文档文本内容
分层作业
2.2.2 有理数的除法
说明：ABC 三组为必做内容，拓展部分为选做。
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目 录
A 组 巩固过关.....................................................................................................................1
题型一、有理数的除法运算.......................................................1
题型二、有理数乘除混合运算.....................................................4
题型三、有理数乘除中的简便运算.................................................7
题型四、有理数的四则混合运算..................................................12
题型五、有理数四则混合运算的实际应用..........................................15
题型六、根据点在数轴的位置判断式子的正负......................................20
题型七、数轴上的翻折..........................................................22
B 组 能力进阶...................................................................................................................26
C 组 思维拔高...................................................................................................................30
拓展 衔接中考...................................................................................................................35
A 组 巩固过关
题型一、有理数的除法运算
1．（25-26 七年级上·河南驻马店·期末）有理数a，b 在数轴上对应点的位置如图所示，给出下列关系式：
①
0
ab <
；②
0
a
b
-
>
；③
0
a
b
+
>
；④
0
a
b
-
>
；⑤
0
a
b
a
b
+
=
．其中正确的是（ ）
A．①②③
B．①④⑤
C．②③
D．①②⑤
【答案】B
【分析】本题主要考查了根据数轴上点的位置判断式子符号，化简绝对值，有理数的运算．
巩固过关
根据数轴得到
0
,
a
b a
b
<
<
>
，进而判断即可．
【详解】解：由数轴可知
0
,
a
b a
b
<
<
>
，
∴
0
ab <
，
0
a
b
-
<
，
0
a
b
+
<
，
0
a
b
-
>
，故①正确，②错误，③错误，④正确；
1 1
0
a
b
a
b
a
b
a
b
-
+
=
+
= - + =
，故⑤正确，
故①④⑤正确．
故选：B．
2．（25-26 七年级上·全国·课后作业）计算：
(1)
81
1
99 82
41
-
¸
；
(2)
7
49
7
11 ¸ -
．
【答案】(1)
1
4099 2
-
(2)
1
711
-
【分析】本题考查有理数的除法运算，能够进行简便计算是解题的关键．
（1）先将原式转化为
1
100
41
82
æ
ö
-
+
´
ç
÷
è
ø
，再利用乘法分配律进行简便运算；
（2）先将原式转化为
7
1
49
11
7
æ
ö æ
ö
+
´ -
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø ，再利用乘法分配律进行简便运算．
【详解】（1）解：
81
1
99 82
41
-
¸
1
100
41
82
æ
ö
= -
+
´
ç
÷
è
ø
1
100
41
41
82
= -
´
+
´
1
4100
2
= -
+
1
4099 2
= -
；
（2）
7
49
7
11 ¸ -
1
7
49 11
7
æ
ö
ç
÷
÷
æ
ö
ç
÷
=
ø
+
´ -
çè
÷
ø
çè
1
1
49
7
1
7
7
1
æ
ö
æ
ö
ç
÷
ç
÷
=
´ -
+
´ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
1
7
11
æ
ö
ç
÷
= -
+ -
ç
÷
è
ø
1
711
= -
．
3．（25-26 七年级上·广西崇左·期末）计算：
(1)
1404
2
7
7
-
¸
；
(2)
8
1.25
-
¸ -
；
(3)
4
24
( 8)
5
-
¸ -
；
(4)
4
1
24
(
)
5
10
¸ -
．
【答案】(1) 702
-
(2) 32
5
(3) 31
10
(4) 248
-
【分析】本题考查有理数的除法运算：
（1）变除法为乘法，再约分化简即可；
（2）变小数为分数，再变除法为分数乘法，最后约分化简；
（3）变带分数为假分数，变除法为乘法，再约分化简即可；
（4）变带分数为假分数，变除法为乘法，再约分化简即可．
【详解】（1）解：
1404
2
1404
7
702
7
7
7
2
-
¸
= -
´
= -
；
（2）解：
5
4
32
8
1.25
8
8
4
5
5
-
¸ -
=
¸
= ´
=
；
（3）解：
4
124
1
31
24
( 8)
5
5
8
10
-
¸ -
=
´
=
；
（4）解：
4
1
124
24
10
248
5
10
5
æ
ö
¸ -
=
´ -
= -
ç
÷
è
ø
.
4．（25-26 七年级上·广西崇左·阶段检测）计算：
(1)( 20) 10
-
¸
；
(2)84
( 16)
¸ -
；
(3)( 105)
( 5)
-
¸ -
；
(4)( 3)
( 9)
-
¸ -
；
(5)
1
( 25)
5
-
¸
；
(6)
1
13
(
)
13
¸ -
．
【答案】(1) 2
-
(2)
21
4
-
(3)21
(4) 1
3
(5) 125
-
(6) 169
-
【分析】本题主要考查了有理数的除法，
根据有理数的除法法则逐个计算，两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；除以一个不等于0
的数等于乘以这个数的倒数．
【详解】（1）解：( 20) 10
(20 10)
2
-
¸
= -
¸
= - ；
（2）解：
21
84
( 16)
(84 16)
4
¸ -
= -
¸
= -
；
（3）解：( 105)
( 5)
(105
5)
21
-
¸ -
= +
¸
=
；
（4）解：
1
( 3)
( 9)
(3 9)
3
-
¸ -
= +
¸
=
；
（5）解：
1
( 25)
(25 5)
125
5
-
¸
= -
´
= -
；
（6）解：
1
13
(
)
(13 13)
169
13
¸ -
= -
´
= -
．
题型二、有理数乘除混合运算
1．（25-26 七年级上·四川绵阳·期末）计算：
1
1
6
5
2
3
æ
ö
´
+
¸ -
=
ç
÷
è
ø
（ ）
A．1
-
B．1
C．5
D．
3
2 5
【答案】A
【分析】本题考查有理数的混合运算．根据有理数的混合运算法则，先算括号内运算，再从左到右依次计
算乘除运算即可解答．
【详解】解：
1
1
5
6
5
6
5
5
5
1
2
3
6
æ
ö
´
+
¸ -
=
´
¸ -
=
¸ -
= -
ç
÷
è
ø
，
故选：A ．
2．（24-25 七年级上·北京·期中）计算：
10
2
7
3
4
¸ -
+ -
´ -
- -
．
【答案】20
【分析】先计算乘除法，然后计算加减法即可．
【详解】解：
10
2
7
3
4
¸ -
+ -
´ -
- -
5
21
4
= - +
+
20
=
．
3．计算：
1
7
1
1
0.65
4.8
8
20
7
é
ù
æ
ö ¸
´
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
+
+
【答案】
39
【分析】先计算括号里面的，再根据混合运算的法则即可求解．
本题考查了有理数的混合运算，掌握运算法则是解题关键．
【详解】解：原式
9
13
7
7
4.8
8
20
20
æ
ö
æ
ö
=
+
+
´
´
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
9
7
4.8
8
æ
ö
=
+
´
ç
÷
è
ø
65
24
8
5
=
´
39
=
．
4．（25-26 六年级上·上海·期末）计算：1
6
3
1
7
2
29
20
4
æ
ö
æ
ö
´ -
¸
´ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
【答案】5
【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，解题关键是先将带分数化为假分数，把除法转化为乘法，再通
过约分简化计算，同时注意符号的运算规则.
【详解】解：原式
1
6
20
29
2
29
3
4
æ
ö
æ
ö
=
´ -
´
´ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
1
20
6
29
2
3
29
4
æ
ö æ
ö
=
´
´ -
´ -
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
20
6
6
4
=
´
5
=
.
