2.3 有理数的乘方
课标要点
1. 结合实例理解乘方、底数、指数、幂的概念，区分(−a)n 与−an 的意义。
2. 掌握乘方符号法则，熟练进行有理数乘方运算；掌握含乘方的四则混合运算顺序。
3. 会用科学记数法表示大数并还原原数；理解近似数、精确度，会四舍五入取近似值。
4. 能用乘方解决对折、细胞分裂等实际规律问题，发展运算与归纳推理能力。
学习重难点
重点：
1. 乘方相关概念，乘方符号运算规则。
2. 有理数混合运算顺序（先乘方，再乘除，后加减）。
3. 科学记数法表示大数；近似数精确度判断与四舍五入。
难点：
1. 区分(−a)n 与−an，准确判断负底数乘方符号。
2. 混合运算中符号、括号处理，易漏算、错算符号。
3. 确定科学记数法中 10 的指数；带单位大数的近似数精确位数判断。
4. 乘方规律探究、分段代数式综合求值题型。
第一章
有理数
知识点
有理数的乘方的意义
◆有理数乘方的定义：求n 个相同乘数的积的运算，叫做乘方．一般地，n 个相同的数a 相乘，
n
a
a
a
a
a
个
简记为
n
a ，即
n
n
a
a
a
a
a
a
个
.乘方的结果叫做幂，在an 中，a 叫做底数，n 叫
做指数．an 读作a 的n 次方，也可以读作a 的n 次幂．（将an 看作是a 的n 次方的结果时）
【注意】
（1）一个数可以看作这个数本身的一次方，例如，5 就是51 ，指数1 通常省略不写.
（2）指数是2 时读作平方（或二次方），指数是3 时读作立方（或三次方）.
（3）指数n 是正整数，底数a 可以是任意有理数.
随学随练
1．（26-27 七年级·全国·暑假作业）计算(−3)2可以表示为（ ）
A．(−3) × 2
B．(−3) + 2
C．(−3) × (−3)
D．(−3) + (−3)
【答案】C
【详解】解：根据有理数幂的意义得：(−3)2 = (−3) × (−3)．
2．（22-23 七年级上·全国·期末）(−2)3下列说法中不正确的是（ ）
A．表示3 个2 相乘
B．底数是−2
C．指数是3
D．幂为−8
【答案】A
【详解】解：A．(−2)3表示的是3 个(−2)相乘，即选项A 错误，符合题意；
B．(−2)3的底数是−2，故选项B 正确，不符合题意；
C．(−2)3的指数是3，故选项C 正确，不符合题意；
D．(−2)3 = −8，故选项D 正确，不符合题意．
知识点
有理数的乘方运算
◆1、乘方运算的符号法则：
（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
（2）正数的任何正整数次幂都是正数，
0 的任何正整数次幂都是 0.
◆2、有理数的乘方运算
计算一个有理数的乘方时，应将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值.
随学随练
3．（26-27 七年级·全国·暑假作业）计算：
(1)−
3
2
2
；
(2)−−
3
2
2
；
(3)−53；
(4)−
42
3 ．
【答案】(1)−
9
4
(2)−
9
4
(3)−125
(4)−
16
3
【详解】（1）解：−
3
2
2
= −
3
2 ×
3
2 = −
9
4；
（2）解：−−
3
2
2
= −
−
3
2 × −
3
2
= −
9
4
（3）解：−53 = −(5 × 5 × 5) = −125；
（4）解：−
42
3 = −
4×4
3 = −
16
3 ．
知识点
有理数的混合运算
◆有理数的混合运算：
（1）有理数混合运算顺序：①先算乘方，再算乘除，最后算加减；②同级运算，应按从左到右的顺序进
行计算；③如果有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
随学随练
4．（25-26 七年级上·湖南长沙·期末）计算：
(1)(−1)2025 + |−6| ×
1
3 + (−2)2 × 2；
(2)−32 + (−5) × 2 + (−3)2．
【答案】(1)9
(2)−10
【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，熟练掌握相关运算法则为解题关键．
（1）先算乘方，再算乘法，最后算加减即可；
（2）先算乘方，再算乘法，最后算加减即可．
【详解】（1）解：(−1)2025 + |−6| ×
1
3 + (−2)2 × 2
= −1 + 6 × 1
3 + 4 × 2
= −1 + 2 + 8
= 9；
（2）−32 + (−5) × 2 + (−3)2
= −9−10 + 9
= −10．
知识点
科学记数法
◆1、科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10 的数记成a×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，n 是正整数，
这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n 为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a 的要求和10 的指数n 的表示规律为关键，由于10 的指数比原来的整数位数少1；按此
规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10 的指数n．
②记数法要求是大于10 的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10 的负数同样可用此法表示，只是
前面多一个负号．
◆2、科学记数法—原数
（1）科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a 的小数点向右移动n 位所得到的数．
（2）把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科
学记数法表示一个数是否正确的方法．
随学随练
5．（25-26 七年级下·贵州铜仁·期末）人工智能（AI）正在改变我们的生活，随着技术的不断突破，AI产品
用户数量也呈现出爆发式增长，其中有一款国产AI应用表现突出，在2026 年春节期间，日用户峰值达到
145000000 人，其中145000000 用科学记数法表示为（ ）
A．0.145 × 109
B．1.45 × 109
C．1.45 × 108
D．14.5 × 107
【答案】C
【详解】解：145000000 = 1.45 × 108．
6．（2026·河南周口·三模）2026 年河南文旅综合收入突破 6.28 × 1011元， 6.28 × 1011原数为（ ）
A．62800000000 B．628000000000
C．6280000000
D．0.628 × 1012
【答案】B
【分析】本题考查科学记数法还原为原数，根据科学记数法定义，将𝑎× 10𝑛还原时，只需把𝑎的小数点向
右移动𝑛位即可得到原数．
【详解】∵6.28 × 1011中𝑛= 11，
∴将6.28的小数点向右移动11位，得到原数为628000000000，故选B．
知识点
近似数
◆1、准确数：与实际完全符合的数，叫做准确数.
◆2、近似数：许多实际情况中，较难取得准确数，把接近准确数但不等于准确数的数称为近似数.
◆3、近似数的精确度：近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示.
◆4、确定近似数的精确度的方法：看这个近似数的最后一位数字，它在哪个数位上就说明该近似数精确
到哪个数位.
◆5、取近似数的方法：根据精确度取近似数时，要采用四舍五入法；在实际问题中，特殊情况下使用去
尾法或进一法.
