1 / 37
学科网（北京）股份有限公司
26.2.1 二次函数𝒚= 𝒂𝒙𝟐的图像与性质
知识点一 𝒚= 𝒙𝟐的图象与性质
首先，我们先画𝑦= 𝑥2的图象：
先列出几组数据：
𝑥
…
−3
−2
−1
0
1
2
3
…
𝑦
…
9
4
1
0
1
4
9
…
回想在学习一次函数的时候，我们采用描点法作图，那么对应的，我们也可以用同样
的方法作出𝑦= 𝑥2的图象：
不难看出，𝑦= 𝑥2的图象是一条开口向上的曲线。
由此，我们可以知道，二次函数的图象都是类似的曲线，它们的开口或者向上或者向
下，我们把二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐的图象叫作抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐。
第二十六章
二次函数
2 / 37
学科网（北京）股份有限公司
根据上述图象，我们可以得到关于𝑦= 𝑥2图象的性质：
函数
𝑦= 𝑥2
图象
开口方向
开口向上
顶点坐标
(0,0)
对称轴
𝑦轴
增减性
当𝑥< 0时，𝑦随𝑥的增大而减小；
当𝑥> 0时，𝑦随𝑥的增大而减大。
最值
当𝑥= 0时，𝑦取最小值为0
特别提醒
当我们在描述一个二次函数图像性质的时候，基本会从以下几个角度出发进行描述：
①开口方向；②顶点坐标；③对称轴；④增减性；⑤最值。
若我们能够得知以上五个角度的关键特征，基本也就可以确定，这个二次函数的图象
是什么样子的了。
归纳总结
①二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐的图象叫作抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐。
②𝑦= 𝑥2图象的性质：图象开口向上，顶点坐标为(0,0)，对称轴为𝑦轴。当𝑥< 0
时，𝑦随𝑥的增大而减小；当𝑥> 0时，𝑦随𝑥的增大而增大；当𝑥= 0时，𝑦取最小值为
0。
知识点二 𝒚= 𝒂𝒙𝟐的图象与性质
类比𝑦= 𝑥2的图象及性质的探究过程，我们也可以改变𝑥2前的系数，并画出各自对应
的图象，从图象中探索𝑦= 𝑎𝑥2的图象及其性质。在下方坐标系中，画出以下各函数的
图象，并在图象旁标注对应的二次函数。
3 / 37
学科网（北京）股份有限公司
①𝑦=
1
2 𝑥2；②𝑦= 2𝑥2；③𝑦= 5𝑥2；④𝑦= −
1
2 𝑥2；⑤𝑦= −3𝑥2
由于二次函数的二次项系数不能为“0”，因此，𝑎的取值范围只能分为以下两种情况，
即：𝑎> 0和𝑎< 0。
𝑦= 𝑎𝑥2(𝑎≠0)
𝑎> 0
𝑎< 0
图象
开口方向
开口向上
开口向下
顶点坐标
(0,0)
(0,0)
对称轴
𝑦轴
𝑦轴
增减性
当𝑥< 0时，𝑦随𝑥的增大而减小
当𝑥> 0时，𝑦随𝑥的增大而增大
当𝑥< 0时，𝑦随𝑥的增大而增大
当𝑥> 0时，𝑦随𝑥的增大而减小
最值
当𝑥= 0时，𝑦取最小值为0
当𝑥= 0时，𝑦取最大值为0
拓展延伸
𝑦= 𝑎𝑥2(𝑎≠0)的图象，除了有以上表述的性质之外，还有一条性质和𝑎的大小与图象
开口大小的关系有关。
仔细观察上面画过的五条抛物线，不难看出：
当𝑎> 0时，𝑎越大，开口越小；当𝑎< 0时，𝑎越小，开口越小。
4 / 37
学科网（北京）股份有限公司
如果总结出一个概括性更强的结论，那就是：当|𝑎|越大，抛物线开口越小。
归纳总结
①若要讨论𝑦= 𝑎𝑥2(𝑎≠0)的图象性质，需要先对𝑎分类讨论：𝑎> 0和𝑎< 0。但不管
𝑎是大于“0”还是小于“0”，除了顶点坐标和对称轴一致以外，其余性质均相反；
②对于二次函数图象的开口大小，有如下规律：当|𝑎|越大，抛物线开口越小。
易错点 1 画图用尺子连成折线
•
错例：把抛物线画成“V”字形或折线段；
•
错因：受一次函数画图（两点连线）的思维定势影响，且取点太少，误以为增减
性只在几个点上发生；
•
规避方法：至少取关于对称轴成对的5 个点（包括顶点），并用“光滑曲线”连
接，要认识到二次函数的变化和一次函数不同，一次函数的变化率非常稳定，是典型
的线性变化，而二次函数的变化率不稳定，是典型的非线性变化，因此不能用直线表
示二次函数的变化特征。
易错点 2 开口大小判断颠倒
•
错例：认为𝑎= 3时比𝑎=
1
3时的开口还要大；
•
错因：受“数越大物体越大”的生活直觉影响，忽略了“系数越大变化越快（越
陡）”的数学本质；
•
规避方法：用爬山的例子类比，好比𝑎越大，代表山坡越陡，上升/下降得越快，
所以抛物线越“瘦窄”；可以在同一坐标系下画出𝑦= 𝑥2和𝑦= 3𝑥2的图象进行对比。
易错点 3 描述函数增减性时忘写“当𝒙< 𝟎时”或“当𝒙> 𝟎
时”
•
错例：描述𝑦= 3𝑥2的增减性时，直接写“𝑦随𝑥的增大而增大”；
•
错因：缺乏分段讨论意识，习惯用一次函数的“全局增减”眼光看二次函数；
•
规避方法：对称轴是抛物线的“分水岭”，左右两侧性质完全相反。凡写增减
性，必须写出“当𝑥< 0时……；当𝑥> 0时……”两个半句。
易错点 4 含参问题忘记𝒂≠𝟎
•
错例：函数𝑦= (𝑚−1)𝑥2是二次函数，直接说𝑚是任意值；
•
错因：知识迁移不足，只关注新性质而遗忘定义中的硬性要求；
5 / 37
学科网（北京）股份有限公司
•
规避方法：凡含参二次函数，做题第一步先写“由题意得𝑎≠0”，再结合其他条
件（如开口向上、开口大小）列式。
易错点 5 在比较𝒚𝟏、𝒚𝟐大小时，直接比较𝒙的大小
•
错例：例如当𝑎> 0时，认为𝑥1 > 𝑥2 ⇒𝑦1 > 𝑦2；
•
错因：忽略增减性的前提条件（必须同一侧才成立），左右两侧不能直接比𝑥；
•
规避方法：先确定𝑥是否在同一侧，如果在同一侧，再根据增减性直接判断𝑦的大
小；如果不在同一侧，则需要比较𝑥到对称轴的距离，距离越大，则对应的函数值越大
（𝑎> 0）或越小（𝑎< 0）。
•
题型一：𝒚= 𝒂𝒙𝟐的图象及性质——增减性
方法技巧
若要判断函数中，哪个符合题干中描述的增减性，需要按照以下步骤验证：
①自变量𝑥的取值范围：如果说的是“在所有范围内”或没有明确提出“𝑥> 0”、 “𝑥<
0”等此类关键词，则代表该函数是一次函数，优先在是一次函数的选项中验证；
②若已明确自变量𝑥的取值范围，例如“当𝑥> 0/𝑥< 0时，𝑦随着𝑥的增加而增加/减
小”，当出现此类语句时，代表该函数为二次函数，可以验证和二次函数有关的选
项，必要时可以画图辅助判断。
1. （2026·广东珠海·二模）下列四个函数中，在所有范围内y 随x 增大而减小的是( )
A．
2
y
x
=
B．
1
y
x
= −
C．
3
y
x
=
D．
2
y
x
=
【答案】B
【分析】根据一次函数，反比例函数，二次函数的增减性性质，逐一判断选项即可．
【详解】解：A、函数
2
y
x
=
中，
2
0
k =
，y 随x 增大而增大，不符合题意．
B、函数
1
y
x
= −
中，
1
0
k
−
=
，y 随x 增大而减小，符合题意．
C、函数
3
y
x
=
是反比例函数，在每个象限内y 随x 增大而减小，不符合题意．
D、函数
2
y
x
=
是二次函数，开口向上，对称轴为直线
0
x =
，
0
x
时y 随x 增大而增大，
不符合题意．
2．（2026·吉林长春·一模）下列函数中，y 的值随x 的值增大而增大的是（ ）
6 / 37
学科网（北京）股份有限公司
A．
2
2
y
x
=
B．
3
y
x
= −+
C．
2
y
x
−
=
D．
1
y
x−
=
【答案】D
【分析】根据不同函数的增减性逐一判断即可得到答案．
【详解】解：选项A，
2
2
y
x
=
是二次函数，开口向上，对称轴为
0
x =
，当
0
x
时，y 随
x 的增大而减小，不符合要求．
选项B，
3
y
x
= −+
，是一次函数，
1
0
k
−
=
，y 随x 的增大而减小，不符合要求．
选项C，
2
y
x
−
=
，是二次函数，开口向下，对称轴为
0
x =
，当
0
x
时，y 随x 的增大而
减小，不符合要求.
