文档文本内容
1.1 正数和负数
🔷知识点一 正数和负数的概念
1. 正数的定义：像3，7.8%，+50 这样大于0 的数叫作正数，正数都大于0。
2. 负数的定义：像－3，－2.7，－0.7%这样在正数前加上符号“－”（负）号的数叫
作负数，负数都小于0。
3. 符号：一个数前面的“+”，“－”号叫作它的符号。
⚠️
特别提醒
①正数前面的“+” 号可以省略，注意3 与+3 表示是同一个正数；负数前面的“－”
号不可省略。
②不能简单的根据符号来判断正负，而需要根据正负数的定义判别。如：−𝑎不一定表示
负数，若𝑎为正数，则−𝑎表示负数；若𝑎为负数，则−𝑎表示正数；若𝑎为0，则−𝑎表示
0。
🔷 知识点二 正数和负数的运用
1. 基准：为了用正、负数表示具有相反意义的量，人为规定一个标准参照点，这个
参照标准就叫基准（基准量/基准数）。
2. 规定：基准对应的数值记作0。
3. 比基准多/高于基准的量，用正数表示；比基准少/低于基准的量，用负数表示。
4. 相反意义的量：用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互
相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量。
比如：用正数表示向南，那么向北3km 可以用负数表示为－3km。
5. 用正负数表示允许偏差：比如：红双喜的乒乓球产品参数中标注的直径是：40±
0.05mm，这表示该乒乓球的标准直径为40mm，偏差为±0.05mm，这就是实际直径最大可
以是（40+0.05）mm，最小可以是（40-0.05）mm，直径在这个范围内的乒乓球就是合格的。
⚠️
特别提醒
①相反意义的量既要意义相反，又要有数量。
②相反意义的量是成对出现的，单独一个量不是相反意义的量。
第一章
有理数
③互为相反意义的两个量在数量上可以不同。
④具有相反意义的量必是同类量，在表示相反意义的量时要写明单位。
🔷 知识点三 0 的意义
1. 0 的意义：
①0 既不是正数，也不是负数；
②0 是正数与负数的分界；
③0 是自然数；
④0 可以表示没有，比如文具盒中有0 支铅笔，表示没有铅笔；
⑤0 可以是一个数，比如0℃是一个确定的温度；
⑥0 有时也作为基准，比如海拔高度为0m 表示的是海平面的平均高度
易错点 1 仅凭数字前的符号判断正负，认为带 “-” 就是负
数
•
错例：−a一定是负数
•
错因：混淆符号与数本身的正负属性，忽略字母𝑎取值分三种情况：𝑎>0时，−a
为负数；𝑎<0时，−a为正数；𝑎=0时，−a =0，既不是正数也不是负数。不能单纯依
靠负号判定数字正负
•
规避方法：看到−a类字母式，分三类讨论𝑎的取值；判断正负核心依据数值与0 的
大小关系，而非表面符号
易错点 2 认为正数必须带 “+”，省略 “+” 就不是正数
•
错例：3不是正数，只有+3才是正数
•
错因：不了解正数书写规则，正数前面的 “ + ” 可省略，3和+3代表同一个正
数；只有负数的 “−” 不能省略
•
规避方法：大于0 的数都是正数，有无 “ + ” 不影响；负数必须写负号，不可
省略
易错点 3 判断相反意义的量时，只看意义相反
•
错例：上升和下降是相反意义的量
•
错因：只有相反含义，无具体数量，单独词语不能构成相反意义的量
•
规避方法：判定相反意义的量同时满足 3 点：①意义相反；②是同类量；③都带
有具体数量，三者缺一不可
易错点 4 认为相反意义的两个量数值必须相等
•
错例：向南2km 和向北 3km 不能作为相反意义的量
•
错因：相反意义的量只要求意义相反、同类带数量，数值大小不需要相等
•
规避方法：只要方向/含义对立、同类有量，无论数字大小，都可用正负表示
易错点 5 混淆 0 的含义，只认为 0 代表 “没有”
•
错例：海拔0 米代表海平面没有高度
•
错因：片面理解0 的意义，忽略0 有其他含义，不单纯表示 “不存在”
•
规避方法：区分0 的多重意义
题型一：正数与负数的辨析
📝方法技巧
1.化简符号：负号个数偶数结果为正，奇数结果为负；
2.化简后和 0 对比：大于 0 是正数，小于 0 是负数，等于 0 既不正也不负；
3.字母 𝑎 无法直接判断正负，需结合条件；
4.带 “－” 不一定是负数，带 “+” 不一定是正数，必须先化简。
1．下列各数中，正数是（ ）
A．0
B．2
C．−1
D．−
1
2
【答案】B
【分析】本题考查正数的定义，掌握正数是大于0 的数，据此判断数的正负性是解题的关
键．
根据正数的定义，逐一分析每个选项是否符合．
【详解】解：A、0 既不是正数也不是负数，不符合题意；
B、2 大于0，是正数，符合题意；
C、−1小于0，是负数，不符合题意；
D、−
1
2小于0，是负数，不符合题意．
故选：B．
