文档文本内容
2.2 有理数的乘法与除法
课标要点
1. 理解有理数乘、除法法则，掌握符号规律，熟练进行乘除运算。
2. 掌握倒数概念，会将除法转化为乘法计算。
3. 运用乘法运算律简便运算，分清混合运算顺序。
4. 能用乘除法解决简单实际问题，发展运算与转化思想。
学习重难点
重点：
1.有理数乘除法则、积与商的符号判断。
2. 倒数定义，除法化乘法的计算方法。
3. 乘法三大运算律，乘除、四则混合运算顺序。
难点：
1. 多个负数相乘快速判断符号，理解负负得正。
2. 区分倒数与相反数，带分数、负小数求倒数。
3. 灵活逆用分配律简算；乘除同级运算顺序易错。
4. 数轴、绝对值、倒数综合求值题型。
第一章
有理数
知识点
有理数的乘法
◆有理数的乘法法则：
1. 两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积．
2．任何数与 0 相乘，都得 0.
◆有理数乘法的求解步骤:
(1)确定积的符号；
(2)确定积的绝对值．
【注意】在进行有理数乘法运算时，首先判断两个因数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定积
的符号，在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．
随学随练
1．（25-26 七年级上·湖北孝感·期末）计算(−2026) × (−1)的结果为（ ）
A．2026
B．-2026
C．
1
2026
D．−
1
2026
知识点
倒数
◆倒数:乘积是 1 的两个数互为倒数．
一般地，a•1
𝑎= 1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是1
𝑎．
◆方法指引：
①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重
要．倒数是伴随着除法运算而产生的．
②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同．
【注意】
倒数是两个数之间的一种关系，其中一个数叫另一个数的倒数，单独一个数不能称其为倒数．
随学随练
2.（25-26 七年级上·湖南株洲·期末）1
1
2的倒数是_____．
知识点
有理数的乘法运算律
◆1、有理数的乘法交换律：
两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变.
即a b = b a.
◆2、有理数的乘法结合律：
三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变.
用字母表示为：(a b) c = a (b c).
【注意】用字母表示乘数时，“×”号可以写成“·”或省略，如 a×b 可以写成 a·b 或 ab.
◆3、有理数的乘法分配律：
一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加.
用字母表示为：a(b+c) = a b +ac
随学随练
3．计算（﹣3）×（4−1
2），用分配律计算过程正确的是（ ）
A．（﹣3）×4+（﹣3）×（−1
2）
B．（﹣3）×4﹣（﹣3）×（−1
2）
C．3×4﹣（﹣3）×（−1
2）
D．（﹣3）×4+3×（−1
2）
知识点
多个有理数的乘法
◆几个不等于零的数相乘
几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．
当负因数有奇数个时，积为负；
当负因数有偶数个时，积为正．
◆几个数相乘，如果其中有因数为 0，积等于0.
随学随练
4.（23-24 七年级上·吉林长春·期中）下列式子中，积的符号为负的是（
）
A．−
1
3 ×
+
1
4 × (−6)
B．−
1
5 × ( +6) × −
2
3 × (−5) × −
1
2
C．(−3) × −
1
2 × (−7) × 0
D．(−9) ×
+
1
8 × −
4
7 × ( +7) × −
1
3
知识点
有理数的除法
◆1、有理数的除法法则：
有理数除法法则（一）：
除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数.
用字母表示为：a÷b=a· b
1 (b≠0)；
有理数除法法则（二）：
两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商.
0 除以任何一个不等于0 的数，都得0.
◆2、方法指引：
①能整除时，将商的符号确定后，直接将绝对值相除；
②不能整除时，将除数变为它的倒数，再用乘法计算；
◆3、有理数的乘除混合运算：
乘除混合运算往往先将除法化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果（乘除混合运算按从左到右的顺
序进行计算）
随学随练
5．（25-26 七年级上·广西崇左·阶段检测）计算：
(1)
2
5 ÷ −2
1
2 × 3
3
4；
(2)(−8) ÷ (−9) × −
1
9 ；
(3) −2
1
7 ÷ (−1.2) × −1
2
5 ．
知识点
有理数的加减乘除混合运算
◆有理数的加减乘除混合运算
先算乘除，再算加减，同级运算从左往右依次计算，如有括号，先算括号内的.
