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期末考试点对点压轴题训练（三）（B卷24题）
1．2022年北京冬奥会和冬残奥会吉祥物分别为“冰墩墩”和“雪容融”，两个吉祥物玩偶非常畅销．某
网店计划购进一种“冰墩墩”和“雪容融”玩偶共10000个进行直播销售，其中“冰墩墩”玩偶进价40
元/个，“雪容融”玩偶进价30元/个，经预算，此次购买两种玩偶一共至少需要360000元．“冰墩墩”
玩偶售价80元/个，“雪容融”玩偶售价60元/个．
(1)计划购买“冰墩墩”玩偶最少是多少个？
(2)在直播销售过程中发现“冰墩墩”玩偶很畅销，每天可销售1000个，“雪容融”玩偶每天仅销售20个，
于是该网店决定将“雪容融”玩偶降价促销，经调查发现，“雪容融”玩偶每降价1元，每天可多销售2
个，若想“雪容融”玩偶每天盈利800元，则每个“雪容融”玩偶应降价多少元？
【答案】(1)6000；(2)10
【分析】（1）可设计划购买“冰墩墩”玩偶x个，则“雪容融”玩偶玩偶（10000-x）个，根据购买两种
玩偶一共至少需要360000元，列出不等式计算即可求解；
（2）设每个“雪容融”玩偶应降价y元，根据“雪容融”玩偶每天盈利800元，列出方程计算即可求解．
【详解】（1）解：设计划购买“冰墩墩”玩偶x个，则“雪容融”玩偶玩偶（10000-x）个，根据题意得：
，
解得 ，
答：计划购买“冰墩墩”玩偶最少是6000个；
（2）解：设每个“雪容融”玩偶应降价y元，依题意有：
，
解得 ，
答：每个“雪容融”玩偶应降价10元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相
应的方程和不等式．
2．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船成功返回地球，三名航天员在空间站工作生活了183天，刷新
了中国航天员单次飞行任务太空驻留时间的纪录，这也激发航天纪念品的购买热潮．某纪念品专营店准备
采购神舟飞船模型和航天纪念币两种产品，如表是相关销售信息：
产品 神舟飞船模型 航天纪念币
进价（元/件） 28 14售价（元/件） 38 20
(1)若该店5月份购进两种纪念品共花费5600元，全部售出后共获得销售额7800元，则该店分别购进两种
产品各多少件？
(2)由于销售火爆，该店6月份又准备购进这两种纪念品共500件，且航天纪念币的进货量不少于神舟飞船
模型进货量的3倍，为了促销，该店决定神舟飞船模型每件降价3元，航天纪念币每件降价2元，设6月
购进神舟飞船模型m件，所获利润为w元，请设计一种进货方案，使得6月份该店利润w为最大．
【答案】(1)购进神舟飞船模型100件，购进航天纪念币200件
(2)当购进神舟飞船模型125件，购进航天纪念币375件，使得6月份该店利润w为最大
【分析】（1）设购进神舟飞船模型a件，购进航天纪念币b件，根据题意列出方程组，解之即可；
（2）设6月购进神舟飞船模型m件，所获利润为w元，则购进航天纪念币（500−m）件，根据题意可知，
w＝（38−28−3）m＋（20−14−2）（500−m）＝3m＋200，根据“航天纪念币的进货量不少于神舟飞船模型
进货量的3倍”可得m≤125且m为正整数，因为3＞0，所以w随m的增大而增大，可知当m＝125时，w
最大，最大值为575，由此可得出结论．
【详解】（1）解：设购进神舟飞船模型a件，购进航天纪念币b件，根据题意可知：
，
解得： ，
答：购进神舟飞船模型100件，购进航天纪念币200件．
（2）解：设6月购进神舟飞船模型m件，所获利润为w元，则购进航天纪念币（500−m）元，根据题意可
知：
w＝（38−28−3）m＋（20−14−2）（500−m）＝3m＋2000，
∵500−m≥3m且m为正整数，
∴m≤125且m为正整数，
∵3＞0，∴w随m的增大而增大，
∴当m＝125时，w最大，最大值为2375，此时500−m＝375，
