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好题精选·同步精炼 2.2 有理数的乘法与除法
2.2.1 有理数的乘法第二课时有理数乘法的运算律
知识点1 有理数的乘法运算律
1．（23-24七年级上·福建福州·期末）下列等式能表示分配律的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了有理数运算律的运用，根据乘法分配律的形式判断即可．
【详解】解：A、 表示乘法交换律，不符合题意；
B、 表示加法交换律，不符合题意；
C、 表示乘法结合律，不符合题意；
D、 表示乘法分配律，符合题意；
故选：D．
2．（23-24六年级上·山东泰安·期中）观察算式： ，在解题过程中，能使运算变得简
便的运算律是（ ）
A．乘法交换律、结合律 B．乘法结合律 C．乘法交换律 D．乘法对加法的
分配律
【答案】A【分析】本题主要考查有理数乘法交换律和乘法的结合律，解决本题的关键是要熟练运算乘法的交换律和
乘法的结合律进行简便计算．根据 和 乘积为1000， 和28乘积是4，可以利用乘法的交换律和乘
法的结合律进行简便计算．
【详解】解：
，
∴在解题过程中，能使运算变得简便的运算律是乘法交换律、结合律．
．
3．（22-23六年级下·上海闵行·阶段练习）简化计算 ，应该运用（ ）
A．加法交换律 B．加法结合律
C．乘法对加法的分配律 D．乘法结合律
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的混合运算，乘法对加法的分配律是解题关键．因为24、12、4都是24的约数，
所以本题利用乘法对加法的分配律进行计算．
【详解】解：利用乘法对加法的分配律得： ，
，
4．（23-24七年级上·河北保定·期末）下面计算 的过程正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查有理数的运算．利用乘法分配律写出中间过程，进行判断即可．掌握乘法分配律，是解
题的关键．
【详解】解： 或 ；
故选A．
5．（23-24七年级上·湖南湘西·期中）计算 最简便的方法是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的乘法的分配律 是解答本题的
关键．
利用乘法分配律将因数 进行变形即可．
【详解】解： ，可以使计算简便，
故答案为：D6．（23-24七年级上·福建福州·期中）对式子 进行简便计算，如图所示，运用到的
运算律①是（ ）．
A．乘法交换律 B．乘法分配率 C．乘法结合律 D．加法交换律
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，根据计算过程结合有理数的乘法运算律进行判断即可得出答案，
熟练掌握有理数的乘法运算律是解此题的关键．
【详解】解： ，上面的计算中运用到的运算律是乘法结合
律，
．
7．（23-24七年级上·广西玉林·阶段练习）下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据有理数的计算法则，逐一进行计算，判断即可．
【详解】解：A、 ，选项错误；B、 ，选项正确；
C、 ，选项错误；
D、 ，选项错误；
故选B．
【点睛】本题考查有理数的运算．熟练掌握有理数的运算法则，是解题的关键．
8．（23-24七年级上·河北邯郸·期中）若 的值记为p，则 的值可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查乘法分配律．利用乘法分配律将 转化为 ，求解后即可得出
结果．
【详解】解：∵ 的值记为p，
∴
；
故选C．
9．（22-23七年级下·陕西西安·期末）计算：(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)4
【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是运用乘法的交换律、结合律、乘法对加法的分配律等
运算法则较为简便．
（1）根据有理数的乘法的结合律进行简算即可；
（2）根据有理数的乘法的交换律与结合律计算即可；
（3）利用乘法分配律进行简便计算即可；
（4）逆用乘法分配律计算较为简便．
【详解】（1）解：（2）
（3）
（4）
．知识点2 多个有理数相乘
10．（2024七年级上·广西·专题练习）下列式子中，积的符号为负的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了几个有理数的乘法．熟练掌握几个有理数的乘法的符号法则，是解决问题的关键．几
个不为零的数相乘，积的符号由负因数个数决定，当负因数个数是奇数个时，积为负；当负因数的个数为
偶数个时，积为正；几个数相乘，有一个因数为零，积为零．
根据几个有理数的乘法的符号法则逐一判断，即可以得到答案．
【详解】A、有两个负因数，积为正，故A不符合题意．
B、有三个负因数，积为负，故B符合题意．
C、有一个因数0，积为0，故C不符合题意．
D、有四个负因数，积为正，故D不符合题意．
．
11．（22-23七年级上·四川德阳·阶段练习）四个不为零的数相乘，积为负数，则负因数的个数为（ ）
