文档文本内容
分层作业
2.1.1 有理数的加法
说明：ABC 三组为必做内容，拓展部分为选做。
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目 录
A 组 巩固过关.....................................................................................................................1
题型一、有理数加法运算.....................................................................1
题型二、有理数加法运算律...................................................................5
题型三、有理数加法中的符号问题.............................................................7
题型四、有理数加法在生活中的应用..........................................................10
B 组 能力进阶...................................................................................................................14
C 组 思维拔高...................................................................................................................18
拓展 衔接中考...................................................................................................................21
A 组 巩固过关
题型一、有理数加法运算
1．（25-26 七年级上·内蒙古赤峰·期末）计算
10
6
-
+ +
的结果是（ ）
A．16
B．16
-
C．4
-
D．4
【答案】C
【分析】运用异号两数相加的法则即可计算出结果．
【详解】解：
10
6
10
6
4
-
+ +
= -
-
= - ．
2．（25-26 七年级上·云南昆明·阶段检测）下列运算正确的是（ ）
A．
15
2
13
-
+ +
= -
B．
14
6
8
-
+
=
巩固过关
C．
13
5
8
-
+
=
D．
3
3
0
-
+ -
=
【答案】A
【分析】本题考查了有理数的加法运算，根据有理数的加法运算法则逐项判断即可求解，掌握有理数的加
法运算法则是解题的关键．
【详解】解：A 、
15
2
13
-
+ +
= -
，该选项运算正确，符合题意；
B 、
14
6
8
-
+
= - ，该选项运算错误，不合题意；
C 、
13
5
8
-
+
= - ，该选项运算错误，不合题意；
D 、
3
3
6
-
+ -
= - ，该选项运算错误，不合题意；
故选：A ．
3．（25-26 七年级上·江苏南通·期末）中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指
出，可将算筹（小棍形状的计数工具）正放表示正数，斜放表示负数，如图，根据刘徽的这种表示方法，
观察图①，可推算图②所得到的数值为（ ）
图
①
表
示
1
1
0
+
+ -
=
图②
A．1
-
B．1
C．7
D．7
-
【答案】A
【分析】本题主要考查正数与负数，理解题意是解题的关键．根据图②知正放表示的数为3
+ ，斜放表示的
数为4
- ，然后，两数相加即可．
【详解】解：根据题意可得
3
4
1
+
+ -
= - ．
故选：A．
4．（25-26 七年级上·广西崇左·期末）若
3
2
a
b
=
=
，
，且a
b
>
，则a
b
+
等于（ ）
A．5 或1
-
B．5
- 或1
C．5 或1
D．5
- 或1
-
【答案】C
【分析】本题考查了绝对值和有理数的加法运算，先根据绝对值的性质求出a，b 的值，再根据a
b
>
，得出
所有符合条件的a，b 的值，再列出算式进行求解即可．
【详解】解：∵
3
2
a
b
=
=
，
，
∴
3
2
a
b
= ±
= ±
，
，
∵a
b
>
，
∴当
3
a =
时，b 可取2 或2
- ，均满足a
b
>
；当
3
a
-
=
时，b 可取2 或2
- ，均不满足a
b
>
，
∴
3
2
a
b
=
=
，
或
3
2
a
b
=
= -
，
，
∴
3
2
5
a
b
+
=
+
=
或
3
2
1
a
b
+
=
-
= ，
故选：C．
5．（25-26 七年级上·河北石家庄·期末）绝对值小于2026 的所有整数的和为_____．
【答案】0
【分析】本题考查绝对值的意义和有理数的加法运算；
根据绝对值的定义，绝对值小于2026 的所有整数中，除0 外，其余整数两两互为相反数，互为相反数的两
个数之和为0，因此所有整数的和为0．
【详解】解：∵绝对值小于2026 的所有整数包括从2025
-
到2025 的整数，这些整数中，除0 外，每一对互
为相反数的和均为0，
∴绝对值小于2026 的所有整数的和为0，
故答案为：0．
6．（25-26 七年级上·河北张家口·期末）一个有理数与2
- 相加，和是负数，请写出一个满足上述条件的有理
数：________．
【答案】0（答案不唯一）
【分析】本题考查了有理数的加法，负数的定义，根据有理数加法法则计算即可求解．
【详解】解：∵
0
2
2
0
+ -
= - <
，
∴0 与2
- 相加，和是负数，
故答案为：0（答案不唯一）．
7．（23-24 七年级上·全国·随堂练习）计算：
(1)
1
1
1
1
2
3
6
æ
ö
æ
ö
+ -
+
+ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø；
(2) 1
3
3
2
3
2
5
8
4
5
4
5
æ
ö
æ
ö
+ -
+
+ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ．
【答案】(1) 2
3
(2) 2
