文档文本内容
分层作业
2.3.1 乘方
说明：ABC 三组为必做内容，拓展部分为选做。
★温馨提示：将鼠标拖动至题型文字上方，按住Ctrl 并单击鼠标左键可直接跳转至对应题型哟~★
目 录
A 组 巩固过关.....................................................................................................................1
题型一、有理数幂的概念理解.................................................................1
题型二、有理数的乘方运算...................................................................2
题型三、有理数乘方逆运算...................................................................3
题型四、乘方运算的符号规律.................................................................3
题型五、乘方的应用.........................................................................3
题型六、程序流程图与有理数计算.............................................................5
题型七、算“24”点.........................................................................6
题型八、含乘方的有理数混合运算.............................................................7
题型九、计算器——有理数...................................................................8
B 组 能力进阶.....................................................................................................................9
C 组 思维拔高...................................................................................................................11
拓展 衔接中考...................................................................................................................12
A 组 巩固过关
题型一、有理数幂的概念理解
1．（25-26 七年级上·甘肃天水·期中）在
6
7
-
中，底数是______．
2．（25-26 七年级上·河南郑州·期末）计算2
2
2
5 5
5
个
个
+
+
+
+ ´ ´
´
m
n
L
L
14243
14243 （ ）
A．
5
2m
n
+
B．
2
5n
m +
C．2
5
m
n
+
D．2
5n
m +
3．（25-26 七年级上·河北邯郸·期末）在学习了乘方运算后，对于2k 聪聪和明明有如下讨论：
聪聪：2k 表示有2 个k 相乘
巩固过关
明明：2k 表示有2 个k 相加
你认为他们的说法（ ）
A．只有聪聪是对的
B．只有明明是对的
C．他们两人都不对
D．他们都有道
理
4．（25-26 七年级上·山西临汾·期末）计算
10
2
10
3
2
2
2
3 3
3
+
+
+
´ ´
´
+
144244
3
14243
个
个
…
…
的算式是（ ）
A．
10
20
3
+
B．
10
10
2
3
+
C．20
30
+
D．
10
2
30
+
5．（25-26 七年级上·河北保定·期末）为了简便，可以将5 5 5
5
n
´ ´
´
个
644744
8
L
记为_____．
题型二、有理数的乘方运算
1．（25-26 七年级上·河北石家庄·期末）下列各组数中，数值相等的是（ ）
A．
3
3
2
2
-
-
和
B．
2
+ +
和
2
+ -
C．
2
- -
和
2
- +
D．
2
2
- -
和
2
2
-
2．（25-26 七年级上·江西上饶·期末）计算：
3
2
- - -
=
é
ù
ë
û
_______．
3．（25-26 七年级上·河南周口·期末）若
2
1
2
0
x
y
-
+
+
=
，则x
y
+
的值为____．
4．（25-26 七年级上·河南信阳·期末）若a 与b 互为相反数，则
2
1
2
1
n
n
a
b
-
-
+
= _____．( n 为正整数)
5．（25-26 七年级上·广东梅州·期末）已知,a b 互为相反数，,c d 互为倒数，且
0
c ¹
，则
2
2026
a
b
cd
+
- -
= _____．
6．计算
(1)
2
7 ；
(2)
3
6
-
；
(3)
3
2
3
æ
ö
ç
÷
è
ø
；
(4)
23
-
；
(5)
32
5
-
；
(6)
3
3
4
æ
ö
- -
ç
÷
è
ø
．
题型三、有理数乘方逆运算
1．
一个数的平方是9，则这个数是______．
2．
（25-26 七年级上·福建宁德·期末）已知某个有理数乘方的结果是16，则该乘方运算是
_____．（写出一个即可，用
n
a 的形式表示）
3．若
2
9
x =
，