随学随练
7．（24-25 六年级上·山东烟台·期中）下列说法正确的是（ ）
A．0.318 精确到百分位
B．3.6 万精确到个位
C．5.07 × 103精确到十位
D．3000 精确到千位
【答案】C
【分析】本题考查近似数精确位数的判断，只需确定最后一位有效数字在原数中的位置，得到对应精确位
数后逐个判断选项即可．
【详解】解：∵近似数的精确位数由最后一位有效数字在原数中的位置决定，逐个判断选项：
A.0.318的最后一位在千分位，因此精确到千分位，原说法错误，
B.3.6万= 36000，6在千位，因此精确到千位，原说法错误，
C.5.07 × 103 = 5070，7在十位，因此精确到十位，原说法正确，
D.近似数3000的精确数位具有不确定性，故原说法错误．
题型一 有理数乘方的概念
▌例1 （24-25 七年级上·全国·课后作业）−25表示的意义是（ ）
A．5 个−2相乘
B．5 个2 相乘的相反数
C．2 个−5相乘
D．2 个5 相乘的相反数
【答案】B
【分析】本题考查乘方的定义，掌握定义是解决问题的关键．利用乘方的定义判断即可．
【详解】解：−25是5 个2 相乘的相反数．
故选：B ．
▌对点练1-1 （25-26 七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）对乘积(−2025) × (−2025) × (−2025) × (−2025)
记法正确的是（ ）
A．−20254
B．(−2025)4
C．−(−2025)4
D．−( +2025)4
【答案】B
【分析】根据乘方定义即可判断；
【详解】解：∵根据乘方定义，𝑛个相同因数𝑎相乘，记作𝑎𝑛，其中𝑎为底数，𝑛为指数，
解题贴士
有理数乘方的定义：求n 个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做幂，在an 中，a 叫做底数，
n 叫做指数．an 读作a 的n 次方．（将an 看作是a 的n 次方的结果时，也可以读作a 的n 次幂．）
本题中共有4个相同因数(−2025)相乘，
∴底数为(−2025)，指数为4，正确记法为(−2025)4．
▌对点练1-2 下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．2 和
1
2
B．2 和|−2|
C．1 和(−1)2
D．32和−32
【答案】D
【详解】解：A．2 +
1
2 ≠0，不满足相反数定义，A 错误．
B．|−2| = 2，两数相等，不满足相反数定义，B 错误．
C．(−1)2 = 1，两数相等，不满足相反数定义，C 错误．
D．32 = 9，−32 = −9，满足9 + (−9) = 0，符合相反数定义，D 正确．
▌对点练1-3（25-26 七年级上·全国·课后作业）（1）在−35中，底数是
，指数
．
（2）在(−5)7中，底数是
，指数是
．
【答案】
3
5
−5
7
【分析】本题主要考查了乘方的定义，根据乘方的定义，在𝑎𝑛中，𝑎是底数，𝑛是指数．
（1）对于−35，负号是运算符号，底数是 3；
（2）对于(−5)7，括号内整体是底数．
【详解】解：（1）在−35中，乘方部分是35，因此底数是3，指数是5；
故答案为：3；5
（2）在 (−5)7中，括号表示底数是−5，指数是7，
故答案为：−5；7
题型二 有理数的乘方运算
▌例2（25-26 七年级上·广东江门·期中）下列各对数值相等的是（ ）
A．(−2)5和−(−2)5
B．−(−32)和(−3)2
C．−3 × 23和−32 × 2
D．−(−3)2和−(−2)3
【答案】B
【分析】本题需依据乘方运算的符号规则与运算顺序，分别计算每个选项中两个式子的结果，再对比是否
相等．
【详解】解：∵(−2)5 = −32，−(−2)5 = −(−32) = 32，−32 ≠32，
∴A 选项数值不相等，不符合题意；
∵−(−32) = −(−9) = 9，(−3)2 = 9，9 = 9，
∴B 选项数值相等，符合题意；
∵−3 × 23 = −3 × 8 = −24，−32 × 2 = −9 × 2 = −18，−24 ≠−18
∴C 选项数值不相等，不符合题意；
∵−(−3)2 = −9，−(−2)3 = −(−8) = 8，−9 ≠8
∴D 选项数值不相等，不符合题意，
故选：B
▌对点练2-1 （2026·江苏南京·二模）下列四个数中，是负数的是（ ）
A．|−5|
B．(−5)2
C．−(−5)
D．−52
【答案】D
【分析】本题先根据绝对值、乘方、相反数的运算法则化简每个选项，再根据负数的定义判断即可得到结
果．
【详解】解：选项A：∵|−5| = 5 > 0，∴A 不是负数；
选项B：∵(−5)2 = 25 > 0，∴B 不是负数；
选项C：∵−(−5) = 5 > 0，∴C 不是负数；
选项D：∵−52 = −25 < 0，∴D 是负数．故选D．
▌对点练2-2 下列算式中，正确的是（ ）
A．−(−2)2 = 4
B．−22 = 4
C．(−2)2 = −4
D．(−2)3 = −8
【答案】D
【分析】本题考查有理数的乘方运算，根据乘方的定义计算每个选项，即可判断正误．
【详解】解：对选项A，∵−(−2)2 = −4 ≠4 ，∴ A 错误；
对选项B，∵−22 = −(2 × 2) = −4 ≠4 ，∴ B 错误；
解题贴士
1、有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；
2、乘方的符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0 的任何
正整数次幂都是0．
对选项C，∵(−2)2 = (−2) × (−2) = 4 ≠−4 ，∴ C 错误；
对选项D，∵(−2)3 = (−2) × (−2) × (−2) = −8 ，∴ D 正确．
▌对点练2-3（26-27 七年级·全国·小升初衔接）计算：
(1) −
3
4
2
；
(2)(−5)3；
(3)−(−3)2；
(4)[−(−2)]3．
【答案】(1)
9
16
(2)−125
(3)−9
(4)8
【分析】（1）根据有理数的乘方计算即可；
（2）根据负数的奇数次幂是负数，确定符号，再根据有理数的乘方法则求解即可；
（3）先确定结果的符号为负，再计算即可；
（4）根据−(−2) = 2，再计算立方即可．
【详解】（1）解：−
3
4
2
=
9
16；
（2）解：(−5)3 = −53 = −125；
（3）解：−(−3)2 = −9；
（4）解：[−(−2)]3 = 23 = 8．
题型三 含乘方的有理数的混合运算
▌例3（25-26 七年级上·全国·期中）小李同学做了以下几道计算题，其中做对的题的数量为（ ）
①8−4 × −
3
2 = 4 × −
3
2 = −6；
②−7 ÷ 9 ×
1
9 = −7 ÷ 1 = −7；
③−24−(−2)4 = −16−16 = −32；
④4 × 23−3 × 9 = 4 × 6−27 = −3．
A．1 道
B．2 道
C．3 道
D．4 道
【答案】A
【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
按照有理数混合运算的计算方法，逐一计算，进一步比较得出答案即可．
【详解】解：①8−4 × −
3
2 = 8 + 4 ×
3
2 = 8 + 6 = 14，原题计算错误；
②−7 ÷ 9 ×
1
9 = −
7
9 ×
1
9 = −
7
81，原题计算错误；
③−24−(−2)4 = −16−16 = −32，原题计算正确；
④4 × 23−3 × 9 = 4 × 8−27 = 32−27 = 5，原题计算错误，
综上所述，正确的是③，有1 道，
故选：A．
▌对点练3-1 （26-27 七年级·全国·小升初衔接）计算：
(1)−52 × −
1
5
2
−(−3)3 ÷ (−6)．
(2)(−10)4 + −8 ÷ −
1
2 −(3 ÷ 32)× 2
【答案】(1)−
11
2
(2)10015
1
3
【详解】（1）解：−52 × −
1
5
2
−(−3)3 ÷ (−6)
= −25 × 1
25 −(−27) ÷ (−6)
= −1−9
2
= −
11
2 ．
（2）解：(−10)4 + −8 ÷ −
1
2 −(3 ÷ 32)× 2
= 10000 + [16−(3 ÷ 9) × 2]
解题贴士
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行
计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
= 10000 + 16−
2
3
= 10000 + 15 1
3
= 10015
1
3．
▌对点练3-2 （26-27 七年级·全国·小升初衔接）计算：
(1)(−3)2−1
1
2
3
×
2
9−6 ÷ |−
2
3|；
(2)−14−
1
2 −
1
3 × [(−2)3−(−3)2]
【答案】(1)−
3
4；
(2)
11
6
【详解】（1）解：(−3)2−1
1
2
3
×
2
9−6 ÷ |−
2
3|
= 9−27
8 × 2
9 −6 ÷ 2
3
= 9−3
4 −9
= −
3
4；
（2）解：−14−
1
2 −
1
3 × [(−2)3−(−3)2]
= −1−1
6 × (−8−9)
= −1−1
6 × (−17)
= −1 + 17
6
=
11
6 ．
▌对点练3-3（26-27 七年级·全国·小升初衔接）计算：
(1)−14 + (−2)3 ÷ −
1
2 −(−3)2
(2)(−48) ÷ 6−(−5) × (−4) + (−2)2
(3)(−2)3 × (−3)2−(−6) ÷ −
1
3
【答案】(1)6
(2)−24
(3)−90
【详解】（1）解：−14 + (−2)3 ÷ −
1
2 −(−3)2
= −1 + (−8) ÷ −
1
2 −9
= −1 + 16−9
= 6
（2）解：(−48) ÷ 6−(−5) × (−4) + (−2)2
= −8−20 + 4
= −24
（3）解：(−2)3 × (−3)2−(−6) ÷ −
1
3
= (−8) × 9−(−6) × (−3)
= −72−18
= −90
题型四 乘方与相反数、倒数、绝对值等的综合
▌例4（25-26 七年级上·山东滨州·阶段检测）如果𝑎，𝑏互为相反数，𝑐，𝑑互为倒数，𝑥的绝对值是2，𝑦是最
大的负整数，求代数式
𝑎+𝑏
𝑥+ 𝑥2−𝑐𝑑+ 𝑦2023的值．
【答案】2
【分析】本题考查相反数、倒数、绝对值、负整数定义及代数式求值．根据题意得到𝑎+ 𝑏= 0，𝑐𝑑= 1，
|𝑥| = 2，𝑦= −1，整体代入即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
𝑎+ 𝑏= 0，𝑐𝑑= 1，|𝑥| = 2，𝑦= −1，
∴𝑥2 = 4，
𝑎+ 𝑏
𝑥
+ 𝑥2−𝑐𝑑+ 𝑦2023
= 0
𝑥+ 4−1 + (−1)2023
= 0 + 4−1−1
= 2．
▌对点练4-1 （24-25 七年级上·湖南长沙·期中）已知a，b 互为相反数，c，d 互为倒数，m 的绝对值等于
2，求𝑚2 + (𝑎+ 𝑏) ⋅𝑚+ (−𝑐𝑑)2024的值．
【答案】5
【分析】此题考查了有理数的混合运算，利用相反数、倒数以及绝对值的代数意义求出各自的值，代入原
式计算即可求出值．
【详解】解：∵a，b 互为相反数，c，d 互为倒数，m 的绝对值等于2，
∴𝑎+ 𝑏= 0，𝑐𝑑= 1，𝑚=± 2，
∵22 = (−2)2 = 4，
∴𝑚2 = 4，
∴𝑚2 + (𝑎+ 𝑏) ⋅𝑚+ (−𝑐𝑑)2024 = 4 + 0 × 𝑚+ (−1)2024 = 4 + 0 + 1 = 5．
▌对点练4-2 已知𝑎,𝑏互为相反数，𝑐,𝑑互为倒数，𝑥的绝对值等于2，试求：𝑥2−(𝑎+ 𝑏+ 𝑐𝑑)𝑥+ (𝑎+ 𝑏)2003 +
(−𝑐𝑑)2003的值．
【答案】1 或5
【分析】本题考查了相反数的性质，倒数的性质，绝对值的性质，已知字母的值求代数式的值，先根据𝑎,𝑏
互为相反数，𝑐,𝑑互为倒数，𝑥的绝对值等于2，得出𝑎+ 𝑏= 0,𝑐𝑑= 1,𝑥=± 2，再分别代入𝑥2−(𝑎+ 𝑏+ 𝑐𝑑)𝑥+
(𝑎+ 𝑏)2003 + (−𝑐𝑑)2003进行计算，即可作答．
【详解】解：∵𝑎,𝑏互为相反数，𝑐,𝑑互为倒数，𝑥的绝对值等于2，
∴𝑎+ 𝑏= 0,𝑐𝑑= 1,𝑥=± 2，
∴𝑎+ 𝑏+ 𝑐𝑑= 0 + 1 = 1，𝑥2 = 4,−𝑐𝑑= −1，
∴𝑥2−(𝑎+ 𝑏+ 𝑐𝑑)𝑥+ (𝑎+ 𝑏)2003 + (−𝑐𝑑)2003
= 4−1 × 𝑥+ 0 + (−1)2003
= 3−𝑥
当𝑥= 2时，则3−𝑥= 3−2 = 1，
当𝑥= −2时，则3−𝑥= 3−(−2) = 5，
解题贴士
1、互为相反数的两个数的偶次幂相等、奇次幂仍互为相反数；
2、相反数是它本身的数是0；
3、倒数等于它本身的数是1 和﹣1；
4、绝对值和偶次方都具有非负性.