2．有理数−
1
2，5，0，−2，−0.6中，负数的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】本题考查了负数的定义，解题的关键是明确负数是小于0 的数．
根据负数的定义，判断所给有理数中小于0 的数的个数．
【详解】解：负数是小于0 的数．
在有理数−
1
2,5,0,−2,−0.5中：
−
1
2 < 0，是负数；5 > 0，不是负数；0 既不是正数也不是负数；
−2 < 0，是负数；−0.5 < 0，是负数，
所以负数有−
1
2,−2,−0.5，共3 个．
故选：C．
3．在12.5，0，0.64，−
9
25，−3.6，+16，−23%，
3
8这些数中，正数有______________，
负数有_______________．
【答案】
12.5，0.64，+16，
3
8
−
9
25，−3.6，−23%
【分析】本题考查了正数和负数，根据正数都大于0，负数都小于0 即可得解，熟练掌握
正负数的定义是解此题的关键．
【详解】解：由题意可得：正数有：12.5，0.64，+16，
3
8；负数有：−
9
25，−3.6，−23
%；
故答案为：12.5，0.64，+16，
3
8；−
9
25，−3.6，−23%．
题型二：0 的意义
📝方法技巧
1.分类判断：0 是整数、有理数，非正数非负数，是正负分界；
2.实际含义区分：表分界时不代表没有；单独数量0 代表不存在；
3.排除误区：0 不是最小正数、不是最小负数。
1．下面关于0 的说法，说法正确的是（ ）
A．0 是最小的正数
B．0 是最大的负数
C．0 既不是正数也不是负数
D．海拔0m 就是没有海拔
【答案】C
【分析】0 既不是正数也不是负数，正确认识海拔0m 的意义即可．
【详解】A、0 是最小的正数，错误，0 既不是正数也不是负数，故本选项不符合题意；
B、0 是最大的负数，错误，0 既不是正数也不是负数，故本选项不符合题意；
C、0 既不是正数也不是负数，故本选项符合题意；
D、海拔0m 就是没有海拔，错误，海拔0m 就是与海平面高度相同，故本选项不符合题
意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查0 的意义及其应用，明确海拔0m 是与海平面高度相同，0 是正负数
的分界是解题的关键．
2．关于“零”的说法正确的是（ ）
（1）是整数，也是有理数；
（2）不是正数，也不是负数；
（3）不是整数，是有理数；
（4）是整数，不是自然数．
A．（1）（4）
B．（2）（3）
C．（1）（2）
D．（1）（3）
【答案】C
【分析】本题主要考查有理数的初步认识，0 的意义；根据有理数的初步认识逐一判断即
可．
【详解】解：0 是整数，也是有理数，
0 不是正数，也不是负数，
0 也是自然数．
∴（1）（2）正确
故选：C．
3．下列对“0”的说法正确的个数是________
①0 是正数与负数的分界；②0 只表示“什么也没有”；③0 可以表示特定的意义，如0℃；
④0 是正数．
【答案】2
【分析】本题考查了正数和负数、0 的意义等知识点，掌握零的意义是解题的关键．
根据0 的意义逐项判断即可解答．
【详解】解：①因为正数大于0，负数小于0，所以0 是正数与负数的分界，故①正确；
②0 除了表示 “什么也没有”，还可以表示其他意义，如0℃等，故②错误；
③0 可以表示特定的意义，如0℃，故③正确；
④0 既不是正数，也不是负数，故④错误，
综上所述：正确的有①③，共2 个．
故答案为：2．
4．有理数0 除了表示“没有”，还可以表示其他意义，可以是_____．
【答案】数轴上的原点（答案不唯一）
【分析】本题主要考查“0”的意义，熟练掌握“0”的意义是解题的关键；因此此题可根据题
意直接进行求解．
【详解】解：有理数0 除了表示“没有”，还可以表示其他意义，可以是表示数轴上的原
点；
故答案为数轴上的原点（答案不唯一）．
题型三：相反意义的量
📝方法技巧
1.三判断：词义相反、单位相同、均带具体数量，缺一不成立；
2.记数规则：规定一方为正，另一方统一记作负。
1．（2026·河南平顶山·三模）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之．”意
思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若收入120 元记作+120，则−70
表示（ ）
A．收入70 元
B．收入50 元
C．支出70 元
D．支出50 元
【答案】C
【详解】解：∵收入120 元记作+120，
∴负数表示与收入意义相反的量，即支出，−70表示支出70 元．
2．小敏对自己的体重进行了跟踪统计，为方便记录，他将体重增加2kg记作+2，那么体