【注意】进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
随学随练
6．（25-26 七年级下·黑龙江大庆·开学考试）计算：
(1) −
1
6 + −
2
3 −−
1
2 ；
(2)1 ÷
3
4 −
5
8 ×
2
5；
(3)
1
4 +
1
6 +
3
8 × (−24)；
(4)12
3
4 + (−0.25)−−4
1
4 + |−3−
1
4|．
题型一 两个有理数相乘
▌例1 （2026·海南·模拟预测）我国元代《算术启蒙》中记载：“同名相乘为正，异名相乘为负”，则下列运
算的结果为负数的是（ ）
A．0 × (−2)
B．2 × 2
C．(−2) × (−2)
D．2 × (−2)
▌对点练1-1 （2024·陕西西安·一模）计算：−
2
5 × 10 = （ ）
A．−2
B．3
C．−4
D．5
▌对点练1-2 （25-26 七年级上·浙江绍兴·阶段检测）已知 𝑎𝑏< 0，𝑎+ 𝑏> 0，则（ ）
A．𝑎> 0，𝑏< 0 且 |𝑎| > |𝑏|
B．𝑎< 0,𝑏> 0 且|𝑎| > |𝑏|
C．𝑎，𝑏 均为正数
D．𝑎，𝑏 均为负数
▌对点练1-3（26-27 七年级·浙江·暑假作业）计算：
(1)(−8) × (−0.125)；
(2)
4
5 × 1
1
4；
(3) −
1
4 × (−4)；
(4) +
8
7 × −
7
8 ．
题型二 多个有理数相乘
▌例2（26-27 七年级·全国·暑假作业）下列式子中，积的符号为负的是（ ）
解题贴士
1. 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.．
2．任何数同 0 相乘，都得 0.
A．−
1
3 ×
1
4 × (−6)
B．(−9) ×
1
8 × −
4
7 × −
1
3
C．(−3) × −
1
2 × 7 × 0
D．−
1
5 × −
2
3 × (−5) × −
1
2
▌对点练2-1 （25-26 七年级上·福建泉州·期末）四个互不相等的整数a，b，c，d 满足𝑎𝑏𝑐𝑑= 16．则𝑎−𝑏+ 𝑐−𝑑
的最大值是（ ）
A．9
B．10
C．11
D．12
▌对点练2-2 （24-25 七年级上·湖南衡阳·阶段检测）计算：(−2) × −
1
2 × (−3)=______．
▌对点练2-3 已知六个数：0，−(−4)，|−2.5|，−3，1，−
3
2；
(1)在数轴上表示这六个数；
(2)求这六个数中所有非负数的乘积．
题型三 倒数的概念及运用
▌例3（2026·吉林松原·模拟预测）−5的倒数是（ ）
A．−5
B．5
C．−
1
5
D．
1
5
解题贴士
多个有理数相乘的法则：①几个不等于0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个
时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
解题贴士
1、乘积是 1 的两个数互为倒数．
2、求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一．
3、求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置．
▌对点练3-1 （2026·江西·中考真题）有理数−
1
2的倒数为_____________．
▌对点练3-2 （2026·福建福州·模拟预测）|−
1
2026|是2026 的（ ）
A．相反数
B．绝对值
C．倒数
D．平方根
▌对点练3-3（2026·山东菏泽·二模）−2026的相反数的倒数是（ ）
A．2026
B．± 2026
C．−2026
D．
1