∴𝑥2−(𝑎+ 𝑏+ 𝑐𝑑)𝑥+ (𝑎+ 𝑏)2003 + (−𝑐𝑑)2003的值为1 或5．
▌对点练4-3（25-26 七年级上·湖南岳阳·期中）已知𝑎，𝑏互为相反数，𝑐，𝑑互为倒数，𝑚的绝对值等于2，
(1)写出𝑎+ 𝑏，𝑐𝑑，𝑚的值；
(2)求𝑚2 + (𝑎+ 𝑏) ⋅𝑚+ (−𝑐𝑑)2025的值．
【答案】(1)𝑎+ 𝑏= 0，𝑐𝑑= 1，𝑚=± 2
(2)3
【分析】本题考查了相反数的定义，倒数的定义，绝对值的运算，代数式的运算，熟悉掌握运算法则是解
题的关键．
（1）根据相反数的定义，倒数的定义，绝对值的运算，解答即可；
（2）先运算出𝑚2，再分别把𝑎+ 𝑏= 0，𝑐𝑑= 1，𝑚2 = 4代入运算即可．
【详解】（1）解：∵𝑎，𝑏互为相反数，
∴𝑎+ 𝑏= 0；
∵𝑐，𝑑互为倒数，
∴𝑐𝑑= 1；
∵|𝑚| = 2，
∴𝑚=± 2；
（2）解：∵𝑚=± 2，
∴𝑚2 = 4，
把𝑎+ 𝑏= 0，𝑐𝑑= 1，𝑚2 = 4代入𝑚2 + (𝑎+ 𝑏) ⋅𝑚+ (−𝑐𝑑)2025可得：𝑚2 + (𝑎+ 𝑏) ⋅𝑚+ (−𝑐𝑑)2025
= 4 + 0−1 = 3．
题型五 含乘方的程序图运算题
▌例5 （25-26 七年级下·江西景德镇·期末）沫沫同学在学习了“设计自己的运算程序”综合与实践课后，设
计了如图所示的运算程序，若开始输入n 的值为3，则最后输出的结果y 是（ ）
A．63
B．3
C．64
D．8
【答案】A
【详解】解：输入n 的值为3，32−1 = 8 < 9，
输入n 的值为8，82−1 = 63 > 9，输出y．
▌对点练5-2（25-26 七年级上·宁夏中卫·期中）根据如图所示的程序，当输入𝑥的值为1 时，输出的𝑦值为
（ ）
A．−2
B．3
C．4
D．8
【答案】C
【分析】先输入1，得到结果−2 < 0，再输入−2，得到结果4 > 0，即可．
【详解】解：输入1，12 × 2−4 = −2 < 0，
输入−2，(−2)2 × 2−4 = 4 > 0，
所以输出的𝑦值为4．
▌对点练5-2 （25-26 七年级上·四川泸州·期中）根据流程图中的程序，若输入𝑥的值为−1，则输出𝑦的值为（ ）
A．187
B．8
C．7
D．5
【答案】C
【分析】本题考查的是程序框图的循环执行，理解流程图的逻辑、重复代入计算是解题的关键．根据流程
图的规则，当计算结果不大于0时，需要将该结果作为新的输入值再次代入计算，直到结果大于0时输出该
结果．
【详解】解：根据流程图，当𝑥= −1时，(−1)2 × 3−5 = −2，
此时𝑥= −2，(−2)2 × 3−5 = 7，
∴𝑦= 7．
故选：C．
▌对点练5-3（24-25 七年级上·湖南·期中）按如图所示的程序进行计算，则输出的结果为______．
解题贴士
钠利用有理数的加减乘除乘方混合运算解决程序计算题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序，根据程
序列出算式解答即可．
【答案】160
【分析】按照框图的计算顺序进行计算即可．
【详解】解：把40 输入得：40 ÷ −
1
2
2
×
1
2
= 40 ÷ 1
4 × 1
2
= 80 < 100，
把80 输入得：80 ÷ −
1
2
2
×
1
2
= 80 ÷ 1
4 × 1
2
= 160 > 100，
∴输出结果为：160．
题型六 含乘方的新定义运算问题
▌例6 （25-26 七年级上·陕西咸阳·期末）对于任意有理数a、b，定义新运算⊗:𝑎⊗𝑏= 2𝑎−𝑏2．例如
1 ⊗2 = 2 × 1−22 = −2．则4 ⊗(−3)的值为（ ）
A．−13
B．17
C．−1
D．1
【答案】C
【分析】本题考查定义新运算的计算．将对应数值代入给定的新运算公式，依据有理数的运算法则计算即
可．
【详解】解：∵新运算定义为𝑎⊗𝑏= 2𝑎−𝑏2，
∴把𝑎= 4，𝑏= −3代入公式得：
4 ⊗(−3) = 2 × 4−(−3)2
= 8−9
= −1，
故选：C．
▌对点练6-1 （25-26 七年级上·湖南长沙·期末）二进制在计算机科学中有广泛的应用，二进制是逢二进一，
其各数位上的数字为0 或1，并利用下标表示二进制数，例如，(1011)2就是二进制数1011 的简单写法．在
学习教科书《进位制的认识与探究》以后，爱国查阅了资料并进行了思考，发现以下两种方法均可实现二
进制与十进制之间的转换．
以98 为例：
方法一：因为98 = 64 + 32 + 2
= 1 × 26 + 1 × 25 + 0 × 24 + 0 × 23 + 0 × 22 + 1 × 21 + 0 × 20
所以98 = (1100010)2．
方法二：用如图的短除法算式表示：
根据以上材料，把234 转换为五进制数是（ ）
A．(1111011)5
B．(123)5
C．(1414)5
D．(1314)5
【答案】C
【分析】本题考查有理数的混合运算．
根据十进制数转化为五进制数的方法可以将234 转换为五进制数．
【详解】解：∵234 = 125 + 100 + 5 + 4 = 1 × 53 +4 × 52 +1 × 51 +4 × 50，
∴234 = (1414)5，
故选：C．
▌对点练6-2 （24-25 七年级上·贵州铜仁·期中）某学习小组学习了幂的有关知识发现：根据𝑎𝑚= 𝑏，知道
𝑎，𝑚可以求𝑏的值．如果知道𝑎，𝑏可以求𝑚的值吗？他们为此进行了研究，规定：若𝑎𝑚= 𝑏，则𝑇(𝑎,𝑏)
= 𝑚．例如：34 = 81，则𝑇(3,81) = 4．
解题贴士
新定义运算问题主要是运用题目中所给的新定义的运算方式进行计算即可，注意计算时的运算顺序，也
是对有理数的混合运算的考查.
