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期末考试点对点压轴题训练（二）（B卷22、23题）
1．如图，等边 中， ， 为 的中点， 为 内一动点， ，连接 ，将线段
绕点 顺时针旋转 得 ，连接 ，则线段 的最小值为______．
【答案】
【分析】由旋转的性质可得 ， ，由“ ”可证 ≌ ，可得 ，
即可求解．
【详解】解：如图，连接 ，以 为边作等边三角形 ，连接 ，
是等边三角形，点 是 的中点，
，
，
将线段 绕点 顺时针旋转 得 ，
， ，
是等边三角形，
， ，
，
在 和 中，，
≌ ，
，
当点 在线段 上时， 有最小值为 ，
的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，添加恰当的辅助
线构造全等三角形是解题的关键．
2．如图，在矩形ABCD中， ， ，点P在边AD上，点Q在边BC上，且 ，连接
CP，QD，则 的最小值为__________．
【答案】13
【分析】连接BP，在BA的延长线上截取AE=AB=6，连接PE，CE，PC+QD=PC+PB，则PC+QD的最小
值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE=AB=6，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，根据勾股
定理可得结果．
【详解】解：如图，连接BP，
在矩形ABCD中，AD BC，AD=BC，∵AP=CQ，
∴AD-AP=BC-CQ，
∴DP=QB，DP BQ，
∴四边形DPBQ是平行四边形，
∴PB DQ，PB=DQ，
则PC+QD=PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，
在BA的延长线上截取AE=AB=6，连接PE，
∵PA⊥BE，
∴PA是BE的垂直平分线，
∴PB=PE，
∴PC+PB=PC+PE，
连接CE，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，
∵BE=2AB=12，BC=AD=5，
∴CE= =13．
∴PC+PB的最小值为13．
故答案为：13．
【点睛】本题考查的是最短线路问题，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，熟知两点之间线段最短的
知识是解答此题的关键．
3．如图，四边形 是边长为4的正方形，点E在边 上，PE=1；作EF∥BC，分别交AC、AB于点
G、F，M、N分别是AG、BE的中点，则MN的长是_________．
【答案】2.5
【分析】先判断四边形 的形状，再连接 ，利用正方形的性质得出 是等腰直角三角形，再利用直角三角形的性质得出 即可．
【详解】∵四边形 是边长为4的正方形， ，
∴四边形 是矩形，
∵ ，
∴ ，
连接 ，如图所示：
∵四边形 是正方形，
∴ ， 是等腰直角三角形，
∵ 是 的中点，即有 ，
∴ ， 是直角三角形，
又∵ 是 中点， ，
∵
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定，等腰三角形和直角三角形的性质，解题的关键在于合理
作出辅助线，通过直角三角形的性质转化求解．
4．如图，在四边形 中， ，E，F分别是 的中点，连接 ，
若四边形 的面积为12，则 的面积为________．【答案】5
【分析】连接 ，过 作 的垂线，利用勾股定理可得 ，易得 的面积，可得 和 的面
积，三角形 与三角形 同底，利用面积比可得它们高的比，而 又是 以 为底的高的一
半，可得 ，易得 ，由中位线的性质可得 的长，利用三角形的面积公式可得结果．
【详解】解：连接 ，过 作 的垂线交 于点 ，交 于点 ，
， ，
，
， 分别是 ， 的中点，
是 的中位线，
，
，
，
为等腰三角形，
， 为等腰直角三角形，
，
，
四边形 的面积为12，
，
，
，
， ，又 ，
．
故答案为：5．
【点睛】此题主要考查了三角形的中位线定理，勾股定理，三角形面积的运算，作出恰当的辅助线得到三
角形的底和高是解答此题的关键．
5．如图，在 中， ，点P是 内一动点，连接 ，则
的最小值为________．
【答案】
【分析】以点 为旋转中心，将 顺时针旋转 得到 ，连接 ．根据 、 都是
等边三角形，可得 ，最后根据当 、 、 、 四点共线时，由 ，
可得 垂直平分 ，进而求得 的最小值．
【详解】解：如图所示，以点 为旋转中心，将 顺时针旋转 得到 ，连接 ．，
由旋转可得， ，
， ， ， ，
、 都是等边三角形，
，
，
当 时， ，
当 、 、 、 四点共线时，
