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1 / 27 学科网（北京）股份有限公司 26.3 二次函数与一元二次方程 知识点一 二次函数与一元二次方程的联系 首先，我们在同一个坐标系下，画出𝑦= 𝑥2 + 𝑥−2、𝑦= 𝑥2 −8𝑥+ 16、𝑦= 𝑥2 −𝑥+ 1的图象，并观察这三个图象是否与𝑥轴产生交点？如果有交点，请找出横坐标和对应 的函数值。 再求以下各个方程的根： （1）𝑥2 + 𝑥−2 = 0 （2）𝑥2 −8𝑥+ 16 = 0 （3）𝑥2 −𝑥+ 1 = 0 通过以上两个表格的对比，不难发现函数的交点情况，与对应方程的根的情况，几乎 是一样的。所以我们可以认为，函数在一定程度上可以转化为方程，只需要对𝑦赋值 函数 有无交点 交点个数 交点横坐标 函数值 𝑦= 𝑥2 + 𝑥−2 𝑦= 𝑥2 −8𝑥+ 16 𝑦= 𝑥2 −𝑥+ 1 方程 有无根 ∆的情况 根的个数 方程的根 𝑥2 + 𝑥−2 = 0 𝑥2 −8𝑥+ 16 = 0 𝑥2 −𝑥+ 1 = 0 第二十六章 二次函数 2 / 27 学科网（北京）股份有限公司 即可。反之，我们也可以通过方程根的情况，确定相应二次函数的图象与𝑥轴的交点 情况。 特别提醒 在解一元二次方程根的时候，我们会通过“∆”的值，进一步判断方程根的情况；而 当我们想判断相应二次函数图象与𝑥轴的交点情况的时候，并不能直接从二次函数中 算出“∆”，而是必须先将二次函数转变为方程，才能引出二次函数图象与𝑥轴的交点 情况，函数中不存在“∆”的概念。 归纳总结 一般地，从二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐的图象，可得如下结论： （1）如果抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐与𝑥轴有公共点，公共点的横坐标是𝑥0，则当𝑥= 𝑥0时，函数值等于 0，因此𝑥= 𝑥0是一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0的一个根。 （2）二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐的图象与𝑥轴的公共点的情况有三种： 令𝑦= 0，对于一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0而言： ∆> 0 ⇔二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐的图象与𝑥轴有两个交点； ∆= 0 ⇔二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐的图象与𝑥轴有一个交点； ∆< 0 ⇔二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐的图象与𝑥轴 无交点； ∆≥0 ⇔二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐的图象与𝑥轴 有交点。 知识点二 二次函数与不等式的关系 前述知识点中，我们已经知道了函数与方程的关系，类似的，我们也可以得出函数与 不等式的关系。解一元二次不等式，并不能像解一元一次不等式一样那么简单，因为 它含有二次项，但我们可以通过观察与之对应的函数与直线的关系，得到对应的解。 例：解一元二次不等式𝑥2 −4𝑥+ 3 < 0 3 / 27 学科网（北京）股份有限公司 在该不等式中，不难观察出不等号左侧是一个一元二次三项式，右侧是一个常数，我 们可以令左侧为一个二次函数𝑦= 𝑥2 −4𝑥+ 3，右侧的常数令它为直线𝑦= 0，然后在 坐标系中画出抛物线和这条直线，如图所示： 所以对于不等式 𝑥2 −4𝑥+ 3 < 0 而 言，我们只需要在坐标系上，找到二次函数𝑦= 𝑥2 −4𝑥+ 3在直线𝑦= 0之下的那部分 图象即可，即红色虚线那部分图象，该虚线部分图象所对应的自变量取值范围，正是 二次函数与𝑥轴的交点横坐标之间的范围，即1 < 𝑥< 3。我们将这种解一元二次不等 式的方法称为图象法。 