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期末考试点对点压轴题训练（二）（B卷22、23题）
1．如图，等边 中， ， 为 的中点， 为 内一动点， ，连接 ，将线段
绕点 顺时针旋转 得 ，连接 ，则线段 的最小值为______．
【答案】
【分析】由旋转的性质可得 ， ，由“ ”可证 ≌ ，可得 ，
即可求解．
【详解】解：如图，连接 ，以 为边作等边三角形 ，连接 ，
是等边三角形，点 是 的中点，
，
，
将线段 绕点 顺时针旋转 得 ，
， ，
是等边三角形，
， ，
，
在 和 中，，
≌ ，
，
当点 在线段 上时， 有最小值为 ，
的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，添加恰当的辅助
线构造全等三角形是解题的关键．
2．如图，在矩形ABCD中， ， ，点P在边AD上，点Q在边BC上，且 ，连接
CP，QD，则 的最小值为__________．
【答案】13
【分析】连接BP，在BA的延长线上截取AE=AB=6，连接PE，CE，PC+QD=PC+PB，则PC+QD的最小
值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE=AB=6，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，根据勾股
定理可得结果．
【详解】解：如图，连接BP，
在矩形ABCD中，AD BC，AD=BC，∵AP=CQ，
∴AD-AP=BC-CQ，
∴DP=QB，DP BQ，
∴四边形DPBQ是平行四边形，
∴PB DQ，PB=DQ，
则PC+QD=PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，
在BA的延长线上截取AE=AB=6，连接PE，
∵PA⊥BE，
∴PA是BE的垂直平分线，
∴PB=PE，
∴PC+PB=PC+PE，
连接CE，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，
∵BE=2AB=12，BC=AD=5，
∴CE= =13．
∴PC+PB的最小值为13．
故答案为：13．
【点睛】本题考查的是最短线路问题，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，熟知两点之间线段最短的
知识是解答此题的关键．
3．如图，四边形 是边长为4的正方形，点E在边 上，PE=1；作EF∥BC，分别交AC、AB于点
G、F，M、N分别是AG、BE的中点，则MN的长是_________．
【答案】2.5
【分析】先判断四边形 的形状，再连接 ，利用正方形的性质得出 是等腰直角三角形，再利用直角三角形的性质得出 即可．
【详解】∵四边形 是边长为4的正方形， ，
∴四边形 是矩形，
∵ ，
∴ ，
连接 ，如图所示：
∵四边形 是正方形，
∴ ， 是等腰直角三角形，
∵ 是 的中点，即有 ，
∴ ， 是直角三角形，
又∵ 是 中点， ，
∵
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定，等腰三角形和直角三角形的性质，解题的关键在于合理
作出辅助线，通过直角三角形的性质转化求解．
4．如图，在四边形 中， ，E，F分别是 的中点，连接 ，
若四边形 的面积为12，则 的面积为________．【答案】5
【分析】连接 ，过 作 的垂线，利用勾股定理可得 ，易得 的面积，可得 和 的面
积，三角形 与三角形 同底，利用面积比可得它们高的比，而 又是 以 为底的高的一
半，可得 ，易得 ，由中位线的性质可得 的长，利用三角形的面积公式可得结果．
【详解】解：连接 ，过 作 的垂线交 于点 ，交 于点 ，
， ，
，
， 分别是 ， 的中点，
是 的中位线，
，
，
，
为等腰三角形，
， 为等腰直角三角形，
，
，
四边形 的面积为12，
，
，
，
， ，又 ，
．
故答案为：5．
【点睛】此题主要考查了三角形的中位线定理，勾股定理，三角形面积的运算，作出恰当的辅助线得到三
角形的底和高是解答此题的关键．
5．如图，在 中， ，点P是 内一动点，连接 ，则
的最小值为________．
【答案】
【分析】以点 为旋转中心，将 顺时针旋转 得到 ，连接 ．根据 、 都是
等边三角形，可得 ，最后根据当 、 、 、 四点共线时，由 ，
可得 垂直平分 ，进而求得 的最小值．
【详解】解：如图所示，以点 为旋转中心，将 顺时针旋转 得到 ，连接 ．，
由旋转可得， ，
， ， ， ，
、 都是等边三角形，
，
，
当 时， ，
当 、 、 、 四点共线时，
由 ， 可得 垂直平分 ，
， ，
此时 ．
即 的最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查旋转变换，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常
用辅助线，构造全等三角形，利用转化思想解决问题．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，点E是AB边上一点，且CE＝CB＝4，则△AEC的面积为_____．【答案】 /
【分析】过点 作 于点 ，先根据等腰三角形的三线合一可得 ，设 ，则
， ，再在 和 中，利用勾股定理分别求出 的值，建立方程可
求出 的值，从而可得 的长，然后利用三角形的面积公式即可得．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ，
，
，
设 ，则 ，
，
在 中， ，
在 中， ，
，
解得 ，
，
，
则 的面积为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一、勾股定理、二次根式的化简等知识点，熟练掌握等腰三角形的三线合一和勾股定理是解题关键．
7．如图，等边△ABC的边长为12cm，点E，D分别是边AB，AC的中点．FB⊥BC交CE的延长线于点
F，连接FD，则线段FD的长为_____cm．
