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好题精选·同步精炼 2.2 有理数的乘法与除法
2.2.2 有理数的除法第一课时有理数的除法法则
知识点1 有理数的除法法则
1．（2024七年级上·江苏·专题练习）计算 的结果是（ ）
A． B． C．2 D．8
【答案】A
【分析】本题主要考查了有理数的除法计算，直接根据有理数除法计算法则求解即可．
【详解】解： ．
．
2．（2024·山西晋城·二模）计算 的结果是（ ）
A．12 B．3 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了有理数的除法．根据有理数的除法法则计算即可求解．
【详解】解： ，
．3．（2024·河北石家庄·二模）下列运算结果为负数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的加法、乘法、除法以及乘方运算，分别算出每个选项的值，再进行比较，即
可作答．
【详解】解：A、 不符合题意，故该选项是错误的；
B、 ，不符合题意，故该选项是错误的；
C、 ，符合题意，故该选项是正确的；
D、 ，不符合题意，故该选项是错误的；
．
4．（23-24七年级上·浙江衢州·期末）下列运算，结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的除法运算，熟悉两个除法法则是关键．根据有理数的两个除法法则进行计算
即可作出判断．
【详解】解：A、 ，故计算错误；
B、 ，故计算错误；C、 ，故计算正确；
D、 ，故计算错误；
．
5．（22-23七年级上·河北邢台·期末）与 结果相同的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据有理数的除法进行计算即可求解．
【详解】解： ，
A. ，故该选项不符合题意；
B. ，故该选项不符合题意；
C. ，故该选项符合题意；
D. ，故该选项不符合题意；
．
【点睛】本题考查了有理数的除法，熟练掌握有理数的除法法则是解题的关键．6．（2024六年级上·上海·专题练习）如果两个有理数在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相
除所得的商（ ）
A．一定是负数 B．一定是正数 C．等于0 D．以上都不是
【答案】A
【分析】本题考查了有理数的除法法则，数轴的定义，理解有理数的除法法则是解题的关键．两数相除，
同号得正,异号得负,并把绝对值相除．（0除以任何一个非0的数,都得0） 公式： ．
根据数轴的定义，可得数轴上在原点右边的点表示的数是正数，在原点左边的点表示的数是负数，进而根
据有理数的除法法则即可得出答案．
【详解】解：数轴上在原点右边的点表示的数是正数，在原点左边的点表示的数是负数，
根据有理数的除法法则两数相除，同号得正，异号得负可知，这两个数相除所得的商是负数．
．
7．（2024七年级上·江苏·专题练习）一个数与 的乘积等于 ，这个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了有理数的除法，掌握有理数的除法法则是本题的关键，两数相除，同号得正，异号得
负，并把绝对值相除．
根据有理数的除法法则进行计算即可．
【详解】解：根据题意得：
；
．
8．（24-25七年级上·全国·随堂练习）下列化简正确的是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了有理数的除法运算，正确化简求出是解题关键．
【详解】
解：A、 ，故此选项错误；
B、 2，故此选项正确；
C、 ，无意义，故此选项错误；
D、 ，故此选项错误．
．
9．（24-25七年级上·全国·假期作业）下列说法正确的是（ ）（多选题）
A．互为相反数的两数相除商必等于1 B．非零的两数相除，同号得正，异号得负；
C．大于1的两数之积一定大于任何一个因数 D．小于1的两数之商一定小于被除数
【答案】CC
【分析】本题主要考查了有理数的四则运算法则，按照有理数的计算法则和特例进行辨别选择．
【详解】解：∵互为相反数（0除外）的两数相除商必等于1，
∴选项A不符合题意；
∵非零的两数相除，同号得正，异号得负，
∴故选项B符合题意；
∵大于1的两数之积一定大于任何一个因数，
∴选项C符合题意；
∵当除数是小于1的正数，且被除数是正数时，商大于被除数，∴选项D不符合题意，
故选： ．