-
【分析】本题主要考查了有理数的加法运算，能利用有理数加法的交换律和结合律简化运算是解题的关键．
（1）利用有理数加法运算法则及加法运算律求解即可；
（2）利用有理数加法运算法则及加法运算律求解即可．
【详解】（1）解：
1
1
1
1
2
3
6
æ
ö
æ
ö
+ -
+
+ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
1
1
1
1
3
2
6
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
+
+
-
+ -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
4
2
3
3
æ
ö
=
+ -
ç
÷
è
ø
2
3
=
；
（2）解：1
3
3
2
3
2
5
8
4
5
4
5
æ
ö
æ
ö
+ -
+
+ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
1
3
3
2
3
5
2
8
4
4
5
5
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
+
+
-
+ -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
9
11
=
+ -
2
= - ．
8．（23-24 七年级上·宁夏石嘴山·阶段检测）计算：
(1)
23
72
31
47
-
+
+ -
+ +
；
(2)
1
3
3
1.25
1
2
4
4
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+
+ -
+ -
+ +
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø ．
【答案】(1)65
(2) 7
4
【详解】（1）
23
72
31
47
-
+
+ -
+ +
23
72
31
47
= -
+
-
+
49
31
47
=
-
+
18
47
=
+
65
=
；
（2）
1
3
3
1.25
1
2
4
4
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+
+ -
+ -
+ +
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
1
1
3
3
1
1
4
2
4
4
=
-
-
+
1
3
1
3
1
1
4
4
2
4
=
+
-
-
5
3
4
=
-
7
4
=
．
【点睛】此题考查了有理数的加法计算，正确掌握有理数加法计算法则是解题的关键．
题型二、有理数加法运算律
1．（25-26 七年级上·北京朝阳·期中）计算
6
2
9
5
6
5
2
9
é
ù
+ -
+ -
+
=
+
+
-
+ -
ë
û 的依据是（ ）
A．加法交换律
B．加法结合律
C．符号化简
D．加法交换律和结合律
【答案】D
【分析】本题考查了有理数的加法，等式左边到右边的变形涉及加数顺序的调整和分组的改变，因此同时
运用了加法交换律和结合律，熟练掌握有理数的加法法则是解此题的关键．
【详解】解：原式
6
2
9
5
+ -
+ -
+ 先通过加法交换律改变顺序为
6
5
2
9
+ + -
+ -
，再通过加法结合律分
组为
6
5
2
9
é
ù
+
+
-
+ -
ë
û ，故依据是加法交换律和结合律，
故选：D．
2．（25-26 七年级上·湖北随州·期末）小慧同学解题时，先将式子
1
4
4
5
5
æ
ö
æ
ö
-
+
+ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø 变成
1
4
4
5
5
é
ù
æ
ö
æ
ö
+
-
+ -
ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
è
ø
ë
û
，
再计算结果，则小慧同学运用了（ ）
A．加法交换律
B．加法结合律
C．加法交换律与结合律
D．分配律
【答案】C
【分析】本题主要考查了有理数的加法，在进行加法运算时，往往利用加法交换律和结合律，进行凑整计
算．
小慧同学将原式中的加数顺序改变，并将后两个加数结合，同时运用了加法交换律和结合律．
【详解】原式为
1
4
4
5
5
æ
ö
æ
ö
-
+
+ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ，小慧将其变为
1
4
4
5
5
é
ù
æ
ö
æ
ö
+
-
+ -
ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
è
ø
ë
û
，
∵交换了加数4 的位置，
∴使用了加法交换律；
∵将
1
5
æ
ö
-
ç
÷
è
ø 和
4
5
æ
ö
-
ç
÷
è
ø 结合，
∴使用了加法结合律，
综上，运用了加法交换律与结合律．
故选：C．
3．（24-25 七年级上·河北唐山·期末）如图，这是嘉嘉作业的一部分，在计算过程中使用的运算律表述正确
的是（ ）
1
7
3
0.25
8
8
4
-
-
-
1
3
1
7
4
4
8
8
=
-
-
-
①
1
3
1
7
4
4
8
8
æ
ö
æ
ö
=
-
+ -
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ②
A．①②都是加法交换律
B．①②都是加法结合律
C．①是加法交换律，②是加法结合律
D．①是加法结合律，②是加法交换律
【答案】C
【分析】本题考查加法交换律和结合律的识别；加法交换律形式为
+
=
+
a
b
b
a ；加法结合律形式为
a
b
c
a
b
c
+
+
=
+
+
，据此判断所使用的运算律即可．
【详解】解：∵原式为
1
7
3
0.25
8
8
4
-
-
-
，步骤①将其改写为1
3
1
7
4
4
8
8
-
-
-
，
∴将
3
4
-
的位置从末尾调整到第二位，改变了加数的顺序，
∴应用了加法交换律，
∵步骤②将算式分为1
3
1
7
4
4
8
8
æ
ö
æ
ö
-
+ -
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø，通过添加括号将原式分组计算，改变了加法的运算顺序，
∴应用了加法结合律.