答：当购进神舟飞船模型125件，购进航天纪念币375件，使得6月份该店利润w为最大．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，要能根据题意列出不等式组，
关键是根据不等式组的解集，求出获利的最大值．
3．为了更好的宣传成都大运会，某学校预算 元的资金购买甲，乙两种型号的大运会吉祥物“蓉宝”玩具摆放在学校各处，已知乙种比甲种每件便宜 元，如果其中 元购买甲种玩具，其余资金购买乙种
玩具，刚好能将预算花完，且购买乙种的数量是甲种的 倍．
(1)求甲，乙两种玩具的单价；
(2)购买当日，正逢“大运会走进群众”活动搞促销，所有玩具均按原价八折销售，学校调整了购买方案：
不超过预算资金，购买甲种玩具的数量不少于 件，且甲，乙两种玩具数量之和 件；问购买甲，乙两
种玩具有哪几种方案？
【答案】(1)甲种玩具的单价为 元，乙种玩具的单价为 元
(2)有两种购买方案：方案一：购买甲种玩具 件，乙种玩具 件；方案二：购买甲种玩具 件，乙种玩
具 件
【分析】 设乙种玩具的单价为 元，则甲种玩具的单价为 元，根据“预算资金为 元，其中
元购买 种商品，其余资金购买乙种玩具，且购买乙的数量是甲种的 倍”列分式方程，解方程即可；
设购买甲种玩具 件，则购买乙种玩具 件，根据“购买甲种玩具的数量不少于 件”列一元
一次不等式组，求出 的取值范围，取整即可确定购买方案．
【详解】（1）解：设乙种玩具的单价为 元，则甲种玩具的单价为 元，
根据题意，得 ，
解得 ，
经检验， 是原分式方程的根，
元 ，
答：甲种玩具的单价为 元，乙种玩具的单价为 元；
（2）设购买甲种玩具 件，则购买乙种玩具 件，
根据题意，得 ，
解得 ，
为正整数，
的值为 ， ，
有两种购买方案：
方案一：购买甲种玩具 件，乙种玩具 件；方案二：购买甲种玩具 件，乙种玩具 件．
【点睛】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式组的应用，理解题意并根据题意建立关系式是解题
的关键．
4．我区盛产新都柚，因其果形靓丽，品质优良，口感上佳而成为本地食用和馈赠的佳品，是四川省名优
果品之一．已知甲，乙两果园今年预计新都柚的产量分别为100吨和150吨，打算成熟后运到A，B两个
冷藏仓库存放．已知A仓库可储存120吨，B仓库可储存130吨，从甲果园运往A，B两处仓库的费用分别
为每吨18元，20元，从乙果园运往A，B两处仓库的费用分别为每吨15元，18元．设从甲果园运往A仓
库的新都柚重量为x吨，甲，乙两果园运往两仓库的新都柚运输费用分别为 元， 元．
(1)请根据题意表示出 ， 的函数关系式；
(2)甲果园今年打算拿出不超过1900元的费用作为运费，乙果园今年打算拿出不超过2600元的费用作为运
费，在这种情况下，甲果园运往A仓库多少吨时，才能使两果园的运费之和最小？并求出最小值．
【答案】(1)y =2000-2x；y =3x+2340
甲 乙
(2)甲果园运往A仓库50吨时，才能使两果园的运费之和最小，最小值为4390元
【分析】（1）设甲果园运往A冷库的新都柚质量为x吨，则运往B仓（100-x）吨，乙农户运往A仓库的
西红柿质量为（120-x）吨，运往B仓（x+30）吨，根据费用等于吨数×每吨的费用，即可写出函数解析式；
（2）求得x的范围，把总费用表示为x的函数，根据函数的性质求解．
（1）
解：设甲农户运往A仓库的新都柚质量为x吨，则运往B仓（100-x）吨，乙农户运往A仓库的西红柿质量
为（120-x）吨，运往B仓（x+30）吨，
则为y =18x+20（100-x），即y =2000-2x；
甲 甲
y =15（120-x）+18（x+30），即y =3x+2340；
乙 乙
（2）
解：由题意得： ，
解得：50≤x≤ ，
设两果园运费之和为w，则w=2000-2x+3x+2340=x+4340，
∵1＞0，
∴w随x的增大而增大．∴当x=50时，w最小=50+5340=4390（元）．
∴甲果园运往A仓库50吨时，才能使两果园的运费之和最小，最小值为4390元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，求实际问题的最值问题，常用的方法就是转化为函数问题，正确表