10．（22-23七年级上·云南·期中） ÷7÷7的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是有理数的除法，根据有理数的除法法则进行计算即可得到答案；
【详解】解：原式
，
故答案为： ．
11．（21-22七年级上·河北石家庄·阶段练习）马奔在计算 时，误将“ ”看成“ ”，结果得 ，
而实际上 的正确结果是 ．
【答案】
【分析】根据题意，按照误算的方法求出 的值，再代入正确的式子计算即可．
【详解】解：∵计算 时，误将“ ”看成“ ”，结果得 ，
∴ ，解得， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查有理数的乘除混合运算法则，掌握其运算法则是解题的关键．
12．（22-23六年级下·全国·单元测试）从 ，−2， 和 这四个数中任取 个数相乘，所得的积中，最大
值为 ，最小值为 ，则 ．【答案】
【分析】根据有理数的乘法计算同号两数的与异号两数的乘积即可求得 的值，进而即可得解．
【详解】解：最大值为 ；
最小值为 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了有理数的乘法运算与除法运算，熟练掌握有理数的乘法运算法则是解题的关键．
13．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ．
【答案】(1)
(2)400
(3)
(4)(5)
(6)
【分析】本题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键；
（1）根据有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即： ，进而
得出即可；
（2）根据有理数除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，即可解答；
（3）根据有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即： ，进而
得出即可；
（4）根据有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即： 进而得
出即可；
（5）根据有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即： ，进而
得出即可；
（6）根据有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即： ，进而
得出即可；
【详解】（1）解：原式
；
（2）原式；
（3）原式
；
（4）原式
；
（5）原式
；
（6）原式
．
14．（2024七年级上·全国·专题练习）化简下列分数．
(1) ；
(2) ；(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)30
(4)20
【分析】本题考查了有理数除法，熟练掌握运算法则是解题的关键；
（1）根据两数相除，同号得正，异号得负，并把两数的绝对值相除，即可得出答案；
（2）根据两数相除，同号得正，异号得负，并把两数的绝对值相除，即可得出答案；
（3）根据两数相除，同号得正，异号得负，并把两数的绝对值相除，即可得出答案；
（4）根据两数相除，同号得正，异号得负，并把两数的绝对值相除，即可得出答案；
【详解】（1）解： ；
（2）解： ；
（3）解： ；
（4）解： ．15．（22-23七年级上·黑龙江双鸭山·阶段练习）在50克含糖率为20%的糖水中，加入5克糖和20克水，
这时的糖水与原来比较（ ）
A．一样甜 B．不那么甜了 C．更甜了 D．不能确定
【答案】A
【分析】求出加入糖和水后糖水的含糖率与之前的含糖率作比较即可．
【详解】解：原来糖有：50×20%＝10（克），
后来的含糖率：
（5＋10）÷（50＋20＋5）×100%
＝15÷75×100%
＝20%
∵含糖率没有变，
∴这时的糖水与原来比较一样甜，故A正确．
【点睛】本题属于百分率问题，解题的关键是利用公式：含糖率＝糖÷糖水×100%求出加入糖后的含糖率．
16．（2024七年级上·江苏·专题练习） 的倒数与 的相反数的商是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了倒数、相反数，以及有理数的除法．先表示出 的倒数是 ， 的相反数是 ，
再根据有理数的除法进行计算即可．
【详解】解： 的倒数是 ，
的相反数是 ，
∴ ，故答案为： ．
