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专题 1.1 一元二次方程全章知识典例详解
【人教版】
知识点1 一元二次方程的定义
一元二次方程定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2 的整式方程叫做一元二次方程．
判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下四个标准：
①整式方程．
②方程中只含有一个未知数．
③化简后方程中未知数的最高次数是2．
④二次项的系数 不为 0
【典例1】（2024春•莱山区校级月考）下面关于x的方程中：1 4x2 x2−y2 1
(1−x)=0， =0， =0， +x=0，x2+3x=0，ax2+bx+c＝0，其中一元二次方程的个数
5 π−3 2 x
为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】利用一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做
一元二次方程）分别分析得出答案．
1
【解答】解： (1−x)=0是一元一次方程，不合题意；
5
4x2
=0是一元二次方程，符合题意；
π−3
x2−y2
=0含有两个未知数，不是一元二次方程，不合题意；
2
1
+x=0不符合一元二次方程的定义，不合题意；x2+3x＝0是一元二次方程，符合题意；
x
ax2+bx+c＝0不符合一元二次方程的定义，不合题意；
∴其中一元二次方程的个数为：2，
故选：A．
【典例2】（2023秋•威县校级期末）如果方程(p−3)xp2−7−x+3=0是关于x的一元二次方程，则p的值
是（ ）
A．2 B．﹣3 C．3 D．±3
【分析】根据一元二次方程的定义得出p2﹣7＝2且p﹣3≠0，再求出p的值即可．
【解答】解：∵方程(p−3)xp2−7−x+3=0是关于x的一元二次方程，
∴p2﹣7＝2且p﹣3≠0，
∴p＝±3且p≠3，
即p＝﹣3．
故选：B．
【典例3】（2023秋•邹平市期末）已知关于x的方程（a﹣3）x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，则a的值是
（ ）
A．﹣1 B．2 C．﹣1或3 D．3
【分析】根据一元二次方程的定义得出a﹣3≠0且|a﹣1|＝2，再求出a即可．
【解答】解：∵关于x的方程（a﹣3）x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，∴a﹣3≠0且|a﹣1|＝2，
解得：a＝﹣1，
故选：A．
知识点2 一元二次方程的一般形式
一元二次方程的一般形式： ．
其中 为二次项，其系数为 ； 为一次项，其系数为 ； 为常数项．
【注】1．“可化成”是指对整式方程进行去分母，去括号，移项、合并同类项等变形．
2．一般形式中， 、 可以是任意实数，而二次项系数 ，若 ，方程就不是一元二次方程
了，
也未必是一次方程，要对 进行讨论．
3．要确认一元二次方程的各项系数必须先将此方程化为一般形式，然后确定 、 、 的值，不要
漏掉符号．
4．项及项的系数要区分开．
【典例1】（2024春•东营区校级月考）把一元二次方程（x+1）（1﹣x）＝2x化成一般形式后得到二次项
系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ．
【分析】首先利用平方差公式进行计算，再整理得到x2+2x﹣1＝0，然后再确定二次项、一次项系数和
常数项．
【解答】解：方程（x+1）（1﹣x）＝2x整理为一般形式为x2+2x﹣1＝0，
∴二次项系数是1，一次项系数是2，常数项是﹣1，
故答案为：1，2，﹣1．
【典例2】（2024春•崇川区校级月考）若关于x的一元二次方程（a+2）x2﹣3ax+a2﹣4＝0的常数项为0，
则a的值为 ．
【分析】一元二次方程的常数项为0时，需满足“常数项＝0，二次项系数≠0”．
【解答】解：由题意，a2﹣4＝0，且a+2≠0，
解得a＝2．
故答案为：2．
【典例3】（2024秋•丰顺县校级月考）若关于x的一元二次方程（2a﹣4）x2+（3a+6）x+a﹣8＝0没有一
次项，则a的值为 ．
【分析】根据一元二次方程的一般形式可知一次项为（3a+6）x，由方程没有一次项可得3a+6＝0，即
可得答案．【解答】解：∵关于 x的一元二次方程 （2a﹣4）x2+（3a+6）x+a﹣8＝0没有一次项，
∴3a+6＝0，
解得：a＝﹣2．
故答案为：﹣2．
知识点3 一元二次方程的解
一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫
做一元二次方程的根.利用方程的根求待定系数时,只需将方程的根代入原方程再解关于待定系数的方程.