选项D，
1
y
x−
=
是一次函数，
1
0
k =
，y 随x 的增大而增大，符合要求．
3．（2026·上海虹口·二模）下列函数中，函数值y 随着x 增大而减小的是（）
A．
2
y
x
−
=
B．
1
y
x
= −
C．y
x
−
=
D．
1
y
−
=
【答案】C
【分析】本题考查不同函数的增减性，只需根据各类函数的性质，逐一判断选项即可得到
结果．
【详解】解：对选项A：
2
y
x
−
=
是开口向下的二次函数，对称轴为
0
x =
，当
0
x
时，
y 随x 增大而增大，A 不符合要求；
对选项B：
1
y
x
= −
是反比例函数，
1
0
k
−
=
，在每个象限内y 随x 增大而增大，且在整
个定义域不满足y 随x 增大而减小，B 不符合要求；
对选项C：y
x
−
=
是一次函数，比例系数为1
0
−
，在全体实数范围内，y 随x 增大而减
小，C 符合要求；
对选项D：
1
y
−
=
是常函数，函数值不随x 变化而改变，D 不符合要求．
4．（25-26 九年级下·上海嘉定·期中）下列函数中，函数值y 随自变量x 的值增大而增大的
是（ ）
A．
1
2
y
x
=
B．
2
y
x
=
C．
3
y
x
= −−
D．
2
y
x
=
【答案】A
【分析】根据所学不同函数的性质逐一判断即可得到结果．
7 / 37
学科网（北京）股份有限公司
【详解】解：选项A，
1
2
y
x
=
是正比例函数，
∵比例系数1
0
2
，
∴y 随x 的增大而增大，符合题意；
选项B，
2
y
x
=
是二次函数，开口向上，对称轴为y 轴， 当
0
x
时，y 随x 增大而减小，
不符合题意；
选项C，
3
y
x
= −−
是一次函数，
∵一次项系数1
0
−
，
∴y 随x 的增大而减小，不符合题意；
选项D，
2
y
x
=
是反比例函数，
∵
2
0
k =
，
∴在每个象限内y 随x 的增大而减小，且定义域不连续，不符合题意．
5．（25-26 九年级上·广东东莞·期末）对于二次函数
2
1
y
x
5
= −
，当
0
x
时，y 随x 的增大
而（ ）
A．先增大后减小 B．减小
C．增大
D．先减小后增大
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的性质判断开口方向，再根据
对称轴分析增减性即可．
【详解】解：∵
1
0
5
−
，
∴二次函数
2
1
y
x
5
= −
开口向下，
∵二次函数
2
1
y
x
5
= −
的对称轴为
0
x =
，
∴当
0
x
时，y 随x 的增大而增大．
故选：C．
6．（25-26 九年级上·安徽合肥·期末）当x 为何值时，二次函数
2
y
x
−
=
中y 随x 的增大而减
小（ ）
A．
0
x =
B．
0
x
C．
0
x
D．
0
x
【答案】C
8 / 37
学科网（北京）股份有限公司
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键．
根据二次函数
2
y
x
−
=
开口向下，对称轴为
0
x =
，进行判断即可．
【详解】∵二次函数
2
y
x
−
=
的二次项系数为1
0
−
，
∴抛物线开口向下，对称轴为
0
x =
，
∴当
0
x
时，y 随x 的增大而减小，
故选：C．
7．（25-26 九年级上·新疆吐鲁番·期末）在二次函数
²
y
x
=
的图象中，若y 随x 的增大而增
大，则x 的取值范围是（ ）
A．
0
x
B．
0
x
C．
2
x
−
D．
2
x
−
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握相关知识是解题的关键．二次函数
²
y
x
=
的图
象是开口向上的抛物线，对称轴为直线
0
x =
，在对称轴右侧y 随x 的增大而增大．
【详解】解：二次函数
²
y
x
=
的开口向上，对称轴为直线
0
x =
，
当
0
x
时，y 随x 的增大而增大，
故选：A．
题型二：𝒚= 𝒂𝒙𝟐的图象及性质——开口方向
方法技巧
𝑦= 𝑎𝑥2的开口方向和𝑎有关：当𝑎> 0时，二次函数的图象开口向上；当𝑎< 0时，二次
函数的图象开口向下。如果需要在选项中选择符合某个二次函数的那个图象，除了要注
意开口方向外，还要观察函数图象，不能是折线型的。
1.（25-26 九年级上·山东烟台·期末）抛物线
1
2
1
3
y
x
−
=
的开口方向是（ ）
A．向上
B．向左
C．向下
D．向右
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的性质，开口方向由系数a 的符号决定，通过简化表达式得到
二次函数的标准形式，根据二次项系数的正负判断开口方向．
9 / 37
学科网（北京）股份有限公司
【详解】解：
1
1
3
3
−
=
，
2
3
y
x
=
，
3
0
a =
，
抛物线开口向上，
故选：A．
2.（25-26 九年级上·山西朔州·阶段检测）二次函数
2
4
y
x
= −
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数图象与系数之间的关系是
解决本题的关键．
根据二次函数图象与系数的关系进行判断即可．
【详解】解：∵
2
4
y
x
= −
，
∴
4
0
a = −
，
∴抛物线开口向下，
故选：A．
3.（25-26 九年级上·湖南长沙·期中）抛物线
2
3
y
x
=
的图像大致是（ ）
10 / 37
学科网（北京）股份有限公司
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据
2
3
y
x
=
的开口方向和顶点坐标即可判断．
本题主要考查了而函数
2
y
ax
=
图像与性质，熟练掌握
2
y
ax
=
图像与性质是解题的关键
【详解】解：∵抛物线
2
3
y
x
=
中，
1
0
a =
，
∴图像开口向上，且顶点为坐标原点，
故选：A．
4.（2025 九年级·全国·专题练习）如图，图象对应的函数表达式可能是（ ）
A．
5
2
y
x
= −
+
B．
5
y
x
= −
C．
2
1
y
x
5
= −
D．
2
1
5
y
x
=
【答案】C
【分析】本题考查函数图象的识别，掌握根据图象形状判断函数类型，结合函数的性质分
析选项是解题的关键．
通过观察函数图象的形状，判断函数类型，再逐一分析每个选项的函数类型及图象特征是
否符合．
【详解】解：A、
5
2
y
x
= −
+
是一次函数，图象是直线，与题目中抛物线形状不符，不符
合题意；
11 / 37
学科网（北京）股份有限公司
B、
5
y
x
= −
是反比例函数，图象是双曲线，与题目中抛物线形状不符，不符合题意；
C、
2
1
5
y
x
= −
是二次函数，开口向下，顶点在原点，与题目中图象形状一致，符合题意；
D、
2
1
5
y
x
=
是二次函数，开口向上，与题目中图象开口方向不符，不符合题意．
故选：C．
5.（25-26 九年级上·河北唐山·阶段检测）二次函数
2
y
ax
=
的图象如下图所示，则a 的值可
以是（ ）
A．1
B．0
C．1
−
D．2
−
【答案】A
【分析】本题考查二次函数
2
y
ax
=
的图象和性质．
根据二次函数
2
y
ax
=
的图象和性质，可得a 的取值范围，结合选项进行分析，即可得a 的