∴①是加法交换律，②是加法结合律．
故选：C．
4．运用加法交换律和加法结合律填空：
1
1
1
3
1
3
2
4
3
3
4
-
-
+
-
= （___________）+（___________）．
【答案】
1
3
14
4
-
-
1
1
3
2
3
3
-
+
【分析】本题考查了有理数的加法交换律和结合律，解题的关键是掌握常见简便计算的方法与技巧．根据
有理数的加法交换律和结合律求解即可．
【详解】解：
1
1
1
3
1
3
1
1
1
3
2
1
3
2
4
3
3
4
4
4
3
3
æ
ö
æ
ö
-
-
+
-
= -
-
+ -
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø，
故答案为：
1
3
14
4
-
-
，
1
1
3
2
3
3
-
+
．
5．（24-25 七年级上·全国·课后作业）计算：1
3
3
2
3
2
5
8
4
5
4
5
æ
ö
æ
ö
+ -
+
+ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
【答案】2
-
【分析】此题主要考查有理数的运算，解题的关键是熟知其运算法则．利用加法交换律和结合律简化运算
求解即可．
【详解】解：原式
1
3
3
2
3
5
2
8
4
4
5
5
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
+
+
-
+ -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
9
( 11)
=
+ -
2
= - ．
6．（24-25 七年级上·福建泉州·期末）计算：
3
2
1
2
5
2.75
5
4
3
3
æ
ö
+
+ -
+ -
ç
÷
è
ø
【答案】1
3
【分析】本题主要考查了有理数加法的运算，熟练掌握有理数加法的计算方法是解题的关键，原式先将2.75
-
化为
3
2 4
-
，再运用加法的交换律和结合律进行计算即可得到答案．
【详解】解：
3
2
1
2
5
2.75
5
4
3
3
æ
ö
+
+ -
+ -
ç
÷
è
ø
3
2
3
1
2
5
2
5
4
3
4
3
æ
ö
æ
ö
=
+
+ -
+ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
3
3
2
1
2
2
5
5
4
4
3
3
æ
ö
æ
ö
=
-
+
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
1
0
3
=
+
1
3
=
．
题型三、有理数加法中的符号问题
1．（25-26 七年级上·安徽合肥·期末）已知a
b
、为有理数，且
0
0
0
a
b
a
b
>
<
+
<
，
，
，则a
b
a
b
-
-
，，，
的大小
关系是（ ）
A．a
a
b
b
- <
<
< -
B．a
b
a
b
- <
<
< -
C．b
a
a
b
- < - <
<
D．b
a
a
b
< - <
< -
【答案】D
【分析】本题考查了有理数比较大小，有理数加法，根据题意得到a
b
<
，进而根据有理数的大小比较法
则分析得出结论即可．
【详解】解：Q
0
0
0
a
b
a
b
>
<
+
<
，
，
，
a
b
\
<
，
b
a
a
b
\ < - <
< - ，
故选：D．
2．（24-25 七年级上·浙江杭州·期中）若
0
x >
，
0
y <
，
0
x
y
+
> ，则下列关系正确的是（ ）
A．y
x
y
x
< - < -
<
B．y
x
x
y
< - <
< -
C．x
y
x
y
- <
<
< -
D．x
y
y
x
- <
< -
<
【答案】D
【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，由于
0
x >
，
0
y <
，
0
x
y
+
> ，则
0
x
y
> -
>
，
0
x
y
- <
<
，
进而可得答案．
【详解】解：∵
0
x >
，
0
y <
，
0
x
y
+
> ，
∴
0
x
y
> -
>
，
0
x
y
- <
<
，
∴
0
x
y
y
x
> -
>
>
> - ，
∴x
y
y
x
- <
< -
<
，
故选：D．
3．（24-25 七年级上·青海海东·期末）两个有理数的和是正数．则（ ）
A．必须是两个正数
B．可以是两个负数
C．可以是一个正数一个负数，且正数的绝对值较大
D．可以是一个正数一个负数，且负数的绝对值较大
【答案】C
【分析】本题考查了有理数加法的基本规则和正负数相加时的和的符号判断．通过理解正数和负数相加的
规则，可以快速准确地判断出两个有理数的和为正数时，两数可能的正负组合情况，进而选出正确答案．在
处理此类问题时，清晰地识别并应用数学规则是关键．
【详解】解：A：若两个数都是正数，显然它们的和也为正数，A 错误；
B：若两个数都是负数，它们的和必然为负数，B 错误；
C：若两个数一正一负，为了使和为正数，正数的绝对值必须大于负数的绝对值，C 正确；
D：若两个数一正一负，为了使和为正数，正数的绝对值必须大于负数的绝对值，D 错误．
故选：C ．
4．如果
a
b
+
的值是负数，则a 与b 的值 （ ）
A．一定都是正数
B．一定都是负数
C．一定是一个正数，一个负数
D．至少有一个是负数
【答案】D
【分析】本题考查了有理数的加法，根据理数的加法的法则判断即可．
【详解】解：
a
b
+
Q
的值是负数，
\a 与b 的值中至少有一个是负数．
故选：D．
5．（25-26 七年级上·辽宁大连·阶段检测）下列说法正确的是（ ）
A．两个数的和一定大于每个加数
B．两个数的和等于0，则这两个数都是0
C．两个数异号，且正数的绝对值较大，则这两个数的和是正数
D．两个数的和为正数，则这两个数都是正数
【答案】C
【分析】本题考查了有理数加法的相关概念.