特别提醒 ①用图象法解不等式的时候，必须先判断开口向上还是向下，这将直接决定不等式解 集是取“两根之间”还是“两根之外”； ②一般情况下，如果不等号一侧为非零常数，我们会先把常数移项，使得不等号一侧 为零之后，再用图象法解一元二次不等式。 拓展延伸 面对解双函数不等式的问题，例如𝑥2 −4𝑥+ 3 > −𝑥2 + 𝑥+ 2，我们有两种方法可以 解决： ①将其视为比较两个函数的图象高低，在同一坐标系内，先画出各自的图象，再利用 交点横坐标分区间判断； ②将不等号一侧的多项式全部移项至另一侧，合并同类项后，按照图象法解这个新的 一元二次不等式即可。 归纳总结 图象法解一元二次不等式： ⚫ 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐> 0 ⇒图象在𝑥轴上方的部分； ⚫ 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐< 0 ⇒图象在𝑥轴下方的部分； ⚫ 出现等号(≥或≤) ⇒图象与𝑥轴的交点处要取实心点（取值范围要包含端点）。 自变量的取值范围，受到开口方向的直接影响： 4 / 27 学科网（北京）股份有限公司 ⚫ 𝑎> 0：大于0取两边（𝑥< 𝑥1或𝑥> 𝑥2），小于0取中间（𝑥1 < 𝑥< 𝑥2）; ⚫ 𝑎< 0：大于0取中间，小于0取两边。 知识点三 求近似根 一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)的根，就是二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐的图象与 𝑥轴交点的横坐标，因此，通过观察图象与𝑥轴的交点位置，可以估算根的近似值。 求近似根的方法： ①画出二次函数图像的草图（或利用表格列出若干点）； ②观察图象与𝑥轴的交点夹在哪两个相邻整数（或相邻小数）之间； ③利用“零点存在性定理”——若图象在𝑥= 𝑚和𝑥= 𝑛处的点，位于𝑥轴上下两侧 （即𝑦值一正一负），则根必在𝑚, 𝑛之间； ④逐步缩小范围（取中点或更小的单位长度），直到达到所需精度。 特别提醒 ①近似根得到的只是方程的根的近似值，不能取代公式法求精确根，两者还是有着本 质区别的； ②求近似根时，先确定整数区间，以1为单位，当确定大致的整数区间后，再加强精 确度，以0.1为单位确定更精确的范围； ③求近似根只是对图象交点的一种估读法，这和用待定系数法求两点式不能混为一 谈。两点式的两个交点必须要知道准确的数值才可以，而估读出来的数值不能直接代 入到假设好的两点式中求参数。 归纳总结 通过图象确定近似值的办法可以称为“二分法”，当我们确定好整数范围后，可以取 其中点位置，进一步判断函数值的正负情况，如此循环往复，可以进一步增加近似 值精度，简单概括一下步骤：①列表描点看图象；②定位符号找区间；③缩半单位 求近似。 易错点 1 函数与方程的概念混淆 • 错例：判断二次函数𝑦= 𝑥2 −2𝑥+ 1与𝑥轴的交点个数时，直接算Δ = (−2)2 − 4 × 1 × 1 = 0，并说“函数的Δ = 0”； • 错因：没有区分“函数”与“方程”是两个不同的数学对象，直接把“判别式” 这一方程的专有名词套用到函数上； 5 / 27 学科网（北京）股份有限公司 • 规避方法：判断交点个数时，先令𝑦= 0，转化为方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0，再算方 程的Δ。在书写时先写“对于方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0，Δ = ⋯”，不能省略“对于方 程”四个字。 易错点 2 解不等式时忽略二次项系数符号 • 错例：解−𝑥2 + 2𝑥+ 3 > 0时，直接套用“大于取两边”的口诀，得𝑥< −1或𝑥> 3（正确答案应为−1 < 𝑥< 3）； • 错因：对结论死记硬背而忽略了前提条件（即开口方向），没有画图验证的意识； • 规避方法：解不等式前先确定二次项系数符号，若𝑎< 0，则需要在不等式两边同 时乘以−1，将二次项系数化为正数（注意不等号方向改变）后，再画开口向上的草图 求解集。 