
´ -
ç
÷
è
ø
；
(4)
8
7
7
8
æ
ö æ
ö
+
´ -
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø．
题型二、多个有理数的乘法运算
1．（25-26 七年级上·河北衡水·期末）四个有理数相乘，
4
0.5
10
´ -
´ -
´■，其中一个有理数被污染，若积
为负数，则被污染的有理数可能是（ ）
A．
2025
2026
-
B．0
C．0.5
D．10
2．计算：
(1)
5
9
1
3
6
5
4
æ
ö æ
ö
-
´
´ -
´ -
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø ；
(2)
4
1
5
6
5
4
æ
ö
-
´ ´ -
´
ç
÷
è
ø
．
3．（25-26 七年级上·全国·课后作业）计算：
(1)
1
0.25
4
6
æ
ö
-
´ -
´ -
ç
÷
è
ø
；
(2)
1
8
6
0.5
3
-
´ -
´ -
´
；
(3)
2
3
1
24
3
4
12
æ
ö
-
´ -
+
+
ç
÷
è
ø ．
4．（25-26 七年级上·全国·课后作业）计算：
(1)
2
5
0.25
-
´ ´ -
；
(2)
100 15
0.01
´
´ -
；
(3)
1
2
3
2
3
4
æ
ö æ
ö æ
ö
-
´ -
´ -
ç
÷ ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø è
ø；
(4)
1
1
30
2
3
æ
ö
´
-
ç
÷
è
ø ．
5．（25-26 七年级上·全国·课后作业）计算：
(1)
81
1.25
8
20
æ
ö
´ -
´ -
ç
÷
è
ø
；
(2)
5
1
9
0.8
4
3
æ
ö
-
´ -
´ -
´
ç
÷
è
ø
；
(3)
3
10
1
8
4
3
2
æ
ö æ
ö
-
´ - +
-
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø ；
(4)
5
5
9
15
6
6
´ -
+
´ -
．
题型三、有理数乘法运算律
1．（24-25 七年级上·贵州贵阳·期末）某同学在计算( 4) 5 ( 0.25)
-
´ ´ -
时，将原式变形为[ 4 ( 0.25)] 5
- ´ -
´ 进行
简便运算，这样做的依据是（ ）
A．乘法交换律
B．乘法对加法的分配律
C．乘法结合律
D．乘法交换律和乘法结合律
2．（25-26 七年级上·吉林松原·期中）用简便方法计算：
22
22
22
7
26
2
7
7
7
æ
ö
æ
ö
æ
ö
- ´ -
+
´ -
+ ´ -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø ．
3．（25-26 七年级上·湖南永州·期末）计算：
(1)
35 12.5
8
-
´
´ -
；
(2)
3
4
8
0
0.25
32
5
æ
ö
-
´ -
´ ´
´ -
ç
÷
è
ø
；
(3)
8
5
3
1
9
22
8
æ
ö æ
ö æ
ö
-
´ -
´ -
ç
÷ ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø è
ø；
(4)
3
1
7
60
5
2
10
æ
ö
+
-
´ -
ç
÷
è
ø
．
4．（25-26 七年级上·全国·课后作业）计算：
(1)
2
3.5
9
7
´ -
´
；
(2)
5
2
2.4
6
5
æ
ö
æ
ö
-
´ -
´ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ；
(3)
7
5
3
36
9
6
4
æ
ö
-
+
´ -
ç
÷
è
ø
；
(4)
4
2
5
3
5
3
4
2
æ
ö
æ
ö
-
´
´ -
´
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
．
5．（25-26 七年级上·浙江·阶段检测）阅读下面解题过程．
例1：
98 12
100
2
12
1200
24
1176
´
=
-
´
=
-
=
；
例2 ：
16 233 17 233
16 17
233
233
-
´
+
´
= -
+
´
=
；
请你参考上面的例题，用运算律进行简便计算：
(1)
49
39
10
50
-
´
；
(2)
7
7
7
4
37
5