根据有理数加法的相关概念逐一判断即可.
【详解】A. 当一个加数为负时，两个数的和小于最大的加数，原说法错误；
B. 两个数的和等于0，则这两个数互为相反数，原说法错误；
C. 两个数异号，且正数的绝对值较大，则这两个数的和是正数，原说法正确；
D. 两个数的和为正数，这两个数不一定都是正数，例如
5
2
3
+ -
=
，和为正数，但两个加数不都是正数，
故原说法错误，
故选：C.
6．（23-24 七年级上·广东中山·阶段检测）将
6
7
5
2
- - +
+ -
- -
改写成省略加号的和的形式应为
__________．
【答案】6
7
5
2
- -
- +
【分析】根据如果括号前面是正号，直接去掉括号，括号内的数不变号，如果括号前面是负号，去掉括号，
括号内的数变为原来的相反数，据此进行运算，即可得出答案．
【详解】
6
7
5
2
6
7
5
2
- - +
+ -
- -
= - -
- +
，
故答案为：6
7
5
2
- -
- +
．
【点睛】本题考查了去括号法则，熟练掌握知识点是解题的关键．
题型四、有理数加法在生活中的应用
1．
（25-26 七年级上·河北唐山·期末）微信支付方便生活．如图是某人某天的微信支付账单，
如果支出用负数表示，收入用正数表示，则这个人一天的收支情况表述正确的是（ ）
A．收入18元
B．支出69 元
C．支出18元
D．结余69 元
【答案】C
【分析】本题考查正负数的意义，支出用负数表示，收入用正数表示，根据某人某天的微信支付账单，可
知，69.00
+
表示某人某天收入69 元，18.00
-
表示某人某天支出18元，结余
69
18
51
+ -
=
元，判断出正确
选项．
【详解】解：由微信支付账单可知，69.00
+
表示某人某天收入69 元，18.00
-
表示某人某天支出18元，结余
69
18
51
+ -
=
元，
\正确的选项是C ．
故选：C．
2．（25-26 七年级上·福建厦门·期末）下表记录了某公司2025 年四个季度的盈亏情况（记盈利为正，单位：
百万），根据表的数据，该公司2025 年的利润可表示为（ ）
时间
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
盈利
6.8
-
10.7
-
31.5
27.8
新考法
生活情景化
A．
27.8
6.8
- -
B．27.8
6.8
-
C．31.5
27.8
6.8 10.7
+
-
-
D．
31.5
27.8
6.8
10.7
+
- -
- -
【答案】C
【分析】本题考查正负数的实际应用．将四个季度的盈亏数值相加得到全年利润，利用正负数的加法法则
化简即可．
【详解】解：∵盈利记为正，亏损记为负，全年利润为四个季度盈亏情况的总和，
∴全年利润
6.8
10.7
31.5
27.8
31.5
27.8
6.8 10.7
= -
+ -
+
+
=
+
-
-
，
故选：C．
3．（25-26 七年级上·湖南长沙·期末）某日早晨气温是2
- ℃，到中午时气温上升了5℃，则中午的气温是
___________℃．
【答案】3
【分析】本题考查了有理数的加法的应用，根据有理数加法法则，计算上升后的气温，理解题意，正确列
式计算是解此题的关键．
【详解】解：∵某日早晨气温是2
- ℃，到中午时气温上升了5℃，
∴中午的气温是2
5
3
- +
= ℃，
故答案为：3．
4．（25-26 七年级上·浙江杭州·期末）随着移动支付的普及，小晨妈妈近期使用“支付宝”进行了五笔交易，
账单如下所示，已知原来账户内有900元，则五笔交易后账户内余额为______元．
支付宝账单
买菜支出134元 134.00
-
一箱纸巾支出109元 109.00
-
转账收入600元 600.00
+
餐饮支出320元 320.00
-
地铁支出5 元 5.00
-
【答案】932
【分析】本题考查正数与负数；理解正数与负数在实际问题中的意义，利用有理数加减进行准确运算是解
题的关键．计算五笔交易的净变化值，再与初始余额相加．
【详解】解：初始余额为900元，五笔交易金额依次为：134
-
元、109
-
元、600
+
元、320
-
元、5
- 元，
交易净变化为：
134
109
600
320
5
-
+ -
+
+ -
+ -
600
134 109
320
5
=
-
+
+
+
600
568
=
-
32
=
（元）
最终余额为900
32
932
+
=
（元）．
故答案为932．
5．（25-26 七年级上·江西赣州·期末）一名运动员在练习往返跑，从原点出发前进记为正数，返回记为负数，
往返记录（单位：米）：8
+ ，6
- ，3
+ ，10
-
，6
- ，9
+ ，1
- ．
(1)通过计算说明该名运动员是否回到了出发点？
(2)该名运动员一共跑了多少路程？
(3)该名运动员离出发点最远的一次是___________米．
【答案】(1)该名运动员没有回到出发点
(2)该名运动员一共跑了43 米
(3)11
【分析】本题考查了正数和负数的意义，有理数的加减运算的应用，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）将所有往返记录相加，若结果为0，则回到出发点，由此判断即可得出结果；