易错点 3 解“双函数不等式”时，移项忽略符号变化 • 错例：解不等式𝑥2 −4𝑥+ 3 > −𝑥2 + 𝑥+ 2时，移项写成𝑥2 −4𝑥+ 3 + 𝑥2 −𝑥+ 2 > 0后，合并为2𝑥2 −5𝑥+ 5 > 0； • 错因：移项时只关注“把右边的东西移到左边”，却忘了每一项都要变号，导致 常数项符号错误； • 规避方法：移项时，将右侧多项式整体用括号括起来，再整体变号：𝑥2 −4𝑥+ 3 −(−𝑥2 + 𝑥+ 2) > 0，再去括号，可避免漏变符号。 易错点 4 求近似根时，把估读值直接代入交点式求解析式 • 错例：从图象估得抛物线与𝑥轴交于𝑥≈1.4和𝑥≈3.6，直接设解析式为𝑦= 𝑎(𝑥−1.4)(𝑥−3.6)代入求𝑎； • 错因：混淆“近似根”与“待定系数法求交点式”的用途——前者是估算根的数 值，后者是已知精确交点求解析式； • 规避方法：两点式中的𝑥1、𝑥2必须是精确的已知值（如整数或题目明确给出的数 值）。近似根只能用于估计根的数值，不能作为待定系数法的已知条件。 易错点 5 近似根只定整数范围，未缩半单位长度就下结论 • 错例：发现根在2和3之间，直接答“方程的根约为2或3”，忽略了“近似根”还 需要更精确的值（如保留一位小数）； • 错因：缺乏“逐步逼近”的意识，认为确定好整数范围就完成了任务； • 规避方法：①单位长度为1时，定位整数区间；②在该区间内取中点或单位长为 0.1的多个点，确定小数范围；③若需保留两位小数，继续缩至单位长0.01。明确精度 要求后再取点验证。 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 易错点 6 ∆≥𝟎与“有交点”的对应关系记忆混乱 • 错例：问“抛物线与𝑥轴有交点时𝑘的取值范围”，只写出Δ > 0，漏掉了Δ = 0的 情况； • 错因：把“有交点”等同于“有两个交点”，忘记了抛物线与𝑥轴只有一个公共点 时，也属于有交点的情况； • 规避方法：有交点用≥0，两交点用> 0，一交点用= 0。 • 题型一：抛物线与𝒙轴的交点 方法技巧 比较常见的题型大概有以下两种：①已知交点个数求参数范围；②已知交点的横坐标 （即方程的根）求代数式的值。第②种题型不再过多赘述，对于第①种题型： 主要方法：抛物线与𝑥轴的交点个数，等价于令𝑦= 0后对应一元二次方程实数根的个 数。设抛物线为𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐，令𝑦= 0得方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0，利用判别式Δ = 𝑏2 −4𝑎𝑐判断交点情况。 关键结论： Δ > 0 ⇔ 与𝑥轴有两个交点； Δ = 0 ⇔ 与𝑥轴有一个交点（顶点在x 轴上）； Δ < 0 ⇔ 与𝑥轴无交点； 其中：“有交点”指Δ ≥0（包含一个或两个）。 注意： 二次函数要求𝑎≠0，含参时需优先讨论二次项系数是否为0，再列Δ的不等式或 方程。 1.（25-26 八年级下·全国·课后作业）若抛物线 与 轴的交点坐标为 ， 则代数式 的值为（ ） A．118 B．119 C．120 D．121 2．（2026·江苏南京·二模）函数 （m 为常数）的图象与x 轴公共点 的个数是（ ） 7 / 27 学科网（北京）股份有限公司 A．0 B．1 C．2 D．1 或2 3．（2026·广东肇庆·二模）已知二次函数 ，下列说法错误的是（ ） A．顶点坐标为 B．对称轴为直线 C．函数图像与x 轴有2 个交点 D．当 时，y 随x 的增大而减小 4．（2026·吉林长春·模拟预测）二次函数 的图像上有两点 和 ， 则 的值等于（ ） A． B．1 C．2 D．4 5．（24-25 九年级上·云南昆明·期末）已知抛物线 ，与x 轴的一个交点为 ，则代数式 的值为（ ） A． B． C． D． 6．（2026·黑龙江佳木斯·二模）二次函数 的图象与x 轴的交点个数为 （ ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 7．（2026·四川绵阳·二模）若抛物线 与 轴没有交点，则 的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 8．（2025·宁夏银川·三模）已知二次函数 的图象和x 轴有交点，则k 的取 值范围是（ ） A． B． C． 且 D． 且 9．（24-25 九年级上·浙江温州·期中）在平面直角坐标系中，若二次函数 的图象与x 轴只有1 个交点，则m 的值为（ ） A． B． C． D． 