可能取值．
【详解】解：∵二次函数
2
y
ax
=
的图象开口向上，
∴
0
a
，
只有选项A 符合，
故选：A．
题型三：比较函数中点坐标的相对大小
方法技巧
比较函数中点坐标的相对大小步骤：
①画草图：在图象中画出图象的对称轴；
②标点：将需要进行比较的点标在图象上；
③比较：
12 / 37
学科网（北京）股份有限公司
若已知𝑥比较𝑦：当𝑎> 0时，离对称轴越近的𝑥，对应的𝑦越小；当𝑎< 0时，离对称
轴越近的𝑥，对应的𝑦越大；
若已知𝑦比较𝑥：当𝑎> 0时，越高的点，其横坐标𝑥到原点的距离越远；当𝑎< 0时，
越低的点，其横坐标𝑥到原点的距离越远。
当然，如果已经明确知道二次函数的表达式，有一种更直接的做法也可以比较点坐
标的相对大小，那就是代入法，直接计算𝑦即可。
1.（25-26 八年级下·广西南宁·期末）二次函数
2
2
y
x
=
的图象上有三个点
(
)
1
1,
A
y
，
(
)
2
2,
B
y
，
(
)
3
3,
C
y
，则
1y 、
2y 、
3y 的大小关系为（ ）
A．
1
2
3
y
y
y
B．
1
3
2
y
y
y
C．
2
1
3
y
y
y
D．
3
2
1
y
y
y
【答案】D
【详解】解：∵二次函数
2
2
y
x
=
中，
2
0
a =
，
∴抛物线开口向上，对称轴为y 轴，
∴当
0
x
时，y 随x 的增大而增大，
∵点A、B 、C 的横坐标满足1
2
3
，都在对称轴右侧，
∴
3
2
1
y
y
y
．
2.（25-26 八年级下·重庆·期中）若点
(
)
1
1,
A
y
−
，
(
)
2
4,
B
y
在二次函数
2
y
ax
=
(
)
0
a
的图象
上，则
1y ，
2y 的大小关系是（ ）
A．
1
2
y
y
B．
1
2
y
y
C．
1
2
y
y
=
D．无法确定
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的函数值比较，可直接将点的横坐标代入函数解析式，得到
1y
和
2y 的表达式，再根据
0
a
的条件比较大小．
【详解】解：将
1
x = −代入
2
y
ax
=
得：
(
)
2
1
1
y
a
a
=
−
=
，
将
4
x = 代入
2
y
ax
=
得
2
2
4
16
y
a
a
=
=
，
0
a
，
16
a
a
，
即
1
2
y
y
．
13 / 37
学科网（北京）股份有限公司
3.（25-26 九年级下·吉林长春·期中）若点
(
)
1
2,
A
y
和点
(
)
2
3,
B
y
都在抛物线
2
y
x
−
=
上，则
1y 和
2y 的大小关系是（ ）
A．
1
2
y
y
B．
1
2
y
y
=
C．
1
2
y
y
D．无法确定
【答案】A
【详解】解：∵抛物线
2
y
x
−
=
的二次项系数为1
0
-
，
∴抛物线开口向下，对称轴为y 轴，
∴当
0
x
时，y 随x 的增大而减小，
∵0
2
3
，
∴
1
2
y
y
．
4.（25-26 九年级上·江苏淮安·期末）已知点(
)
1
1, y
−
，(
)
2
0, y
，(
)
3
3, y
都在二次函数
2
y
x
=
的图象上，则
1y ，
2y ，
3y 的大小关系是（ ）
A．
1
2
3
y
y
y
B．
3
1
2
y
y
y
C．
2
1
3
y
y
y
D．
3
2
1
y
y
y
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的性质分别求出
1
2
3
,
,
y y
y 的
值，再比较大小即可得出答案．
【详解】解：∵点(
)
1
1, y
−
在二次函数
2
y
x
=
的图象上，
∴
(
)
2
1
1
1
y = −
= ，
同理可得，
2
2
0
0
y =
=
，
2
3
3
9
y =
=
，
∵0
1
9
，
∴
2
1
3
y
y
y
．
故选：C．
5.（25-26 九年级上·重庆·阶段检测）已知点
(
)
1
2,
A
y
−
，
(
)
2
0,
B
y
，
(
)
3
1,
C
y
都在二次函数
2
y
x
−
=
的图像上，则
1y ，
2y ，
3y 的大小关系为（ ）
A．
1
2
3
y
y
y
B．
2
1
3
y
y
y
C．
2
3
1
y
y
y
D．
3
2
1
y
y
y
14 / 37
学科网（北京）股份有限公司
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数增减性是关键．
根据二次函数的增减性即可解答．
【详解】解：
2
y
x
= −
，
抛物线开口向下，对称轴为直线
0
x =
，
点
(
)
1
2,
A
y
−
距离对称轴有2 个单位长度，
点
(
)
2
0,
B
y
距离对称轴有0 个单位长度，
点
(
)
3
1,
C
y
距离对称轴有1 个单位长度，
∴根据抛物线开口向下，距离对称轴越远，函数值越小可知：
2
3
1
y
y
y
，
故选：C．
6.（2025·安徽亳州·一模）已知点
(
)
1
5,
A
y
−
和点
(
)
2
1,
B
y
−
都在抛物线
(
)
2
0
y
ax
a
=
上，则
1
2
,
y y 的大小关系是（ ）
A．
1
2
y
y
B．
1
2
y
y
=
C．
1
2
y
y
D．以上结果都有可能
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数
2(
0)
y
ax a
=
的性质，对称轴是y 轴，
0
a
时，开口向上，
在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧y 随x 的增大而增大．
根据
0
a
时抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大求解即可．
【详解】解：∵
(
)
2
0
y
ax
a
=
，
∴抛物线开口向上，对称轴是y 轴，离对称轴越远函数值越大．
∵
5
1
−
−，
∴
1
2
y
y
．
故选C．
7.（25-26 九年级上·吉林长春·阶段检测）若
(
)
1
2,
A
y
−
，
(
)
2
1,
B
y
−
，
(
)
3
3,
C
y
为二次函数
2
y
x
−
=
的图象上的三点，则
1y ，
2y ，
3y 的大小关系是（ ）．
A．
1
2
3
y
y
y
B．
3
2
1
y
y
y
C．
3
1
2
y
y
y
D．
2
1
3
y
y
y
15 / 37
学科网（北京）股份有限公司
【答案】C
【分析】本题考查二次函数比较函数值大小，熟练掌握二次函数比较函数值大小的方法是
解决问题的关键．
由二次函数图象与性质得到二次函数
2
y
x
−
=
的开口向下，对称轴为y 轴，从而得到抛物线
上的点到对称轴距离越近y 值越大，求出点
(
)
1
2,
A
y
−
，
(
)
2
1,
B
y
−
，
(
)
3
3,
C
y
到抛物线对称
轴y 轴的距离，比较距离大小即可得到答案．
【详解】解：二次函数
2
y
x
−
=
的开口向下，对称轴为y 轴，
由二次函数图象与性质可知，抛物线上的点到对称轴距离越近y 值越大，
点
(
)
1
2,
A
y
−
，
(
)
2
1,
B
y
−
，
(
)
3
3,
C
y
到对称轴的距离为
2
2
-
=
、
1
1