5．计算：
(1)
1
4
81
2
16
4
9
æ
ö
-
¸ -
´
¸ -
ç
÷
è
ø
；
(2)
1
1
2
3
1
2
2
3
æ
ö
æ
ö
-
¸ -
´
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
．
【答案】(1) 1
-
(2)14
9
【分析】（1）先将除法转化为乘法，再由有理数乘法运算法则计算即可得到答案；
（2）先将除法转化为乘法，然后计算有理数乘法即可得到答案．
【详解】（1）解：
1
4
81
2
16
4
9
æ
ö
-
¸ -
´
¸ -
ç
÷
è
ø
4
4
1
81 9
9
16
æ
ö
=
´
´
´ -
ç
÷
è
ø
4
4
1
81 9
9
16
= -
´
´
´
1
= - ；
（2）解：
1
1
2
3
1
2
2
3
æ
ö
æ
ö
-
¸ -
´
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
7
2
2
2
3
3
=
´
´
14
9
=
6．（24-25 七年级上·福建龙岩·阶段检测）计算：
(1)
1
1
3
1.25
5
2
æ
ö
æ
ö
-
´ +
¸ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
(2)
1
1
5
5
5
5
æ
ö
-
´ ¸ -
´ -
ç
÷
è
ø
【答案】(1)8
(2) 25
-
【详解】（1）解：
1
1
3
1.25
5
2
æ
ö
æ
ö
-
´ +
¸ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
16
5
2
5
4
æ
ö æ
ö
= -
´ +
´ -
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
8
=
；
（2）解：
1
1
5
5
5
5
æ
ö
-
´ ¸ -
´ -
ç
÷
è
ø
1
5
5
5
5
= -
´ ´ -
´ -
25
= -
．
7．（25-26 七年级上·吉林松原·期末）请仔细阅读下面的计算过程，并解答问题．
计算：
1
3
125
3
6
6
4
æ
ö
-
¸
-
-
´ -
ç
÷
è
ø
．
解：原式
25
125
6
12
= -
¸
´ -
…第一步
25
( 125)
2
æ
ö
= -
¸ -
ç
÷
è
ø …第二步
10
=
…第三步
(1)解答过程从第__________开始出错；
(2)请写出正确的计算过程．
【答案】(1)二
(2)见解析
【分析】本题考查了有理数的混合运算．原式先计算括号中的运算，再计算乘除运算即可求出值．
【详解】（1）解：有错；解答过程从第二步开始出错，原因是同级运算中，没按从左到右的顺序进行计算．
故答案为：二；
（2）解：
1
3
125
3
6
6
4
æ
ö
-
¸
-
-
´ -
ç
÷
è
ø
25
( 125)
( 6)
12
= -
¸
´ -
12
( 125)
6
25
= -
´
´ -
360
=
．
题型三、有理数乘除中的简便运算
1．（25-26 六年级上·黑龙江绥化·期末）计算．
(1) 7
5
15
5
2
4
2
4
¸
+
¸
(2) 1
1
1
1
3
4
6
24
æ
ö
+
+
¸
ç
÷
è
ø
(3)
9
137 136
´
（用简便算法）
(4) 2
6
0.375
9
7
´
¸
【答案】(1) 44
5
(2)18
(3)
9
9136
(4) 7
72
【分析】该题考查了有理数的混合运算．
（1）先将除法转化为乘法，逆用乘法分配律求解即可．
（2）先将除法转化为乘法，再根据乘法分配律求解即可．
（3）将137 变为
136 1
+
，再根据乘法分配律求解即可．
（4）先将小数转化为分数、除法转化为乘法，再根据乘法运算法则计算即可．
【详解】（1）解：7
5
15
5
2
4
2
4
¸
+
¸
7
4
15
4
2
5
2
5
=
´
+
´
7
15
4
2
2
5
æ
ö
=
+
´
ç
÷
è
ø
4
11 5
=
´
44
5
=
．
（2）解：1
1
1
1
3
4
6
24
æ
ö
+
+
¸
ç
÷
è
ø
1
1
1
24
3
4
6
æ
ö
=
+
+
´
ç
÷
è
ø
1
1
1
24
24
24
3
4
6
=
´
+
´
+
´
8
6
4
=
+
+
18
=
．
（3）解：
9
137 136
´
9
136 1
136
=
+
´
9
9
136
1
136
136
=
´
+ ´
9
9
136
=
+
9
9136
=
．
（4）解：2
6
0.375
9
7
´
¸
2
3
7
9
8
6
=
´
´
7
72
=
．
2．（25-26 七年级上·甘肃临夏·期中）数学老师布置了一道思考题：
“计算：
1
1
5
12
3
6
æ
ö
æ
ö
-
¸
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ，小明仔细思考了一番，用了一种特殊的方法解决了这个问题：原式的倒数为
1
5
1
1
5
12
4 10
6
3
6
12
3
6
-
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
¸ -
=
-
´ -
=
+
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
，所以
1
1
5
1
12
3
6
6
æ
ö
æ
ö
-
¸
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
请你运用小明的方法计算：
1
1
1
1
2
36
2
9
18
3
æ
ö
æ
ö
-
¸
+
-
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø．
【答案】1
4
【分析】本题考查了有理数的混合运算．
1
1
1
1
2
36
2
9
18
3
æ
ö
æ
ö
-
¸
+
-
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø的倒数为1
1
1
2
1
2
9
18
3
36
æ
ö
æ
ö
+
-
-
¸ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø，求出其值，再求倒数即可．
【详解】解：
1
1
1
1
2
36
2
9
18
3
æ
ö
æ
ö
-
¸
+
-
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø的倒数为1
1
1
2
1
2
9
18
3
36
æ
ö
æ
ö
+
-
-
¸ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø，
1
1
1
2
1
2
9
18
3
36
æ
ö
æ
ö
+
-
-
¸ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
1
1
1
2
36
2
9
18
3
æ
ö
=
+
-
-
´ -
ç
÷
è
ø
18
4
2
24
4
= -
-
+
+
=
，
所以
1
1
1
1
2
1
36
2
9
18
3
4
æ
ö
æ
ö
-
¸
+
-
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
．
3．（25-26 七年级上·江苏南京·阶段检测）请你仔细阅读下列材料并计算：
1
2
1
1
2
30
3
10
6
5
æ
ö
æ
ö
-
¸
-
+
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
解法：简便计算，先求其倒数
原式的倒数为：
2
1
1
2
1
2
1
1
2
30
20
3
5 12
10
3
10
6
5
30
3
10
6
5
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
+
-
¸ -
=
-
+
-
´ -
= -
+ - +
= -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
故
1
2
1
1
2
1
30
3
10
6
5
10
æ
ö
æ
ö
-
¸
-
+
-
= -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算：
1
3
3
1
2
56
8
14
2
7
æ
ö
æ
ö
-
¸
-
+
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø .
【答案】
1
21
-
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，乘法分配律的运用，熟练掌握有理数混合运算的法则和乘法
分配律是解题的关键.计算3
3
1
2
1
8
14
2
7
56
æ
ö
æ
ö
-
+
-
¸ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ，把除法变成乘法，再利用乘法分配律求解，所得结果取
倒数即为答案.
【详解】解：原式的倒数为：
3
3
1
2
1
8
14
2
7
56
æ
ö
æ
ö
-
+
-
¸ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
3
3
1
2
56
8
14
2
7
æ
ö
=
-
+
-
´ -
ç
÷
è
ø
3
3
1
2
56
56
56
56
8
14
2
7
= -
´
+
´
-
´
+
´
21 12
28
16
= -
+
-
+
21
= -
，
∴
1
3
3
1
2
1
56
8
14
2
7
21
æ
ö
æ
ö
-
¸
-
+
-
= -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
．
故答案为
1
21
-
.