10．（25-26 九年级上·安徽合肥·期末）已知二次函数 与x 轴无交点，则m 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8 / 27 学科网（北京）股份有限公司 11．（25-26 九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数 的图象如图所 示，则下列判断正确的是（ ） A． ＞0， B． ＜0， C． ＞0， D． ＜0， 题型二：抛物线与𝒚轴的交点 方法技巧 常见题型与对应方法： ①若要求抛物线与𝑦轴的交点，则令𝑥= 0代入解析式即可求得交点坐标为(0, 𝑐)。𝑐的符 号决定交点位于𝑦轴正半轴还是负半轴，𝑐= 0时抛物线经过原点。 ②若要根据函数图象所经过的象限，确定参数的取值范围，可以优先确定函数图象的开 口方向、对称轴位置、与𝑥轴交点情况，综合判断抛物线经过的象限，再将函数图象放 在合适的位置，确定与𝑦轴交点坐标的正负性，列出不等式，即可求得范围。 1.（2026·陕西榆林·模拟预测）已知二次函数 （ 为常数）的图象只 经过第二、三、四象限，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．（2026·安徽芜湖·二模）已知抛物线 经过第一、第二、第三、第四象 限，则b 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西西安·模拟预测）当 时，二次函数 的图象 一定经过（ ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、三、四象限 4．（25-26 九年级上·浙江杭州·阶段检测）二次函数 图象上部分点的坐标 满足如表： 9 / 27 学科网（北京）股份有限公司 x … 0 1 2 … y … m 0 3 … 则该函数图象与y 轴的交点坐标为（ ） A． B． C． D． 题型三：抛物线图象性质的综合应用 方法技巧 此类题型综合考查开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点、判别式、特殊点函数值 等性质。一些主要的解题思路为： ①看图读出𝑎、𝑏、𝑐的符号（开口、对称轴左同右异、与𝑦轴交点）； ②将图象特征转化为代数表达式（如对称轴𝑥= − 𝑏 2𝑎，判别式，特殊点𝑥= ±1时的 函数值）； ③逐项验证：逐一判断各结论是否正确。 关键技巧： ①对称轴“左同右异”； ②利用对称性找另一交点的坐标； ③由𝑥= 1、𝑥= −1、𝑥= 2等特殊点代入，得𝑎+ 𝑏+ 𝑐、𝑎−𝑏+ 𝑐、4𝑎+ 2𝑏+ 𝑐等 代数式的符号。 1.（2022·湖南常德·模拟预测）二次函数 （ ， ，是常数， ）的 图象与 轴交于点 ， ．则下列说法：①一元二次方程 的根为 ， ．② ；③对于 的每一个确定的值，若一元二次方程 （ 为常数， ）的根为整数，则 的值只有两个；④若点 ， 在该二次函数的图象上，则 ；正确的是（ ） A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③ 2．（2026·四川达州·模拟预测）如图是二次函数 图象的一部分，对 10 / 27 学科网（北京）股份有限公司 称轴为 ，且经过点 ，下列结论：① ，② ，③ ，④ 当 时， ，正确的有（ ）个． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 3．（22-23 九年级下·浙江杭州·开学考试）函数 与 的图象如图所 示，有以下结论：① ；② ；③ ；④当 时， ．其中正确的结论有（ ） A．个 B． 个 C．个 D． 个 4．（21-22 九年级下·全国·期末）如图，若二次函数 的图象的对称 轴为直线 ，与y 轴交于点C，与x 轴交于点A、点 ，则：①二次函数的最大值 为 ；② ；③ ；④当 时， ；其中正确的个数是 （ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 5．（2023·内蒙古兴安·模拟预测）二次函数 的图象过点 ，对 称轴为直线 ，下列结论： ； ； ； 当 时， 的值随 值的增大而减小．