2
y =
，且x
y
<
，则x
y
-
的值为______．
4．（25-26 七年级上·江苏宿迁·期末）定义,a b 之间一种运算，记作
,a b ：如果
c
a
b
=
，那么
,a b
c
=
．则
2,8 = __________．
题型四、乘方运算的符号规律
1．（25-26 七年级上·安徽宣城·期中）计算
2026
2025
( 2)
( 2)
-
+ -
的结果为（ ）
A．
2026
2
-
B．
2025
2
-
C．
2025
2
D．
2026
2
2．（25-26 七年级上·广东江门·期中）下列各对数值相等的是（ ）
A．
5
2
-
和
5
2
- -
B．
23
- -
和
2
3
-
C．
3
3 2
- ´
和
23
2
-
´
D．
2
3
- -
和
3
2
- -
3．（25-26 七年级上·江苏南京·阶段检测）已知k 是一个正整数，那么
2
1
1
k-
-
= __________．
4．如果n 是正整数，则
2
1
2
1
1
n
n
+
-
+ -
= _____ ．
5．（24-25 七年级上·四川南充·期中）已知
4
(
6)
2024
y
x
= -
-
+
的最大值为______．
6．（25-26 七年级上·云南文山·期末）比较大小：
49
2
-
_____98（填“＞”“＝”或“＜”）．
题型五、乘方的应用
1．（25-26 七年级上·江苏无锡·阶段检测）把足够大的一张厚度为0.1mm 的纸连续对折，要使对折后的整叠
纸总厚度超过20 mm ，至少要对折（ ）
A．6 次
B．7 次
C．8 次
D．9次
2．（25-26 七年级上·河北衡水·期末）人教版生物教材提到，细菌是靠分裂进行生殖的，分裂完的细菌长大
分类讨论
新考法
结论开放题
以后又能进行分裂．某种细菌在培养过程中每半小时分裂一次（由1 个分裂为2 个），经过4 小时，1 个这
种细菌可分裂成的细菌个数为（ ）
A．
4
2
B．
62
C．
7
2
D．
82
3．（25-26 七年级上·河北衡水·期中）在一次综合实践活动课上，同学们将一个边长为1 的正方形纸片进行
分割，如图所示，第①部分是边长为1 的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③
部分是第②部分面积的一半，依次类推，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．
8
1
2
æ
ö
ç
÷
è
ø
B．
7
1
2
æ
ö
ç
÷
è
ø
C．
6
1
2
æ
ö
ç
÷
è
ø
D．
5
1
2
æ
ö
ç
÷
è
ø
4．
（25-26 七年级上·黑龙江大庆·期末）我们常用的十进制数，如
3
2
1243
1 10
2 10
4 10
3
= ´
+ ´
+ ´
+ ，我国古代易经一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，
如图，一位母亲在如下排列的绳子上打结，并采用七进制（如
3
2
1243
1 7
2 7
4 7
3
= ´
+ ´
+ ´ + ），用来记录孩子
自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（ ）天．
A．512
B．511
C．510
D．509
5．（25-26 七年级上·河南濮阳·期末）如图是第十四届国际数学教育大会（
14
ICME -
）会徽，在其右下方的
“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数
8
3745
．该八进制数转换成十进制数的计算方式为：
3
2
1
0
8
3745
3 8
7 8
4 8
5 8
= ´
+ ´
+ ´
+ ´
2021
=
，请将十进制数20 转换成八进制数是（ ）
传统文化
A．
8
24
B．
8
23
C．
8
22
D．
8
20
6．（25-26 七年级上·山东青岛·期末）若
2021
1
2
a
æ
ö
= -
ç
÷
è
ø
，
2022
1
2
b
æ
ö
= -
ç
÷
è
ø
，
2023
1
2
c
æ
ö
= -
ç
÷
è
ø
，
2024
1
2
d
æ
ö
= -
ç
÷
è
ø
，则a，b，
c，d 的大小关系正确的是（ ）
A．a
c
b
d
>
>
>
B．a
b
c
d
>
>
>
C．d
c
b
a
>
>
>
D．b
d
c
a
>
>
>
题型六、程序流程图与有理数计算
1．（24-25 七年级上·四川达州·阶段检测）如图是一个计算程序，若输入a 的值为1
- ，则输出的结果b 应为
（ ）
A．7
B．5
-
C．1
D．5
2．（25-26 七年级上·湖南娄底·期末）如图，是一个数值运算程序框图，若开始输入
10
x =
，则最后输出的
结果是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．5
3．（25-26 七年级上·四川达州·期末）在如图所示的运算程序中，若开始输入x 的值是8，第1 次输出的结
果是5，依次继续下去，……，第2028 次输出的结果是________．
4．（25-26 七年级上·广西崇左·期末）如图，是一个有理数混合运算程序的流程图，请根据这个程序回答问
题：当输入的x 为16
-
时，最后输出的结果y 是多少？（写出计算过程）
题型七、算“24”点
1．（25-26 七年级上·云南保山·期中）有一种算“24 点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每
个数必须且只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，6
- ，10．运用上
述规则，下列算式中不正确的是（ ）