【答案】2
【分析】连接AF，根据等边三角形的性质可得 ， ，然后两次利用勾股定
理即可解答．
【详解】解：连接AF，
∵ 为等边三角形，点E，D分别是边AB，AC的中点，
∴CF、BD分别垂直AB、AC， ，AF=BF，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
，BF=2EF，
在Rt BEF中，
,
∴EF= ，
∴AF=BF=4 ，
在Rt AFD中，
FD= ，
故答案为：2 ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和勾股定理的应用，正确的做出辅助线是解决本题的关键．
8．已知直线 与直线 ，若将 绕平面内一点P顺时针旋转 后恰好能与 重合，则称点P为 关于 的
“ 顺合点”．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点 ， ， 中是y轴关于x轴的
“90°顺合点”的是______；如图2，已知直线 与直线 交于点A，点C，D是直线 上不重合的两点，
．位于直线 右侧的一点P是 关于 的“60°顺合点”， ，连接PC，PD．点B在 上，
连接BP，若 且 ，则 ______．
【答案】 /
【分析】根据题目描述将y轴绕某个点顺时针旋转 得到x轴，判断符合要求的点即可；由
可知B点旋转后落在点C处，作出A点旋转后落在点 处，得到 、 都为等边三角形，得到
，进而得到结论．
【详解】：根据定义， 绕平面内一点P顺时针旋转 后恰好能与 重合，则称点P为 关于 的“ 顺合点”，
将y轴绕点 顺时针旋转90°得到x轴，故y轴关于x轴的“90°顺合点”为点 ．
，
点B绕点P旋转 后落在点C上，则BP=PC，
又 ，
，
点P在CD的垂直平分线上，
又 点A在 上，
则点A的对应点 在 上，
、 都为等边三角形
， ，
∵ ， ，
，
∴ ，
设 ，则 ， ，
， ，
， ．
故答案为： ； ．
【点睛】本题考查旋转的性质及线段垂直平分线的应用、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，理解题目描述的“ 顺合点”是解题关键．
9．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边上的点，BE＝CD且BE⊥CD，若∠A＝30°，BD＝1，
CE＝2 ，M，N分别为DE，BC的中点，则线段MN的长＝_____．
【答案】
【分析】取BE中点G，连接GM，GN，根据三角形的中位线定理和平行线的性质可得角MGN=150度，且
MG=BD的一半，NG=CE的一半，最后由勾股定理可得结论
【详解】解：如图，取BE中点G，连接GM，GN，过点M作MH⊥NG于H，
∵M是DE的中点，G是BE的中点，
∴MG是△EDB的中位线，
∴ ，
∴∠ABE=∠MGE，
同理得：GN是△BEC的中位线，
∴ ，
∴∠EGN=∠AEB，
∵∠A=30°，
∴∠AEB+∠ABE=150°，
∴∠EGN+∠EGM=150°，∴∠MGH=30°，
∴ ，
∴ ，
在Rt MNH中，由勾股定理得：
△
故答案为：
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，含30°角的直角三角形的性质和勾股定理等知识，解题的关键是
正确作出辅助线．
10．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝60°，在线段AD上取一点E，使得DE＝2，
连接BE，在线段AE，BE上分别取一点P，Q，则 的最小值为______．
【答案】
【分析】根据平行四边形的性质可得∠EBC=30°，过点Q作QM⊥BC于点M，过点P作PN⊥BC于点N，
过点A作AH⊥BC于点H，根据含30°角的直角三角形的性质可得QM= BQ，PQ+ BQ最小值即为PN的
长，根据平行线之间的距离相等，可得PN=AH，根据勾股定理求出AH的长即可．
【详解】解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵AB=6，BC=8，DE=2，
∴AE=8-2=6，
∴AE=AB，∴∠AEB=∠ABE，
∴∠ABE=∠EBC，
∵∠ABC=60°，
∴∠EBC=30°，
过点Q作QM⊥BC于点M，过点P作PN⊥BC于点N，过点A作AH⊥BC于点H，如图所示：
则QM= BQ，
∴PQ+ BQ最小值即为PN的长，
∵AD∥BC，
∵PN=AH，
∵∠BAH=30°，AB=6，
∴BH=3，
根据勾股定理，可得AH=PN= ，
∴PQ+ BQ的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，通过构造直角三角形，找出
PQ+ BQ最小值即为PN的长是解题的关键．
11．如图，在长方形ABCD中，已知2AD＝3AB，将线段AB绕点A逆时针旋转 度（ ）后得到
线段 ，连接 ， ．若 是等腰三角形，则可以找到______个符合条件的 的值．【答案】4
【分析】根据旋转的性质可得点B′在以A为圆心，AB的长为半径的圆弧上， DB'C是等腰三角形，分情
况讨论：①DB′=DC，②CB′=CD，③B′C=B′D，数形结合求解即可． △
【详解】解：设AD=3x，
∵2AD=3AB，
∴AB=2x，
∵将线段AB绕点A逆时针旋转α度（0＜α＜90）后得到线段AB'，
∴点B′在以A为圆心，AB的长为半径的圆弧上，
DB'C是等腰三角形，分情况讨论：
△①DB′=DC，如图所示：
∵四边形ABCD是长方形，
∴CD=AB，
∴点B′在以D为圆心，CD的长为半径的圆弧上，
∴两圆弧的交点即为点B′，
∵2x+2x＞3x，
∴存在一处满足条件的点B′，即存在一个符合条件的α的值；
②CB′=CD，如图所示：
∴点B′在以C为圆心，CD的长为半径的圆弧上，
则两圆弧的交点即为点B′，连接AC，
根据勾股定理，得AC= ，
∵2x+2x＞ ，
∴存在两处满足条件的点B′，即存在两个符合条件的α值；
③B′C=B′D，如图所示：
此时点B′在线段CD的垂直平分线上，
∴线段CD的垂直平分线与圆弧的交点即为点B′，