其中正确的结论有（ ） 11 / 27 学科网（北京）股份有限公司 A． 个 B．个 C． 个 D．个 6．（22-23 九年级下·山东日照·开学考试）如图，抛物线 与x 轴交 于点 ，其对称轴为直线 ，在以下结论中： ① ； ②当 时，y 随x 的增大而减小； ③ ； ④ ； ⑤若m，n（ ）为方程 的两个根，则 ， ． 其中正确的结论有（ ） A．5 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个 7．（2026·内蒙古通辽·三模）二次函数 的图象如图所示．下列结 论： ① ② ③ ④ ⑤若 ， ， ，则 ． 其中正确结论的个数有（ ） 12 / 27 学科网（北京）股份有限公司 A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 8．（2026·陕西西安·模拟预测）已知抛物线 （ 、 、为常数，且 ）经过点 、 ，其对称轴在 轴右侧，下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的有（ ） A．①②③ B．①④ C．①②④ D．②③④ 题型四：已知二次函数的函数值求自变量的值 方法技巧 常见题型：已知𝑦= 𝑘求𝑥的值，本质是解一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 𝑘，即𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ (𝑐−𝑘) = 0。也可以看作二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐与直线𝑦= 𝑘的交点横坐 标。 常见解法： ①代入求解：将已知函数值代入解析式，解一元二次方程； ②利用对称性：若已知一个点(𝑥1, 𝑘)，根据对称性可得另一个点(𝑥2, 𝑘)，其中对称轴 为𝑥= ℎ，且𝑥1 + 𝑥2 = 2ℎ，无需解方程即可得另一根； ③利用表格：从列表数据直接读出对应自变量取值。 注意：当方程有两个解时，不要漏根；当解为近似根时，需结合表格或图象判断根 的取值范围。 1.（25-26 九年级上·浙江宁波·期末）若二次函数 的图象经过点 ，则 方程 的解为（ ） A． B． C． 或 D． 或 2．（25-26 九年级上·安徽六安·期中）已知抛物线 与直线 交于 点 和点 ，则关于 的方程 的解是（ ） 13 / 27 学科网（北京）股份有限公司 A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 3．（22-23 九年级上·甘肃庆阳·期中）下表是二次函数 的几组对应值： 根据表中数据判断，方程 的一个解 的范围是（ ） A． B． C． D． 4．（23-24 九年级上·山东东营·期中）根据下表中二次函数y=ax2+bx+c 的自变量x 与函 数值y 的对应值，判断方程 （ ，a，b，c 为常数）的一个解x 的范围是 （ ） x A． B． C． D． 5．（21-22 九年级上·辽宁鞍山·期末）二次函数 图象经过点 ，且图象对称轴为直线 ，则方程 的解为（ ） A． B． ， C． ， D． ， 6．（2024·陕西咸阳·模拟预测）最近，吊篮西瓜大量成熟，开园上市，走进某村果蔬基 地吊篮西瓜大棚（图1）内，碧绿的藤蔓上一个个生得俊俏、长相甜美的西瓜映入眼 帘．如图2 是某瓜农的一个横截面为抛物线的大棚，大棚在地面上的宽度 是6 米，最 高点C 距地面 的距离为2 米．以水平地面 为x 轴， 的中点O 为原点建立平面直 角坐标系．一位身高 米的瓜农，若要在大棚内站直行走，则此瓜农从点O 沿 向左最 多能走（ ） 14 / 27 学科网（北京）股份有限公司 A． 米 B． 米 C．3 米 D．6 米 7．（25-26 九年级上·山东青岛·期中）某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程（单位： ）与时间（单位：）之间的关系为 ，那么这辆汽车行驶 需要的时间 是_______s． 8．（25-26 九年级上·全国·阶段检测）已知二次函数 图象上部分点的 坐标 对应值列表如下： … 0 2 … … 15 0 0 … 则关于x 的方程 的解为_______． 