【典例1】（2024春•大观区校级期末）已知x＝1是一元二次方程（2m+2）x2+x﹣m2＝0的一个根，则m
的值为（ ）
A．﹣1 B．3或﹣1 C．3 D．﹣3或1
【分析】首先把x＝1代入（2m+2）x2+x﹣m2＝0解方程可得m ＝3，m ＝﹣1，再结合一元二次方程定
1 2
义可得m的值．
【解答】解：把x＝1代入（2m+2）x2+x﹣m2＝0得，
2m+2+1﹣m2＝0，
m2﹣2m﹣3＝0，
解得：m ＝3，m ＝﹣1，
1 2
∵（2m+2）x2+x﹣m2＝0，
∴2m+2≠0，
∴m≠﹣1，
∴m＝3，
故选：C．
【典例2】（2024春•大观区校级期末）若a是关于x的方程3x2﹣x﹣1＝0的一个根，则2024﹣6a2+2a的
值是（ ）
A．2026 B．2025 C．2023 D．2022
【分析】把x＝a代入3x2﹣x﹣1＝0，得3a2﹣a＝1，然后把所求式子化为2024﹣2（3a2﹣a）代入计算
即可作答．
【解答】解：∵a是关于x的方程3x2﹣x﹣1＝0的一个根，
∴3a2﹣a＝1，
∴2022﹣6a2+2a＝2024﹣2（3a2﹣a）＝2024﹣2×1＝2022，
故选：D．
【典例3】（2024春•张店区校级月考）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2024，则一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b+2＝0必有一根为（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【分析】对于一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）＝﹣2，设t＝x﹣1得到at2+bt+2＝0，利用at2+bt+2＝
0有一个根为t＝2025得到x﹣1＝2024，从而可判断一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b+2＝0必有一根为x
＝2025．
【解答】解：对于一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b+2＝0，
设t＝x﹣1，
所以at2+bt+2＝0，
而关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2024，
所以at2+bt+2＝0有一个根为t＝2024，
则x﹣1＝2024，
解得x＝2025，
所以一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b+2＝0必有一根为x＝2025．
故选：D．
【典例4】（2024春•太湖县期末）若m是关于x的方程x2﹣2024x﹣1＝0的根，则（m2﹣2024m﹣4）（m2
﹣2024m+4）的值为（ ）
A．﹣15 B．15 C．﹣16 D．16
【分析】根据一元二次方程的解的定义得到 m2﹣2024m﹣1＝0，变形得出m2﹣2024m＝1，然后整体代
入的方法计算即可．
【解答】解：根据题意可得：m2﹣2024m﹣1＝0，
∴m2﹣2024m＝1，
∴（m2﹣2024m﹣4）（m2﹣2024m+4）
＝（1﹣4）（1+4）
＝﹣3×5
＝﹣15．
故选：A．
知识点4 解一元二次方程
1.直接开平方法：
对于形如 或 的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数
的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用直接开平方法求解．【总结】直接开平方法：形如 （ ）的方程可用直接开平方法解，两边直接开平方得
或 ，∴ ， ．直接开平方的理论根据是平方根的定义，注意
这里的条件 ．若 ，则方程 无实数根．
2.配方法：
通过配方把一元二次方程转化成形如 的方程，再运用直接开平方的方法求解．
【总结】用配方法解一元二次方程的一般步骤：
①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；
②“系数化 ”：根据等式的性质把二次项的系数化为 ；
③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为 的形式；
④求解：若 时，方程的解为 ，若 时，方程无实数解.