2026
题型四 运用乘法运算律进行简便计算
▌例4（2026·河北邢台·二模）算式
−
2
3 × 5 × (−6)可以变形为−
2
3 × [5 ×(−6)]，依据是（ ）
A．乘法交换律
B．分配律
C．移项
D．乘法结合律
▌对点练4-1 （26-27 七年级·全国·暑假作业）下列各式运用运算律不正确的是（ ）
A．(−4) × 8 = 8 × (−4)
B．[(−3)× 2] × (−5) = (−3) × [2 ×(−5)]
C．(−4)× −
1
2
× (−6) = (−4) ×
−
1
2 ×(−6)
D．(−6) ×
1
2 + −
1
3
= (−6) ×
1
2 + −
1
3
▌对点练4-2 （25-26 六年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）计算下面各题，怎样简便就怎样算．
(1)7.2 ×
7
36 +
2
9 ；
解题贴士
1. 乘法交换、结合律：观察数字，优先找出 2 和 5、4 和 25、8 和 125 凑整；可以调换数字位置、
添加括号，把能凑整的数先相乘。
2. 乘法分配律
正向：几个数的和（差）乘一个数，分开相乘再相加（减）。
逆向：两道乘法算式加减，如有相同乘数，提取相同数，剩下数字先求和差再相乘。
3. 数字拆分窍门
遇到 99 看成 100－1，101 看成 100+1；看到 25 拆出 4、看到 125 拆出 8；单独一个数可以看作乘
1，方便逆用分配律。
(2)
13
40 ×
7
5 ÷
13
8 ．
▌对点练4-3 计算：
(1)(−13) × −13
6
7 −(−7) × 13
6
7 +20 × −13
6
7 ；
(2)
3
8 −
1
6 −
3
4 × (−24)．
题型五 有理数的除法
▌例5 （2026·天津河西·二模）计算60 ÷ (−5)的结果等于（ ）
A．−12
B．−20
C．−25
D．30
▌对点练5-1 在﹣1，2，﹣3，5 这四个数中，任意取两个数相除，其中最小的商是
．
▌对点练5-2 化简下列分数：
（1）−28
14 ； （2）2
−6；
（3）−36
−8 ；
（4）33
−72．
▌对点练5-3 计算：(1)(﹣15)÷(﹣3)； (2)12÷(﹣1
4)；
(3)(﹣0.75)÷(0.25)；
(4)(- 8
7 )÷(- 7
4 ).
解题贴士
1、能整除时，将商的符号确定后，直接将绝对值相除；
2、不能整除时，将除数变为它的倒数，再用乘法计算；
题型六 有理数的乘除混合运算
▌例6 计算：(−4) ×
3
2 ÷ −
1
2 = _____．
▌对点练6-1 下列等式成立的是（ ）
A．6 ÷ −
1
4 × 4 = 6 × (−4) × 4
B．6 ÷ −
1
4 × 4 = 6 × −
1
4 × 4
C．6 ÷ −
1
4 × 4 = 6 ÷ −
1
4 × 4
D．6 ÷ −
1
4 × 4 = 6 × (−4) ÷ 4
▌对点练6-2 （24-25 七年级上·福建龙岩·阶段检测）计算：
(1) −3
1
5 × ( +1.25) ÷ −
1
2
(2)−
1
5 × 5 ÷ −
1
5 × (−5)
▌对点练6-2（2026·河北邢台·一模）阅读下面解题过程：
计算：(−20) ÷ −
1
8 ×
40
3
÷
1
3
解：原式= (−20) ÷ −
5
3 × 3…………①
= (−20) ÷ (−5)…………②
解题贴士
(1) 有理数除法化为有理数乘法以后，可以利用有理数乘法的运算律简化运算；
(2) 乘除混合运算往往先将除法化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果 (乘除混合运算按从左到
右的顺序进行计算).