A．1 B．0 C．3 D．1或3
【答案】D
【分析】本题考查有理数的乘法，几个非零有理数相乘，奇数个负数相乘积为负数，偶数个负数相乘积为
正数．【详解】解：四个不为零的数相乘，积为负数，则负因数的个数为1或3，
故选：D．
12．（24-25七年级上·全国·随堂练习）若5个有理数的积是负数，则5个因数中正因数的个数可能是（
）
A．1个 B．3个
C．1或3或5个 D．以上答案都不对
【答案】D
【分析】本题考查了有理数的乘法运算，解题的关键是掌握有理数的乘法法则．根据几个不为零的数相乘，
积的符号由负因数的个数确定，当负因数的个数为偶数时积为正，负因数的个数为奇数时积为负，即可得
解．
【详解】解： 5个有理数的积是负数，则5个因数中负因数的个数为1个，3个或5个，
正因数的个数可能为4个或2个或0个．
故选：D．
13．（22-23七年级上·河北邯郸·期中）已知 ， ，若a为
正数，b为负数，则下列判断正确的是（ ）
A．m，n皆为正数 B．m，n皆为负数
C．m为正数，n为负数 D．m为负数，n为正数
【答案】C
【分析】在有理数乘除中，当有偶数个非零有理数相乘除时结果是正数，当有奇数个非零有理数相乘除时
结果是负数，据此进行判断，即可求解．
【详解】解：因为 中 的结果为负数，
又因为a为正数，
所以 为负数；因为 中 的结果为正数，
又因为b为负数，
所以 为负数；
所以m，n皆为负数；
．
【点睛】本题主要考查了在有理数乘除混合运算中，判断若干个非零有理数相乘除结果的符号，掌握判断
方法是解题的关键．
14．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1) ．
(2) ．
(3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)0
【分析】本题考查了有理数的乘法法则，熟练掌握有理数的乘法法则是解题的关键，
（1）首先根据负因数的个数可判断积为负，再把绝对值相乘，然后约分计算即可；
（2）首先根据负因数的个数可判断积为正，再把绝对值相乘，然后约分计算即可；
（3）观察发现因数中有0，故结果为零．
【详解】（1）解：原式 ；（2）解：原式
；
（3）解：原式 ．
15．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)0
(2)35
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了有理数的乘法，解题关键是熟记有理数的乘法法则：几个有理数相乘，其中有个
因数为0，其积为0；几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数个数决定，负因数个数为奇数积为负，
负因数个数为偶数积为正，并把绝对值相乘．根据有理数乘法法则进行计算便可．
【详解】（1）解： ；
（2）；
（3）
；
（4）
．
16．（2024七年级上·全国·专题练习）计算．
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)8【分析】本题考查有理数乘法，有理混合运算，熟练掌握有理数乘法法则与运算律是解题的关键．
（1）根据乘法交换律、结合律和有理数的乘法运算法则进行计算即可得解；
（2）把小数化为分数，然后根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解；
（3）逆运用乘法分配律进行计算即可得解；
（4）利用乘法分配律进行计算即可得解．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；（4）解：原式
．
17．（23-24七年级上·浙江台州·阶段练习）下列说法中正确的个数有（ ）
①5个有理数相乘，当负因数有3个时，积为负；
② 乘以任何有理数等于这个有理数的相反数；
③两个有理数的积为负数，则这两个有理数都为负数；
④绝对值大于1的两个数相乘，积比这两个数都大．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据有理数乘法法则进行判断即可．
【详解】解：5个有理数相乘，若5个有理数中有一个为0，则积为0，故①错误；
乘任何有理数等于这个数的相反数，故②正确；
若两个有理数的积为负数，则这两个有理数中有一个是负数，故③错误；
绝对值大于1的两个数相乘，积不一定比这两个数都大，如 和2，它们的积比这两个数小，故④错误，
综上可得：只有②正确，
．
【点睛】本题考查了有理数的乘法，熟知“同号得正，异号得负”是解题的关键．
18．（23-24七年级上·重庆渝中·阶段练习）在数 ，2， ，5， 中任取三个数相乘，其中最小的积是
a，最大的积是b，则 的结果是（ ）A．54 B．30 C．24 D．0
【答案】C
【分析】先根据所给的数确定a和b，然后再计算 即可．
【详解】解：由题意得： ， ，
则 ，
．
【点睛】本题考查了有理数的乘法运算法则，根据乘法运算法则确定a、b的值是解答本题的关键．两数相
乘，同号得正，异号得负．
19．（23-24七年级上·重庆黔江·期末）已知 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查有理数的乘法，掌握运算法则是解题的关键．根据有理数的乘法法则进行判断即可．