3.公式法：
（1）公式法的定义：解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式 ，当
时，方程 的实数根可写为 的形式,这个式子叫做一元二次方程
的求根公式.利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.由求根公式可知,一元二
次方程最多有两个实数根.
（2）一元二次方程根的个数与根的判别式的关系
一般地,式子 叫做方程 根的判别式,通常用希腊字母△表示,即
.
设一元二次方程为 ，其根的判别式为： ，则
① 方程 有两个不相等的实数根 ．
② 方程 有两个相等的实数根 ．
③ 方程 没有实数根．
（3）公式法的一般步骤：
①把一元二次方程化为一般式；
②确定 的值；
③代入 中计算其值，判断方程是否有实数根；
④若 代入求根公式求值；否则，原方程无实数根．
，
（先计算 减少计算量．另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用）
4.因式分解法：因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于 ，那么这两个因式至少有一个为 ，
即：若 ，则 或 ；
因式分解法的一般步骤：
①将方程化为一元二次方程的一般形式；
②把方程的左边分解为两个一次因式的积，右边等于 ；
③令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；
④解出这两个一元一次方程的解，即可得到原方程的两个根.
【典例1】（2024春•合肥期中）已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a，b，m为常数，a≠0）的解是x
1
＝2，x ＝﹣1，那么方程a（x+m+2）2+b＝0的解为（ ）
2
A．x ＝2，x ＝﹣3 B．x ＝4，x ＝1
1 2 1 2
C．x ＝0，x ＝﹣1 D．x ＝0，x ＝﹣3
1 2 1 2
【分析】把后面一个方程中的x+2看作整体，相当于前面一个方程中的x求解，注意由两个方程的特点
进行简便计算．
【解答】解：∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a，b，m为常数，a≠0）的解是x ＝2，x ＝﹣1，
1 2
∴方程a（x+m+2）2+b＝0变形为：a[（x+2）+m]2+b＝0，
即x+2＝2或x+2＝﹣1，
解得：x ＝0或x ＝﹣3，
1 2
故选：D．
【典例2】（2024•呼和浩特一模）用配方法解一元二次方程2x2﹣5x﹣1＝0，配方正确的是（ ）
5 33 5 41
A．(x− ) 2= B．(x− ) 2=
4 16 4 16
5 27 5 29
C．(x− ) 2= D．(x− ) 2=
2 4 2 4
【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤，对所给一元二次方程进行配方即可．
【解答】解：由2x2﹣5x﹣1＝0得，
2x2﹣5x＝1，
5 1
x2− x= ，
2 2
5 5 1 5
x2− x+( ) 2= +( ) 2，
2 4 2 4
5 33
(x− ) 2= ．
4 16
故选：A．−b±❑√b2−4ac
【典例3】（2024春•湖州期末）在用求根公式x= 求一元二次方程的根时，小珺正确地代
2a
入了a，b，c得到 3±❑√(−3) 2−4×2×(−1)，则她求解的一元二次方程是（ ）
x=
2×2
A．2x2﹣3x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0
C．﹣x2﹣3x+2＝0 D．3x2﹣2x+1＝0
【分析】判断出a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，可得结论．
【解答】解：由题意a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1．
故选：A．
【典例4】（2024春•靖江市月考）用因式分解法解方程x2+px﹣6＝0，若将左边分解后有一个因式是x﹣
6，则p的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
【分析】根据题意得到x2+px﹣6＝（x﹣6）（x﹣a），即可求出p的值．