4．学习本节知识后，薛老师给同学们出了这样的两道题：
①
1
1
1
1
3
2
4
24
æ
ö
æ
ö
-
+
-
¸ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ；
②
1
1
1
1
24
3
2
4
æ
ö
æ
ö
-
¸ -
+
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ．
下面是小刚和小明做的过程：
小刚：解：①原式
1
1
1
24
8 12
6
2
3
2
4
æ
ö
= -
+
-
´ -
=
-
+
=
ç
÷
è
ø
．
小明：解：②原式
1
1
5
3
2
4
5
24
24
24
æ
ö
æ
ö
= -
´ - +
-
= -
´ -
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
．
请回答：
(1)小刚和小明的解题都对吗？如果不对，请写出正确的计算过程；
(2)小华是个爱动脑筋的好学生，他观察了①、②这两个式子是互为倒数的关系，故先求出①式的结果，即
可得到②式的结果，你认为他的思路正确吗？
(3)如果你认为小华是正确的，请试着计算：
1
1
1
7
1
1
1
7
1
1
72
8
24
36
72
8
24
36
72
72
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
¸
+
-
-
+
+
-
-
¸ -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø ．
【答案】(1)
小刚的解题是对的，小明的解题是不对的，
②的正确计算过程如下：
1
1
1
1
24
3
2
4
æ
ö
æ
ö
-
¸ -
+
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
1
4
6
3
24
12
12
12
æ
ö
æ
ö
= -
¸ -
+
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
1
1
24
12
æ
ö
æ
ö
= -
¸ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
1
12
24
æ
ö
= -
´ -
ç
÷
è
ø
1
2
=
；
(2)小华的思路正确
(3)10
3
【分析】本题考查了有理数乘除的简便运算，熟练掌握有理数乘除的运算法则是解题的关键．
（1）根据有理数除法的运算法则即可解答；
（2）根据倒数的性质即可得出结论；
（3）先计算1
1
7
1
1
8
24
36
72
72
æ
ö
æ
ö
+
-
-
¸ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø 的值，再结合（2）中的结论即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：小华的思路正确，理由如下：
1
1
1
1
1
1
1
1
3
2
4
24
24
3
2
4
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
+
-
¸ -
´
-
¸ -
+
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
1
1
1
1
1
1
1
1
3
2
4
24
24
3
2
4
æ
ö
æ
ö æ
ö
æ
ö
= -
+
-
¸ -
´ -
¸ -
+
-
ç
÷
ç
÷ ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø è
ø
è
ø
1
= ，
∴①、②这两个式子是互为倒数的关系，
由小刚的解题可得，
1
1
1
1
2
3
2
4
24
æ
ö
æ
ö
-
+
-
¸ -
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
∴
1
1
1
1
1
24
3
2
4
2
æ
ö
æ
ö
-
¸ -
+
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，与（1）中的计算结果相符，
∴先求出①式的结果，即可得到②式的结果，
∴小华的思路正确；
（3）解：1
1
7
1
1
8
24
36
72
72
æ
ö
æ
ö
+
-
-
¸ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
1
1
7
1
72
8
24
36
72
æ
ö
=
+
-
-
´ -
ç
÷
è
ø
9
3 14 1
= - - +
+
3
=
，
∵
1
1
1
7
1
72
8
24
36
72
æ
ö
æ
ö
-
¸
+
-
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø 与1
1
7
1
1
8
24
36
72
72
æ
ö
æ
ö
+
-
-
¸ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø 互为倒数的关系，
∴
1
1
1
7
1
1
72
8
24
36
72
3
æ
ö
æ
ö
-
¸
+
-
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
∴原式
1
10
3
3
3
=
+
=
．
题型四、有理数的四则混合运算
1．（25-26 七年级上·福建漳州·期末）要使算式2 | 5 3|
+ - W
的结果最大，则“□”内应填入的运算符号为（ ）
A．+
B．-
C．´
D．¸
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的加减乘除运算及绝对值的性质，通过计算填入不同运算符号后的算式结果，
比较大小即可得出使结果最大的运算符号，正确计算是解题的关键．
【详解】解：填入“ + ”时，2
5
3
2
2
2
2
4
+ - +
=
+ -
=
+
=
，
填入“ - ”时，2
5
3
2
8
2
8
10
+ - -
=
+ -
=
+
=
，
填入“´”时，2
5 3
2
15
2 15
17
+ - ´
=
+ -
=
+
=
，
填入“ ¸ ”时，
5
11
2
5
3
2
3
3
+ - ¸
=
+
=
，
∵11
4
10
17
3 <
<
<
，
∴要使算式结果最大，“W ”内应填入的运算符号为´，
故选：C ．
2．（25-26 七年级上·辽宁大连·阶段检测）定义新运算
a
b
ad
bc
c
d =
-
，则
3
1
2
4
- =
-
______________．
【答案】10
【分析】根据题中新定义的运算规则，结合有理数混合运算法则计算即可求出值．
【详解】解：
a
b
ad
bc
c
d =
-
Q
3
1
3 4
1
2
12
2
10
2
4
-
\
= ´ - -
´ -
=
-
=
-
．
3．（24-25 七年级上·安徽合肥·开学考试）计算：5
1
3
3
1
30
6
5
10
7
3
æ
ö
æ
ö
+
-
´
¸
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
【答案】231
8
【详解】解：5
1
3
3
1
30
6
5
10
7
3
æ
ö
æ
ö
+
-
´
¸
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
5
1
3
16
30
30
30
6
5
10
21
æ
ö
=
´
+
´
-
´
¸
ç
÷
è
ø
16
25
6
9
21
=
+
-
¸
21
22 16
=
´
231
8
=
．
4．（24-25 七年级上·安徽合肥·开学考试）计算：
1
1
3.5 1
6.5
12
1
0.3
15%
3
3
é
ù
æ
ö
¸
+
´
´
-
-
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
【答案】
1
82 4
【详解】解：
1
1
3.5 1
6.5
12
1
0.3
15%
3
3
é
ù
æ
ö
¸
+
´
´
-
-
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
7
4
13
4
3
3
12
2
3
2
3
10
20
é
ù
æ
ö
=
¸
+
´
´
-
-
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
7
3
13
4
3
3
12
12
2
4
2
3
10
20
é
ù
=
´
+
´
´
-
´
-
ê
ú
ë
û
21
13
18
3
16
8
2
5
20
é
ù
=
+
´
-
-
ê
ú
ë
û
21
9
39
13 8 13
8
5
40
=
+
´ -
´
-
105
4160
936
39
40
40
40
40
=
+
-
-
1
82 4
=
5．（25-26 七年级上·辽宁大连·阶段检测）计算：
(1)
1
6 2
3
æ
ö
- ´ ¸ -
ç
÷
è
ø
(2)
1
2
1
0.75
3
3
4
æ
ö
-
+ -
+ -
+
ç
÷
è
ø
(3)
97
98
2
98 ´ -
(4)
5
5
5
4
2
7 2
11
2
9
9
9
æ
ö
æ
ö
´ -
- ´
+
´ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
【答案】(1)36
(2)
3
2
-
(3)
48
197 49
-
(4)
506
9
-