【详解】解： ， ，
，
，
，
20．（23-24七年级上·浙江湖州·期末）我国古代《易经》一书中记载了一种“结绳计数”的方法，一女子
在从右到左依次排列的绳子上打结，满七向左进一，用来记录采集到的野果数量，下列图示中表示162颗
的是（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】本题主要考查有理数的运算，解题的关键是理解题意；由题意可分别求出各个选项中野果的数量，
然后问题可求解．
【详解】解：A、 ，故不符合题意；
B、 ，故不符合题意；
C、 ，故不符合题意；
D、 ，故符合题意；
故选D．
21．（2023七年级上·江苏·专题练习）已知 ， ， ，
， ，观察并找规律，计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题目中的式子可知： ，然后计算出结果即可．
【详解】解：由题意可得，
，
故选： ．
【点睛】此题考查了有理数的乘法运算、规律性——数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，求出所
求式子的值．
22．（23-24七年级上·全国·课后作业）小明在标有 ， ， ， ， ， ， ，……的卡片中依次拿
到 张卡片．
(1)若数字之积为 ，则小明拿到了哪三张卡片？
(2)能拿到数字相邻的且其积为 的三张卡片吗？若能，请写出这三张卡片的数字；若不能，请说明理由．
【答案】(1)小明拿到的三张卡片为 ， ，
(2)能，这三张卡片为 ， ，
【分析】（1）根据有理数的乘法即可求解；
（2）根据有理数的乘法即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴小明拿到的三张卡片为 ， ， ．
（2）解：∵ ，
∴这三张卡片为 ， ， ．
【点睛】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法是解题的关键．
23．（22-23七年级上·安徽黄山·阶段练习）出租车司机小张某天下午的运营是在一条东西走向的大道上，
如果规定向东为正，他这天下午的行程记录如下：（单位：千米）
(1)将最后一名乘客送到目的地时，小张离下午出车点的距离是多少？
(2)离开下午出发点最远时是多少千米？
(3)若汽车的耗油量为 升/千米，油价为 元/升，这天下午共需支付多少油钱？
(4)若出租车起步价为8元，起步里程为 （包括 ），超过部分每千米 元，问小张这天下午共得
车费多少元？
【答案】(1)5km；
(2)5km；
(3) 元；(4)54元．
【分析】（1）将所有数据相加，根据和的情况进行作答即可；
（2）分别计算出小张每一次行程离出发点的距离，比较出各数的大小即可；
（3）将所有数据的绝对值相加，得到总路程，再利用总路程乘以耗油量乘以油价即可得解；
（4）计算出每一次行程的费用，再把费用相加即可得解．
【详解】（1）解： ；
∴将最后一名乘客送到目的地时，小张离下午出车点的距离是 ；
（2）解：第一次行程离开下午出发点的距离为： ；
第二次行程离开下午出发点的距离为： ；
第三次行程离开下午出发点的距离为： ；
第四次行程离开下午出发点的距离为： ；
第五次行程离开下午出发点的距离为： ；
第六次行程离开下午出发点的距离为： ；
∴离开下午出发点最远时是 千米；
（3）解： ，
元；
∴这天下午共需支付 元油钱；
（4）解：第一次行程收费为： 元；
第二次行程收费为： 元；
第三次行程收费为： 元；第四次行程收费为： 元；
第五次行程收费为： 元；
第六次行程收费为： 元；
元；
∴小张这天下午共得车费54元．
【点睛】本题考查有理数运算的实际应用．熟练掌握正负数的意义，根据题意，正确的进行列式计算，是
解题的关键．
24．（24-25七年级上·全国·随堂练习）对于正整数a、b，规定一种新运算*， 等于由a开始的连续b
个正整数的积，例如： ， ，那么 的值等于多少？
【答案】56
【分析】本题考查了有理数的乘法，理解新运算的运算方法是解题的关键．根据新运算的定义进行求解即
可．
【详解】解： ，
，
，
，
．
25．（23-24七年级上·全国·课堂例题）[应用意识]一次团体操排练活动中，某班45名学生面向老师站成一
横排，老师每次让其中任意6名学生向后转（不论原来方向如何），能否经过若干次后全体学生都背对老师站立？如果能，请设计一种方案；如果不能，请说明理由．
【答案】不能．理由见解析
【分析】利用有理数的乘法，同号得正，异号得负即可得到答案．
【详解】解：不能．理由：假设每名学生胸前有一块号码布，上面写着“ ”，背后有一块号码布，上面
写着“ ”，那么一开始全体学生面向老师，胸前45个“ ”的乘积是“ ”，如果最后全部背对老师，
那么45个“ ”的乘积是“ ”．设想老师每次叫“向后转”，就是将6名学生对着老师的数字都乘“
”，每次“运算”乘上6个“ ”，即乘上了“ ”，故45个数的乘积始终是“ ”，所以让乘积变
为“ ”是不可能的，即不可能使全体学生都背对老师站立．
【点睛】本题考查有理数的乘法应用，熟练掌握有理数乘法符号的性质并理解题意是解题的关键．