由 ， 可得 垂直平分 ，
， ，
此时 ．
即 的最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查旋转变换，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常
用辅助线，构造全等三角形，利用转化思想解决问题．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，点E是AB边上一点，且CE＝CB＝4，则△AEC的面积为_____．【答案】 /
【分析】过点 作 于点 ，先根据等腰三角形的三线合一可得 ，设 ，则
， ，再在 和 中，利用勾股定理分别求出 的值，建立方程可
求出 的值，从而可得 的长，然后利用三角形的面积公式即可得．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ，
，
，
设 ，则 ，
，
在 中， ，
在 中， ，
，
解得 ，
，
，
则 的面积为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一、勾股定理、二次根式的化简等知识点，熟练掌握等腰三角形的三线合一和勾股定理是解题关键．
7．如图，等边△ABC的边长为12cm，点E，D分别是边AB，AC的中点．FB⊥BC交CE的延长线于点
F，连接FD，则线段FD的长为_____cm．
【答案】2
【分析】连接AF，根据等边三角形的性质可得 ， ，然后两次利用勾股定
理即可解答．
【详解】解：连接AF，
∵ 为等边三角形，点E，D分别是边AB，AC的中点，
∴CF、BD分别垂直AB、AC， ，AF=BF，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
，BF=2EF，
在Rt BEF中，
,
∴EF= ，
∴AF=BF=4 ，
在Rt AFD中，
FD= ，
故答案为：2 ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和勾股定理的应用，正确的做出辅助线是解决本题的关键．
8．已知直线 与直线 ，若将 绕平面内一点P顺时针旋转 后恰好能与 重合，则称点P为 关于 的
“ 顺合点”．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点 ， ， 中是y轴关于x轴的
“90°顺合点”的是______；如图2，已知直线 与直线 交于点A，点C，D是直线 上不重合的两点，
．位于直线 右侧的一点P是 关于 的“60°顺合点”， ，连接PC，PD．点B在 上，
连接BP，若 且 ，则 ______．
【答案】 /
【分析】根据题目描述将y轴绕某个点顺时针旋转 得到x轴，判断符合要求的点即可；由
可知B点旋转后落在点C处，作出A点旋转后落在点 处，得到 、 都为等边三角形，得到
，进而得到结论．
【详解】：根据定义， 绕平面内一点P顺时针旋转 后恰好能与 重合，则称点P为 关于 的“ 顺合点”，
将y轴绕点 顺时针旋转90°得到x轴，故y轴关于x轴的“90°顺合点”为点 ．
，
点B绕点P旋转 后落在点C上，则BP=PC，
又 ，
，
点P在CD的垂直平分线上，
又 点A在 上，
则点A的对应点 在 上，
、 都为等边三角形
， ，
∵ ， ，
，
∴ ，
设 ，则 ， ，
， ，
， ．
故答案为： ； ．
【点睛】本题考查旋转的性质及线段垂直平分线的应用、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，理解题目描述的“ 顺合点”是解题关键．
9．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边上的点，BE＝CD且BE⊥CD，若∠A＝30°，BD＝1，
CE＝2 ，M，N分别为DE，BC的中点，则线段MN的长＝_____．
【答案】
【分析】取BE中点G，连接GM，GN，根据三角形的中位线定理和平行线的性质可得角MGN=150度，且
MG=BD的一半，NG=CE的一半，最后由勾股定理可得结论
【详解】解：如图，取BE中点G，连接GM，GN，过点M作MH⊥NG于H，
∵M是DE的中点，G是BE的中点，
∴MG是△EDB的中位线，
∴ ，
∴∠ABE=∠MGE，
同理得：GN是△BEC的中位线，
∴ ，
∴∠EGN=∠AEB，
∵∠A=30°，
∴∠AEB+∠ABE=150°，
∴∠EGN+∠EGM=150°，∴∠MGH=30°，
∴ ，
∴ ，
在Rt MNH中，由勾股定理得：
△
故答案为：
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，含30°角的直角三角形的性质和勾股定理等知识，解题的关键是