A．
4 3
6
10
´ - -
+
B．
4
6
3 10
- -
¸ ´
C．
10
6
3
4
- -
´ -
D．
4
6
10
3
+ -
+
´
é
ù
ë
û
2．（25-26 七年级上·浙江丽水·期末）有一种“24 点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，将各张牌上的
数用加、减、乘、除、乘方中的几种运算（可用括号，且各数只能用一次）列一个算式，先计算结果为
“24”者获胜．现已抽出如图所示的四张牌（A 表示1），则可算“24”点的算式是________（写出一个即可）
．
3．（25-26 六年级上·山东烟台·期中）利用下面4 张图上的点数，凑成24 的算式是_______．
4．（25-26 七年级上·河南安阳·期中）有一种游戏叫“24 点游戏”，规则是：随机抽取4 个整数，使用学过的
运算符号把它们组成一个算式，使结果为24（每个数字只能用一次）．有一次小明在做“24 点游戏”时抽到的
4 个数分别是1
- ，4，5，11，请你写出一个算式使其结果为24：______．
5．（25-26 七年级上·河北邢台·期末）小明有5 张写着不同的数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列
各问题：
(1)从中取出2 张卡片，使这2 张卡片上数字乘积最大，最大值是________；
(2)从中取出2 张卡片，使这2 张卡片上数字相除的商最小，最小值是________；
(3)从中取出4 张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子：________．
题型八、含乘方的有理数混合运算
1．（25-26 七年级上·江苏无锡·阶段检测）计算：
2025
2
1
( 3)
3
1 5
-
+ -
¸ - - -
．
2．（25-26 六年级上·上海·阶段检测）计算：
2
3
4
2
2
9
3
æ
ö æ
ö
-
¸ -
´ -
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
．
3．（25-26 七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）计算：
2
3
2
1
5
3
6
5
æ
ö
-
´ -
- -
¸ -
ç
÷
è
ø
．
4．（25-26 七年级上·宁夏吴忠·期末）计算：
(1)
100
4
1
5
2
4
-
´ + -
¸ ；
(2)
2
(3
5)
3
(1 3)
-
-
+
´
-
．
5．（25-26 七年级上·福建莆田·阶段检测）规定一种新运算：
2
1
a
b
ab
a
b
=
-
-
+
☆
，
2
3
4
3
4
3
4
1
-
= ´ -
- - -
+
☆
，请计算下列各式的值：
(1) 2
5
☆；
(2)
2
5
-
-
☆
．
题型九、计算器——有理数
1．（24-25 六年级上·山东烟台·期中）如图，利用课本上的计算器计算时，按键顺序为
，则计算器显示的结果为（ ）
A．12
B．6
C．4
D．2
2．用计算器计算
4
2
5
- ´ -
时，按键的顺序为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．用计算器计算
63
2 ，按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 六年级上·山东烟台·期中）如图，利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序如下：
则显示器显示的结果为______．
B 组 能力进阶
1．（25-26 七年级上·山东滨州·期末）在古代，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，有位
父亲为了准确记录孩子的出生天数，把绳子从右到左由细变粗且满8 进1进行记录，那么从中可以判定孩子
已经出生了（ ）
A．100天
B．90天
C．132天
D．42 天
2．（25-26 七年级上·辽宁沈阳·期末）定义一种对正整数n 的“F”运算：①当n 为奇数时，结果为3
5
n + ；②
当n 为偶数时，结果为2k
n ，其中k 取使2k
n 为奇数的正整数，并且运算一直重复进行，例如，取
26
n =
时，
则有：
，将
49
n =
进行2025 次“F 运算”
的结果是（ ）
A．19
B．31
C．62
D．98
3．（25-26 七年级上·全国·阶段检测）观察下列各式：
2
2
2
1
1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
+ -
æ
ö
= -
= -
-
ç
÷
+
+
è
ø
；
2
2
2
2
2 1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
3
+
-
æ
ö
= -
= -
-
ç
÷
+
+
è
ø
；
2
2
2
3
3 1
1
1
1
1
1
3
3
3
3
3
4
+ -
æ
ö
= -
= -
-
ç
÷
+
+
è
ø
¼¼
计算：
2
2
2
2
1
5
11
2025
2025 1
2
2
2
3
3
2025
2025
+
-
+
+
+¼+
=
+
+
+
________．
4．（25-26 七年级上·河南南阳·期末）阅读以下内容：
2
1
1
1
x
x
x
-
+
=
-
2
3
1
1
1
x
x
x
x
-
+
+
=
-
3
2
4
1
1
1
x
x
x
x
x
-
+
+
+
=
-
）
¼¼
根据这一规律，计算：
2
3
4
2026
1
2
2
2
2
2
+
+
+
+
+