（2）将每次往返记录的绝对值相加即可得出结果；
（3）计算每次移动后离出发点的距离，然后比较大小即可得出结果．
【详解】（1）解：
8
6
3
10
6
9
1
+ + -
+ +
+ -
+ -
+ +
+ -
8
6
3 10
6
9 1
=
-
+ -
-
+
-
3
-
=
（米），
故该名运动员没有回到出发点；
（2）解：
8
6
3
10
6
9
1
+ + -
+ + + -
+ -
+ +
+ -
8
6
3 10
6
9 1
=
+
+ +
+
+
+
43
=
（米），
故该名运动员一共跑了43 米；
（3）解：第一次移动后距离出发点8 米，
第二次移动后距离出发点
8
6
2
+ + -
=
米，
第三次移动后距离出发点
2
3
5
+ +
=
米，
∵
5
10
5
+ -
= - （米），
∴第四次移动后距离出发点5 米，
∵
5
6
11
- + -
= -
（米），
∴第五次移动后距离出发点11米，
∵
11
9
2
-
+ +
= - （米），
∴第六次移动后距离出发点2 米，
∵
2
1
3
- + -
= - （米），
∴第七次移动后距离出发点3米，
∵2
3
5
8
11
<
<
<
<
，
∴该名运动员离出发点最远的一次是11米．
6．（25-26 七年级上·广东中山·期末）一只机器狗从起点出发，在一条南北走向的直线道路上来回跑动，规
定从起点出发向南跑动记为正数，向北跑动记为负数．该机器狗跑动的各段情况依次为：50
+
，100
-
，
30
-
，60
+
，70
-
，80
-
，40
+
，120
+
（单位：米）．
(1)求该机器狗跑动的总路程；
(2)请问该机器狗最终处于起点的什么位置？
【答案】(1)机器狗跑动的总路程是550 米
(2)机器狗最终的位置位于起点的北方10 米处
【分析】本题考查了正数和负数，有理数的加法混合运算，绝对值，掌握相应的运算法则是关键．
（1）求出各段路程的绝对值，再求出它们的和，即可作答；
（2）理解题意，求出各段路程的和，即可作答．
【详解】（1）解：
50
100
30
60
70
80
40
120
+
+ -
+ -
+ +
+ -
+ -
+ +
+ +
50 100
30
60
70
80
40 120
=
+
+
+
+
+
+
+
550
=
（米）
答：机器狗跑动的总路程是550 米．
（2）解：
50
100
30
60
70
80
40
120
+
+ -
+ -
+ +
+ -
+ -
+ +
+ +
50 100
30
60
70
80
40 120
=
-
-
+
-
-
+
+
10
= -
（米）
答：机器狗最终的位置位于起点的北方10 米处．
B 组 能力进阶
1．
魏晋时期，数学家刘徽在《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工
具）分别表示正数和负数（白色为正，黑色为负）．图1 表示的是
23
54
31
+
+ -
= -
的计算过程，则图2 表
示的计算过程是（ ）
A．
22
23
1
-
+ +
=
B．
22
32
10
-
+ +
=
C．
22
32
10
+
+ -
= -
D．
22
23
1
+
+ -
= -
【答案】B
【分析】由白色算筹表示正数，黑色算筹表示负数，即可列式计算．
【详解】解：由白色算筹表示正数，黑色算筹表示负数，可得图2 表示的计算过程是
22
32
10
-
+ +
=
．
2．（25-26 七年级上·贵州毕节·期末）如图，有理数a，b（
0
b >
）在一条隐藏了原点的数轴上分别对应点
A，B，且
0
a
b
+
<
，下列推断正确的是（ ）
A．原点一定在点B 的右侧
B．原点一定在点A 的左侧
C．原点一定在AB 的中点的右侧
D．原点一定在AB 的中点的左侧
【答案】C
能力进阶
B 组
传统文化
【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的加法运算，在原点左边的数小于0，在原点右边的数大于
0，根据题意可得
0
b >
，
0
a <
，
0
2
a
b
+
<
，据此逐一判断即可．
【详解】解：A、∵
0
b >
，
∴原点一定在点B 的左侧，原说法错误，不符合题意；
B、∵
0
b >
，
0
a
b
+
<
，
∴
0
a <
，
∴原点一定在点A 的右侧，原说法错误，不符合题意；
C、∵
0
a
b
+
<
，
∴
0
2
a
b
+
<
，
∴原点一定在AB 的中点的右侧，原说法正确，符合题意；
D、∵
0
a
b
+
<
，
∴
0
2
a
b
+
<
，
∴原点一定在AB 的中点的右侧，原说法错误，不符合题意；
故选：C．
3．（24-25 七年级上·浙江杭州·阶段检测）若|
3|
x -
与
2
8
y +
的值互为相反数，则x
y
+
的值为（ ）
A．5
-
B．5
C．11
D．11
-
【答案】A
【分析】本题考查了互为相反数的两个数之间的关系，绝对值及平方数的非负性．首先利用绝对值及平方