【解答】解：根据题意得：x2+px﹣6＝（x﹣6）（x﹣a）＝x2﹣（a+6）x+6a＝0，
∴p＝﹣a﹣6，6a＝﹣6，解得：a＝﹣1，则p＝﹣5．
故选C．
【典例5】（2024•武威三模）若关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a
的取值范围是（ ）
A．a≠2 B．a≥1且a≠2 C．a＞1且a≠2 D．a＞1
【分析】根据一元二次方程的定义结合根的判别式即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出
结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴a﹣2≠0，Δ＝22﹣4×（a﹣2）×（﹣1）＝4a﹣4＞0，
解得：a＞1且a≠2．
故选：C．
【典例6】（2023秋•临沭县期中）解方程：
（1）x2﹣4x+1＝0（配方法）；
（2）2x2﹣3x+1＝0（配方法）．
【分析】（1）根据配方法，可得答案；
（2）根据配方，可得答案．【解答】解：（1）移项，得
x2﹣4x＝﹣1，
配方，得
x2﹣4x+4＝3，
即（x﹣2）2＝3，
开方，得
x﹣2＝±❑√3，
所以x ＝2+❑√3，x ＝2−❑√3；
1 2
（2）移项，得2x2﹣3x+1＝0，
二次项系数化为1，得
3 1
x2− x=− ，
2 2
配方，得
3 9 1 9
x2− x+ =− + ，
2 16 2 16
3 1
（x− ）2= ，
4 16
开方，得
3 1
x− =± ，
4 4
1
∴x ＝1，x = ；
1 2
2
【典例7】用直接开平方法解下列方程：
9
（1）（x﹣1）2− =0；
4
（2）（x﹣3）2＝（5﹣2x）2．
【分析】（1）直接利用开平方解方程得出答案；
（2）方程两边同时开平方，进而得出答案．
9
【解答】解：（1）（x﹣1）2− =0
4
9
（x﹣1）2= ，
4
3
则x﹣1＝± ，
25 1
解得：x = ，x =− ；
1 2
2 2
（2）（x﹣3）2＝（5﹣2x）2．
x﹣3＝±（5﹣2x），
8
解得：x = ，x ＝2．
1 2
3
【典例8】（2024秋•惠阳区校级月考）用公式法解下列方程：
（1）3x2﹣7x+3＝﹣1；
（2）x（x﹣2）＝3﹣x．
【分析】（1）用公式法计算即可．
（2）用公式法计算即可．
【解答】（1）解：3x2﹣7x+3＝﹣1，
3x2﹣7x+4＝0，
Δ＝（﹣7）2﹣4×3×4＝1＞0，
7±❑√1
∴x= ，
2×3
4
∴x =1，x = ；
1 2 3
（2）解：x（x﹣2）＝3﹣x，
x2﹣2x＝3﹣x，
x2﹣x﹣3＝0，
Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）＝13＞0，
1±❑√13
∴x= ，
2×1
1+❑√13 1−❑√13
∴x = ，x = ．
1 2 2 2
【典例9】（2024秋•青县校级期末）用因式分解法解下列方程．
（1）（2x﹣3）2﹣（x﹣2）2＝0；
（2）2（t﹣1）2+t＝1．
【分析】（1）利用因式分解法解答，即可求解；
（2）利用因式分解法解答，即可求解．
【解答】解：（1）（2x﹣3）2﹣（x﹣2）2＝0，
∴[（2x﹣3）+（x﹣2）][（2x﹣3）﹣（x﹣2）]＝0，∴（3x﹣5）（x﹣1）＝0，
∴3x﹣5＝0或x﹣1＝0，
5
∴x = ，x ＝1；
1 2
3
（2）2（t﹣1）2+t＝1，
∴2（t﹣1）2+t﹣1＝0，
∴（t﹣1）（2t﹣1）＝0，
1
∴t ＝1，t = ．
1 2
2
【典例10】（2024春•顺义区期末）关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的一个根小于﹣2，求m的取值范围．
【分析】（1）计算根的判别式的值，利用配方法得到Δ＝（m﹣2）2，根据非负数的性质得到Δ≥0，
然后根据判别式的意义得到结论．
（2）利用求根公式得到x ＝m﹣1，x ＝1．根据题意得到﹣m+1＜﹣2，即可求得m＞3．
1 2
【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝m，c＝m﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac
＝m2﹣4（m﹣1）
＝m2﹣4m+4
＝（m﹣2）2≥0，
∴方程总有两个实数根．
（2）解：∵Δ＝（m﹣2）2≥0，
−m±|m−2|
∴x= ，