+
=
L
________．
能力进阶
B 组
5．（25-26 七年级上·湖南常德·期末）定义一种新运算“Ä”，规则为：
b
a
b
a
ab
b
Ä
=
-
+
，例如：
2
1
2
1
1 2
2
1
Ä
=
- ´ +
= ，解答下列问题：
(1)
3
2
-
Ä
；
(2)
1
1
2
é
ù
-
Ä
-
Ä
ë
û ．
6．（25-26 七年级上·全国·寒假作业）记
1
2
M
=-
，
2
2
2
M
= -
´ -
，
3
2
2
2
M
= -
´ -
´ -
，…，
2
2
2
n
n
M
= -
´ -
´
´ -
L
144424443
个
(1)填空：
5
M
= ______，
1000
M
是一个______（填“正数”或“负数”）．
(2)计算
6
7
M
M
+
的值．
(3)当
0
n
M
<
时，求
1
2014
1007
n
n
M
M
+
+
的值．
C 组 思维拔高
1．
定义：如果10b
n
=
，那么称b 为n 的劳格数，记为
b
d n
=
．
(1)根据劳格数的定义，可知：
10
1
d
= ，
2
10
2
d
=
，那么
3
10
d
= ．
(2)劳格数有如下运算性质：若m，n 为正数，则
d mn
d m
d n
=
+
；
m
d
d m
d n
n
æ
ö =
-
ç
÷
è
ø
，如
25
5 5
5
5
2
5
d
d
d
d
d
=
´
=
+
=
．根据运算性质，填空：
5
(2 )
(2)
d
d
= ．
(3)在（1）（2）的条件下，若
3
0.477
d
=
，求
9
d
和
3
10
d æ
ö
ç
÷
è
ø 的值．
2．
（25-26 七年级上·四川自贡·阶段检测）【概念学习】规定：求n 个相同的有理数（均不
等于0）的商的运算叫做除方，比如2
2
2
¸
¸ ，
3
3
3
3
-
¸ -
¸ -
¸ -
等，类比有理数的乘方，我们把2
2
2
¸
¸
写作2③，读作“2 的3 次商”；
3
3
3
3
-
¸ -
¸ -
¸ -
写作
3
-
④，读作“ 3
- 的4 次商”，一般地，把
0
a
a
a
a a
¸
¸
¸
¸
¹
L
这样n 个a 相除，写作
n
ad ，读作“a 的n 次商”．
【初步探究】
（1）请直接写出计算结果：5
=
②
______，
4
3
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
③
______；
（2）下列关于除方说法中，错误的是（ ）（单选）．
A．当
0
m ¹
时，
1
m
=
②
B．当
0
m ¹
时，
1
m
m
æ
ö
-
= -
ç
÷
è
ø
③
C．正数的n 次商结果是正数，负数的n 次商结果是负数
D．n 次商等于它本身的数是1
【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有
思维拔高
C 组
核心素养
新趋势
新定义问题
理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
除方→
3
1
1
1
1
1
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
æ
ö
=
¸ ¸ ¸ ¸
= ´
´
´
´
= ç
÷
è
ø
⑤
→乘方（幂）的形式；
（3）归纳：请把有理数a 的n 次商（
0
a ¹
，
3
n ³
），写成乘方（幂）的形式为：a
=
ⓝ
______；
（4）计算：
1
1
2
48
2
4
æ
ö
æ
ö
´ -
- -
¸
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
⑥
④
⑤
．
拓展 衔接中考
1．（2026·四川攀枝花·中考真题）“快乐数”是指将正整数的每一位数字平方后相加，得到的新数再重复这一
过程，最后结果为1 的数．以“快乐数”70 为例：
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
7
0
49
4
9
97
9
7
130
1
3
0
10
1
0
1
+
=
Þ
+
=
Þ
+
=
Þ
+
+
=
Þ
+
= ，则下列数中不是“快乐数”的是
（ ）
A．3
B．7
C．13
D．31
2．（2025·江苏镇江·中考真题）2024 年全市共接待国内游客约55510800 人次，其中数据55510800 可表示
为（ ）
A．55510.8 万
B．5551.08 万
C．555.108 万
D．55.5108 万
3．（2025·四川巴中·中考真题）所有放射性物质都有自己的半衰期．半衰期是放射性物质的质量缩减为原来
的一半所用的时间，是一个不变的量．质量为m 的放射性物质，经历了3个半衰期后的质量为（ ）m ．
A．1
3
B．1
4
C．1
6
D．1
8
4．（2025·山东威海·中考真题）2025 年5 月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相
比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率．
二进制数的组成数字为0，1．十进制数22 化为二进制数：
4
3
2
1
0
2
22
1 2
0 2
1 2
1 2
0 2
10110
= ´
+ ´
+ ´
+ ´
+ ´
=
．
传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22 化为三进制数：
衔接中考
拓展
2
1
0
3
22
2 3
1 3
1 3
211
=
´
+ ´
+ ´
=
．
将二进制数
2
1011 化为三进制数为（ ）
A．
3
102
B．
3
101
C．
3
110
D．
3
12