(1)填空：𝑇(2,2) = ______；
(2)计算：𝑇(2,4) +𝑇−
1
3 ,−
1
27 ．
【答案】(1)1
(2)5
【分析】本题考查了有理数的乘方运算，读懂题意掌握运算法则是解题关键．
（1）根据规定，进行求解即可；
（2）先根据规定，求出𝑇(2,4),𝑇−
1
3 ,−
1
27 ，再进行加法运算即可；
【详解】（1）解：因为21 = 2，所以𝑇(2,2) = 1．
故答案为：1
（2）因为22 = 4，所以𝑇(2,4) = 2．
又因为−
1
3
3
= −
1
27，
所以𝑇−
1
3 ,−
1
27 = 3．
所以𝑇(2,4) +𝑇−
1
3 ,−
1
27 = 2 + 3 = 5．
▌对点练6-3（25-26 七年级上·新疆哈密·期中）小聪是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了有理数的乘
方后，他就琢磨着使用乘方这一数学知识，脑洞大开的定义出“有理数的除方”的概念．规定：若干个相同有
理数（均不为零）的除法运算叫做除方．如5 ÷ 5 ÷ 5,−2 ÷ (−2) ÷ (−2) ÷ (−2)类比有理数的乘方5 ÷ 5 ÷ 5
记作𝑓(3,5),−2 ÷ (−2) ÷ (−2) ÷ (−2)记作𝑓(4,−2)．
(1)直接写出计算结果：𝑓4,−
1
2 = ______；𝑓(5,3) = ______；
(2)计算𝑓(5,3) × 𝑓4,
1
3 +𝑓(5,−2) × 𝑓6,
1
2 ．
【答案】(1)4；
1
27
(2)−
5
3
【分析】本题主要考查了有理数的乘除运算、新定义运算的理解与应用，熟练掌握“除方”的定义并将其转化
为乘除运算求解是解题的关键．
（1）根据“除方”的定义，将𝑓(𝑛,𝑎)转化为𝑛个𝑎连续相除的运算，再计算结果；
（2）先根据“除方”定义分别表示出各𝑓表达式，再转化为乘方运算，最后按四则运算规则计算．
【详解】（1）解：𝑓4,−
1
2
=
−
1
2 ÷ −
1
2 ÷ −
1
2 ÷ −
1
2
= 1 ÷ −
1
2 ÷ −
1
2
= −2 ÷ −
1
2
= 4；
𝑓(5,3)
= 3 ÷ 3 ÷ 3 ÷ 3 ÷ 3
= 1 ÷ 3 ÷ 3 ÷ 3
= 1
3 ÷ 3 ÷ 3
= 1
9 ÷ 3
=
1
27；
故答案为：4；
1
27；
（2）解：∵ 𝑓(5,3) = 3 ÷ 3 ÷ 3 ÷ 3 ÷ 3 =
1
27，
𝑓4,
1
3 =
1
3 ÷
1
3 ÷
1
3 ÷
1
3 = 9，
𝑓(5,−2) = (−2) ÷ (−2) ÷ (−2) ÷ (−2) ÷ (−2) = −
1
8，
𝑓6,
1
2 =
1
2 ÷
1
2 ÷
1
2 ÷
1
2 ÷
1
2 ÷
1
2 = 16，
∴𝑓(5,3) × 𝑓4,
1
3 +𝑓(5,−2) × 𝑓6,
1
2
= 1
27 × 9 + −
1
8 × 16
= 1
3 −2
= −
5
3．
题型七 利用有理数的乘方解决实际问题
▌例7（25-26 七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上
打结来记录数量，即“结绳计数”．一位书生坚持每天五更起床读书，为了勉励自己，他用“结绳计数”的方法
来记录自己读书的天数，如图1是他从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，表示的天数为38天，按同
样的方法，图2表示的天数是（ ）
A．35
B．67
C．92
D．335
【答案】B
【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据题意可得，图2表示的天数是2 × 52 +3 × 51 +2 × 50，然后通
过运算法则即可求解，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键．
【详解】解：根据题意可得，图2表示的天数是2 × 52 +3 × 51 +2 × 50
= 2 × 25 + 3 × 5 + 2 × 1
= 67，
故选：B．
▌对点练7-1 （25-26 六年级上·山东威海·期末）《庄子·天下篇》讲到：“一尺之棰，日取其半，万世不
竭．”意思是说一尺长的木棍，每天截去它的一半，千秋万代也截不完．若按此方式截一根长为1 米的木棍，
那么7 天之后这根木棍还剩（ ）
A．
1
32米
B．
1
64米
C．
1
128米
D．
1
256米
【答案】C
【分析】初始木棍长1 米，每天截去一半，即剩余长度为前一天的
1
2，由此可推出第𝑛天剩余长度为(
1
2)𝑛米，
代入𝑛= 7计算即可得到结果．
【详解】解：∵初始木棍长1 米，第一天截去一半后，剩余长度为1 ×
1
2 =
1
2米；
第二天截去一半后，剩余长度为
1
2 ×
1
2 = (
1
2)2米；
第三天截去一半后，剩余长度为(
1
2)2 ×
1
2 = (
1
2)3米；
……
以此类推，第𝑛天剩余长度为(
1
2)𝑛米．
解题贴士
钠性质的巧记口诀：银白轻低软，传导热和电；遇氧产物变，遇氯生白烟；遇水记五点，浮熔游响红；
遇酸酸优先，遇盐水在前。
当𝑛= 7时，剩余长度为(
1
2)7 =
1
27 =
1
128米．
▌对点练7-2 （25-26 七年级上·湖北襄阳·期末）《庄子·天下》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思
是一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．如图，有一根4 米长的木棍，第1 天截取它的一半，第2
天截取剩余部分的一半，第3 天再截取剩余部分的一半，．．．，则第1 天到第5 天一共截取的长度为
___________米．
【答案】
31
8
【分析】本题考查有理数的乘方的应用，由题意可得第n 天操作后剩余全长的
1
2
𝑛
，则第1 天到第n 天一
共截取的长度为4 × 1−
1
2
𝑛
米．
【详解】解：由题意知，第1 天操作后剩余全长的
1
2，
第2 天操作后剩余全长的
1
2
2
=
1
4，
第3 天操作后剩余全长的
1
2
3
=
1
8，
第4 天操作后剩余全长的
1
2
4
=
1
16，
第5 天操作后剩余全长的
1
2
5
=
1
32，
∴第1 天到第5 天一共截取的长度为4 × 1−
1
32 =
31
8 （米），
故答案为：
31
8 ．
▌对点练7-3（26-27 七年级·全国·小升初衔接）手工拉面是我国的传统面食，制作时，拉面师傅将一团和好
的面，揉搓成1 根长条后，手握两端用力拉长，然后将长条对折，再拉长，再对折（每次对折称为一扣），
如此反复操作，连续拉扣若干次后，便成了许多细细的面条．你能算出拉扣7 次后共有多少根面条吗？
【答案】
拉扣7 次后共有128 根面条
【分析】每次拉扣后，面条根数变为拉扣前的2 倍，可推得拉扣𝑛次后面条总根数为2𝑛，代入𝑛= 7计算即
可得到最终结果.
【详解】解：根据题意可得 初始有1 根面条， 第1 次拉扣后面条根数是21 = 2， 第2 次拉扣后面条根数
是22 = 4，
第3 次拉扣后面条根数是23 = 8， ……
故第7 次拉扣后面条根数是27 = 128.
答：拉扣7 次后共有128 根面条.
