文档内容
2.2.1 有理数的乘法（第 1 课时） 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版（2024）《义务教育教科书•数学》七年级上册（以下统称“教材”）第二章“有理
数的运算”2.2有理数的乘法与除法第1课时，内容包括有理数的乘法法则及运算.
2.内容解析
本节课是学生在小学已学过正有理数和0的乘法，在前面已学习负有理数和有理数的加减法运算之后
进行的．因此，教材首先以正数、0之间的运算为基础，构造一组有规律的算式，让学生从算式左右各数
的符号和绝对值两个角度观察这些算式的共同特点并得出规律，再以问题“要使这个规律在引入负数后仍
然成立，那么你认为下面的空格应填写什么数？”为引导，让学生分别思考、探究正数乘负数、负数乘正
数、负数乘负数各应得到什么运算结果，从积的符号和绝对值两个方面总结规律，进而自然得出有理数的
乘法法则，让学生在探究有理数乘法法则的过程中体会有理数乘法法则的合理性.对有理数乘法法则合理性
的感知，能够初步了解即可，要求不宜过高，着重放在有理数乘法方法的掌握和应用.
有理数的乘法既是有理数加法运算的延伸，也是学生后续学习有理数除法与乘方运算的基础，其乘法
法则的提炼让学生经历了将实际问题数学化的过程，可以有效地培养学生的归纳概括能力，同时，借助图
形帮助学生确定乘积的符号，可以让学生尽早领悟数形结合思想方法，所有这些都是学生获得发展所必备
的数学素养.
因此，本节课特别注重“知识过程”和“数学思想方法”的教学.“过程”是丰富多彩的，往往体现
数学的思想方法和价值；结论是重要的，但结论的获得离不开过程.因此在研究有理数乘法时，首先从实
际生活中提出问题，引导学生借助生活经验和已有知识，解答有关“小虫爬行”的问题；接着教师引导学
生建立数学模型，把实际问题“数学化”，探索有理数乘法的法则；最后让学生对所得的数学式子进行观
察思考，引导学生感受“规定”的合理性，明晰结论，归纳出有理数的乘法法则.在归纳法则时，引导学
生类比有理数加法法则的归纳方法进行分类讨论，同时与小学的乘法进行类比，找出异同点，从而让学生
建构起自己的“有理数乘法”的认知结构.这样不仅让学生学了知识，也让学生长了智慧，学生良好的思
维品质也得以培养与提高.
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：两个有理数相乘的符号法则.
二、目标和目标解析
1.目标
（1）能够理解探究有理数乘法法则给出的推理过程，体会有理数乘法法则的合理性.（2）掌握有理数乘法法则，能够运用有理数乘法法则计算两个数的乘法.
2.目标解析
（1）教材是利用合情推理，通过比较数字算式蕴含的规律性，类比发现有理数乘法法则的.教学中，
应该让学生推敲与比较这些算式，发现其中存在的规律，并会从符号、绝对值两个方面来描述这种规律，
体会有理数乘法法则的合理性.
（2）有理数乘法法则涉及运算结果的符号与绝对值两个方面.因此，学生在初期进行有理数乘法运算
时，要求他们从这两个方面分层次、有步骤地思考，即先考虑两个乘数的符号，然后决定积的符号，再考
虑两个乘数的绝对值，进而决定积的绝对值大小.
三、教学问题诊断分析
有理数乘法法则的规定是建立在小学里正数与正数相乘、正数与0相乘的基础之上的.从法则的建立到
学生的多年实践，他们丝毫不怀疑法则的合理性，因为他们可以毫不费劲地从生活实例中得到圆满解释.引
入负数后就不同了，如果说“负数与正数相乘”还能用有理数的加法来解释，而且也的确能在现实生活中
找到相关背景的话，如连续降温等，那么“正数与负数相乘”“负数与负数相乘”“负数与0相乘”等运
算，却很难在现实生活中找到合理的解释.
由于学习本节课前，学生对正数的乘法运算以及相反数、绝对值等相关概念已经比较熟悉，同时具有
一定的观察、动手操作、合作交流能力以及分析归纳概括能力.如果直接将有理数的乘法法则告诉学生，他
们必然产生疑问：这些规定正确吗？为此，应设计易于理解的情景，要求学生动脑、动手、观察、归纳，
从经历将实际问题数学化、用数学手段研究实际问题的过程中，拉长了知识产生过程的“生长链”，让学
生充分感受引进负数后乘法运算法则的合理性.