37
37
11
11
11
æ
ö
æ
ö
´ -
- ´ -
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
．
6．（25-26 七年级上·河南南阳·期中）学习了有理数的运算后，王老师给同学们出了这样一道题：计算
15
71
( 8)
16 ´ -
，看谁算得又对又快．
下面是两位同学给出的不同解法．
小亮：原式
1151
9208
1
8
575
16
16
2
= -
´
= -
= -
小舒：原式
15
15
15
1
71
( 8)
71 ( 8)
( 8)
568
575
16
16
2
2
æ
ö
=
+
´ -
=
´ -
+
´ -
= -
-
= -
ç
÷
è
ø
．
(1)以上两种解法，你认为谁的解法比较简便？理由是什么？
(2)请你用简便方法计算
47
49
6
48
-
´ ．
题型四、有理数乘法的实际应用
1．（24-25 七年级上·全国·随堂练习）水文观测中，常遇到水位上升或下降的问题．我们规定：水位上升为
正，水位下降为负；几天后为正，几天前为负．如果水位每天下降3cm ，今天的水位为0cm ，那么2 天后
的水位用算式表示正确的是（ ）
A．
3
2
+
´ +
B．
3
2
-
´ +
C．
3
2
+
´ -
D．
3
2
-
´ -
2．（25-26 七年级上·湖北咸宁·期末）无人车负责向某小区快递超市配送快递，计划平均每天配送600 件快
递，实际每天的配送量与计划量有出入，下表是该无人车2026 年1 月第一周的配送情况（超过计划量记为
正，不足记为负）．
星期
一
二
三
四
五
六
日
配送情况（单位：件）
30
+
15
-
10
+
5
-
0
20
+
10
-
请问该无人车本周（7 天）实际向快递超市配送多少件快递？
3．（25-26 七年级上·内蒙古赤峰·期末）某校学生食堂要购进20 袋土豆，以每袋30千克为质量标准，超过的
千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录(单位：千克)如下：
每袋与标准质量的差
3
-
2
-
1.5
-
0
2
2.5
3
袋数
1
3
4
3
3
4
2
(1)求这20 袋土豆的平均质量是多少？
(2)若土豆每千克的售价为1.5元，求买这20 袋土豆共需多少钱？
4．（25-26 七年级上·浙江绍兴·期末）我国的机器人技术发展迅速，某实验室对一款机器人进行测试．现让
机器人在一条东西走向的路上从点A 处开始行走（规定向东为正方向，向西为负方向，单位：m），经过测
试，得到下表实验数据：
第1 次
第2 次
第3 次
第4 次
第5 次
50
+
38
-
31
+
22
-
20
+
(1)5 次行走结束后，机器人停在何处?
(2)如果机器人行走每米耗电0.08 度，在这次测试中，机器人共耗电多少度?
题型五、倒数
1．（25-26 七年级上·辽宁大连·阶段检测）下列说法正确的是（ ）
A．绝对值一定是正数
B．相反数等于本身的数只有0
C．倒数等于本身的数只有1
D．负数的绝对值小于本身
2．（25-26 七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）10
-
的相反数是__________；
1
12
-
的绝对值是__________；0.6
-
的倒数__________．
3．（25-26 七年级上·江苏南京·期末）当a，b 满足___________，a，b 互为相反数；当a，b 满足
___________，a，b 互为倒数．
4．
1
4
- -
的倒数是______．
5．（25-26 七年级上·陕西延安·阶段检测）已知a 的倒数是2
- ，则
1
a + 的值是______．
6．（25-26 七年级上·江西抚州·期末）已知,a b 互为相反数，
,
m n 互为倒数，则
2
2025
a
b
mn
+
-
的值为
________．
7．（25-26 七年级上·辽宁大连·阶段检测）在数轴上表示4 和它的相反数，
1
4
-
和它的倒数，绝对值等于2 的
数，再用 “<” 将所有数连接起来．
B 组 能力进阶
1．（24-25 七年级上·湖北武汉·期中）已知有理数a、b、c、d 满足a
b
c
d
<
<
<
，下列说法正确的是（ ）
A．若
0
ab >
，则
0
bd >
B．若
0
ac >
，则
0
bd >
C．若
0
bc <
，则
0
ad <
D．若
0
cd < ，则
0
ab <
2．（24-25 七年级上·浙江绍兴·期末）从6