题型八 含乘方的探究规律题
▌例8（25-26 七年级上·贵州铜仁·阶段检测）观察下面有规律排列的三行数：
①−2,4,−8,16,−32,64，⋯
②0,6,−6,18,−30,66，⋯
③−1,2,−4,8,−16,32，⋯
分别取第①②③行中的第10 个数，依次记为𝑎,𝑏,𝑐，则𝑎−𝑏+ 𝑐的值为___________．
【答案】510
【分析】本题考查数字的规律探究，解题的关键是找出三行数的通项公式．
先确定三行数的第𝑛个数的规律，得到通项公式后，代入𝑛= 10求出𝑎,𝑏,𝑐，再计算𝑎−𝑏+ 𝑐的值．
【详解】解：分析第①行的规律：第①行的数为−2,4,−8,16,−32,64,…，其第𝑛个数的通项公式为(−2)𝑛，
当𝑛= 10时，𝑎= (−2)10 = 1024，
分析第②行的规律：第②行的数比第①行对应位置的数大2，其第𝑛个数的通项公式为(−2)𝑛+2，
当𝑛= 10时，𝑏= (−2)10 +2 = 1026，
分析第③行的规律：第③行的数是第①行对应位置数的
1
2，其第𝑛个数的通项公式为
(−2)𝑛
2
，
当𝑛= 10时，𝑐=
(−2)10
2
= 512，
𝑎−𝑏+ 𝑐= 1024−1026 + 512 = 510．
故答案为：510．
解题贴士
乘方运算中的数或数列呈现一定的规律性，可以从符号和绝对值两个方面考虑数的变化规律，由特殊到
一般，由得到的规律来解决问题．
▌对点练8-1 （25-26 七年级·全国·暑假作业）阅读下面的材料，然后按照材料中提供的方法计算．
计算：1 + 21 + 22 +⋯+ 22017．
解：设𝑆= 1 + 21 + 22 +⋯+ 22017，
则2𝑆= 21 + 22 + 23 +⋯+ 22018，
所以2𝑆−𝑆= (21 + 22 + 23 + ⋯+ 22018)−(1 + 21 + 22 + ⋯+ 22017)
= 21 + 22 + 23 + ⋯+ 22018−1−21−22−⋯−22017
= 22018−1，
即1 + 21 + 22 +⋯+ 22017 = 22018−1．
按照上面的方法，计算：1 + 3 + 32 +⋯+ 32023．
【答案】
32024−1
2
【分析】理解题意，模仿题干过程进行分析作答即可．
【详解】解：设𝑆= 1 + 3 + 32 +⋯+ 32023，
则3𝑆= 3 + 32 +⋯+ 32024
∴3𝑆−𝑆= (3 + 32 + ⋯+ 32024)−(1 + 3 + ⋯+ 32023) = 3 + 32 +⋯+ 32024−1−3−⋯−32023 = 32024−1，
∴𝑆= 32024−1
2
即1 + 3 + 32 +⋯+ 32023 =
32024−1
2
．
▌对点练8-2（25-26 七年级上·湖南邵阳·期中）观察下列各式，回答问题：
1−1
22 = 1
2 × 3
2 ,1−1
32 = 2
3 × 4
3 ,1−1
42 = 3
4 × 5
4 ,
(1)按照上述规律填空：
1−
1
1002 = ___________ × ___________；
1−
1
20252 = ___________ × ___________；
(2)计算：1−
1
22 × 1−
1
32 × …… × 1−
1
20242 × 1−
1
20252
【答案】(1)
99
100,
101
100；
2024
2025,
2026
2025
(2)
1013
2025
【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
（1）根据已知三个等式归纳类推出一般规律是1−
1
𝑛2 =
𝑛−1
𝑛⋅
𝑛+1
𝑛（𝑛≥2，且为整数），再代入计算即可得；
（2）利用（1）的规律，将乘法中的每个式子拆成两项的乘积，再利用乘法的结合律计算即可得．
【详解】（1）解：由题意可知，1−
1
22 =
1
2 ×
3
2 =
2−1
2 ×
2+1
2 ，
1−
1
32 =
2
3 ×
4
3 =
3−1
3 ×
3+1
3 ，
1−
1
42 =
3
4 ×
5
4 =
4−1
4 ×
4+1
4 ，
归纳类推得：1−
1
𝑛2 =
𝑛−1
𝑛⋅
𝑛+1
𝑛（𝑛≥2，且为整数），
则1−
1
1002 =
100−1
100 ×
100+1
100 =
99
100 ×
101
100，
1−
1
20252 =
2025−1
2025 ×
2025+1
2025 =
2024
2025 ×
2026
2025，
故答案为：
99
100,
101
100；
2024
2025,
2026
2025．
（2）解：1−
1
22 × 1−
1
32 × …… × 1−
1
20242 × 1−
1
20252
= 1
2 × 3
2 × 2
3 × 4
3 × ⋯× 2022
2023 × 2024
2023 × 2023
2024 × 2025
2024 × 2024
2025 × 2026
2025
= 1
2 ×
3
2 ×
2
3 ×
4
3 ×
3
4 × ⋯×
2024
2023 ×
2023
2024 × ( 2025
2024 × 2024
2025 ) × 2026
2025
= 1
2 × 1 × 1 × ⋯× 1 × 2026
2025
= 1
2 × 2026
2025
=
1013
2025．
▌对点练8-3（25-26 七年级上·湖南娄底·期中）找规律：
(1)计算：
①2−1 = ________；
②22−2−1 = ________；
③23−22−2−1 = ________；
④24−23−22−2−1 = ________；
(2)根据上面的计算结果猜想：
①2200−2199−2198−⋯−22−2−1的值为________；
②2𝑛−2𝑛−1−2𝑛−2−⋯−22−2−1（n 为正整数）的值为________；
(3)根据（2）中的结论，试求2100−299−298−⋯−28−27−26的值．
【答案】(1)①1，②1，③1，④1
(2)①1，②1
(3)64
【分析】本题考查了数字的变化规律，由简单到复杂，逐步递推，是解题的关键．
（1）①②③④直接计算可得结果；
（2）①②由2𝑛= 2 × 2𝑛−1进行推理，可得结果；
（3）根据（2）中的推理结果可2100−299−298−⋯−28−27−26 = 2100−299−298−⋯−2−1 + 25 + 24 + 23 +
22 +2 + 1进行求解．
【详解】（1）解：①1，②1，③1，④1；
（2）解：①2200−2199−2198−⋯−22−2−1
= 2199(2−1)−2198−⋯−22−2−1
= 2199−2198−⋯−22−2−1
= 2198(2−1)−2197−⋯−22−2−1
= 2198−2197−⋯−22−2−1
⋯
= 2−1
= 1
故答案为：1；
②2𝑛−2𝑛−1−2𝑛−2−⋯−22−2−1
= 2𝑛−1(2−1)−2𝑛−2−⋯−22−2−1
= 2𝑛−1−2𝑛−2−⋯−22−2−1
= 2𝑛−2(2−1)−2𝑛−3−⋯−22−2−1
= 2𝑛−2−2𝑛−3−⋯−22−2−1
⋯
= 2−1
= 1
故答案为：1；
（3）解：2100−299−298−⋯−28−27−26
= 2100−299−298−⋯−2−1 + 25 + 24 + 23 + 22 + 2 + 1
= 1 + 25 + 24 + 23 + 22 + 2 + 1
= 64．
题型九 科学记数法
▌例9（25-26 六年级下·山东泰安·期末）据报道，2026 年春节五一假期，泰安市文旅市场供需两旺，累计
接待游客1183900人次，比去年同期增长59.98%．数据1183900用科学记数法表示为（ ）
A．0.11839 × 107 B．0.11839 × 108
C．1.1839 × 106
D．1.1839 × 107
【答案】C
【分析】科学记数法的表示形式为𝑎× 10𝑛，其中1 ≤|𝑎| < 10，𝑛为整数，只需确定𝑎和𝑛的值即可求解；
【详解】解：将1183900写成科学记数法的形式，先确定𝑎= 1.1839，满足1 ≤1.1839 < 10. 原数的小数点
向左共移动了6位，故𝑛= 6，故1183900 = 1.1839 × 106；
▌对点练9-1 （25-26 八年级下·湖南株洲·期末）2026 年“五一”假期期间，某市中型城市动物园累计接待游
客541400 人次，实现旅游综合收入2.21 亿元．为便于数据上报与媒体发布，需将游客人数用科学记数法
表示．下列表示正确的是（ ）
A．54.14 × 104
B．5.414 × 105
C．0.5414 × 106
D．5.414 × 106
【答案】B
【详解】541400 = 5.414 × 105．
▌对点练9-2 （2026·河南周口·三模）2026 年省内乡村振兴项目投入资金约2.15 × 108元，该科学记数法表
示的数还原为原数是（ ）
A．21500000
B．215000000
C．2150000
D．2150000000
【答案】B
【分析】本题考查科学记数法还原原数，根据科学记数法的定义，对于𝑎× 10𝑛（1 ≤𝑎< 10，𝑛为正整
数），还原时只需将𝑎的小数点向右移动𝑛位即可得到原数。
【详解】解：∵题目中给出的科学记数法为2.15 × 108，其中𝑛= 8，
解题贴士
1、科学记数法：把一个大于10 的数记成a×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，n 是正整数，
这种记数法叫做科学记数法．10 的指数比原来的整数位数少1．
2、科学记数法a×10n 表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a 的小数点向右移动n 位所得到的
数．
∴将2.15的小数点向右移动8位，得到原数为215000000．
▌对点练9-3（2026·甘肃天水·模拟预测）近年来我国电影行业发展迅速，电影《哪吒之魔童闹海》风靡全
球．据统计，截至2025 年5 月底，其票房达到约150 亿元．数字15000000000 用科学记数法表示为________．
【答案】1.5 × 1010
【详解】解：15000000000 = 1.5 × 1010．
题型十 近似数
▌例10 （2026·四川攀枝花·中考真题）2020 年11 月10 日，中国奋斗者号载人潜水器在太平洋马里亚纳海
沟成功坐底，坐底深度10909米，创造了中国载人深潜的新纪录．将数10909精确到百位，正确的是（ ）
A．10900
B．11000
C．1.09 × 104
D．1.1 × 104
【答案】C
【分析】先确定百位数字，根据四舍五入取近似值，再用科学记数法表示，保证精确度符合要求．
【详解】由题意得，将数10909精确到百位为10900 = 1.09 × 104．
▌对点练10-1 数 a 四舍五入后的近似值为3.1，则a 的取值范围是（ ）．
A．3.05 ≤𝑎< 3.15
B．3.14 ≤𝑎< 3.15
C．3.144 ≤𝑎< 3.149
D．3.0 ≤𝑎< 3.2
【答案】A
【分析】近似数是通过四舍五入得到的：精确到哪一位时，若下一位大于或等于5，则进1，若下一位小于
5，则舍去，据此即可解答．
【详解】解：根据取近似数的方法，则a 的取值范围是：3.05 ≤𝑎< 3.15．
▌对点练10-2 用四舍五入法将近似数64.5精确到个位的结果是_____．
【答案】
65
【详解】解：根据四舍五入法则，64.5的十分位数字为5，需向个位进1，因此64.5 ≈65（精确到个位）．
解题贴士
1、能确切的反应实际的数量的数是准确数.