−
= 、3
3
=
，
1
2
3
，
3
1
2
y
y
y
，
故选：C．
8.（25-26 九年级上·浙江金华·期末）已知(
)
1
,
P t y
，
(
)
2
6,
Q t
y
+
两点在二次函数
2
2
y
x
=
的
图象上，下列判断错误的是（）
A．若
3
t
−
=
，则
1
2
y
y
=
B．若
1
2
y
y
=
，则
3
t
−
=
C．若
0
t
，则
1
2
y
y
D．若
1
2
y
y
，则
0
t
【答案】D
【分析】本题考查二次函数
2
2
y
x
=
的对称性与单调性，需结合函数性质逐一分析选项判断
正误．
【详解】解：∵二次函数
2
2
y
x
=
开口向上，对称轴为
0
x =
（y 轴），在
0
x
时单调递减，
0
x
时单调递增，且点到对称轴距离越远，函数值越大．
选项A：当
3
t
−
=
时，
(
)
1
3,
P
y
−
，
(
)
2
3,
Q
y
，两点关于y 轴对称，∴
1
2
y
y
=
，A 正确．
选项B：若
1
2
y
y
=
，则P 、Q 关于y 轴对称，∴
(
)
6
0
2
t
t
+
+
=
，解得
3
t
−
=
，B 正确．
选项C：若
0
t
，则0
6
t
t
+ ，∵函数在
0
x
时单调递增，∴
1
2
y
y
，C 正确．
选项D：若
1
2
y
y
，则
6
t
t
+
，两边平方得
2
2
(
6)
t
t
+
，化简得12
36
t −
，即
3
t
−
，并
16 / 37
学科网（北京）股份有限公司
非
0
t
（如
2
t
−
=
时，
1
8
y =
，
2
32
y =
，
1
2
y
y
但
0
t
），D 错误．
故选：D．
9.（25-26 九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）已知(
)
1
,
P t y
，
(
)
2
4,
Q t
y
+
两点在二次函数
2
y
x
=
的图象上，下列判断错误的是（ ）
A．若
2
t
−
=
，则
1
2
y
y
=
B．若
1
2
y
y
=
，则
2
t
−
=
C．若
0
t
，则
1
2
y
y
D．若
1
2
y
y
，则
0
t
【答案】D
【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数图象开口，对称轴，增减性是
关键．
通过计算点P 和点Q 的纵坐标，结合二次函数性质，判断各选项正误．
【详解】解：根据题意，
(
)
2
2
1
2
,
4
y
t
y
t
=
=
+
，
A、若
2
t = −，则
(
)
2
2
1
2
2
4,
2
4
y
y
= −
=
=
=
，
∴
1
2
y
y
=
，正确；
B、若
1
2
y
y
=
，则
(
)
2
2
4
t
t
=
+
，
2
2
8
16
t
t
t
=
+
+
， 8
16
0
t +
=
，
解得
2
t = −，正确；
C、若
0
t
，则
4
0
t
t
+
，
∴ (
)
2
2
4
t
t
+
，即
2
1
y
y
，
∴
1
2
y
y
，正确；
D、若
1
2
y
y
，则
(
)
2
2
4
t
t
+
，
2
2
8
16
t
t
t
+
+
，0
8
16
t
+
，
解得，
2
t −，
但
2
t −不一定
0
t
，如
1
t = −时
1
2
1
9
y
y
=
=
，但
1
0
t = −
，
∴ 错误；
故选：D．
10.（25-26 九年级上·广东肇庆·期中）已知点(
)
1
,
P t y
，(
)
2
2
Q t
y
+ ,
在抛物线
2
y
x
=-
上，则
下列判断错误的是（ ）
17 / 37
学科网（北京）股份有限公司
A．若
1
t=- ，则
1
2
y
y
=
B．若
1
2
y
y
=
，则
1
t=-
C．若
0
t
，则
1
2
y
y
D．若
1
2
y
y
，则
0
t
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用数形
结合思想是解题的关键．通过计算点(
)
1
,
P t y
和点(
)
2
2
Q t
y
+ ,
的纵坐标表达式，比较大小关
系，结合抛物线的性质进行判断即可．
【详解】解：点
(
)
1
,
P t y
和(
)
2
2
Q t
y
+ ,
在抛物线
2
y
x
=-
上，
2
1y
t
\
= -
，
(
)
2
2
2
y
t
= -
+
，
选项A：当
1
t=- 时，
(
)
2
1
1
1
y = - -
= - ，
(
)
( )
2
2
2
1 2
1
1
y = - - +
= -
= - ，
1
2
y
y
=
，选项A 正确；
选项B：当
1
2
y
y
=
时，
即
(
)
2
2
2
t
t
−
−
=
+
，
2
2
4
4
t
t
t
\ -
= -
-
-
，
0
4
4
t
\
=-
-
，
4
4
t
\
= - ，
1
t
= −，选项B 正确；
选项C：当
0
t
时，
(
)
(
)
2
2
2
2
1
2
2
2
4
4
4
0
y
y
t
t
t
t
t
−
−
−
=
−−
+
=
+
+
=
+
，
1
2
y
y
，选项C 正确；
选项D：当
1
2
y
y
时，
即4
4
0
t +
，
1
t
−，
但选项D 要求
0
t
，而
1
t −不一定满足
0
t
（例如
0.5
t
−
=
时
1
2
y
y
但
0
t
），
18 / 37
学科网（北京）股份有限公司
选项D 错误；
故选：D．
题型四：图象开口大小与系数的关系
方法技巧
①先根据图象开口方向的不同得出最基本的不等关系：图象开口向上的函数的𝑎必然
大于图象开口向下的函数的𝑎；
②再根据𝑎与开口大小的关系（即|𝑎|越大，开口越小）可以得到更具体的二次项系
数不等关系。
1.（25-26 九年级上·浙江金华·期末）已知三个二次函数的图象如图所示，那么
1a ，
2a ，
3a
的大小关系是（ ）
A．
1
2
3
a
a
a
B．
3
1
2
a
a
a
C．
1
3
2
a
a
a
D．
3
2
1
a
a
a
【答案】D
【分析】此题主要考查了二次函数的图象，抛物线开口大小与二次项系数的绝对值大小成
反比，正确记忆开口方向和大小与a 的关系是解题关键．
直接利用二次函数的图象开口大小和方向与a 的关系进而得出答案．
【详解】解：如图所示：
2
1
y
a x
=
的开口向上，
1
0
a
，
2
2
y
a x
=
与
2
3
y
a x
=
开口向下，则
2
3
0,
0
a
a
，
∵
2
2
y
a x
=
的开口大于
2
3
y
a x
=
开口，
∴
2
3
a
a
19 / 37
学科网（北京）股份有限公司
∴
2
3
a
a
，
∴
3
2
1
a
a
a
故选：D．
2.（25-26 九年级上·河北邢台·期末）嘉嘉用软件绘制抛物线
2
3
y
x
=
时，将系数“3”误认为
“ 1
3 ”，得到的新抛物线与原抛物线相比，发生改变的是（ ）
A．开口大小
B．开口方向
C．对称轴
D．顶点坐标
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，比较原抛物线
2
3
y
x
=
与新抛物线
2
1
3
y
x
=
的系
数a，分析开口方向、开口大小、对称轴和顶点坐标的变化即可求解．
【详解】解：在二次函数