9．（25-26 九年级上·浙江·阶段检测）已知二次函数 图象上部分点 的坐标 对应值列表如下：则关于x 的方程 的解是_______． x … 0 3 8 … y … 2 2 … 题型五：根据二次函数的图像确定方程根的情况 方法技巧 一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 𝑚的根，就是二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐与直线𝑦= 𝑚 交点的横坐标。根的个数取决于直线与抛物线的位置关系。 具体判断方法： 15 / 27 学科网（北京）股份有限公司 ①若直线与抛物线相交于两点 → 方程有两个不相等的实数根； ②若直线与抛物线有一个交点 → 方程有两个相等的实数根； ③若直线与抛物线无交点 → 方程无实数根； ④若直线与𝑥轴重合（𝑚= 0）→ 方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0，即抛物线与𝑥轴的交点。 另外，关于根的正负判断：根据交点横坐标在𝑦轴的左侧还是右侧，可以判断根的符 号（同号/异号、正/负）。 1.（2022 九年级上·广西南宁·专题练习）已知函数 的图象如图，那么关于 x 的方程 的根的情况是（ ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个同号不等实数根 D．有两个异号实数根 2．（2026 九年级下·全国·专题练习）已知函数 的图象如图，那么关于x 的方程 的根的情况是（ ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个不相等的正实数根 D．有两个异号实数根 3．（25-26 九年级上·湖北恩施·期末）已知抛物线 的图象如图所示，则方 程 的实数根的情况是（ ） 16 / 27 学科网（北京）股份有限公司 A．方程没有实数根 B．方程的实数根情况不确定 C．方程有两个相等的实数根 D．方程有一正一负两个实数根 4．（25-26 九年级上·河南周口·期末）二次函数 的图象如图所示，若一元二 次方程 有两个不相等的实数根， 的值可能是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（25-26 九年级上·云南文山·阶段检测）如图，已知二次函数 的图象经 过点 ，对称轴为直线 ，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D．方程 的解为 ， 6．（25-26 九年级上·云南怒江·阶段检测）如图是二次函数 的图象，与x 轴交于点 和点 ，与y 轴交于点 ，顶点坐标为 ，则关于x 的方程 的解为（ ） 17 / 27 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 7．（2022·陕西西安·模拟预测）抛物线 ，顶点纵坐标为 ．若 有且只有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ） A． B． 或 C． 或 D． 或 8．（22-23 九年级下·浙江温州·开学考试）二次函数 的部分图象如图所 示，则方程 根是（ ） A． B． C． D． 题型六：图象法或列表法确定近似根 方法技巧 一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0的根，就是二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐与𝑥轴交点的 横坐标。通过观察图象与𝑥轴的交点位置，或利用函数值表格，估算根的近似值。 方法步骤（二分法）： ①确定根的整数范围：计算相邻整数处的函数值，若一正一负，则根在此区间内； 18 / 27 学科网（北京）股份有限公司 ②逐步缩小区间：取中点或步长0.1、0.01，计算对应函数值，根据符号变化进一步 缩小根的范围； ③达到所需精度后，取区间内最接近零的点作为近似根。 从表中找函数值最接近0 的自变量，并结合正负变化判断根的更精确位置。近似根 不能取代精确根，更不能作为待定系数法求解析式的已知条件。 1.