∴存在一处满足条件的点B′，即存在一个符合条件的α值，
综上，符合条件的α值有4个，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，旋转的性质，数形结合是解题的关键，注意分情况讨论．
12．如图，△ABC为等边三角形，AD⊥BC，且AD＝4，点E为线段AD的中点，把线段AE绕点A逆时针
旋转，连接BE，点F为线段BE的中点，在旋转过程中CF的最大值为 _____．
【答案】5
【分析】取AB的中点G，连接FG，由三角形中位线的性质得出FG＝ AE＝1，得出点F在以G为圆心，
1为半径的圆上，当CF经过圆心G时，CF最大，由等边三角形的性质得出CG＝AD＝4，进而求出CF的
值，得出答案．
【详解】解：如图，取AB的中点G，连接FG，∵AD＝4，点E为线段AD的中点，
∴AE＝ AD＝2，
∵点F为线段BE的中点，
∴FG是△ABE的中位线，
∴FG＝ AE＝1，
∴点F在以G为圆心，1为半径的圆上，
∴当CF经过圆心G时，CF最大，
∵△ABC为等边三角形，G是AB的中点，
∴CG⊥AB，
∵AD⊥BC，
∴CG＝AD＝4，
∴CF＝FG＋CG＝1＋4＝5，
∴CF的最大值为5．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，掌握三角形中位线的性质，旋转的性质，等边
三角形的性质，圆的定义是解决问题的关键．
13．如图， ， ， ， ， ，射线 交边 于点 ，点 为射
线 上一点，以 ， 为边作平行四边形 ，连接 ，则 最小值为______．
【答案】【分析】如图，延长 到 ，使得 ，连接 ，过点 作 于点 ．首先证明四边形
是平行四边形，推出 ，推出点 在射线 上运动，当点 与 重合时，
的值最小，求出 的长，可得结论．
【详解】解：如图，延长 到 ，使得 ，连接 ，过点 作 于点 ．
四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
， ， ，
， ，
，
，
，
，
，
点 在射线 上运动，当点 与 重合时， 的值最小，
在 中， ， ， ，
，．
的最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，直角三角形 度角的性质，勾股定理，垂线段最短等知识，
解题的关键是正确寻找点 的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题．
14．如图，在平面直角坐标系中有 ， 两点．将直线 ： 向上平移 个单位长度得到直
线 ，点 在直线 上，过点 作直线 的垂线，垂足为点 ，连接 ， ， ，则折线 的长
的最小值为______．
【答案】
【分析】先证四边形 是平行四边形，可得 ，则 ，即当点 ，
点 ，点 三点共线时， 有最小值为 的长，即 有最小值，即可求解．
【详解】解：如图，将点 沿 轴向下平移 个单位得到 ，以 为斜边，作等腰直角三角形 ，
则点 ，连接 ，是等腰直角三角形，
， ，
将直线 ： 向上平移 个单位长度得到直线 ，
， ，
， ，
，
， ，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
当点 ，点 ，点 三点共线时， 有最小值为 的长，即 有最小值，
点 ，点 ，
，
折线 的长 的最小值为 ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了轴对称 最短路线问题，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，一次函
数的应用，添加恰当辅助线构造平行四边形是解题的关键．
15．如图，△ABC中，点P为AC的中点，点G为BC边上任意一点，在△ABC绕点A旋转的过程中，点
G的对应点为G′，若AC＝4，AB＝4 ，∠ABC＝30°，则线段PG′的取值范围为________．
【答案】
【分析】利用特殊位置求出PG'的最大值和最小值，即可求解．
【详解】解：根据题意得：AD=AB＝4 ，AE=AC=4，
如图，过点A作AH⊥BC于点H，
∵AB＝4 ，∠ABC＝30°，
∴ ，
∵点P为AC的中点，AC＝4，
∴AP=2，当点G与点H重合时，在△ABC绕点A旋转的过程中，点G'在线段AP的延长线上时，
此时 ，∴ ，
即PG'的最小值为 ；
当点G与点B重合时，在△ABC绕点A旋转的过程中，点G'在线段PA的延长线上时，
此时 ，
∴ ，
即PG'的最大值为 ，
∴线段PG′的取值范围为 ．
故答案为：
【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，利用特殊位置求出PG'的最大值和最小值是解题的
关键．16．如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝1，CD ，若BD恰好平分∠ABC，则BD
之长为 _____．
【答案】
【分析】过点D作DE⊥BD，交BC的延长线于E，作CH⊥DE于H，利用ASA证明△ABD≌△CED，得
AB=CE=1，再利用勾股定理求出DH的长，从而解决问题．
【详解】解：过点D作DE⊥BD，交BC的延长线于E，作CH⊥DE于H，
∵∠ADC=∠BDE=90°，
∴∠ADB=∠CDE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBE=∠ABD=45°，
∴BD=DE，
∴∠E=∠ABD=45°，
∴△ABD≌△CED（ASA），
∴AB=CE=1，
∴CH=EH= ，
在Rt DCH中，由勾股定理得， ，
△∴DE=DH+EH ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作
辅助线构造全等三角形是解题的关键．
17．如图，线段 、 （ ）的长是方程 的两根，点P是y轴正半轴上一点，连接
，以点 为中心，将线段 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ，当线段 取最小值时点 的坐
标是__________，此时线段 的最小值为__________．