示出从甲农户和乙农户运送到A和B各自的吨数是关键．
5．我市从 2018 年 1 月 1 日开始，禁止燃油助力车上路，于是电动自 行车的市场需求量日渐增多．某
商店计划最多投入 8 万元购进 A、B 两种型号的 电动自行车共 30 辆，其中每辆 B 型电动自行车比每
辆 A 型电动自行车多 500 元．用 5 万元购进的 A 型电动自行车与用 6 万元购进的 B 型电动自行车数
量一 样．
（1）求 A、B 两种型号电动自行车的进货单价；
（2）若 A 型电动自行车每辆售价为 2800 元，B 型电动自行车每辆售价为 3500 元，设该商店计划购进
A 型电动自行车 m 辆，两种型号的电动自行车全部销售 后可获利润 y 元．写出 y 与 m 之间的函数关
系式；
（3）该商店如何进货才能获得最大利润；此时最大利润是多少元．
【答案】（1）A、B 两种型号电动自行车的进货单价分别为 2500 元 3000 元；（2）y=﹣200m+15000
（20≤m≤30）；（3）m=20 时，y 有最大值，最大值为 11000 元．
【分析】（1）设 A、B 两种型号电动自行车的进货单价分别为 x 元、（x+500）元，根据用 5 万元购进
的 A 型电动自行车与用 6 万元购进的 B 型电动自行车数量一 样，列分式方程即可解决问题；
（2）根据总利润=A 型的利润+B 型的利润，列出函数关系式即可；
（3）利用一次函数的性质即可解决问题．
【详解】解：（1）设 A、B 两种型号电动自行车的进货单价分别为 x 元、（x+500） 元，
由题意： = ，
解得：x=2500，
经检验：x=2500 是分式方程的解，
答：A、B 两种型号电动自行车的进货单价分别为 2500 元 3000 元；
（2）y=300m+500（30﹣m）=﹣200m+15000（20≤m≤30）；
（3）∵y=300m+500（30﹣m）=﹣200m+15000，
∵﹣200＜0，20≤m≤30，∴m=20 时，y 有最大值，最大值为 11000 元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用等知识，读懂题意，找准等量关系列出方程，找准
数量关系列出函数关系是解题的关键．
6．成都是一座休闲又充满幸福感的城市，眼下露营正成为成都人民一种新的周末休闲娱乐方式，经营户外用品店的小明决定采购一批帐篷进行销售，已知防晒帐篷的采购价是普通帐篷的2倍，且用4500元购买
的防晒帐篷比用1500元购买的普通帐篷多5件．
(1)求防晒帐篷和普通帐篷的采购价；
(2)小明准备拿出7500元全部用于采购防晒帐篷和普通帐篷并进行销售，设防晒帐篷采购a件，普通帐篷采
购b件．
①用含a的式子表示b；
②经过市场调研，小明决定将防晒帐篷售价定为380元/件，普通帐篷售价定为180元/件．若采购的普通
帐篷不超过30件且采购的普通帐篷数量多于防晒帐篷数量，为了使销售完采购的帐篷时所获得的利润最大，
请你为小明制定采购方案并求出最大利润．
【答案】(1)普通帐篷为150元/件，防晒帐篷为300元/件
(2)① ；②小明采购防晒帐篷16件，普通帐篷18件，此时获得最大利润为1820元
【分析】（1）设普通帐篷为x元/件，则防晒帐篷为2x元/件，根据4500元购买的防晒帐篷-5件=用1500
元购买的普通帐篷数，列出方程，解方程即可；
（2）①根据防晒帐篷采购a件+普通帐篷采购b件=7500元，列出关于a、b的关系式即可；
②设利润为w元，根据利润=售价-进价，用a表示出w，并根据不等关系列出关于a的不等式，求出a的取
值范围，根据一次函数的性质，结合a的取值范围，求出结果即可．
【详解】（1）解：设普通帐篷为x元/件，则防晒帐篷为2x元/件，
由题知： ，解得： ，经检验： 时方程左边=右边，
∴原分式方程的解为 ，∴防晒帐篷 （元/件），
（2）① ，∴ ；
②设利润为w元，∴ ，∴ ，
∵ ，∴w随a的增大而增大，又∵a为整数，∴ 时，最大利润 （元），
方案为：防晒帐篷16件，普通帐篷18件．
