文档文本内容
分层作业
2.2.2 有理数的除法
说明：ABC 三组为必做内容，拓展部分为选做。
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目 录
A 组 巩固过关.....................................................................................................................1
题型一、有理数的除法运算.......................................................1
题型二、有理数乘除混合运算.....................................................3
题型三、有理数乘除中的简便运算.................................................4
题型四、有理数的四则混合运算...................................................6
题型五、有理数四则混合运算的实际应用...........................................7
题型六、根据点在数轴的位置判断式子的正负......................................10
题型七、数轴上的翻折..........................................................10
B 组 能力进阶...................................................................................................................12
C 组 思维拔高...................................................................................................................14
拓展 衔接中考...................................................................................................................16
A 组 巩固过关
题型一、有理数的除法运算
1．（25-26 七年级上·河南驻马店·期末）有理数a，b 在数轴上对应点的位置如图所示，给出下列关系式：
①
0
ab <
；②
0
a
b
-
>
；③
0
a
b
+
>
；④
0
a
b
-
>
；⑤
0
a
b
a
b
+
=
．其中正确的是（ ）
A．①②③
B．①④⑤
C．②③
D．①②⑤
2．（25-26 七年级上·全国·课后作业）计算：
巩固过关
(1)
81
1
99 82
41
-
¸
；
(2)
7
49
7
11 ¸ -
．
3．（25-26 七年级上·广西崇左·期末）计算：
(1)
1404
2
7
7
-
¸
；
(2)
8
1.25
-
¸ -
；
(3)
4
24
( 8)
5
-
¸ -
；
(4)
4
1
24
(
)
5
10
¸ -
．
4．（25-26 七年级上·广西崇左·阶段检测）计算：
(1)( 20) 10
-
¸
；
(2)84
( 16)
¸ -
；
(3)( 105)
( 5)
-
¸ -
；
(4)( 3)
( 9)
-
¸ -
；
(5)
1
( 25)
5
-
¸
；
(6)
1
13
(
)
13
¸ -
．
题型二、有理数乘除混合运算
1．（25-26 七年级上·四川绵阳·期末）计算：
1
1
6
5
2
3
æ
ö
´
+
¸ -
=
ç
÷
è
ø
（ ）
A．1
-
B．1
C．5
D．
3
2 5
2．（24-25 七年级上·北京·期中）计算：
10
2
7
3
4
¸ -
+ -
´ -
- -
．
3．计算：
1
7
1
1
0.65
4.8
8
20
7
é
ù
æ
ö ¸
´
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
+
+
4．（25-26 六年级上·上海·期末）计算：1
6
3
1
7
2
29
20
4
æ
ö
æ
ö
´ -
¸
´ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
5．计算：
(1)
1
4
81
2
16
4
9
æ
ö
-
¸ -
´
¸ -
ç
÷
è
ø
；
(2)
1
1
2
3
1
2
2
3
æ
ö
æ
ö
-
¸ -
´
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
．
6．（24-25 七年级上·福建龙岩·阶段检测）计算：
(1)
1
1
3
1.25
5
2
æ
ö
æ
ö
-
´ +
¸ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
(2)
1
1
5
5
5
5
æ
ö
-
´ ¸ -
´ -
ç
÷
è
ø
7．（25-26 七年级上·吉林松原·期末）请仔细阅读下面的计算过程，并解答问题．
计算：
1
3
125
3
6
6
4
æ
ö
-
¸
-
-
´ -
ç
÷
è
ø
．
解：原式
25
125
6
12
= -
¸
´ -
…第一步
25
( 125)
2
æ
ö
= -
¸ -
ç
÷
è
ø …第二步
10
=
…第三步
(1)解答过程从第__________开始出错；
(2)请写出正确的计算过程．
题型三、有理数乘除中的简便运算
1．（25-26 六年级上·黑龙江绥化·期末）计算．
(1) 7
5
15
5
2
4
2
4
¸
+
¸
(2) 1
1
1
1
3
4
6
24
æ
ö
+
+
¸
ç
÷
è
ø
(3)
9
137 136
´
（用简便算法） (4) 2
6
0.375
9
7
´
¸
2．（25-26 七年级上·甘肃临夏·期中）数学老师布置了一道思考题：
“计算：
1
1
5
12
3
6
æ
ö
æ
ö
-
¸
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ，小明仔细思考了一番，用了一种特殊的方法解决了这个问题：原式的倒数为
1
5
1
1
5
12
4 10
6
3
6
12
3
6
-
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
¸ -
=
-
´ -
=
+
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
，所以
1
1
5
1
12
3
6
6
æ
ö
æ
ö
-
¸
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
请你运用小明的方法计算：
1
1
1
1
2
36
2
9
18
3
æ
ö
æ
ö
-
¸
+
-
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø．
3．（25-26 七年级上·江苏南京·阶段检测）请你仔细阅读下列材料并计算：
1
2
1
1
2
30
3
10
6
5
æ
ö
æ
ö
-
¸
-
+
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
解法：简便计算，先求其倒数
原式的倒数为：
2
1
1
2
1
2
1
1
2
30
20
3
5 12
10
3
10
6
5
30
3
10
6
5
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
+
-
¸ -
=
-
+
-
´ -
= -
+ - +
= -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
故
1
2
1
1
2
1
30
3
10
6
5
10
æ
ö
æ
ö
-
¸
-
+
-
= -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算：
1
3
3
1
2
56
8
14
2
7
æ
ö
æ
ö
-
¸
-
+
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø .
4．学习本节知识后，薛老师给同学们出了这样的两道题：
①
1
1
1
1
3
2
4
24
æ
ö
æ
ö
-
+
-
¸ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ；
②
1
1
1
1
24
3
2
4
æ
ö
æ
ö
-
¸ -
+
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ．
下面是小刚和小明做的过程：
小刚：解：①原式
1
1
1
24
8 12
6
2
3
2
4
æ
ö
= -
+
-
´ -
=
-
+
=
ç
÷
è
ø
．
小明：解：②原式
1
1
5
3
2
4
5
24
24
24
æ
ö
æ
ö
= -
´ - +
-
= -
´ -
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
．
请回答：
(1)小刚和小明的解题都对吗？如果不对，请写出正确的计算过程；
(2)小华是个爱动脑筋的好学生，他观察了①、②这两个式子是互为倒数的关系，故先求出①式的结果，即
可得到②式的结果，你认为他的思路正确吗？
(3)如果你认为小华是正确的，请试着计算：
1
1
1
7
1
1
1
7
1
1
72
8
24
36
72
8
24
36
72
72
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
¸
+
-
-
+
+
-
-
¸ -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø ．
题型四、有理数的四则混合运算
1．（25-26 七年级上·福建漳州·期末）要使算式2 | 5 3|
+ - W
的结果最大，则“□”内应填入的运算符号为（ ）
A．+
B．-
C．´
D．¸
2．（25-26 七年级上·辽宁大连·阶段检测）定义新运算
a
b
ad
bc
c
d =
-
，则
3
1
2
4
- =
-
______________．
3．（24-25 七年级上·安徽合肥·开学考试）计算：5
1
3
3
1
30
6
5
10
7
3
æ
ö
æ
ö
+
-
´
¸
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
4．（24-25 七年级上·安徽合肥·开学考试）计算：
1
1
3.5 1
6.5
12
1
0.3
15%
3
3
é
ù
æ
ö
¸
+
´
´
-
-
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
5．（25-26 七年级上·辽宁大连·阶段检测）计算：
(1)
1
6 2
3
æ
ö
- ´ ¸ -
ç
÷
è
ø
(2)
1
2
1
0.75
3
3
4
æ
ö
-
+ -
+ -
+
ç
÷
è
ø
(3)
97
98
2
98 ´ -
(4)
5
5
5
4
2
7 2
11
2
9
9
9
æ
ö
æ
ö
´ -
- ´
+
´ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
6．（25-26 七年级上·山东聊城·阶段检测）计算：
(1)
5
1
19
25
3
3
8
12
8
12
-
+
-
-
；
(2)
3
5
6
4
- + -
- -
- -
；
(3) 2
2
8
3
2
1
0.25
5
5
21
4
æ
ö
æ
ö
¸ -
-
´ -
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
(4)
1
5
7
2
36
2
9
12
æ
ö
-
-
+
´ -
ç
÷
è
ø
题型五、有理数四则混合运算的实际应用
1．（25-26 七年级上·浙江宁波·期末）如图，一把刻度尺放在数轴上，发现数轴上表示数1
- 和3 的点分别与
刻度尺上1cm 和4.8cm的刻度线对应，则数轴上1 个单位的长度是（ ）．
A．0.95cm
B．1cm
C．1.2cm
D．1.6cm
2．（25-26 七年级上·河南周口·期末）我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中提到：一年有二十四个节
气，每个节气的晷（guǐ）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二
十四节气如图所示．从冬至到夏至晷长逐渐变小，从夏至到冬至晷长逐渐变大，相邻两个节气晷长减少或
增加的量均相同，周而复始．若秋分的“晷长”是7.5尺，霜降的“晷长”是9.5尺，则小雪的“晷长”是_________
尺．
3．（25-26 七年级上·辽宁大连·阶段检测）某便利店一周每日营业额以 500 元为标准，超出记正、不足记负：
周一：28
-
周二：35
+
周三：16
-
周四：42
+