- ，4
- ，1
- ，7，5，a（
4
a <
，且a 为整数）这6 个数中取其中3
个不同的数作为因数，则它们积的最小值为（ ）
A．210
-
B．35
-
C．168
D．无法确定
3．如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1 个至第3 个台阶上依次标着
1
2, 1,
2
-
- -
，且
能力进阶
B 组
任意相邻三个台阶上数的积都相等．下列判断正确的是（ ）
结论Ⅰ：从下到上前2022 个台阶上的数的积是1
- ；
结论Ⅱ：数“
1
2
-
”所在的台阶数用正整数k 表示为3k
A．Ⅰ对Ⅱ错
B．Ⅰ错Ⅱ对
C．Ⅰ和Ⅱ都对
D．Ⅰ和Ⅱ都错
4．（25-26 七年级上·湖北随州·期末）明代《算法统宗》一书将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，
如图1，计算46 75
´
，将乘数46 写在方格上面，乘数75 写在方格右面，然后用乘数46 的每位数字乘以乘
数75 的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来（满十进一），即得3450，如图2，用“铺
地锦”的方法表示两个两位数相乘的结果为2176，则a 和m 的值可能为（ ）
A．
3
a =
，
2
m =
B．
8
a =
，
1
m =
C．
3
a =
，
1
m =
D．
8
a =
，
3
m =
5．（25-26 七年级上·湖北武汉·期末）古巴比伦使用的60 进制与他们独特的计数方式有关．如图，右手4 根
手指的12 个指关节表示1~12，左手的五根手指表示1~ 5倍．如左手伸出1 根手指，右手掐住第6 指关节
时，表示的十进制数字是1 12
6
18
´
+
=
．现有十进制数55 用古巴比伦使用的60 进制计数方式正确的是（ ）
A．左手伸出2 根手指，右手掐住第5 指关节
B．左手伸出3 根手指，右手掐住第9 指关节
C．左手伸出3 根手指，右手掐住第8 指关节
D．左手伸出4 根手指，右手掐住第7 指关节
6．（25-26 六年级上·山东烟台·期末）某校园餐厅把WIFI 密码做成了数学题，小亮在餐厅就餐时，思索了一
会，输入密码，顺利地连接到了餐厅的网络，那么他输入的密码是___________．
7．（24-25 七年级上·河南南阳·期中）一根长为2025 厘米的塑料管，第1 次截去全长的
1
2 ，第2 次截去剩下
的1
3 ，第3 次截去剩下的1
4 ，如此下去，直到第2024 次截去剩下的
1
2025 ，则最后剩下的塑料管长为________
厘米．
8．（24-25 七年级上·重庆渝中·期末）王老师将5
- ，4
- ，8
- ，2
- ，1
- ，0 ，1，2 ，3，4 分别写在十张不
透明的卡片上，打乱卡片的顺序后，随机发给五位同学各两张卡片．除甲以外，其余每位同学把自己拿到
的两张卡片上的数字之和写在黑板上，结果如表所示，则甲拿的两张卡片上的数字之积为________，乙拿
的两张卡片上的数字之积为________．
9．（25-26 七年级上·河北保定·期末）学习了有理数乘法后，王老师给同学们布置了一道数学题：计算
8
19
18
9
-
´
．看谁算得又快又正确．嘉嘉、淇淇和媛媛的解法如下：
嘉嘉：原式
179 18
358
9
= -
´
= -
；
淇淇：原式
8
8
19
18
19 18
18
342 16
358
9
9
æ
ö
æ
ö
= -
+
´
= -
´
+
´
= -
+
= -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
；
媛媛：原式
1
1
20
18
20 18
18
360
2
358
9
9
æ
ö
æ
ö
= -
-
´
= -
´
-
´
= -
-
= -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
．
(1)淇淇和媛媛的解法都运用了拆项法，即把一个数拆成两个数的和或两个数的差，然后再运用有理数的运
算律进行计算，可使计算简便，她们运用的运算律是（ ）
A．乘法交换律 B．乘法结合律
C．乘法对加法的分配律 D．加法结合律
(2)请你选择以上三种解法中的一种计算
11
99
13
13´ -
的值．
10．（25-26 七年级上·陕西榆林·期末）对于有理数a、b、c，定义一种新运算：
．例如：
．求
的值．