【答案】
【分析】先求出一元二次方程的解得出 ， ，AB=2，以AB为斜边的构造等腰直角三角形
MAB，连接MP，AQ，过点M作 交AB于点N，则 是等腰直角三角形，由题意得
是等腰三角形，根据等腰直角三角形的性质得 ，根据 则 ，根
据相似三角形的性质得 ，则当MP取得最小值时，BQ就取得最小值，根据垂线最短即可得．
【详解】解： ，
或∵线段OA、OB（OA<OB）的长是方程 的两根，
∴ ， ，AB=2，
如图所示，以AB为斜边的构造等腰直角三角形MAB，连接MP，AQ，过点M作 交AB于点N，
则MN=BN=AN=1，
∴点M的坐标为（-3，1），
∵PA以点P为中心，将线段PA顺时针旋转90°得到线段PQ，
∴ 是等腰三角形，
∴AP=QP， ， ，
又∵ 是等腰直角三角形，
∴AM=BM， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当MP取得最小值时，BQ就取得最小值，
∴ 时，MP取得最小值是3，此时BQ取得最小值 ，此时点P坐标为（0，1），
故答案为：（0，1）， ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质和垂线段最短，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点．
18．如图，在Rt ABC中，∠ACB=90°，BC=3 ，AC=4 ，∠CAB与∠CBA的平分线交于点P，点
△
D、E分别是边AC、BC上的点（均不与点C重合），且满足∠DPE=45°，则点P到边AB的距离是
__________，△CDE的周长是__________．
【答案】
【分析】如图，作辅助线，构建正方形，证明四边形PMCH是正方形，则CM=CH=PH=PM，
∠MPH=90°，证明△PME≌△PHM'（SAS）和△DPM'≌△DPE（SAS），则△CDE的周长=CH+CM，计算
CH+CM=AC+BC-AB=2 ，可得结论．
【详解】解：如图，过点P作PG⊥AB于G，PH⊥AC于H，PM⊥BC于M，在AH上取一点M'，使
M'H=EM，连接PM'，
∵∠CAB与∠CBA的平分线交于点P，
∴PG=PM=PH，
∵∠PMC=∠C=∠PHC=90°，
∴四边形PMCH是正方形，
∴CM=CH=PH=PM，∠MPH=90°，
∵∠DPE=45°，∴∠MPE+∠DPH=45°，
在△PME和△PHM'中，
，
∴△PME≌△PHM'（SAS），
∴PE=PM'，∠MPE=∠HPM'，
∴∠HPM'+∠DPH=∠DPH+∠EPM=45°=∠DPE，
在△DPM'和△DPE中，
，
∴△DPM'≌△DPE（SAS），
∴DE=DM'=DH+HM'=DH+ME，
∴△CDE的周长=CD+CE+DE
=CD+CE+DH+EM
=CH+CM，
∵∠PGB=∠PMB=90°，∠PBG=∠PBM，
∴∠BPG=∠BPM，
∴BG=BM，
同理得：AG=AH，
Rt ACB中，∠C=90°，AC=4 ，BC=3 ，
△
由勾股定理得：AB= ，
∴AG+BG=AH+BM=5 ，
∵AC+BC=3 +4 =7 ，
∴CH+CM=AC+BC-AH-BM=7 -5 =2 ，
∴点P到边AB的距离是PG= ，△CDE的周长是2 ．故答案为： ，2 ．
【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用、角平分线的性质
等知识点，正确作辅助线，构建正方形PMCH是解题的关键．
19．如图，四边形 是平行四边形， ， ，点 在 上，且 ，点 为边
上的一动点，连接 ， ，将 沿直线 翻折，点 的对应点为点 ，连接 ，若点 ，点
，点 在同条直线上，则 的值为______．
【答案】
【分析】设 ， ，根据平行四边形性质及翻折性质可得 ， ，
，过点 任 于 ，过 作 于 ，延长 、 交于点 ，根据轴对称
性质及含30度角直角三角形性质可得 ， ，最后由勾股定理可得答案．
【详解】解：在平行四边形 中，
，
设 ， ，
，
， ，
由翻折可得， ， ， ，
过点 任 于 ，，
， ，
，
，
设 ，过 作 于 ，
则 ， ，
在直角三角形 中， ， ，
，
，
，
延长 、 交于点 ，
， ，
， ，
，
，
．
故答案为： ．
【点睛】此题考查的是翻折变换、平行四边形的性质、直角三角形性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解决此题关键．
20．如图 为等边三角形，点 是 边 上一点，且 ．将 绕点 按逆时针方
向旋转 后，若点 恰好落在初始等边 的边上，则 的值为______．
【答案】60或90
【分析】根据题意，分类讨论，当 点落在 边上时，证明 是等边三角形，则 ，
当 点落在 边上时，过点 作 ，根据含30度角的直角三角形的性质，求得 ，勾股定理求
得 , ，进而求得 ，根据勾股定理的逆定理证明 是直角三角形，进而求得 ．
【详解】①设 点落在 边上时的点为 ，如图，
由旋转的性质可得， ，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，
，
②设 点落在 边上时的点为 ，如图，依题意， ，
，
，
是等边三角形，
，
过点 作 于点 ，
，
，
在 中
，
在 中，
,
，
，
在 中，
，
，
，是 ，
，
，
综上所述， 或者 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，
勾股定理的逆定理，根据题意分类讨论是解题的关键．
21．如图，在直角坐标系中，O（0，0），A（7，0），B（5，2），C（0，2）一条动直线l分别与BC、
OA交于 点E、F，且将四边形OABC分为面积相等的两部分，则点C到动直线l的距离的最大值为____,
【答案】
【详解】分析：设M、N分别是OC，EF的中点，若直线l将梯形OABC分为面积相等的两部分，则根据
梯形的面积公式就可以求出CE+OF=6，由此可以得到MN=3，并且N是一个定点，若要C到l的距离最大，
则l⊥CN，此时点C到动直线l的距离的最大值就是CN的长．
详解：设M、N分别是OC，EF的中点.