重减少1.5kg应记作（ ）
A．−3.5
B．0.5
C．−1.5
D．−0.5
【答案】C
【详解】解：依题意，体重减少1.5kg应记作−1.5．
3．（25-26 七年级上·福建泉州·期末）吐鲁番盆地低于海平面155m，记作−155m．泉州清
源山最高峰海拔约为615m，记作____________m．
【答案】+615
【分析】此题考查了相反意义的量．海平面作为基准点记作0m，高于海平面记为正数，低
于海平面记为负数．据此进行解答即可．
【详解】解：吐鲁番盆地低于海平面155m，记作−155m．泉州清源山最高峰海拔约为
615m，故记作正数+615m．
故答案为：+615．
题型四：正数与负数的应用——允许偏差
📝方法技巧
1.上限 = 标准值 + 偏差数，下限 = 标准值 - 偏差数；
2.实测数值介于上下限之间为合格，超出则不合格。
1．（25-26 七年级上·浙江台州·期末）如图，在生产图纸上通常用∅300+0.2
−0.5（单位：mm）
来表示零件的加工要求，其中∅300表示直径是300mm，+0.2和−0.5是指直径在(300−0.5)
mm到(300 + 0.2)mm之间的零件都属于合格零件．现加工一批零件，尺寸要求是∅80+0.5
−0.4
（单位：mm），下列零件不合格的是（ ）
A．79.7mm
B．79.5mm
C．80.3mm
D．80.5mm
【答案】B
【分析】本题考查正数和负数的知识，有理数的加减运算的实际应用，设该零件的直径为
𝑑mm，根据尺寸要求是∅80+0.5
−0.4（单位：mm），可知79.6 ≤𝑑≤80.5，只有79.5mm不在规
定的范围内，所以79.5mm不合格．
【详解】解：设该零件的直径为𝑑mm，
根据题意可得：80−0.4 ≤𝑑≤80 + 0.5，
整理得：79.6 ≤𝑑≤80.5，
∵79.5 < 79.6，
∴79.5mm不合格．
故选：B．
2．（25-26 七年级上·辽宁沈阳·期中）某品牌乒乓球的产品标准中规定：直径为(40 ± 0.05)
mm的乒乓球是合格品，现抽检四个乒乓球，经测量得到的数据如下，合格品是（ ）
A．直径为39.89mm的乒乓球
B．直径为40.06mm的乒乓球
C．直径为39.90mm的乒乓球
D．直径为40.04mm的乒乓球
【答案】D
【分析】本题考查了正负数在实际生活中的应用，解题的关键是理解“40 ± 0.05mm”所表
示的合格范围．
先确定乒乓球直径的合格范围，再逐一判断每个选项是否在该范围内．
【详解】解：“40 ± 0.05mm”表示乒乓球直径的合格范围是40−0.05 = 39.95mm到
40 + 0.05 = 40.05mm之间．
A、39.89mm < 39.95mm，不合格；
B、40.06mm > 40.05mm，不合格；
C、39.90mm < 39.95mm，不合格；
D、39.95mm ≤40.04mm ≤40.05mm，合格．
故选：D．
3．机床厂工人加工一种直径为30mm的机械零件，其中直径在(30 ± 0.05)mm范围内的零
件为合格．质检员抽取5 个机械零件进行检测，把每个机械零件直径超过30mm的毫米数
记作正数，不足的毫米数记作负数．5 个机械零件对应的数分别是−0.04，−0.02，
+0.07，−0.03，+0.01．其中不合格的零件有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】A
【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，根据误差不大于0.05mm可知，尺寸记录的数
字部分大于和小于0.05的零件为不合格的零件，据此求解即可．
【详解】解：∵要求误差不大于0.05mm，
∴不合格的零件的尺寸有+0.07，共1 个，
故选：A．
4．（25-26 七年级上·河北邯郸·期中）一种方便面的包装袋上印有“面饼净含量：95 ± 2克”
的字样，表示这种方便面面饼的标准净重是95 克，加工这种面饼，其净重最大可以是
________．
【答案】97 克
【分析】本题考查了正负数的意义．
根据包装袋上“95 ± 2克”的标注，表示净重允许有正负2 克的偏差，因此最大净重为标准
重量加上正偏差．
【详解】解：由题意，净重范围为95−2 = 93克至95 + 2 = 97克，
故最大净重为97 克．
故答案为：97 克．
题型五：正数与负数的应用——时差、温差
📝方法技巧
1.温差 = 最高温 - 最低温，减负等于加正；一正一负温差直接两数绝对值相加；
2.当地时间 = 北京时间 + 时差，结果＞24 减 24，日期进一天；结果＜0 加
24，日期退一天。
1．以下的四个时钟显示了同一时刻国外三个城市时间和北京时间，若表中给出的是国外三