2、只是接近实际的数量，但与实际的数量还有差别的数是近似数.
3、近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示，一个近似值四舍五入到某一位，就说这个近似数
精确到那一位.
▌对点练10-3 近似数2.60万精确到____________位．
【答案】百
【分析】先将以“万”为单位的近似数还原为原数，再看最后一个有效数字所在的数位，即可得到精确位数．
【详解】解：2.60万= 26000，近似数2.60万的末位有效数字0，对应原数26000 中的百位，因此近似数2.60
万精确到百位．
基础通关
1．（2026·河北唐山·三模）下列运算结果为负数的是（ ）
A．(−3)2
B．−3 ÷ 2
C． 0 × (−2017)
D．−2 + 3
【答案】B
【详解】解：选项A：(−3)2 = 9，9 > 0，结果为正数，不符合题意；
选项B：−3 ÷ 2 = −
3
2，−
3
2 < 0，结果为负数，符合题意；
选项C：0 × (−2017) = 0，0 既不是正数也不是负数，不符合题意；
选项D：−2 + 3 = 1，1 > 0，结果为正数，不符合题意．
2．（2025·湖南娄底·一模）仅上映28 天，电影《哪吒之魔童闹海》全球票房突破135 亿元人民币、超越
《头脑特工队》登顶全球动画电影票房榜，13500000000 用科学记数法可表示为𝑎× 1010，则a 的值是（ ）
A．135
B．13.5
C．1.35
D．0.135
【答案】C
【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成𝑎× 10𝑛的形式，其中1 ≤|𝑎| < 10，𝑛为整数，这种记数的
方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定𝑛的值时，要看把原数变成𝑎时，小数点移
动了多少位，𝑛的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得．
【详解】解：13500000000 = 1.35 × 1010；
∴𝑎= 1.35，
故选：C
3．（25-26 八年级下·江苏泰州·阶段检测）自2025 年11 月1 日泰州队斩获苏超冠军以来，李中水上森林
景区累计接待游客超70.9万人次．该近似数70.9万精确到（ ）位．
A．十
B．百
C．千
D．万
【答案】C
【分析】判断带单位的近似数的精确位数，需先将数还原为原数，再确定末位有效数字所在的数位．
【详解】解：∵70.9万= 709000
∴原数中末位数字9 位于千位
∴70.9万精确到千位．
4．（25-26 七年级下·湖南衡阳·期中）在有理数(−1)2,−−
2
3 ,−|−2|,(−2)3中负数有（ ）个
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】C
【分析】本题考查有理数乘方、相反数、绝对值的基础化简知识．先分别化简题目给出的四个有理数，再
根据负数的定义统计负数的个数．
【详解】解：依次化简各数：
∵ (−1)2 = 1，1>0，是正数，
−(−
2
3) =
2
3，
2
3 > 0，是正数，
−|−2| = −2，−2 < 0，是负数，
(−2)3 = −8，−8 < 0，是负数，
∴ 负数一共有2 个．
5．（25-26 七年级上·安徽蚌埠·阶段检测）下列选项中，数值相等的是（ ）
A．22和32
B．(−6)2和−62
C．(−2)3和−23
D．−(−7)4和74
【答案】C
【分析】本题考查了乘方符号的规律，根据负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，逐项进行比较即
可．
【详解】解：A、22 < 32，故该选项不符合题意；
B、(−6)2 = 62 ≠−62，故该选项不符合题意；
C、(−2)3 = −23，故该选项符合题意；
D、−(−7)4 = −74 ≠74，故该选项不符合题意；
故选：C．
6．（23-24 七年级上·广东韶关·期中）若|𝑥+ 3| + (𝑦−2)2 = 0，则𝑥+ 𝑦的值为（ ）
A．1
B．−1
C．3
D．−2
【答案】B
【分析】本题考查了绝对值的非负性、平方的非负性，由|𝑥+ 3| + (𝑦−2)2 = 0，得出|𝑥+ 3| = 0，(𝑦−2)2
= 0，求出𝑥、𝑦的值，再得出𝑥+ 𝑦的值即可．
【详解】解：|𝑥+ 3| ≥0，(𝑦−2)2 ≥0，
又∵|𝑥+ 3| + (𝑦−2)2 = 0，
∴|𝑥+ 3| = 0，(𝑦−2)2 = 0，
解得：𝑥= −3，𝑦= 2，
∴𝑥+ 𝑦= −3 + 2 = −1，
故选：B．
7．（2026·北京丰台·一模）2025 年我国新能源汽车年产量约为1.7 × 107辆，比2024 年年产量增长约30%，
若按照这个速度增长，则2026 年新能源汽车年产量为（ ）
A．5.1 × 106辆
B．5.1 × 108辆
C．2.21 × 107辆
D．2.21 × 108辆
【答案】C
【分析】根据2026 年新能源汽车年产量= 2025 年新能源汽车年产量× (1 + 增长率)，列式计算即可得出
答案．
【详解】解：1.7 × 107 × (1 + 30%) = 2.21 × 107（辆）．
8．（25-26 七年级上·福建漳州·期中）如图，某种细菌在适宜环境下，细胞每过30 分钟便会由1 个分裂成2
个，经过4 小时，1 个细胞能分裂成（ ）
A．27个
B．82个
C．24个
D．28个
【答案】D
【分析】根据每过30 分钟便会由1 个分裂成2 个，由4 小时求出分裂的次数，即可确定出分裂的个数．
【详解】解：4 小时求出分裂的次数为4 ÷
30
60 = 8（次），
经过30 分钟，这种细胞由1 个能分裂成21个
经过60 分钟，这种细胞由1 个能分裂成22个，
...，
∴经过4 小时，这种细胞由1 个能分裂成28个．
素养提升
9．（25-26 七年级上·山东临沂·期中）二进制数1010转换为十进制数是10，即(1010)2 = 1 × 23 +0 × 22 +1 ×
21 +0 × 20 = 10，则五进制数202 转换为十进制数为（ ）
A．5
B．20
C．52
D．1010
【答案】C
【分析】本题考查的是不同进制数转换为十进制数的方法，解题关键是按照进制的位权展开式进行计算．
将五进制数转换为十进制数，需按权展开相加，各位权为5 的幂次．
【详解】五进制数 202 转换为十进制数，是按位权展开：2 × 52 +0 × 51 +2 × 50
= 2 × 25 + 0 × 5 + 2 × 1 = 50 + 0 + 2 = 52，
故选C．
10．（25-26 七年级上·湖南益阳·期中）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学
模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n 来表
示，即∶21=2， 22=4， 23=8， 24=16，25=32…，请你推算21+22+23+24+…+22026的个位数字是（ ）
A．8
B．6
C．4
D．2
【答案】B
【分析】本题主要考查了数字变化规律，乘方，
通过观察2𝑛的个位数字循环规律（每4 个为一循环：2,4,8,6），计算循环组的个数和剩余项，求和后得到
个位数字．
【详解】解：∵2𝑛的个位数字每4 个循环一次：2,4,8,6，且每组个位和为20（个位0），
从𝑛= 1到𝑛= 2026共2026 项，
2026 ÷ 4 = 506 余2，
∴前2024 项（506 组）个位和为0，
剩余两项𝑛= 2025和𝑛= 2026：
∵2025 ÷ 4 = 506余1，个位为2；
2026 ÷ 4 = 506余 2，个位为4，
∴剩余两项个位和为2 + 4 = 6，
故总和个位数字为6．
故选：B．