数的非负性，即可求得x、y 的值，再把x、y 的值代入x
y
+
，即可求得其值．
【详解】解：
3
x -
Q
与
2
8
y +
互为相反数，
2
3
8
0
x
y
\
-
+
+
=
，
又
0
|
3|
x -
³
Q
，
2
8
0
y +
³
，
3
0
x
\ -
=
，
8
0
y +
=
，
解得
3
x =
，
8
y = - ，
3
8
5
x
y
\ +
=
+ -
= - ，
故选：A．
4．
（24-25 七年级上·福建福州·期末）我们把不超过有理数x 的最大整数称为x 的整数部
新趋势
新定义问题
分，记作
x ，又把
x
x
-
称为x 的小数部分，记作
x ，则有
x
x
x
=
+
．如：
1.3
1
= ，
1.3
0.3
=
，
1.3
1.3
1.3
=
+
，下列说法中正确的有（ ）个．
①
2.8
2
=
；②
5.3
5
-
= - ；③方程
3
1
3
x
x
x
+ =
+
的解为
0.25
x =
；④若1
2
x
<
<
，且
0.4
x =
，则
1.4
x =
或
1.6
x = -
．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查了新定义，一元一次方程，绝对值和有理数的加减计算．根据新定义即可判断①②；
整理得到
4
1
x = ，由
0
1
x
£
< ，得到
0.25
x =
或
1.25
x =
，据此可判断③；当1
2
x
<
<
时，[ ]
1
x = ，则
[ ]
1.4
x
x
x
=
+
=
；当2< < 1
x
-
- 时，[ ]
2
x = - ，则
[ ]
1.6
x
x
x
=
+
= -
，据此可判断④．
【详解】解：①
2.8
2
=
，原说法正确；
②
5.3
6
5
-
= - ¹ - ，原说法错误；
③∵
x
x
x
=
+
，
3
1
3
x
x
x
+ =
+
，
∴
3
1
3
x
x
x
x
+ =
+
+
，
整理得
4
1
x = ，
∴
0.25
x =
，
∴
0.25
x =
或
1.25
x =
，
2.25
x =
，
3.25
x =
，L原说法错误；
③若1
2
x
<
<
，且
0.4
x =
，
则当1
2
x
<
<
时，[ ]
1
x = ，
则
[ ]
1 0.4
1.4
x
x
x
=
+
= +
=
；
当2< < 1
x
-
- 时，[ ]
2
x = - ，
则
[ ]
2
0.4
1.6
x
x
x
=
+
= - +
= -
，
∴
1.4
x =
或
1.6
x = -
，原说法正确；
∴说法正确的有2 个，
故选：B．
5．（25-26 七年级上·湖北十堰·期末）计算
2
2
11
110
+
的结果用二进制表示为________．
【答案】
2
1001
【分析】本题主要考查了二进制的加法，解题的关键是掌握二进制的规则．
直接进行二进制加法运算，遵循逢二进一的规则．
【详解】解：
2
2
2
11
110
1001
+
=
，
故答案为：
2
1001
．
6．
（25-26 七年级上·重庆·期中）定义一种新运算：
x
y x
y
x
y
x
y
x
y
- +
ìï
Å
= í-
+
£
ïî
>
，则4
( 5)
Å -
的结果为__________．
【答案】9
-
【分析】本题主要考查了新定义下的有理数的加减运算，解题的关键是掌握新定义运算法则．
根据新运算的定义，比较x 和y 的大小关系，选择对应的运算规则．
【详解】解：因为4
5
> - ，
所以使用规则x
y
x
y
Å
= - +
，
代入
4
5
x
y
=
= -
，
，得
4
5
9
- + -
= - ，
故答案为：9
- ．
7．（23-24 七年级上·宁夏吴忠·阶段检测）阅读：对于
5
2
3
1
5
9
17
3
6
3
4
2
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
+ -
+
+ -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø，可以按如下方法计算：
原式
5
2
3
1
5
9
17
3
6
3
4
2
é
ù
é
ù
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
-
+ -
+
-
+ -
+
+
+ - + -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
ê
ú
ê
ú
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
ë
û
ë
û
5
2
1
3
5
9
17
3
6
3
2
4
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
-
+ -
+
+ -
+
-
+ -
+ -
+
é
ù
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
ë
û
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