【详解】（1）解：
1
6 2
3
æ
ö
- ´ ¸ -
ç
÷
è
ø
6 2
3
= - ´ ´ -
36
=
（2）解：
1
2
1
0.75
3
3
4
æ
ö
-
+ -
+ -
+
ç
÷
è
ø
1
3
2
1
3
4
3
4
æ
ö
æ
ö
-
+ -
+ -
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
=
1
2
3
1
3
3
4
4
é
ù
é
ù
æ
ö
æ
ö
-
+ -
+
-
+
ç
÷
ç
÷
ê
ú
ê
ú
=
è
ø
è
ø
ë
û
ë
û
1
1
2
æ
ö
= - + -
ç
÷
è
ø
3
2
= -
；
（3）解：
97
98
2
98 ´ -
1
99
2
98
æ
ö
=
-
´ -
ç
÷
è
ø
1
99
2
2
98
=
´ -
-
´ -
1
198
49
= -
+
48
197 49
= -
；
（4）解：
5
5
5
4
2
7 2
11
2
9
9
9
æ
ö
æ
ö
´ -
- ´
+
´ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
5
5
5
4
2
7
2
11
2
9
9
9
æ
ö
æ
ö
æ
ö
´ -
+ ´ -
+
´ -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
=
5
2
4
7 11
9
æ
ö
-
´
+
+
ç
÷
è
ø
=
23
22
9
æ
ö
= -
´
ç
÷
è
ø
506
9
-
=
．
6．（25-26 七年级上·山东聊城·阶段检测）计算：
(1)
5
1
19
25
3
3
8
12
8
12
-
+
-
-
；
(2)
3
5
6
4
- + -
- -
- -
；
(3) 2
2
8
3
2
1
0.25
5
5
21
4
æ
ö
æ
ö
¸ -
-
´ -
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
(4)
1
5
7
2
36
2
9
12
æ
ö
-
-
+
´ -
ç
÷
è
ø
【答案】(1) 5
-
(2) 10
-
(3) 1
4
(4) 21
【详解】（1）解：
5
1
19
25
29
19
37
25
3
3
6 1
5
8
12
8
12
8
8
12
12
æ
ö
-
+
-
-
= -
-
+
-
= - + = -
ç
÷
è
ø
；
（2）解：
3
5
6
4
3
5
6
4
14
4
10
- + -
- -
- -
= - + -
+ -
+
= -
+
= -
；
（3）解：2
2
8
3
2
5
8
7
1
2
1
1
2
1
0.25
0.25
5
5
21
4
5
12
21
4
6
3
4
4
æ
ö
æ
ö
æ
ö
¸ -
-
´ -
-
=
´ -
+
´
-
= -
+
-
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
；
（4）解：
1
5
7
1
5
7
2
36
2
36
36
36
2
18
20
21
2 19
21
2
9
12
2
9
12
æ
ö
é
ù
-
-
+
´ -
=
-
´ -
-
´ -
+
´ -
=
- -
+
-
=
+
=
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
．
题型五、有理数四则混合运算的实际应用
1．（25-26 七年级上·浙江宁波·期末）如图，一把刻度尺放在数轴上，发现数轴上表示数1
- 和3 的点分别与
刻度尺上1cm 和4.8cm的刻度线对应，则数轴上1 个单位的长度是（ ）．
A．0.95cm
B．1cm
C．1.2cm
D．1.6cm
【答案】A
【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，有理数的四则混合运算的应用．
根据数轴上两点之间的距离公式求解即可．
【详解】解：由题意得，
4.8 1
3
1
3.8
4
0.95cm
é
ù
-
¸
- -
=
¸
=
ë
û
，
故选：A．
2．（25-26 七年级上·河南周口·期末）我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中提到：一年有二十四个节
气，每个节气的晷（guǐ）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二
十四节气如图所示．从冬至到夏至晷长逐渐变小，从夏至到冬至晷长逐渐变大，相邻两个节气晷长减少或
增加的量均相同，周而复始．若秋分的“晷长”是7.5尺，霜降的“晷长”是9.5尺，则小雪的“晷长”是_________
尺．
【答案】11.5
【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是读懂题意，求出相邻两个节气晷长减少或增加的
量．根据相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，观察从秋分到夏至霜降晷长变化次数即可求出相邻两个
节气晷长减少或增加的量，从而可得小雪的晷长．
【详解】解：∵相邻两个节气晷长减少或增加的量均相同，从秋分到霜降变化2 次，
∴相邻两个节气晷长减少或增加的量为
9.5
7.5
2
1
-
¸
= （尺），
小雪的晷长为 7.5
4 1
11.5
+ ´ =
（尺），
故答案为：11.5尺．
3．（25-26 七年级上·辽宁大连·阶段检测）某便利店一周每日营业额以 500 元为标准，超出记正、不足记负：
周一：28
-
周二：35
+
周三：16
-
周四：42
+
周五：9
- 周六：50
+
周日：22
+
(1)求该便利店这一周平均每天营业额多少元；
(2)每天固定成本200 元，超出500 元的部分按15% 额外盈利，求这周总盈利多少元．
【答案】(1)
5
513 7 元
(2) 2218.35 元
【分析】（1）根据题意列式计算即可；
（2）根据每天固定成本200 元，超出500 元的部分按15% 额外盈利，列式计算即可．
【详解】（1）解：
500
28
35 16
42
9
50
22
7
+ -
+
-
+
- +
+
¸
500
96
7
=
+
¸
5
500 13 7
=
+
5
513 7
=
（元），
答：该便利店这一周平均每天营业额为
5
513 7 元；
（2）解：
5
513
7
200 7
35
42
50
22
15%
7 ´ -
´ +
+
+
+
´
5
513 7
7 149 0.15 1400
7
=
´ +
´ +
´
-
3591 5
22.35 1400
=
+
+
-
2218.35
=
（元），
答：这周总盈利2218.35 元．
4．（25-26 七年级上·湖北宜昌·期中）如图，A ，B 两点在数轴上对应的数分别为a ，b ，且点A 在点B 的左
边，
10
a =
，
80
a
b
+
=
，
0
ab <
．
(1)求出a ，b 的值；
(2)现有一只电子蚂蚁P 从点A 出发，以3个单位长度/ 秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q 从点B 出
发，以2 个单位长度/ 秒的速度向左运动．
①设两只电子蚂蚁在数轴上的点C 相遇，求出点C 对应的数是多少？
②经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20 个单位长度？
【答案】(1) a 的值是10
-
，b 的值是90；
(2)①50 ；②经过16秒或24 秒的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20 个单位长度．
【分析】本题考查了有理数的运算、绝对值、数轴，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，
利用分类讨论的数学思想解答．
（1）根据题意可得a
b
、的符号相反，且
10
a = -
，根据
80
a
b
+
=
可得b 的值；
（2 ）①根据题意可以求得两只电子蚂蚁在数轴上的点C 相遇时点C 对应的数值；
②根据题意和分类讨论的数学思想即可求解．
【详解】（1）解：∵A ，B 两点在数轴上对应的数分别为a ，b ，且点A 在点B 的左边，
10
a =
，
80
a
b
+
=
，
0
ab <
，
∴
10
a = -
，
90
b =
，
∴a 的值是10
-
，b 的值是90；
（2）解：①由题意可得，
相遇所需的时间：
90
10
3
2
20
é
ù
- -
¸
+
=
ë
û
（秒），
∴点C 对应的数是：90
2 20
50
- ´
=
，
∴点C 对应的数为50 ；
②相遇前两只电子蚂蚁在数轴上相距20 个单位长度：
90
10
20
3
2
é
ù
- -
-
¸
+
ë
û
90 10
20
5
=
+
-
¸
80
5
=
¸
16
=
（秒）；
相遇后两只电子蚂蚁在数轴上相距20 个单位长度：
90
10
20
3
2
é
ù
- -
+
¸
+
ë
û
90 10
20
5
=
+
+
¸
120
5
=
¸
24
=
（秒）；
综上可得，经过16秒或24 秒的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20 个单位长度．
5．（25-26 七年级上·湖南岳阳·期中）岳阳楼区某中学积极倡导阳光体育运动，为提高中学生身体素质，举
行了排球垫球比赛．如表为七年级某班50 人参加排球垫球比赛的情况，若标准数量为每人垫球30 个．
垫球个数与标准数量的差值
12
-
5
-
0
8
10