正确作出辅助线．
10．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝60°，在线段AD上取一点E，使得DE＝2，
连接BE，在线段AE，BE上分别取一点P，Q，则 的最小值为______．
【答案】
【分析】根据平行四边形的性质可得∠EBC=30°，过点Q作QM⊥BC于点M，过点P作PN⊥BC于点N，
过点A作AH⊥BC于点H，根据含30°角的直角三角形的性质可得QM= BQ，PQ+ BQ最小值即为PN的
长，根据平行线之间的距离相等，可得PN=AH，根据勾股定理求出AH的长即可．
【详解】解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵AB=6，BC=8，DE=2，
∴AE=8-2=6，
∴AE=AB，∴∠AEB=∠ABE，
∴∠ABE=∠EBC，
∵∠ABC=60°，
∴∠EBC=30°，
过点Q作QM⊥BC于点M，过点P作PN⊥BC于点N，过点A作AH⊥BC于点H，如图所示：
则QM= BQ，
∴PQ+ BQ最小值即为PN的长，
∵AD∥BC，
∵PN=AH，
∵∠BAH=30°，AB=6，
∴BH=3，
根据勾股定理，可得AH=PN= ，
∴PQ+ BQ的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，通过构造直角三角形，找出
PQ+ BQ最小值即为PN的长是解题的关键．
11．如图，在长方形ABCD中，已知2AD＝3AB，将线段AB绕点A逆时针旋转 度（ ）后得到
线段 ，连接 ， ．若 是等腰三角形，则可以找到______个符合条件的 的值．【答案】4
【分析】根据旋转的性质可得点B′在以A为圆心，AB的长为半径的圆弧上， DB'C是等腰三角形，分情
况讨论：①DB′=DC，②CB′=CD，③B′C=B′D，数形结合求解即可． △
【详解】解：设AD=3x，
∵2AD=3AB，
∴AB=2x，
∵将线段AB绕点A逆时针旋转α度（0＜α＜90）后得到线段AB'，
∴点B′在以A为圆心，AB的长为半径的圆弧上，
DB'C是等腰三角形，分情况讨论：
△①DB′=DC，如图所示：
∵四边形ABCD是长方形，
∴CD=AB，
∴点B′在以D为圆心，CD的长为半径的圆弧上，
∴两圆弧的交点即为点B′，
∵2x+2x＞3x，
∴存在一处满足条件的点B′，即存在一个符合条件的α的值；
②CB′=CD，如图所示：
∴点B′在以C为圆心，CD的长为半径的圆弧上，
则两圆弧的交点即为点B′，连接AC，
根据勾股定理，得AC= ，
∵2x+2x＞ ，
∴存在两处满足条件的点B′，即存在两个符合条件的α值；
③B′C=B′D，如图所示：
此时点B′在线段CD的垂直平分线上，
∴线段CD的垂直平分线与圆弧的交点即为点B′，
∴存在一处满足条件的点B′，即存在一个符合条件的α值，
综上，符合条件的α值有4个，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，旋转的性质，数形结合是解题的关键，注意分情况讨论．
12．如图，△ABC为等边三角形，AD⊥BC，且AD＝4，点E为线段AD的中点，把线段AE绕点A逆时针
旋转，连接BE，点F为线段BE的中点，在旋转过程中CF的最大值为 _____．
【答案】5
【分析】取AB的中点G，连接FG，由三角形中位线的性质得出FG＝ AE＝1，得出点F在以G为圆心，
1为半径的圆上，当CF经过圆心G时，CF最大，由等边三角形的性质得出CG＝AD＝4，进而求出CF的
值，得出答案．
【详解】解：如图，取AB的中点G，连接FG，∵AD＝4，点E为线段AD的中点，
∴AE＝ AD＝2，
∵点F为线段BE的中点，
∴FG是△ABE的中位线，
∴FG＝ AE＝1，
∴点F在以G为圆心，1为半径的圆上，
∴当CF经过圆心G时，CF最大，
∵△ABC为等边三角形，G是AB的中点，
∴CG⊥AB，
∵AD⊥BC，
∴CG＝AD＝4，
∴CF＝FG＋CG＝1＋4＝5，
∴CF的最大值为5．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，掌握三角形中位线的性质，旋转的性质，等边
三角形的性质，圆的定义是解决问题的关键．
13．如图， ， ， ， ， ，射线 交边 于点 ，点 为射
线 上一点，以 ， 为边作平行四边形 ，连接 ，则 最小值为______．
【答案】【分析】如图，延长 到 ，使得 ，连接 ，过点 作 于点 ．首先证明四边形
是平行四边形，推出 ，推出点 在射线 上运动，当点 与 重合时，
的值最小，求出 的长，可得结论．
【详解】解：如图，延长 到 ，使得 ，连接 ，过点 作 于点 ．