∵O（0，0），A（7，0），B（5，2），C（0，2）,
∴OA=7,OC=2,BC=5,
∴S ABCD= .
梯形
若直线l将梯形ABCD分为面积相等的两部分，则S OCEF= S ABCD=6，
梯形 梯形
∴ ,
∴CE+OF=6,
∴MN=3,
∴N是一个定点
若要C到l的距离最大，则l⊥CN,此时点C到动直线l的距离的最大值就是CN的长.
在Rt CMN中，CM=1，MN=3
△
∴CN= .
故答案为 .
点睛：本题考查了梯形的面积公式，梯形的中位线，勾股定理等知识，根据题意确定出点N的位置是解答
本题的关键.
22．如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，∠ABC＝120°，AB＝6，BC＝13，将 BOC沿直线BD
翻折得到 BOF，BF交AD于点E，则 ＝____________．
【答案】
【分析】由折叠的性质可知，∠CBO＝∠OBE，再由平行四边形的性质，可得BE＝ED，过点B作
BG⊥AD于点G，在Rt ABG中，∠ABG＝30°，求出AG＝3，BG＝ ，设ED＝x，则BE＝x，GE＝10
△
﹣x，在Rt BEG中，由勾股定理得x2＝ +（10﹣x）2，解得x＝ ，可求S BED＝ ×DE×BG＝
△
△
．【详解】解：由折叠的性质可知，∠CBO＝∠OBE，
∵平行四边形ABCD，
∴BC∥AD，
∴∠BEA＝∠CBE＝2∠OBE，
∵∠BEA＝∠OBE+∠BDE，
∴∠OBE＝∠ODE，
∴BE＝ED，
过点B作BG⊥AD于点G，
∵∠ABC＝120°，
∴∠BAD＝60°，
∵AB＝6，
在Rt ABG中，∠ABG＝30°，
△
∴AG＝3，BG＝ ，
设ED＝x，则BE＝x，
∵BC＝13，
∴GE＝10﹣x，
在Rt BEG中，BE2＝BG2+GE2，
△
∴
解得x＝ ，
∴S BED＝ ×DE×BG＝ ，
△
故答案为： ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键在于
能够熟练掌握相关知识进行求解.
23．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8，点M为边BC的中点，P是直线AD上的一个动点，以MP
为边在MP右侧作Rt MPQ，且PM＝PQ，连结AM，AQ，则 AMQ周长的最小值为___．
【答案】 ＋
【分析】因为 AMQ的周长为AM＋AQ＋MQ，其中AM的长可以由直角 ABM中利用勾股定理求得，为
定值，所以只△需要求得AQ＋MQ的最小值即可，由题意可得，点A，M为△定点，Q为动点，即“一动两
定”问题，只需要找到动点Q的运动轨迹即可，过A作AM⊥AN，使AN＝AM，先证 MAN∽△MPQ，再
证 MAP∽△MNQ，得到∠MAP＝∠MNQ，延长NQ交直线AD于H，可以得到∠NH△O＝45°，则Q点在
经△过N点，且与直线AD夹角为45°的直线NH上运动，此题就变成了“在直线NH上找一点Q，使AQ＋
QM最小“的将军饮马问题，所以过A作关于NH的对称点K，连接KM交NH于Q，AQ＋MQ的最小值为
MK，利用勾股定理可求出KM的值，即可解决．
【详解】解：如图1，过A做AN⊥AM，使AN＝AM，连接MN，NQ，
则∠AMN＝∠ANM＝45°，
∵△MPQ是直角三角形，且PM＝PQ，
∴∠PMQ＝∠AMN＝45°，∠MAN＝∠MPQ＝90°，
∴△AMN∽△PMQ，∴ ，
∵∠AMN＝∠PMQ，
∴∠AMP＝∠NMQ，
∴△MAP∽△MNQ，
∴∠MAP＝∠MNQ，
延长MQ交AD于H，设AD与MN交于点O，
则∠AOM＋∠AMN＝∠NOH＋∠NHO，
∵∠AOM＝∠HOH，
∴∠NHO＝∠AMN＝45°，
∴直线NH与直线AD夹角为45°，
∴Q在经过N点且与直线AD夹角为45°的直线NH上运动，
如图2，过M作ME⊥AD于E，过N作NF⊥AD于F，
则∠AEM＝∠NFA＝90°，
∴∠NAF＋∠MAE＝∠MAE＋∠AME＝90°，
∴∠NAF＝∠AME，
在 AME与 NAF中，
△ △
，
∴△AME≌△NAF（AAS），
∴AE＝NF，EM＝AF，
∵M是BC的中点，BC＝8，
∴BM＝4，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABM＝∠BAD＝∠AEM＝90°，
∴四边形ABME是矩形，
∴NF＝AE＝BM＝4，EM＝AB＝AF＝5，
在直角 NHF中，∠NHF＝45°，
∴∠FN△H＝∠NHF＝45°，∴FH＝NF＝4，∴AH＝AF＋FH＝5＋4＝9，
在直角 ABM中，AM＝ ＝ ，
△
如图3，过A作关于直线NH的对称点K，连接KM交直线NH于点Q，
此时NH垂直平分AK，
则AQ＝QK，
∴AQ＋QM＋AM＝QK＋QM＋ ＝MK＋ 为 ABC的周长的最小值，
△
连接KH并延长交BC于T，
则∠KHN＝∠AHN＝45°，KH＝AH＝9，
∴∠AHK＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠MFK＝∠AHK＝90°，
∵∠MTK＝∠THA＝∠MEH＝90°，
∴四边形EMTH为矩形，
∴MT＝EH＝AH−AE＝8−4＝5，HT＝EM＝AB＝5，
在直角 MTK中，KT＝KH＋HT＝14，MT＝5，
△∴MK＝ ＝ ，
∴△AMQ的周长最小值为 ＋ ，
故答案为： ＋ ．
【点睛】本题考查了最短路径问题，如何将AQ＋QM的最小值问题转化为将军饮马问题是解决本题的关键，
找到动点Q的运动轨迹是解决本题的突破口．