15
人数
5
16
11
5
9
4
(1)求这个班50 人平均每人垫球多少个？
(2)规定垫球达到标准数量记0 分，规定垫球超过标准数量，每多垫1 个加2 分；规定垫球未达到标准数量，
每少垫1 个，扣1 分，求这个班垫球总共获得多少分？
【答案】(1)这个班50 人平均每人垫球31 个
(2)这个班垫球总共获得240 分
【分析】本题考查了有理数四则混合运算的应用，正确列出运算式子是解题关键．
（1）根据表格求出这个班垫球的总数量，再除以这个班的总人数即可得；
（2）根据得分规则，将扣的分、不得分、加的分进行列式求和，计算加减法与乘法即可得．
【详解】（1）解：
12 5
5 16
0 11 8 5 10 9 15 4
50 30
50
-
´ - ´
+ ´
+ ´ +
´ +
´ +
´
¸
60
80
0
40
90
60 1500
50
= -
-
+
+
+
+
+
¸
1550
50
=
¸
31
=
（个）．
答：这个班50 人平均每人垫球31 个．
（2）解：
12
5
5
16
1
0 11
8 5 10 9 15 4
2
-
´ + - ´
´ -
+ ´
+
´ +
´ +
´
´
12 5
5 16
1
0
40
90
60
2
=
´ + ´
´ -
+
+
+
+
´
60
80
190 2
= -
+
+
´
140
380
= -
+
240
=
（分）．
答：这个班垫球总共获得240 分．
6．如图一根木棒放在数轴上，数轴的1 个单位长度为1cm ，木棒的左端与数轴上的点A 重合，右端与点B
重合．
(1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B 时，它的右端在数轴上所对应的数为20；若将
木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A 点时，则它的左端在数轴上所对应的数为5，由此可得到
木棒长为 cm ．
(2)图中点A 所表示的数是 ，点B 所表示的数是 ．
(3)由题（1）（2）的启发，请你借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：
一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40
年才出生；你若是我现在这么大，我已经125 岁，是老寿星了，哈哈！”，请求出爷爷现在多少岁了？
【答案】(1)5
(2)10，15
(3)70
【分析】（1）此题关键是正确识图，由数轴观察知三根木棒长是20
5
15 cm
-
= （
），由此求出木棒长为5cm ，
（2）根据木棒长为5cm ，将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B 时，它的右端在数轴上所
对应的数为20；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A 点时，它的左端在数轴上所对应的
数为5，可求出AB 两点所表示的数；
（3）在求爷爷年龄时，借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看作木棒AB ，类似爷爷比小红大时看作当A 点
移动到B 点时，此时B 点所对应的数为40
-
，小红比爷爷大时看作当B 点移动到A 点时，此时A 点所对应
的数为125，所以可知爷爷比小红大
125
40
3
55
é
ù
- -
¸
=
ë
û
，即可求出爷爷的年龄．
【详解】（1）解：由数轴观察知三根木棒长是20
5
15 cm
-
= （
），
则此木棒长为：15
3
5cm
¸
=
，
故答案为：5．
（2）解：∵木棒长为5cm ，将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B 时，它的右端在数轴上
所对应的数为20，
∴B 点表示的数是15，
∵将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A 点时，则它的左端在数轴上所对应的数为5，
∴A 点所表示的数是10．
故答案为：10，15；
（3）解：借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看作木棒AB ，
类似爷爷比小红大时看作当A 点移动到B 点时，
此时B 点所对应的数为40
-
，
小红比爷爷大时看作当B 点移动到A 点时，
此时A 点所对应的数为125，
∴可知爷爷比小红大
125
40
3
55
é
ù
- -
¸
=
ë
û
，
可知爷爷的年龄为125
55
70
-
=
，
故答案为：70．
【点睛】本题考查的是数轴的特点，解题的关键是把爷爷与小红的年龄差看作一个整体（木棒AB ），而后
把此转化为上一题中的问题，难度适中．
题型六、根据点在数轴的位置判断式子的正负
1．（25-26 七年级上·四川宜宾·期中）点A，B 在数轴上的位置如图所示，其对应的有理数分别是a 和b．对
于下列四个结论：①
0
b
a
-
>
；②a
b
<
；③
0
a
b
+
>
；④
1
b
a > - ．其中正确的是（ ）
A．①②③④
B．①②③
C．①③④
D．②③④
【答案】B
【分析】根据数轴上有理数的位置，
0
3
a
b
- 3＜＜＜＜，计算判断即可．
【详解】解：根据图示，可得
0
3
a
b
- 3＜＜＜＜，
∴
0
b
a
-
>
；a
b
<
，
0
a
b
+
>
，
故
1
b
a > ，
1
1
- = ，
由b
a 是一个负数，根据两个负数比较，绝对值大的反而小，
得
1
b
a < - ；
2．（25-26 七年级上·福建泉州·期末）如图，数轴上的点A 、B 分别表示数a 、b ，下列结论成立的是（ ）
A．
0
a
b
+
>
B．a
b
<
C．
0
a
b
-
<
D．
0
ab >
【答案】C
【详解】解：由数轴可知，
0
a
b
<
<
，a
b
>
，
0
a
b
\ +
<
，
0
a
b
-
<
，
0
ab <
，
只有C 选项正确．
3．（25-26 七年级上·云南普洱·期末）有理数a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中不正确的
是（ ）
A．
2
a
-
>
B．
0
ab <
C．a
b
- >
D．a
b
>
【答案】A
【分析】根据有理数a，b 在数轴上的对应点的位置，可得两数的取值范围，由此逐选项分析即可求解．
【详解】解：由图可得：3
2
0 0
1
2
a
,
b
- <
< - <
< <
<
，
所以2
3
a
< - <
，
可得
0
ab <
，a
b
- >
，a
b
>
，
所以A 不正确，B、C、D 正确．
4．（25-26 七年级上·河南郑州·期末）有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则下列各式中错误的是（ ）
A．
0
b
a
<
<
B．|
| |
|
b
a
>
C．a
a
b
- <
< -
D．
0
ab >
【答案】D
【详解】解：如图
根据数轴可得
0
b
a
<
<
，b
a
>
，
∴a
a
b
- <
< - ，
0
ab <
．
5．（25-26 七年级上·陕西西安·期末）有理数, ,
a b c 在数轴上的对应点的位置如图所示．则正确的结论是
（ ）
A．
4
a >
B．
0
c
b
-
>
C．
0
ac >
D．a
b
<
【答案】B
【分析】主要考查数轴、绝对值、有理数及其运算．观察数轴是解题的关键．
观察数轴得到有理数a ，b ，c 的取值范围，根据有理数的运算法则进行判断即可．
【详解】解：∵4
3
a
- <
< - ，
∴3
4
a
<
<
，故A 选项错误；
数轴上表示b 的点在表示c 的点的左侧，即
0
c
b
-
>
故B 选项正确；
∵
0
a <
，
0
c >
，
∴
0
ac <
，故C 选项错误；
∵3
4
a
<
<
，0
1
b
<
< ，
∴a
b
>
，故D 选项错误．
故选：B．
题型七、数轴上的翻折
1．（25-26 七年级上·广东汕头·期末）如图，数轴上有点A 、B 、C ，点A 、B 表示的数分别是14
-
，10，
现以点C 为折点，将数轴向右对折，若点A 落在点B 的右侧且到点B 的距离为6 ，则C 点表示的数是（ ）
A．1
B．3
-
C．1或5
-
D．1或4
-
【答案】A
【分析】本题主要考查了数轴上的点表示的数．先根据两点间的距离公式求出点A 的对应点表示的数，再
利用中点公式求出C 点表示的数即可解答．
【详解】解：设点C 表示的数为c ，点A 对折后的落点为A¢，
Q点A 、B 表示的数分别是14
-
，10，点A 落在点B 的右侧且到点B 的距离为6 ，
\点A 落在的位置表示的数为10
6
16
+
=
，
\点A¢表示的数为16，
A C
AC
¢
=
Q
，
16
14
c
c
\
-
=
- -
，
解得
1
c = ，
C
\
点表示的数是1，
故选：A ．
2．（25-26 七年级上·四川宜宾·期中）数轴上有A ，B ，C 三点，其中点A ，B 分别表示数6
- ，2
- ，现以点C
为折点将数轴向右对折（如图），若点A 的对应点A¢刚好与点B 重叠，则点C 表示的数是（ ）
A．0
B．5
-
C．3
-
D．4
-
【答案】D
【分析】根据折叠的性质可知点C 到点A 的距离等于点C 到点B 的距离，即点C 是线段AB 的中点，利用中
点公式计算即可求解．
【详解】解：Q以点C 为折点将数轴向右对折，点A 的对应点A¢刚好与点B 重叠，
\ CA
CB
=
，即点C 是线段AB 的中点，
Q点A 表示6
- ，点B 表示2
- ，
\点C 表示的数为6