2
∴x ＝﹣m+1，x ＝﹣1．
1 2
∵此方程有一个根小于﹣2，
∴﹣m+1＜﹣2，
∴m＞3．
故m的取值范围是m＞3．
知识点5 一元二次方程的根与系数关系如果 的两根是 ， ，则 ， ．（使用前提： ）
特别地，当一元二次方程的二次项系数为 1 时，设 ， 是方程 的两个根，则
， ．
判断根的正负性：在 的条件下，我们有如下结论：
（1）当 时，方程的两根必一正一负．
①若 ，则此方程的正根不小于负根的绝对值；②若 ，则此方程的正根小于负根的绝对
值．
（2）当 时，方程的两根同正或同负．
①若 ，则此方程的两根均为正根；②若 ，则此方程的两根均为负根．
注意：（1）若 ，则方程 必有实数根．
（2）若 ，方程 不一定有实数根．
【典例1】（2024春•宁阳县期末）设x ，x 是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0的两个实数
1 2
根，且（x +1）（x +1）＝13，则m的值为（ ）
1 2
A．2 B．4 C．2或﹣4 D．﹣2或4
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出x +x 与x •x 的值，再代入代数式进行计算即可．
1 2 1 2
【解答】解：∵x ，x 是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0的两个实数根，
1 2
∴x +x ＝2（m+1），x •x ＝m2+2，
1 2 1 2
∵（x +1）（x +1）＝13，
1 2
∴x •x +x +x +1＝13，即x •x +（x +x ）﹣12＝0，
1 2 1 2 1 2 1 2
∴m2+2+2（m+1）﹣12＝0，
∴（m﹣2）（m+4）＝0，
解得m ＝2，m ＝﹣4．
1 2
检验：当m＝2时，原方程可化为x2﹣6x+6＝0，
∵Δ＝36﹣4×1×6＝36﹣24＝12＞0，
∴方程有实数根，符合题意；
当m＝﹣4时，原方程可化为x2+6x+18＝0，
∵Δ＝62﹣4×1×18＝36﹣72＝﹣36＜0，
∴方程无实数根，不符合题意．故选：A．
【典例2】（2024春•贵池区期末）已知 ， 是方程x2﹣x﹣2024＝0的两个根，则 2﹣2 ﹣ 的值为（
） α β α α β
A．﹣2023 B．﹣2024 C．2024 D．2023
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题．
【解答】解：因为 ， 是方程x2﹣x﹣2024＝0的两个根，
所以 2﹣ ﹣2024＝α0，β + ＝1，
所以α2﹣α＝2024， α β
所以α2﹣α2 ﹣ ＝ 2﹣ ﹣（ + ）＝2024﹣1＝2023．
故选：αD．α β α α α β
【典例3】（2023秋•汨罗市月考）已知方程x2+4x+1＝0的两根是 、 ．
（1）求| ﹣ |的值； α β
√ααβ √β
（2）求❑ +❑ 的值．
β α
【分析】（1）根据方程x2+4x+1＝0的两根为 、 ，根据韦达定理， + ＝﹣4， ＝1，即可得答案；
√α √β α β α β αβ
（2）把❑ +❑ 化简后即可求值．
β α
【解答】解：（1）由韦达定理得 + ＝﹣4， ＝1，
| ﹣ | α β ；αβ
=❑√(α−β) 2=❑√(α+β) 2−4αβ=❑√12
α β
（2）∵Δ＝32﹣4＝5＞0，
∴ ≠ ，
由α韦达β定理得 + ＝﹣4， ＝1，
这说明 ， 同α为β负数， αβ
√α α√ββ 1 1 α+β
∴❑ +❑ =− ❑√αβ− ❑√αβ=−( )❑√αβ=4．
β α β α αβ
知识点6 一元二次方程的实际应用
列一元二次方程解应用题得一般步骤：
①审：就是指读懂题目，弄清题意，明确哪些就是已知量，哪些就是未知量以及它们之间得等量关系。
②设：就是指设元，也就就是设出未知数。
③列：就就是列方程，这就是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义得一个相等含义，然后列代
数式表示这个相等关系中得各个量，就得到含有未知数得等式，即方程。④解：就就是解方程，求出未知数得值。
⑤验：就是指检验方程得解就是否保证实际问题有意义，符合题意。
⑥答：写出答案。
【典例1】（2024春•萨尔图区校级月考）2024年元旦即将来临，同学们互发微信祝福语来表达新年祝
福，若每人都给其他人发一条微信祝福，共发出90条微信祝福，设共有x人参与这项活动，则可列方