周五：9
- 周六：50
+
周日：22
+
(1)求该便利店这一周平均每天营业额多少元；
(2)每天固定成本200 元，超出500 元的部分按15% 额外盈利，求这周总盈利多少元．
4．（25-26 七年级上·湖北宜昌·期中）如图，A ，B 两点在数轴上对应的数分别为a ，b ，且点A 在点B 的左
边，
10
a =
，
80
a
b
+
=
，
0
ab <
．
(1)求出a ，b 的值；
(2)现有一只电子蚂蚁P 从点A 出发，以3个单位长度/ 秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q 从点B 出
发，以2 个单位长度/ 秒的速度向左运动．
①设两只电子蚂蚁在数轴上的点C 相遇，求出点C 对应的数是多少？
②经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20 个单位长度？
5．（25-26 七年级上·湖南岳阳·期中）岳阳楼区某中学积极倡导阳光体育运动，为提高中学生身体素质，举
行了排球垫球比赛．如表为七年级某班50 人参加排球垫球比赛的情况，若标准数量为每人垫球30 个．
垫球个数与标准数量的差值
12
-
5
-
0
8
10
15
人数
5
16
11
5
9
4
(1)求这个班50 人平均每人垫球多少个？
(2)规定垫球达到标准数量记0 分，规定垫球超过标准数量，每多垫1 个加2 分；规定垫球未达到标准数量，
每少垫1 个，扣1 分，求这个班垫球总共获得多少分？
6．如图一根木棒放在数轴上，数轴的1 个单位长度为1cm ，木棒的左端与数轴上的点A 重合，右端与点B
重合．
(1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B 时，它的右端在数轴上所对应的数为20；若将
木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A 点时，则它的左端在数轴上所对应的数为5，由此可得到
木棒长为 cm ．
(2)图中点A 所表示的数是 ，点B 所表示的数是 ．
(3)由题（1）（2）的启发，请你借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：
一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40
年才出生；你若是我现在这么大，我已经125 岁，是老寿星了，哈哈！”，请求出爷爷现在多少岁了？
题型六、根据点在数轴的位置判断式子的正负
1．（25-26 七年级上·四川宜宾·期中）点A，B 在数轴上的位置如图所示，其对应的有理数分别是a 和b．对
于下列四个结论：①
0
b
a
-
>
；②a
b
<
；③
0
a
b
+
>
；④
1
b
a > - ．其中正确的是（ ）
A．①②③④
B．①②③
C．①③④
D．②③④
2．（25-26 七年级上·福建泉州·期末）如图，数轴上的点A 、B 分别表示数a 、b ，下列结论成立的是（ ）
A．
0
a
b
+
>
B．a
b
<
C．
0
a
b
-
<
D．
0
ab >
3．（25-26 七年级上·云南普洱·期末）有理数a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中不正确的
是（ ）
A．
2
a
-
>
B．
0
ab <
C．a
b
- >
D．a
b
>
4．（25-26 七年级上·河南郑州·期末）有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则下列各式中错误的是（ ）
A．
0
b
a
<
<
B．|
| |
|
b
a
>
C．a
a
b
- <
< -
D．
0
ab >
5．（25-26 七年级上·陕西西安·期末）有理数, ,
a b c 在数轴上的对应点的位置如图所示．则正确的结论是
（ ）
A．
4
a >
B．
0
c
b
-
>
C．
0
ac >
D．a
b
<
题型七、数轴上的翻折
1．（25-26 七年级上·广东汕头·期末）如图，数轴上有点A 、B 、C ，点A 、B 表示的数分别是14
-
，10，
现以点C 为折点，将数轴向右对折，若点A 落在点B 的右侧且到点B 的距离为6 ，则C 点表示的数是（ ）
A．1
B．3
-
C．1或5
-
D．1或4
-
2．（25-26 七年级上·四川宜宾·期中）数轴上有A ，B ，C 三点，其中点A ，B 分别表示数6
- ，2
- ，现以点C
为折点将数轴向右对折（如图），若点A 的对应点A¢刚好与点B 重叠，则点C 表示的数是（ ）
A．0
B．5
-
C．3
-
D．4
-
3．（25-26 七年级上·福建厦门·期末）点A，B，C 是同一条数轴上的三个点，点A 表示的数为
4
a a <
，点B