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：两个有理数相乘的符号的确定，特别是对“两个负数相乘，
积为正数”的理解.
四、教学过程设计
（一）创设情境，引入新课
前面学习了有理数的加减法，接下来就应该学习有理数的乘除法．同学们先看下面的问题：
1．3×4等于多少？表示什么？
答案：3×4＝12，表示4个3相加，即：3×4＝3＋3＋3＋3．
2．请将(－3)＋(－3)＋(－3)＋(－3)写成乘法算式.
(－3)＋(－3)＋(－3)＋(－3)＝(－3)×4.
师生活动：师：我们已经熟悉正数及0的乘法.与加法类似，数的范围扩大到了有理数后，我们希望在
有理数范围内，所有数都能像正数及0一样进行乘法运算，并使乘法运算具有一致性，那么该怎样进行有理数的乘法运算呢？在有理数范围内，除了已有的正数与正数相乘、正数与0相乘以及0与0相乘，乘法
还有哪几种情况？
【设计意图】通过问题引入课题，引起学生的探究欲望和学习兴趣，激发学生的学习热情.
（二）新知探究
问题1：一只小虫，沿一条东西方向的跑道，以每分钟3米的速度一直向东爬行. 记小虫原来的位置为
点O，那么在3分钟后、2分钟后、1分钟后、0分钟、1分钟前、2分钟前、3分钟前，它位于这一点的哪
个方向？相距多少米？
追问1：观察下面的四个乘法算式，你能发现什么规律吗？
3×3＝9，
3×2＝6，
3×1＝3，
3×0＝0.
师生活动：规律：随着后一乘数逐次递减1，积逐次递减3．
追问2：观察下面的三个乘法算式，说明以上规律在引入负数后是否仍然成立？
3×(－1)＝ － 3 ；
3×(－2)＝ － 6 ；
3×(－3)＝ － 9 .
问题2：两只小虫，在同一地点O处，它们沿一条东西方向的跑道爬行. 若一只分别以每分钟3米、2
米、1米、0米的速度向东爬行3分钟，另一只分别以每分钟1米、2米、3米的速度向西爬行3分钟，那
么它们爬行后的位置分别在这一点的哪个方向？相距多少米？
追问1：观察下面的算式，你又能发现什么规律吗？
3×3＝9，
2×3＝6，
1×3＝3，
0×3＝0.
师生活动：规律：随着前一乘数逐次递减1，积逐次递减3．
追问2：要使这个规律在引入负数后仍成立，那么应有
(－1)×3＝ － 3 ；
(－2)×3＝ － 6 ；
(－3)×3＝ － 9 .追问3：从符号和绝对值两个角度观察上述算式，你发现有什么规律？
师生活动：以小组为单位对以上问题从符号和绝对值两个角度进行观察和总结归纳，得出规律：①从
符号角度观察，可归纳积的特点是：
正数乘正数，积为正数；
正数乘负数，积为负数；
负数乘正数，积为负数．
从绝对值角度观察，可归纳积的特点是：
②积的绝对值等于各乘数绝对值的积．
问题3：一只小虫，沿一条东西方向的跑道，以每分钟3米的速度一直向西爬行. 记小虫原来的位置为
点O，那么在3分钟后、2分钟后、1分钟后、0分钟、1分钟前、2分钟前、3分钟前，它分别位于这一点
的哪个方向？相距多少米？
追问1：利用上面归纳的结论计算下面的算式，你发现什么规律？
(－3)×3＝－9，
(－3)×2＝－6，
(－3)×1＝－3，
(－3)×0＝0.
师生活动：规律：随着后一乘数逐次递减1，积逐次增加3.
追问2：按照上述规律，下面的空格可以各填什么数，从中可以归纳出什么结论？
(－3)×(－1)＝ ；
(－3)×(－2)＝ ；
(－3)×(－3)＝ .