24．将两个全等的等腰直角三角形纸片的斜边重合，按如图位置放置，其中∠A＝∠BCD＝90°，AB＝AD
＝CB＝CD＝2，将△ABD沿射线BD平移，得到△EGF，连接EC，GC．则EC＋GC的最小值为____．
【答案】
【分析】连接DE，直线AE，作点C关于直线AE的对称点H，连接DH，先证明四边形EGCD是平行四边
形，推出DE=CG，推出EC+GC=EC+ED=HE+ED≥DH，再证明四边形ABCD为正方形，从而H、A、C三
点共线，再用勾股定理求出HD即可．
【详解】解：如图，连接DE，直线AE，作点C关于直线AE的对称点H，连接DH，
∵将 ABD沿射线BD平移，得到 EGF，
∴GE△=CD且GE∥CD， △∴四边形GEDC为平行四边形，
∴ED=CG，
∴EC+GC=EC+ED=HE+ED≥DH，
∵CH⊥AE，AE∥BD，
∴CH⊥BD，
∵∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD=CB=CD=2，
∴四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，
∴H、A、C三点共线，
记HC与BD相交于M，
∴MD= BD，HM=3AM=3MD，
∵BD= ，
∴HD= ，
∴EC+GC的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查轴对称-最短路径问题，平行四边形的判定和性质，正方形的判定与性质，勾股定理．
解题的关键是连接DE，证明四边形EGCD是平行四边形，将EC+GC转化成HE+ED．
25．如图，点D，E是 ABC内的两点，且DE AB，连结AD，BE，CE．若AB＝9 ，DE＝2 ，BC
＝10，∠ABC＝75°，则AD+BE+CE的最小值为___________．【答案】
【分析】过 点作 交 于 ，将 绕点 逆时针旋转 ，得到△ ，过 作
交 延长线于 ，则 ， 都是等边三角形，可判断四边形 是平行四边形，由已知分别
可求 ， ，则 ， ，所以 ，则
，当 、 、 、 共线时， 有最小值为 的长，再由
， ，可得 ， ，在 中， ，在
△ 中， ，则 的最小值为 ．
【详解】解：过 点作 交 于 ，将 绕点 逆时针旋转 ，得到△ ，过 作
交 延长线于 ，
， 都是等边三角形，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
， ，
，
，
当 、 、 、 共线时， 有最小值为 的长，
， ，
， ，
在 中， ，
在 △ 中， ，的最小值为 ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称的性质，通过构造平行四边形、旋转三角形，确定
AD+BE+CE有最小值为CF'的长是解题的关键．
26．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是线段AB的三等
分点（AP＞BP），点C是x轴上的一个动点，连接BC，以BC为直角边，点B为直角顶点作等腰直角
△BCD，连接DP．则DP长度的最小值是___．
【答案】
【分析】过点B作BM⊥ 轴于点B，使BM=OB，利用SAS证得 BOC BMD，再证明M、D、A三点共
线，推出四边形AMBO是正方形，当且仅当PD⊥AM时，线段D△P的长度△取得最小值，利用勾股定理即可
求解．
【详解】解：过点B作BM⊥ 轴于点B，使BM=OB，连接DM，AD，∵直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴令 ，则 ；令 ，则 ；
∴点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(0，2)，
∴OA=OB=BM=2，
∵BM⊥ 轴，
∴∠OBM=90°，
∴点M的坐标为(2，2)，
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴BC=BD，∠CBD=90°，
∴∠CBD=∠OBM=90°，
∴∠CBD-∠OBD=∠OBM-∠OBD，
∴∠CBO=∠DBM，
在 BOC和 BMD，
△ △
，
∴ BOC BMD(SAS)，
∴△∠BOC=∠△BMD=90°，
∴BM⊥DM，
∴DM∥OB，
∵M、D、A三点的横坐标相同，都为2，
∴M、D、A三点共线，
∴四边形AMBO是正方形，
∴∠BAM=45°，∵AB= ，
点P是线段AB的三等分点（AP＞BP），
∴AP= AB= ，
当且当PD⊥AM时，线段DP的长度取得最小值，
此时， PAD为等腰直角三角形，
△
∴PD= AP= ，
∴线段DP长度最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一次函数的的图象与坐标轴的交点问题，正方形的判定和性质，等腰直角三角形的判
定和性质，全等三角形的判定和性质等知识点，证得四边形AMBO是正方形，以及当PD⊥AM时，线段
DP的长度取得最小值是解题的关键．
27．如图，在四边形 中， ，四边形 的面积为 ，连接对角线
，则 的最小值为______．
【答案】
【分析】连接AC，过点A作AH⊥BC于点H，利用直角三角形的性质和勾股定理求出相应线段，从而计算
出△ABC的面积，结合四边形ABCD的面积得到△ADC的面积，从而求出点D到AC的距离h，过点D作
DE∥AC交BC延长线于点E，过点C作DE 的对称点为F，连接EF，DF，BF，CF，过点F作FG⊥CE
于点G，结合对称的性质证明△CEF是等边三角形，利用勾股定理求出BF的长，根据对称的性质判断出