2
3
y
x
=
和
2
1
3
y
x
=
中，对称轴均为直线
0
x =
，顶点坐标为(
)
0,0 ，
故选项C、D 不符合题意；
∵原函数
3
0
a =
，新函数
1
0
3
a =
，
∴开口方向均向上，未改变，故选项B 不符合题意；
∵
1
3
3
，
∴开口大小改变，故选项A 符合题意，
故选：A．
3.（25-26 九年级上·安徽合肥·期末）抛物线
2
2
y
x
=
与
2
y
x
=
相比（ ）
A．开口更大
B．开口更小
C．开口相同
D．无法比较
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键．
二次函数的开口大小由二次项系数的绝对值决定，绝对值越大，开口越小依此进行判断即
可．
【详解】解：对于抛物线
2
2
y
x
=
，二次项系数
2
a =
，
对于抛物线
2
y
x
=
，二次项系数
1
a = ，
∵2
1
，
20 / 37
学科网（北京）股份有限公司
∴
2
2
y
x
=
的开口比
2
y
x
=
的开口更小，
故选：B．
4.（25-26 九年级上·河南新乡·期中）有下列二次函数：①
2
3
y
x
= −
；②
2
2
3
y
x
=
；③
2
4
3
y
x
= −
．在同一平面直角坐标系中，将它们图象的开口按从大到小的顺序排列，正确的
是（）
A．①②③
B．①③②
C．②③①
D．②①③
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的性质；二次函数图象的开口大小由系数a 的绝对值a 决
定，a 越小开口越大，a 越大开口越小．比较三个函数的a 值即可得出开口大小顺序．
【详解】解：二次函数图象的开口大小由系数a 的绝对值a 决定，a 越小开口越大，a
越大开口越小，
对于①
2
3
y
x
= −
，
3
a =
；
对于②
2
2
3
y
x
=
，a = 2
0.666
3
；
对于③
2
4
3
y
x
= −
，a = 4
1.333
3
．
a
从小到大为：②③①，
故开口从大到小为：②③①，即②③①．
故选：C．
5.（25-26 九年级上·江苏盐城·期中）抛物线
2
2
4
4
y
x
y
x
=
= −
、
不相同的是（ ）
A．形状大小
B．开口方向
C．对称轴
D．顶点坐标
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的基本性质，关键是比较二次项系数的符号对开口方向的影
响．
比较两条抛物线
2
4
y
x
=
和
2
4
y
x
= −
的性质，包括形状大小、开口方向、对称轴和顶点坐
标．由于二次项系数绝对值相同，形状大小相同；对称轴均为y 轴；顶点均为原点；但开
口方向相反．
21 / 37
学科网（北京）股份有限公司
【详解】解：抛物线
2
2
4
4
y
x
y
x
=
= −
、
的形状大小相同；对称轴均为
0
x =
；顶点均为
(
)
0,0 ，但开口方向相反，
故选：B．
6.（25-26 九年级上·贵州黔东南·期中）如图，四个二次函数的图像中，分别对应的是：①
2
y
ax
=
；②
2
y
bx
=
；③
2
y
cx
=
；④
2
y
dx
=
，则a，b，c，d 的大小关系是（ ）
A．a
b
c
d
B．b
a
c
d
C．a
b
d
c
D．b
a
d
c
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数
2
y
ax
=
的性质：①抛物线
2
y
ax
=
的开口大小由a 决定，a
越大，抛物线的开口越窄，a 越小，抛物线的开口越宽；②抛物线
2
y
ax
=
的开口方向由a
决定，当
0
a
时，抛物线开口向上，当
0
a
时，抛物线开口向下．根据以上抛物线性质
即可分析出, , ,
a b c d 的大小关系．
【详解】解：抛物线
2
y
ax
=
、
2
y
bx
=
开口向上，
且抛物线
2
y
ax
=
的开口更窄，
0
a
b
，
抛物线
2
y
cx
=
、
2
y
dx
=
开口向下，
且抛物线
2
y
cx
=
的开口更窄，
0
c
d
，
a
b
d
c
．
故选C．
7.（18-19 九年级上·全国·单元测试）在同一坐标系中画出
2
2
2
1
2
3
1
2
,
2
,
2
y
x
y
x
y
x
=
= −
=
的图
象，正确的是（ ）
22 / 37
学科网（北京）股份有限公司
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象与系数a 的关系，二次函数
2
y
ax
=
的系数a 为正数时，
抛物线开口向上；a 为负数时，抛物线开口向下；a 的绝对值越大，抛物线开口越小．根据
二次函数开口大小和方向与a 的关系，分析得出答案．
【详解】解：依题意，
2y 开口向下，
1y 和
3y 开口向上，且
1y 开口较小，
3y 开口较大，
故选：D．
8.（23-24 九年级上·广西梧州·期末）如图，是二次函数
2
2
1
2
,
y
mx
y
nx
=
=
的图象，则m 与n
的关系是（ ）
A．m
n
B．m
n
C．m
n
=
D．
0
m
n
+
=
【答案】A
【分析】本题考查二次函数
2
y
ax
=
的图象和性质，解题的关键在于熟练掌握二次函数的图
象和性质．
根据抛物线的开口大小与二次函数的二次项系数的关系直接得出即可．
【详解】解：由函数图象可知，
2
1y
mx
=
的图象开口更小，
根据系数越大，开口越小，
m
n
；
故选：A．
23 / 37
学科网（北京）股份有限公司
题型五：根据𝒚= 𝒂𝒙𝟐的图象性质求参数（范围）
方法技巧
比较常见的函数𝑦= 𝑎𝑥2图象性质与二次项系数𝑎的对应关系：
开口向上⟹𝑎> 0；
开口向下⟹𝑎< 0；
图象有最高点⟹𝑎< 0；
图象有最低点⟹𝑎> 0；
当𝑥> 0时，𝑦随𝑥的增大而增大⟹𝑎> 0；
当𝑥> 0时，𝑦随𝑥的增大而减小⟹𝑎< 0。
1.（24-25 九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）已知
(
)
2
4
2
k
k
y
k
x
+ −
=
+
是二次函数，且函数图象
有最高点，求k 的值（ ）
A．
0
k =
B．
2
k
−
=
C．
2
k =
D．
3
k = −
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的定义及图象的性质，根据二次函数的定义和开口方向的条
件，即可确定k 的值．
【详解】解：∵
(
)
2
4
2
k
k
y
k
x
+ −
=
+
是二次函数，且函数图象有最高点，
∴二次函数图象开口向下，
∴
2
0
k +
，且
2
4
2
k
k
+
−
=
，
解得：
2
k −，且
-3
k =
或
2
k =
，
∴
3
k = −，
则k 的值为3
−．
故选：D．
2．（25-26 九年级上·全国·课后作业）已知函数
2 2
(
1)
a
y
a
x
−
=
−
是二次函数，且图象开口向
上，则a 的值是（ ）
A．2
−
B．2
C．2
D．0
【答案】B
【分析】由二次函数得到x 的指数部分要为2，从而解出a 的值，
24 / 37
学科网（北京）股份有限公司
又因为图象开口向上，二次项系数要大于0，确定符合条件的a 的值.