1
1
0
1
1
4
4
æ
ö
=
+ -
= -
ç
÷
è
ø
．
上面这种方法叫拆项法．
仿照上面的方法，请你计算：
5
5
3
2
3
4
10
12
6
4
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
+ -
+ -
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
．
【答案】1
-
【分析】本题考查了有理数的加法计算，正确理解例题的解题方法并仿照解决问题是解题的关键．根据例
题方法将各带分数拆解，将整数和分数分别相加，再计算加法即可．
【详解】解：
5
5
3
2
3
4
10
12
6
4
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
+ -
+ -
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
5
5
3
2
3
4
10
12
6
4
é
ù
é
ù
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
-
+ -
+
-
+ -
+
-
+ -
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
ê
ú
ê
ú
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
ë
û
ë
û
5
5
3
2
3
4
10
12
6
4
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
é
ù
=
-
+ -
+ -
+
+
-
+ -
+ -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
ë
û
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
1
2
= + -
1
= - ．
C 组 思维拔高
1．（24-25 七年级上·河北石家庄·阶段检测）嘉嘉和淇淇用扑克牌做数学游戏，如图所示，两人手中各有四
张扑克牌，并且都不知道对方手中的牌．游戏规则是：将方块“◆”记为正分，如“◆2”记为2
+ 分，将梅花“♣”
记为负分，如“♣3”记为3
- 分；两人各自同时从对方手中任意取一张牌，与手中剩余的牌计算总分，得分高
的人获胜．
(1)若嘉嘉从淇淇手中抽到“◆7”，同时淇淇从嘉嘉手中抽到“♣7”，分别计算此时嘉嘉和淇淇手中牌的总分，
并判断谁获胜；
(2)若两人互相任意抽取一张牌后，淇淇手中牌的总分最高可能是多少？
(3)在两人互相任意抽取一张牌后，直接
．．写出嘉嘉手中牌与淇淇手中牌的总分之和．
【答案】(1)嘉嘉和淇淇手中牌的总分分别为8 ，8
- ，嘉嘉获胜
(2)14
(3)0
【分析】本题考查的是有理数的加减混合运算，有理数的大小比较，理解题意是关键；
（1）根据互换1 张牌后，根据牌型列式分别计算，再比较大小即可；
（2）根据两人互相任意抽取一张牌后，淇淇手中牌的总分要最高，则嘉嘉从淇淇手中抽到“♣4”，同时淇淇
从嘉嘉手中抽到“◆4”，再列式计算即可；
（3）两人互相任意抽取一张牌后，嘉嘉手中牌与淇淇手中牌的总分之和与互换牌型没有关系，再列式计算
即可．
思维拔高
C 组
【详解】（1）解：∵嘉嘉从淇淇手中抽到“◆7”，同时淇淇从嘉嘉手中抽到“♣7”，
∴嘉嘉的分数为：7
4
2
5
8
+ +
+
-
=
，淇淇的分数为：7
6
4
3
8
- +
-
-
= - ，
∵8
8
> - ，
∴嘉嘉获胜．
（2）解：两人互相任意抽取一张牌后，淇淇手中牌的总分要最高，
∴嘉嘉从淇淇手中抽到“♣4”，同时淇淇从嘉嘉手中抽到“◆4”
∴淇淇手中牌的总分最高为：7
6
4
3
14
+
+
-
=
；
（3）解：两人互相任意抽取一张牌后，嘉嘉手中牌与淇淇手中牌的总分之和为：
4
5
7
2
7
6
4
3
0
- -
+
+
+
-
-
=
．
2．
阅读下列内容，并完成相关问题：
小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．”然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则
进行运算的算式：
( 4)
( 2)
6
+
+
= +
※
；( 4)
( 3)
7
-
-
= +
※
；
( 5)
( 3)
8
-
+
= -
※
；( 9)
( 7)
16
+
-
= -
※
；
( 8)
0
8
+
=
※
；0
( 9)
9
-
=
※
．
小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了．”
聪明的你也明白了吗？
(1)归纳※（加乘）运算的运算法则：
两数进行※（加乘）运算时， ．
特别地，0 和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0 进行※（加乘）运算， ．