11．（25-26 七年级上·重庆·阶段检测）根据流程图中的程序，若输入𝑥的值为1，则输出𝑦的值为_____．
【答案】7
【分析】本题考查代数式的求值与程序运算，解题的关键是按照程序流程图的步骤逐步计算．
将𝑥= 1代入程序流程图的运算步骤，先计算平方、乘以3、减去5，判断结果是否大于0，若不大于0，则
再次代入计算，直到结果大于0，输出结果．
【详解】解：当𝑥= 1时，按照程序计算：
先计算𝑥的平方乘以3 再减去5，即12 × 3−5 = 3−5 = −2，
因为−2 < 0，所以需要再次将𝑥= −2代入计算：
(−2)2 × 3−5 = 4 × 3−5 = 12−5 = 7，
因为7 > 0，
所以输出𝑦的值为7．
故答案为：7．
12．（25-26 七年级上·湖南邵阳·期末）已知𝑎与𝑏互为相反数，𝑥是最大的负整数，𝑦的倒数是本身，𝑚的绝
对值是1，求𝑦−2𝑎−2𝑏+
𝑥
𝑚2 = ________．
【答案】0 或−2
【分析】本题考查相反数、最大负整数、倒数性质及绝对值的定义，先确定各字母的值，再代入表达式计
算即可．
【详解】解：由题意得𝑎+ 𝑏= 0，𝑥= −1，𝑦=± 1，|𝑚| = 1，则𝑚2 = 1，
𝑦−2𝑎−2𝑏+
𝑥
𝑚2 = 𝑦−2(𝑎+ 𝑏) +
𝑥
𝑚2 = 𝑦−0 +
−1
1 = 𝑦−1，
当𝑦= 1时，原式= 𝑦−1 = 0；
当𝑦= −1时，原式= 𝑦−1 = −2，
故答案为0 或−2．
13．（2025·山东聊城·一模）对于各数互不相等的正整数组(𝑎1,𝑎2,⋯,𝑎𝑛)（n 是不小于2 的正整数），如果在
i < 𝑗时有𝑎i > 𝑎𝑗，则称𝑎i与𝑎𝑗是该数组的一个“逆序”．例如数组(1,−2,3−4)中𝑎1 = 1，𝑎2 = −2，𝑎1 > 𝑎2，
则“1，−2”为一个逆序，且此数组所有的逆序为“1，−2”，“1，−4”，“−2，−4”，“3，−4”，其逆序数为4．则
数组(−1,2,−3,4,−5)的逆序数是________．
【答案】6
【分析】本题主要考查了有理数的大小比较及新定义的理解，理解题意是解题关键，根据新定义结合有理
数的大小比较即可求解．
【详解】解：根据题意得：数组(−1,2,−3,4,−5)中所有的逆序为“−1,−3”，“−1,−5”，“2,−3”，“2,−5” ，
“−3,−5” ，“4,−5”，
∴数组(−1,2,−3,4,−5)的逆序数是6，
故答案为：6．
14．（24-25 七年级上·江苏·阶段检测）《庄子》中记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”这句话的意
思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1 的木棍，第5 天截取后
木棍剩余的长度是___________．
【答案】
1
32
【分析】据题意，每天截取后剩余长度是前一天剩余长度的一半，逐天计算即可得出结果．
【详解】解：根据题意，
第1 天截取后剩余长度为：1 × 1−
1
2 =
1
2，
第2 天截取后剩余长度为：
1
2 × 1−
1
2 =
1
22，
第3 天截取后剩余长度为：
1
22 × 1−
1
2 =
1
23，
第4 天截取后剩余长度为：
1
23 × 1−
1
2 =
1
24，
第5 天截取后剩余长度为：
1
24 × 1−
1
2 =
1
25，
故第5 天截取后木棍剩余长度为
1
25 =
1
32．
迁移创新
15．（25-26 七年级上·四川达州·期末）计算：
(1)17−8 ÷ (−2)2−|4 ×(−3)|；
(2)−0.25 ÷ −
1
2
2
× (−1)3 +
11
8 + 2
1
3 −3.75 × 24
【答案】(1)3
(2)0
【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，注意明确有理数混合运算顺序是解题的关键．
（1）根据有理数混合运算法则进行计算：先乘方，再乘除，最后算加减；有括号先算括号里，同级运算从
左到右；
（2）根据有理数混合运算法则进行计算：先乘方，再乘除，最后算加减；有括号先算括号里，同级运算从
左到右．
【详解】（1）解：17−8 ÷ (−2)2−|4 × (−3)|
= 17−8 ÷ 4−|−12|
= 17−2−12
= 3；
（2）解：−0.25 ÷ (−
1
2 )
2
× (−1)3 +(
11
8 +2
1
3−3.75) × 24
= −1
4 ÷ 1
4 × (−1) + ( 11
8 + 7
3 −15
4 ) × 24
= (−1) × (−1) + 11
8 × 24 + 7
3 × 24−15
4 × 24
= 1 + 33 + 56−90
= 0．
16．（25-26 七年级上·江苏南通·阶段检测）已知|𝑥| = 7，𝑦2 = 16．
(1)若𝑥> 𝑦，求𝑥+ 𝑦的值；
(2)若
𝑥
𝑦> 0，求𝑥−𝑦的值．
【答案】(1)11或3
(2)3或−3
【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的乘方，代数式求值．
（1）先根据已知条件求出𝑥、𝑦的值，进而代入𝑥+ 𝑦计算即可；
（2）先根据已知条件求出𝑥、𝑦的值，进而代入𝑥−𝑦计算即可．
【详解】（1）∵|𝑥| = 7，𝑦2 = 16，
∴𝑥=± 7，𝑦=± 4，
∵𝑥> 𝑦，
∴𝑥= 7，𝑦=± 4，
∴𝑥+ 𝑦= 7 + 4 = 11或𝑥+ 𝑦= 7−4 = 3；
（2）∵|𝑥| = 7，𝑦2 = 16，
∴𝑥=± 7，𝑦=± 4，
∵
𝑥
𝑦> 0，
∴𝑥= 7，𝑦= 4或𝑥= −7，𝑦= −4，
∴𝑥−𝑦= 7−4 = 3或𝑥−𝑦= −7−(−4) = −3．
17．（2026·河北石家庄·一模）进位制是人们为了满足记数和运算的需求而约定的记数系统．如三进制数就
是用0，1，2 这三个数字来表示数的记数方式，逢三进一位．不同的进位制是可以互相转换的，若将三进
制数(221)3转换为十进制数，就可以这样转换：(221)3 = 2 × 32 +2 × 31 +1 × 30 = 25．
解答下面问题：
(1)将三进制数(121)3，转换为十进制数；
(2)已知一个三进制的四位数(𝑎𝑏2𝑑)3对应的十进制数能被3 整除，求𝑑的值．
【答案】(1)16
(2)𝑑= 0
【分析】（1）根据三进制转换为十进制数的转换方法计算即可；
（2）先推导出(𝑎𝑏2𝑑)3 = 27𝑎+ 9𝑏+ 6 + 𝑑，得到27𝑎+ 9𝑏+ 6 + 𝑑能被3 整除，根据整个数能否被3 整除，
仅由剩余项d 决定，即d 必须是3 的倍数，且三进制数的数字取值范围为0，1，2，故𝑑= 0，即可解答．
【详解】（1）解：(121)3 = 1 × 32 +2 × 31 +1 × 30
= 1 × 9 + 2 × 3 + 1 × 1
= 9 + 6 + 1
= 16，
答：三进制数(121)3转换为十进制数为16．
（2）解：(𝑎𝑏2𝑑)3 = 𝑎× 33 +𝑏× 32 +2 × 31 +𝑑× 30
= 27𝑎+ 9𝑏+ 6 + 𝑑，
∵三进制的四位数(𝑎𝑏2𝑑)3对应的十进制数能被3 整除，
∴27𝑎+ 9𝑏+ 6 + 𝑑能被3 整除，
∵27𝑎= 3 × 9𝑎，是3 的倍数；9𝑏= 3 × 3𝑏，是3 的倍数；6 = 3 × 2，是3 的倍数，
∴整个数能否被3 整除，仅由剩余项d 决定，即d 必须是3 的倍数，
又因为三进制数的数字取值范围为0，1，2，
故𝑑= 0．
18．（24-25 七年级上·陕西榆林·期中）数学兴趣小组在合作学习过程中获得知识的同时，也提出新的问
题．例如：根据𝑎𝑛= 𝑏，知道a 和n 的值，可以求b 的值，如果知道a 和b 的值，可以求n 的值吗？他们
对此进行了研究，并规定：若𝑎𝑛= 𝑏，那么𝑓(𝑎,𝑏) = 𝑛，例如：若23 = 8，则𝑓(2,8) = 3．根据他们的研究
结果，解答下列各题：
(1)填空：𝑓(3,27) = _________，𝑓(4,16) = ________；