【详解】解：该函数为二次函数，故自变量x 的指数必须为2，
即
2
2
2
2
4
2.
a
a
a
−
=
=
=
二次项系数为
1
a −，开口向上要求系数大于0，
即
1
0
1.
a
a
−
综上，
2
a =
，故选：B.
【点睛】本题考查了二次函数的定义和开口方向的条件，
熟知二次函数的定义及图象特点是解题的关键.
3．（24-25 九年级上·福建泉州·阶段检测）若拋物线
(
)
2
1
y
m
x
=
−
的开口向上，则m 的值可
能为（ ）
A．0
B．1
C．3
D．3
−
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的性质，根据抛物线的开口向上，得到
1
0
m−
，进行求解即
可．
【详解】解：∵抛物线
(
)
2
1
y
m
x
=
−
的开口向上，
∴
1
0
m−
，
∴
1
m ，
∴m 的值可能为3．
故选：C．
4．（25-26 九年级上·辽宁盘锦·开学考试）已知
(
)
2 2
1
k
y
k
x
−
=
−
是二次函数，且函数图象有
最高点，则k 的值为（ ）
A．
2
k =
B．
2
k =
C．
0
k =
D．
2
k
−
=
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的定义及图象的性质，根据二次函数的定义和开口方向的条
件，即可确定k 的值．
【详解】解：∵
(
)
2 2
1
k
y
k
x
−
=
−
是二次函数，且函数图象有最高点，
∴二次函数图象开口向下，
∴
1
0
k −
，且
2
2
2
k −
=
，
25 / 37
学科网（北京）股份有限公司
解得：
1
k ，且
2
k
−
=
或
2
k =
，
∴
2
k
−
=
，
则k 的值为2
−．
故选：D．
5．（25-26 九年级上·河北邯郸·阶段检测）已知二次函数
(
)
2
2
y
a x
=
−
的图象开口向下，则a
的值可能是（ ）
A．2
B．0
C．3
D．1
【答案】C
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的图
象和性质．二次函数
(
)
2
2
y
a x
=
−
中，当2
0
a
−
时开口向上，当2
0
a
−
时开口向下，据
此解答即可．
【详解】解：二次函数
(
)
2
2
y
a x
=
−
的图象开口向下，
2
0
a
−
，
2
a
，
则a 的值可能是3，
故选：C．
6．（25-26 九年级上·广东广州·阶段检测）已知
(
)
2 2
1
k
y
k
x
−
=
+
是二次函数，且函数图象有
最低点，则k 的值为（ ）
A．
2
k =
B．
2
k
−
=
C．
0
k =
D．
2
k =
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的定义，二次函数的图象和性质，由二次函数的定义可得
2
2
2
k −
=
，即得
2
k = ，再根据二次函数的图象和性质可得
1
0
k +
，即得
1
k −，即可求
解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵
(
)
2 2
1
k
y
k
x
−
=
+
是二次函数，
∴
2
2
2
k −
=
，
解得
2
k = ，
又∵函数图象有最低点，
∴
1
0
k +
，
26 / 37
学科网（北京）股份有限公司
∴
1
k −，
∴
2
k =
，
故选：D ．
7．（2025 九年级·全国·专题练习）已知(
)
1
1
,
x
y
，(
)
2
2
,
x
y
是函数
(
)
2
2026
y
m
x
=
−
的图象上
的两点，且当
1
2
0
x
x
时，有
1
2
y
y
，则m 的取值范围是（ ）
A．
2026
m
B．
2026
m
C．
2026
m
D．
2026
m
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质 ．当二次项系数小于零时，抛物线开口向下，
在对称轴右侧函数递减．
由条件当0
x
x
₁
₂时y
y
₁
₂，可知函数在
0
x
时递减，故二次项系数
2026
0
m−
，即
2026
m
．
【详解】解：∵函数
(
)
2026
?
y
m
x
=
−
的二次项系数
2026
a
m
=
−
，
当
0
a
时，抛物线开口向下，在
0
x
时函数递减，
即当0
x
x
₁
₂时，有y
y
₁
₂，
由题设条件，当0
x
x
₁
₂时，有y
y
₁
₂，
∴
0
a
，即
2026
0
m−
，
∴
2026
m
，
故选：D ．
8．（25-26 九年级上·江苏南通·期中）已知二次函数
(
)
2
1
y
a x
=
−
，当
0
x
时，y 随x 增大
而增大，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
1
a
B．
1
a
C．
1
a
D．
0
a
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的性质，当二次项系数大于零时，抛物线开口向上，在对称
轴右侧函数递增；由题意，需要二次项系数1
0
a
−
，解不等式即可．
【详解】解：∵二次函数
(
)
2
1
y
a x
=
−
的对称轴为y 轴，且当
0
x
时，y 随x 增大而增大，
∴函数图像开口向上，
∴二次项系数1
0
a
−
，
故选：A．
27 / 37
学科网（北京）股份有限公司
题型六：根据𝒚= 𝒂𝒙𝟐的图象性质求函数取值范围
方法技巧
①定开口：𝑎> 0开口向上，𝑎< 0开口向下，画草图辅助；
②判增减：对称轴为𝑦轴（𝑥= 0），分左右两侧判断单调性；
③求端点值：分别计算区间端点对应的𝑦值（若区间含𝑥= 0，顶点值也作为候选）；
④定范围：开口向上取两端点中较大者为最大值，较小者为最小值；开口向下反
之。若区间含顶点，顶点处取最值。
需要额外注意区间端点能否取到！
1.（25-26 九年级上·广西崇左·阶段检测）已知二次函数
2
y
x
=
，当1
3
x
−
时，y 的取值
范围是（ ）
A．1
3
y
B．0
3
y
C．0
9
y
D．1
9
y
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先确定开口方向，求二次函数
2
y
x
=
在
1
3
x
−
的取值范围，需确定其在此范围内的最小值和最大值．
【详解】解：∵
2
y
x
=
是开口向上的抛物线，顶点在(
)
0,0 ，
∴ 当
0
x =
时，
0
y =
为最小值，
当
1
x = −时，
1
y = ；
当
3
x = 时，
9
y =
，
∴在1
3
x
−
时， 最大值为9，
因此 y 的取值范围是0
9
y
．
故选：C．
2.（25-26 九年级上·山西阳泉·期中）已知函数
2
y
x
=
，当
2
x
−
时，y 的取值范围为（ ）
A．
2
y
B．
4
y
C．
2
y
D．
4
y
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据函数
2
y
ax
=
（
0
a
）的性质进行判断，即可求
解．
28 / 37
学科网（北京）股份有限公司
【详解】解：∵ 1
0
，
当
0
x
时，y 随x 增大而减小，
当
2
x = −时，
4
y =
，
当
2
x
−
时，
4
y
，
故选：B ．
3.（2025 九年级·全国·专题练习）已知抛物线
2
y
x
=
，当3
1
x
−
−时，y 的取值范围是
（ ）
A．1
9
y
−
B．0
9
y
C．1
3
y
−
D．1
9
y
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的性质，利用函数的增减性分别求出最大值和最小值是解题