师生活动：结论：负数乘负数，积为正数，乘积的绝对值等于各乘数绝对值的积．
师：你能从中归纳有理数乘法的法则吗？（也就是结果的符号怎么定？绝对值怎么算？）先让学生思
考，师生交流，师引导学生观察和的正负号和绝对值的关系入手，发现规律.生大胆说出自己的不同想法，
相互交流、补充，概括法则，再由学生自己归纳出有理数乘法法则，并用文字叙述，教师板书法则：
有理数乘法法则：
两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积．
任何数与0相乘，都得0.
【设计意图】通过对乘法法则的探究，培养学生的创新能力和总结归纳的能力，同时加深对乘法法则
的理解.
（三）法则挖掘问题4：阅读，填空：
（1）(－5) ×(－3) …………………………同号两数相乘
(－5) ×(－3)＝＋( ) ……………得正
5×3＝15 …………………………把绝对值相乘
所以(－5) ×(－3)＝15.
（2）(－7) ×4…………………………
(－7) ×4＝－( ) ……………
7×4＝28 ……………………
所以(－7) ×4＝ .
追问：通过上题，你认为：非零两数相乘，主要步骤是什么？
师生活动：学生逐题口答后，师生共同得出：进行有理数乘法运算，先要判断两个因数是同号还是异
号，有一个因数是否为零；也就是先判断积的符号，然后再把绝对值相乘.教师板书：有理数乘法步骤：两
个有理数相乘，先确定“积”的符号，再确定“积”的绝对值.
【设计意图】通过对法则的深度挖掘，帮助学生熟悉法则，使学生明晰做有理数乘法运算时的常用方
法和步骤，并养成“算必有据”的习惯. 同时将有理数的乘法运算转化为小学学习过的数的乘法运算（绝
对值相乘），渗透了化归思想.
（四）典例分析
例1：计算：（1）8×(－1)；（2） ；（3） .
解：（1）8×(－1) （异号两数相乘）
＝－(8×1) （积为负，把绝对值相乘）
＝－8；
（2） （同号两数相乘）
＝＋ （积为正，把绝对值相乘）
＝1；
（3） （同号两数相乘）＝＋ （积为正，把绝对值相乘）
＝ .
追问1：观察（2）式 ，有什么特点？
乘积是1的两个数互为倒数．
追问2：数a（a≠0）的倒数是什么？
a（a≠0）的倒数是 .
【针对训练】说出下列各数的倒数：1，－1， ， ，5，－5， ， .
追问3：0有没有倒数？
追问4：一个数的倒数等于它本身，这个数等于多少？
师生活动：师生共同完成，学生口述，教师板书，要求学生能说出每一步的运算依据.教师点评法则运
用过程中的注意点：先定符号，再算绝对值.同时指出：在有理数范围内，乘积是1的两个数互为倒数．
【设计意图】巩固乘法法则，引出倒数的概念，同时说明求一个数的相反数与乘－1之间的关系（反
过来有－8＝8×(－1)）.
例2：用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负.登山队攀登一座山峰，每登高1 km气温的变
化量为－6ºC. 登高3 km后，气温有什么变化？
解：(－6)×3= －18.
答：登高3 km后，气温下降了18ºC.
师生活动：学生尝试独立完成，然后与教材相比较.
【设计意图】利用有理数乘法解决实际问题，体现数学的应用价值.
（五）当堂巩固
1. 确定下列两数积的符号
（1）7×(－12)；（2）2×8；（3）(－3)×(－52)；（4）(－36)×5．
答案：（1）负；（2）正；（3）正；（4）负.2. 填写下表
答案：积的符号：负；正；正；负；
绝对值：48；14；72；45；
结果：－48；14；72；－45.
【设计意图】通过练习使学生熟悉法则的应用，深刻理解法则的内容和含义．可根据时间的情况，多
安排一些练习，以求通过练习达到巩固掌握的目的.
（六）能力提升
1. 若m＜0，n＞0，则mn ____0.
2. 若m＜0，n＜0， 则mn ____0.
3. 若mn＞0，则m、n应满足什么条件？
4. 若mn＜0，则m、n应满足什么条件？
5. 已知－3y是一个负数，则（ ）.
A. y>0 B. y<0 C. y≥0 D. y≤0
答案：1.＜；2.＞；3. m，n同号；4. m，n异号；5. A.
师生活动：教师巡视指导，学生交流，师生评价.