（2026·河南周口·模拟预测）下列表格中是二次函数 的自变量 与函数 的一些对应值，可以判断一元二次方程 的一个近似根是 （ ） A． B． C． D． 2．（25-26 九年级上·安徽芜湖·期末）二次函数 自变量 与函数值 的对 应关系如下表，一元二次方程 的根中较大的根的范围是（ ） 0 0.5 1 1.5 0.13 0.38 0.53 0.58 0.53 0.38 A． B． C． D． 3．（25-26 九年级上·广东潮州·期末）如图，点 ， 在二次函 数 的图象上，则方程 的一个根的近似值可能是（ ） A．2.67 B．2.56 C．2.39 D．2.26 4．（25-26 九年级上·云南大理·期末）二次函数 的图象如图所示， 19 / 27 学科网（北京）股份有限公司 ， 为图象上的两点，则方程 的一个解可能 是（ ） A． B． C． D． 5．（25-26 九年级上·陕西榆林·期末）已知二次函数 的自变量x 与 函数值y 的部分对应值如下表所示，方程 的一个根的近似值可能是（ ） x 1.2 1.3 1.4 1.5 y 0.05 0.65 A．1.12 B．1.26 C．1.38 D．1.45 题型七：图象法解一元二次不等式 方法技巧 将不等式转化为函数图象与𝑥轴的位置关系： • 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐> 0 ⇔ 图象在𝑥轴上方的部分； • 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐< 0 ⇔ 图象在𝑥轴下方的部分。 步骤： ①化正：若𝑎< 0，先在不等式两边乘以−1，将二次项系数化为正数（不等号方向 改变）； ②求根：令𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0，求出两根； ③画图：画开口向上的草图，看图象与𝑥轴的位置关系； ④定解：> 0取“两根之外”，< 0取“两根之间”。 如果遇到双函数不等式，可以将不等号两边的函数分别记作𝑦1、𝑦2 ，当𝑦1 > 𝑦2时， 可转化为𝑦1 −𝑦2 > 0，也可以直接看两图象的高低关系，但是需要画出两个函数图 象。 1.（2025 九年级上·江苏泰州·专题练习）已知二次函数 的部分图象如 20 / 27 学科网（北京）股份有限公司 图，若 ，则 的取值范围是 （ ） A． B． C． 或 D． 或 2．（25-26 九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图是二次函数 的图 象，下列说法错误的是（ ） A． 的最大值是4 B．当 时，函数值 C．当 时， 随 的增大而增大 D．函数的图象关于直线 对称 3．（25-26 九年级上·北京·期中）如图，抛物线 的部分图象如图所示，若 ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 或 4．（24-25 九年级上·山东德州·阶段检测）如图是二次函数 的图象，使 成立的 的取值范围是（ ） 21 / 27 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 或 5．（23-24 九年级上·广东东莞·期末）如图是二次函数 和一次函数 的图象，观察图象，当 时，x 的取值范围是（ ） A． B． 或 C． D． 6．（2023·四川绵阳·一模）二次函数 与一次函数 的图像如图所 示，则满足 的 的取值范围为（ ） A． B． 或 C． 或 D． 7．（23-24 九年级上·河南新乡·期中）如图，一次函数 与二次函数 的图象交于 和 两点，当 时，x 的取值范围是（ ） 22 / 27 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 8．（22-23 九年级上·甘肃金昌·期中）如图所示：已知二次函数 与 一次函数 的图象相交于点 和 ，则不等式 的取值范围是（ ） A． B． C． 或 D． 题型八：利用不等式求自变量、函数值或参变量的范围 方法技巧 该题型需要结合二次函数的开口方向、对称轴和增减性，将函数值的大小比较转化 为自变量到对称轴距离的比较。 