11．（25-26 七年级上·福建福州·期中）小丽同学做一道计算题的解题过程如下：
2
3
1
1
12
6
3
4
2
3
æ
ö
æ
ö
´
-
+
¸
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
解：原式
2
3
1
1
12
12
6
3
4
2
3
æ
ö
=
´
-
´
+
¸
-
ç
÷
è
ø
…………第一步
1
1
8
9
6
6
2
3
=
- +
¸
-
¸
…………第二步
1 12 18
= - +
-
…………第三步
7
= - …………第四步
根据小丽的计算过程，回答下列问题：
(1)小丽在进行第一步时，运用了乘法的______律；
(2)她在计算中出现了错误，其中你认为在第______步开始出错了；
(3)请你给出正确的解答过程．
C 组 思维拔高
1．（24-25 七年级上·浙江宁波·期中）若x 是不等于1 的实数，我们把1
1 x
-
称为x 的差倒数．2 的差倒数为
1
1
1
2 = -
-
，－1 的差倒数为
1
1
1
1
2
=
- -
，现已知
1
1
3
= -
x
，
2x 是
1x 的差倒数，
3x 是
2x 的差倒数，
4x 是
3x 的差
倒数，…，依此类推．
(1)
2x = ______；
3x =______；
4x = ______；
(2)计算
1
2
3
x
x
x
的值；
(3)计算
1
2
2024
x x
x
的值．
思维拔高
C 组
2．（24-25 七年级上·河南郑州·阶段检测）在一次航展期间，表演刚开始时，直升机A，B 分别悬停在同一
高度，表演过程中两直升机的连续高度变化如下表（单位：千米；规定：上升为正，下降为负）．
动作1
动作2
动作3
动作4
动作5
直升机A
4.2
+
2.3
-
1.5
+
0.9
-
1.1
+
直升机B
3.8
+
2.5
-
4.7
+
1.8
-
?
(1)直升机A 在完成这5 个动作之后，处在初始悬停位置的______；（填“上方”或“下方”）
(2)直升机A 在表演过程中，求到初始悬停位置的最远距离？
(3)直升机A 每上升1 千米消耗5 升燃油，每下降1 千米消耗3 升燃油，求直升机A 在这5 个动作表演过程
中，一共消耗多少升燃油？
(4)若直升机A 和直升机B 完成5 个动作后的高度相同，直接写出表格中“？”代表的数据．
3．（25-26 七年级上·江苏镇江·期中）阅读理解：
计算
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
2
3
4
5
2
3
4
5
2
3
4
æ
ö æ
ö
æ
ö æ
ö
+
+
+
´
+
+
+
-
+
+
+
+
´
+
+
ç
÷ ç
÷
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
è
ø è
ø 时，若把1
1
1
1
2
3
4
5
+
+
+
æ
ö
ç
÷
è
ø与1
1
1
2
3
4
+
+
æ
ö
ç
÷
è
ø 分
别各看作一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下：
解：设1
1
1
2
3
4
+
+
æ
ö
ç
÷
è
ø 为A ，1
1
1
1
2
3
4
5
+
+
+
æ
ö
ç
÷
è
ø为B ，
则原式
1
1
1
5
B
A
A
B
B
AB
A
AB
B
A
=
+
-
+
=
+
-
-
=
-
=
．
请用上面的方法计算：
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
æ
ö æ
ö
æ
ö æ
ö
+
+
+
+
+
´
+
+
+
+
+
-
+
+
+
+
+
+
´
+
+
+
+
ç
÷ ç
÷
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
è
ø è
ø
拓展 衔接中考
1．2026 的倒数是（ ）
A．
1
2026
B．
1
2026
-
C．2026
D．2026
-
2．下列有理数中，没有倒数的是（ ）
A．2027
-
B．1
C．0
D．1
-
3．嘉嘉在美术课上了解到，用不同比例的红、黄两种颜料能调配出多种暖色调颜色．如图，根据红色颜料
的占比，可以将调配出的颜色分为①、②、③、④等四类．用6g 红色颜料和4g 黄色颜料调配出的颜色属
于（ ）
A．①类
B．②类
C．③类
D．④类
4．有理数
1
2
-
的倒数为_____________．
衔接中考
拓展