2
4
2
- -
= - ．
3．（25-26 七年级上·福建厦门·期末）点A，B，C 是同一条数轴上的三个点，点A 表示的数为
4
a a <
，点B
表示的数为6，点C 在点A 的右边．若以点C 为折点，将AC 向右对折，点A 落在数轴上的点A¢ 处，
2
BA¢ =
，则点C 表示的数为（ ）
A．1
2
2 a -
B．1
4
2 a +
C．1
2
2 a -
或1
2
2 a +
D．1
2
2 a +
或1
4
2 a +
【答案】D
【分析】本题考查数轴上的折叠问题，数轴上两点间的距离，利用折叠的性质（折叠后折点是对应点连线
的中点），先根据
2
BA¢ =
确定A¢表示的数，再结合中点公式计算点C 表示的数即可．
【详解】解：∵点B 表示的数为6，
2
BA¢ =
，
∴点A¢表示的数为6
2
8
+
= 或6
2
4
-
=
．
∵以点C 为折点折叠AC ，点A 落在A¢处，
∴点C 是线段AA¢ 的中点．
当A¢表示的数为8 时，
∵点A 表示的数为a，
∴点C 表示的数为
8
1
4
2
2
a
a
+
=
+
．
当A¢表示的数为4 时，
∵点A 表示的数为a，
∴点C 表示的数为
4
1
2
2
2
a
a
+
=
+
．
综上，点C 表示的数为1
2
2 a +
或1
4
2 a +
．
故选D．
4．（25-26 七年级上·浙江丽水·期末）已知在一条可以折叠的数轴上，B 表示的数是4，如图①，以点C 为
折点，将此数轴向右折叠，得图②，点A 落在点B 的右边A¢处，且
1
A B
¢
= ．
(1)若点C 为原点，求点A 表示的数；
(2)若点A 表示的数为9
- ，求线段BC 的长．
【答案】(1) 5
-
(2)6
【分析】（1）先求出点A¢表示的数，再结合折叠性质求出点A 表示的数；
（2）先求出AB 的长度，再根据折叠性质求出BC 的长度．
【详解】（1）解：根据题意得点A¢表示的数为4 1
5
+ =
，
∴点A 表示的数为5
- ；
（2）解：∵点A 表示的数为9
- ，B 表示的数是4，
4
9
13
AB
\
=
- -
=
，
13 1
2
7
+
¸
=
．
7
1
6
BC
\
=
=
-
．
∴线段BC 的长为6．
5．（25-26 七年级上·甘肃兰州·期末）如图1，在数轴上点A，B，C 从左到右依次排列，有理数a，b，c 所
对应的点分别为点A，B，C．已知a 是最大的负整数，b 是a 的相反数，
4
c =
，请回答下列问题：
(1)填空：a =________，b = ________；
(2)如图2，P 为数轴上一动点，点P 表示的数为p，现以P 为折点，将数轴向右对折．（点P 在点A 的右侧，
与点B，C 的相对位置不固定）
①若对折后点A 与点C 重合，求此时p 的值；
②若对折后A，B，C 三点互不重合且其中一点到另外两点的距离相等，请直接写出此时p 的值．
【答案】(1) 1
- ，1
(2)①p 的值为1.5；②p 的值为0.75 或2 或3.5
【分析】本题考查了数轴上数的表示，数轴折叠后，折点到对应点的距离相等．关键是分类讨论要全面．
（1）最大的负整数是1
- ，1
- 的相反数是1，据此解答即可；
（2）①对折后点A 与点C 重合，即点P 到A ，C 的距离相等，据此求解即可；
②分三种情况进行分析计算．
【详解】（1）解：a 是最大的负整数，b 是a 的相反数，
∴
1
a = - ，
1
b = ；
（2）解：①Q点A 表示1
- ，点C 表示4，经点P 对折后点A 与点C 重合，
\点P 表示的数为：
1
4
1.5
2
- +
=
．
②当对折后点A 到B，C 距离相等时，
A
\
对折后对应的数：1
4
2.5
2
+
=
，
\点P 表示的数为：1
2.5
0.75
2
- +
=
；
当对折后点C 到A，B 距离相等时，
B
\
对折后对应的数：4 1
3
- =
，
\点P 表示的数为：1 3
2
2
+
=
；
当对折后点B 到A，C 距离相等时，
B
\
对折后对应的数：4
2
6
+
=
，
\点P 表示的数为：1 6
3.5
2
+
=
．
综上，p 的值为0.75或2 或3.5．
B 组 能力进阶
1．（25-26 七年级上·河北衡水·期末）如图1，点A，B，C 是数轴上从左到右排列的三点，分别对应的数为
2
- ，m，4．某同学将刻度尺如图2 放置，使刻度尺上的1.2cm对齐数轴上的点A，发现点B 对齐刻度尺2.6cm
处，点C 对齐刻度尺5.4cm 处．那么，数轴上点B 所对应的数m 为______．
【答案】0
【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离、有理数的加减运算、有理数的除法运算，根据已知条件算
出数轴上1 个单位长度表示实际长度0.7cm 是解题的关键．先算出数轴上1 个单位长度表示实际长度0.7
cm，然后根据AB 间的实际长度，求出数轴上点B 所对应的数m 即可．
【详解】解：根据题意知，数轴上1 个单位长度表示实际长度
5.4 1.2
0.7 cm
4
2
-
=
- -
，
∵AB 间的实际距离为
2.6 1.2
1.4 cm
-
=
，
∴AB 在数轴上表示的单位长度为：1.4
2
0.7 =
，
∴数轴上点B 所对应的数m 为2
2
0
- +
=
．
故答案为：0 ．
2．
（24-25 七年级上·安徽合肥·开学考试）已知
2
a
b
a
b
=
+
¸
△
，a
b
a b
a
=
´ -
▽
，则
10
5
7 =
△
▽
(
)．
【答案】
20
能力进阶
B 组
【分析】根据混合运算顺序，先计算括号内的新运算，再计算括号外的新运算即可．
【详解】解：∵a
b
a b
a
=
´ -
▽
，
∴5
7
5 7
5
30
= ´
-
=
▽
，
∴
10
5
7
10
30
=
△
▽
△
．
∵
2
a
b
a
b
=
+
¸
△
，
∴
10
30
10
30
2
20
=
+
¸
=
△
．
3．（25-26 七年级上·四川达州·期末）已知a、b、c 为非零有理数，
bc
abc
ab
ca
ab
bc
ca
abc
+
+
+
的值为________．
【答案】4 或2
± 或0
【分析】本题考查有理数的运算，分三个有理数同正，同负，一正两负，一负两正，四种情况进行讨论求
解即可．
【详解】解：当a、b、c 同正时，原式
1 1 1 1
4
= + + + =
；
当a、b、c 同负时，原式
1 1 1 1
2
= + + - =
；
当a、b、c 一正两负时，不妨设a 为正，则原式
1 1 1 1
0
= - + - + =
；
当a、b、c 一负两正时，不妨设a 为负，则原式
1 1 1 1
2
= - + - - = - ；
综上：
bc
abc
ab
ca
ab
bc
ca
abc
+
+
+
的值为4 或2
± 或0；
故答案为：4 或2
± 或0．
4．（25-26 七年级上·广东广州·期中）如图，数轴上的点A ，B ，C 分别表示数a ，b ，c ，其中b 是最大的
负整数，且多项式
3
2
5
3
7
2
a
x
x
x
+
+
+
+
是关于x 的二次多项式，一次项系数为c ．
(1) a =___________；b = ___________；c = ___________；
(2)若将数轴折叠，使得点A 与点C 重合，此时与点B 重合的点所表示的数为___________；
(3)若动点P 从点B 出发，以每秒2 个单位长度的速度沿数轴向左运动，动点Q 从点C 出发，以每秒6 个单
位长度的速度沿数轴向右运动，运动时间为st ，
①请你用含t 的代数式表示线段CP 和线段CQ 的长；
②是否存在常数m ，使mCQ
CP
-
的值为定值？若存在，请求出m 的值和mCQ
CP
-
的值；若不存在请说明
理由．
【答案】(1) 5
- ，1
- ，7
(2)3
(3)①
2
8
CP
t
=
+ ，
6
CQ
t
=
；②存在，
1
3
m =
，定值为8
-
【分析】本题考查了多项式的概念，数轴上两点间的距离，折叠问题，以及整式的加减无关问题，熟练掌
握以上知识点是解题的关键．
（1）根据b 是最大的负整数可得
1
b = - ，根据多项式的概念可得
5
a
-
=
，
7
c =
；
（2）先求出折痕表示的数，进而可求出与点B 重合的点所表示的数；
（3）①先表示出点P 和点Q 表示的数，进而可用含t 的代数式表示线段CP 和线段CQ 的长；
②根据
6
2
8
mCQ
CP
m
t
-
=
-
- ，当6
2
0
m -
=
时，其值为定值求解即可．
【详解】（1）解：∵b 是最大的负整数，
∴
1
b = - ；
∵多项式
3
2
5
3
7
2
a
x
x
x
+
+
+
+
是关于x 的二次多项式，一次项系数为c ，
∴
5
0,
7
a
c
+
=
=
，
∴
5
a
-
=
．
故答案为：5
- ，1
- ，7；
（2）解：∵将数轴折叠，使得点A 与点C 重合，
∴折痕处的数是5
7
1
2
- +
= ，
∴与点B 重合的点所表示的数为
2 1
1
3
´ - -
=
．
故答案为：3；
（3）解：①∵st 后点P 表示的数是1 2t
- -
，点Q 表示的数是7
6t
+
，
∴
7
1 2
2
8
CP
t
t
=
- - -
=
+
，
7
6
7
6
t
t
CQ
+
-
=
=
，
②存在，
∵
6
2
8
6
2
8
mCQ
CP
m
t
t
m
t
-
=
´
-
+
=
-
- ，
∴当6
2
0
m -
=
，即
1
3
m =
时，mCQ
CP
-
的值为定值，定值为8
- ．
5．你会玩“24 点”游戏吗？从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取4 张，根据牌面上的数字进行加减乘
