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期末考试点对点压轴题训练（五）（B卷26题）
1．如图，等边三角形ABC中，AB＝AC＝BC＝6，BD⊥AC，垂足为D，点E为AB边上一点，点F为直线
BD上一点，连接EF，将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EG，连接FG．
(1)如图1，当点E与点B重合，且GF的延长线过点C，求∠FCB的度数；
(2)如图2，在（1）的条件下连接DG，求线段DG的长；
(3)如图3，点E不与点A重合，GF延长线交BC边于点H，连接EH，∠FBH＝∠FEH，EP⊥AB于点E，
交DB于点P，连接GP，∠GPF＝∠GEF，求 的值．
2． 在正方形ABCD中，点E是对角线BD上点.连接AE
（1）如图l，若 ， .求AE的长；
（2）如图2，对角线AC与BD相交于点O，点F在AB上，且 ，逹接CF.点G在EF上，
，延长BG交AC于点H.求证： ；
（3）如图3，在（l）的条件下，过点E作 交OC于点M，把 绕点O逆时针旋转 度（
）得 ，取 的中点K，连接CK，将CK顺时针旋转 得到CN，连接KN，过点
N作 于点R，当NR最大时，求线段KR的长.3．【数学初探】
在数学课上，叶老师提出了一个探究型问题：“如图1，你能借助锐角 画出一个菱形，使 为该
菱形的一个内角吗？”雷同学提出了自己的见解：如图2，①作 的平分线AE，交BC于点E；②作
AE的中垂线l分别交AB、AC、AE于点F、G、H；③连接EF，EG，则四边形AFEG是菱形．
(1)请你帮助雷同学证明四边形AFEG是菱形．
【深入探究】
雷同学开启大胆尝试，如图3，将 的中线BO延长至点D，使 ，连接AD，CD，平移图2中
的直线l（平移过程中直线l与AB、AC、AE的交点仍为F、G、H），当直线l恰好经过点D时，他通过测
量发现了线段OG与线段BF存在特定的数量关系．
(2)请你写出线段OG与线段BF的数量关系，并小心求证．
【迁移应用】
(3)如图4，在（2）的条件下，若 ，且 时，求 的值．
4．如图 ，长方形 ，点 ， 分别为边 ， 上两动点，将长方形左侧部分沿 所在直线折叠，
点 落在 边上点 处，点 落在点 处，连接 ， ， ， ．(1)若 ，求 的度数；
(2)如图 ，若点 与点 重合， ，求线段 用含 代数式表示 ；
(3)连接 ，若 ，且 为等腰三角形，求 的值．
5．【问题提出】在一节数学课上，王老师提出了一个数学问题：
如图1-1，在等边三角形ABC内部有一点P，PA＝5，PB＝12，PC＝13，求∠APB的度数．
(1)【问题探究】针对这个问题，某学习小组进行了如下尝试：如图1-2，将△APB绕点A逆时针旋转60°得
到 ，连接 ，得到等边 ．请根据该小组探究的思路求出∠APB的度数；
(2)【类比延伸】在等腰Rt△ABC中，已知∠BAC＝90°，AB＝AC，其内部有一点P．如图2，连接PA，
PB，PC，若∠APC＝135°，试判断线段PA，PB，PC之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，连接PA，PC，以PC为直角边作等腰Rt△PCQ，∠CPQ＝90°，连接BQ，取BQ的中点M，连
接AM，PM，试判断 是否为定值，若为定值，请求出相应的值；若不是定值，请说明理由．
6．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB的中点，点E是AC上一点．连接DE，过D作
DF⊥DE交BC点于F，连接EF．
（1）如图1，EF与CD相交于点G：
①来证：AE＝CF；②当AD＝CE，AC＝6时，求DG；
（2）如图2，点M为BC上一点，且∠CME＝2∠ADE，AE＝2，CE＝5，求EM的长．
7．已知在 ABC中，∠ECF的两边与 ABC的边AB从左至右依次交于点E，F，且∠ECF＝ ∠ACB．
（1）如图1，若AC＝BC，∠ACB＝90°，将△ACE绕点C逆时针旋转90°后，得到 BCG，连接FG．求证：
ECF≌ GCF；
（2）如图2，若AC＝BC，∠ACB＝120°，BF＝3，AE＝2，求线段EF的长；
（3）如图3，若∠ACB＝90°，AC＝2 ，BC＝ ，设AE＝y，BF＝x（0＜x＜1），请用含x的代数式表
示y（直接写出结果，不必写解答过程）．
8．已知正方形ABCD，将线段BA绕点B旋转 （ ），得到线段BE，连接EA，EC．(1)如图1，当点E在正方形ABCD的内部时，若BE平分∠ABC，AB=4，则∠AEC=______°，四边形ABCE
的面积为______；
(2)当点E在正方形ABCD的外部时，
①在图2中依题意补全图形，并求∠AEC的度数；
②作∠EBC的平分线BF交EC于点G，交EA的延长线于点F，连接CF．用等式表示线段AE，FB，FC之
间的数量关系，并证明．
9．在▱ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，BC＝6．点E'在BC边上且 ＝4，将B 绕点B逆时针旋转a°
得到BE（0°＜a＜180°）．
(1)如图1，当∠EBA＝90°时，求S BCE；
△
(2)如图2，在旋转过程中，连接CE，取CE中点F，作射线BF交直线AD于点G．
①求线段BF的取值范围；
②当∠EBF＝120°时，求证：BC﹣DG＝2BF；
(3)如图3．当∠EBA＝90°时，点S为线段BE上一动点，过点E作EM⊥射线AS于点M，N为AM中点，直
接写出BN的最大值与最小值．10．已知 为等边三角形，其边长为 ．点 是 边上一动点，连接 ．
(1)如图 ，点 在 边上且 ，连接 交 于点 ．
①求证： ；
②求 的度数；
(2)如图 ，将线段 绕点 顺时针旋转 得线段 ，连接 交 于点 ．设 ， ，求
与 的函数关系式；
(3)如图 ，在（2）的条件下，延长 至点 ，且 ，连接 ， 在点 运动过程中，当
的周长为 时，求 的长．
11．（1）如图1，Rt△ABC与Rt△ADE，∠ADE＝∠ABC＝90°， ，连接BD，CE．求证：
．
（2）如图2，四边形ABCD，∠BAD＝∠BCD＝90°，且 ，连接BC，BC、AC、CD之间有何数量
关系？
小明在完成本题中，如图3，使用了“旋转放缩”的技巧，即将△ABC绕点A逆时针旋转90°，并放大2倍，点B对应点D．点C落点为点E，连接DE，请你根据以上思路直接写出BC，AC，CD之间的关系．
（3）拓展：如图4，矩形ABCD，E为线段AD上一点，以CE为边，在其右侧作矩形CEFG，且
，AB＝5，连接BE，BF．求BE+ BF的最小值．