17．（22-23七年级下·湖南常德·期中）已知数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，则下列各式错误的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了数轴，由数轴可得： ， ， ，从而可得 ， ，
， ，即可得出答案．
【详解】解：由数轴可得： ， ， ，
∴ ， ， ， 故A、C、D正确，B错误，
．
18．（2024七年级上·全国·专题练习）若正整数m、n、p、q满足 ，则 的最小
值为 ．
【答案】65
【分析】本题考查有理数的乘除及正整数的概念．根据题意，将m用含q的式子表示，再由m、n、p、q
为正整数即可求解．
【详解】解：∵ ，
， ， ，，
∵m、n、p、q为正整数，
∴q的最小值为8，则 ， ， ，
∴ ，
的最小值为65．
故答案为：65
19．（23-24七年级上·福建厦门·阶段练习）三个互不相等的有理数，既可以表示为0，b， 的形式，也
可以表示为1，a， 的形式，那么 ．
【答案】
【分析】根据三个互不相等的有理数，既可以表示为1， ， 的形式，又可以表示为0， ， 的形式，
也就是说这两个数组的数分别对应相等，即 与 中有一个是0， 与 中有一个是1，再根据分式有意
义的条件判断出 、 的值，代入代数式进行计算即可．
【详解】解： 三个互不相等的有理数，既表示为1， ， 的形式，又可以表示为0， ， 的形式，
这两个数组的数分别对应相等．
与 中有一个是0， 与 中有一个是1，但若 ，会使 无意义，
，只能 ，即 ，于是 ．只能是 ，于是 ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是有理数的概念，能根据题意得出“ 与 中有一个是0， 与 中有一个是1”是解答此题的关键．
20．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）对于有理数a，b（a，b都不为0）定义运算“ ”：
△
．例如： ，求 的值．
【答案】
【分析】本题考查定义新运算．根据新运算的法则，列出算式，进行计算，是解题的关键．
【详解】解：由题意，得：
，
∴ ．
21．（23-24七年级上·湖南长沙·期中）若 ，则 的值为（ ）
A． B．−2 C． D．以上结论都不对
【答案】C
【分析】对 、 、 中正数的个数进行讨论，即可求解．本题考查了有理数的除法法则和乘法法则，正确
进行讨论是关键．
【详解】解：当 、 、 中没有负数时，都是正数，则原式 ；
当 、 、 中只有一个负数时，不妨设 是负数，则原式 ；
当 、 、 中有 个负数时，不妨设 、 是负数，则原式 ；当 、 、 都是负数时，则原式 ，
总是代数式的值是 或−2，
故选:
22．阅读：比较 与 的大小.
方法一：利用两数差的正负来判断.
因为 = ＞0，所以 ＞ .
方法二：利用两数商，看商是大于1还是小于1来判断.
因为 ÷ = ＞1，所以 ＞ .
请用以上两种方法，比较 和 的大小.
【答案】见解析.
【分析】此题考查比较两有理数的大小，利用题干中的两个方法分别计算，即可比较两个数的大小，正确
利用解题方法和掌握有理数的计算法则是解题的关键
【详解】解：方法一：因为 ，所以 ；
方法二：因为 ，所以
23．（22-23七年级上·重庆·期末）数论是纯数学的分支之一，主要研究整数的性质．现在我们来研究整数
的一种特殊现象．
定义：对于一个非0自然数N，如果这个自然数N分别除以自然数a、b(a、b为互质数)有相同余数（余数
不为0)，那么自然数N叫做a、b的“公平数”．
例如： ，所以13是3和4的“公平数”； ， ，
所以72是5和7的“公平数”．
(1)判断：60、55是否为7和8的“公平数”，请说明理由；(2)求100以内3和8的所有“公平数”．
【答案】(1)60是7和8的“公平数”，55不是7和8的“公平数”，理由见解析
(2)25，26，49，50，73，74，97，98
【分析】本题考查了有理数乘除法与加法的应用，正确理解“公平数”的定义是解题关键．
（1）根据“公平数”的定义即可得；
（2）设3和8的“公平数”为a，得出 或 为3和8的公倍数，也是 的倍数，再根据“公
平数”的定义逐个找出即可得．
【详解】（1）解： ， ，
所以60是7和8的“公平数”；
， ， ，
所以55不是7和8的“公平数”．
（2）解：设3和8的“公平数”为a，
则a除以3和8的余数为1或2，
所以 或 为3和8的公倍数，
因为3和8是互质数，
故 或 也是 的倍数．
又由a在100以内，故a可能为 ；
；
；
．
综上，100以内3和8的所有“公平数”为：25，26，49，50，73，74，97，98．