(2)计算：
( 2)
( 3)
( 12)
0
-
+
-
※
※
※
（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）
(3)我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的※（加乘）运算中还适用吗？ 请分别给出你
的判断，并举例验证．（每个运算律举一个例子即可）
【答案】(1)同号得正、异号得负，并把绝对值相加；都得这个数的绝对值
(2) 17
-
(3)
交换律仍然适用，
例如：( 3)
( 5)
8,( 5)
( 3)
8
-
-
=
-
-
=
※
※
，
所以( 3)
( 5)
( 5)
( 3)
-
-
= -
-
※
※
，
新趋势
新定义问题
故交换律仍然适用．
结合律不适用，
举例：[( 3)
4] 0
7,( 3) [4
0]
7
-
=
-
= -
※ ※
※ ※
，
[( 3)
4] 0
( 3) [4
0]
\ -
¹ -
※ ※
※ ※
，
所以结合律不适用．
【分析】本题考查了新定义，有理数的加法运算，加法运算法，正确理解新定义的运算法则是解题的关键．
（1）根据所给示例，进行总结即可；
（2）根据总结的运算法则进行计算即可；
（3）可选择加法交换律，根据运算法则举例计算，即可得出结论．
【详解】（1）解：同号得正、异号得负，并把绝对值相加；
都得这个数的绝对值．
（2）解；原式
( 5) 12
17
= -
= -
※
；
（3）略
3．
（1）比较下列各式的大小：5
3
+
________ 5
3
+
，5
3
- + -
________
5
3
-
+ -
，5
3
- +
________
5
3
-
+
，
0
5
+ - ________
0
5
+ -
；
（2）通过（1）的比较、观察，请你归纳猜想：当a，b 为有理数时，a
b
+
________ a
b
+
；（填“ >”“<”或
“ = ”）
（3）根据以上信息，小华提出：“当
2
2
x
x
+ -
=
-
成立时，x 是负数”，你同意他的观点吗？请说明理由．
【答案】（1）= ，= ，>，= ；（2）>或= ；（3）小华的观点是不正确的．
【分析】（1）将绝对值化简，然后比较大小即可；
（2）根据第一问结果，即可以归纳为“³”；
（3）根据（1）中第二、四个式子，推测出x 的取值范围，即可判断．
【详解】解：（1）
5
3
8
5
3 =
+
+
= ，5
3
8
8
+
=
= ，因此5
5
3
3
+
=
+
；
8
5
5
3
3 =
-
+
+
=
-
，
8
5
8
3 =
-
-
+
=
-
，因此
5
3
5
3
=
-
+ -
-
+ -
；
5
3
8
5
3 =
+
+
=
-
，
2
5
2
3 = -
+
=
-
，因此
5
3
5
3
>
-
+
-
+
；
0
5
5
0
5 =
-
+
+
=
，
5
0
5
5
+ -
= -
=
，因此
0
5
0
5
+ -
+ -
=
；
故答案为：=，=，＞，=；
（2）由（1）得：a
b
a
b
+
³
+
，
故答案为：>或= ；
（3）根据（1）中第二、四个式子，得规律：
当a，b 同号时，则a
b
a
b
+
=
+
；当a，b 异号时，则a
b
a
b
+
>
+
；当其中一个为0 时，a
b
a
b
+
=
+
，
∵
2
2
x
x
+ -
=
-
，
∴
0
x £
，即x 是负数或零，
故小华的观点是不正确的．
【点睛】此题主要考查去绝对值的规律探索，解题的关键是根据去绝对值的法则先化简，再发现规律．
拓展 衔接中考
1．（2026·天津·中考真题）计算
5
2
+ -
的结果等于（ ）
A．7
-
B．7
C．3
-
D．3
【答案】D
【详解】解：
5
2
5
2
3
+ -
=
-
=
．
2．（2026·河南·中考真题）某地一天早晨的气温是3 C
- °
，到中午升高了5 C
° ，则中午的气温是（ ）
A．3 C
- °
B．2 C
- °
C．2 C
°
D．5 C
°
【答案】C
【详解】解：由题意得 ：
3
5
2
- +
=
℃．
3．（2026·湖北·中考真题）数轴上表示数a ，b 的点如图所示，则a
b
+
_____0．（填“ >”“ = ”或“<”）
【答案】>
【详解】解：由数轴可得，
0
,
<
<
<
a
b a
b
∴
0
a
b
+
>
．
4．（2024·陕西·中考真题）小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，2
- ，1
- ，1，2 这五个数分
别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可
以是________．（写出一个符合题意的数即可）
衔接中考
拓展
【答案】0
【分析】本题考查有理数的运算，根据横向三个数之和与纵向三个数之和相等，进行填写即可得出结果．
【详解】解：由题意，填写如下：
1 0
1
0 2
0
2
0
+
+ -
=
+
+ -
=
，
，满足题意；
故答案为：0．