答：小明采购防晒帐篷16件，普通帐篷18件，此时获得最大利润为1820元．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一次函数的应用，根据题意找出等量关系，列出方程，是解题
的关键，注意分式方程的解要进行检验．
7．为进一步落实“德、智、体、美、劳”五有并举工作，某中学以体有为突破口，准备从体育用品商场
一次性购买若干个足球和篮球，用于学校开展球类活动，已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍．
(1)足球和篮球的单价各是多少元？
(2)根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，总费用不超过15600元，学校最多可以购买多
少个篮球？
【答案】(1)足球的单价是60元，篮球的单价是90元
(2)120个
【分析】（1）设足球的单价是 元，则篮球的单价是 元，由题意：用1200元购买足球的数量是
用900元购买篮球数量的2倍，列出分式方程，解方程即可；
（2）设学校可以购买 篮球，则可以购买 个足球，由总价 单价 数量，且购买足球和篮球的总
费用不超过15600元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：设足球的单价是 元，则篮球的单价是 元，
依题意得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
．
答：足球的单价是60元，篮球的单价是90元．
（2）设学校可以购买 个篮球，则可以购买 个足球，
依题意得： ，
解得： ，
答：学校最多可以购买120个篮球．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，
正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
8．2022年5月18日，成都市政府正式发布了《成都建设践行新发展历年的公园城市示范区行动计划
（2021-2025年）》．某学校同学为此积极设计了两款文创产品共100件．其中1件A产品与1件B产品，
需成本25元；3件A产品与2件B产品，需成本60元．
(1)这两款文创产品的成本分别是多少元？
(2)同学们决定将这两款文创产品拿到社区公园销售，销售计划如下：投入资金不超过1300元，利润不低于4500元；A产品定价50元/件，B产品定价65元/件，同学们怎么分配设计两种文创产品的数量，才能
使销售这100件文创产品获得的利润最大？求出此时A产品和B产品的数量，以及最大利润是多少？
【答案】(1)A产品的成本是10元，B产品的成本是15元
(2)A产品的数量为40件，B产品的数量为60件时，最大利润为4600元
【分析】（1）可设A产品的成本是x元，B产品的成本是y元，从而可列出二元一次方程组进行求解；
（2）可设A产品的数量为m，则B产品的数量为（100-m），从而可得到一元一次不等式组，解不等式组
即可．
（1）解：设A产品的成本是x元，B产品的成本是y元，
依题意得： ，
解得： ，
答：A产品的成本是10元，B产品的成本是15元；
（2）
设A产品的数量为m件，则B产品的数量为（100-m）件，
由题意得： ，
解得： ，
故不等式组的解集为：40≤m≤50，
利润为：（50-10）m+（65-15）×（100-m）=-10m+5000，
当m=40时，其利润最大，为：-10×40+5000=4600（元），
则B产品的数量为：100-40=60（件），
答：A产品的数量为40件，则B产品的数量为60釿时，其最大利润为4600元．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的应用，二元一次方程组的应用，解答的关键是理解清楚题意，
找到相应的等量关系．
9．“爱成都，迎大运”，为迎接即将在成都举行的第31届世界大学生夏季运动会，倡导全民参与健身活
动，新都某社区准备购置甲、乙两种健身器材．已知，若购买1台甲器材，2台乙器材共需资金12000元，