的关键．
由抛物线开口方向、对称轴及增减性求得其最大值和最小值即可求得答案．
【详解】解：∵抛物线
2
y
x
=
开口向上，对称轴为y 轴，
∴当3
1
x
−
−时，y 随x 的增大而减小，
∴当
3
x = −时，y 有最大值9；当
1
x = −时，y 有最小值1，
∴当3
1
x
−
−时，y 的取值范围是1
9
y
．
故选：D．
4.（25-26 九年级上·天津津南·阶段检测）对于二次函数
2
3
y
x
=
，当2
1
x
−
时，y 的取值
范围是（ ）
A．0
12
y
B．3
12
y
C．0
1
y
D．0
3
y
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数
2
3
y
x
=
开口向上，对称轴为
0
x =
，且在区间2
1
x
-
内，最小值在顶点处，最大值在端点处．
【详解】解：∵
2
3
y
x
=
，
3
0
a =
，
∴抛物线开口向上，对称轴为
0
x =
．
∵ 2
1
x
-
，且对称轴
0
x =
在区间内，
∴当
0
x =
时，y 取最小值，
2
min
3 0
0
y
=
=
．
29 / 37
学科网（北京）股份有限公司
当
2
x = - 时，
(
)
2
3
2
12
y = −
=
；
当
1
x = 时，
2
3 1
3
y =
= ．
∴ y 的最大值为12．
因此，y 的取值范围是 0
12
y
．
故选A
5.（25-26 九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知抛物线
2
y
x
=
，当1
3
x
−
时，y 的取值范
围是（ ）
A．1
9
y
−
B．0
9
y
C．1
9
y
D．1
3
y
−
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：∵抛物线
2
y
x
=
的开口向上，对称轴为y 轴，1
3
x
−
，
∴当
0
x =
时，y 有最小值，最小值为0，
当
3
x = 时，y 有最大值，最大值为
23
9
y =
=
，
∴当1
3
x
−
时，0
9
y
，
故选：B．
6.（25-26 九年级上·全国·课后作业）已知二次函数
2
y
x
=
，当1
9
y
时，自变量x 的取值
范围是（ ）
A．1
3
x
B．3
3
x
−
C．3
1
x
−
−或1
3
x
D．−
3 ≤
0
x
或0
3
x
【答案】C
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以计算出当1
9
y
时，函数值x
的取值范围．
【详解】
2
y
x
=
∴该函数图象开口向上，对称轴是直线
0
x =
，当
0
x＜时，y 随x 的增大而减小，当
0
x＞
时，y 随x 的增大而增大
∴当
1
y = 时，
1
x = ；当
9
y =
时，
3
x =
30 / 37
学科网（北京）股份有限公司
∴当1
9
y
时，自变量x 的取值范围是3
1
x
−
−或1
3
x
故答案选C
7.（2025·河北保定·一模）点
(
)
,2026
M m
在函数
2
y
x
=
的图象上，已知
2
45
2025
=
，则下列
选项正确的是（ ）
A．
45
m
B．
45
m
C．
45
m
D．
45
m
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，
根据抛物线的开口方向和函数值的大小，可知点M 比点(
)
45,2025 离对称轴远，再分两种
情况讨论得出答案.
【详解】解：∵二次函数
2
y
x
=
的图象开口向上，2026
2025
，
∴点M 比点(
)
45,2025 离对称轴远，
∴当点M 在对称轴左侧时，
45
m −
；
当点M 在对称轴右侧时，
45
m
，
∴
45
m
．
故选：C．
题型七：𝒚= 𝒂𝒙𝟐的图象性质综合应用
方法技巧
该类问题综合性较强，一般会以多个函数的对比，或者就单个函数的性质判断的题
型进行考察，但整体上需要考虑的细节方面如下：
①开口方向：𝑎> 0向上，𝑎< 0向下；∣𝑎∣越大开口越小；
②对称轴：对称轴为𝑦轴，顶点为原点(0,0)；
③增减性：分左右两侧判断单调性，不能笼统地说“𝑦随𝑥增大而增大”；
④特殊点：含参问题时，用边界点代入确定参数范围；
⑤数形结合：画草图辅助，利用对称性简化比较和计算。
1.（24-25 九年级上·河南驻马店·期中）关于二次函数
2
y
ax
=
，下列说法中不正确的是
（ ）
31 / 37
学科网（北京）股份有限公司
A．当
0
x
时，
2
y
ax
=
的对称轴是y 轴 B．当
0,
0
a
x
时，y 总取正值
C．当
0
a
时，函数图象有最高点
D．当
0,
0
a
x
时，y 随着x 的增大而增大
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据二次函数
2
y
ax
=
的图象与性质分别判断即可．
【详解】解：A、二次函数
2
y
ax
=
的对称轴为y 轴，故原说法错误，符合题意；
B、由于
0
x
，则
2
0
x
，而
0
a
，故
2
0
y
ax
=
，故原说法正确，不符合题意；
C、当
0
a
时，开口向下，函数图象有最高点，说法正确，不符合题意；
D、当
0,
0
a
x
时，y 随着x 的增大而增大，说法正确，不符合题意；
故选：A．
2.（24-25 八年级下·黑龙江绥化·阶段检测）关于抛物线
2
y
x
−
=
，给出下列说法：
①抛物线开口向下，顶点是原点；
②当
1
x 时，y 随x 的增大而减小；
③当1
2
x
−
时，4
1
y
−
−；
④若(
)
,
m p ，(
)
,n p 是该抛物线上两点，则
0
m
n
+
=
．
其中正确的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线
2
y
x
−
=
，可得抛物线的对称轴是
y 轴，顶点是(0,0) ，抛物线开口向下，再结合抛物线的增减性，逐项判断即可，解题关键
是掌握二次函数的图象与性质．
【详解】解：
2
y
x
= −
，1
0
−
，
抛物线的对称轴是y 轴，顶点是(0,0) ，抛物线开口向下，
①抛物线开口向下，顶点是原点，故①正确；
②抛物线的对称轴为y 轴，当
1
x 时，y 随x 的增大而减小，故②正确；
③当1
2
x
−
时，
0
x =
，y 取最大值为0，
2
x =
时，y 取值最小值为4
−，所以
4
0
y
−
，故③错误；
32 / 37
学科网（北京）股份有限公司
④若( , )
m p ，( , )
n p 是该抛物线上的两点，则( , )
m p ，( , )
n p 关于y 轴对称，横坐标互为相
反数，所以
0
m
n
+
=
，故④正确；
正确的说法共有3 个，
故选C．
3.（24-25 九年级下·重庆·开学考试）抛物线
2
2
y
x
=
，
2
2
y
x
= −
和
2
1
2
y
x
=
共有的性质是
（ ）
A．开口向下
B．对称轴为直线
0
x =
C．图象都在某条与x 轴平行的直线上方
D．抛物线呈下降趋势
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解
答．
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质即可解答．
【详解】解：A、抛物线
2
2
y
x
=
，
2
1
2
y
x
=
开口向上，抛物线
2
2
y
x
= −
开口向下，故本选项
不符合题意；
B、抛物线
2
2
y
x
=
，
2
2
y
x
= −
和
2
1
2
y
x
=
的对称轴都为直线
0
x =
，故本选项符合题意；
C、抛物线
2
2
y
x
=