除混合运算（每张牌只能用一次），使得运算结果为24 或24
-
，其中红色扑克牌（红桃、方块）代表负数，
黑色扑克牌（黑桃、梅花）代表正数，J、Q、K 分别代表11，12，13．例如：抽到了黑桃7，黑桃3，梅花
3，梅花7，运用下面的方法凑成了24：
7
3+3
7
24
´
¸
=
．
(1)如果抽到的是黑桃7，黑桃3，红桃3，梅花7，你能凑成24 吗？试写出一个算式使其结果等于24．
(2)如果抽到的四张牌是“黑桃7、3，红桃3 和梅花Q”，试写出一个算式使其结果等于24
-
．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
【分析】（1）先确定四个数分别为：7 ，3，3
- ，7，再列式
7
3
3
7
´
- -
¸
é
ù
ë
û 即可．
（2）先确定四个数分别为：7，3，3
- ，12，再列式
7
3
3
12
-
´ -
-
即可．
【详解】（1）解：4 张牌对应数字：7 ，3，3
- ，7
∴
3
7
3
3
7
7 3
21 3
24
7
æ
ö
´
- -
¸
=
+
=
+
=
é
ù
ç
÷
ë
û
è
ø
；
（2）4 张牌对应数字：7，3，3
- ，12
∴
7
3
3
12
12 12
24
-
´ -
-
= -
-
= -
．
【点睛】本题考查的是有理数的四则混合运算，理解题意，正确的列出运算式是解本题的关键．
6．（25-26 七年级上·全国·单元测试）小明有5 张写着不同数字的卡片，请按要求抽出卡片，完成下列问题：
(1)从中取出2 张卡片，使这2 张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？
答：我抽取的2 张卡片上数字是 、 ，乘积的最大值为 ．
简要说明你这样选的原因：
(2)从中取出2 张卡片，使这2 张卡片上数字相除的商最小，如何抽取？最小值是多少？
答：我抽取的2 张卡片上数字是 、 ，商的最小值为 ．
简要说明你这样选的原因：
(3)从中取出4 张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．如何抽取？写出运算式子．（写出一种即可）．
答：我抽取的4 张卡片上数字是 、 、 、 ，写出完整算式及运算过程．
【答案】(1) 3
- ，5
- ，15，原因见解析
(2) 5
- ，3，
5
3
-
，原因见解析
(3) 3
- ，5
- ，3，0，算式及运算过程见解析
【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再
算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（1）这5 个数两两相乘，结果可为正、负或零，要乘积最大，结果一定是正数；而积为正，只能是正正相
乘或负负相乘，即
3
4
12
+
´ +
=
或
3
5
15
-
´ -
=
，所以选3
- ，5
- ；
（2）这5 个数选两个相除，结果可为正、负或零．要商最小，结果一定是负数，而商为负，只能异号两数
相除，负数的绝对值越大反而越小，所以商的最小值是
5
3
-
．
（3）我抽取的4 张卡片上数字是：3
- ，5
- ，3，0，首先用5
- 减去3，构造出8
- ；然后用8
- 与3
- 的乘积
加上0 即可．
【详解】（1）解：我抽取的2 张卡片上数字是3
- ，5
- ，乘积的最大值为：
3
5
15
-
´ -
=
．
这5 个数两两相乘，结果可为正、负或零，要乘积最大，结果一定是正数；而积为正，只能是正正相乘或
负负相乘，即3 4
12
´
=
或
3
5
15
-
´ -
=
，所以选3
- ，5
- ；
（2）解：我抽取的2 张卡片上数字是5
- 、3，商的最小值为：
5
5
3
3
-
¸
= -
．
这5 个数选两个相除，结果可为正、负或零．要商最小，结果一定是负数，而商为负，只能异号两数相除，
负数的绝对值越大反而越小，所以商的最小值是
5
3
-
；
（3）解：我抽取的4 张卡片上数字是：3
- ，5
- ，3，0，
5
3
3
0
24
- -
´ -
+
=
．
故答案为：3
- ，5
- ，3，0．
C 组 思维拔高
1．（25-26 七年级上·安徽宣城·阶段检测）a 是不为2 的有理数，我们把
2
2
a
-
称为a 的“伴随数”，如3 的“伴
随数”是
2
2
2
3 = -
-
，2
- 的“伴随数”是
2
1
2
2
2
=
- -
，已知
1
4
a =
，
2a 是
1a 的“伴随数”，
3a 是
2a 的“伴随数”，
4
a
是
3a 的“伴随数”，．．．，以此类推，则
2024
a
等于__________．
【答案】3
2
【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，求出
2
3
4
5
a
a
a
a
，，，
可得
1
2
3
n
a
a
a
a
L
L
，，，，，这一列数从第1
个数字开始，每4 个数字为一个循环，结果依次为
2 3
4
1 3 2
-
，，，，再求出2024 除以4 的余数即可得到答案．
【详解】解：∵
1
4
a =
，
2a 是
1a 的“伴随数”，
思维拔高
C 组
∴
1
2
2
2
1
2
2
4
a
a =
=
= -
-
-
，
∵
3a 是
2a 的“伴随数”，
∴
3
2
2
2
2
2
2
1
3
a
a =
=
=
-
- -
，
同理可得
4
3
2
2
3
2
2
2
2
3
a
a =
=
=
-
-
，
5
4
2
2
4
3
2
2
2
a
a =
=
=
-
-
，
……，
以此类推，可知，
1
2
3
n
a
a
a
a
L
L
，，，，，这一列数从第1 个数字开始，每4 个数字为一个循环，结果依次为
2 3
4
1 3 2
-
，，，，
∵2024
4
506
¸
=
，
∴
2024
3
2
a
=
，
故答案为：3
2 ．
2．（25-26 六年级上·山东威海·期末）课堂上老师给出一道计算题：1
1
1
3
24
2
6
8
æ
ö
¸ -
+
-
ç
÷
è
ø．同学们积极思考，
甲、乙、丙三位同学的做法如下：
甲：原式
1
1
1
1
1
3
1
1
1
1
24
2
24
6
24
8
12
4
9
18
æ
ö
æ
ö
=
¸ -
+
¸
+
¸ -
= -
+
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
乙：原式
1
17
1
24
1
24
24
24
17
17
æ
ö
æ
ö
=
¸ -
=
´ -
= -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
丙：原式的倒数
1
1
3
1
1
1
3
1
1
3
24
24
24
24
12
4
9
17
2
6
8
24
2
6
8
2
6
8
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
= -
+
-
¸
= -
+
-
´
= -
´
+
´
+ -
´
= -
+
-
= -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
故原式
1
17
= -
．
请认真阅读，解答下列问题：
(1)上述三位同学的解法中，正确的是______，错误的是______；(填写“甲”“乙”“丙”)
(2)计算：
①
1
1
2
5
54
2
3
6
æ
ö
æ
ö
-
¸
-
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
②
1
1
1
1
1
1
1
1
42
2
3
6
7
14
21
42
æ
ö
æ
ö
-
¸
-
-
+
-
+
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
【答案】(1)乙、丙；甲；
(2)①
1
36
-
；②
1
4
-
【分析】本题考查有理数的混合运算，核心知识点为有理数的除法法则与混合运算顺序，关键在于明确除
法不满足分配律，对于复杂的除法运算可通过倒数法简化计算．
（1）根据除法运算的性质判断：除法没有分配律，甲错误运用分配律导致结果错误；乙按照“先括号内，
再括号外”的运算顺序计算，步骤正确；丙利用倒数的性质，先计算原式的倒数再求原式，方法简便且正确．
（2）①可先计算括号内的加减运算，再进行除法运算；
②由于括号内的项较多，采用倒数法计算更简便，先求原式的倒数，再通过倒数关系得到原式的值．
【详解】（1）解：除法不具有分配律，甲同学将除法错误地使用分配律，甲的解法错误；
乙同学先计算括号内的有理数加减，再进行除法运算，符合有理数混合运算顺序，解法正确；
丙同学先计算原式的倒数，再根据倒数关系求出原式的值，方法正确；故正确的是乙、丙，错误的是甲；
故答案为：乙、丙；甲．
（2）①解：
1
1
2
5
54
2
3
6
æ
ö
æ
ö
-
¸
-
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
1
2
54
3
æ
ö
= -
¸
ç
÷
è
ø
1
3
54
2
æ
ö
= -
´
ç
÷
è
ø
1
36
= -
；
②解：设原式为B ，则B 的倒数为
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
42
2
3
6
7
14
21
42
42
2
3
6
7
14
21
42
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
-
+
-
+
-
¸ -
=
-
-
+
-
+
-