四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
， ， ，
， ，
，
，
，
，
，
点 在射线 上运动，当点 与 重合时， 的值最小，
在 中， ， ， ，
，．
的最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，直角三角形 度角的性质，勾股定理，垂线段最短等知识，
解题的关键是正确寻找点 的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题．
14．如图，在平面直角坐标系中有 ， 两点．将直线 ： 向上平移 个单位长度得到直
线 ，点 在直线 上，过点 作直线 的垂线，垂足为点 ，连接 ， ， ，则折线 的长
的最小值为______．
【答案】
【分析】先证四边形 是平行四边形，可得 ，则 ，即当点 ，
点 ，点 三点共线时， 有最小值为 的长，即 有最小值，即可求解．
【详解】解：如图，将点 沿 轴向下平移 个单位得到 ，以 为斜边，作等腰直角三角形 ，
则点 ，连接 ，是等腰直角三角形，
， ，
将直线 ： 向上平移 个单位长度得到直线 ，
， ，
， ，
，
， ，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
当点 ，点 ，点 三点共线时， 有最小值为 的长，即 有最小值，
点 ，点 ，
，
折线 的长 的最小值为 ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了轴对称 最短路线问题，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，一次函
数的应用，添加恰当辅助线构造平行四边形是解题的关键．
15．如图，△ABC中，点P为AC的中点，点G为BC边上任意一点，在△ABC绕点A旋转的过程中，点
G的对应点为G′，若AC＝4，AB＝4 ，∠ABC＝30°，则线段PG′的取值范围为________．
【答案】
【分析】利用特殊位置求出PG'的最大值和最小值，即可求解．
【详解】解：根据题意得：AD=AB＝4 ，AE=AC=4，
如图，过点A作AH⊥BC于点H，
∵AB＝4 ，∠ABC＝30°，
∴ ，
∵点P为AC的中点，AC＝4，
∴AP=2，当点G与点H重合时，在△ABC绕点A旋转的过程中，点G'在线段AP的延长线上时，
此时 ，∴ ，
即PG'的最小值为 ；
当点G与点B重合时，在△ABC绕点A旋转的过程中，点G'在线段PA的延长线上时，
此时 ，
∴ ，
即PG'的最大值为 ，
∴线段PG′的取值范围为 ．
故答案为：
【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，利用特殊位置求出PG'的最大值和最小值是解题的
关键．16．如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝1，CD ，若BD恰好平分∠ABC，则BD
之长为 _____．
【答案】
【分析】过点D作DE⊥BD，交BC的延长线于E，作CH⊥DE于H，利用ASA证明△ABD≌△CED，得
AB=CE=1，再利用勾股定理求出DH的长，从而解决问题．
【详解】解：过点D作DE⊥BD，交BC的延长线于E，作CH⊥DE于H，
∵∠ADC=∠BDE=90°，
∴∠ADB=∠CDE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBE=∠ABD=45°，
∴BD=DE，
∴∠E=∠ABD=45°，
∴△ABD≌△CED（ASA），
∴AB=CE=1，
∴CH=EH= ，
在Rt DCH中，由勾股定理得， ，
△∴DE=DH+EH ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作
辅助线构造全等三角形是解题的关键．
17．如图，线段 、 （ ）的长是方程 的两根，点P是y轴正半轴上一点，连接
，以点 为中心，将线段 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ，当线段 取最小值时点 的坐
标是__________，此时线段 的最小值为__________．
【答案】
【分析】先求出一元二次方程的解得出 ， ，AB=2，以AB为斜边的构造等腰直角三角形
MAB，连接MP，AQ，过点M作 交AB于点N，则 是等腰直角三角形，由题意得
是等腰三角形，根据等腰直角三角形的性质得 ，根据 则 ，根
据相似三角形的性质得 ，则当MP取得最小值时，BQ就取得最小值，根据垂线最短即可得．
【详解】解： ，
或∵线段OA、OB（OA