，
2
1
2
y
x
=
的图象都在某条与x 轴平行的直线上方，抛物线
2
2
y
x
= −
在某
条与x 轴平行的直线下方，故本选项不符合题意；
D、抛物线既有上升趋势的部分，也有下降趋势的部分，故本选项不符合题意；
4.（25-26 九年级上·河北唐山·阶段检测）关于抛物线
2
y
x
−
=
，给出下列说法， 其中正确
的说法有（ ）
①抛物线开口向下，顶点是原点；②当
2
x
时，y 随x 的增大而减小；③当2
1
x
−
时，4
1
y
−
−；④若( , ),( , )
m q
n q 是该抛物线上两点，则
0
m
n
+
=
．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数
2(
0)
y
ax a
=
图像的性质．
33 / 37
学科网（北京）股份有限公司
根据二次函数
2(
0)
y
ax a
=
的特点可解答①；再根据
2
x
是在对称轴的右侧，由增减性
可得解答②；然后根据自变量取值求出函数值，再结合最大值可判断③；最后根据关于对
称轴对称的点的特点解答④即可．
【详解】解：抛物线
2
y
x
−
=
的开口向下，顶点在原点，所以①正确；
当
2
x
时，函数值y 随着x 的增大而减小，所以②正确；
当
2
x = −时，
4
y
−
=
，当
0
x =
时，
0
y
=
最大
，
所以当2
1
x
−
时，4
0
y
−
，
故③不正确；
∵点( , ),( , )
m q
n q 在抛物线上，可知这两个点关于对称轴对称，且对称轴是y 轴，
∴
0
2
m
n
+
=
，即
0
m
n
+
=
，
所以④正确，
综上所述，正确的有3 个．
故选：C．
5.（25-26 九年级上·山东德州·阶段检测）关于二次函数
2
3
y
x
=
的图像，下列说法错误的是
（ ）
A．它是一条抛物线
B．它的开口向上，且关于y 轴对称
C．它的顶点是抛物线的最高点
D．它与
2
3
y
x
= −
的图像关于x 轴对称
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，根据抛物线
2
y
ax
=
的图像与性质逐项判断即
可求解．
【详解】解：A. 它是一条抛物线，故原选项正确，不符合题意；
B. ∵3
0
，∴它的开口向上，且关于y 轴对称，故原选项正确，不符合题意；
C. ∵
2
3
y
x
=
的图像开口向上，∴它的顶点是抛物线的最低点，故原选项错误，符合题意；
D. 它与
2
3
y
x
= −
的图像关于x 轴对称，故原选项正确，不符合题意．
故选：C．
6.（2025 九年级·全国·专题练习）关于抛物线
2
1
2
y
x
=
，
2
y
x
=
，
2
2
y
x
=
的共同性质有以下
34 / 37
学科网（北京）股份有限公司
结论：①都是开口向上；②都以(
)
0,0 为顶点；③都以y 轴为对称轴；④都关于x 轴对
称．其中正确的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数
2
y
ax
=
（其中
0
a
）的性质，分析
各结论的正确性．
【详解】∵ 所有抛物线形式为
2
y
ax
=
，且
1
2
a =
、
1
a = 、
2
a =
均大于 0，
∴ 开口向上，故①正确；
∵ 顶点坐标均为 (
)
0,0 ，故②正确；
∵ 对称轴均为 y 轴（即
0
x =
），故③正确；
∵ 关于 x 轴对称要求点 (
)
,x y 和 (
)
,x
y
−
都在图像上，但当
0
x
时，
0
y
，而
0
y
−
，不在图像上，故④错误，
∴ 正确的结论有 3 个．
故选：C．
7.（25-26 九年级上·上海·期中）下列关于抛物线
2
1
2
y
x
=
和
2
1
2
y
x
−
=
的关系的说法中，正
确的是（ ）
A．它们的形状相同，开口方向也相同；
B．它们都关于y 轴对称；
C．它们的顶点不相同；
D．点(
)
2,2
−
既在抛物线
2
1
2
y
x
=
上也在
2
1
2
y
x
−
=
上．
【答案】B
【分析】此题主要考查了二次函数的性质，根据顶点式得出二次函数性质是解决本题的关
键．通过比较两条抛物线的二次项系数、开口方向、顶点和对称轴，判断各说法的正误即
可．
【详解】解：∵抛物线
2
1
2
y
x
=
和
2
1
2
y
x
−
=
中二次项系数的绝对值相等，
∴它们的形状相同，开口方向相反，故A 错误；
它们的对称轴都是y 轴，故B 正确；
35 / 37
学科网（北京）股份有限公司
它们的顶点都是(
)
0,0 ，故C 错误；
把
2
x = −代入
2
1
2
y
x
=
得：
(
)
2
1
2
2
2
y =
−
=
，
∴点(
)
2,2
−
在抛物线
2
1
2
y
x
=
上，
把
2
x = −代入
2
1
2
y
x
−
=
得：
(
)
2
1
2
2
2
y = −
−
= −，
∴点(
)
2,2
−
不在抛物线
2
1
2
y
x
−
=
上，故D 错误．
故选：B．
8.（2024·河北石家庄·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中
(
)
1,2
A
、(
)
1, 1
B
−
、
(
)
2,2
C
，
抛物线
(
)
2
0
y
ax
a
=
经过ABC
区域（包括边界），则a 的取值范围是（ ）
A．
1
a
−
或a≥2
B．1
0
a
−
或0
2
a
C．1
0
a
−
或1
1
2
a
D．1
2
2
a
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征．二次函
数
2(
0)
y
ax a
=
的二次项系数a 决定了抛物线开口的方向和开口的大小，
0
a
，开口向
上，
0
a
，开口向下，a 越大，开口越小，据此分两种情况讨论即可．
【详解】解：如图所示：
36 / 37
学科网（北京）股份有限公司
分两种情况进行讨论：
当
0
a
时，
抛物线
2
y
ax
=
经过点
(
)
1,2
A
时，
2
a =
，抛物线的开口最小，a 取得最大值2 ，
抛物线
2
y
ax
=
经过ABC
区域（包括边界），
a 的取值范围是：0
2
a
；
当
0
a
时，
抛物线
2
y
ax
=
经过点(
)
1, 1
B
−
时，
1
a = −，抛物线的开口最小，a 取得最小值1
−，
抛物线
2
y
ax
=
经过ABC
区域（包括边界），
a 的取值范围是：1
0
a
−
；
综上，抛物线
2(
0)
y
ax a
=
经过ABC
区域（包括边界），则a 的取值范围是1
0
a
−
或
0
2
a
，
故选：B．
9.（2025·广东深圳·三模）如图，坐标平面内，点A是抛物线
2
y
x
=
上异于点O的任一点，
AO 与抛物线
2
2
y
x
=
的交点记为A，现请你考查OA
OA这一比值，它是否会随着点A的位置
改变而发生改变？若改变，说明比值变化的规律；若不变，请说出该比值大小．下列对上
述问题的回答正确的是（ ）
37 / 37
学科网（北京）股份有限公司
A．改变；该比值会随x 的增大而增大
B．改变；该比值会随x 的增大而减小
C．不变；比值大小为2
D．不变；比值大小为2
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数的交点问题．假设设(
)
2
,
A a a
，写出直线OA
的解析式，代入另一个抛物线，求得A坐标，从而可以求得
2
OA
OA=
．
【详解】解：设(
)
2
,
A a a
，
直线OA的解析式为：y
ax
=
，
代入抛物线
2
2
y
x
=
，
2
2
ax
x
=
，
0
x
=
或2
a ，
2
,
2
2
a a
A
，
A
是OA的中点，
2
OA
OA=
，
即比值不变，恒为2.
故选：C．