【设计意图】开放性的题目让学生在探索的过程中进一步理解法则，体会有理数的加法与小学时加法
的区别.
（七）感受中考
1．（2024•吉林）若（－3）×□的运算结果为正数，则□内的数字可以为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．－1
【解答】解：（－3）×2＝－6，故A选项错误；
（－3）×1＝－3，故B选项错误；
（－3）×0＝0，故C选项错误；
（－3）×（－3）＝3，故D选项正确；故选：D．
2．（2024•陕西） 的倒数是（ ）
A． B． C． D．3
【解答】解：∵ ，
∴－3的倒数是 ．
故选：A．
3．（2024•包头）若m，n互为倒数，且满足m＋mn＝3，则n的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【解答】解：∵m与n互为倒数，
∴mn＝1，
∵m＋mn＝3，
∴m＝2，
∴ ．
故选：B．
【设计意图】通过对最近几年的中考试题的训练，使学生提前感受到中考考什么，进一步了解考点.
（八）课堂小结
1. 本节课的学习，你有哪些收获？请你用自己的语言复述一下有理数乘法法则.
2. 本节课的学习，你领悟到哪些数学思想方法？
【设计意图】通过课堂小结，使学生对本节课的知识有一个系统地回顾和认识，进而形成一个清晰的
脉络，加深学生对法则的理解与掌握．
（九）布置作业
P47：习题2.2：第1、2、3题.
五、教学反思
因此本节课采用“情境——探究——概括——应用——拓展”的教学模式，并在该模式下指导学生
“自主探究——合作交流——主动总结——自我提高”.因此整节课以学生活动与思考为主，让学生通过观
察、猜想、归纳等，使学生真正获得对知识的“消化”，引导学生认识变化过程与结果，把新的学习内容正确地纳入到已有的认知结构中，从而使其成为整个认知结构的有机组成部分.学生不是信息的被动接受者，
而是知识的获得过程的主动参与者.因而本节课开始就创设生活情境，激发学生的兴趣，使学生乐于去学习.
教师作为组织者参与其中，不急于表明观点，引导学生主动探索，去思考、去归纳，经形成过程，使学生
获得成功的体验，增强他们学好初中数学的信心.本节课在引导学生自主学习、自主建构获得知识的同时，
向学生渗透分类、比较的数学思想，通过数学思想的渗透，培养学生善于把握知识之间的内在联系，全面
而灵活地思考问题，让学生获得可持续发展的动力.面向全体学生，让每个学生都有机会接触、研究自己感
兴趣的数学问题，经历数学知识的形成和应用过程，加深了对所学知识的理解，从而突破重难点.
对于有理数的乘法法则是这样突破的：①对3×(－1)＝－3的理解，可以根据小学乘法的意义，即
3×(－1)表示3个－1相加，因此结果为－3来帮助学生理解. 因为还没有学习整式的乘法，不宜用“要使原
来的运算律仍然成立，即3×(x－1)＝3x－3”来解释.对于3×(－2)、3×(－3)的结果，也可以先利用整数乘法
的意义来解释，然后再利用 “随着后一乘数逐次递减1，积逐次递减3”的规律来验证.当然，也可以直接
用后面的规律来探究结果.最后，通过观察三个“思考”，概括得到有理数乘法的法则.②两数相乘，同号
得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积；任何数与0相乘，都得0.在实际教学中，要通过
讲、练使学生能熟练地、准确地按照法则进行乘法运算.至于两个数相乘，一个数是0的情况，参照正数与
0相乘的结果，可以规定负数与0相乘也得0．③要得到一个数的相反数，只要将这个数乘以“－1”即可，
即a×(－1)＝－a.
对于倒数的概念是这样突破的：①在有理数中，仍然定义“乘积是1的两个数互为倒数”，与小学倒
数的定义相同，只是现在求一个非零有理数的倒数时，这个有理数可以是正数、负数而已.②要引导学生通
过探究思考得到：正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数，并通过提问 “为什么0没有倒
数”，将0不能作除数、不能作分母、没有倒数再一次联系起来.
对于有理数乘法的实际应用是这样突破的：利用有理数乘法解决实际问题，先要把实际问题转化为数
学问题，建立有理数乘法算式，再根据有理数乘法的法则进行计算得出结论.