且一台乙器材的价格是一台甲器材价格的1.5倍．（1）求甲、乙健身器材的单价各是多少元？
（2）现社区准备购买两种型号的器材共8台，购买总资金不超过33000元，并且甲器材的数量不超过乙器
材数量的2倍．试问一共有几种购买方案？请写出所有购买方案．
（3）若甲器材一年的维护费用是200元，乙器材一年的维护费用是300元．请问（2）小题中的所有购买
方案中，哪种方案的一年两种器材总维护费用 最少，并算出最少维护费用 是多少元．
【答案】（1）甲健身器材的单价是3000元，乙健身器材的单价是4500元；（2）一共有4种购买方案，
方案1：购买甲健身器材2台，乙健身器材6台；方案2：购买甲健身器材3台，乙健身器材5台；方案
3：购买甲健身器材4台，乙健身器材4台；方案4：购买甲健身器材5台，乙健身器材3台；（3）方案4
一年两种器材总维护费用W最少，最少维护费用是1900元．
【分析】（1）设甲健身器材的单价是x元，乙健身器材的单价是y元，根据“购买1台甲器材，2台乙器
材共需资金12000元，且一台乙器材的价格是一台甲器材价格的1.5倍”，即可得出关于x，y的二元一次
方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买甲健身器材m台，则购买乙健身器材（8-m）台，根据“购买总资金不超过33000元，并且甲
器材的数量不超过乙器材数量的2倍”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范
围，再结合m为整数即可得出各购买方案；
（3）利用总维护费用=每台设备的维护费用×购买数量，即可得出W关于m的函数关系式，再利用一次函
数的性质即可解决最值问题．
【详解】解：（1）设甲健身器材的单价是x元，乙健身器材的单价是y元，
依题意得： ，
解得： ，
答：甲健身器材的单价是3000元，乙健身器材的单价是4500元．
（2）设购买甲健身器材m台，则购买乙健身器材（8-m）台，
依题意得： ，
解得：2≤m≤ ，
∵m为整数，
∴m可以为2，3，4，5，∴一共有4种购买方案，
方案1：购买甲健身器材2台，乙健身器材6台；
方案2：购买甲健身器材3台，乙健身器材5台；
方案3：购买甲健身器材4台，乙健身器材4台；
方案4：购买甲健身器材5台，乙健身器材3台．
（3）依题意得：W=200m+300（8-m）=-100m+2400．
∵-100＜0，
∴W随m的增大而减小，
∴当m=5时，W取得最小值，最小值=-100×5+2400=1900．
答：方案4一年两种器材总维护费用W最少，最少维护费用是1900元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键
是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不
等式组；（3）根据各数量之间的关系，找出W关于m的函数关系式．
10．三星堆遗址最新出土的“黄金大面具”来自5号坑，由四川省文物考古研究院与四川大学考古文博学
院联合发掘为保护文物，特别设计了A、B两种型号的运土车．已知2辆A型运土车与3辆B型运土车一
次共运输土方31立方米，5辆A型运土车与6辆B型运土车一次共运输土方70立方米．
（1）一辆A型运土车和一辆B型运土车一次各运输土方多少？
（2）考古专家组决定派出A、B两种型号运土车共20辆参与运输土方，若每次运输土方总量不小于148
立方米，且B型运土车至少派出2辆，则有哪几种派车方案？
【答案】（1）一辆A型运土车一次运输8立方米，一辆B型运土车一次运输5立方米；（2）有三种派车
方案，第一种方案：A型运土车18辆，B型运土车2辆；第二种方案：A型运土车17辆，B型运土车3辆；
第三种方案：A型运土车16辆，B型运土车4辆．
【分析】（1）设一辆A型运土车一次运输x立方米，一辆B型运土车一次运输y立方米，，根据题意列出
关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设考古专家组决定派出A、B两种型号运土车分别为a辆、（20-a）辆，根据题意可以列出不等式组，