程为（ ）
A．x（x﹣1）＝90 B．x（x+1）＝90
1 1
C． x(x+1)=90 D． x(x−1)=90
2 2
【分析】设该班级共有同学x名，互相发短信，每两个人之间产生 2条短信，根据共发出90条短信可
得方程．
【解答】解：设该班级共有同学x名，根据题意，得：x（x﹣1）＝90，
故选：A．
【典例2】（2023秋•临沭县校级月考）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三
条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为 570m2．设道路的宽为x m，则下面所列方
程正确的是（ ）
A．（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣570
B．32x+2×20x＝32×20﹣570
C．（32﹣2x）（20﹣x）＝570
D．32x+2×20x﹣2x2＝570
【分析】由道路的宽为x m，可得出种植草坪的部分可合成长为（32﹣2x）m，宽为（20﹣x）m的矩
形，根据草坪的面积为570m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵道路的宽为x m，
∴种植草坪的部分可合成长为（32﹣2x）m，宽为（20﹣x）m的矩形．
根据题意得：（32﹣2x）（20﹣x）＝570．
故选：C．
【典例3】（2023秋•锡山区校级月考）某厂一月份生产某机器100台，计划二、三月份共生产280台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（ ）
A．100（1+x）2＝280
B．100（1+x）+100（1+x）2＝280
C．100（1﹣x）2＝280
D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝280
【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设二、三月份每
月的平均增长率为x，根据“计划二、三月份共生产280台”，即可列出方程．
【解答】解：设二、三月份每月的平均增长率为x，
则二月份生产机器为：100（1+x），
三月份生产机器为：100（1+x）2；
又知二、三月份共生产280台；
所以，可列方程：100（1+x）+100（1+x）2＝280．
故选：B．
【典例4】（2023秋•北辰区校级月考）一次排球赛，计划安排7天，每天安排4场，赛制是参赛的每个队
之间都要比赛一场．设有x个球队参加比赛，则x满足的方程是（ ）
1 1
A． x(x−1)=28 B． x(x+1)=28
2 2
C．x（x﹣1）＝28 D．x（x+1）＝28
【分析】利用比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1）÷2，即可列出关于x的一元二次方程，此
题得解．
1
【解答】解：根据题意得： x（x﹣1）＝4×7，
2
1
即 x（x﹣1）＝28．
2
故选：A．
【典例5】（2024春•榆阳区校级月考）某服装店于12月初购进了一批保暖衣．在销售中发现：该保暖衣
平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“元旦”，商场决定采取适当的降价活动，以扩大销
售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件保暖衣每降价 1元，那么平均每天就可多售出2件．要想
平均每天销售这种保暖衣能盈利1200元，又能尽快减少库存，求每件保暖衣应降价多少元？
【分析】设每件保暖衣降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）件，利用总利润
＝每件的销售利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合要尽量减少库存，即可确定结论．
【解答】解：设每件保暖衣降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）件，
根据题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x ＝10，x ＝20．
1 2
又∵要尽量减少库存，
∴x＝20．
答：每件保暖衣应降价20元．