(2)计算：𝑓(−3,−27)−𝑓(−5,625)；
(3)若𝑓−
1
2 ,𝑎= 3,𝑓−
1
4 ,
1
16 = 𝑏−3，求𝑓𝑎,
𝑏−4
13𝑏−1 的值．
【答案】(1)3；2；
(2)−1；
(3)2．
【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算：
（1）根据33 = 27，42 = 16结合新定义即可得到答案；
（2）根据新定义分别求出𝑓(−3,−27)和𝑓(−5,625)的值即可得到答案；
（3）根据新定义分别求出a、b 的值，进而求出
𝑏−4
13𝑏−1的值，据此可得答案．
【详解】（1）解：∵33 = 27，42 = 16，
∴𝑓(3,27) = 3，𝑓(4,16) = 2，
故答案为：3；2；
（2）解：∵(−3)3 = −27，(−5)4 = 625，
∴𝑓(−3,−27) = 3，𝑓(−5,625) = 4
∴𝑓(−3,−27)−𝑓(−5,625) = 3−4 = −1；
（3）解：∵−
1
2
3
= −
1
8, −
1
4
2
=
1
16，
∴𝑎= −
1
8,𝑏= 5．
∴𝑓𝑎,
𝑏−4
13𝑏−1 = 𝑓−
1
8 ,
1
64 = 2．
19．【概念学习】定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2 ÷ 2 ÷ 2，(−3) ÷
(−3) ÷ (−3) ÷ (−3)等．类比有理数的乘方，我们把2 ÷ 2 ÷ 2记作23，读作“2 的下3 次方”；(−3) ÷ (−3) ÷
(−3) ÷ (−3)记作(−3)4，读作“−3的下4 次方”．一般地，把𝑎÷ 𝑎÷ 𝑎÷ … ÷ 𝑎（𝑛个𝑎，𝑎≠0，𝑛为大于等
于2 的整数）记作𝑎𝑛，读作“𝑎的下𝑛次方”．
（1）直接写出计算结果：34 = ______；
1
3 4 = ______；
【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数
的除方运算如何转化为乘方运算呢？
例如：24 = 2 ÷ 2 ÷ 2 ÷ 2 = 2 ×
1
2 ×
1
2 ×
1
2 =
1
2
2
．
（2）仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式（不用计算）：
27 = ______，−
1
3 8 = ______；
【结论应用】（3）计算：(−4)2 × (−2)6−−
1
3 6 ÷ 33．
【答案】（1）
1
9；9；（2）
1
2
5
；(−3)6；（3）−2
【分析】本题考查了有理数乘方的应用，理解除方的定义是解题关键．
（1）根据除方的运算法则计算即可；
（2）根据除方的运算法则作答即可；
（3）根据乘方和除方的运算法则计算即可．
【详解】（1）解：34 = 3 ÷ 3 ÷ 3 ÷ 3 =
1
9，
1
3 4 =
1
3 ÷
1
3 ÷
1
3 ÷
1
3 =
1
3 × 3 × 3 × 3 = 9，
故答案为：
1
9；9；
（2）解：27 = 2 ÷ 2 ÷ 2 ÷ 2 ÷ 2 ÷ 2 ÷ 2
= 2 × 1
2 × 1
2 × 1
2 × 1
2 × 1
2 × 1
2
=
1
2
5
；
−
1
3
8
=
−
1
3
÷
−
1
3
÷
−
1
3
÷
−
1
3
÷
−
1
3
÷
−
1
3
÷
−
1
3
÷
−
1
3
=
−
1
3 × (−3) × (−3) × (−3) × (−3) × (−3) × (−3) × (−3)
= (−3)6，
故答案为：
1
2
5
；(−3)6；
（3）(−4)2 × (−2)6−−
1
3 6 ÷ 33
= 16 × −
1
2
4
−(−3)4 ÷ 27
= 16 × 1
16 −81 × 1
27
= 1−3
= −2．
20．（25-26 七年级上·湖南·阶段检测）在一次综合实践活动课上，张老师给每位同学各发了一张正方形纸
片，请同学们思考如何通过折纸的方法求出
1
2 +
1
4 +
1
8 +… +
1
26的值．
【操作探究】“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：如图1，将一个边长为1 的
正方形纸片分割成7 个部分，第①部分是边长为1 的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的
一半，第③部分是第②部分面积的一半，…，依次类推，则图1 中空白部分的面积为
1
2 +
1
4 +
1
8 +… +
1
26．
“破浪”小组是这样思考的：设𝑆=
1
2 +
1
4 +
1
8 +… +
1
26，将等式两边同时乘以
1
2得：
1
2𝑆=
1
4 +
1
8 +… +
1
26 +
1
27，
将上式减去下式得
1
2𝑆=
1
2−
1
27，即𝑆= 1−
1
26 =
63
64，即
1
2 +
1
4 +
1
8 +… +
1
26 =
63
64．
【过程思考】
(1)阴影部分的面积是_____．
(2)利用图2，设计能求
1
2 +
1
4 +
1
8 +… +
1
28的值的几何图形，并求出它的值_______．
(3)根据“破浪组”的方法，计算
1
2 +
1
4 +
1
8 +… +
1
2𝑛（𝑛为正整数）的值，并写出计算过程．
(4)2 + 4 + 8 + 16 + … + 2𝑛= ___________________．（直接写答案）
【答案】(1)
1
64
(2)图见解析，
255
256
(3)1−
1
2𝑛，计算过程见解析
(4)2𝑛+1−2
【分析】本题考查图形变化的规律，有理数乘方的应用，巧妙运用数形结合思想以及整体思想是解题的关
键．
（1）由题知，正方形每次被分割的部分是前一部分面积的一半，所以图中阴影部分的面积与第⑥部分的面
积相等，据此即可求解；
（2）依照题目的示范作图，再结合图形的面积即可求值；
（3）模仿“破浪”组算法，即可得到答案；
（4）利用整体思想，令𝑆= 2 + 4 + 8 + 16 + … + 2𝑛将等式两边同时乘以2得：2𝑆= 4 + 8 + 16 + … + 2𝑛+
2𝑛+1，将两式子相减，即可得出答案．
【详解】（1）解：由题知，正方形每次被分割的部分是前一部分面积的一半，
所以图中阴影部分的面积与第⑥部分的面积相等．
又因为第①部分的面积为：
1
2 =
1
21，
第②部分的面积为：
1
2 ×
1
2 =
1
4 =
1
22，
第③部分的面积为：
1
2 ×
1
2 ×
1
2 =
1
8 =
1
23，
…，
依次类推，第n 部分的面积为
1
2𝑛．
当𝑛= 6时，
1
2𝑛=
1
26 =
1
64．
所以阴影部分的面积为
1
64．
故答案为：
1
64；
（2）解：如图所示，图中①到⑧部分之和即为：求
1
2 +
1
4 +
1
8 +… +
1
28的值的几何图形
同理（1）中的方法可得，第⑧部分的面积为
1
28 =
1
256，
所以阴影部分的面积为
1
256，
所以图中①到⑧部分的面积之和为1−
1
256 =
255
256，
即
1
2 +
1
4 +
1
8 +… +
1
28 =
255
256；
故答案为：
255
256；
（3）解：设𝑆=
1
2 +
1
4 +
1
8 +… +
1
2𝑛①，
将等式两边同时乘以
1
2得：
1
2𝑆=
1
4 +
1
8 +… +
1
2𝑛+
1
2𝑛+1②，
将①减去②得
1
2𝑆=
1
2−
1
2𝑛+1，
即𝑆= 1−
1
2𝑛，
即
1
2 +
1
4 +
1
8 +… +
1
2𝑛= 1−
1
2𝑛，
故答案为：1−
1
2𝑛；
（4）解：令𝑆= 2 + 4 + 8 + 16 + … + 2𝑛①，
将等式两边同时乘以2得：2𝑆= 4 + 8 + 16 + … + 2𝑛+ 2𝑛+1②，
将②式减去①式得𝑆= 2𝑛+1−2，
即2 + 4 + 8 + 16 + … + 2𝑛= 2𝑛+1−2．
故答案为：2𝑛+1−2．