求出a的取值范围，从而可以求得有几种方案．
【详解】解：（1）设一辆A型运土车一次运输x立方米，一辆B型运土车一次运输y立方米，
由题意得：解得 ，
答：一辆A型运土车一次运输8立方米，一辆B型运土车一次运输5立方米；
（2）设考古专家组决定派出A、B两种型号运土车分别为a辆、（20-a）辆，
由题意可得：
解得：16≤a≤18，
故有三种派车方案：
第一种方案：A型运土车18辆，B型运土车2辆；
第二种方案：A型运土车17辆，B型运土车3辆；
第三种方案：A型运土车16辆，B型运土车4辆．
答：有三种派车方案，第一种方案：A型运土车18辆，B型运土车2辆；第二种方案：A型运土车17辆，
B型运土车3辆；第三种方案：A型运土车16辆，B型运土车4辆．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，找出所求
问题需要的条件．
11．疫情期间为搞活经济，某街道拟建A，B两类摊位，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地
面积少3平方米．建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为50元．用120平方
米建A类摊位的个数恰好比用同样面积建B类摊位个数多2个．
（1）求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？
（2）该街道拟建A，B两类摊位共60个，且A类摊位的数量不少于B类摊位数量的2倍．求建造这60个
摊位的最大费用．
【答案】（1）每个A类摊位占地面积为12平方米，每个B类摊位占地面积为15平方米；（2）建造这60
个摊位的总费用为34200元
【分析】（1）每个B类摊位占地面积为x平方米，则A类摊位占地面积为 平方米，根据同等面积建
立A类和B类的关系列式即可；
（2）设建A类摊位 个，则 类 个，满足 ，设60个摊位总费用为y元，由（1）得A类
和B类摊位的建设费用，列出总费用的表达式，根据一次函数的性质进行讨论即可．
【详解】（1）解：设每个B类摊位占地面积为x平方米，则A类摊位占地面积为 平方米，根据题意得：
，
解得： ， .
经检验 ， 是原方程的解，但 不符合题意，舍去．
， .
答：每个A类摊位占地面积为12平方米，每个B类摊位占地面积为15平方米.
（2）设A类摊位有x个，则B类摊位为 个，且
，
解得： .
设60个摊位总费用为y元，则 ，
即 .
，
随x增大而减小，
当 时，y最大， （元）.
答：建造这60个摊位的总费用为34 200元．
【点睛】本题考查了列分式方程解应用题，一元一次不等式的解法，一次函数的实际应用问题，熟练的掌
握列分式方程解应用题，一元一次不等式的解法，一次函数的实际应用问题，以及各个量之间的关系进行
列式计算是解题的关键．
12．某商店购进A，B两种商品共140件进行销售．已知采购A商品10件与B商品20件共170元，采购A
商品20件与B商品30件共280元．
(1)求A，B商品每件进价分别是多少元？
(2)若该商店出售A，B两种商品时，先都以标价10元出售，售出一部分后再降价促销，都以标价的8折售
完所有剩余商品．其中以10元售出的商品件数比购进A种商品件数少20件．该商店此次降价前后销售
A，B两种商品共获利不少于360元，求商店至少购进A商品多少件？
(3)若采购这140件商品的费用不低于720元，不高于740元．然后将A商品每件加价2a元销售，B商品每
件加价3a元销售，140件商品全部售出的最大利润为768元．请直接写出a的值．
【答案】(1)A商品每件的进价为5元，B商品每件的进价为6元；
(2)至少购进A商品40件；
(3)a的值为2.4．【分析】（1）设A商品每件的进价为x元，B商品每件的进价为y元，根据“采购A商品10件与B商品
20件共170元，采购A商品20件与B商品30件共280元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之