= −4…………③
(1)上面解题过程中有两处错误，第一处是第_____步，第二处是第_____步；
(2)请你写出这道题的正确解答过程．
题型七 有理数的加减乘除混合运算
▌例7（25-26 七年级下·内蒙古包头·阶段检测）按照运算顺序，计算10−4 ÷ (−2)第一步应算（ ）
A．10−4
B．4 ÷ (−2)
C．同时计算
D．无法确定
▌对点练7-1 （24-25 七年级上·云南德宏·期末）下列运算，结果最小的是（ ）
A．1 × (−2) +3−4
B．1−2 + 3−4
C．1−(−2 × 3)−4
D．1 × (−2) × 3 ÷ 4
▌对点练7-2（25-26 七年级上·辽宁大连·阶段检测）计算：
(1)−6 × 2 ÷ −
1
3
(2)−
1
3 + (−0.75) + −
2
3 +
1
4
(3)98
97
98 × (−2)
(4)4 × −2
5
9 −7 × 2
5
9 +11 × −2
5
9
解题贴士
有理数的加减乘除混合运算
（1）有理数的加减乘除混合运算顺序：先算乘除，再算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计
算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
▌对点练7-3 （25-26 七年级上·全国·期中）计算：
(1)(−3) ÷ 1
3
4 × 0.75 × |−2
1
3| ÷ 9；
(2)|−5| ÷ −1
2
7 × 0.8 × 2
1
4 ；
(3)−1
1
2 ÷ −6
1
4 × −1
1
4 ．
题型八 有理数乘除法与数轴的综合
▌例8（25-26 七年级上·湖南湘西·阶段检测）有理数a，b 在数轴上的对应点如图，下列式子：
①𝑎> 0 > 𝑏；②|𝑏| > |𝑎|；③𝑎𝑏< 0；④𝑎−𝑏> 𝑎+ 𝑏；⑤|𝑎−𝑏| > |𝑎+ 𝑏|．其中正确的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
▌对点练8-1 （22-23 七年级上·辽宁丹东·阶段检测）点𝐴、𝐵在数轴上的位置如图所示，其对应的有理数分
别是𝑎和𝑏．对于下列四个结论：①𝑏−𝑎> 0；②|𝑎| < |𝑏|；③𝑎+ 𝑏> 0；④
𝑏
𝑎> 0；⑤𝑎𝑏< 0．其中正确的是
（ ）
A．①②③④
B．①②③⑤
C．①③⑤
D．②③④
▌对点练8-2 （25-26 七年级下·内蒙古呼和浩特·开学考试）已知𝑎、𝑏两个数在数轴上的位置如图所示，
解题贴士
有理数乘除法与数轴的综合主要是根据数轴的意义和有理数的乘除法法则即可解决问题.
有如下几个结论：
① 𝑎+ 𝑏< 0；② 𝑎−𝑏> 0；③
𝑎
𝑏< 0；④ |𝑎| + |𝑏| = |𝑎−𝑏|，其中正确的是______．（填序号）
▌对点练8-3（24-25 七年级上·四川南充·阶段检测）如图，𝐴、𝐵两点在数轴上表示的数分别为𝑎，𝑏，有下
列结论：①𝑎−𝑏< 0；②𝑎+ 𝑏> 0；③(𝑏−1)(𝑎+ 1) < 0；④
𝑏−1
|𝑎−1| > 0，其中正确的有_______．
题型九 有理数乘除法与相反数、倒数、绝对值的综合
▌例9 若𝑎、𝑏互为相反数，𝑐、𝑑互为倒数，𝑚的绝对值等于5.