表示的数为6，点C 在点A 的右边．若以点C 为折点，将AC 向右对折，点A 落在数轴上的点A¢ 处，
2
BA¢ =
，则点C 表示的数为（ ）
A．1
2
2 a -
B．1
4
2 a +
C．1
2
2 a -
或1
2
2 a +
D．1
2
2 a +
或1
4
2 a +
4．（25-26 七年级上·浙江丽水·期末）已知在一条可以折叠的数轴上，B 表示的数是4，如图①，以点C 为
折点，将此数轴向右折叠，得图②，点A 落在点B 的右边A¢处，且
1
A B
¢
= ．
(1)若点C 为原点，求点A 表示的数；
(2)若点A 表示的数为9
- ，求线段BC 的长．
5．（25-26 七年级上·甘肃兰州·期末）如图1，在数轴上点A，B，C 从左到右依次排列，有理数a，b，c 所
对应的点分别为点A，B，C．已知a 是最大的负整数，b 是a 的相反数，
4
c =
，请回答下列问题：
(1)填空：a =________，b = ________；
(2)如图2，P 为数轴上一动点，点P 表示的数为p，现以P 为折点，将数轴向右对折．（点P 在点A 的右侧，
与点B，C 的相对位置不固定）
①若对折后点A 与点C 重合，求此时p 的值；
②若对折后A，B，C 三点互不重合且其中一点到另外两点的距离相等，请直接写出此时p 的值．
B 组 能力进阶
1．（25-26 七年级上·河北衡水·期末）如图1，点A，B，C 是数轴上从左到右排列的三点，分别对应的数为
2
- ，m，4．某同学将刻度尺如图2 放置，使刻度尺上的1.2cm对齐数轴上的点A，发现点B 对齐刻度尺2.6cm
处，点C 对齐刻度尺5.4cm 处．那么，数轴上点B 所对应的数m 为______．
2．
（24-25 七年级上·安徽合肥·开学考试）已知
2
a
b
a
b
=
+
¸
△
，a
b
a b
a
=
´ -
▽
，则
10
5
7 =
△
▽
(
)．
能力进阶
B 组
3．（25-26 七年级上·四川达州·期末）已知a、b、c 为非零有理数，
bc
abc
ab
ca
ab
bc
ca
abc
+
+
+
的值为________．
4．（25-26 七年级上·广东广州·期中）如图，数轴上的点A ，B ，C 分别表示数a ，b ，c ，其中b 是最大的
负整数，且多项式
3
2
5
3
7
2
a
x
x
x
+
+
+
+
是关于x 的二次多项式，一次项系数为c ．
(1) a =___________；b = ___________；c = ___________；
(2)若将数轴折叠，使得点A 与点C 重合，此时与点B 重合的点所表示的数为___________；
(3)若动点P 从点B 出发，以每秒2 个单位长度的速度沿数轴向左运动，动点Q 从点C 出发，以每秒6 个单
位长度的速度沿数轴向右运动，运动时间为st ，
①请你用含t 的代数式表示线段CP 和线段CQ 的长；
②是否存在常数m ，使mCQ
CP
-
的值为定值？若存在，请求出m 的值和mCQ
CP
-
的值；若不存在请说明
理由．
5．你会玩“24 点”游戏吗？从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取4 张，根据牌面上的数字进行加减乘
除混合运算（每张牌只能用一次），使得运算结果为24 或24
-
，其中红色扑克牌（红桃、方块）代表负数，
黑色扑克牌（黑桃、梅花）代表正数，J、Q、K 分别代表11，12，13．例如：抽到了黑桃7，黑桃3，梅花
3，梅花7，运用下面的方法凑成了24：
7
3+3
7
24
´
¸
=
．
(1)如果抽到的是黑桃7，黑桃3，红桃3，梅花7，你能凑成24 吗？试写出一个算式使其结果等于24．
(2)如果抽到的四张牌是“黑桃7、3，红桃3 和梅花Q”，试写出一个算式使其结果等于24
-
．
6．（25-26 七年级上·全国·单元测试）小明有5 张写着不同数字的卡片，请按要求抽出卡片，完成下列问题：
(1)从中取出2 张卡片，使这2 张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？
答：我抽取的2 张卡片上数字是 、 ，乘积的最大值为 ．
简要说明你这样选的原因：
(2)从中取出2 张卡片，使这2 张卡片上数字相除的商最小，如何抽取？最小值是多少？
答：我抽取的2 张卡片上数字是 、 ，商的最小值为 ．
简要说明你这样选的原因：
(3)从中取出4 张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．如何抽取？写出运算式子．（写出一种即可）．
答：我抽取的4 张卡片上数字是 、 、 、 ，写出完整算式及运算过程．
C 组 思维拔高
1．（25-26 七年级上·安徽宣城·阶段检测）a 是不为2 的有理数，我们把
2
2
a
-
称为a 的“伴随数”，如3 的“伴
随数”是
2
2
2
3 = -
-
，2
- 的“伴随数”是