即可得出结论；
（2）设至少购进A商品a件，根据购进A、B两种商品降价前后共获利不少于360元列出不等式解答即可；
（3）设销售利润为w元，购进A商品m件，则B商品（140-m）件，根据“购这140件商品的费用不低于
720元，不高于740元”列出不等式求解，得到m的取值范围，根据总利润=每件的利润×销售数量，即可
得出w关于m的函数关系式，利用一次函数的性质结合最大利润为768元，即可得出关于a的方程，解之
即可得出结论．
（1）
解：设A商品每件的进价为x元，B商品每件的进价为y元，
依题意得： ，
解得： ．
答：A商品每件的进价为5元，B商品每件的进价为6元；
（2）
解：设至少购进A商品a件，可得：
（a-20）×10+（140-a+20）×0.8×10-5a-6（140-a）≥360
解得：a≥40．
答：至少购进A商品40件；
（3）
解：设销售利润为w元，购进A商品m件，则B商品（140-m）件，
根据题意得720≤5m+6（140-m）≤740，
解得100≤m≤120，
∴w=2am+3a（140-m）=-am+420a，
∵a为正数，
∴-a＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=100时，w取得最大值，最大值为-a×100+420a=768，
∴a=2.4．答：a的值为2.4．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键
是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不
等式；（3）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
13．某商场售卖甲、乙两种不同的电视机，第一季度甲型电视机的售价比乙型电视机售价少 元，甲型
电视机销售额为 元，乙型电视机销售量是甲型电视机的两倍，且乙型电视机的销售额是甲型电视机
的 倍．
(1)求甲、乙两种电视机的售价；
(2)经过市场调查，两种电视机的售价和销售量均满足一次函数的关系，在第一季度的售价和销售量的基础
上，甲型电视机售价 元 与销售量 台 的关系如图所示，乙型电视机售价 元 与销售量 台 的关系
为 该商场计划第二季度再进一批甲、乙两种电视机共 台，且甲型电视机的进货数量不低
于乙型电视机的 倍，商场第二季度刚好售卖完这批电视机，销售额为 元．求第二季度甲的电视
机的销售量及售价．
【答案】(1)甲种电视机的售价为 元，乙种电视机的售价为 元；
(2)第二季度甲的电视机的销售量是 台，售价是 元 台．
【分析】 设乙种电视机的售价为 元，甲种电视机的售价为 元，利用乙型电视机的销售额是甲
型电视机的 倍列出方程即可求解；
设甲型电视机售价 元 与销售量 台 的关系为 ，待定系数法可得 ，设第二
季度甲的电视机的销售量是 台，则第二季度乙的电视机的销售量是 台，根据甲型电视机的进货
数量不低于乙型电视机的 倍，得 ，而商场第二季度刚好售卖完这批电视机，销售额为 元，
有 ，可解得 或 舍去 ，从而可得第二季度甲的电视机的销售量是 台，售价是 元 台．
【详解】（1）设乙种电视机的售价为 元，甲种电视机的售价为 元，
则 ，
解得： ，
经检验， 是方程的解，也符合题意，
，
答：甲种电视机的售价为 元，乙种电视机的售价为 元；
（2）由 知，第一季度甲种电视机售价是 元 台，销售量为 台 ，
由图象可知，当售价是 元 台时，销售量是 台，
设甲型电视机售价 元 与销售量 台 的关系为 ，
，
解得 ，
，
设第二季度甲的电视机的销售量是 台，则第二季度乙的电视机的销售量是 台，
甲型电视机的进货数量不低于乙型电视机的 倍，
，
解得 ，
商场第二季度刚好售卖完这批电视机，销售额为 元，
，
整理化简得 ，
解得 或 ，
，
舍去，
，此时 ，
答：第二季度甲的电视机的销售量是 台，售价是 元 台．
【点睛】本题考查分式方程和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式．