(1)填空：𝑎+ 𝑏= __________；𝑐𝑑= __________；𝑚= __________；
(2)求
1
𝑐𝑑+𝑚−(4𝑎+ 4𝑏)的值．
▌对点练9-1 （25-26 七年级·全国·暑假作业）已知|𝑥| = 4，|𝑦| =
1
2，𝑥< 𝑦，则
𝑥
𝑦的值等于____________．
▌对点练9-2 （25-26 七年级上·湖南长沙·期中）已知非零实数𝑎，𝑏，𝑐，满足
𝑎
|𝑎| +
|𝑏|
𝑏+
𝑐
|𝑐| = 1，则
|𝑎𝑏𝑐|
𝑎𝑏𝑐等于
解题贴士
此类题考查了有理数的乘法，有理数的除法，相反数的性质、绝对值的性质，倒数的定义，熟记运算法
则是解题的关键，难点在于绝对值的化简要分情况讨论．
（ ）
A．−1
B．0
C．1
D．± 1
▌对点练9-3（25-26 七年级上·宁夏银川·期末）“分类讨论”是解决数学问题的一种重要思想方法，下面是运
用“分类讨论”的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”．
【知识背景】
当𝑎> 0时，|𝑎| = 𝑎；当𝑎= 0时，|𝑎| = 0；当𝑎< 0时，|𝑎| = −𝑎．
【解决问题】
（1）当𝑎> 0时，
|𝑎|
𝑎=
，当𝑎< 0时，
|𝑎|
𝑎=
．
（2）如果有理数a、b 满足𝑎𝑏< 0时，则
|𝑎|
𝑎+
|𝑏|
𝑏=
．
【类比探究】
三个有理数a、b、c 满足𝑎𝑏𝑐< 0，求
|𝑎|
𝑎+
|𝑏|
𝑏+
|𝑐|
𝑐+
|𝑎𝑏𝑐|
𝑎𝑏𝑐的值．
题型十 有理数乘除法在实际生活中的应用
▌例10 某公司5天内货品进出仓库的吨数如下：（“ + ”表示进库，“−”表示出库）
+23，−30，−16，+35，−32．
(1)经过这5天，仓库里的货品是______（填“增多了”还是“减少了”）．
(2)经过这5天，仓库管理员结算发现仓库里还有货品508吨，那么5天前仓库里存有货品多少吨?
(3)如果进出货的装卸费都是每吨4元，那么这5天一共要付多少元装卸费?
▌对点练10-1 （26-27 七年级·全国·小升初衔接）2026 年世界杯将于2026 年6 月在北美（美国、加拿大和
墨西哥）举行．为了备战世界杯，某运动员沿一条东西方向的跑道，以每秒钟9 米的速度向东跑．记该运
动员在跑道上的某一位置为点O，那么在点O 的3 秒后、2 秒后、1 秒后、0 秒、1 秒前、2 秒前、3 秒前，
他位于点O 的哪个方向？相距多少米？
提示：向东和向西行进的速度都是具有方向的量，如果我们规定：向东为正，向西为负．
▌对点练10-2 焦作市交警大队一辆警车沿着南北方向的公路巡视，某天早晨从A 地出发，晚上到达B 地，
约定向北为正方向，当天行驶记录如下：（单位：千米）
+18.3，−9.5，+7.1，−14，−6.2，+13，−6.8，−8.5
(1)B 在A 地哪个方向？相距多少千米？
(2)若该警车每千米耗油0.7升，那么这天共耗油多少升？
(3)若油箱中有50升油，中途是否需要加油？若需要，至少加多少升？
▌对点练10-3 某原料仓库一天的原料进出记录如下表（运进用正数表示，运出用负数表示）：
进出数量（单
−3
4
−1
2
−5
解题贴士
用有理数的乘除法求解实际问题时，关键是审清题意，把实际问题转化成数学问题.