当且仅当B，D，F三点共线时，BD+CD取得最小值，即为BF即可．
【详解】解：如图，连接AC，过点A作AH⊥BC于点H，在△ABH中，∠AHB=90°，∠ABH=60°，AB=2，
∴∠BAH=30°，
∴BH= AB=1，
∴AH= ，
∵BC=4，
∴CH=BC-BH=3，
∴AC= ，
∴AC=2AH，
∴∠ACH=30°，
∵S ABC= ，S ABCD= ，
四边形
△
∴S ADC=S ABCD-S ABC= ，
四边形
△ △
设点D到AC的距离为h，
∴S ADC= ，
△
∴h=1，即点D到AC的距离为1，
过点D作DE∥AC交BC延长线于点E，作点C关于直线DE 的对称点F，
连接EF，DF，BF，CF，过点F作FG⊥CE于点G，
∵AC∥DE，
∴∠ACH=∠DEC=30°，由对称性可知：DC=DF，EC=EF，∠DEC=∠DEF=30°，
∴∠CEF=60°，
∴△CEF为等边三角形，
∴CE=CF=EF=2h=2，
∵FG⊥CE，
∴CG=EG=1，BG=BC+CG=5，
∴FG= ，
在△BGF中，∠BGF=90°，BF= ，
∵BD+CD=BD+DF≥BF，
∴当且仅当B，D，F三点共线时，
BD+CD取得最小值，即为BF，
∴BD+CD的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了对称的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，最值问题，直角三角形的性质，
多边形的面积，知识点较多，难度较大，解题的关键是作出辅助线，得出当且仅当B，D，F三点共线时，
BD+CD取得最小值．
28．如图，在 中， 为线段 上一点，将 沿 翻折，点 落在点 处，延
长 至点 连接 ，且 ，若 ，则 的值是___．
【答案】33
【分析】过O作OG⊥OA，过E作EG∥OA，交AB延长线于点H，可得四边形AOGH为矩形，结合折叠的性质，证明△OGE≌△ODE，可得四边形AOGH为正方形，设CD=CA=x，EG=ED=y，根据S BCE=
△
S ODE，得到 ①，在△CHE中，利用勾股定理得到 ②，两式相加减得到
△
， ，利用完全平方公式可得结果．
【详解】解：如图，过O作OG⊥OA，过E作EG∥OA，交AB延长线于点H，
则∠G=∠AOG=∠A=90°，
可得四边形AOGH为矩形，
由折叠可得：△OAC≌△ODC，
∴OA=OD，∠ODC=∠OAC，CD=CA，∠AOC=∠DOC，
∵∠COE=45°，∠AOG=90°，
∴∠AOC+∠EOG=45°，
又∠AOC=∠DOC，
∴∠EOG=∠EOD，
在△OGE和△ODE中，
，
∴△OGE≌△ODE（AAS），
∴OG=OD=OA，EG=ED，
∴四边形AOGH为正方形，
∴OG=GH=AH=OA=OD，∠G=∠OAC=∠ODE=90°，
设CD=CA=x，EG=ED=y，
则EH=GH-EG=OA-EG=8-y，CH=AH-AC=8-x，
BC=AB-CA=6-x，CE=GE=ED+CD=x+y，
∴S BCE= ，S ODE= ，
△ △
∴S BCE= S ODE，
△ △
∴ ，整理得： ，①
又在△CHE中， ，
∴ ，
整理的： ，②
①+②得： ，
②-①得： ，
∴ ，
故答案为：33．
【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，完全平方
公式，本题有一定难度，解题的关键是根据以上性质定理得到相等线段和相等角，从而表示出△BCE和
△ODE的面积．
29．如图，△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，AB＝4，D为BC上一动点，过D作DE⊥AC于点E，作
DF⊥AB于点F，连接EF，则EF的最小值为____．
【答案】【分析】连接AD，取AD的中点O，连接OE，OF，可得OF=OE=OA= AD，从而得
∠OEF=∠OFE=30°，EF= ，再求出AD的最小值，进而即可求解．
【详解】解：连接AD，取AD的中点O，连接OE，OF，
∵△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，
∴∠BAC=60°，
∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴OE，OF分别是 斜边上的中线，
∴OF=OE=OA= AD，
∴∠EOF=2∠EAO+2∠FAO=2∠BAC=120°，
∵OE=OF，
∴∠OEF=∠OFE=30°，
∴EF= ，即当AD最小时，EF的值最小，
∵当AD⊥BC时，AD最小，此时， 是等腰直角三角形，AD= ，
∴EF最小值= ，
故答案是： ．
【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，添加合适的辅助线，构造顶角为120°的等腰三角形，是解题的关键．
30．如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，连接AD、BE．CD＝2，BC＝1，若将△CDE绕点C顺时针
旋转，当点A、C、E在同一条直线上时，线段BE的长为____．
【答案】 或
【分析】分两种情况：①当点E在CA的延长线上时，②当点E在AC的延长线上时，分别画出图形，利用
勾股定理，求解即可．
【详解】解：∵BC＝1，△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，AC＝BC＝1，