个城市与北京的时差，则这四个时钟对应的城市从左到右依次是（ ）
城市
纽约
悉尼
伦敦
时差/h
−13
+2
−8
A．北京、悉尼、伦敦、纽约
B．纽约、悉尼、伦敦、北京
C．伦敦、纽约、北京、悉尼
D．北京、伦敦、悉尼、纽约
【答案】B
【分析】本题主要考查了正负数的意义，根据各钟表的时差确定北京时间，进而得出答
案．
【详解】因为北京和悉尼的时差是+2，所以北京的时间是6 时（18 时）或4（16 时）
时，
若北京时间是6 时（18 时），则18−8 = 10（时），不符合题意．
所以北京时间是16 时，悉尼时间为16 + 2 = 18（时），伦敦时间为16−8 = 8（时），纽约
时间为16−13 = 3（时），
所以答案为：纽约，悉尼，伦敦，北京．
故选：B．
2．我市2023 年12 月30 日的天气预报显示如下图，请问该日温差为（ ）
A．4℃
B．−4℃
C．10℃
D．−10℃
【答案】C
【分析】本题主要考查正负数在生活中的实际应用，根据最高温度和最低温度就得温差即
可．
【详解】解：根据图中数据显示最高温度为7℃，最低温度为−3℃，则该日温差为7−(−3)
=10℃，
故选：C．
3．中国载人登月工程计划在2030年前实现载人登月，月球昼夜温差大，白天温度能达到
127℃左右，记作127℃，晚上降低到了零下180℃左右，则可记作________℃．
【答案】−180
【分析】本题主要考查了相反意义的量，正负数的实际应用等知识点，熟练掌握相反意义
的量的概念是解题的关键：用正负数表示两种具有相反意义的量，具有相反意义的量都是
相互依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量；按照指
定方向的标准来划分，规定指定方向为正方向的数用正数表示，则向指定方向相反的方向
变化用负数表示，正与负是相对的．
根据相反意义的量的概念即可直接得出答案．
【详解】解：若零上127℃记作127℃，则零下180℃应记作−180℃，
故答案为：−180．
4．如表中列出了国外几个城市与北京的时差，其中带正号的数表示同一时刻比北京时间早
的时数，比如北京的时间是7:00时，东京时间为8:00．则当北京的时间为2024 年10 月7
日9:00时，纽约的时间是 ______．
城市
纽约
巴黎
东京
芝加哥
时差/时
−13
−7
+1
−14
【答案】10 月6 日20 时
【分析】本题主要考查正负数的实际运用，根据正数和负数的实际意义，结合表格信息即
可求得答案．
【详解】解：当北京的时间为2024 年10 月7 日9:00时，纽约的时间是2024 年10 月6 日
20:00时，
故答案为：10 月6 日20 时．
题型六：正数与负数的应用——基准量
📝方法技巧
记分数 = 实际量 - 基准量；实际量 = 基准量 + 记分数。
1．2025年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年．1945年8月15日，日本
宣布无条件投降，9月2日日本代表在密苏里军舰上与反法西斯盟军签订投降书，按照法
律，次日投降书生效．2014年我们国家立法确定9月3日为抗战胜利纪念日．如果以1945年
9月2日投降日为基准，之前的日期为负，之后的日期为正．则1945年9月3日可记为
“ +1”，1945年8月15日可记为（ ）
A．−18
B．−17
C．−16
D．−15
【答案】A
【分析】本题主要考查有理数运算的应用，关键在于正确审题．根据八月份有31天可得8
月15日到8月31日共16天，再加上九月份的2 天，即可求出．
【详解】解：由题意得，1945年8月15日到8月31日共16天，再加上九月份的2 天，
∴ 1945年8月15日可记为−18．
故选：A．
2．（25-26 七年级上·福建厦门·期中）以海平面为基准，用正数表示高于海平面的海拔，用
负数表示低于海平面的海拔．新疆吐鲁番盆地的艾丁湖的湖面比海平面低154m，则艾丁湖
的湖面的海拔为______m．
【答案】−154
【分析】本题考查了正负数的意义．根据正负数表示海拔的规定，低于海平面用负数表
示，解答即可．
【详解】解：由题可知，艾丁湖的湖面比海平面低154m，因此其海拔应表示为负数，即
−154m，
故答案为：−154．
3．我国古数学经典著作《九章算术》中“方程术”最早引入“负数”，用正、负数表示相反意
义的量．若跳远测试以2米为基准，跳2.1米记作+0.1米，那么跳1.7米应记作_______
【答案】−0.3米
【分析】本题主要考查正负数的意义，熟练掌握正负数的意义是解题的关键．根据正负数
的意义并结合题意可直接进行求解．
【详解】解：若跳远测试以2米为基准，跳2.1米记作+0.1米，那么跳1.7米应记作−0.3米，
故答案为：−0.3米．