基本原理： • 对于开口向上的抛物线（𝑎> 0）：点到对称轴距离越远，函数值越大； • 对于开口向下的抛物线（𝑎< 0）：点到对称轴距离越远，函数值越小。 方法步骤： ①确定对称轴𝑥= ℎ； ②将函数值大小关系转化为“点到对称轴的距离”的大小关系： （Ⅰ）𝑎> 0时，𝑦1 > 𝑦2 ⇔ ∣𝑥1 −ℎ∣>∣𝑥2 −ℎ∣； （Ⅱ）𝑎< 0时，𝑦1 > 𝑦2 ⇔ ∣𝑥1 −ℎ∣<∣𝑥2 −ℎ∣； ③解绝对值不等式，确定参数的取值范围。 23 / 27 学科网（北京）股份有限公司 注意： 含参时需要考虑分类讨论，如两点在对称轴同侧或异侧。 1.（25-26 九年级上·天津武清·阶段检测）点 都在抛物线 上．若 ，则m 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2．（25-26 九年级上·全国·课后作业）已知二次函数 ，当 时，自变量x 的 取值范围是（ ） A． B． C． 或 D． 或 3．（2023·江苏镇江·一模）在二次函数 图像上的两点 、 ，若 ，则t 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．（2026·山东聊城·模拟预测）二次函数 ，当 时， 的取值范 围是（ ） A． B． C． D． 5．（25-26 九年级下·浙江杭州·期中）已知抛物线 （ 为常数），点 ， ， 在抛物线上，且满足 ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．（2026·山东德州·一模）已知点 ， 在抛物线 上，若 ，则下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 7．（25-26 九年级上·河北邯郸·期末）已知抛物线 经过点 ， ，若 ，则 的取值范围是（ ）． A． B． C． D． 题型九：根据交点确定不等式的解集 24 / 27 学科网（北京）股份有限公司 方法技巧 常见题型有：由二次函数与一次函数图象交点确定解集；由已知解集反推参数的值 或范围。 核心思路：通过两函数图象的交点横坐标，确定不等式成立的自变量范围。 基本步骤： ①联立两函数解析式求交点横坐标； ②在坐标系中观察两图象的相对位置； ③根据“谁在上方”确定不等式方向：设两个函数分别为𝑦1、𝑦2 （Ⅰ）𝑦1 > 𝑦2 ⇔ 𝑦1图象在𝑦2图象上方； （Ⅱ）𝑦1 < 𝑦2 ⇔ 𝑦1图象在𝑦2图象下方。 特殊技巧： • 若不等式右侧不为0，先移项转化为𝑦1 −𝑦2 > 0，构造新函数； • 交点横坐标将𝑥轴分成若干区间，各区间内分别判断符号； • 注意不等号是否含等号（是否包含端点）。 1．（2026·江苏无锡·中考真题）如图，二次函数 与一次函数 的图象交于 ， 两点，已知点 ，点 在 轴上，则不等式 的解集是（ ） A． 或 B． 或 C． D． 2．（2022·山东枣庄·模拟预测）已知函数 与函数 的图象如图 所示．若 ，则自变量x 的取值范围是（ ） 25 / 27 学科网（北京）股份有限公司 A． B． 或 C． D． 或 3．（25-26 八年级下·北京·阶段检测）二次函数 的部分图象如图所示，则 关于 的不等式 的解集是（ ） A． B． C． D． 或 4．（2026·内蒙古通辽·二模）一次函数 与二次函数 的图象如图所示，则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 或 5．（2026·安徽淮南·三模）如图，二次函数 与 轴， 轴分别交于 26 / 27 学科网（北京）股份有限公司 ， 两点，对称轴为直线 ，一次函数 的图象也经过 ， 两点，则下 列结论错误的是( ) A． B．当 时， C．方程 有两个不相等的实数根 D．二次函数 的图象的最低点的坐标为 6．（2026·湖北恩施·二模）如图，抛物线 与直线 交于B，C 两 点，与 轴交于点 ，已知点C 的坐标为 ，点B 的横坐标为3， 轴．下列结论 错误的是（ ） A． B． C． D．当 时， 7．（2026·广东汕头·一模）已知二次函数 ，若关于 的方程 的实数根为 ，且 ，则下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 27 / 27 学科网（北京）股份有限公司