位：吨）
进出次数
2
1
3
3
2
(1)这天仓库的原料比原来增加了还是减少了？请说明理由：
(2)根据实际情况，现有两种方案：
方案一：运进每吨原料费用5 元，运出每吨原料费用8 元；
方案二：不管运进还是运出费用都是每吨原料6 元；从节约运费的角度考虑，选用哪一种方案比较合适．
题型十一 有理数乘除法的程序计算题
▌例11 （24-25 七年级上·甘肃武威·期中）如图是一个数值转换机，若输入的𝑥为−11，则输出的结果是
（ ）
A．18
B．−14
C．39
D．21
解题贴士
利用有理数的加减乘除混合运算解决程序计算题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序，根据程序列出
算式解答即可．
▌对点练11-1 （2026·广西南宁·三模）如图是一个运算程序的示意图，若输入x 的值为1，则输出的结果
是（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
▌对点练11-2 如图是一个简单的数值运算程序图，当输入x 的值为−1时，输出的数值为（ ）
A．1
B．−1
C．2
D．−2
▌对点练11-3 （25-26 七年级上·全国·期中）根据如图所示的“数值转换机”，当输入x 的
值为−2时，输出y 的值为（ ）
A．27
B．19
C．11
D．5
题型十二 有理数乘除法的新定义运算问题
▌例12 （25-26 七年级上·安徽合肥·期中）规定一种新运算：𝑎⊗𝑏= 𝑎−2𝑏，则20 ⊗[1 ⊗(−2)]的值是（ ）
A．6
B．−2
C．−6
D．10
▌对点练12-1 规定a※b = 1
𝑎÷ (−𝑏
2)，例如2※3 = 1
2 ÷ (−3
2) = −1
3，则[2※（﹣5）]※4＝
．
▌对点练12-2 （24-25 七年级上·江苏淮安·期中）规定一种新运算“※”如下：𝑎※𝑏= 3(𝑎+ 1)−𝑏．如：
3※5 = 3 × (3 + 1)−5 = 7．根据此规定解答下列两题：
(1)求6※(−2)的值；
解题贴士
新定义运算问题主要是运用题目中所给的新定义的运算方式进行计算即可，注意计算时的运算顺序，也
是对有理数的混合运算的考查.
(2)(−2)※6与6※(−2)的值相等吗？请计算说明．
▌对点练12-3（24-25 七年级上·江苏·阶段检测）小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的
兴趣，他借助有理数的运算，定义了一种新运算“ ⊕”，运算规则为：𝑎⊕𝑏= 𝑎× 𝑏−𝑎−𝑏．
(1)计算(−2) ⊕2的值；
(2)填空：5 ⊕(−3)___________(−3) ⊕5（填“>”或“=”或“<”）
(3)求(−3) ⊕(4 ⊕1)的值．
题型十三 有理数乘除法材料阅读问题
▌例13 （25-26 九年级下·河北衡水·期中）黑板上有一道题：计算71
15
16 × (−8)，嘉嘉和淇淇给出了两种不
同的解法．
嘉嘉：
原式= 71 +
15
16 × (−8)
= 71 × (−8) + 15
16 × (−8)
= −568−15
2
= −575 1
2
淇淇：
原式= 72−
1
16 × (−8)
= _________________
= _________________
= _________________
(1)请将淇淇的解法补充完整；
(2)计算：−49
47
48 × 6．
▌对点练13-1 （23-24 九年级上·甘肃兰州·期中）阅读下面的解题过程并解答问题：
计算：(−15) ÷ −
1
2 ×
25
3
× 6
解：原式= (−15) ÷ −
25
6
× 6（第一步）
= (−15) ÷ (−25)（第二步）
=
3
5（第三步）
(1)上面解题过程从第______步开始出错，错误的原因是______．
(2)请写出正确的解答过程．
▌对点练13-2 课堂上老师给出一道计算题：
1
24 ÷ −
1
2 +
1
6 −
3
8 ．同学们积极思考，甲、乙、丙三位同学的做
法如下：
甲：原式=
1
24 ÷ −
1
2 +
1
24 ÷
1
6 +
1
24 ÷ −
3
8 = −
1
12 +
1
4−
1
9 =
1
18
乙：原式=
1
24 ÷ −
17
24 =
1
24 × −
24
17 = −
1
17
丙：原式的倒数= −
1
2 +
1
6 −
3
8 ÷
1
24 = −
1
2 +
1
6 −
3
8 × 24 = −
1
2 × 24 +
1
6 × 24 + −
3
8
× 24 = −12 + 4−9 = −17
故原式= −
1
17．
请认真阅读，解答下列问题：
(1)上述三位同学的解法中，正确的是______，错误的是______；(填写“甲”“乙”“丙”)
(2)计算：
①−
1
54 ÷
1
2 −
2
3 +
5
6
解题贴士
材料阅读题要根据题中的材料来分析并解决问题，此题中是根据倒数法进行有理数的混合运算，有些含
分数的数学问题直接求解比较麻烦，而若把分子、分母上下颠倒，则可立即找到突破口，这种解法称为
倒数法，本题中先将被除数与除数的位置互换，先求其结果，再求出原式的结果.