´ -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
，
1
1
1
1
1
1
1
42
2
3
6
7
14
21
42
æ
ö
-
-
+
-
+
-
´ -
ç
÷
è
ø
1
1
1
1
1
1
1
42
42
42
42
42
42
42
2
3
6
7
14
21
42
=
´ -
-
´ -
-
´ -
+
´ -
-
´ -
+
´ -
-
´ -
21 14
7
6
3
2 1
= -
+
+
-
+ -
+
4
= - ，
B
Q
的倒数为4
- ，
1
1
4
4
B
\
=
=
= -
-
原式
．
3．（25-26 七年级上·河南南阳·阶段检测）综合与实践
数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，
它是“数形结合”的基础．小锦在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究．
操作一：
（1）折叠纸面，若使表示1 的点与表示1
- 的点重合，则表示5
- 的点与表示______的点重合．
操作二：
（2）折叠纸面，若使表示2 的点与表示6
- 的点重合，解答以下问题．
①表示4 的点与表示______的点重合．
②若数轴上A，B 两点之间的距离为16（点A 在点B 的左侧），且A，B 两点经折叠后重合，则A，B 两点
表示的数分别是______．
操作三：
（3）在数轴上剪下长为8 个单位长度（从3
- 到5）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部
分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为1:1: 2 ，请直接写出折痕处对应的点可能
表示的数．
【答案】（1）5（2）①8
- ②10
-
，6（3）0 或1 或2
【分析】本题考查了有理数和数轴的关系，及数轴上的折叠变换问题，解答本题的关键是熟练掌握折叠的
性质，明确数轴上折叠后重合的点到折痕的距离相等．
（1）根据数轴上折叠后重合的点到折痕的距离相等找到折痕所过的数轴上的点为原点，即可求解；
（2）根据数轴上折叠后重合的点到折痕的距离相等找到折痕所过的数轴上的点为2
- ，①求出表示4 的点
与表示2
- 的点的距离，再根据数轴上折叠后重合的点到折痕的距离相等列式求值即可；②因为数轴上A，B
两点之间的距离为16，所以A，B 到折痕的点距离为8，据此列式求解即可；
（3）分三种情况进行讨论：如解析图所示，当
:
:
1:1: 2
AB BC CD =
时，当
:
:
1: 2:1
AB BC CD =
时，当
:
:
2:1:1
AB BC CD =
时，分别求出AB 、BC 、CD的值，进而计算折痕处对应的点所表示的数的值即可．
【详解】解：由图知：数轴上折叠后重合的点到折痕的距离相等，
（1）∵表示1 的点与表示1
- 的点重合，
∴折痕过原点，
则表示5
- 的点与表示5 的点重合，
故答案为：5；
（2）若使表示2 的点与表示6
- 的点重合，
则说明折痕过表示2
- 的点，
①表示2
- 的点与表示4 的点的距离为：
4
2
6
- -
=
，
2
6
8
- -
= - ，
∴表示4 的点与表示8
- 的点重合，
故答案为：8
- ；
②∵数轴上A，B 两点之间的距离为16，
∴A，B 到折痕处的距离为8，
∵点A 在点B 的左侧，
∴点A 表示的数为：2
8
10
- -
= -
，
点B 表示的数为：2
8
6
- +
=
，
故答案为：10
-
，6；
（3）8 个单位长度（从3
- 到5）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到
三条线段，若这三条线段的长度之比为1:1: 2 ，分以下几种情况讨论：
如图1，当
:
:
1:1: 2
AB BC CD =
时，
设AB
a
=
，BC
a
=
，
2
CD
a
=
，
2
8
a
a
a
\
+
+
= ，
2
a
\
=
，
2
AB
\
=
，
2
BC =
，
4
CD =
，
\折痕处对应的点所表示的数是：
2
3
2
0
2
- +
+
= ；
如图2，当
:
:
1: 2:1
AB BC CD =
时，
设AB
a
=
，
2
BC
a
=
，CD
a
=
，
2
8
a
a
a
\
+
+
= ，
2
a
\
=
，
2
AB
\
=
，
4
BC =
，
2
CD =
，
\折痕处对应的点所表示的数是：
4
3
2
1
2
- +
+
= ，
如图3，当
:
:
2:1:1
AB BC CD =
时，
2
AB
a
=
，BC
a
=
，CD
a
=
，
2
8
a
a
a
\
+
+
= ，
2
a
\
=
，
4
AB
\
=
，
2
BC =
，
2
CD =
，
\折痕处对应的点所表示的数是：
2
3
4
2
2
- +
+
=
，
综上所述：则折痕处对应的点所表示的数可能是0 或1 或2．
拓展 衔接中考
1．实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．
0
a
b
+
>
B．
0
a
b
-
<
C．
0
ab >
D．
0
a
b <
【答案】D
【分析】先利用数轴确定a、b 的取值范围，然后逐项判断即可．
【详解】解：由数轴可得：
1
0
1
b
a
< - <
<
< ，
∴
0
a
b
+
<
，
0
a
b
-
>
，
0
ab <
，
0
a
b <
，
∴选项A、B、C 说法错误；选项D 说法正确．
2．计算( 21)
( 7)
-
¸ -
的结果等于（ ）
A．3
-
B．3
C．
1
3
-
D．1
3
【答案】B
【分析】本题考查有理数的除法运算，利用除法的运算法则进行计算即可．
【详解】解：
21
7
3
-
¸ -
=
；
故选B．
衔接中考
拓展
3．数轴上表示数,a b 的点如图所示，下列判断正确的是（ ）
A．a
b
<
B．a
b
>
C．
0
b <
D．
0
a >
【答案】A
【分析】本题考查了数轴上数的大小比较，掌握数轴的特点是关键．
根据数轴的特点得到
0
a
b
<
<
，由此即可求解．
【详解】解：根据题意，
0
a
b
<
<
，
∴a
b
<
，
故选：A ．
4．如图所示，公路旁自西向东依次有
1A ，
2
A ，…，
6
A 共6 处住宅和一所学校．每个工作日早上，每处住
宅各有1 名学生需乘同一辆校车前往该学校，校车仅在设于某一住宅处的车站停车一次，每名学生需从自
家住宅沿公路步行至该车站乘车，6 名学生都上车后，校车沿公路向东行驶至学校．
已知每名学生在相邻两处住宅间的步行时间均为2.5 min ，校车在相邻两处住宅间的行驶时间均为1min ，校
车从
6
A 处至学校的行驶时间为20 min ．一名学生的理想通勤时间是指该学生从自家住宅至车站的步行时间
与校车从车站至学校的行驶时间之和（不考虑其他因素）．
（1）若车站设在
2
A 处，则住在
6
A 处的学生的理想通勤时间为________ min ；
（2）若当车站设在
kA 处时这6 名学生的理想通勤时间之和最小，则k =________．
【答案】
34
5
【分析】（1）求出
6
A 到
2
A 之间有4 个相邻住宅间隔，即可求解；
（2）求出学生从
kA 处总步行时间和以及6 名学生的校车行驶时间和，可得总时间和为
2.5 1
2
3
4
5
6
156
6
k
k
k
k
k
k
k
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
，即可求解．
【详解】解：（1）根据题意得：
6
A 到
2
A 之间有6
2
4
-
=
个相邻住宅间隔，
所以住在
6
A 处的学生的理想通勤时间为2.5 4 1 4
20
34min
´
+ ´
+
=
；
（2）车站设在
kA 处
1,2,3,4,5,6
k =
，
学生从
kA 处总步行时间和为
2.5 1
2
3
4
5
6
k
k
k
k
k
k
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
．
校车从
kA 处到学校的行驶时间为
6
1
20
26
k
k
-
´ +
=
-
，
所以6 名学生的校车行驶时间和为
6
26
156
6
k
k
´
-
=
-
，
总时间和为
2.5 1
2
3
4
5
6
156
6
k
k
k
k
k
k
k
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
，
1
k = 时，总时间和为
2.5
0 1
2
3
4
5
150
2.5 15 150
187.5
´
+ +
+ +
+
+
=
´
+
=
；
2
k =
时，总时间和为
2.5
1
0 1
2
3
4
144
2.5 11 144
171.5
´
+
+ +
+ +
+
=
´
+
=
；
3
k =
时，总时间和为
2.5
2 1
0 1
2
3
138
2.5 9 138
160.5
´
+ +
+ +
+
+
=
´ +
=
；
4
k =
时，总时间和为
2.5
3
2 1
0 1
2
132
2.5 9 132
154.5
´
+
+ +
+ +
+
=
´ +
=
；
5
k =
时，总时间和为
2.5
4
3
2 1
0 1
126
2.5 11 126
153.5
´
+ +
+ +
+
+
=
´
+
=
；
6
k =
时，总时间和为
2.5
5
4
3
2 1
0
120
2.5 15 120
157.5
´
+
+ +
+ +
+
=
´
+
=
；
因为187.5
171.5
160.5
157.5
154.5
153.5
>
>
>
>
>
，
所以
5
k =
时，总时间和最小，