∵△CDE是等边三角形，CD＝2，
∴CE＝CD＝2，
①当点E在CA的延长线上时，如图，过点B作BG⊥AC于G，则∠CBG＝ ∠ABC＝30°，
在Rt CBG中，∠CBG＝30°，BC＝1，
△
∴CG＝ BC＝ ，
根据勾股定理得，BG＝ ，
∴EG＝CE−CG＝2− ＝ ，在Rt BGE中，
△
根据勾股定理得，BE＝ ；
②当点E在AC的延长线上时，如图，过点B作BH⊥AC于H，则∠CBH＝ ∠ABC＝30°，
在Rt CBH中，∠CBH＝30°，BC＝1，
△
∴CH＝ BC＝ ，
根据勾股定理得，BH＝ ，
∴EH＝CE＋CH＝2＋ ＝ ，
在Rt BHE中，
△
根据勾股定理得，BE= ．
∴BE= 或 ．
故答案是： 或 ．
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，含30度
的直角三角形的性质，构造出直角三角形是解本题的关键．
31．如图，已知在 中， ， ， ． 为 所在平面内的一个动点，且满
足 ， 为线段 的中点，连结 ，则线段 长的最大值为______．【答案】
【分析】取BC的中点O，连接OA、OD，取AO中点M，连接CM、EM，根据三角形斜边上的中线性质
得出 ，再根据三角形中位线性质得出 ,然后根据勾股定理及角形斜边上的中线
性质得出 ，最后根据两点之间线段最短即可得出答案．
【详解】解：取BC的中点O，连接OA、OD，取AO中点M，连接CM、EM
在Rt CDB中，O为斜边BC的中点
△
在△AOD中，AE=DE，AM=OM
在Rt ACO中，AC=OC=2
△
在△CME中，即CE最大值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质、三角形中位线性质、勾股定理、两点之间线段最短等
知识点，熟练掌握性质定理和添加合适的辅助线是解题的关键．
32．如图，在 中， 延长 到点 ，延长 到点 ，使得 连接
，延长 交 于点 若 ，则 _____．
【答案】
【分析】过点 作 ，交 的延长线于 ，作 ，可得 是等边三角形， 是等
腰直角三角形，设 ，表示出两个等边三角形的边长，进而分别表示出 和 的长即可．
【详解】解：过点 作 ，交 的延长线于 ，作 于 ，
， ，
，，
是等边三角形，
，
， ，
是等边三角形，
在 中， ，
，
，
，
设 ，则 ， ，
， ，
，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，作 构造出等边 是解
题的关键．
33．如图，长方形 中， 点 是线段 上一动点，连接 ，则 的最小值
为_____．
【答案】
【分析】在 上方作 ，作 于 ，作 于 ，交 于 ，将 转化为，则 的最小值为 的长度，根据图形分别求 和 即可．
【详解】解：在 上方作 ，作 于 ，作 于 ，交 于 ，
，
，
当 、 、 三点共线时， 最小，即为 的长度，
， ，
，
， ，
， ，
．
的最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了线段和最小问题，通过作辅助线将线段和最小问题转化为求线段 的长度是关
键．
34．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图像分别交 ， 轴于点 ， ，将直线 绕点
按顺时针方向旋转45°，交 轴于点 ，则直线 的函数表达式是______．【答案】y=3x-2
【分析】根据已知条件得到A（-1，0），B（0，-2），求得OA=1，OB=2，过A作AF⊥AB交BC于F，过
F作FE⊥x轴于E，得到AB=AF，根据全等三角形的性质得到AE=OB=2，EF=OA=1，求得F（1，1），设
直线BC的函数表达式为：y=kx+b，解方程组于是得到结论．
【详解】解：∵一次函数y=-2x-2的图象分别交x、y轴于点A、B，
∴令x=0，得y=-2，令y=0，则x=-1，
∴A（-1，0），B（0，-2），
∴OA=1，OB=2，
过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，
∵∠ABC=45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AB=AF，∵∠OAB+∠ABO=∠OAB+∠EAF=90°，
∴∠ABO=∠EAF，
在△ABO和△FAE中，
，
∴△ABO≌△FAE（AAS），
∴AE=OB=2，EF=OA=1，
∴F（1，1），
设直线BC的函数表达式为：y=kx+b，
∴ ，解得 ，
∴直线BC的函数表达式为：y=3x-2，
故答案为：y=3x-2．
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，
正确的作出辅助线是解题的关键．
35．如图，四边形ABCD是正方形，AE⊥BE于点E，且AB＝13k，AE＝5k，设阴影部分的面积为S，则S
与k的数量关系为 ___．
【答案】
【分析】利用勾股定理建立等式，间接算出阴影部分三角形以 为底的高即可．
【详解】解：过点 分别作 的垂线交于 ,如图所示：由题意知AE⊥BE于点E，且AB＝13k，AE＝5k，
，
设 ，
，
由勾股定理得： ，
即： ，
解得： ，
，
，且AB⊥BC，
四边形 为矩形，
，
，
则S与k的数量关系为 ，
故答案是：
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是：作适当辅助线，在直角三角形中利用勾股定理
建立等式，求出阴影部分三角形以 为底的高．