②−
1
42 ÷
1
2 −
1
3 −
1
6 +
1
7 −
1
14 +
1
21 −
1
42
▌对点练13-3（22-23 七年级上·甘肃陇南·期中）阅读与思考
请阅读下列材料，并完成相应的任务．
同学们学过有理数减法可以转化为有理数加法来运算，有理数除法可以转化为有理数乘法来运算．其实这
种转化的数学方法，在学习数学时会经常用到，通过转化我们可以把一个复杂问题转化为一个简单问题来
解决．
例如：计算
1
1×2 +
1
2×3+
1
3×4 +
1
4×5．
此题我们按照常规的运算方法计算比较复杂．但如果采用下面的方法把乘法转化为减法后计算就变得非常
简单．
分析方法：因为
1
1×2＝1﹣
1
2，
1
2×3＝
1
2﹣
1
3，
1
3×4＝
1
3﹣
1
4，
1
4×5＝
1
4﹣
1
5，所以，将以上4 个等式两边分别相加即可
得到结果，解法如下：
1
1×2 +
1
2×3+
1
3×4 +
1
4×5＝（1﹣
1
2）+（
1
2﹣
1
3）+（
1
3﹣
1
4）+（
1
4﹣
1
5）＝1﹣
1
2+
1
2﹣
1
3+
1
3﹣
1
4+
1
4﹣
1
5＝1﹣
1
5＝
4
5．
任务：
(1)猜想并写出：
1
𝑛(𝑛+1)＝ ；（n 为正整数）
(2)①应用上面的方法计算：
1
1×2 +
1
2×3+
1
3×4 +
1
4×5+⋯+
1
2021×2022．
②直接写出下列式子的计算结果：
1
1×2 +
1
2×3+
1
3×4+⋯+
1
𝑛(𝑛+1)＝ ．
(3)类比应用上面的方法探究并计算：
1
2×4 +
1
4×6+
1
6×8+⋯+
1
2020×2022．
基础通关
1．（25-26 七年级上·吉林·期中）下列算式中，积为负数的是（ ）
A．2 × 5
B．−6 × (−2)
C．0 × (−6)
D．5 × (−3)
2．（2026·河南信阳·模拟预测）若(−4) × □的运算结果为正数8，则□内的数字可以是（ ）
A．−2
B．0
C．2
D．4
3．（25-26 九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列各对数中互为倒数的是（ ）
A．4和−4
B．−3和
1
3
C．
2
3和
3
2
D．0和0
4．（25-26 七年级上·湖南衡阳·期中）下列计算正确的是（ ）
A．(−3) +5 = −8
B．(−3)−(−5) = 2
C．(−3) × (−5) = −15
D．(−3) ÷ 5 =
3
5
5．（25-26 七年级上·安徽铜陵·期末）在算式变形：1.25 × −39
1
2 × (−80) = 1.25 × (−80) × −39
1
2 中，
运用了（ ）
A．分配律
B．乘法交换律
C．乘法交换律和分配律
D．分配律和乘法结合律
6．（24-25 七年级上·江苏·阶段检测）下列说法：①最大的负整数是−1；②相反数是本身的数是正数；③
有理数分为正有理数和负有理数；④数轴上表示−𝑎的点一定在原点的左边；⑤几个有理数相乘，负因数的
个数是奇数个时，积为负数，其中错误的个数是（ ）．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
素养提升
7．（24-25 七年级上·安徽合肥·开学考试）已知𝑎△𝑏= (𝑎+ 𝑏) ÷ 2，𝑎▽𝑏= 𝑎× 𝑏−𝑎，则10 △(5▽7) =
(
)．
8．（23-24 七年级上·四川资阳·开学考试）一件商品，先提价10%，后又降价10%，这时的价格是原来的
（ ）．
A．80%
B．90%
C．95%
D．99%
9．（24-25 七年级上·甘肃兰州·期中）所有绝对值小于5 的整数的积是____________．
10．（24-25 七年级上·全国·期末）如图，数轴上点A、B、C 分别表示有理数a、b、c，若a、b、c 三个数