2
1
2
2
2
=
- -
，已知
1
4
a =
，
2a 是
1a 的“伴随数”，
3a 是
2a 的“伴随数”，
4
a
是
3a 的“伴随数”，．．．，以此类推，则
2024
a
等于__________．
2．（25-26 六年级上·山东威海·期末）课堂上老师给出一道计算题：1
1
1
3
24
2
6
8
æ
ö
¸ -
+
-
ç
÷
è
ø．同学们积极思考，
甲、乙、丙三位同学的做法如下：
甲：原式
1
1
1
1
1
3
1
1
1
1
24
2
24
6
24
8
12
4
9
18
æ
ö
æ
ö
=
¸ -
+
¸
+
¸ -
= -
+
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
乙：原式
1
17
1
24
1
24
24
24
17
17
æ
ö
æ
ö
=
¸ -
=
´ -
= -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
思维拔高
C 组
丙：原式的倒数
1
1
3
1
1
1
3
1
1
3
24
24
24
24
12
4
9
17
2
6
8
24
2
6
8
2
6
8
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
= -
+
-
¸
= -
+
-
´
= -
´
+
´
+ -
´
= -
+
-
= -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
故原式
1
17
= -
．
请认真阅读，解答下列问题：
(1)上述三位同学的解法中，正确的是______，错误的是______；(填写“甲”“乙”“丙”)
(2)计算：
①
1
1
2
5
54
2
3
6
æ
ö
æ
ö
-
¸
-
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
②
1
1
1
1
1
1
1
1
42
2
3
6
7
14
21
42
æ
ö
æ
ö
-
¸
-
-
+
-
+
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
3．（25-26 七年级上·河南南阳·阶段检测）综合与实践
数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，
它是“数形结合”的基础．小锦在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究．
操作一：
（1）折叠纸面，若使表示1 的点与表示1
- 的点重合，则表示5
- 的点与表示______的点重合．
操作二：
（2）折叠纸面，若使表示2 的点与表示6
- 的点重合，解答以下问题．
①表示4 的点与表示______的点重合．
②若数轴上A，B 两点之间的距离为16（点A 在点B 的左侧），且A，B 两点经折叠后重合，则A，B 两点
表示的数分别是______．
操作三：
（3）在数轴上剪下长为8 个单位长度（从3
- 到5）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部
分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为1:1: 2 ，请直接写出折痕处对应的点可能
表示的数．
拓展 衔接中考
1．实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．
0
a
b
+
>
B．
0
a
b
-
<
C．
0
ab >
D．
0
a
b <
2．计算( 21)
( 7)
-
¸ -
的结果等于（ ）
A．3
-
B．3
C．
1
3
-
D．1
3
3．数轴上表示数,a b 的点如图所示，下列判断正确的是（ ）
A．a
b
<
B．a
b
>
C．
0
b <
D．
0
a >
4．如图所示，公路旁自西向东依次有
1A ，
2
A ，…，
6
A 共6 处住宅和一所学校．每个工作日早上，每处住
宅各有1 名学生需乘同一辆校车前往该学校，校车仅在设于某一住宅处的车站停车一次，每名学生需从自
家住宅沿公路步行至该车站乘车，6 名学生都上车后，校车沿公路向东行驶至学校．
已知每名学生在相邻两处住宅间的步行时间均为2.5 min ，校车在相邻两处住宅间的行驶时间均为1min ，校
车从
6
A 处至学校的行驶时间为20 min ．一名学生的理想通勤时间是指该学生从自家住宅至车站的步行时间
与校车从车站至学校的行驶时间之和（不考虑其他因素）．
（1）若车站设在
2
A 处，则住在
6
A 处的学生的理想通勤时间为________ min ；
（2）若当车站设在
kA 处时这6 名学生的理想通勤时间之和最小，则k =________．
衔接中考
拓展