的乘积为正数，这三个数的和与其中一个数相等，则b____0．
11．计算25 × (−13)−39 × 2−3 × 39的结果是________．
12．设a、b、c 为有理数，且满足𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 0， 𝑎𝑏𝑐> 0，则a、b、c 中正数的个数为________个．
迁移创新
13．（2026·河北保定·二模）一个不透明的袋子里装有4 个小球，小球上分别标有数字：−8，0，2，5．现
从袋子中随机摸出3 个小球，对小球上的数字进行运算．
(1)①若摸出的3 个小球上分别标有2，−8，5，计算：2 × 5−|−8|；
②若摸出的3 个小球上所标数字的积不为0，求这3 个数字的和；
(2)将随机摸出的3 个小球上的数字按一定顺序填入“□-□-□”中的“□”内，直接写出计算结果的最大值．
14．（2026·河北邯郸·三模）请你参考下面黑板上老师的板书，计算下列各题．
利用运算律计算：
例1：98 × 12 = (100−2)
× 12 = 1200−24 = 1176；
例2：−16 × 233 + 17 × 233 = (−16 + 17)
× 233 = 233．
(1)999 × 12；
(2)999 × 118
4
5 +333 × −
3
5 −999 × 18
3
5．
15．（25-26 七年级上·湖南长沙·阶段检测）计算：
(1)−32.25 + (−3.1)−(−11.25) +6.1；
(2)(−18) ÷
9
4 ×
4
9 ÷ (−16)；
(3) −
1
4 −
2
3 +
5
12 ÷ −
1
24 ；
(4)−
2
3−|−
1
2 ×
2
3|−|
1
4 ÷ −
1
3 | + |−5|．
16．（2025 七年级上·全国·专题练习）小明有下列5 张写着不同数的卡片，请你按要求取出卡片，完成下列
问题：
(1)从中取出2 张卡片，使这2 张卡片上的数的乘积最大，最大值是 ．
(2)从中取出2 张卡片，使这2 张卡片上的数相除的商最小，最小值是 ．
(3)算24 点游戏：从中取出4 张卡片，对卡片上的数用学过的“ + ，−，× ，÷ ”进行运算（每张卡片上的数
必须用一次且只能用一次，可以加括号），使运算结果为24．请你任选4 张卡片，写出1 个满足条件的运
算式．
17．（26-27 七年级·江苏·小升初衔接）科博会期间，出租车司机小李某天上午营运时是在九洲体育馆门口
出发，沿东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接送8位乘客的行车里程
（单位：km）如下：−3，+7，−4，+1 ，−5 ，−2，+8，−6．
(1)若汽车消耗天然气量为0.2m3/km，这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气多少立方米？
(2)若出租车起步价为5元，起步里程为3km（包括3km，超过部分每千米1.2元，问小李这天上午共得车费多
少元？
18．（24-25 七年级上·全国·随堂练习）观察下列各式：
1
2 ×
2
3 =
1
3
1
2 ×
2
3 ×
3
4 =
1
4
1
2 ×
2
3 ×
3
4 ×
4
5 =
1
5
…
(1)猜想
1
2 ×
2
3 ×
3
4 × ⋯×
𝑛
𝑛+1 = _______
(2)根据上面的规律，解答下列问题：
①
1
100 −1 ×
1
99 −1 ×
1
98 −1 × … ×
1
4 −1 ×
1
3 −1 ×
1
2 −1
②将2016减去它的
1
2，再减去余下的
1
3，再减去余下的
1
4，再减去余下的
1
5，以此类推，直到最后减去余下的
1
2016，最后结果是多少？
